campi armonici nel tempo funzioni delle sorgenti e · 2017. 11. 9. · m. usai 6b_eaiee_ campi...
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M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO 1
Campi armonici nel tempo
Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un
campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e .
In ingegneria le funzioni delle sorgenti sinusoidali nel tempo
hanno una larga applicazione, infatti:
• tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate
in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali e
• le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse
come integrali di Fourier o trasformate di Fourier.
6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
(ultima modifica 09/11/2017)
J
-
M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO 2
Poichè le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali lineari,
le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una
data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di e con la
stessa frequenza in regime permanente.
Per i sistemi lineari con funzioni sorgenti variabili nel tempo con
andamento che soddisfi le condizioni di Dirichlet, i campi
elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli
generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni
sorgenti.
Infatti per i sistemi lineari, è possibile applicare il principio di
sovrapposizione degli effetti , determinando in tal modo il campo
totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.
E H
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I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge
periodica sinusoidale.
Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente
espresse con la notazione fasoriale.
I vettori di campo che variano con le coordinate spaziali e variano
nel tempo con legge sinusoidale, possono essere rappresentati con
fasori vettoriali, che dipendono dalle coordinate spaziali, ma
non dal tempo. Per esempio un campo armonico nel tempo
riferito a una cosinusoide, può essere espresso come un vettore
rotante con pulsazione costante ω:
e quindi come un fasore , definito per ciascun punto P in
direzione, modulo e fase iniziale in funzione delle sole coordinate
spaziali (x,y,z).
E
( , , , ) ( , , ) j tE x y z t E x y z e
(x,y,z)E
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Infatti una funzione sinusoidale E(t)=EM sin(t+)
o cosinusoidale E(t)=EMcos(t+), è completamente definita da
tre parametri (ampiezza EM, pulsazione , fase ).
Le operazioni con le grandezze sinusoidali possono semplificarsi
trasformando: l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme
di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.
Rappresentazione cosinusoidale
Rappresentazione complessa
j( t+ )M
U=U(j t)=U e
Mu(t)=U cos( t+ )
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Rappresentazione cosinusoidale
Rappresentazione complessa
ricordando che si ha:
__________________________________________________________
( ) cos( )M
E t E t
)t(jeE)tj(E M
cos2
j je e
*
*
( ) cos( )2 2
Re con
2
j t j tj jj t j t
M M
M M
j t j t
j t j j
M M
E EE t E t E
E E
e e e ee e
E e E eEe E e e E e
Infatti se si ha:
IR
jIII __
____ __*
____ __*
2 2Re
2 2 Im
R I R I R
R I R I I
I I I jI I jI I I
I I I jI I jI jI j I
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M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO 6
*
*
( ) cos( )2 2
Re con
2
j t j tj jj t j t
M M
M M
j t j t
j t j j
M M
E EE t E t E
E E
e e e ee e
E e E eEe E e e E e
tjeE __
tjeE
2
__
tjeE
2
__
E(t)=EMcos(t+)
E‘(t)=EMsen(t+)
(t+)
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I fasori sono grandezze complesse per cui:
se il campo é rappresentato da un fasore ,
allora e
l’operatore derivata e l’operatore integrale di un fasore, si potranno rappresentare moltiplicando e dividendo rispettivamente il fasore per j :
E in generale
derivate e integrali temporali di ordine superiore n di
potranno essere rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo per potenze superiori di ordine n di j.
(x,y,z,t)E (x,y,z)E
(x,y,z,t)Et
t(x,y,z,t)dE
(x,y,z)E j j/(x,y,z)E
(x,y,z)E
(x,y,z)E
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Le equazioni di Maxwell per Campi armonici nel tempo in termini di
fasori delle grandezze di campo e fasori delle grandezze
sorgenti in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo:
Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V
e il potenziale vettore diventano rispettivamente:
esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee.
