cap 3 - reglas de derivación - pag 172-269

5/8/2018 Cap 3 - Reglas De Derivacin - Pag 172-269

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REG LASDE DERIVACION

AI medir las pendientes en puntos que se localizan en lacurva sene obtiene claras evidencias de que la derivada dela funcion sene es la funci6n coseno

Hasta aqui, ha visto como interpretar las derivadas como pendientes y relacioncambio y ha estudiado c6mo estimar las derivadas de funciones dadas por mediode valores. Tarnbien ha aprendido la manera de graficar las derivadas de funcque se definen graficamente y ha usado la definicion de derivada para ca1culderivadas de funciones definidas mediante formulas. Pero seria tedioso si sietuviera que aplicar la definicion, de modo que, en este capitulo se desarrollanpara hallar derivadas sin tener que usar directamente esa definicion. Estas rederivacion permiten caJcular con relativa facilidad las derivadas de polinomios, furacionales, funciones algebraicas, funciones exponenciales y logaritmicas y funcigonornetricas inversas. A continuacion usara estas reglas para resolver problemque intervienen relaciones de carnbio, tangentes a curvas parametricas y la aproxide funciones.

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:::~~~~~3~1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES~~------------------~.--------------------~----------

pendiente =0

En esta secci6n aprendera la manera de derivar funciones constantes, funciones de pcias, polinomios y funciones exponenciales,Empiece por la mas sencilla de todas las funciones, la funci6n constante f(x) =

grafica de esta funcion es la recta horizontal y = c, la cual tiene pendiente 0, de moddebe tener f' (x ) =O. (Vease la figura J.) Una demostraci6n formal, a partir de la dcion de derivada, tambien es facil:

y=c

f'(x) =fm i(x + 1 1 ) - f(x) =fm c - c = lim 0 = 0. ,,~O II ;,-,{] II /,->1)-~----------------:~XoF IG U R A 1La grMica de f(x) =c es larecta y =C, pOI' tanto i'(x) := 0

En la notaci6n de Leibniz, se escribe esta notacion como sigue:

d-{ (c) =exD E R IV A D A D E U N A F UN C IO N C O N S T A N T E

FUNCIONES POTENCIA

__~o~ ~~.v

pcndiente = J

En seguida, se consideran las funciones f(x) =", donde n es un entero positivo, Si Ila grafica de f(x) = x es In recta y = x, la cual tiene pendiente I (vease Ia figura 2modo que

y=x

II] d- (x) = IdxF I G U R A 2La gnifica de f(x) "" x es larecta y =. r, por tanto i'(x) =I

(Tambien puede cornprobar la ecuacion I a partir de la definici6n de derivada.) Yavestigado los casos n =2 y I!=3. En efecto, en la secci6n 2.8 (ejercicios 17 yencontr6 que

d 0- (;,_.-)2xdx d 3 '- (x") = 3x-dxPara Il=4, la derivada de /(x) =x\ queda como sigue:

F I(x + 1 1 ) - f(x) ,(x + h)4 - X4f '(x) =fm =hm - -- -- -- --/J-.{1 1 1 1,-,0 II

4x3 J z + 6x211 2 + 4xh3 + 1 1 4= lim ---------------------;,-0 h=1 m (4x3 + 6x2 J z + 4xl12 + 1 1 3) =x'/,-,0

AS I


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174 1 1 1 1 CAPiTULO 3 REGLAS DE DER!VACION

Si compara las ecuaciones (1), (2), (3), surge un patron. Parece razonable pcuando Il es un entero positive, ( dld x) (x ") =x"" 1.Esto resulta cierto. Se demumodos: en la segunda demostracion se aplica el teorema del binomio

R EG L A D E L A P O T E N C IA Si n es un entero positive, en consecuenciad I- (x") =x""d x

P R l t i E R A D E t1 0S T R A C I O N Puede verificar la formula

rnultiplicando solo ellado derecho (0 mediante la suma del segundo factor corie geometrica). Si f{x) =x", puede aplicar la ecuacion 2.7.5 para f'(a) y laanterior para escribir

f(x) - f (a) ,x" - an.f'{a) = lfrn = hm ---_..~ ..1I X - a _(-"il x , .. .. _ . . . a

=im (X"~ I + X,,-2a + ... + xa"~2 + a"-I)X-)oO

S E G U ND A D tt 1 0 S T R A C IO t l

f( x + II ) f(x) . (x + h )" - x".f'{x) =fm -' . - =im -'------I ,~n h "~o II!!l EI teo rem e de l b inom io se da en lap i'iq in a d e re te rs nc ia 1

Al hallar la derivada de x\ tuvo que desarrollar C x + IItEn este caso, necesita(x + I z ) " y , para hacerlo, apJique el teorema del binomio:[ I Il(n - 1) 0 0 I ]" + IIX"- II + 2 x"~-h- + . , , + nxh'" + h"f'(x) =im ..:;;o_ .::::

u-: hI nin - 1 ) " IIIX"- h + x"-"h- + ... + nxh'"' + h"2=im-------------------------------------

/,,0 h

porque todos los terminos, excepto el primero, tienen h como factor, y , porti~~naQEn el ejemplo L se ilustra la regia de la potencia usando varias notaciones.

EjEt'lPLO !(a) Silex) = x(', c1espues!,Cx) = 6x5.

dy(c ) Si v =r. en sezuida - =4t',. ~ dt(b)(d)

Si y =](lOO, por 10 tanto y' =d l 0-(r) =3rdr


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!!E n la F ig ura 3 S8 m u es tra la fu nc io n y de le je m plo Z (b ) y s u de ri va d a y' . A dv ie rta q ue yno es de rivable en 0 (y ' n o e sta d efin id a a lii).O b se rv e q ue y ' e s p os itiv e c ua nd o y crece, yn e ga tiv a c u an d o y decrece.

2

F I G U R A 3y=$2

SECCION 3.1 DERIVADAS DE POLlNOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES I I I Ii. ,Que se puede decir acerca de las funciones potencia con exponentes enteros ne

vos? En el ejercicio 61 se le pide al lector que compruebe, a partir de la definicionderivada, que

d ( 1 ) I- ---dx X x2Por 1 0 que puede escribir de nuevo esta ecuacion como

y,por consiguiente, la regia de la potencia se cumple cuando I!=-I. De heche, en la secsiguiente [ejercicio S8e c)] se demuestra que se cumple para todos los enteros negatives.l,Que sucede si el exponente es una fraccion? En el ejemplo 3 de la seccion 2.8

contro qued I-JX=-dx 2JX

10 cual se puede escribir comod 1/' I 1/"- (x -) =;x- -dx -

Esto hace vel' que la regIa de lapotencia es verdadera incluso cuando Il=~De hecheIa seccion 3.6, se demuestra que es verdadera para todos los rnimeros reales 11 .

R EG LA D E LAPO lE N CIA (V E RS I6 ~~ G ENERAL) Si n es cualquier mimero real, entoncesd- (x") =x,,-Idx

EJEMPlO 2 Derive:1(a ) f(x) =-:;-x- (b) y = R

S O l U f l O N En cada caso, reescriba la funcion como una potencia de x.(a) Como I(x) = x-2 , aplique la regla de la potencia can Il= -2:

(b)La regia de la potencia permite hallar las lfneas tangentes sin hacer uso de la de

cion de una derivada, Ademas permite encontrar linea normales. La linea normal acurva C en un punta P es la linea a traves de P que es perpendicular a la linea tangen P. (En el estudio de 10 optica, necesita considerar el angulo entre un rayo de luzlinea normal allente.)


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176 1 1 I 1 CAPITULO 3 REGLAS DE DERIVACION

3~~--------'7~

f " " 'I

-IF IGURA 4

I t H E R P R E T A C I O H G E O H E T R I C A D E L A R E G L AD E L M U L T lP L D C O N ST A tH E

yA

~Y=2f(XI/-Y=f(X)

o x

La m ulfip lic ac lo n p ar c=2 e stira la g ra fic av ertica lm ente e n u n fa cto r d e 2. T od as la s8 1 evaciones s e h an d up lic ad o, p ero lo s a va nc esp erm an ec en ig ua le s. La s p en die nte s ta mb ie ns e d u p li ca n .

[!1j E jE MP LO 3 Halle la ecuaci6n de la recta tangente y de la linea normal a la curven el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas lineas.S O L U ( I O N La derivada de j(x) = xJX = XX!/2 =3 /2 es

De este modo, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es 1'0) =~Por conecuaci6n de la recta tangente es

La lfnea normal es perpendicular a la linea tangente de tal manera que, su penreciproco negativo de t es decir, - ~. Enestos terminos una ecuaci6n de la line

)' - 1=-~x - 1) 0 bien y =- ~x + ~En la figura 4 se traza la grafica de la curva y su recta tangente.

N UEV AS D ER IV AD AS A PART IR D E AN TER IOR ESCuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adicici6n 0 rnultiplicacion por una constante, sus derivadas se pueden calcular en tederivada de sus funciones anteriores. En particular, en la formula siguiente sela derivada de una constante multiplicada par una funcion es fa constante tpor fa derivada de la funcion.

REGLA D EL MU lT IPLO C O NST AN TE Si c es una constante y f es una funci6n den tal caso

d ddx [cf(x)] =c dx f(x)

c o r 1 P R O B A C I O t l Sea g(x) =f(x). DespuesI ( ) , g( x + h ) - g(x) , c f(x + h ) - c f(x)9 x =Im =hm -,-.;___-,-_-,--,--,-

h-O 1 1 "-0 h=im c [ f( x + / z ) - f(x) ]

h-O II, f(x + 1 2 ) - f(x)=C lim (pOl' la ley de los hmitcs 3)s-. II

=jl(X)E J E M PW 4

d d(a) - (3X4) =3 - (x") = 3(4x3) = 12x3dx dxd d d(b) dx (-x) = d x [(-I)x ] =(-1) dx (x) = -1(1) =-I

La siguiente regIa dice que fa derivada de una suma de funciones es laderivadas.


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"' S i s u tiliz a la n ota cio n d el a po stro fo .p ue de e sc rib ir la re gia d e la s um a c om o

(J+ g) ' =" + (i'

SECCION 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES I I I I

REGLA DE LA SUMA Si tanto Iomo 9 son derivables, entoncesd d d- [ J ( x ) + g ( x ) ] =f ( x ) + - g ( x )dx dx dx

P R U E B A F(x) =(x) + g(x), Entonces'() I, F(x + h) - F(x)F x =lin ---'--___;'---.:. .. . . .:.. . .

11-0 h, _ ~ [ " j ~ (_ x+ _ l _ : _ l ) + . .. .. .. :g ~ ( x _ + _ h . . :. .: )' - - -- - - - - - = . : : [ J ~C . . . . :: . x_ + _ _ " ' _ g C : _ ; x ) : . c ; . ]=IIm-h-O h

, [ / { X + II) - I ( x ) g ( x + h ) - g ( x ) Jhm + -"-'------''----'''-:_:_/,-0 II h, I ( x + h ) - I ( x ) ,g ( x + h ) - g ( x )=im + lfrn -"--'--_:'--~:_:_

/,-0 h /r-.o h (por la Icy I)=1'(x) + g ' ( X )

La regIa de la suma se puede extender a la suma de cualquier mirnero de funciones,ejemplo, si se apliea este teorema dos veces obtiene

(f + 9 + 1 1 ) ' =(f + g ) + Ii] ' =(f + g )' + h i =' + g ' + h 'Al escribir I- comoI+ (- 1) g Yaplicando la regla de la suma y la del nuiltiplo c

tante, obtiene la formula siguiente.

