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Fisica Generale III con Laboratorio
Campi elettrici e magnetici nella materia
Lezione 7
Cenni a ferromagnetismo
Equazioni di Maxwell nella materia
2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010
Ferromagnetismo - I
Comportamento ferromagnetico, ferrimagnetico, antiferromagnetico: derivano dall’accoppiamento fra i dipoli magnetici intrinseci, che provoca l’allineamento dei dipoli stessi.
Stessi effetti osservati nei ferroelettrici, cause completamente diverse
Allineamento: nel caso dei ferromagneti deriva dall’energia di scambioChe cos’e’?
Non deriva da una forza (es. forza magnetica) fra i dipoli; e’ una proprieta’ della funzione d’onda di coppie di elettroni, che nel caso di un solido ferromagnetico porta ad avere energia minima quando gli spin degli elettroni (e quindi i momenti di dipolo magnetico) sono allineati, anche in assenza di campo magnetizzante.
3 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 2010
Interazione fra i dipoli: importanza fondamentale dell’interazione di scambio, conseguenza del Principio di Esclusione.
Due elettroni con spin opposto: possono occupare lo stesso orbitalePiù vicini → maggiore repulsione Coulombiana
Due elettroni con spin uguale: devono occupare orbitali diversiPiu’ lontani → repulsione Coulombiana inferiore
→ Energia minima
→ Tendenza ad allineare gli spin per minimizzare l’energia totale→ Magnetizzazione spontanea
Ferromagnetismo - II
4 E.Menichetti - 2010
Energia coulombiana(repulsiva) elevata
Energia coulombiana(repulsiva) ridotta
Ferromagnetismo - III
Ossia:
5 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 2010
Antiferromagnetismo: dipoli antiparalleli. I momenti magnetici adiacenti hanno la stessa intensità e verso opposto, perciò la magnetizzazione risultante è nulla pur in presenza di ordinamento dei dipoli
Ferrimagnetismo: dipoli antiparalleli con differente momento magnetico (sono presenti almeno due tipi di ioni magnetici). Si ha magnetizzazione risultante non nulla.
Ferromagnetismo - IV
Altri fenomeni collegati:
6 E.Menichetti - 20106 E.Menichetti - 20106 E.Menichetti - 2010
Comportamento magnetico degli elementi a T ambiente
Ferromagnetismo - V
7 E.Menichetti - 20107 E.Menichetti - 20107 E.Menichetti - 2010
Domini magnetici
Come nel caso dei ferroelettrici: struttura a domini minimizza l’en. totale
8 E.Menichetti - 2010
Ciclo di isteresi - I
9 E.Menichetti - 2010
Ciclo di isteresi - II
10 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 2010
Ciclo di isteresi - III
µM
11 E.Menichetti - 2010
Magnetizzazione spontanea - I
Modello fenomenologico di Weiss (inizio ‘900)Campo efficace (non di origine magnetica) che agisce sui dipoli[Idea analoga a quella del campo elettromotore nelle batterieVera origine: interazione di scambio]Ipotesi: campo molecolare
( )
( )
( )
0
0
1 ( )
01
1 ( )
1
cos cos
cos
proporzionale alla magnetizzazione
campo interno totale
Magnetizzazione, usando funzione di Langevin:
dev
w
tot
H wM
kT
H wM
kT
H wM
H H wM
e dH wM
M n n LkT
e d
M
µµ
µµ
θ θµµ
µ µ
θ
− +
+− +
+
=
→ = +
+ = =
→
∫
∫e soddisfare l'equazione precedente
12 E.Menichetti - 2010
Magnetizzazione spontanea - II
( )
( )
0 0
0
0
0
0
0 0
Definiamo:
Magnetizzazione spontanea:
anche se
Eq. trascend
te
en
H wMx
kT
M H
wM xkTx M
kT w
kTM x
w
M n L x
µµ
µµ
µµ
µµ
µ
+=
≠ =
→ = → =
=→ =
13 E.Menichetti - 2010
Magnetizzazione spontanea - III
Soluzione numerica/grafica:
0
kTM x
wµ µ=
( )M n L xµ=
θf: temperatura minima per avere magnetizzazione spontanea
14 E.Menichetti - 2010
Magnetizzazione spontanea - IV
( )
( )
( )�
( )
( )�
( )( )
0
20
2
0
0
0
, 13
3
3
3
, 0 :
f
f
M
M
xL x x
kT n
w
nw
k
M T kT xTx
n n w
MM T
L xn
µ
µ µ
µθ µ
µ µ µ θ
µ
≈
→ ≤
→ =
= = =
�
per avere intersezione
temperatura di Curie
Riscrivendo:
Magnetizzazione di saturaz
ione
15 E.Menichetti - 2010
( )( )0
funzione universale di f
M T T
M θ→
Magnetizzazione spontanea - V
Curve calcolate con funzioni di Brillouin in buon accordo con i dati
Fe, Co, Ni:
Evidenza per J=1/2
→ Effetto di spin
16 E.Menichetti - 2010
Materiale Permeabilita’ Relativa µr
Mu Metal 20,000
Permalloy 8000
Acciaio laminato 4000
Ferrite (nickel zinco) 16-640
Ferrite (manganese zinco) >640
Acciaio 100
Nickel 100-600
Materiali ferromagnetici - I
Permeabilita’ ferromagnetiche
17 E.Menichetti - 2010
Materiale TCurie °C
Iron (Fe) 770
Cobalt (Co) 1130
Nickel (Ni) 358
Iron Oxide (Fe2O3) 622
Materiali ferromagnetici - II
Come visto, i materiali ferromagnetici perdono la magnetizzazione spontanea al di sopra di una temperatura caratteristica (TCurie), diventando
paramagnetici
Anche in questo caso: si tratta di una transizione di fase
18 E.Menichetti - 2010
Materiali ferromagnetici - III
Esempio: Sfera ferromagnetica con magnetizzazione uniformeSituazione simile (superficialmente) a quella delle sfera paramagnetica uniformemente magnetizzataDifferenza essenziale: il mezzo non e’ lineare (v. Ciclo di isteresi)
( )
( )
0 0
0
0
( , )
( , )r
B H M B H
B H
B H H B H
µ µ
µ
µ µ
= + → − =
− =
→ =
→
magnetizzazione uniforme
Approssimando a un campo uniforme:
retta nel piano
non e' proporzionale ad
curva di isteresi nel piano
Int
ersezione: valore
!
M
B H M B H M
( , )B Hdi nella s fera
19 E.Menichetti - 2010
Materiali ferromagnetici - IV
H
B
20 E.Menichetti - 2010
Materiali ferromagnetici - V
Campo totale B di una sfera ferromagnetica immersa in un campo
esterno originariamente uniforme
Qualitativamente: simile alla sfera paramagnetica in un campo esternoQuantitativamente: campo interno o vicino alla sfera molto piu’ elevato
Esempio: Cilindro uniformemente magnetizzatoB ed H non sono uniformi nel cilindro (← non e’ un ellissoide)
Materiali ferromagnetici - VI
B H
21 E.Menichetti - 2010
22 E.Menichetti - 2010
Equazioni di Maxwell nella materia - I
( )
0
0
0 0 0
0
1
0
Relazioni fra i vettori elettrici:
r
ε
ε χ
ε ε χ ε ε
ε
χ
= +
=
= + =
= −
>
D E P
P E
D E E E
E D P
( )
( )( )( )
0
10 0
0 0
0
1
1 1
1
1 1
1
0
0
dia sempre molto piccolo
para
(esclusi ferromagn
Relazioni fra i vettori magnetic
e
i:
ti)
m
mm
m
m
m r
m
χ
µ
χχ
µ χ µ
χ
µ χ µ µ
µ
χ
= −
=+
= − = +
= +
<>
H B M
M B B
H B B B
B H M
�
�
Relazionicostitutive
(~ empiriche)
23 E.Menichetti - 2010
Equazioni di Maxwell nella materia - II
0
0
0
con
r
r
t
t
ρ
ε ε
µ µ
∇⋅ =
∇⋅ =
∂∇× =−
∂∂
∇× = +∂
=
=
D
B
BE
DH j
D E
B H
Nel caso piu’ semplice (e non realistico):
εr,µr scalari, indipendenti da E,H, indipendenti da T, indipendenti da ω
Equazioni di Maxwell e relazioni costitutive:
24 E.Menichetti - 2010
Equazioni di Maxwell nella materia - III
D,H campi ausiliari, la cui proprieta’ fondamentale e’ molto semplice:
Sono originati dalle sole cariche e correnti vere
Tuttavia, occorre non ingannarsi:
Non sono definiti completamente dalla loro proprieta’ semplice(divergenza di D, rotore di H)
In particolare:
Carica o corrente vera nulla non corrisponde, in generale, a D o H nullo!