UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE

Apuntes de

INTRODUCCIÓN

A LA

MATEMÁTICA DISCRETA Para la titulación de

LICENCIATURA EN ESTADÍSTICA

DEPARTAMENTO DE

MATEMÁTICAS

CAMINOS

Analizaremos un ejemplo básico de cuenta de caminos siguiendo líneas en figuras. En una

cuadricula de 3x3, sea “A” el vértice inferior izquierdo y “B” el vértice superior derecho.

¿Cuántos caminos hay de “A” a “B” siguiendo las líneas de la figura si solo se puede avanzar

hacia a la derecha y hacia arriba?

l

B

m n

h

i j k

d

e f g

↑ A → a b c

Para llegar a “a”, “b” y “C” hay 1 forma.

Para llegar a “d”, “h” y “l” hay 1 forma.

Para llegar a “e” hay 2 formas.

Para llegar a “f” hay 3 formas.

Para llegar a “g” hay 4 formas.

Para llegar a “i” hay 3 formas.

Para llegar a “j” hay 5 formas.

Para llegar a “k” hay 10 formas.

Para llegar a “m” hay 4 formas.

Para llegar a “n” hay 10 formas.

Comprobemos lo anterior con la siguiente cuadricula:

Por lo tanto hay 10 caminos distintos para llegar de “A” hasta “B” y en cualquier camino de “A”

hacia “B” hay 6 decisiones; 3 hacia la derecha y 3 hacia arriba.

EJEMPLO 1:

En una cuadricula de 5x2. ¿Cuántos

caminos hay de “A” hacia “B” si siempre

hay que ir hacia la derecha o hacia arriba?

Existen 21 caminos distintos para llegar de “A” a “B”. Además hay 7 decisiones; 2 hacia arriba y

5 hacia la derecha.

EJEMPLO 2:

Para una cuadricula de 4x4 ¿Cuántos caminos hay de “A”

hasta “B”?. El total de caminos de “A” a “B” con

movimientos → ↑ se denota por el combinatorio:

1

B

4 10 20

1

3 6 10

1

2 3 4

↑ A → 1 1 1

1 B

3 6 10 15 21

1

2 3 4 5 6

↑

A → 1 1 1 1 1

B

↑

A →

EJEMPLO 3: Construir las cuadriculas correspondientes para y

En general:

De una forma explicita:

PROPIEDADES:

1.

2.

3.

4.

Las figuras que representan cada una de las propiedades son:

1.

Hay 1 manera para llegar de “A” a “B”

Para el combinatorio la cuadricula

B

↑

A →

correspondiente es:

Para el combinatorio la cuadricula

correspondiente es:

B

↑

A →

A B

1 1 1

2.

Hay “n” caminos diferentes

3.

Hay una forma de llegar de “A” a “B”

4.

Hay n caminos de “A” hasta “B”

B

…

↑ A →

B

. . .

A

B

↑

A →

EJEMPLO 4: Construir una figura para:

a)

b)

c)

d)

Desarrollo

a)

b)

c)

d)

B

A

A

B

EJEMPLO 5:

De los caminos posibles de “A” a “B”:

a) ¿Cuántos pasan por C1?

A → C1 → B

b) ¿Cuántos pasan por C2?

A → C2 → B

c) ¿Cuántos pasan por C1 y C2?

A → C1 → C2 → B

d) ¿Cuántos pasan por C1 ó C3?

e) ¿Cuántos no pasan por C1 ni por C2?

f) ¿Cuántos pasan por C1, C2 y C3?

A → C1 → C2 → C3 → B

Solución: 0

No es posible.

g) Representar gráficamente el literal e).

EJEMPLO 6: Para la cuadricula

a) ¿Cuántos caminos hay de “A” a “B”?

A → P → B

b) ¿Cuántos caminos de “A” a “B” hay pasando por C1 ó C2?

EJEMPLO 7: Para la cuadrícula

¿Cuántos caminos de “A” a “B” pasan por C1 ó C2?

A → C1 → P + A → C2 → P - A → C1 → C2 →P

C → B

D → B

C → B

D → B

C → B

D → B