REG lA DE LA D IF EREN C1A Si tanto f como 9 son derivables, entoncesd d d- [ J ( x ) - g ( x ) ] =/ ( x ) - - gCx)dx dx dx

Estas tres reglas se pueden eombinar con la regla de la potencia para derivar cualqpolinomio, como se demuestra en los ejemplos que siguenEjEMPLO 5

d d d d d d= - (X S ) + 12 - ( x S ) - 4 - ( x 4 ) + 10 - ( x 3 ) - 6 - (x) + -dx dx dx dx dx d


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178 1 1 1 1 CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIVACION

p,

hJ\-5) h/3.-5)F I G U R A 5La curva y =X4 - 6,,2 + 4 ysus tangentes horizontales

! & ! . l I E J Et- 1P lO 6 Encuentre sobre la curva y =4 - 6x2 + 4, los puntos donde lagente es horizontal.S O L U C I O N Se tienen tangentes horizontales donde Ia d e r i v a d a es cero. Observe que

.vdy d ( 4 dod (-=- x) - 6-{r) +-4)dx dx dx dx=x3 - 12x + 0 =x(x2 - 3)

Asi, dy/dx = 0 si x = a x2 - 3 = 0, es decir, x =.. j3. Par eso, In curva datangentes horizontales cuando x =0, ..j3 y -..j3. Los puntos correspondientes so(. .j3, -5) Y(-. .j3, -5). (Vease la figura5.)EjEMPlO 7 La ecuacion de movimiento de una particula es s = 2f - 5t2 + 3t +donde s se mide en centimetros y t en segundos. Hallar la aceleracion como unadel tiernpo. L.CuuJes la aceleracion despues de 2 segundos?S O L U C I O N La velocidad y la aceleraci6n son

ds 0vU ) = - = 6r - 101 + 3dtdva(t) = dr = 12 t - 1 0

La aceleracion despues de 2 s es a(2) =14 cm/s",FU N CIO N ES EXPO N EN C IA lESIntente calcular la derivada de la funcion exponencial f(x) = ', aplicando la fuderivada

j(r + II ) (x) (1,,+1: - a"I'(x) = lfm ' . -, . = Hrn----/1-0 h 1


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lir _ 1 3" ~ 1Ii --- ---Ir h0 .1 0.7177 ! .161:? I( l .O I 0.6956 l.10470 . 0 0 1 0.6934 1.0991I 0 . 0 001 0.6931 1.0987

J i l l En el e je rc ic io 1 v era qu e e s e e n c ue n tr aen tre 2.7 Y 2.S. Mas ade ian te se ra capaz ded em os tr ar q u e e c on c in co c ifra s d ec im ale s e s

e = 2.71828

SECCION 3.1 DERlVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCJONES EXPONENCIALES 1 1 1 1

En la tabla que aparece a la izquierda, se da evidencia numerica de la existencia1 '(0) en los casas a =2 Y a =3. (Los valores se dan correctos hasta cuatro cifrascimales.) Parece que los lfrnites existen y

Para a=2 2" - 11'(0) =im "'" 0.69I I~O hPara a =3 3" - I1'(0) =frn = 1.1011-0 h

De hecho, se establecen los Iimites existentes y , correctos hasta seis cifras decirnales,valores son

d I( 2 . 1 ) =0.693147dx x~{) d I(3') = 1.098612dx x~()Por esto, de la ecuacion 4

d. .- (2-') = (0.69)2"dx d- (T') = (1.10)3-'dx

De todas las ecuaciones posibles para Ia base a de la ecuacion 4, se tiene la formulasencilla de derivacion cuando ['(0) =1. En vista de las estimaciones def '(O) para aya = 3, parece razonable que exista un mimero a entre 2 y 3 para el que /,(0) =tradicional denotar este valor can la letra e. (De hecho, asf se presento e en la seccionPar esto se tiene la siguiente definicion

DEFIN IC ION DEL NUMERO e

e es el mirnero tal que eli -lim---= 1h

Geometricamente, esto significa que de todas las funciones exponenciales posiblesa" la funcion f(x) =e' es aquella cuya recta tangente en (0,1) tiene una pendiente 1que es exactamente I.(Vease las figuras 6 y 7.)

y

(x, e') pendiente ""e'

x

F IGURA 6 F I G U R A 7

Si pone a = y, par 10 tanto, ['(0) = en Ia ecuacion 4, se convierte en la importaformula de derivacion que se proporciona a continuacion.


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180 1 1 1 1 CAPiTULO 1 REGLAS DE DERlVACION

iiI]3 Visual 3.1 aplica el alcance de unapendiente para exarninar esca formula

3

-IFIGURA 8

F IGURA 9

BEJERCICIOS

"

DERIVADA D E LA F UN C IO N EXPO N EN C IAL N AT URALd-(e')=e'dx

De donde la funcion exponencial f(x) =' tiene la propiedad de que es suvada. EI significado geometrico de esto es que la pendiente de una recta tangeny =' es igual a la coordenada y del punto (v ea se la figura 7) .~ E jEMPlO 8 S i f(x) =e' - x, encuentre f' y [". Compare las graficas deSOLUC IONSi se ap lica la regia de l a d if er e n ci a, tiene

d d df'(x) = - (e' - x) = - (e') - - (x) = e' - Idx dx dxEn la secci6n 2,8 se define la segunda derivada como la derivada de f " asf

f"(x) = 5!._ (e' - I) = 5!._(e\) - 5!._(l) = e". dx dx dxLa funcion f y su derivada f' se grafican en la figura 8. Observe que f tienegenre horizontal cuando x =; esto corresponde al hecho de que f'(0) =O.Aobserve que para x> 0, f'(x) es positiva y . f es creciente. Cuando x < 0, 1'(x)tiva y f es decreciente.E jE t> lP lO 9 {,En cual punto de la curva y =' la recta tangente es paralelay =2x?SOLUC IONComo y =e', tenemos y' =e. Sea a la c oo rd en ad a x del puntoDespues, la pendiente de la recta tangente en ese punto es e", Esta recta tangeralela a la recta y =x si tiene la misma pendiente; es decir, 2. Si se igualantes, tiene

e" = 2 a =n2Por 10 tanto, el punto requerido es (a , e") =In 2, 2). (Vease la figura 9.)

1. (a) l.C6mo se define el ruimero e?(b) Use una calculadora para estimar los valores de los lfrnites

2 . 7 1 1 -lfm--II-dl h y 2.81 1 -l[m---iJ-,O h(b) (,Que tipos de funciones son f(x) = e" y g(x)

Compare las formulas de derivacion para f y(c) (,Cual de las dos funciones del inciso (b) crec

rapidez cuando x es grande?correctos hasta dos cifras decimales, i.Que puede concluiracerca del valor de e?

3-32 Derive la funcion.

2. (a) Dibuje, a mano, la funei6nf(x) =': poniendo particularatenei6n a la forma en que la grafica cruza el eje y. (,Quehecho le permite hacer esto?

3. f(xl =186.55. f(t) = 2 - + ,7. f(:r) =' - 4x + 6

4. f(x) = .j366. F(x)=fxB8, f(t) =1 6 - 3t4


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SECCION 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES IIIII' )9. fU ) =j(I' + 8 1 0. h (x) =x - 2)(2r + 3)

12 . y = 5e ' + 314 . R (t} = 5t -J /5

121 5 A ( s ) =-.....,. s 1 6. E (y) =y~('1 7. G (x ) =., / " x - 2 e ' Ill. :r =.J;

. I2 0. 1 (t) =i - J i2 2 . y =X (x - !)

.\"2 - 2jX2 4 . y = __ --'-_

(I )'1 9. F (x ) = 2 X

x2 6. g Ilt ) = .,fill + . j 3 U

2 7 . !i(x) =x + x~I)3 b c28. \' = ae ' + - + - V v'2 9 . II =0 + 4# 3 0 . v =(X + ~ ~,

3 2 . y ="' 1 +

33-34 Hallar una ecuacion de la linea tangente a la curva en elp un t o que s e indica.3 3 . y =$, (1.1) 34. y =-l + 2x' -: x, (1.2)

35-36 Determine una ecuaci6n de l a t an gent e y la normal a lucurva en el punto dado.

(0,2) 3 6. y =I + 2x )" . (I, 9)) if j3 7- 33 F or rn ule una ecuacion para Ia tangente a la c ur va enel punto dado. Grafique la curva y la tangente en la misrnapantalla.37. y =x' - x" (1,2) ,3 8. y = .r - IX , (I,O )

f f i 39-42 Encuentre f' (x). Compare las gnificas de f y f' y uselnsenseguida para explicar por que su respuesta es razonable.39. f ( ; 1 : ) =e' - 5x 40. f(x) =x' - 20x' + s a x

I42 . fIx) = x + -x41 . f(x) = 3Xl5 - 5x 3 + 3a s 43. (a) Use una calculadora graficadora 0 una computadora parn

dibujar la funcion f(x) =' - 3 x J - 6x 2 + Tx + 30en elrectangulo de visualizacion [-3,5] por [-10,50]'

(b) Utilizando Ingnifica del inciso (a) para estimar pendientehaga a mano un boceto aproxirnado de la grafica de f' .(Vease el ejemplo I de Ia seccion 2.9.)

(c) Calcule f'(x) y use esta expresion. con un aparato grafidor. para dibujar f'. Compare con el boceto que traz6 usen el inciso (b).

~ 44. (a) Utilice un dispositive graficador 0 una computadora padibujar la funcion g ( x) = ' - 3 x" en el rectangulo devisualizacion [ -1. 4] por [ -8. 8].

(b) Aplicando la gnifica del inciso (a ) para estimar pendientehaga a mano un boceto aproximado de la gnificn de g'.(Vease el ejernplo I de la seccion 2.8.)

(c) Calcule g '(x) y aplique esta expresion, con un dispositiveficador, para dibujar g'. Compare co n su boceto del incise

45-46 Hallar In prirnera y segunda derivadas de la funcion45. f(x) = X4 - 3x' + 1 6 x [ill G(r) =j; +.;r;

~ 47-48 Hallar la primera y segunda derivadas de la funcion.Verifique para vel' que sus respuestas sean razonables al comparalas graficas de}: f' y f"47.f(x) = 2 x - 5X 31 4 4 8. f(x) = ' - x'~ La ecuacion de movimiento de una particula es .I' = r ' - 31, do

s esta en metros y ten segundos. Hallar(a) la velocidad y aceleracion como funciones de t.( b) Ia a ce le ra cio n d es pu es de 2 s, y(c) la aceleracion cuando la velocidad es 0

50. La ecuacion de movimiento de una particula ess =t3 - 7t~ + 4t + I. donde s esta en metros y tensegundos,(a) Hallar la velocidad y aceleracion como funciones de t.(b) Hallar la aceleracion despues de I s.

~ (c) graffque las funciones, posicion. velocidad y aceleracionla m ism a pa nta lla

! T I " J Encuentre los puntos sobre Incurva y = 2x} + 3 x ' - 12x +donde Ia tangente es horizontal

52".(,Para que valores de x tiene una tangente horizontal lagrafica def(x) =' + 3 x~ + x + 3'?

53. Demuestre que la curva y =x3 + 5x - 3 no tiene recta tagente con pendiente 4.54. Encuentre una ecuacion de la linea tangente a In curva y =x

que es paralela a Ia linea y = + 3 x55. Hallar una ecuacion de ambas lfneas que SOil tangente a la cu

y = + x3 y paralela a la linea 12x - y =~ 56. l.En que punto sobre la curva y = + 2 e ' - 3 x es la recta ta

gente paralela a la recta 3 x - y = 5. Ihistrelo dibujando la cuy ambas lfneas.

57. Establezca una ecuacion de la Ifnea normal a la parabolay =.~ 5x + 4 que es paralela a la linea x - 34 =


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182 1 1 1 1 CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIYACION

58. l,D6nde corta por segunda vez la normal a la parabolay = x ~ x" que pasa por el punto (1,0) ala misma parabola?Elabore un esquema,

~ Dibuje un diagrama para dernostrar que hay dos rectas tan-gentes ala parabola y =" que pasan por el punto (0 , ~4),Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectastangentes intersecan la parabola,

60. (a) Halle ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto(2, -3) que sean tangentes a la parabola y = Xl + x.

(b) Muestre que no hay ninguna linea que pase por el punto (2,7)que es tangente a la parabola. Cuando dibuje el diagrama verapor que.

6 1 . Aplique la definicion de derivada para demostrar que sif(x) =/x, despues f'(x) =1/x2 (Esto demuestra la regiade la potencia para el caso II=-1.)

62. Encuentre la derivada n-esima de cada funci6n calculando lasprimeras derivadas y observe el patron que se desarrolla(a) f(x) =1 (" f(x) = Ilx

63. Hallar un polinomio de segundo grado P de tal manera queP(2) = 5, pt(2) = 3, y P"(2) =

6 4. La ecuaci6n y" + y ' - 2 y = x1 se Ie denomina ecuaci6n diferen-cial porque involucra uno funcion desconocidu y y sus derivadasyt y y" . Halla r las constantes A, By e de tal manera que la fund6ny =x" + Bx + C satisface esta ecuaci6n. (Las ecuaciones dife-renciales se estudiaran con detalle en el capftulo 9.)

65. Hallar una funcion cubica y =x' + b. t2 + ex + d cuya graficatiene una tangente horizontal en los puntos (-2,6) y (2,0).

66. Hallar una parabola can ecuacion y = ax ' + bx + c que tienependiente 4 en x =. pendiente - 8 en x = -I, y pasa a travesde el punta (2, 15).

6 7. Seanf(x) =2 , - Xx- - 2x + 2 SI X e ; ; ;si x>

l,Es derivable f en I? Dibuje las graficas f y f'.68. i,En que valores la funcion siguiente 9 es derivable?

{-I -2x si x < - I

g(x) = x" si -I e ; ; ; x e ; ; ; Ix si x> 1

Proporcione una formula para gt y trace las graflcas de 9 y gt .

69. (a) l,Para que valores de x la funcion f(x) = I x 2 -derivable? Encuentre una formula para f'.

(b) Grafique f y f'.70 . i,D6nde es derivable la funci6n hex) =x ~ I I +

Proporcione una formula para h' y grafique h y h',71 . Determine la parabola con ecuaci6n y =., 2 + bx

tangente en (1, I) tiene por ecuacion y =x - 2.72. Considere la curva y = X4 + Q.\:J + bx' + ex + d qu

una linea tangente donde x = 0 can ecuacion y = 2xlinea tangente cuando x = con ecuacion y = +los valores de a, b, c y d.

