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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSES

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CINCIA DA COMPUTAO - DECCDEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E DA TERRA - DCET

CURSOS: ENGENHARIA CIVIL E CINCIA DA COMPUTAO CLCULO NUMRICO COMPUTACIONALCADERNO 1 Prof Eliani Retzlaff

e-mail: elianir@urisan.tche.br santo ngelo - AGOSTO, 2014

DADOS DE IDENTIFICAO

CURSO:ENGENHARIA CIVIL E CINCIAS DA COMPUTAO

DISCIPLINA:CLCULO NUMRICO COMPUTACIONAL

DEPARTAMENTO:CETCDIGO: 10-415

PROFESSOR:ELIANI RETZLAFF

NMERO DE HORAS:60 h/aT: 45P: 15CRDITOS:04

EMENTA DA DISCIPLINA

Erros. Zeros de funes. Sistemas lineares. Interpolao polinomial. Integrao numrica. Introduo a solues de equaes diferenciais ordinrias.

OBJETIVOS DA DISCIPLINA

GERAL:

Propiciar ao aluno metodologias/conhecimentos para a resoluo de diversos problemas que envolvam a utilizao do computador como ferramenta de clculo.

ESPECFICOS:

Entender, saber quando aplicar, como utilizar e como implementar diversos mtodos numricos apropriados para: achar as razes de equaes algbricas e transcendentes; resolver sistemas de equaes lineares; fazer ajustes de curvas; fazer interpolao; realizar integrao numrica.

CONTEDO PROGRAMTICO:

1. ERROS

1.1 Introduo

1.2 Mtodo Numrico

1.3 Clculo Numrico

1.4 Clculo Direto e Clculo Iterativo

1.5 Erros e Critrios de Arredondamento

1.6 Erros da Fase de Modelagem

1.7 Erros da Fase de Resoluo

1.8 Erros de Arredondamento

1.9 Erros de Truncamento

1.10 Propagao de Erros

2. ZEROS DE FUNES

2.1 Conceitos e definies

2.1.1 Zeros de uma Funo

2.1.2 Processo Iterativo

2.1.3 Determinao da Raiz

2.2 Localizao e Refinamento

2.2.1 Localizao de Razes Isoladas

2.3 Processos Iterativos

2.3.1 Mtodo da Dicotomia ou Bisseco

2.3.2 Mtodo de Newton, Newton-Raphson ou das Tangentes

2.4 Implementao Computacional de Mtodos

3. SISTEMAS LINEARES

3.1 Conceitos e Definies

3.2 Matrizes Associadas a um Sistema

3.3 Mtodo de Gauss e Gauss-Jordan

3.3.1 Algoritmo da Triangulao de Gauss

3.3.2 Algoritmo da Diagonalizao de Gauss-Jordan

3.4 Mtodos Iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel

3.5 Refinamento de Solues

3.6 Implementao Computacional de Mtodos

4. INTERPOLAO

4.1 Interpolao Linear

4.2 Interpolao Polinomial

4.3 Interpolao Quadrtica - Determinante de Vandermonde

4.4 Interpolao de Lagrange

4.5 Interpolao de Newton para diferenas divididas

4.6 Implementao Computacional de Mtodos

5. INTEGRAO NUMRICA

5.1 Introduo

5.2 Mtodo dos Trapzios

5.3 Mtodo de Simpson

5.4 Quadratura Gaussiana

5.5 Implementao Computacional de Mtodos

6. MTODOS NUMRICOS PARA EDO'S

6.1 Introduo

6.2 Mtodo de Euler

6.3 Mtodo de Runge-Kutta

6.4 Mtodo de Predio-Correo

6.5 Implementao Computacional de Mtodos

METODOLOGIA DE ENSINO

Os conceitos tericos sero expostos dentro de um contexto aplicado. Ser utilizado o laboratrio de informtica, utilizando-se da planilha Excel, bem como Implementao Computacional de Mtodos Utilizando o MathCad, Scilab, ou Octave.

