Cálculo Numérico Y Manejo de Errores

Antes de comenzar es necesario tomar en cuenta el concepto que se entiende como Análisis Numérico.

El Análisis Numérico es una rama de las matemáticas que mediante al uso de algoritmos iterativos, obtiene soluciones numéricas a problemas en los cuales la matemática simbólica o (analítica) resulta poco eficiente en consecuencia no puede ofrecer una solución. En particular, a estos algoritmos se les denomina Métodos numéricos.

El desarrollo de esta materia corre de igual forma con el desarrollo tecnológico de la computación. La computadoras al igual que las calculadoras están facultadas para realizar una multitud casi infinita de operaciones algebraicas, esto los convierten en unas de las herramientas para la aplicación de los métodos numéricos.

Como consecuencia de esto, por lo general los métodos numéricos arrojan soluciones numéricas arrojan soluciones numéricas. Si en determinado caso se desea obtener soluciones analíticas se deberá recurrir a los procedimientos algebraicos acostumbrados.

Es importante saber que las soluciones numéricas conllevan una cota de error, este error debe considerarse en su manejo y desarrollo.

Una actividad muy frecuente en la ingeniería consiste en trabajar con modelos matemáticos representativos. Como consecuencia de esto existen diferentes resultados obtenidos experimentalmente y los emanados propiamente del modelo matemático.

A las diferencias cuantitativas se denomina ERRORES.

Existen diferentes errores y sus clasificaciones:

Error por truncamiento:

Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylo r. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

Error numérico total:

Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.

Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Errores humanos:

Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.

Error inherente:

En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.

Error absoluto:

Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:

Error absoluto = [exacto - calculado]

Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin

reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.

Error relativo:

Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos

Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]

El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa este efecto.

Propagación del error

Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son más importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los números:

a = 0.276435 b = 0.2756

Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:

a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3

b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3

Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los aproximados se obtiene:

a - b = 0:000835

a'- b'= 0.0

Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta generar un resultado carente de significado.

El Numero Maquina Es un sistema numérico que consta de dos dígitos Ceros y Unos. Cuando se habla de este término significa que es de base 2, lamas pequeña posible.

Daniel Zambrano

CI: 22197321