1 m l ,Para que valores de a y b es la recta 2x + y = b tparabola y = ax2 cuando x = 2?

74. Hallar el valor de c tal que la Ifnea y = + x + 6 esl a c ur va y = J X . -

75 . Sea

{X2 si x",; 2Ix) = .IIlX + b si x> 2

Determine los valores de IIIy b que hacen que Iederivable.

76 . Se dibuja una recta tangente a la hiperbola xy =en(a) Demuestre que el punto medio de este segmento

que se corta de su recta tangente mediante los edenadas es P.

(b) Demuestre que el triangulo forrnado par la rectalos ejes de coordenadas tiene siempre la misrnaimportar d6nde se ubique P sobre la hiperbola,

x10 0 0 - I! l l J Evallie lim .,~l x - I78. Dibuje un diagrama en el que se muestren dos rectas

cui ares que se intersecan sobre el eje y, y son rangerabola y = x2 l,D6nde se intersecan estas rectas?

79. Si c >+, i,cuantas lfneas a traves del punta (0, c) snormales a la parabola y = Xl? i,que sucede si c e ; ; ;

80 . Dibuje la parabola y =r y =\2- 21 : + 2. l,Consexiste una linea que es tangente a ambas curvas? Dhallar su ecuacion. Si no es aSI, l ,Por que no?

CONSTRUCCION DE UNA MONTANA RUSAi\OYECTO DEAPUCACION Suponga que se le solicita que disefie el primer ascenso y descenso de una montana rusa n

pues de estudiar fotograffas de sus rnonta f ia s rusas predilectas, decide hacer la pendiente d0.8 y la del descenso -1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y =I (x) y y = Ldiante parte de una parabola y =(x ) = ax ' + bx + c, donde x y f(x) se miden en pies.el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de direccion, por 10 tanto des


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p fL , , ,JII

I Q

SECCION 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTOY EL COCIENTE 1 1 1 1

segmentos lineales L , y L2 sean tangentes a la parabola en los puntos de transicion P y Q . (Veasefigura.) Pam simplificar las ecuaciones decide situar el origen en P.

I. (a) Suponga que In distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en Gy c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transicion,

(b) Resuelva la ecuacion del incise (a) para G, bye para hallar una formula para f(x).~ (e) DibujeLI,fy L2 para verificar que las transiciones son uniformes.

(d) Encuentre la diferencia en elevacion entre P y Q.2. La solucion del problema Iquiza parezca suave, pero es posible que no se sienta suave deba que In pieza definida como funci6n [consistente de L,(x) para x 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejoel diseiio aplicando una funci6n cuadratica q(x) =x" + bx + c unicamente en el interval10 ~ x ~ 90 y conectandolo con las funciones lineales por medio de dos funciones ciibicas

g(x) = kx ? + lx " + mx + 1 1 0 ,,; X < 10hex) =x" + qx? + rx + s 90 < x ,,; 100

(a) Escriba un sistema de ecuaciones en II incognitas que aseguren que las funciones y sudos primeras derivadas coincidan en los puntos de transicion.i n s ! (b) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema de cornputo algebraico para encontlas formulas para q(x), g (x ) y hex).