ATIVIDADES DISCENTES

Aplicao dos mtodos na resoluo de exerccios individuais e/ou em grupo sem e com a utilizao de recursos tecnolgicos.

PROCEDIMENTOS DE AVALIAO

Sero realizados: a) Exerccios programas constituindo uma nota T;

b) duas provas constituindo as notas P1 e P2;

c) a nota de aprovao ser:

A prova ser realizada com consulta somente a um formulrio de uma folha tamanho A4 (frente e verso) escrito mo a ser entregue junto com a prova.

Em caso de perda de uma das provas o acadmico dever procurar o professor at no mximo 2 dias teis aps a data de realizao da prova para realizar a prova de reposio.

BIBLIOGRAFIA BSICA

BARROSO, L. C. Clculo Numrico com Aplicaes. 2 ed., So Paulo: Harbra, 1987.

CLAUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Clculo Numrico Computacional. 2 ed., So Paulo: Atlas, 1994.

RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.da R. Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Computacionais. 2 ed., So Paulo: Makron Books, 1997.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 4 v.

HUMES, Ana Flora P. de Castro; MELO, Ins S. Homem; YOSHIDA, Luzia Kazuko;MARTINS, WAGNER Tunis. Noes de Clculo Numrico. So Paulo: Editora McGraw- Hill Ltda., 1984.

SANTOS, Vitoriano Ruas de Barros. Curso de clculo numrico. Rio de Janeiro: LTC, 1974-1977.

SADOSKY, Manuel. Clculo Numrico e Grfico. Rio de Janeiro: Intercincia, 1980.

BARROS, Ivan de Queiroz. Introduo ao clculo numrico. So Paulo: Edgard Blcher, 1981.

ATENDIMENTO AOS ALUNOS

Quarta-feira das 14 s 17h.

Obs.: Os exerccios programa sero realizados em dupla, podendo-se utilizar os programas Scilab, ou Octave, ou Mathcad.

1 ERROS EM PROCESSOS NUMRICOS

O conhecimento e controle sobre os possveis erros envolvidos no processo de clculos eletrnicos ou mtodos numricos so muito importantes para anlise de resultados obtidos, pois esta anlise representa uma etapa fundamental no processo das solues numricas.

1.1 Alguns Conceitos

Modelagem: a fase de obteno do modelo matemtico que descreve o comportamento do sistema fsico.

Algoritmo: o conjunto predeterminado e bem definido de regras e processos destinados soluo de um problema, com um nmero finito de etapas, ou seja, um caminho para soluo de um problema.

O algoritmo tambm representa o rascunho para programas (Software), pois sua linguagem intermediria linguagem humana e s linguagens de programao, sendo ento, uma boa ferramenta na validao da lgica de tarefas a serem automatizadas.

CARACTERISTICAS BSICAS DE TODO ALGORITMO Partir de um ponto inicial e chegar a um ponto final;

No ser ambguo (ter dupla interpretao);

Poder receber dados externos e ser capaz de retornar resultados aos mesmos;

Ter todas suas etapas alcanveis em algum momento do programa.

FORMAS DE REPRESENTAO Pode-se representar um algoritmo de 3 formas distintas:

1 Forma: Descrio narrativa Faz-se uso da descrio narrativa, quando se quer descrever um algoritmo de forma que o receptor da informao entenda do assunto mesmo no conhecendo de algoritmos, porm neste tipo de descrio temos uma impreciso e uma falta de confiabilidade no entendimento do algoritmo alm de se ter uma descrio muito grande para dizer pouca coisa.

Exemplo: Dobro de um nmero

Digitar um nmero;

Gravar em uma varivel;

Pegar o nmero e multiplicar por 2;

Gravar o resultado em outra varivel;

Mostrar o resultado da operao.

