Faires Teilen Das „Cake-Cutting-Problem“

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Faires Teilen Das Cake-Cutting-Problem. Heike Stolle. bersicht. Vorgehensweise fr 2 Personen Rekursiv mit Optimierung Proportionales Teilen Das Steinhaus-Protokoll Das Banach-Knaster-Protokoll Neidfreies Teilen Das Selfridge-Conway-Protokoll Das Brams-Taylor-Protokoll fr 4 Personen - PowerPoint PPT Presentation

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<ul><li><p>Faires Teilen Das Cake-Cutting-ProblemHeike Stolle</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>bersichtVorgehensweise fr 2 PersonenRekursiv mit OptimierungProportionales TeilenDas Steinhaus-ProtokollDas Banach-Knaster-ProtokollNeidfreies TeilenDas Selfridge-Conway-ProtokollDas Brams-Taylor-Protokoll fr 4 PersonenVerfahren fr 4 Spieler in endlich vielen Schritten</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>ProblemfeldWie teile ich einen Kuchen unter beliebig vielen Personen so auf, dass ein jeder mit seinem Stck zufrieden und nicht neidisch auf jemand anderen ist (d.h. proportional und neidfrei)?</p><p>Vielfltige Anwendungen in Politik, Recht etc.</p><p>Wichtig: Es geht stets um subjektive Einschtzungen, nicht um objektive Gerechtigkeit</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>CastAntonBertConradDetlef</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Verfahren fr 2 Personenich schneide du whlstAnton schneidet und Bert whlt (als Erster) ausAnton muss also fair schneiden, so dass er auch dann noch ein fr ihn grtmgliches Stck abbekommt, wenn Bert zuerst ein Stck whltBert ist zufrieden, weil er zuerst whlen darfAnton ist zufrieden, weil er die Gre der Stcke bestimmen durfte und davon ausgeht, dass beide gleich gro sind</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Rekursiv fr n 3 PersonenAlle n Personen markieren an dem zu teilenden Kuchen die jeweils subjektiv wahrgenommene 1/n-Grenze</p><p>C B D A Conrad ist zufrieden, da er s.E. mindestens 1/n des Kuchens erhalten hat die anderen n-1 Personen sind auch zufrieden, da Conrad weniger als 1/n bekommen hat</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das gleiche geschieht fr n-1 Personen usw., bis noch 2 Personen brig sindDiese gehen nach dem Prinzip ich schneide du whlst vorAufwand: Rekursiv fr n 3 Personen</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Rekursiv fr n 3 Personen - optimiertDivide and Conquer</p><p>C A B D C AB D</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Steinhaus-ProtokollHugo Steinhaus (1887-1972)</p><p>polnischer Mathematiker, Wissenschaftler der Lemberger Mathematischen Schuleentwickelte Steinhaus-Moser-Notation fr groe Zahlen (Kreisnotation Notation hoher Potenzen durch geometrische Symbole) </p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Anton schneidetBert setzt aus, weil er mind. 2 Teile fr fair hltBert kennzeichnet 2 Teile als schlechtODERSSFall 1Fall 2</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Conrad, Bert und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu.Conrad ist zufrieden, weil er als Erster whlen darfBert ist zufrieden, weil er mind. 2 Stcke fr fair hlt und nach Conrad mindestens noch eines davon brig istAnton ist zufrieden, weil er geschnitten hat und davon ausgeht, dass alle drei Stcke gleich gro sindFall 1Bert setzt aus, weil er mind. 2 Teile fr fair hlt</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Steinhaus-Protokoll(fr n=3)SSFall 2Bert kennzeichnet 2 Teile als schlechtSSConrad setzt aus, weil er mind. 2 Stcke fr fair hlt (ohne Bercksichtigung von Berts Meinung)Conrad kennzeichnet 2 Teile als schlecht(ohne Bercksichtigung von Berts Meinung)</p><p>ODERBert, Conrad und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu Fall 3</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Conrad kennzeichnet 2 Teile als schlechtAnton nimmt ein doppelt gekennzeichnetes Stck (dieses finden sowohl Bert als auch Conrad unfair, denken also, es sei kleiner als 1/3)</p><p>Die beiden anderen Stcke werden vereinigt; Bert und Conrad teilen sich diesen Rest des Kuchens nach dem Prinzip Ich schneide du whlst (der ihrer Meinung nach 2/3 gro ist).SSFall 3</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Steinhaus-Protokoll (fr n=3)Das Verfahren ist zwar proportional, aber nicht neidfrei.Das heit, es gibt Flle, in denen eine Person glaubt, sie habe einen fairen Anteil erhalten, aber eine andere Person sei besser behandelt worden.