(c) Dibuje L1, g, q, II Y L 2 Ycornparelos con las graficas del problema 1 inciso (e).

~~~~~~~~~ 3 .2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE

Utilill'

IIF I G U R A ILa geometrfa de la regla del producto

Las formulas de esta secci6n permiten derivar nuevas funciones formadas a partir deriores, por multiplicacion a division.

REGLA DEL PRODUCTOtilPar analogia can las reglas de la suma y la diferencia, podrfa sentirse la tentaci6npresumir -como Leibniz 1 0 hizo hace tres siglos- que la derivada de un product

el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposici6n es err6neconsiderar un ejemplo particular. Sea f(x) = y g(x) =2 Por 10 tanto la reglapotencia da j'(x) = y g'(x) =x. Pero (fg)(x) = x 3 , de modo que (fg)'(x) = 3 x 2 .eso, (fg)' f'q', La formula correcta fue descubierta par Leibniz (poco tiempopues de su falso inicio) y se llama regIa del producto.Antes de enunciar la regIa del producto, vea como podrfa descubrirla. En el caso

de tanto II =(x ) como V = g(x) son funciones positivas, puede interpretar el produu como Ull area de Ull rectangulo (vease la figura 1). Si x cambia una cantidad 6.xseguida los cambios correspondientes en IIy V son

1 1 1 1 =(x + 6.x) - f(x) 6. v =(x + 6.x) - g(x )tilly el nuevo valor del producto, (1 1 + flu)(v + fly), se puede interpretar como el arearectangulo grande en Ia figura 1 (siempre que 6. u y I1 v sean positives).EI cambia en el area del rectangulo es

\IT ] l1(uv) =u + l1u)(v + 6.v) - lIV =U 6. v + v 6.11 + 6.11 I1 v=a suma de las tres areas sombreadas


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!I l l Rec ue rd e q u e e n Is n cta cio n d e L eib niz lade f in i ci o n de d e r i v a d a s e p u e de e s cr ib i r c om o

(N ii\'--'-=fm -'dx ~,--" iix

!!l E n n o t a c Io n pr ima(fg)' =9' + ! J 1 '

I!I En la fig ur a 2 s e m u es tra n la s g ra fic as d el a f un ci 6 n f d el e je m plo 1 y s u de r iv a da f' .Adv ie r ta q ue f' (x) es pos it iv a c uandof crecey nega ti v a c uando f disro inuve.

f-1

F IG U R A 2

Si divide entre 6.x, obtiene

L l ( l l V ) = u ~ + v~ + !!..u~!!..X !!..X 6.x !!..XSi ahora hace que 6.x ---70, obtiene la derivada de u u .

d 6.(u v) (6.v!!..u 6.v)-(uv) = lfrn -- = fm u- +v- + !!..u-dx a,~O 6. x a,-O 6.x !!..X !!..X!!..v 6.u= lim ~ + v lim ~ +ax-'O ux /lx-'O ux ( ) ( 6.v)lm!..u Ifm-/1,-0 /lx~O 6. x

dv du dv=u-+v-+O-dx dx dxd dv du-(Ltv)=u- + v-dx dx dx

(Advierta que A u ---70 cuando 6.x ---70, puesto que f es derivable y, por 10 tatinua.)Aun cuando se parti6 de la hipotesis (para la interpretacion geometrical que

cantidades son positivas, observe que la ecuaci6n 1 siempre es verdadera. (Ees valida si 1I,v, 6.u y !!..vson positivas 0 negativas.) De modo que ha probado Ia ecconocida como regia del producto, para todas las funciones diferenciables 1/ y u .

R E G L A D E L P R O D U C T O Si tanto f como g son derivables, en tal casod d d-d [J(x)g(x)] =(x) - [g(x)] + g(x) -d [j(x)]x dx x

En palabras, la regia del producto expresa que fa derivada de !Ill producto deciones es fa primera funcion multiplicada par fa derivada de fa segunda funcionsegundo funcion. multiplicada par fa derivada de Laprimera funcion.EJEM PLO I(a) Si f(x) = xe', encuentre f '(x),(a) Hallar la n-esima derivada, j C " ) ( X ) .S O L U C I O t l(a) Por la regla del producto se tiene

d . d df'(x) =- (xe") = - (e") + e" - (x)dx dx dx=e" + e' , 1 = (x + l)e-'

(b) Aplicando la regIa del producto una segunda vez se obtiened d df"(x) = - [(x + 1)e"] =x + 1)- (e") + e' - (x + 1)dx dx dx

=x + l)e' + e' I =x + 2)e'


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g; En a l e je mp lo 2, a y b s on c on sta nte s. E nm a te rn atic as e s h ab itu a l a plic ar tetras cercad el in ic io d el a lfa be to p ara re pre se nta rcons tan tes y la s le tra s ce rca na s d el fin al d ela lf ab e to r ep re s en ta n v a ri ab le s

SECCJON 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 1 1 1 1

La aplicaci6n adicional de laregia del producto proporciona1 '1 /(x) =x + 3)e' f(4 ) ( X ) =x + 4)e '

En realidad, cada derivada que sigue adiciona otro termino e', de esa manera

E jEM PLO 2 Derive la funci6n J(t) = - I i (a + bt).S O lU C lO N I Si se aplica l a r e gl a del producto, t i e n e

f'(t) =I i 3_ (a - b t) + (a + b t) 3_ ( - I i )dt dt=I i . b + (a + bt) 4(-1/2=-li + a + bt =a + 3bt2 - 1 i 2 . J i

S O l U ( l O N 2 Si en primer lugar usa las Jeyes de los exponentes para volver a escribir I(t),despues puede proceder directamente, sin aplicar la regla del producto.J(t ) = a-li + bt-li = atl/2 + bt''?f'(t) =arl/2 + ~bt1/2

la cual equivale a la respuesta de la soluci6n 1.En el ejemplo 2 se muestra que a veces es mas facil simplificar un producto de func

nes que utilizar la regla del producto. Sin embargo, en el ejemplo 1 esta regia es el unrnetodo posible.

E jEMPLO 3 Si J (x ) =jX g (x ), donde g (4 ) = y g ' (4 ) =3, encuentre f ' (4).S O l U [ I O N Si se aplica la regia del producto, obtiene

f '(x) =: ! _ [ . jXg(x)] =X d d [g(x)J + g(x ) d d [ . jX]~ x x=Xg ' (x ) + g (x) ~x -1 /2 =jXg'(x) + g ( J_2"x

De este modo 1 ' (4 ) =J 4 g ' (4 ) + ~~ = . 3 + 2 ~ 2 =.5REGLA DEL COCIENTEEncontrar una regia para derivar el cociente de dos funciones derivables u = I(x)v =(x ) de manera muy similar a como se encontr6 la regia del producto. Si x , IIcambian en cantidades LlX, Su Y LlV, en tal caso el cambio correspondiente en el cociete u io e , "

(II + LlII)V - tI(v + LlV)v(v + LlV)u + Lluv + LlV VLlu - ULlVv(v + !:.v)uv


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r a e 1 1 1 1 CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIVACION

III E n n ura cio n p um a

( L ) ' = ir ~NY !J

fill f 'u e a~ u s ar U II a ~a ra lO g la ii ca d or p ar aCOiIlPIUlldf 4U~ ra raspuesta a i e jernp lo 4 asp l~U, , 1U I& ,til l i l l lQUIa 3 S 8 m u e str an ia s g n if iC O" n e ta tu nu nn ae ese 8Jem plu y s u uB f lv a da .Au vie rta q ue e ua nc o Y G I ec e C O n rapidez(c ele B De -2), y' es g ran de Y cu and o yC IB e e c u n r en n tu o . y' es ta ce rca ria a 0

L5

-1.5fjGU RI\. 3

por eso

_ ! ! _ ( ! : ! _ ) =lim b.(u/v) =limdx v ~,-o b.x ~,-,ob.u b.vv-- 11-b.x b.xv(v + b.v)

A medida que b.x --;. 0, b.v --;. 0 tambien porque 9 es derivable y par eonsiguietinua. Asf, al aplicar las leyes de los lfrnites, obtiene

_ ! ! _ ( ! : ! _ ) =d x vb . 1 I b.vv Ifm - - 11 lim -~,-ob.x ~,-ob.x

v Ifm (v + b.v)~\'-)O

du dvV-l1-d x d x

R EGLA D E L C O C IE N TE Si tanto f como g son diferenciables, entoneesd d_ ! ! _ [ f(x) ] =g(x) dx [j(x)] - f(x) dx [g(x)]

dx g(x) [g(x)r

En palabras, en la regia del eoeiente se expresa que la derivada de un cocientenominador multiplicado par fa derivada del numeradot; menos el numerador mdo por fa derivada del denominadot; todo dividido entre el cuadrado del denomiLa regIa del coeiente y las otras formulas de derivacion permiten calcular la

de cualquier funcion racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente.x2 + X - 2~ E jEMP lO 4 Sea v =, .Entonces. x + 6

3 d 0 0 d 3(X ' + 6) - (X " + X - 2) - (x' + x - 2) - (x + 6)dx dx(x 3 + 6 P

(x3 + 6)(2x + 1) - (X 2 + X - 2)(3x2 )(X 3 + 6 )2

(2x4 + x3 + 12x + 6 ) - (3x4 + 3x3 - 6x2)(x 3 + 6?

-x4 - 2x3 + 6x2 + 12x + 6(x3 + 6 f

i.'!j E JE MPLO 5 Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la curva y =e'/(1el punto (1, e/2) .S O L U C I O t l De acuerdo con la regla del cociente

od d 2(1 + x-) - (e-') - e' - (1+ x )dy = d _x ~~d x --------dx (1 + X2)2

(l + x2 )eX - eX(2x)(1 + x2)2

e X(1 - X )2(1 + x2f


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SECCION 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTOY EL COCIENTE 1 1 1 1 1

2.5 De modo que la pendiente de la recta tangente en (1, +e) es

-2 ,,=:::'___-L_~_~ _ __" 3.5o

dy I = 0dx . > : ~ IEsto significa que la recta tangente en (1, +e) es horizontal y su ecuacion es y =+e. [VeaIa figura 4. Advierta que la funci6n es creciente y cruza su recta tangente en (1, +e).]F IG U R A 4[Jillrj[J No use la regIa del cociente cada vez que yea un cociente. A veces es m

facil volver a escribir un cociente para ponerlo en una forma que sea mas sencilla para lfines de derivaci6n. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la funcion

3x2 + 2/XF(x) =--___:__xaplicando la regIa del cociente es mas facil dividir primero y escribir la funcion como

F(x) =x + 2 x-1/ 2antes de derivar.Se resumen las formulas de derivaci6n que ha aprendido hasta el momento como se de

cribe a continuaci6n:

T A B L A D E F O R M U L A S D E D E R IV A C IO N d- (c) =0dx(ef)' =f'(tg)' =g' + g1'

_~ EJERCICIOSI. Encuentre la derivada de y =x 2 + l)(x3 + 1)de dos maneras:aplicando la regIa del producto y efectuando primero Ia multi-plicacion. l ,SUS respuestas son equivalentes?

2. Encuentre In derivada de la funci6nx - 3 x.jXF(x)=--=~.jX

de dos maneras: primero aplicando la regia del cociente ysimplificando. Demuestre que sus respuestas son equivalentes,l,Cm11metoda prefiere?Derive la funcion

f(x) =xl + 2xk' 4. g(x) =X e:e:6. y=-1 + x

d- (x") =x"? 'dx d-(e-') =:dxU+ g) ' =' + g' (f - g) ' =' - g'

g1' - fg'g 2

3 x - I7. g(x) =--2x + I9 . Vex ) =2 x3 + 3)(x 4 - 2x)10 . Y (u ) =1 1 - 2 + U - 3 ) ( I I ' - 2u 2 )[1J F(y) = J , - ~ ) ( y + 5i)y' y12. R(t) =t + et)(3 - ,fi)

2t8. f(t) =4 -,+ t :

x313 . )' = 1 - Tr+ 215 . y =4 33 1{ - t +

x+l14 . y = --::----x3 + X - 2I t16 . ')I = ( )'I - I.

118. y=---s + ke'17. y =1 '2 - 21')e'


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188 1 1 1 1 CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIYACION

v' ~ 2vJV19. v = - __ "'--, v2 t2 1 . f(t) = r:2 + vI t - J i2 2 . g(t)=~

. A23 . .f (x) =B + Ce' 1 ~ xe"24. f(x) =--.r + e[ill f(x) =_'-'-cx+-x

ax + b26. f(x)=--ex + d

27-30 HallaI' [,(x) y j"(x)27. f(x} = ,,4e' 28. f ( x ) =5!~e'

.r "29. f(x)=--. 1+2. x301( .r) =--3 + e'

31-32 Encontrar una ecuacion de In linea tangente a la curva quese proporciona en el punta especifico,

2x31. v=-- (11). x + 1" e\'32 . y =~' (I,e)

33-34 Halle ecuacianes de las rectas tangentes y de las rectasnorrnales ala curva dada en el punta que se especifica,

[ill y =xe'. (0,0) .jX34. v =--. (4,0.4). x + 1

35. (a) La curva y = I/(l + x") se llama bruja de AgnesLEncuentre una ecuacion de la recta tangente a estacurva en el punta ( - I, ~).ff i (b) Ilustre el inciso (a) trazando Ius graficas de la curva y larecta tangente en la misrna pantalla,

~ (a) La curva y =/(l + x~) se llama serpentina. Encuentreuna ecuacion de la recta tangente a esta curva en el punta(3,0.3).

(b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente enla misma pantalla ..

37. (a) Si I(x) = e'[x': encuentre I'(x).~ (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable

comparando Ius graficas de f y i'.38. (a) Si f(x) =/(x" ~ 1), halle rex) .I 'E (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable

cornparando las graficas de f y [' .

39. (a) 5if(x) =x - lie', hallar j'ex) y /"(x).~ (b) Verifique para vel' que sus respuestas en el in

razonables al comparar los graficas de t.I' y@ Q J (a) Si f(x) =/(.\.1 + 1), hallar [,(x) y rex).r u (b) Verifique para camprobar que sus respuestas e

son SOil justas 01 cornparar los graficas de i.j41. Si fix) =1/( I + .r), hallar /,,(1).42 . S i g(x) =le", hullar d'll(x).~ Suponga que f(5) = l , F(5) = 6, g(5) =3 y

cuentre los valores siguientes(a) (fg)'(5)(e) (gm'(5)

(b) (J /g ) ' (5)

44. Considere que f(2) = - 3 ,g(2) = 4, 1'(2) =g'(2) =7, encuentre h'(2).(a) h ( . . ) = 5f(x) ~ 49(X) (b) hex) =( x ) ( 1 ( X

( 1(d) lI(x) =.1 +f(x)(c)h(.I:) =-g(x)

~ Si f ix) ='9(x), dande g(O) = 2 y g'(O) =, ha46. Si h(2 ) = 4 Y h' (2) =3, encuentre

47. Si f Y9 son las funciones cuyas graficas se ilustr1 1 ( . < ) =( . I : ) ( 1 ( , ' ) Y v ( x ) = f ( x )/ ( 1 (; I :) .(a) Encuentre rr'(I) . (b) Encuentre v'

.~ .1-- - - - . . . . . . .r -, Ilf /"" r < - -y . " /(J_ 1- 1-. !I",/""0 I .\48. Sea Pix) = F(x)G(x) y Q(x) =(x)/G(x), donde

las funciones cuyas graficas se muestran(a) Encuentre P'(2). (b) Encuentre Q

'\\ FI--' c.---'r"'-, /,//"


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SEC CION 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS IIIISi 9 es una funcion derivable. encuentre una expresion para laderivada de cada una de las funciones siguientes,(a) y =g(x) .r(b) v =-

o g(x)g(x)(c) y=-x

[ s ] ; ] Si f es una funcion derivable, encuentre una expresion para laderivada de cada una de las funciones siguientes,

(a) y = x"f(x) (b) y =(.~)o r-.x 2(c) V =--. f(x) I+ xf(x)(d) y =-----,:.-'--- I X

@ i,Cll(intas rectus tangentes a la curva y =/(x + I) pasan porel punto (1, 2)? i,En que puntos toea la curva estas rectastangentes?

52. Encuentre las ecuaciones de las rectus tan gentes a la curvax-Iy=--x+l

que sean paralelas a la recta x - 2 y =.53. En este ejercicio estirne la proporcion a IIIque se esta

elevando el ingreso personal total en el area metropolitana deRichmond-Petersburg, Virginia. En 1999, la poblacion de estaarea era 961 400 y la poblacion aumentaba en alrededor de9 200 personas al afio, EI ingreso anual promedio era $30593per capita, y este promedio aumentaba en cerca de $1 400 al afio(Iigeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de$1 225 al ano). Use la regia del producto y estas cifras paraestimar la proporcion en la que estaba aumentando el ingresopersonal total en el area de Richmond-Petersburg en 1999.Explique el significado de cada termino en la regia del producto.

54. Un fabricante produce rollos de una tela con un anchofijo. La cantidad q de esta tela (rnedida en yardas ) que se ven-de es funcion del precio de ventap (en dolares par yarda), de

modo que q = f (p). Luego el ingreso total que se percibe cel precio de venta pes R(p) =f (p).(a) lQue significa afirrnar que f (20) =10000 y

f ' (20) = - 350?(b) Suponiendo los valores del incise (a), encuentre R'(20)

e interprete su respuesta.~ (a) Utilice la regia del producto dos veces para probar que s

9 y 11son derivables, en tal casoUgh)' =gh + fqth + fgllt.

(b) Tome f = g = en el inciso (a) y demuestre qued [ r [ ]"f(x) , = 3 f(x) -f (x )dx

(c) Aplique el resultado del inciso (b) para derivar y = e3 ,.56. (a) Si F(x) =f(x)g(x), donde f y g son derivables en todos lo

ordenes y dernostrar que F" ='e + 21'g ' + fg".(b) HallaI' formulas similares para F" y p41,(c) Intente una formula para F ( ' ! ' ,

57. Hallar expresiones para las prirneras cinco derivadas def(x) = x"e". (,Observa algun patron en estas expresiones?Intente una formula para roU . : ) y compruebe aplicandoi nd uc cio n m a tem at ic a.

58. (a) Si 9 es derivable la regia del reciproco dice que!!_ [ _ 1 _ ] _ _ g'(x)dx g (x ) - [g (x) ]"

Aplique la regia del eoeiente para comprobar la regia dereciproco

(b) Utilice la regia del recfproco para derivar la funcion delejercicio 18 .

(e) Utilice la regla del recfproco para comprobar que la regla dpotencia es valida para mimeros enteros negatives, es decir

para todos los mimeros enteros positives n.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS1 iI En e l apend ice D se da un repaso de la sf unc iones t r iq onn rne tr i ca s

Antes de iniciar esta seccion, quiza podrfa necesitar repasar las funciones trigonometricaEn particular, es importante recordar que cuando habla de la funcion f definida para tolos nurneros reales x por

f(x) =en xse entiende que sen x significa el seno del angulo euya medida en radianes es x. Se cupIe una convenci6n similar para las demas funeiones trigonometricas: cos, tan, esc, secot. Recuerde, por 1 0 que se vio en la secci6n 2.5, que todas las funciohes trigonometricIson continuas en cada mirnero en sus dorninios.Si traza la grafica de la funci6n f(x) =en x y utiliza la interpretacion de 1'(x) co

la pendiente de la tangente a la curva seno para trazar la grafica de l'(vease el ejercicio


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Iij]3Visual 3 .3 muestra una anirnacionde la figura I

F IG U R A I

l1( S e u sa l a f o r m u la d e la a d ic i6 n p a r a el sene.V e a se e l e p e n c i c e D .

de la seccion 2.8), parece que la grafica de esta ultima es la misma que Ia cu(vease figura 1).

yy =Iix: =sen x

x

y

x

y= f'(x)

Intente confirmar la conjetura de que si f(x) = sen x, por 10 tanto f'(x) = cos x.la definicion de derivada

f 'ex) = lim f( x + h) - f(x) = Ifm sen(x + I x ) - sen xI I~O h I I~O 1 1

sen x cos h + cos x sen h - sen x=im -------------- h[sen x cos II - sen x cos x sen h ]=Ifm +----I I~O 1 1 h

= lim [sen x (cos h - I) + cos x (_se_n_h)]11-0 h h

O J cos h - sen h= lim sen x . lfrn ---- + lim cos x . lim --Ii-.O 11-0 h 11-0 Ii-.Q hDos de estos cuatro lfrnites son faciles de evaluar. Puesto que se considera a x ctante al calcular un lfrnite cuando h --?0, tiene

lim sen x = sen xh--"O

y lim cos x = cos Xh-O

El Ifrnite de (sen h)jh no es tan obvio. Con base en Ia evidencia numerica y grejemplo 3 de la seccion 2.2, se infiere que

sen e~~n-e-1Ahora, use un argumento geometrico para probar la ecuacion 2. Suponga primerencuentra entre 0 y 7 T /2. En la figura 2(a) se muestra un sector de cfrculo con0, angulo central e y radio 1. Be se traza perpendicular a OA. Par la definicion


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D

o ~--- -- -- -~~--~C A

(a)

(b)F IG U R A 2

iii Mult ip li qu e e l n u me ra d or y e l d e nom i na do rp o r c o s I) + I para poner la funci6n en unafo rm a e n qu e pu ed a usa r los lim ites qu ec o n o c e .

SECCION 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETR1CAS I I I I

arco A B =8.Asimismo, I BC I = lO B I sen 8 = sen 0 . Con base en el diagrama, se ve qI BC I < IA B I < arco A B

En eonseeueneia sen f J--


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192 I I I I CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIVACION

1l I La fig u ra 3 m ue s tra las g rM ic as de lafu n c io n d e l e jem plo 1 y s u d e riv ad a . A dv ie rtaqu e y' = s ie mp re q ue y te ng a u na ta ng en tehor izonta l .

5

-5F IG U R A 3

cos e - 1 =1~ eSi ahora pone los lfmites (2) y (3) en (1), obtiene

cos h - 1 sen hf'(x) =im sen X' Ifm + lim cos x . Hm--iI-,O {,->O h 11-0 , ,-0 h= (sen x) 0 + (cos x) 1 = cos x

As! ha probado la formula para la derivada de la funcion seno:

d- (sen x) =os xdx

i.!j E J E M P L O I Derive y =2 sen x.S O L U C I O l lCon l a r e g l a del p r o d u c t o y la formula 4 , tiene

dy ? d d ,- = x- - (sen x) + sen x - (x-)dx dx dx=2 cos X + 2x sen x

Si se aplican los mismos metodos que en la demostracion de la formula 4, se pbar (vease el ejercicio 20) que

d- (cos x) = +sen xdxTambien se puede derivar la funcion tangente aplicando la definicion de deriv

es mas facil usar la regia del cociente con las formulas 4 y 5:d d (sen x )(tan x) =- --dx dx cos x

d dcos x - (sen x) - sen x - (cos x)dx dx

cos x . cos x - sen x ( - sen x)co s2x

co s2x + sen2xco s2x


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!ll C ua ndo m em oric e e sta tab la , res ulta u tiln o la r qu e los s ig nos m enos van con lasd eriv ad as d e la s "c ofu ne io ne s": e s d ec ir,coseno, cosecante y cotangente.

3

-3 \ )'\ (\-3

F I G U R A 4Las tangentes horizontalesdel ejemplo 2

o4s

F IG U R A 5

SECCION 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS I I I I

d ,- (tan .r)=ec,d xTarnbien es facil hallar las derivadas de las funciones trigonornetricas restantes, esc. se

cot, aplicando la regla del cociente (vease los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente apaeen todas las formulas de derivacion de las funciones trigonometricas, Reeuerde que svalidas solo euando x se mide en radianes.

D E R IV A D A S D E L A S F U N C I O N E S T R I G O N O M E T R IC A S

d- (sen x) =cos xd xd- (cos x) =sen xdx

. ! : ! _ (tan x) =ecirdx

d- (esc x) =esc x cot xdxd- (sec .r) =ec x tan xdxd 0- (cot x) =esc-xdx

sec xEjEM PLO 2 Derive f


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194 I I I I CAPITULO 3 REGLAS DE DERIVACION

F IG U R A 6

lliI Busque la norma

Observe que sen Tx - 7 sen .r.

Encuentre la velocidad y la aceleracion en el instante t y uselas para analizar el mdelobjeto.~ O l U C I 6 N La velocidad y Ia a c e l e r a c i o n son

ds d{ d(v =- =- 4 cos t) =4 - cos t) =4 sen [dt dt dtdv d da=- =- (-4sen t) =-4- (sen t) =-4cos tdt dt dt

El objeto oseila desde el punto mas bajo (s =4 em) hasta el punta(s =-4em). El periodo de la oscilacion es 27T, el periodo de cos t.La rapidez (magnitud de la velocidad) es 1 v 1 =1 sen t I , la eual es maxima

1 sen t 1 = ; es decir, cuando cos t = . De modo que el objeto se mueve conrapidez cuando pasa por su posicion de equilibrio (s =0). Su rapidez es 0 cuat =; esto es, en los puntos alto y bajo.La aceleracion a =4 cos t = cuando s =O.Alcanza la magnitud ma

puntos alto y bajo. Observe la grafica en la figura 6.

E JE M PL O 4 H allar la v igesim a septim a deriv ada de cos x.~ O L U C I 6 N Las primeras derivadas de f(x) cos x son como sigue:

rex) =sen xf"(x) =cos xI "'(x) =en xj


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SECCION J.J DERIVADAS DE LAS FUNClONES TRIGONOMETRICAS I I I ISi eonsidera 8 =x , entonees 8 --:> 0, cuando x -'> 0, de este modo, mediante laeeuaci6n 2

sen 7 x 7 (sen 7 X ) 7 sen e 7 7lim --- = - Ifm --- = -Hm -- = - . I =-X~ O 4 x 4 x-a Tx 4 x-,o e 4 4

~ E jEM PlO 6 Calcule Ifm x cot x.x - oS O L U C I O N En este caso se divide tanto al numerador como e l denominador entre x :

x cos xlim x cot x =im ---x-o x-a sen x., , cos x . ! ~ : 6cos x..r= lfm --- =_;:_....::...._-x-o sen x sen xlim-x x-a x

cos 0 (scgun lu cuntinuidad del coseno yin ecuacion 2)=I

_ @ ] EJERCICIOSJ . f(x) =.,2 - 2 cos x 2 . f(x) = J x sen x

21-24 Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva daen el punto especificado.

1-16 Encuentre las derivadas de:

3. f(x) =en x + + cot x5. get) =3 cos t

4. y = 2 esc x + 5 cos x 21 . y =ec x, ( 1 T/ 3 , 2 ) ~ y =" cos x , (0, 1)6 . get) = 4 sec t + tan 1 2 3 . y = + cos x, (0, 1) I24. y = , (0,sen.>; + cos x7. h e e l = esc 0 + e" cot e 8. y ="(cos II + cu )

xWy=--2 - tanx T I+ sen xO .y=---x + cosx1 1. f(O ) =. sec f}1 + sec f} 12 1 - sec x.y=tan x

25. (a) Halle una ecuacion de la recta tangente a la curvay =2x sen x en el punto (nl2, 1 T ) .ffi (b) I1ustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangentela misma pantalla.

1 3 _ senx.y-~ 1 4 . y = esc f} (0 + cot e) 26. (a) Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la curvay = sec x - 2 cos x en el punto ( 1 T / 3 , I).m (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangentla misrna pantalla.

15 . f(x) =x' esc x 16. y =ren x tan xd17 . Pruebe que - (esc x) = + csc x cot x.d x

27. (a) Si f{x) =en x - x, encuentre 1'(x).r n (b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso (a) esrazonable trazando las graficas deIy f' para I x I < rT

I d8 . Pruebe que - (sec x) =ec x tan x.d x 28. (a) Si I(x) = e: cos x, calcule 1'(x) y f"(x).r n (b) Verifique que su respuesta del inciso (a) sea razonablegraficando I. f' y r.

[!2J Si H(e) = sen e haIlar H'(e) y H"(O)30 . Si f(x) =ec x, hallar 1"( 7T!4).

19 d . Pruebe que - (cot x) =cscx.d x20. Aplique la definicion de derivada y pruebe que si

Ifx) =os x, por 10 tanto I '(x) = -sen x.


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196 IIII CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIVAC10N31 . (a) Aplique la regIa del cociente para derivar la funcion,

j(x) = tanx -sec x(b) S im plifique la expresi6n de f(x} expresandola en terminos

de sen x y cos x yen seguida halle r e x ) .(c) Demuestre que sus respuestas a los incisos (a) y (b) son

equivalentes32. Considere f (rr/3) = Y r ( r r /3) =2, y sea

g(x) = j(x) sen xy cos ,rh(.t) =--f(x)Hallar (a) g'(rr/3) y (b) h'(rr/3).

~ (,Para que valores de x la gnifica de j(x) = + 2 senr tieneuna tangente horizontal?

34 . Determine los puntos de la curva y = (cos x)/(2 + sen x) enlos cuales la tangente es horizontal.

35. Una masa en un resorte vibra horlzouralmente sobre unasuperficie lisa y nivclada, en un movimiento armonico simple.(Vease la figura.) Su ecuacion del movimiento es xU ) = 8 sent, donde testa en segundos y x en centfrnetros.(a) Encuentre la velocidad y aclaracion en el instante 1.(b) Encuentre la posicion, la velocidad y la aclaracion de

la masa en el instante 1= 2rr/3. (,En que direcci6n sedesplaza en ese instante?

posicion deequilibrio

r n 36. Una banda elastica cuelga de un gaucho, con una rnasa sujetaen su extreme inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajoy , lucgo, se deja en libertad, vibra verticalmente en unm ov im ie nto a rm onico simple. La ecuacion del movirniento ess = cos t + 3 sen t , t "" 0, donde s se mide en centfrnetros yt en segundos, (Tome la direccion positiva correspondientehacia abajo.)(a) Encuentre la velocidad y la aceleracion en el instante l.(b) Dibuje las funciones velocidad y aceleracion.(c) i,Cuando pasa la ruasa por la posici6n de equilibrio por

primera vez?(d) l.Cuun lejos de su posicion de equilibrio viaja la masa?(e) i,Cuando es maxima la magnitud de la velocidad?

~ Una escalera de 10 pies de largo esta apoyada sobre uvertical. Sea e el angulo entre la parte superior de la esla pared, y x In distancia del extremo inferior de aquellapared. Si el extreme inferior de la escalera se desliza ade la pared, i,con que rapidez cambia x con respecto ae =7f/3?

38 . Un objeto con peso W es arrastrado a 10 largo de unhorizontal por una fuerza que actua a 10 largo de unasujeta al propio objeto, Si la cuerda forma un unguloel plano, despues la magnitud de la fuerza es

F =__ , - - f . L _W_f. L sen () + cos e

donde f. L es una constante llamada coeficiente d e friccio(a) Encucntre la relaci6n de cambio de F con respecto(b) l,Cuundo es igual a 0 esta relacion de cambio?'(c) S i W = 50 Ib y f. L = 0 .6 d ib uje In gr rific a de F com

de () y usela para localizar el valor de e sta u lti mael cual dF/de =. i,Resulta coherente el valor conrespuesta al inciso (b)?

39-48 Determine el limitesen 3x39.lfm---

t-O xsen 4x40.1[111---.,-0 sen 6x

r.1Tl tan 6tL!l! J lim ---r-O sen 21cos O > :42 . Ilm---

0-,0 sen e, sentcos ())

43. lim----lj-[) sec e sen" 3t44.lfm--,-r-[) t:! 'Ai:l I' sen ()t 1 1 J 1 1 1 1 - -- -O-,iJ () + tan () , sen (r)46. hm--.t-O x

I- tanr . sen(.r - I)48. IIm --::-,---'-


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e ly dy dudx du dx

SECCION 3.4 LA REGLA DE LA CADENA llll

el que se il~stra en la figura. Si A(e) es el area del semicfrculoy B(8) es el area del triringulo, halle

IiQ En la figura se muestra un arco circular de longitud s y unacuerda de longitud d, los dos subtendidos por un dngulo cen8. Encuentre

lim A(8)0-0+ B(8)

slim0-,0' d

R

