Cálculo Numérico

Prof. Guilherme Jahnecke Weymar

AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ORDINÁRIAS

Fonte:

Burden e Faires, Chapra e Canale, Quadros,

diversos internet 1

Equações Diferenciais Ordinárias:

2

Métodos de passo simples:

- Euler;- Runge-Kutta 2;- Runge-Kutta 4;

Métodos de passo simples:

- Euler;- Runge-Kutta 2;- Runge-Kutta 4;

3

Métodos de Runge-Kutta:

Resolver equações diferenciais ordinárias da forma: 

Os métodos numéricos para resolver este tipo de equação, em termos matemáticos baseia-se na seguinte fórmula:

 

é a função incremento. A função incremento pode ser escrita na forma geral:

Em que ’s são constantes e os ’s são:

’s e ’s são constantes. Os ’s são relações recursivas.

4

Os métodos de expansão por séries apresentam uma boa característica: o erro de truncamento global é O(hN) e N pode ser escolhido tão grande tal que o erro seja pequeno.

Cada método de Runge-Kutta é derivado de um método de Taylor apropriado de tal maneira que o erro de truncamento global seja O(hN); para eliminar o cálculo das derivadas faz-se várias avaliações da função f a cada passo.

Estes métodos podem ser construídos para qualquer ordem N. O método de Runge-Kutta de segunda ordem é definido pelas equações:

Em que:

Método de Runge-Kutta 2

Dedução ...

5

Os valores de são obtidos igualando-se a equação à Expansão em série de Taylor até os termos de 2ª grau. Obtemos as seguintes equações:

(1)

Método de Runge-Kutta 2Dedução:

Onde (2)Substituindo a eq. (2) na eq. (1), obtemos:

(3)Manipulações algébricas com a eq. (3) para determinar .Para fazer isso, primeiro usamos a série de Taylor para expandir a equação:

6

A série de Taylor para uma função de duas variáveis é definida por:

(4)Substituindo eq. (4) e na eq

:

Obtemos:

Método de Runge-Kutta 2

Reagrupando os termos:(5)

Comparando a eq. (5) com a eq. (3), segue:

7

Devemos escolher um valor para uma das constantes. Por exemplo para (Um número infinito de M. R.K.).

Método de Runge-Kutta 2

Se , segue que: ,

Fornece:

Em que:

8

Método de Runge-Kutta 2

Algoritmo em FORTRAN 90:

Método de Runge-Kutta 2 - Exemplo da aula ! ****************************************************! ****** Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem ******! ****** Resolve PVI de 1ª Ordem ******! ****************************************************! *** Parâmetros de entrada: ***! ni : Número de partições;! h : espaçamento;! a : limite inferior do intervalo;! b : limite superior do intervalo;! *** Parâmetros de saída: *** ! x: valor das abscissas;! y: valor da ordenadas. 

9

program Rk2parameter (ni = 10, a = 0, b = 1)real, dimension(ni+1) :: y, x, k1, k2open(3, file ='rk2.dat', status ='unknown')h = (b-a) / nix(0) = ay(0) = 1.do i = 1,ni+1 k1(i) = h*f(x(i-1), y(i-1)) k2(i) = h*f(x(i-1) + h, y(i-1) + h*k1(i)) y(i) = y(i-1) + (k1(i) + k2(i)) / 2. x(i) = a+i*henddodo i = 1,ni+1 write(3,20)x(i-1), y(i-1), k1(i), k2(i), f(x(i-1), y(i-1)) write(*,20)x(i-1), y(i-1), k1(i), k2(i), f(x(i-1),y(i-1))enddo20 format(4e16.7)end program Real Function f (x,y) f = -x*yend

Método de Runge-Kutta 2

10

Método de Runge-Kutta 4

O método de Runge-Kutta de ordem N = 4 é o mais popular. Ele é, em geral, uma boa escolha pois é bastante preciso, estável e fácil de programar. Sua forma é a seguinte:

yn+1 = yn + (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ) ( 4 ) onde

k1 = f (xn, yn)k2 = f (xn+ h/2 ,yn + hk1/2)k3 = f (xn+ h/2, yn + hk2/2 )k4 = f (xn + h, yn + hk3 )

A demonstração desta fórmula segue o mesmo procedimento indicado para o método de ordem 2, porém é muito mais trabalhosa.

Exemplo ...

6h

11

Método de Runge-Kutta 4Fonte: Livro Burden e Faires, Análise Numérica Pg. 242

12

Características dos Métodos de Passo Simples

O método de Euler não é muito usado em problemas aplicadospráticos em virtude da necessidade de intervalos pequenos para obter a precisão desejada. Os métodos de Runge-Kutta são de maior exatidão que o de Euler. Todos os métodos de passo simples são auto-inicializáveis; em particular os métodos de Runge-Kutta:

não precisam do cálculo de derivadas de ordem elevada;

permitem troca fácil do tamanho do intervalo;

são difíceis de avaliar o erro de truncamento;

são fáceis de vetorizar e paralelizar.

13

 

Exercícios

1. Para o PVI 5xy' + y2 - 2 = 0

y(4) = 1 Calcular usando o método de Euler, y(x) em [4;4,5] com h = 0,1.

2. Calcular o PVI anterior usando o método de Runge kutta segunda ordem, y(x) em [4;4,5] com h = 0,1. Compare as soluções.

3. Obter a solução de - y' = 0

y(1) = 1 com h = 0,2 em [1;2]. Aproxime y(x) com precisão 4.  

yx

14

 

Exercícios

4. Considere que um paraquedista esteja à velocidade de 70m/s quando se abre o pára-quedas. Supondo a resistência do ar proporcional à Newtons , sendo P o peso total, achar a velocidade do paraquedista após 20s da abertura do pára-quedas sabendo que

v(0) = 70

40Pv2

40PvP

dtdv

gP 2