</p><p>Bsp.: Wenn Bert die Stcke als 1/2, 1/3 und 1/6 des gesamten Kuchens einschtzt, knnte in seinen Augen Conrad (der zuerst whlen darf) das 1/2-groe Stck bekommen, whrend er selbst nur 1/3 bekommt. </p><p> gesucht ist ein proportionales, neidfreies Verfahren fr beliebig viele Personen</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Banach-Knaster-Protokoll Stefan Banach (1892-1945)polnischer Mathematiker, Hauptvertreter der Lemberger Mathematischen SchuleFourier-Reihen zusammen mit SteinhausMatheorie Funktionalanalysis</p><p>Bronisaw Knaster (1893-1990)polnischer Mathematiker, Professor in Lwow und WroclawMatheorie (Schnitttheorie der Ebene: zweifach zusammenhngende Knaster-Kuratowski-Menge)</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Banach-Knaster-Protokolln Personen S1, S2, SnAnton schneidet faires Stck () abBert findet Antons Stck zu gro und macht es nach seiner Auffassung fair, indem er es verkleinert.ODERBert findet Antons Stck fair und setzt aus.S1S2Beispiel: n=4</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Banach-Knaster-ProtokollS4Conrad hat ausgesetzt, weil er Stck fr fair hielt.Das Stck geht an denjenigen, der das Stck als Letzter beschnitten hat, im Beispiel also an Bert.</p><p>Htten alle Personen nach S1 das Stck nicht beschnitten, wre es an S1 gegangen.Detlef hlt das Stck ebenfalls fr fair und setzt aus.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Banach-Knaster-ProtokollBert ist zufrieden, da er das Stck nach seinen Vorstellungen beschnitten hat. Er scheidet mitsamt seinem Stck aus.Alle anderen wiederholen das Verfahren mit n-1 Personen und einem Kuchen, der in ihren Augen mind. noch (n-1)/n des ursprnglichen Kuchens ausmacht. </p><p>Dieses Verfahren funktioniert proportional fr beliebig viele Spieler, ist aber auch nicht neidfrei.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)John Selfridge amerikanischer Mathematiker, University of Illinois und Northern Illinois Universityforscht auf dem Gebiet der analytischen Zahlentheorie und zum Sierpiski-Problem</p><p>John Horton Conway englischer Mathematiker, Princeton Universityanalytische Zahlentheorie, Begrnder der kombinatorischen Spieltheorie </p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Anton schneidet den Kuchen in 3 (faire) TeileBert setzt aus, weil er glaubt, dass mind. 2 Stcke gleich gro und nicht kleiner als das 3. seien.Bert beschneidet das grte Stck so, dass der erste Fall eintritt. (Der Rest kommt zur Seite.)ODER</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Conrad, Bert und Anton nehmen nun in dieser Reihenfolge je ein Stck.</p><p>Conrad darf als Erster whlen und ist daher zufrieden.Wenn Bert vorher ein Stck beschnitten hat, muss er dieses nehmen oder das andere, was er aber fr genauso gro hlt.Anton nimmt das brige Stck und ist damit zufrieden, da er alle drei Stcke fr gleich gro oder falls Bert ein Stck beschnitten hat seins fr eines der grten Stcke hlt.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Wenn Bert die Aufteilung von Anton im zweiten Schritt fr fair hielt, gibt es keinen Rest und wir sind fertig.Wenn nicht, muss noch der Rest aufgeteilt werden. Die Person, die nicht das beschnittene Stck aus der Vorrunde genommen hat (also entweder Bert oder Conrad), ernennen wir zum Schneider, die andere ist der Nicht-Schneider.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Der Schneider darf den Rest des Kuchens in 3 fr ihn gleich groe Hufchen teilen.Anton hat dem Nicht-Schneider (der das beschnittene Stck bekommen hat) gg. einen uneinholbaren Vorsprung: Das beschnittene Stck ist in Antons Augen auf jeden Fall kleiner als sein eigenes, so dass er nicht neidisch sein kann, auch wenn der Nicht-Schneider den gesamten Rest bekommt.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Nicht-Schneider, Anton und Schneider greifen in dieser Reihenfolge zu.</p><p>Der Nicht-Schneider whlt zuerst und kann daher nicht neidisch sein.Anton ist wegen seines uneinholbaren Vorsprungs nicht neidisch auf den Nicht-Schneider. Da er vor dem Schneider whlen darf, sieht er sich auch diesem gg. im Vorteil.Der Schneider kann auch nicht neidisch sein, da er den Rest aufgeteilt hat.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Selfridge-Conway-Protokoll (fr n=3)Das Verfahren ist proportional und neidfrei, jedoch nur auf 3 Personen anzuwenden.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Brams-Taylor-Protokoll (fr n=4)Steven BramsPolitikwissenschaftler an der New York UniversitySpieltheorie, Neue politische konomie (politische Strukturen werden auf Basis neoklassischer Wirtschaftstheorien erklrt) Alan Taylor amerikanischer Mathematiker am Union College in SchenectadyMengenlehre, mathematische Politikwissenschaft, Faires Teilen</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Brams-Taylor-Protokoll (fr n=4)Anton schneidet den Kuchen in 5 TeileBert beschneidet, falls ntig, ein oder zwei Stcke so, dass 3 gleiche grte Stcke entstehen (der Rest kommt auf die Seite).Conrad beschneidet, falls ntig, ein Stck so, dass zwei gleich grte Stcke entstehen.Detlef, Conrad, Bert und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Das Brams-Taylor-Protokoll (fr n=4)Wenn Bert Stcke beschnitten hat, muss er eins davon nehmen (wenn noch verfgbar).Gleiches gilt fr Conrad.Die abgeschnittenen Teile werden mit dem fnften Stck vereint, auf das das Verfahren erneut angewandt wird.