2 Forma: Fluxograma Desta forma faz-se o uso de smbolos universais que ajudam a compreender o que o algoritmo quer dizer. Este mais utilizado, pois se trata de um padro mundial, alm de que smbolos dizem muito mais que palavras, porm este complica-se na medida que o algoritmo cresce. Levando-se em considerao o exemplo anterior temos:

Legenda:

Clculo

Deciso

Entrada

Sada

Inicio/Fim

3 Forma: Linguagem Algortmica Consiste na representao em linguagem de programao. Exemplo atravs da linguagem de estudo de algoritmos o Turbo Pascal 7.0:

Program Calcula_Dobro; Uses crt; Var NUM: integer; DOBRO: integer; Begin Write (Digite um nmero:); Read (NUM); DOBRO:= 2 * NUM; Write (O dobro de , NUM, e , DOBRO); Readkey; End.

Programa: a formalizao de um algoritmo em uma determinada linguagem de programao, segundo suas regras de sintaxe (conjunto de regras que determinam quais construes so corretas) e semntica (descrio de como as construes sintaticamente corretas so interpretadas ou executadas), de forma a permitir que o computador possa entender a seqncia de aes.

Resoluo: a fase de obteno da soluo atravs da aplicao de mtodos numricos (este o objetivo de estudo do Clculo Numrico).

Clculo Numrico: Conjunto de ferramentas ou mtodos usados para se obter a soluo de problemas matemticos de forma aproximada.

Mtodos numricos: se define como um algoritmo que vai produzir um ou mais valores numricos, ou seja, so mtodos de convergncia que apresentam uma seqncia de clculos simples, porm repetitivos.

Assim, os mtodos numricos:

Aplicam-se onde os mtodos exatos falham ou so trabalhosos

1) Um problema de Matemtica pode ser resolvido analiticamente, mas esse mtodo pode se tornar impraticvel com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo: soluo de sistemas de equaes lineares.

2) A existncia de problemas para os quais no existem mtodos matemticos para soluo (no podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) equaes transcendentes

b) certas integrais

c) equaes diferenciais parciais no lineares podem ser resolvidas analiticamente s em casos particulares.

Primam pela simplicidade, sendo que o resultado possvel de refinamento at obter-se a preciso desejada;

So conhecidos h muito tempo, mas atualmente encontram larga aplicao valendo-se da evoluo dos processos computacionais.

Estas consideraes podem ser visualizadas no fluxograma:

Quando a soluo de um problema necessita ser obtida numericamente, o processo tende a se apresentar da forma seguinte:

Pesquisar:

1- Qual o objetivo do Clculo Numrico? 2- Apresente aplicaes nas quais se torna necessrio (ou til) a produo de resultados numricos. 3- Sabendo que os mtodos numricos buscam solues aproximadas para as formulaes matemticas, qual o problema inerente das solues obtidas atravs da utilizao destes mtodos? 4- Quais os passos necessrios para a obteno de uma soluo numrica utilizando o computador?1.2 Erros

Nos problemas reais, os dados so medidas e, como tais, no so exatos. Uma medida fsica no um nmero, um intervalo, pela prpria impreciso das medidas. Da, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente prpria medio.

Ento, ao buscar-se solues atravs de mtodos numricos para resoluo dos problemas das mais variadas reas, podem se chegar a resultados no esperados.

Em todo o processo do esquema citado anteriormente podem ocorrer erros:

de observao (no levantamento de dados);

de modelagem (na escolha do modelo adequado);

referente ao mtodo numrico escolhido;

devido capacidade de representao dos nmeros nas mquinas (arredondamento ou truncamento);

resultante da propagao de outros erros.

1.2.1 Erros na fase de Modelagem

Erros causados por distores que existem entre os possveis modelos que podem ser usados na descrio do comportamento de um fenmeno fsico.