~~~~~~~~~ LA REGLA DE LA CADENASuponga que se le pide derivar la funci6n

F(x) = \/x~ + 1

Ve a la s sc ciu n 1 .3 p ar a un r ep a so d elu n cio ne s o om o u as ta s

Las formulas de derivaci6n que aprendio en las secciones anteriores de este capitulo ncapacitan para calcular F'{x).Observe que F es una funci6n compuesta. De hecho, si hace y =(u ) =U

1I =(x ) =~ + 1, en este caso puede escribir y = (x ) =(g(x)), es decir, F ==Sabe c6mo derivar tanto f como g, de modo que serfa Uti! contar can una regia que Ie dc6mo hallar la derivada de F = fog en terminos de las derivadas de f y g.Resulta que la derivada de Ia funci6n compuesta fa 9 es el producto de las derivadde f y g. Este hecho es uno de los mas importantes de las reglas de derivaci6n y se

ma regla de fa cadena. Parece plausible, si interpreta las derivadas como relacionescambia. Considere duf dx como la relacion de cambia de II can respecto a x, dyf dumo la relaci6n de cambia de y en relacion a It y dy/du como la relaci6n de cambiay can respecto de .r. Si u cambia el doble de rapido que x y y tres veces de rapido que 1este caso resulta razonable que y cambie seis veces de rapido que x y , por consiguiente,pera que

ely dy dudx du dx

R E G L A D E L A C A D E N A Si 9 es derivable en x y f en g(x), poria tanto la funci6ncompuesta F =o 9 se definen mediante F(x) =(g(x)), derivable en x y F' estadada par el producto

F ' (x ) = f'(y(x)) . g ' (x )En la notaci6n de Leibniz, si tanto y =(u) como II=(x) son funciones diferen-ciables, por 10tanto


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198 IIII CAPITULO 3 REGLAS DE DERIVACI6NC O M E N T A R IO S S O B R E L A D E M O S T R A C IO N D E L A R E G L A D E L A C A D E N A Sea fluen u correspondiente a un cambio de flx en x; es decir

Au =(x + flx) - g(x)POI' 10 tanto el carnbio correspondiente en y es

fly =(u + Au) - j(u)Resulta tentador escribir

dy = lfrn Aydx ~x-'O flx

O J fly flulim -.-""x-,ij Au AxAy flu=lfm-. Ifm-

""x~O Au ""X~O Ax, Ay , Auhm' bm""ll-'O flu ""x-.O flx (Advicrta que : :: " 1 1 - . 0 cuundo Lporque 9 es coruinua.)dy dudu dx

EI tinico defecto de este razonamiento es que, en (1), podrfa suceder que flu =cuando Ax "" 0) y, por supuesto, no puede dividir entre O.No obstante, este razonpor 10 menos sugiere que In regIa de la cadena es verdadera. Al final de esta secciuna prueba completa de Ia regIa de la cadena.La regIa de la cadena se puede escribir con apostrofos

(f 0 g) '(X) ='(g (x g '(x)o bien, si y =(u) y u =(x), en Ia notacion de Leibniz:

dy dy du-=--dx du dxLa ecuacion 3 es facil de recordar porque, si dyf du y duldx fueran cocientes, ddrfa cancelar d u o Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe conccomo un cociente real.