H,E J,
/D E
0 0B H
A
22
22
ρV k V essendo k il numero d'onda
ε
ωA k A μJ k ω με
u
EεjJDjJH
HμjBjE
t
DJH
tδ
B δE
EεD essendo
-
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Infatti le equazioni delle onde armoniche nel tempo o equazioni di
Helmholtz non omogenee si ottengono dalle espressioni generali:
22
22
ρV k V essendo k il numero d'onda
ε
ωA k A μJ k ω με
u
22
22222
22
22
2
22
2
22
ωωμε ωjωcon
ε
ρVjω μεV
JμAjω μεA
ε
ρ
t
VμεV
Jμt
AμεA
ku
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CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
La condizione di Lorentz per i potenziali dei campi armonici nel tempo diventa:
Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le
grandezze armoniche nel tempo si determinano dalle espressioni più generali del
potenziale scalare ritardato V e vettoriale ritardato dove;
la variabile temporale t è stata modificata nella variabile temporale t-R/u per
considerare il ritardo temporale R/u, legato a R, ossia alla posizione del punto P:
0
t
VμεA . 0 VjA
u k ω u
ωk
kRωtsin Ju
ωRωtsin J
u
Rt ωsinJ R/utJ
kRωtsin ρu
ωRωtsin ρ
u
Rt ωsin ρ R/utρ
:isinusoidal grandezze J corrente di densità la e ρ carica di densità la essendo
4
e 4
1
V'V'
dv'R
R/utJ
π
μ R,tAdv'
R
R/utρ
πε R,tV
A
-
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CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
Riassumendo :
le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le
grandezze armoniche nel tempo si ottengono dalle equazioni:
' 4
1 ,
'
dvR
ρe
πεtRV
V
jkR
dv' R
eJ
π
μ R,tA
V'
jkR
4
u k ω
u
ωk
kRωtsin J R/utJ
kRωtsin ρ R/utρ
4
e 4
1
V'V'
dv'R
R/utJ
π
μ R,tAdv'
R
R/utρ
πε R,tV
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M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO
12
Le espressioni del potenziale scalare ritardato e del potenziale vettoriale
ritardato dovute alle sorgenti armoniche ρ e
possono essere ulteriormente semplificate se . Infatti essendo lo
sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale uguale a:
dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda
del mezzo: quindi se
o se , l’esponenziale può essere approssimato a 1.
' 4
1 ,
'
dvR
ρe
πεtRV
V
jkR
dv' R
eJ
π
μ R,tA
V'
jkR
4
...432
1443322
RkRk
jRk
jkRe jkR
f
u
22
u
f
uk ,12
RkR
jkRe
J
R
R
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Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza
d’onda , le formule si riducono a quelle valide in condizioni quasi statiche:
Ciò verifica la validità e la generalità del metodo.
' 4
1 ,
'
dvR
ρ
πεtRV
V
dv' RJ
π
μ R,tA
V'
4
-
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La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e
magnetici dovuti a correnti e distribuzioni di cariche armoniche é la
seguente:
1) determinazione di V(R,t) e in funzione di ρ e dalle
equazioni:
2) calcolo delle grandezze di campo fasoriali:
3) calcolo delle grandezze nel dominio del tempo (valori istantanei con
riferimento al coseno) :
Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle
integrazioni al punto 1).
tRA ,
' 4
1 ,
'
dvR
ρe
πεtRV
V
jkR
dv' R
eJ
π
μ R,tA
V'
jkR
4
ARB e AjωVRE
tjetje eRBtRBeREtRE , e ,
J
-
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Campo armonico nello spazio privo di sorgenti
In un mezzo semplice non conduttore, privo di sorgenti:
Le equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti:
;0 e σ0J, 0ρ
HjωE
EjωH
E jω H
H J jω E
0H 0H
0B
0E 0ρ se ρEε ρD
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Analogamente ai campi non armonici, queste equazioni possono
essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle
derivate parziali espresse in funzione della singola
Infatti per le proprietà dei vettori, per il campo si ottiene,
essendo:
HjωE
EjωH
0 E
0 H
2 2
2 2
2 2
2 22 2 2
se 0
( )
0
A A A A A A
E E j H E
j H E j j E E
j E E E E
E
H o E
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Analogamente per il campo :
2 2
2 2
2 22 2 2
( )
0
H H j E H
j E H j j H H
j H H H H
HjωE
EjωH
0 E
0 H
2 2
se 0 A A A A A A
H
-
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Le equazioni vettoriali omogenee ottenute sono
le equazioni di Helmholtz per i campi armonici:
essendo:
0
0
0
0
22
22
22
22
HkH
EkE
HH
EE
ωu
ωk 2
2
2
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Si noti che se sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in
un mezzo semplice caratterizzato da e , allora anche
lo sono se:
(***)
dove é l’impedenza intrinseca del mezzo.
Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per
un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le
trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***).
Questa é una affermazione del principio di dualità.
Questo principio é una conseguenza della simmetria delle
equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti.