</p><p>Das Verfahren ist proportional, neidfrei, fr n=4 Personen, aber nicht terminiert.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)William S. Zwickeramerikanischer Mathematiker am Union College in SchenectadyMengenlehre,Spieltheorie, Faires Teilen</p><p>Fred Galvinamerikanischer Mathematiker am Union College in SchenectadyMengenlehre, KombinatorikProtokoll entwickelt zusammen mit Alan Taylor</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Bert teilt den Kuchen in 4 Stcke und gibt jedem (einschlielich sich selbst) eines.Anton, Conrad und Detlef werden der Reihe nach gefragt, ob sie dieser Verteilung widersprechen (was sie tun, wenn sie wegen eines anderen Stckes neidisch sind).Widerspricht keiner, ist die Aufteilung beendet.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)ABAnton hat B, will aber A: a&gt;bAnton benennt eine ganze Zahl p10p soll folgende Eigenschaft haben: Wenn A irgendwie in p Teile zerteilt wird, bevorzugt Anton A gegenber B selbst dann, wenn die 7 kleinsten Teile von A weggenommen werden.Wert(A)= aWert(B)= bDas kann Anton erreichen, wenn</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Bert teilt A und B in jeweils p Stcke auf, die er fr gleich gro hlt.Anton whlt die 3 kleinsten Stcke von B S1, S2 und S3.Anton whlt auerdem die 3 grten Stcke von A (wenn er sie fr echt grer als das grte S-Stck hlt) oder beschneidet 2 Stcke, so dass dieser Fall eintritt. T1, T2 und T3</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Conrad nimmt die 6 S- und T-Stcke </p><p>- und setzt aus, wenn er die beiden grten unter ihnen fr gleich gro hlt,- oder er beschneidet eines, um diesen Zustand herbeizufhren.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Detlef, Conrad, Bert und Anton nehmen in dieser Reihenfolge nun jeweils einesder 6 Stcke.</p><p>Conrad muss das Stck nehmen, dass er vorher beschnitten hat (wenn es noch verfgbar ist).</p><p>Bert muss ein S-Stck nehmen.</p><p>Anton muss ein T-Stck nehmen.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Bisher ist die Zuordnung neidfreiAnton hlt sein Stck fr echt grer als Berts, um den Betrag x.CDJedoch ist ein erheblicher Rest brig:</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Anton nennt eine ganze Zahl q, so dass Dies ist ntig, um die folgende Sequenzwiederholung zu begrenzen.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Anton teilt die berbleibsel in 5 StckeBert beschneidet ggf. bis zu 2 Stcke, um 3 gleich groe grte Stcke zu erhalten.Conrad beschneidet ggf. eines der Stcke, um 2 gleich groe grte Stcke zu erhalten.Detlef, Conrad, Bert und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Dieser Vorgang der Resteverteilung wird noch (q-1) mal wiederholt, immer wieder mit den berbleibseln der Vorrunde.Nun liegt eine neidfreie Zuordnung vor.Anton hat einen uneinholbaren Vorsprung gg. Bert: Er hlt seinen Anteil fr grer als Berts plus aller Reste, da er selbst ein grtes T-Stck von dem Stck B und Bert nur ein kleinstes S-Stck von Stck A mit b&gt;a bekommen hat.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Wir notieren das Paar (Anton, Bert) als ersten Eintrag in eine Liste, in der wir jedes Paar festhalten, dessen erstgenannte Person einen uneinholbaren Vorsprung gg. der zweitgenannten haben.Es kann vorkommen, dass sowohl (Anton, Bert) als auch (Bert, Anton) in der Liste stehen.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Bert teilt die berbleibsel in 12 gleiche Teile.Jeder der anderen drei erklrt sich fr einen Zustimmer, wenn er alle diese Stcke fr gleich gro hlt, sonst fr einen Ablehner. (Bert ist automatisch ein Zustimmer).Wenn jeder Ablehner lt. der Liste einen uneinholbaren Vorsprung hat, werden die 12 Stcke gleichmig an die Zustimmer verteilt. Dann ist das Verfahren beendet.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar ber Algorithmen</p></li><li><p>Faires Teilen in endlich vielen Schritten (fr n=4)Wenn die Ablehner nicht durchgngig uneinholbare Vorsprnge haben, whlen wir das erste Paar aus Ablehner und Zustimmer, das nicht in der Liste ist, und beginnen wieder mit dem Vergleich vom Anfang.Der Zustimmer nimmt die Rolle des Bert, der Ablehner die Rolle des Anton an, diskutiert wird der Rest des Kuchens.Das Verfahren endet dann sptestens nach 11 Runden. Dann steht jedes denkbare Paar auf der Liste, d.h. jede Person hat gg. jeder anderen uneinholbare Vorsprnge.</p><p>Freie Universitt Berlin | SoSe 2008 | Seminar...</p></li></ul>