E j E M P L O I Encuentre F'(x) si F(x) =J X 2 + LS O l U C I O N I (Con Ia ecuaci6n 2): Al principio de esta seccion, se expres6 F comoF(x) = (fo g)(x) =(g(x donde j(u) = j U y g(x) =2 + 1 . Dado que

j ' (u) =l i- ! /2 = 1c.2yu y g ' (X) =2xtiene F'(x) ='(g(X)) g'(X)

1 x--====- . 2x = --;:===2 . J X 2 + I y'XT+l


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m Ve ase la p aq ln a d e re fe renda 2 0 ela p sn d ic e D .

SECCION 3.4 LA REGLA DE LA CADENA 1 1 1 1

S O L U C IO N 2 (can la ecuacion 3 ) : Si h a c e II=" + 1 y y = r t, despuesdy du 1F(x)=-- = --(2x)du dx 2F r t

I X2 ' ;X1 + 1 (2x ) =.JX2+]AI utilizar la formula 3, debe tener presente que dy f dx se refiere ala derivada d

cuando esta se considera como funcion de x (Hamada derivada de y COil r especto a x )tanto que dy/du se refiere a la derivada de y cuando se considera como funcion de uderivada de y en funcion de u). Por 10 tanto, en el ejemplo 1 y se puede considerar cofuncion de x ( y = ';X" + 1) Ycomo funcion de u ( y = Fr t ) . Advierta que

~ x ~ Idx = F'(x) =.J.X2+1 en tanto que du = !'(1I) =2F r tn O T A I En Ia aplicacion de la regIa de la cadena, trabaja del exterior hacia el inte

La formula 2 expresa que deriva fa funcion exter ior f [en fa funcion in ferg(x )])', a continu ac ion, m ultip lica por fa der ivada de la func ion in ter ior .

d (g(x !' (g(x g'(x)dx f'-.- ~ '-.- '-.- '-.-'funcion ev nluu da c n d er iv ud n d e c va lund a en derivada deexterior la funcii in I n r u nc i6 n li t funcion I n f u a c io n

interior exterior interior interior

~ EJEMPLO 2 Derive (a) y =en(x2) y (b) y =en''x.S O L U C I O N(a) Si y =en(x2 ), por 10 tanto la funcion exterior es la funcion sene y Ia interiorla funcion de elevar al cuadrado, de modo que la regIa de Ia cadena da

dy d (x2) (x")- sen cos 2 xdx dx '-.- ~ '-.- '-.-' ~Iuncion cvaluuda en dc riv nda de c vn lu ad a e n dcrivada deexterior hi funcion !n Iuncion la funcion Iafuncion

interior exter i o r Interior interior

(b) Observe que se n2x = (sen x)2. En este caso, la funcion exterior es la de elevar alcuadrado y Ia interior es la funcion seno. Por 1 0 tanto,

dy d , 2 (sen x)=- (sen z}' cos xdx dx ~ '-.-' ~ '-.-'funcion derivada de c v alu a da e n d criv adu d oexterior lu funcion l a f u nc i un l u f u nc io nexterior interim mtenur

La respuesta se puede dejar como 2 sen x cos x, a bien, escribirse como sen 2 x (poridentidad trigonometrica conocida como la formula del angulo doble).En el ejemplo 2(a), combine la regIa de la cadena can la regIa para derivar la funcion

no. En general, si y =en 11 , donde u es una funcion diferenciabIe de x, en consecuencia,la regia de la cadena,

dy dy du du- =- - =os1-dx du dx dx{


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200 I I I I CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIYACION

De esta man era. d du-,- (sen u ) =cos 11-ax dxDe manera semejante, todas las formulas para derivar funciones trigonometric

den cornbinar COn la regIa de la cadena,Para hacer explfcito el caso especial de la regIa de la cadena donde la funcio

[ es una funcion potencia. Si y = [g(x)]", por 1 0 tanto puede escribir y =eu )de II =(x). Si aplica la regla de la cadena y, a continuacion, la regla de laobtiene

dv dy du du I_' = - - = IlU,,-1 - = n[g(x) ] , , - Ig (x )dx du dx dx

[!] R EG L A D E L A P O T E N C I A C O M B I N A D A C O N L A R E G L A D E L A C A D E N A Sicualquier rnirnero real y 1I =(x ) es derivable, entonees

d du- (u ") =l11,,-1 -dx dxDe modo alternative, d- [g (x)]" = [g (x}],,- I g '(x)dxAdvierta que la derivada del ejemplo 1 pudo calcularse al tomar 11 = en la re

E J E M P L O 3 Derive y =x" - 1)11)0.S O l U [ I O N Si, en (4). se toma II=(x) =3 - I YII= 100, tiene

dv d - 11)0 ,)99 d ,_' = - (.c' - 1 ) =100(x' - I - (x: - 1 )dx dx dx

i ! " d E JE t~ PL O 4 Encuentre f '(x) si I(x} = --::-r'=:=====\ I X " + X + 1 .S O L U [ I O N En primer lugar, reescriba [: I(x) =x2 + X + 1r1/3.De este modo f'(x) =_!(x2 + X + It/3 _:{_ (x2 + X + I). 3 dxE J E M P L O 5 Encuentre la derivada de la funcion

(t 2 ) 9g e t ) =--2t + I

S O L U ( I O t l Si se c o r n b i n a la regIa de la potencia, Ia de la cadena y la del cociente, ob

( t - 2 ) 8 d ( t - 2 )g'(t) = 2t+I elt 2t + I_ (t - 2 ) 8 (2t + 1) 1 - 2(t - 2)-9--2t + I (2t + 1)2 4 5 (1 - 2)8(2 f + 1 ) 1 0


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~ En la figu ra 1 s e m ue stra n la s q r a f i c a sd e la s f un c io n es y y y'de l e je rnp lo 6.A dv ie rt a q u e y' e s g ra nd e c ua nd o y c re ee c anrapidel, y y' = 0 c u a n d o y t i e n e un a t a n g e n t eI m r i l o n t a I . D e modo q u e la r e s p ue s ta p a re c e s e rrawnable.

10y'

-2~-,~~~~q-----~ilIY I' - - - - ' - - J . . . _ _ _ j

-1 0F IG U R A 1

!iL a re gia de la c a d en a e n s u f orm a m a s g en era ld du-feU) = c" __dx dx

'" N o co nfun da la fo rm ula 5 (donde x es e le x p o n e n t e ) can la re gia de la pa len cia (don dexe s la b a se ): d~ ( X l i ) =IlX'


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202 I I 1 I CAPiTULO 3 R EG LA S D E D ER 1V AC 10N

En la secci6n 3.1, se dio la estirnaciond- (2') = (0.69)2"dx

Esto resulta cohereute con Ia formula exacta (6), porque In 2 =0.693147.Queda clara la raz6n del nombre "regla de la cadena", cuando se alarga

se agrega al otro eslabon. Suponga que y = f ( l I ) , 1 I = g(x) Y x =(t), doson funciones derivables. En tal caso, para calcular la derivada de y conaplica dos veces la regia de la cadena:

dy dy dx dy du dx-=--=---dt dx dt du dx dt~ EjENPLO 3 Si f(x) =enecos(tan x)), por 10 tanto

df'(x) =os(cos(tan x)) - cos(tan x)dxd=os(cos(tan x [ -sen(tan x)] - (tan x)dx

=-cos(cos(tan x) sen(tan x) sec'xAdvierta que la regia de la cadena se ha aplicado dos veces.E JE t,1 PL O 9 Derive y =-=30.SOLUUOI I La funcion exterior es la funcion exponencial. la fu nc io n media es la fcante y la funcion interna es la funci6n triplicadora. De modo que

dy . d- =e,"dU_ (sec 38 )d8 d8='cc3Q sec 38 tan 38 " :! ___ ( 38 )d8=3e ,o030 sec 38 tan 38

COMO PROBAR LA REGLA DE LA CADENARecuerde que S I y =(x ) y x cambia de a a a -I - Llx, define el incremento d

L lY = f( a -I - L lX ) - f(a)Segtin In definicion de derivada

LlyHl!;u Llx ='ea}Por consiguiente, si denota por medio de 8la diferencia entre el cociente dy la derivada, obtiene

( Lly )11m 8= im ~ - 1'(a) = 1'(a) ~ 1'(a) =~x-'O ~x-o L lX


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SECCION 3.4 LA REGLADE LA CADENA I I I I

pero Llye =- -r e a )Llx Lly =e a ) Llx + 8LlxSi define 8 como 0 cuando Llx =0, despues E se convierte en funcion continua de Llx.esta rnanera para una funcion f derivable, puede escribir[l] Lly =e a ) Llx + e Ax donde e -,> a medida que Ax -,>0

Y8es una funcion continua de Ax. Esta propiedad de las funciones derivables es 10perrnite probar la regia de la cadena.P R U E B A D E L A R E G L A D E L A C A D E liA Suponga que u =(x ) es derivable en a y y =( ll)es en b = g(a). Si Llx es un incremento en x y Au y Lly son los incrementos correspondientes en u y y, en seguida puede aplicar la ecuaci6n 7 para escribir

Llu =g'(a) Llx + EI Llx =g'(a) + 81J Axdonde EI -,>0 cuando Ax -,>O. De manera analoga

Lly = reb) Au + E2 Su = [reb) + E 2 ] Sudonde E2 -,>0 cuando Au -,>O. Si ahora sustituye la expresion para Au de la ecuacionen la ecuacion 9, obtiene

de modo que

Lly =J'(b) + E 2 ] [ g ' ( a ) + EI] tx x~~=r e b ) + E 2 ] [ g ' ( a ) + EI]

Cuando Llx -,>0, 1a ecuacion 8 demuestra que Au -,>O.De modo que tanto el EI -7082 -,>0 a rnedida que Llx -,>O.Debido a eso

dydx=(b)g'(a) =(g(ag'(a)

Esto prueba Ia regia de la cadena.

_~ EJERCICIOS1-6 Escriba Ja funcion compuesta en la forma f(g(x.[ldentifique la funcion interior II=(x ) y la exterior y ={u)].L ueg o, 'en cu entre la derivada dy f dx.

9. F(x) = \11 + 2x + x, 1 0. f(x) = ( L + x4f/3111 . g( t ) = ( .. )'r + l' 1 2 . f(t) = \ / 1 + ta n (

1. y = se n 4x 2. y =)4 + 3x3 . y =1 - X2)1 0r n ) ' = eve ; 4. y =a n (se n x)6. y =en(e') 15. y =e-kx 1 6. y = co s ( 1 l 6 )

1 8. h (t) = (t4 - 1)3 ((3 + 1) 419 . y =2x - 5)4(8x2 - 5)-3 20. y =x 2 + 1)\1.,:2 + 2 I

7-46 Halle la derivada de la funcion.


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204 I I I I CAPiTULO 3 REGLAS DE DERIVACION

(X2 + 1 ) '1 . Y = -,--x- - 1

~ y =,(cm\2 5. F(z) = r;=!"\ j - - ; - - + j

r27. y= ,0+12 9. y =enltan 2x)31. y ="" '"'33. )' = sec"x + tarr' x

( 1 e ~ ' )5. y = cos --,-J + e"39. fIt) = tank') + e'''n14 1 . f(t) = s en "( e" n' ')4 3 . g(x) = (2m" + H )r'45. y =osJsen (tan r,x)

22. )' = e-5 , cos 3x24 . y = 101 -. ,

(v - 1 )426. G(y) =(', 2)5Y" + )'e" - e"

28. y = _e" + e il30 . Cr y) =C : I ) '32. )' =an"(31:1)

13 4 . y = sen -x36 . f(t) = ~38. y = e' r an , /;40. y = sen(sen(sen x42 . y = J x + J x + J X

-(~44 . y ="46. y = [x + (x + sen2x)3J~

4 7. h ex) =;x:r:tl47-50 Hallar In primera y segunda derivadas de la funcion.

48. y =e c.,49. y = en, sen f3 x 50 . y ="

51-54 Encuentre una ecuacion de la recta taugente de la curva enun punto dado.51 . y = (I + 2X)IO, (0, 1)53 . y =en (sen x), ( ' T 1 ' , 0)

52 . y = sen x + serr'x, (0,0)54 . y =2e-' (I,I/e)

~ (a) Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la curvay = 2/(1 + e-') en el punto (0, I).

ttl (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangentesobre l a m is rn a pantalla,56 . (a) La curva y =x I /J 2 - x 2 se llama curva Ilafiz d e b ala .

Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la curva en elpunto (I, 1).ttl (b ) I lustre el inciso (a ) dibujando la curva y la recta tangente 50-bre la misma pantalla,

57 . (a) Si f(x) =J 2 - X2, encuentre r(x).ti 1 (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable" comparando las graficas de f y f'.

r u 58. La funcion j'{x ) = sen(x + sen 2x), 0 ~ x ~ ' Taplicaciones de la sfntesis de modulacion de frecueu(a) Use una grafica de f producida por un aparato

para trazar un boceto aproximado de la grafica(b) Calcule rex) y utilice esta expresion, junto co

dispositivo graficador, para graficar .f',Comparsu boceto del iciso (a).