Exemplo: Para determinar a altura de um edifcio dispondo apenas de uma bolinha de metal, um cronmetro e a seguinte frmula , uma pessoa sobe ao topo e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar no solo que de 3 segundos.

d = 44,1 m (no confivel)

Preciso do cronmetro?

Velocidade do vento?

Resistncia do ar?

Foras?

2.2.2 Erros na fase de Resoluo

Para a obteno da soluo de determinados modelos matemticos muitas vezes necessria a utilizao de instrumentos de clculo que necessitam aproximaes e com isso podem gerar erros, como exemplo, os computadores, que tem capacidade limitada para armazenar os dgitos significativos de valores numricos utilizados nas operaes elementares (+, - , x, ).

1.2.2.1 Erros na Converso de Bases:

SISTEMAS DE NUMERAO E SUA REPRESENTAO:Uma das primeiras tentativas de registro de quantidades sob a forma escrita foi o sistema de numerao indo-arbico, do qual derivado o atual sistema de numerao decimal. Um sistema de numerao formado por um conjunto de smbolos utilizados para representao de quantidades (alfabeto) e as regras que definem a forma de representao.

Quando falamos em sistema decimal, estamos estabelecendo que a nossa base de contagem o nmero 10, pois o sistema decimal possui um alfabeto de 10 smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Este conjunto de smbolos do alfabeto define o que chamado de base do sistema de numerao. Assim, se temos 10 smbolos, estamos trabalhando sobre a base 10. Um sistema de numerao determinado fundamentalmente pela sua base.

Os Sistemas de numerao podem ser divididos em 2 grupos: os sistemas no-posicionais e os sistemas posicionais.

SISTEMAS NO-POSICIONAIS: So aqueles em que o valor atribudo a um smbolo no se altera, independentemente da posio em que ele se encontre no conjunto de smbolos que est representando um nmero. Exemplo: O sistema de numerao romano. Neste sistema temos os smbolos I, V, X, L, C, D e M. Em qualquer posio dentro de um conjunto destes smbolos, eles no alteram seus valores (I _ 1, V _ 5, X _ 10, L _ 50, C _ 100 e M _ 1000), o que se altera a sua utilizao para a definio da quantidade representada (porm individualmente eles continuam representando a mesma quantidade), a partir das regras definidas pelo sistema: Cada smbolo colocado direita de um maior adicionado a este.

Ex.: XI _ 10 + 1 = 11;

Cada smbolo colocado esquerda de um maior tem o seu valor subtrado deste.

Ex.: IX _ 10 1 = 9;

Assim, o nmero XXI representa 21 em decimal (10 + 10 + 1), enquanto que XIX representa 19 (10 + 10 1).

SISTEMAS POSICIONAIS: So aqueles em que o valor atribudo a um smbolo depende da posio em que ele se encontra no conjunto de smbolos que est representando um nmero.

Exemplo: O sistema de numerao decimal, com smbolos de 0, 1,.., 9. Neste sistema, por exemplo, o smbolo 5 pode representar o valor 5, o valor 50, como em 57 (50 + 7), o valor 500, como em 503 (500 + 3), e assim por diante. Isto , a regra vlida para o sistema decimal que quanto mais esquerda do nmero o smbolo est, mais ele vale. Na verdade, a cada posio mais esquerda, o smbolo vale 10 vezes mais.

Se representarmos o nmero 245 assinalando um smbolo a cada casa, indicando o valor de cada casa, teremos:

Valor da casa10001001010,10,01

Dgitos024500

O significado de cada dgito em determinada posio o valor da casa multiplicado pelo valor do dgito e a quantidade representada a soma de todos os produtos.

x = (245)10 = 2.102 + 4.101 + 5.100

Exemplo: O nmero 3547,21, pode ser representado da seguinte forma:

x = (3547,21)10 = 3.103 + 5. 102 + 4.101 + 7. 100 + 2. 10-1 + 1. 10-2 = 3000 + 500 + 40 + 7 + 0,2 + 0,01Os computadores atuais representam os nmeros internamente no formato binrio, como sequncia de zeros e uns.

