faires teilen das „cake-cutting-problem“

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Faires Teilen Das „Cake-Cutting-Problem“. Heike Stolle. Übersicht. Vorgehensweise für 2 Personen Rekursiv mit Optimierung Proportionales Teilen Das Steinhaus-Protokoll Das Banach-Knaster-Protokoll Neidfreies Teilen Das Selfridge-Conway-Protokoll Das Brams-Taylor-Protokoll für 4 Personen - PowerPoint PPT Presentation

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  • Faires Teilen Das Cake-Cutting-ProblemHeike Stolle

    Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen

  • bersichtVorgehensweise fr 2 PersonenRekursiv mit OptimierungProportionales TeilenDas Steinhaus-ProtokollDas Banach-Knaster-ProtokollNeidfreies TeilenDas Selfridge-Conway-ProtokollDas Brams-Taylor-Protokoll fr 4 PersonenVerfahren fr 4 Spieler in endlich vielen Schritten

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  • ProblemfeldWie teile ich einen Kuchen unter beliebig vielen Personen so auf, dass ein jeder mit seinem Stck zufrieden und nicht neidisch auf jemand anderen ist (d.h. proportional und neidfrei)?

    Vielfltige Anwendungen in Politik, Recht etc.

    Wichtig: Es geht stets um subjektive Einschtzungen, nicht um objektive Gerechtigkeit

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  • CastAntonBertConradDetlef

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  • Verfahren fr 2 Personenich schneide du whlstAnton schneidet und Bert whlt (als Erster) ausAnton muss also fair schneiden, so dass er auch dann noch ein fr ihn grtmgliches Stck abbekommt, wenn Bert zuerst ein Stck whltBert ist zufrieden, weil er zuerst whlen darfAnton ist zufrieden, weil er die Gre der Stcke bestimmen durfte und davon ausgeht, dass beide gleich gro sind

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  • Rekursiv fr n 3 PersonenAlle n Personen markieren an dem zu teilenden Kuchen die jeweils subjektiv wahrgenommene 1/n-Grenze

    C B D A Conrad ist zufrieden, da er s.E. mindestens 1/n des Kuchens erhalten hat die anderen n-1 Personen sind auch zufrieden, da Conrad weniger als 1/n bekommen hat

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  • Das gleiche geschieht fr n-1 Personen usw., bis noch 2 Personen brig sindDiese gehen nach dem Prinzip ich schneide du whlst vorAufwand: Rekursiv fr n 3 Personen

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  • Rekursiv fr n 3 Personen - optimiertDivide and Conquer

    C A B D C AB D

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  • Das Steinhaus-ProtokollHugo Steinhaus (1887-1972)

    polnischer Mathematiker, Wissenschaftler der Lemberger Mathematischen Schuleentwickelte Steinhaus-Moser-Notation fr groe Zahlen (Kreisnotation Notation hoher Potenzen durch geometrische Symbole)

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  • Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Anton schneidetBert setzt aus, weil er mind. 2 Teile fr fair hltBert kennzeichnet 2 Teile als schlechtODERSSFall 1Fall 2

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  • Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Conrad, Bert und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu.Conrad ist zufrieden, weil er als Erster whlen darfBert ist zufrieden, weil er mind. 2 Stcke fr fair hlt und nach Conrad mindestens noch eines davon brig istAnton ist zufrieden, weil er geschnitten hat und davon ausgeht, dass alle drei Stcke gleich gro sindFall 1Bert setzt aus, weil er mind. 2 Teile fr fair hlt

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  • Das Steinhaus-Protokoll(fr n=3)SSFall 2Bert kennzeichnet 2 Teile als schlechtSSConrad setzt aus, weil er mind. 2 Stcke fr fair hlt (ohne Bercksichtigung von Berts Meinung)Conrad kennzeichnet 2 Teile als schlecht(ohne Bercksichtigung von Berts Meinung)

    ODERBert, Conrad und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu Fall 3

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  • Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Conrad kennzeichnet 2 Teile als schlechtAnton nimmt ein doppelt gekennzeichnetes Stck (dieses finden sowohl Bert als auch Conrad unfair, denken also, es sei kleiner als 1/3)

    Die beiden anderen Stcke werden vereinigt; Bert und Conrad teilen sich diesen Rest des Kuchens nach dem Prinzip Ich schneide du whlst (der ihrer Meinung nach 2/3 gro ist).SSFall 3

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  • Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Das Verfahren ist zwar proportional, aber nicht neidfrei.Das heit, es gibt Flle, in denen eine Person glaubt, sie habe einen fairen Anteil erhalten, aber eine andere Person sei besser behandelt worden.

