71

12) ( )

−+++

++

++=

13...

6313

nnn

nn

nn

nsn .

13)

++++++=

nn

nnnsn 1...21111 .

14) ( )

−

+++=n

nnnn

snππππ 1sin...2sinsin .

15) ( )

−

++++=n

nnnn

sn 21cos...

22cos

2cos1

2ππππ .

16) ( ) ( ) ( )

++

++

+= 222 2

1...2

11

1nnn

nsn .

1.7. Aplicaţiile integralelor definite

I. Calculul ariilor plane

a) Fie [ ] 0)(,: ≥→ xfcuRbaf pentru [ ]bax ,∈ . Aria mărginită de graficul

funcţiei f , axa Ox şi dreptele ax = şi bx = este:

∫ ≥=b

af dxxfS 0)( (Vezi fig. 1).

Fig. 1

b) Fie [ ] 0)(,: <>→ xfcuRbaf pentru [ ]bax ,∈ . Aria mărginită de graficul

funcţiei f , axa Ox şi dreptele ax = şi bx = este:

( )∫ ==b

af dxxfS ∫ ∫−

c

a

b

c

dxxfdxxf )()( (Vezi fig. 2) (sau se explicitează

modulul )(xf ).

a b x

y y=f(x)

y

72

Fig. 2

c) Fie [ ] R→bagf ,:, , atunci aria cuprinsă între graficele funcţiilor f şi g şi

dreptele ax = şi bx = este:

dxxgxfSb

agf ∫ −= )()(, (Vezi fig. 3).

Se explicitează modulul sau se face reprezentarea grafică.

Fig. 3

Aplicaţie:

Fie [ ]1

1)(,2

)(1,1:. 2

2

+====→−

xxgyxxfycugf R . Să se calculeze aria

cuprinsă între graficele celor două funcţii pe [ ]1,1− .

Soluţie. ∫−

−=1

1, .)()( dxxgxfS gf

+

- x

a

b c

y=f(x)

x

y

a b

y=f(x)

y=g(x)

73

Se schiţează graficul celor două funcţii pe [ ]1,1− după ce s-au tabelat

funcţiile:

1− 21

− 0 21 1

)(xf 21

81 0

81

21

)(xg 21

54 1

54

21

Din tabel rezultă graficul din Fig 4 şi g(x)≥f(x), pentru x [ ]1,1−∈ .

Fig. 4

Atunci:

( )∫∫−−

=−=−=1

1

1

1, )()()()( dxxfxgdxxgxfS gf

∫ ∫ ∫− − −

=−+

=

−

+=

1

1

1

1

1

1

22

2

2 21

1211 dxx

xdxdxx

x

( ) ( ) =+−−−=−

−−

= 116111

11

611 3

arctgarctgxarctgx

31

231

42

62

44−=−=−

−−=

ππππ .

x

y

y=f(x)

y=g(x)

74

Aplicaţie.Calculul ariei elipsei (cercului). Ecuaţia elipsei este:

⇔

−=

⇒=

+

2222

11ax

by

by

ax ( ) 22

2,122

22 xa

abyxa

aby −±=⇒−

= .

∫ ∫ =−=−=a a

elipsa dxxaabdxxa

abS

0 0

2222 44 =

+−

0arcsin

224 2

22 aaxaxax

ab

=

−+−−−=

aaaaaaaa

ab 0arcsinarcsin

200

24 2

222

abbaq

aab ππ

=⋅=⋅=2

21arcsin4 2(aria elipsei).

Dacă Rba == , atunci ecuaţia elipsei devine 222 Ryx =+ şi reprezintă

cercul care are aria 2RScerc π= .

II. Lungimea arcului de curbă.

Fie [ ] R→baf ,: . Lungimea graficului funcţiei f între ax = şi bx = este:

( )( )∫ +=b

aAB dxxf .'1 2L (Vezi fig. 5).

Fig. 5

III. Aria corpului de rotaţie.

Fie [ ] R→baf ,: . Aria corpului de rotaţie obţinut prin rotaţia graficului f

în jurul axei Ox este:

( )( )∫ +⋅=b

arot dxxfxfS .'1)(2 2π

a b x

y

0

A B

75

Fig. 6

IV. Volumul corpurilor de rotaţie.

Fie [ ] R→baf ,: . Volumul corpului de rotaţie obţinut prin rotaţia

graficului f în jurul axei Ox este:

( )∫=b

arot dxxfV .2π

Aplicaţii:

1) Lungimea cercului. Din ecuaţia cercului: ⇒=+ 222 ryx 222,1 xry −±=

Fig. 7

a b x

y

-r r

r

-r

x

y

A

B

C

221 xry −=

222 xry −−=

76

=== ∩∩BCABC

cerc LLL 42 ( )( )∫ +=r

dxxf0

2 .'14

∫ ∫ =−

=−

+=r r

cerc dxxr

rdxxr

x

0 02222

2414L

=

−=

⋅=

rrrr

rrxr 0arcsinarcsin4

0arcsin4

.22

41arcsin4 rrr ππ=⋅==

2) Volumul sferei.

( ) ( )∫ ∫− −

=−

−=−==

r

r

r

rsf r

rxxrdxxrdxxfV3

32222 πππ

( ) ( )( ) =

−−−+⋅= 332

31 rrrrrπ

34

322

333 rrr ππ =

−⋅ .

3) Aria sferei.

( ) ( )( ) =−

+⋅−=+⋅= ∫∫−−

dxxr

xxrdxxfxfSr

r

r

rsf 22

2222 12'12 ππ

∫∫−−

=−

⋅==−

⋅−−=r

r

r

r

rr

rxrdxrdx

xr

rxr 222

22 4222 ππππ .

V. Curbe plane uzuale

1.Parabola: cbxaxy ++= 2 .

Reprezentare grafică:

a) Intersecţia cu axa 00 2 =++⇒=⇔ cbxaxyOx .

Dacă R∈−±−

=⇒≥∆2

402

2,1acbbx ( )0,1xA⇒ şi ( )0,2xB .

Dacă 0<∆ nu are intersecţie cu Ox.

b) Intersecţia cu axa ( )cCcyxOy ,00 ⇒=⇒=⇔∩ .

c) Axa de simetrie: a

bx2

−= .