No sistema binrio, os smbolos 0 e 1, representam os valores numricos, onde, cada casa vale 2 vezes mais que aquela que est imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que est a sua esquerda. Desta forma, teremos que, se o valor da primeira casa da direita for 20, a segunda valer 20 x 2 = 21, e assim consecutivamente para a esquerda. Os valores das casas ficam claros no seguinte esquema:

Se b0, b1, b2, etc., so os valores (0 ou 1) que se coloca em cada posio, a quantidade representada valer:

+ b424 + b323 + b222 + b121 + b020 + b-12-1 + ...

Para evitar a representao mediante o somatrio, adota-se a conveno de separar mediante vrgulas as casas 20 e 2-1, de tal modo que a representao fique:

... b4 b3 b2 b1 b0, b-1 b-2

Em que bi = 0 ou 1.

Exemplo: o nmero binrio 10011,01 representa a quantidade:Valor da casa24=1623=822=421=220=12-1=1/22-2=1/4

Dgitos1001101

x = (10011,01)2 = 1.24 + 0.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 + 0.2-2 = 16 + 2 + 1 + 1/4 = 19,25A tabela seguinte apresenta alguns sistemas de numerao:

DecimalHexadecimalBinrioOctal

0000

1111

22102

33113

441004

551015

661106

771117

88100010

99100111

10A101012

11B101113

12C110014

13D110115

14E111016

15F111117

Exerccio 1: Represente os nmeros nas respectivas bases:a. (347)10 =b. (1059,7)10 =c. (10111)2 =d. (11,101)2 =CONVERSO DE BASES: o processo de converter valores de um sistema de numerao para outro. BASE QUALQUER EM DECIMAL: Basta fazer a representao do nmero pelo

Teorema Fundamental de Numerao (T.F.N.):

ann +...+ a22 + a11 + a00 + a-1-1+...

de forma simplificada:

e cada ai um inteiro no negativo e n um valor que representa a posio mais esquerda do nmero, ou posio mais significativa do nmero. Esta representao de X nica e chamada de representao de X na base B, representada como (X)B.

Exemplo: (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10

Exerccio 2: Converta os seguintes nmeros de base binria para base decimal:

a. (101111)2 =b. (11,01)2 =

c. (101101)2 =d. (11010,101)2 =e. (0,1101)2 = DECIMAL EM BINRIO: Para a parte inteira mediante divises inteiras sucessivas por dois, tomando-se os restos das divises no sentido ascendente.Exemplo: Converta o nmero de base decimal 197,125 para base binria. Para inteiros: Dividir at que o ltimo quociente seja menor que a base.(197)10 = (11000101)2Para no inteiros usa-se o mtodo das multiplicaes sucessivas.

Algoritmo:

Passo 0:

x1 = x; k = 1

Passo 1:

Calcule 2.xk

Se 2.xk = 1, faa: dk = 1

Caso contrrio, faa: dk = 0

Passo 2:

Faa xk+1 = 2xk - dk,

Se xk+1 = 0, pare.

Caso contrrio:

Passo 3:

k = k+1

Volte ao passo 1

E ento: 0,d1d2d3...dkDo exemplo anterior:

KXk2.XkdkXk+1= 2.Xk - dk

10,1250,2500,25 0 = 0,25

20,250,500,5 0 = 0,5

30,51,011,0 1 = 0 (pare!)

Ou:

0,125*2 = 0,25*2 = 0,5*2 = 1

(0,125)10 = (0,d1d2d3)2 = (0,001)2 e

(197,125 )10 = (11000101,001)2Observao: um nmero real entre 0 e 1 pode ter representao finita no sistema decimal, mas infinita no sistema binrio.