!ill Encuentre todos los puntos en la grafica de la funcf(x) = 2 sen x + sen2x

en los cuales la recta tangente es horizontal.60, Determine las coordenadas x de todos los puntos d

y =en 2x - 2 sen .c en los cuales la tangente es h[ill Si F(x) = f(g(x donde1( -2) = 8,1'(-2) =

g (5 ) = -2, y g ' (S) = Hallar F' (S) .6 2 . Si h(,>:) = )4 + 3 f(x) , donde f( 1) = Y .f'(l)=

hallar 1 1 '(1 ).6 3. Se da una tabla de valores de f, g, f' y o '

.\ fix) yl.\) fh) y ' L l i- ' 2 4 {J2 s 5 7

- ' 7 :: : 7 ')(a) Si hex) = f(y(x), encuentre 1 1 '( I ).(b) Si H(x) = g(.f(x)), halle H'( 1) .

6 4. Sean f y g las funciones del ejercicio 63.(a) Si F(x) = f(f(x), encuentre F'(2).(b) Si G(x) =(g(x), encuenrre G'(3) .

~ Si1y g son las funciones cuyas graficas se ilustranu(x) = f(g(x), vex) = g(f(x, y w(x) =(g(x)). Esi existe, cada derivada. En caso contrario, explique(a) u'O) (b) v'(l) (c) w ' O )

y\ fI I---l-t t / ~

I " Z / \ g// /'0 1 .\66. Si f es la derivada cuya grafica se muestra, sea l 1 ( xy y(x) =(x2). Utilice la grafica de1para estimar

cada derivada.Wll~ Mg~y 7

y = ( .> : ) /~ ~f-l \ /~0 1 .\


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rg] Suponga que f es derivable en I F ! : . Sea F(x) =(e'}, y G(x) =A'). Encuentre expresiones para (a) F'(x) y

(b) G'(x).68. Suponga que f es derivable en I H : y Ct es un ruimero real. Sea

F(x) = f(xc


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206 III! CAPITULO 3 REGLAS DE DERIVACION

t E l 86 . En la tabla se da la poblaci6n de estadounidenses, desde 1790basta 1860.

Alio Poblacion Ano Poblacion1 7 9 0 3929000 IS30 12861 (1001 8 0 0 530S000 1840 17063 (JOO1810 7240000 1850 2 3 1 9 2 ( J O I l1820 9639000 1 1 ) 6 0 31443000

(a) Use una calculadora graficadora 0 una cornputadora parahacer coincidir una funcion exponencial con los datos.Dibuje los puntos correspondientes a los datos y el modeleexponencial. l,Que tan bien coinciden?

(b) Estirne las proporci6n de incremento de la poblacion en 1800y 1850 promediando las pendientes de las rectas secantes.

(c) Use el modelo exponencial del inciso (a) para estimar lasproporciones de crecimiento en 1800 y 1850. Compareestas estimaciones con las del inciso (b).

(d) Utilice el rnodelo exponencial para predecir la poblaci6nen 1870. Compare con la poblaci6n real de 38 558 000.l,Puede explicar la discrepancia?

:1~]87. Los sistemas algebraicos para computadora (CAS) tienencomandos que d er iv a n f un ci on es , pero Ia forma de larespuesta quiza no convenga, como consecuencia, pueden sernecesarios otros comandos para simplificarla,(a) Use un CAS para hallar la derivada del ejemplo 5 y

comparela con la respuesta en ese ejemplo. Enseguida, useel comando de simplificaci6n y vuelva a cornparar ,

(b) Utilice un CAS para derivar la funci6n del ejemplo 6 . (.Quesuc ede si usa el comando de simplificaci6n? l,Que ocurre siem plea el comando de factorizacion? l,Cual forma de la res-pu esta serfa la mejor para localizar las t angen te s ho r izon ta l e s?

l JI iSl88. (a) Use un CAS para d er iv ar l a f un cio n

f(x) = X4 - X +X4 + X +y simplificar el resultado.

(b) I,En d6nde tiene la grafica de1angentes horizontales?(c) Trace las graficas de1l'en la misma pantalla, l,Son

coherentes las graficas con su respuesta al inciso (b)?89. Mediante la regia de la cadena demuestre 10 siguiente,

(a) La derivada de una funcion par es una funci6n impar.(b) La derivada de una funci6n impar es una funcion par.

fb f ' l . f . . . .HiECrO DEAPUt:ACIQn

iDONDE DEBE UN PILOTO INICIAR UN DESCENSO?En la figura se muestra una trayectoria de aproximaci6n para el aterrizaje de un avi6n qulas condiciones siguientes:(i) La altura de crucero es h, cuando se inicia el descenso a una distancia {' del punto

con la pista en el origen.(ii) EI piloto debe mantener una rapidez horizontal constante v a todo 10 largo del descens

90. Aplique la regla de Ia cadena y la regla del productobtener otra demostraci6n de la regla del cociente.[Sugerel1cia: escriba f(x)!g(x) = f(x)[g(X)]-l.]

91 . (a) Si Ites un entero positivo, demuestre qued- (sen"x cos 1 1 . 1 : ) = senu-Ix cos(n + l)dx

(b) Plantee una formula para la derivada de y = eoque es similar a la del inciso (a).92. Suponga que y = f(x) es una curva que siempre

arriba del eje x y nunca tiene una tangente horizodonde f es derivable en todos los puntos, l,Parude y la relaci6n de cambio de y~ con respecto aveces la tasa de carnbio de y con respecto a x?

l 2 I I Use la regla de la cadena para demostrar que si 0 sgrados, despues

d 7 1 "- (sen 0) =-- cos 0dO 180

(Esto da una r azon para la convenci6n de que siemradian cuando se manejen funciones trigonornetricas10 : las formulas de derivacion no senan tansencillas 5 1 usara el grado.)

94. (a) Escriba I x I = Ry aplique la regla de la caddemostrar que

d xdx I x l =N

(b) S i f(x) =sen x I , encuentre j'(x) y trace las gy 1.,En donde 1no es derivable?(c) Si g (x ) =en I x I , halle g ' (x ) y dibuje 9 y 9 '. ;no es derivable'?

95. Si y =(u ) y u =(x), 1 9 son funciones derivabveces, dernuestre que

, '() ' dv I"-y _ d-y e l l ! - _ _ ) _ ! _ _ ! ! _-_-- __ + ,d. ..? du' dx du dx'96. Si y =1l! ) Yu =( X ), donde 1y 9 tienen tercera

liar una formula por d\';dx' parecida a Ia que se propel ejercicio 95


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y=P(x)

SECCION 3.5 DERIVACION IMPLiclTA 1 1 I I

(i ii) EI valor absolute de la aceleracion vertical no debe sobrepasnr una constante k (la cual es meho menor que la aceleracion debida a In gravedad),

I. Encuentre un polinornio cubico Pix) = (/X~ + bx' + ex + d que satisfaga la condicion (I), iponiendo condiciones adecuadas sabre Pix) y P'(x) en el inicio del descenso y el contacto cla pista,

2. Use las condiciones (ii) y (ii i) para demostrar que

x6hv~--,


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208 IH I CAPiTULO 3 REGLAS DE DER1VACION

Y A xJ+ yl =6x)'

FIG U R A 2 Folio de Descar te s

obtienen son muy complicadas.) Pero (2) es la ecuaci6n de una curva HamDescartes, que se ilustra en Ia figura 2 y, de manera implfcita, define y comciones de x. En la figura 3 se muestran las graficas de esas tres funciones. Cque f es una funcion definida implfcitamente por la ecuaci6n 2, se da a enecuaci6n

x3 + [ j ( X ) ] 3 =xf(x)es verdadera para todos los valores de x en el dominio de f.

y

.r

y

o o or

FIG U R A 3 Graficas de tr es funciones definidas pOl' el folio de Descar te s

Por fortuna, no es necesario resolver una ecuaci6n para y en terminosfin de hallar la derivada de y. En lugar de ello, aplica el metodo de derivacita. Este consiste en derivar ambos miembros de la ecuaci6n con respecontinuacion, resolver la ecuacion result ante para y'. En los ejemplos yesta seccion, siempre se sup one que la ecuacion dada detennina y implfcmo una funci6n derivable de x, de modo que puede aplicarse el metodo dimplfcita.~ EJEMPLO

0 ? dv(a) 51 x: + y- =5, encuentre - d ' .x(b) Encuentre la ecuaci6n de la tangente al cfrculo x2 + l=25, en el puntS O L U C I O l l I(a) Derive ambos miembros de Ia ecuaci6n x2 + y2 =25:

d(, ? d(- x- + y.) =- 25)dx dxd(? d(?- x ') + - r) =dx dx

Recuerde que y es una funcion de x, aplique la regIa de la cadena y tendrad ? d ? dy dy- (y -) =- (y-) - =2y-dx dy dx dx

POl' 1 0 tanto dy2x+ 2y- = 0dxAhara, se resuelve esta ecuacion para dy] dx:

dy xdx y


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m En 8 1 e je mplo 1 se ilu stra q ue inc lo sec ua nd o e s p os ib le re so lv er u na e cu ac i6 ne xp l i ci ta p a ra yen te rm in os d e x puede S8 rm a s ta cil a plic ar la d eriv ac id n im p lic ita

SECCION 3,5 DERIVACION IMPLICITA 1 1 1 1

(b) En et punto (3,4), tiene x = 3 y Y = 4, de modo quedy =_2dx 4

Por 10 tanto, una ecuacion de la tangente al cfrculo en (3 , 4 ) esy - 4 =~(x - 3) o bien 3x + 4y =5

S O L U C IO N 2(b) Al resolver la ecuacion x2 +i=5, obtiene y = .;,f25 - x2 , El punto(3, 4) se encuentra en el sernicirculo superior y =,f25 - x2 y , por consiguiente,considere la funcion f(x) =, f2 5 - x2 , Si al aplicar la regIa de la cadenaderiva f, tiene

I > 1/" X=;;25 - x-r -(2x) =- - - - r : : = = = = = = = = ;,f2 5 - x2De modo que 34y , como enla solucion J, Ia ecuacion de la tangente es 3x + 4y =5.

l ~OTA 1 i La e xp re sio n dyf dx =-xly en la solucion 1 da la derivada en te rminosto de x como de y . Esto es correcto sin importar cua! funcion y queda deterrninada pecuacion dada. Por ejemplo, para y = f(x) =, f25 - x2

en tanto que, para y =(x ) =;, f25 - x 2dy x x xdx y

["M E jEM PlO 2(a) Encuentre y' si x 3 +i=x),.(b) Halle la tangente al folio de Descartes x3 + y " =x y, en el punto (3, 3),(c) i,En cuales puntos de la curva se tiene que la recta tangente es horizontal 0 vertical?S O L U ( I O N(a) Si se derivan ambos miembros de x3 +i=xy con respecto a x, considerandy como funcion de x, y usando la regia de Ia cadena en el termino y3 y la regIa deproducto en el terrnino 6xy, obtiene

3x2 + 3 y2 y ' = 6xy' + 6yo bien


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210 1 1 1 1 CAPiTULO 3 REGLASDE DERIVACION

F IG U R A 4

4

F IG U R A 5

l1 J EI m atem atico n oru ego N ie ls Ab el o ro bo e n1824 que no se puede da r una form ula gene ra lpa ra la s ra ice s d e u na e cu acion d e qu intog ra do . T ie mp o d es pu es , e l rn ate rn atlc o fra nc esEv aris te G alo is p ro b6 q ue e s im po sib le h alla runa f6rm ul a gene ra ! pa ra las races de unaec ua ci6 n d e n -e sim o g ra do (e n le rm in os d eo p er ac io n es a lq e br ai ca s s a br e l os c o ef ic ie n te s l,si IIe s cu alq uie r e ntero m ayor q ue 4.