H,E 'H,'E
η
E-'H e Hη'E
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Campo armonico in un mezzo conduttore
Se in un mezzo la densità di corrente é e il mezzo è dissipativo, la densità di corrente è legata al campo elettrico dalla relazione:
, dove σ è la conducibilità del mezzo.
La prima equazione di Maxwell considerata nella forma completa, comporta che la permettività ε sia complessa, infatti :
Le altre equazioni di Maxwell rimangono invariate.
J
c
c
"c
σH J jω E σ jω E jω ε E jωε E
jω
H jωε E
σ Fcon ε ε -j '
ω mj
EJ
E
E Dcon DjJH
-
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Campo armonico in un mezzo conduttore
In realtà occorrerebbe tener conto anche della componente
sfasata della magnetizzazione sotto l’influenza di un campo
magnetico esterno tempo-variante, per cui alle alte frequenze:
Nei materiali ferromagnetici la parte reale è alcuni ordini di
grandezza più grande rispetto alla parte immaginaria e
quindi l’effetto della parte immaginaria è praticamente
trascurabile, → .
''' j
''
'
0''
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Quindi nelle equazioni di Maxwell, il valore reale di k in un mezzo dielettrico con perdite, è un numero complesso:
Il rapporto é chiamata tangente di perdità perché é una
misura della perdita di potenza nel mezzo:
c può essere chiamato angolo di perdita.
Si può dimostrare che la tangente di perdita equivale a:
cc ε μωk
ε'
ε"
tan .c
ε" σδ
ε' ωε
campo di grandezza della cicloper / accumulata ticaelettrosta energial’
campo di grandezza della cicloper dissipata/ energial’ tan c
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In base alla espressione di e alla I° equazione di Maxwell:
si può affermare che per i campi armonici:
• un mezzo è detto buon conduttore se >> e
• un mezzo è detto buon isolatore se >> .
Quindi, essendo =2f , un materiale può essere
• un buon conduttore alle basse frequenze, ma
• può avere le proprietà di un dielettrico con perdite, alle alte frequenze.
c
σ ε ε -j
ω
EjE c
jE ε jEεjEεjJDjJH
:armonici campi iper t
DJH
-
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Inoltre essendo:
Su tutti i punti di un campione di materiale caratterizzato da una conducibilità σ e una permettività εc, un campo induce:
• sia un vettore spostamento che comporta → una energia elettrostatica accumulata
• sia una densità di corrente che comporta → una dissipazione di potenza per effetto joule
E
J
D
EσJ EεD c
E
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Quindi essendo:
• se ωε >> σ un campo elettrico E induce nel materiale un vettore spostamento D prevalente rispetto alla densità di corrente J, per cui prevale il comportamento della materia come isolante che consente un accumulo di energia elettrostatica.
• se ωε
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Per esempio considerando che la tangente di perdita per la terra umida che è caratterizzata da una costante dielettrica εr =10 e una conduttività σ che sono circa uguale 10-2 [S/m].
La tangente di perdita della terra umida sarà:
isolatoreun diventa1GHzfcon segnali iper 10 1.8
conduttorebuon un è 1kHzfcon segnali iper 10 1.8tan
101085682
10tan
3
4
12
2
0
c
-
r
c
δ
.π fεωε
σ
ωε
σ
ε'
ε''δ
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Spettro elettromagnetico
Si possono evidenziare due punti fondamentali:
• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono valide per onde di frequenza qualsiasi .
Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1018 Hz).
• In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità, → u è un operatore scalare e dipende solo dalla natura del mezzo:
• In un mezzo con perdite, u dipende anche dalla frequenza e anche dalla conducibilità del mezzo σ → u è un operatore complesso:
1
u
ω
σjεε e ''jμ'μessendo
/1u
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Rays
X rays
Ultraviolet
Visible light
Infrared
mm wave
EHF Extremely high frequency
SHF Super high frequency
UHF Ultra high frequency
VHF Very high frequency
HF High frequency
MF Medium frequency
LF Low frequency
VLF Very low frequency
ULF Ultra low frequency
SLF Super Low frequency
ELF Extremely low frequency
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VL
rays
X rays
Ultraviolet
Visible light
Infrared
Mm wave
EHF Extremely high frequency
SHF Super high frequency
UHF Ultra high frequency
VHF Very high frequency
HF High frequency
MF Medium frequency
LF Low frequency
VLF Very low frequency
ULF Ultra low frequency
SLF Super Low frequency
ELF Extremely low frequency
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