Exerccio 3: Converter (0,1)10 na base 2. Resp.: (0,0001100110011...)2Como visto, um nmero pode ter representao finita em uma base e no-finita em outra. Assim, os dados de entrada so enviados ao computador pelo usurio no sistema decimal; toda esta informao convertida para o sistema binrio, e as operaes todas sero efetuadas neste sistema. Os resultados finais sero convertidos para o sistema decimal e, finalmente, sero transmitidos ao usurio. Todo este processo de converso uma fonte de erros que afetam o resultado final dos clculos.

Exerccios 4:

1) Converta os seguintes nmeros de base decimal para base binria:

a. =

b. =

c. =

d. =

e. =

f. =

2) Determine o inteiro positivo x que verifica a igualdade (10101)x =(651)10Programa de converso - no MathcadDados de entrada: b: base d: dgitos presentes no nmero

n: nmero de dgitos presentes no nmero

i: ordem do dgito, comeando por i = 0 (linha zero)

De (101111)2 para base 10:

Algoritmo:

Dados de sada:

1.2.2.2 Erros de Representao dos NmerosNa memria de um equipamento, cada nmero armazenado em uma posio que consiste em um sinal que identifica se o nmero positivo ou negativo e um nmero fixo e limitado de dgitos significativos.

Aritmtica de Ponto Flutuante:Um computador ou calculadora representa um nmero real (inteiro ou no-inteiro) num sistema denominado aritmtica de ponto flutuante, pois o ponto da frao flutua conforme o nmero a ser representado e sua posio expressa pelo expoente e.

Definio:

Um sistema de ponto flutuante um subconjunto dos nmeros reais cujos elementos tem a forma:

Onde:

base em que a mquina opera (binria, decimal, hexadecimal, etc..);

preciso t da mquina (nmero de algarismos da mantissa);

limites do expoente de ();

di: so nmeros inteiros contidos no intervalo 0 di < ; i = 1, 2, ..., t; d1 0;

Se d1 0, diz-se que o nmero est normalizado.

A mantissa fracionria nesta representao (

x + y = 0,9383.104 = 9383

c) x.y efetuando truncamento;

x.y = 0,937.104 . 0,1272.10 = (0,1191864).106

x.y = (0,1191 + 0,0000864).104

x.y = (0,1191 + 0,864.10-4).104 = 0,1191.104 + 0,864.100

fx.y = 0,1191 e gx+y = 0,864logo: x.y = 119100d) x.y efetuando arredondamento.

como gx.y = 0,864 >

x.y = 0,1192 . 104 = 119200Exerccios:1) Considere o sistema F(10,3,-5,5) e x = 234.56, calcule fx e gx.2) Com as operaes em F(10,2,-5,5). Sejam x = 4,32 e y= 0,064, calcular x + y, com truncamento e com arredondamento.

3) Considere uma aritmtica de ponto flutuante F(10,2,-5,5). Sejam x = 875 e y =3172. Calcular x + y e tambm x * y.4) Suponhamos que as operaes indicadas nos itens a. e b. sejam processadas numa mquina com 4 dgitos significativos. Fazendo-se: x1 = 0.3491104 e x2 = 0,2345100, tem-se:a. (x2 + x1) x1b. x2 + (x1 x1)Resolver:

1- Exerccio 3 e 9 da pgina 22 - livro de Clculo Numrico da Mrcia Ruggiero e Vera Lopes2 ZEROS DE FUNES

Em muitos problemas prticos de aplicao matemtica de Cincias e Engenharia, por exemplo: clculo de valores extremos de uma funo indicativa de um fenmeno fsico, como temperatura, energia, etc., ou as razes de um polinmio caracterstico para a obteno dos autovalores e autovetores de uma matriz, extremamente importantes na anlise do comportamento dos sistemas dinmicos; h a necessidade de se determinar um nmero xr para o qual:

raiz de f(x)

Equaes Algbricas (ou Polinomiais):

A varivel aparece submetida a operaes algbricas, repetidas um nmero finito de vezes. Se x esta varivel, tem-se:

onde:

Equaes Transcendentes:

A varivel aparece submetida a operaes no algbricas em pelo menos um termo da equao. Nestas equaes, em pelo menos um termo, aparecem funes como: exponenciais, logartmicas, trigonomtricas, etc.Aplicao:

Equilbrio de Mecanismos:

2.1 RESOLUO DE EQUAES ALGBRICAS E TRANSCENDENTESAs equaes algbricas de 1 e 2 Graus, certas classes de 3 e 4 graus e algumas equaes transcendentes podem ter suas razes calculadas exatamente por mtodos analticos, mas para polinmio de grau posterior a quatro e para a grande maioria das equaes transcendentes o problema s pode ser resolvido por mtodos que aproximam as solues.

Embora esses mtodos no determinem as solues exatas, as razes podem ser calculadas com a exatido que o problema determine, desde que certas condies de f sejam satisfeitas.

2.1.1 Teorema de Bolzano

Para que uma funo seja contnua y = f(x) tenha no mnimo uma raiz no intervalo [a, b], suficiente, que ele tenha valores de sinais opostos nos limites deste intervalo, ou seja, f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo fechado [a,b].Observando o grfico seguinte:

Se , ento o intervalo conter no mnimo uma raiz (ou um n mpar de razes).

Se , ento, a f(x) no tem nenhuma raiz real no intervalo ( ou o n de razes ser par). A raiz x ser definida e nica se a derivada f`(x) for contnua e conservar o sinal dentro do intervalo [a, b].

y = f(x)(

f(a).f(b) < 0

(

xr[a, b]f(xr) = 0

2.1.2 Refinamento

Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:

2.1.2.1 Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a,b], o menor possvel, que contenha uma e somente uma raiz da equao f(x) = 0;

Tcnicas de Isolamento de Razes:

Para isolar os intervalos que contenham razes, alm do Teorema de Bolzano (procedimento analtico), podemos utilizar um recurso grfico, ou o isolamento atravs de tabelas, ento:

Isolamento atravs de Tabelas:

Observamos as mudanas de sinais da funo f(x), quando for atribudo valores para a varivel x. Verifique o exemplo, f(x) = x3 9x +3,

x-

-100-5-3-10123

Tem-se que, ( , ) , ( , ) e ( , )

Visualizao Grfica mtodo grfico: Se possvel a subdiviso da funo dada em outras duas funes, pode simplificar muitas vezes a representao grfica:

ou seja, os valores de x para os quais vale a igualdade de g(x) e h(x), so aproximaes das razes de f(x), logo: o zero da funo se encontra no ponto x da interseco das duas novas funes.

Do exemplo anterior:

Exerccio: Como visto, o Mtodo Grfico, consiste em traar o grfico da funo f(x) com o objetivo de determinar o intervalo [a, b] que contenha uma nica raiz, ento, encontre (isole) os intervalos onde as razes da funo transcendente esto localizadas.

(lembrar que: para valores reais, calculadoras em rad)

Procedimento analtico:

Seja f(x) contnua em [a, b], ento:

Se f(a).f(b) < 0, um nmero mpar de razes neste intervalo;

Se f(a).f(b) > 0, ou um nmero par de razes neste intervalo;

supondo que f(x) e f(x) sejam contnuas em [a, b] e que o sinal de f(x) se mantenha constante, ento:

Se f(a).f(b) < 0 uma nica raiz em [a, b];

Se f(a).f(b) > 0 raiz real em [a, b];

Observao: o fato de f(x) manter o sinal constante em [a, b], implica que f(x) poder ser crescente ou decrescente em [a, b].

