1El campo elctrico y la materia

Tema 9Curso 2004-2005

z Electrosttica y dielctricosz El tomo como un dipolo elctricoz Los dielctricos como distribucin de dipolos. El

vector polarizacin P. Susceptibilidad dielctrica. Permitividad dielctrica

z Campo creado por un medio dielctrico polarizadoz El vector desplazamiento Dz Condiciones de frontera entre dielctricosz Algunos efectos elctricos y mecnicos entre

dielctricosz Medios conductores. Conductividad elctrica.

Electrosttica y dielctricosz Faraday acu la palabra dielctrico para describir

el efecto de un aislante en un condensadorz Faraday observ que al situar un aislante entre las

placas de un condensador, la capacidad del sistema, la energa almacenada y la carga aumentan un factor

z es una caracterstica del medioz En un dielctrico las cargas no son libres como en

un metal, estn ligadas a los tomos o molculasz Cuando se aplica un campo elctrico, el tomo o

molcula se polariza (se desplaza la carga negativa respecto de la positiva y se forma un dipolo)

Dipolo atmico inducido

~p

tomo sin polarizar tomo polarizado

ncleo

nube electrnica

~p = 0 ~Eloc

da

~E0

MODELO

qe = 4d3 = Zed3

a3e =

Ze

4a3

F = ZeE0 =Zeqe40d2

= Z2e2d

40a3d =

40a3

ZeE0

= 40a3

59.6Cs

4.04Xe47.3Rb

2.48Kr43.4K

1.64Ar23.6Na

0.396Ne24.3Li

0.205He0.667H

en unidades de 10-30 m3/40

Polarizabilidades atmicas Teora cuntica

~2

2m2 e

2

40r + eE0z = E

~p = h| e~r|i = 92(40a3B)E0~uz

40

=9

2a3B = 0.667 1030m3

Ecuacin de Schrdinger:

Momento dipolar:

Polarizabilidad atmica:

2Molculas polares

z Hay molculas con momento dipolarpermanente

z La unidad que caracteriza el momento dipolar es el debye: 1 D=3.34 10-30 C m.

z Molculas grandes, mayor momento dipolarz Materiales compuestos por molculas

polares: campos internos cuya magnitud depende de T

2.5eaB

1.48NH3

1.83H2O0.83HI0.80HBr1.04HCl1.75HF

Molcula m. dip. (D)

Momentos dipolaresmoleculares

Si tomamos el eje z como la direccin de ~E = E0~uz

h~pi =ReU/kT ~pdReU/kT d

~ = ~p ~EU = ~p ~E = pE0 cos

hpzi =pR +11 e

(pE0/kT ) cos cos d cos R +11 e

(pE0/kT ) cos d cos = p

coth

pE0kT

kTpE0

coth z 1z+z

3

llegamos a la frmula de Langevin-Debye

Dipolo en un campo elctrico

Momento dipolar promedio

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

/p

pE/kT

pE/3kT

Esta es la frmula de Langevin.Si se hace la aproximacin

= 0 +p2

3kT

Polarizacin y carga de polarizacin

z Para incluir el efecto de la polarizabilidadatmica es necesario introducir un nuevo campo, el campo de polarizacin

z La polarizacin es una vectorial de la posicin en el dielctrico

z se define como la densidad media de momentos dipolares~P (~r)

~P (~r)

~P (~r)d3~r =NXi=1

~pi

V (~r) =1

40

IbdS0

|~r ~r0| +Z

bd3~r0

|~r ~r0|

Potencial de un dipolo

La contribucin al potencial de un conjunto de dipolos

Potencial de un medio polarizado

V (~r) =1

40~r ~pr3

V (~r) =1

40(~r ~ri) ~pi|~r ~ri|3

dV (~r) =1

40

NXi=1

(~r ~ri) ~pi|~r ~ri|3 '

1

40(~r ~r0) ~P (~r0)d3~r0

|~r ~r0|3

V (~r) =1

40

"I ~P ~ndS0|~r ~r0|

Z ~0 ~P (~r0)d3~r0|~r ~r0|

#V (~r) =

1

40

Z(~r ~r0) ~P (~r0)d3~r0

|~r ~r0|3

Potencial en trminos de las cargas de polarizacin

b = ~P ~n b = ~ ~PDensidades de carga de polarizacin

b = ~P ~n b = ~ ~P

Densidades de carga de polarizacin

3El vector desplazamientoz Las ecuaciones fundamentales de la electrosttica

son yz Estas ecuaciones son correctas en el vaco y en un

medio dielctrico z Al analizar un medio dielctrico es conveniente

separarz Peroz La combinacin es un nuevo vector

denominado campo desplazamientoz Se cumple la ley de Gauss con las cargas libres

~ ~E = 0 ~ ~E = /0

(~r) = f (~r) + b(~r)(~r) = 0~ ~E = f (~r) ~ ~P

~D = 0 ~E + ~P

~ ~D = fI~D d~S = (qf )enc

Dielctricos lineales

z Un aislante con P proporcional a E es un medio lineal dielctrico

z Se utilizan diversos parmetros que relacionan E, P y D:

Constante dielctrica

Permitividad

Susceptibilidad

Ecuacin constitutivasmboloParmetro

e

~P = e0 ~E~D = ~E

= /0

Dos relaciones adicionales de inters son:

es siempre positivo ya que los dipolos atmicos se alinean con E de forma que P apunta en la direccin de E. As, y para cualquier material dielctrico.