Ahora resuelva para y':

2)' - x2v' =--';;---- )'2 - 2x

(b) Cuando x = =3,y' 2 . 3 - 3232 _ 2 . 3 =I

un vistazo a la figura 4 confirma que este es un valor razonable para la pendienDe este modo, una ecuaci6n de la recta tangente al folio en (3, 3) es

) ' - 3 =-I(x - 3 ) a bien x+y=6(c) La recta tangente es horizontal si y' =_ S i utiliza la expresi6n para y' d(a), y' = cuando 2y - x 2 =O . (siempre quel-2x "'" 0) . Al sustituir y =ecuacion de Ia curva, obtiene

1 ( t ') ' 6 ( 1 ')- + 2X-' =x :2x-10 cual se simplifica para quedar x(' =16x3 . De modo que x "'" 0, en el primeo bien, x 3 =16. Si x =161/3 =413, por 10 tanto y = ( 28n ) =5(3.Por estote es horizontal en (0, 0) y en (2 4/3, 25(3), 1 0 cual es aproxirnadamente (2.5198,estudiar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable.

l ! i9I1LLJ Existe una formula para las tres rakes de una ecuaci6n cubica, qjante a la formula cuadnitica pero mucho mas complicada, Si usa esta formultema de compute algebraico) para resolver la ecuaci6n x3 + l=6xy, para yde .r, obtiene tres funciones determinadas poria ecuaci6n:y

(Est as son las tres funciones cuyas graficas se .muestran en la figura 3.) Uver que el metodo de la derivacion implfcita ahorra una cantidtt'tl enorme decasos como este, Es mas, la derivacion implfcita funciona can igual facilidaciones como

las cuales son iniposibles de resolver para y en terminos de x.EjH1PLO 3 Encuentrev si sen(x + y) =lcos x.S O l U ( I O N Si deriva implfcitamente can respecto a x y recuerda que y es una funobtiene

cos(x + y) (I + y ') =/(-sen x) + (cos x)(2yy')


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c 2

~2F I G U R A 6

1ii La figu re 7 m ue stra la g rafic a de la cu rvaXl + y' =16 d e l e jem p lo y ob serve q ue suv e rs io n d e l c ir cu lo s e extiende y s e a c ha tax l + / =4. Po r e sta ra zo n a!g un as ve cesS8 I e l lama c ir cu lo g r u e s o , i ni cia m u y e se a rp a do ra la i zq u ie rd a p e ro r ap id ame n te s e h ac e muyp la no . Se p ue de v er d e la e xp rs sio n.

. 0y=--. i - ( ; YY A x4+.l =16-----2+---

-,r----~----r_~o 2 x

F IG UR A 1

SECCION 3.5 DERIVAC!ON IMPLICITA I I I I(Note que en e11ado izquierdo aplica la regla de la cadena y, en el derecho, la regia de Iana y la del producto.) Si agrupa los terminos que contienen y', obtiene

cos{x + y) + y2 sen x =2y cos x)y ' - cos(x + y) y tPor 10 que y2 sen x + cos(x + y)y' =-'--------"--2y cos x - cos (x + y)En la figura 6 dibujada con el comando de construir graficas en forma implfcita d

sistema de calculo algebraico, se muestra parte de la curva sen(x + y) =lcos xComo cornprobacion del calculo, advierta que y ' =1, cuando x = =0 y en lgrafica parece que la pendiente es alrededor de -1 en el origen.EI siguiente ejemplo muestra como encontrar la segunda derivada de una funciondefinida implfcita.

I ~ JEM PlO 4 Hallar y" sf X4 + l)=16.S O L U ( I O N Derivando Ia ecuacion de rnanera implicita con respecto a x, obtiene

4.\.3 + 4yV =aResolviendo para y'

x3v'=--. /Para hallar y" derive esta expresion para y' aplicando la regIa del cociente recordandoy es una funcion de x:

v" =! j _ ( _ . 0 ) =_y>(dld,)(.0) - x3(dldx)(l). ~i 0~2y3 3x2 - x'(3./v')l

Si ahora sustituye la ecuacion 3 dentro de esta expresion, obtiene

y "> > o ( x ' ).,/ - 3 x-y- - -.1Y

3(x2 / + x6)y 7

3 x20 ,4 + x4)../

Pero el valor de x y y debe satisfacer la ecuacion original X4 +l=16. De esa rnanerespuesta se simplifica a

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSASLas funciones trigonometricas inversas se repasan en Ia seccion 1.6. En la seccionanaliza su continuidad y en la seccion 2.6 sus asfntotas. Aqui se usa Ia derivacion impta para hallar las derivadas de las funciones trigonometricas inversas, porque se supone


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!Il EI m ism o m etoda pu ede u tiliza rse pa ra ha-lia r u na form ula para la derivada de cualquierfu nc io n in ve rs a. Ve as e e l e je rc ic io 6 7.

!'ll En la fig ura 8 se m uestra la qra flcade f(x) = tan -I,q su derivadaI'(x) = 1 / ( 1 + x~). Ad vie rta q ue f escreciente y I'(x) s ie m pr e e s p os itiv a E I hechode qu e tan-Ix -, : l : : . - r r / 2 como x ->x seref le ja en e l hecho de que I'(x) --> 0 cuando

1 .5

F IG U R A 8

W i R ec ue rd e q ue arctan x a s u n a n o ta c io na lte rna para tan - IX .

estas funciones son derivables, [En efecto, si j es una funcion derivable uno a udemostrar que su funci6n inversa j-I tambien es derivable, excepto donde sson verticales. Esto es posible porque la grafica de una funcion derivable no tienbucles y , de este modo, si la refleja can respecto a y =x, la grafica de s u f untampoco tiene vertices ni bucles.]Recuerde la definicion de la funcion area seno:

' T T ' T T--';;;y,;;;-2 2significa seny =x yAl derivar implicitamente sen y = x can respecto a x, obtiene

dycosy- =d x a biendy =__dx cos y

Ahora cos y ~ 0, debido a que - 'If/2 ,;;;Y ,,;;; 'If/2, de modo que

De manera que dy =__ = 1dx cos)' .JJ=7d I- (sen-Ix) =---;===dx ' - " I - x2

La formula para la derivada de la funcion area tangente se obtiene de maneteoSi y = tan".' x, en tal caso tan y = X. Si se deriva esta ultima ecuacion imcon respecto a x, tiene

, dysec")' - =1. dxdv; ' 1 ( =sec1y = + tan"),

E ! i l E J E M P L O 5 Derive (a) y =1 __- Y(b) j(x) = arctan.,h.sen IXS O L U C I O N(a)

(b) 1f'(x) = 1 + (.,h/ 0[1/2) + arctan.JX.J x---'--- + arctan.jX2(1 + x)


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w La s f orm ula s d e las d er iva da s d eesc ' IX Y s ec -IX dependen de lasd e fin ic io n es q u e S8 a plic an p ara e ste sf u n c io n e s , V e s s e e je rc ic io 58 .

SECCION 3.5 DERIVACION IMPLfclTA I I I I

Las funciones trigonornetricas inversas que se generan con mayor frecuencia soque acaba de analizar, Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla sigteoLas dernostraciones de las formulas se dejan como ejercicios,

d I- (csc=lr) =---;====dx x-Jx? - 1d I- (s e c vx) =--;===dx ~ x~d- (cor+e) =----:-dx 1 + x2

D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S T R I G O N O M E T R I C A S I N V E R S A S

d I- (sen-Ix) =----,===dx .}1 - x~d I-(cos-Ix)=- ~.dx v] - x-d _- (tan IX ) =---::-dx + x2

BJ E R C I C I O S1- 4(e) Encuentre y' par derivacion irnplfcita.(b) Resuelva en forma explicita la ecuacion para y y derive para

obtener y' en terminos de x.(c) Compruebe que sean coherentes sus soluciones a los incisos

(a) y (b) sustituyendo la expresion para y en su soluci6n del in-ciso (a).

1 . xy + 2x + 3x2 =I I3. - + - =Ix y 4 . cos x + J Y =5-20 Encuentre dy/dx par derivacion implicita.

6. 2";; + J Y =3. x" + y" = I7. _ ,2 + xy - y" =49 .\" .(x + y) =l3" - y)

1 1 . x2y2 + xseny = 41 3 . 4 cos x sen y =!ill e' '-'= .r + y1 7 . J i Y = 1 + x"y1 9 . e' cos x =I+ sen(xy)

8. 2r3 + . r y - xy J =1 0 . y > + x"i =I+ ye'12 . I+ x =en(x/)14 . y sen(x") = ,1: sent y")1 6 . .j x + y = 1 + x 2y "

v1 8 . tan(x - y) = -'-,I+ x-20 . sen x + cos y =en x cos y

21 . Si I(x) + x2[j(x)Jl = 10 y 1(1) = 2, encuentre 1'(1).22 . Si g(x) + x sen g(x) = x2, determine g ' (O).23-24 Considere a y como la variable independiente y a x comoInvariable dependiente, y aplique la derivaci6n implicita paracalcular dx/dy.

24 . y sec x =_an y

"

25-30 Util ice la derivaci6n implfcita para encontrar una ecuacide la recta tangente a Ia curva en el punta dado.2 5 . x" + xy + / =, (I, l) (elipse)26 . x" + 2xy - y2 + X = 2, (I, 2) (hiperbola)

(0 , D (-3.}3, I)(cardioide) (astroide)

) ' A ,v A

--~~--~~~~~8

2 9. 2(x2 + y 2 f =5(,,2 - /)(3, I)(lemniscata)

30 . y2(/ - 4) = X2(X 2 - 5(0,-2)(curva del diablo)

31 . (a) La curve can ecuacion l= 5x 4 - x" se llama kampilaEudoxo, Encuentre una ecuacion de In recta tangente acurva en el punta (1,2).E E l (b) Ilustre el incise (a) dibujando la curva y la recta tangentuna pantalla comun. (Si su aparato graficador puede tralas graficas de curvas definidas irnpllcitamente, despue


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utilice esa capacidad. Si no es asf, puede dibujar esta curvatrazando sus mitades superior e inferior por separado.)

32. (a) La curva con ecuaci6n i=J + 3x2 se llama ciibica deTschirnhausen. Encuentre una ecuaci6n de la recta tangentea esta curva, en el punto (1, -2).

(b) LEn cuales puntos esta curva tiene una tangentehorizontal?8j (c) Ilustre los incisos (a) y (b) dibujando la curva y las rectastangentes en una pantalla cormin.

33-36 Hallar por derivacion implicita33. 9x2 + )'2 = 935.x' +l=I 34 . Jx + J Y = 1

ITK37. Se pueden crear forrnas caprichosas con las capacidades deconstruir graficas en forma implfcita de los sistemas algebraicospara computadora (sistema de computo algebraico ),(a) Trace la grafica de la curva con ecuacion

y(/ - I)(y - 2) =(x - I)(x - 2)i.En cuantos puntos esta curva tiene tangentes horizontales?Estime las coordenadas x de estos puntos.

(b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangeutes en lospuntos (0, 1) y (0, 2).

(c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos mencionadosen el in ci so ( a) .

(d) Cree curvas incluso mas caprichosas modificando la ecuaciondel incise (a).

l i M ] 38. (a) La curva con ecuacion

se ha ligado a un carreton que rebota. Uti l ice un sistema decornputo algebraico para dibujarla y descubra pOl' que.

(b) LEn cuantos puntos esta curva tiene tangentes horizontales?Encuentre las coordenadas x de estos puntos.

~ Halle los puntos de la lemniscata del ejercicio 29 donde latangente sea horizontal.

40. Demuestre por derivacion implfcita que la tangente a la elipse

en el punto (xo, Y o ) esxox v o v-,-+~= 1(I b :

41. Formule una ecuacion para la tangente a la hiperbolax:! v 2---'-= Ia1 b?

en el punto (X~hYo).42 Dernuestre que la suma de las intersecciones x y y de cualquier

recta tangente a la curva J X + J Y =C es igual a c.43. Mediante la derivacion implfcita demuestre que cualquier

tangente en un punto P a una circunferencia con centro 0 esperpendicular al radio OP.

44. La regla de Ia potencia se puede demostrar por medicderivaci6n irnplfcita para el caso donde II es un numeracional, II =/q, y se presupone que y =(x) =Ufuncion derivable. Si y = xl'(\ entonces )''1 = XI'. Mederivacion implfcita demuestre que

45-54 Halle la derivada de la funcion. Simplifique donde45. y =an~l~@ L l y = sen~I(2x + l)49. G(x) =J1=-7 arcos x

46. y =tan~lx48. g(x) = Jx2 - Ise50 . y = tan-Ie, - JI

51 . h(t) =ot-I(t) + cor-l(1/t) 52 . F(O) =rcsin Jsen54 . y = arctan

8j 55-56 Encuentre I'(x). Compruebe si su respuesta es razcomparando las graficas de f y f'.5 5 . f(x) = J1=-7 arcsen x 56. / (x) = arctan (x 2 -57. Cornpruebe las formulas (d /dx) (cOS~'X) y (d /dx) (sen-

medio del mismo metodo,58. (a) Una manera de definir sec"! es decir que

y =ec- I.\: :: : : :> sec y = y 0 oS Y < ' I T / 2 , 0'I T oS )' < 3 ' I T / 2 . Demuestre que con esta definicio

d I-(sec-Ix) = --===dx ).Jx1 - 1(b) Otro modo de definir sec- IX que se utiliza a veceque y = sec-Ix :::::> sec)' = x y a ~ y ~ 7T, Y

Dernuestre que con esta definiciond 1-(sec- IX ) = ,dx I x I J\T=-I

59-62 Dos curvas son ortogonales si sus lineas tagentesperpendiculares en cada punto de interseccion. Dernuestrefamilias dadas de curvas son trayectorias ortogonales edecir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualqen la otra familia. Dibuje ambas farnilias de curvas usanmisrnos ejes de ccordcnadas.5 9 . X" + y" = 1 ' " , (IX + by =60 . x2 +i= ax. x2 + )'"= by~ y =x2, x2 + 2)'2 =

1 m La ecuaci6n x2 - xy +l= representa una "elipses decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a loscoordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse


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eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos punta

cap 3 - reglas de derivación - pag 172-269

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