    Bsp.: Wenn Bert die Stcke als 1/2, 1/3 und 1/6 des gesamten Kuchens einschtzt, knnte in seinen Augen Conrad (der zuerst whlen darf) das 1/2-groe Stck bekommen, whrend er selbst nur 1/3 bekommt.

    gesucht ist ein proportionales, neidfreies Verfahren fr beliebig viele Personen

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  • Das Banach-Knaster-Protokoll Stefan Banach (1892-1945)polnischer Mathematiker, Hauptvertreter der Lemberger Mathematischen SchuleFourier-Reihen zusammen mit SteinhausMatheorie Funktionalanalysis

    Bronisaw Knaster (1893-1990)polnischer Mathematiker, Professor in Lwow und WroclawMatheorie (Schnitttheorie der Ebene: zweifach zusammenhngende Knaster-Kuratowski-Menge)

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  • Das Banach-Knaster-Protokolln Personen S1, S2, SnAnton schneidet faires Stck () abBert findet Antons Stck zu gro und macht es nach seiner Auffassung fair, indem er es verkleinert.ODERBert findet Antons Stck fair und setzt aus.S1S2Beispiel: n=4

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  • Das Banach-Knaster-ProtokollS4Conrad hat ausgesetzt, weil er Stck fr fair hielt.Das Stck geht an denjenigen, der das Stck als Letzter beschnitten hat, im Beispiel also an Bert.

    Htten alle Personen nach S1 das Stck nicht beschnitten, wre es an S1 gegangen.Detlef hlt das Stck ebenfalls fr fair und setzt aus.

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  • Das Banach-Knaster-ProtokollBert ist zufrieden, da er das Stck nach seinen Vorstellungen beschnitten hat. Er scheidet mitsamt seinem Stck aus.Alle anderen wiederholen das Verfahren mit n-1 Personen und einem Kuchen, der in ihren Augen mind. noch (n-1)/n des ursprnglichen Kuchens ausmacht.

    Dieses Verfahren funktioniert proportional fr beliebig viele Spieler, ist aber auch nicht neidfrei.

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)John Selfridge amerikanischer Mathematiker, University of Illinois und Northern Illinois Universityforscht auf dem Gebiet der analytischen Zahlentheorie und zum Sierpiski-Problem

    John Horton Conway englischer Mathematiker, Princeton Universityanalytische Zahlentheorie, Begrnder der kombinatorischen Spieltheorie

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Anton schneidet den Kuchen in 3 (faire) TeileBert setzt aus, weil er glaubt, dass mind. 2 Stcke gleich gro und nicht kleiner als das 3. seien.Bert beschneidet das grte Stck so, dass der erste Fall eintritt. (Der Rest kommt zur Seite.)ODER

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Conrad, Bert und Anton nehmen nun in dieser Reihenfolge je ein Stck.

    Conrad darf als Erster whlen und ist daher zufrieden.Wenn Bert vorher ein Stck beschnitten hat, muss er dieses nehmen oder das andere, was er aber fr genauso gro hlt.Anton nimmt das brige Stck und ist damit zufrieden, da er alle drei Stcke fr gleich gro oder falls Bert ein Stck beschnitten hat seins fr eines der grten Stcke hlt.

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Wenn Bert die Aufteilung von Anton im zweiten Schritt fr fair hielt, gibt es keinen Rest und wir sind fertig.Wenn nicht, muss noch der Rest aufgeteilt werden. Die Person, die nicht das beschnittene Stck aus der Vorrunde genommen hat (also entweder Bert oder Conrad), ernennen wir zum Schneider, die andere ist der Nicht-Schneider.

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Der Schneider darf den Rest des Kuchens in 3 fr ihn gleich groe Hufchen teilen.Anton hat dem Nicht-Schneider (der das beschnittene Stck bekommen hat) gg. einen uneinholbaren Vorsprung: Das beschnittene Stck ist in Antons Augen auf jeden Fall kleiner als sein eigenes, so dass er nicht neidisch sein kann, auch wenn der Nicht-Schneider den gesamten Rest bekommt.

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Nicht-Schneider, Anton und Schneider greifen in dieser Reihenfolge zu.

    Der Nicht-Schneider whlt zuerst und kann daher nicht neidisch sein.Anton ist wegen seines uneinholbaren Vorsprungs nicht neidisch auf den Nicht-Schneider. Da er vor dem Schneider whlen darf, sieht er sich auch diesem gg. im Vorteil.Der Schneider kann auch nicht neidisch sein, da er den Rest aufgeteilt hat.

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  • Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Das Verfahren ist proportional und neidfrei, jedoch nur auf 3 Personen anzuwenden.

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  • Das Brams-Taylor-Protokoll (fr n=4)Steven BramsPolitikwissenschaftler an der New York UniversitySpieltheorie, Neue politische konomie (politische Strukturen werden auf Basis neoklassischer Wirtschaftstheorien erklrt) Alan Taylor amerikanischer Mathematiker am Union College in SchenectadyMengenlehre, mathematische Politikwissenschaft, Faires Teilen

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  • Das Brams-Taylor-Protokoll (fr n=4)Anton schneidet den Kuchen in 5 TeileBert beschneidet, falls ntig,