Se f(x) indica a direo da concavidade da curva:

Se f(x) > 0 concavidade voltada para cima;

Se f(x) < 0 concavidade voltada para baixo;

Exemplo de uma funo qualquer:

Com relao a primeira raiz:

As funes f(x) e f(x) so contnuas no intervalo x ( [-2; -1,5]

a = -2 e b = -1,5; f(a) = f(-2) ( 4,32 > 0 e f(b) = f(-1,5) ( - 0,388 < 0;

f(x) < 0, para x ( [a, b] ( o sinal de f(x) se mantm constante e f(a).f(b) < 0: uma nica raiz em [a, b] = [-2; -1,5]

f(x) > 0, para x ( [a, b] ( concavidade voltada para cima.

Outros exemplos:

2.1.2.2 Melhorar o valor da raiz aproximada, isto , refin-la at o grau de exatido requerido, atravs de mtodos iterativos, que so as seqncias de instrues que so executadas passo a passo, algumas repetidas em ciclos (iteraes).

2.1.2.2.1 Mtodos Iterativos para se obter Zeros de Funes Algbricas e Transcendentes

So mtodos numricos para determinao de razes.

A. Mtodo da Bisseo (ou Dicotomia) Mtodo de quebraSeja f(x) uma funo contnua no intervalo [a,b] e f(a).f(b) < 0. (Supor uma nica raiz no intervalo) e = preciso.

Divide-se o intervalo [a,b] ao meio, obtm-se xo. Ento tem-se dois sub-intervalos, [a , xo ] e [xo , b] a serem considerados.

Se f(xo) = 0, ento a , caso contrrio, a raiz estar no sub-intervalo onde a f(x) tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, f(a) . f(xo) < 0, por exemplo.

O novo intervalo que contm a dividido ao meio novamente e obtm-se o ponto x1 e assim sucessivamente at que se tenha uma aproximao para a raiz com a margem de erro desejada.

A1. Interpretao geomtrica do mtodo:

( ( (

A2. Critrio de Parada:

1) |a-b|< (2) |xn xn-1|< (3) |f(xn)| < (4) Nmero de iteraes

5) Erro relativo

A3. Algoritmo:

Dada funo f(x):

enquanto faa

se

ento:

; ( passa a ser b)

seno

; ( passa a ser a)

fim se;

fim enquanto;

Exemplo: Aplicao do mtodo da bisseo no clculo da raiz da funo f(x) = ex - 3x, localizada no intervalo [0; 1], aplicando o critrio de parada |a b| < 10-5.

nabxnf(a)f(b)f(xn)| a b | < erro

00,000001,000000,500001,00000-0,281720,148721,00000

10,500001,000000,750000,14872-0,28172-0,133000,50000

20,500000,750000,625000,14872-0,13300-0,006750,25000

30,500000,625000,562500,14872-0,006750,067550,12500

40,562500,625000,593750,06755-0,006750,029520,06250

50,593750,625000,609380,02952-0,006750,011160,03125

60,609380,625000,617190,01116-0,006750,002140,01563

70,617190,625000,621090,00214-0,00675-0,002320,00781

80,617190,621090,619140,00214-0,00232-0,000090,00391

90,617190,619140,618160,00214-0,000090,001030,00195

100,618160,619140,618650,00103-0,000090,000470,00098

110,618650,619140,618900,00047-0,000090,000190,00049

120,618900,619140,619020,00019-0,000090,000050,00024

130,619020,619140,619080,00005-0,00009-0,000020,00012

140,619020,619080,619050,00005-0,000020,000010,00006

150,619050,619080,619060,00001-0,000020,000000,00003

160,619050,619060,619060,000010,000000,000010,00002

170,619060,619060,619060,000010,000000,000000,00001

180,619060,619060,619060,000000,000000,000000,00000

Este resultado (0,61906) exato com 5 casas decimais. Observar que quando os critrios de convergncia so atingidos, os valores de a, b e xn so iguais com cinco casas decimais.

EXERCCIO:

Traar o grfico da funo f(x) com o objetivo de determinar o intervalo [a,b] que contenha a raiz da e refine pelo mtodo da bisseo com preciso