En el vaco,

En la materia, los parmetros macroscpicos estn determinados finalmente por las propiedades atmicas.

e

= 0(1 + e) = 1 + e

> 0 > 1

e = 0, = 0 y = 1

z Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo elctrico en la superficie del cristal (turmalina, el iman Ceylon, 1703)

z Ferroelctricos: materiales en los que la polarizacin espontneapuede alterarse mediante un campo elctrico aplicado

z Ferroelsticos: materiales en los que tensiones mecnicas alteranla polarizacin espontnea

z Piezoelctrico: material en los que la aplicacin de una tensingenera cargas elctricas en su superficie (efecto piezoelctricodirecto, Pierre Currie, 1880)

z Electrostriccin: acoplamiento secundario en el que la tensin esproporcional al cuadrado del campo elctrico; frecuentementeimplica un efecto piezoelctrico inverso (energa elctrica se convierte en mecnica; Lippman, a partir de principiostermodinmicos, Currie experimentalmente en 1881)

Otras propiedades dielctricas

Qu es la ferroelectricidad?Qu es la ferroelectricidad?

Los ferroelctricos presentan dos estadosestables, base de aplicaciones de memoria

Los ferroelctricos presentan dos estadosestables, base de aplicaciones de memoria

0

1

Polarizacin

Voltaje

Energa

Z

Campoelctrico

Los materiales ferroelctricosmuestran una polarizacinespontnea con el campo elctrico aplicado debido al desplazamiento atmico del tomo centrado en cuerpoen la estructura de la perovskita (ABO3).

El estado de polarizacin se mantiene al desaparecer el campo aplicado.

A O

BEstructura ABO3

Fotografa de una memoria FRAM de 64MbFotografa de una memoria FRAM de 64Mb

4z En un gas diluido (molculas sin interaccin),

z de donde la susceptibilidad adquiere la expresin (frmula de Langevin-Debye):

Molculas polares

~P = n ~E, e = n/0 y = 1 + n/0

e =np2

3kT0

Molculas no polares

z A partir de un modelo de oscilador clsico

z La susceptibilidad es

z Para el hidrgeno, en condiciones normales de presin y temperatura

0 = 1.8 1016 s1 ( ' 100 nm) y n = 2.69 1025 m3

e = 2.64 104

e =nq2

0m20

~p = ~q~r =q2 ~E

m20

Materia condensada

z El campo responsable de la polarizacin de una molcula en un medio denso no es el campo macroscpico aplicado

z A este campo se le denomina campo local o campo molecular

z La forma de calcular es dividir el dielctrico en dos regiones: una esfera de radio alrededor del punto donde queremos calcular el campo y el resto del dielctrico (que puede tratarse como un continuo). Finalmente se aplica el principio de superposicin.

~E0

~Eloc~Eloc

El campo local puede descomponerse en las siguientes contribuciones (figura):

Ec = V/d ~Ed = ~P/0

~E = ~Ec + ~Ed

~Es(0) =1

40

Zb~rd3~rr3

=1

402a3 ~Pa3

Z +11

cos2 d cos =1

30~P

Campo macroscpico Campo local de Lorentz

~Eloc = ~Ec + ~Ed + ~Es + ~Ei

~Eloc = ~E +1

30~P

El campo de polarizacin en un medio polarizado vale

De la relacin entre P y E podemos deducir el valor de la susceptibilidad macroscpica

Por tanto, la polarizabilidad atmica vale, en funcin de la susceptibilidad:

~P = n~p = n

~E +

~P

30

!

e =n/0

1 n/30

=0n

e1 + e/3

=30n

1+ 2

Ecuacin de Clausius-Mossotti

El condensador con un dielctrico

condensadoresel condensador plano

El campo en el dielctricoTensin o carga constante

D = f =Q

A

V =Qd

A

C =Q

V=

0Ad

58332Titanato de estroncio80Agua

144 a 6Pyrex3.8 a 4.1Cuarzo fundido

163.7Papel3.1Mylar

602.1Tefln403.4Plexigls202.8Lucita202.5Poliestireno31.00059Aire

Tensin dielctricaConstante dielctricaMaterialEmax 10

6 V/m

Propiedades dielctricas de algunos aislantes Condiciones de contorno

/2/2

/2/2

A A

21 1

2

I~D d~S = q

~D

(D1n D2n)A+ZS

~D d~S = fA+ZS

d3~r

D1n D2n = f

/2/2

ll

~E/2/2I

~E d~l = (E1t E2t )l +Z

~E d~l = 0 E1t = E2t

1 2

12