cÆlculo vectorialmatematicas.uis.edu.co/~jccarril/2010ps/ciii/calculovectorial.pdf · teorema del...

Cálculo Vectorial

Julio C. Carrillo E.*

Índice

1. Campos vectoriales 21.1. De�nición de campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Clasi�cación física de los campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Campos vectoriales conservativos, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Trayectorias de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Cálculo vectorial en el plano 62.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Regiones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Campos vectoriales en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1. Integral de línea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.3. Integral de línea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.4. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.5. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.6. Integral de línea y circulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Cálculo vectorial en el espacio 113.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Super�cies algebraicas y paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Regiones sólidas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4. Campos vectoriales en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5. Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5.1. Integral de línea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.3. Integral de línea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6. Integral de super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.1. Área e integral de super�cie de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.2. Integral de super�cie de un campo vectorial y �ujo a través de una super�cie . . . . . 173.6.3. Flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7. Teorema del rotacional y la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.1. Teorema del rotacional de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.2. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.8. Aplicaciones a la física y las ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8.1. Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

*Escuela de Matemáticas, UIS. E-Mail: [email protected]

1

2 Para uso exclusivo en el salón de clase �UIS

1. Campos vectoriales

Muchas cantidades físicas que ocurren en las ciencias y la ingeniería requiren más de una variable paracaracterizarlas; como por ejemplo, la fuerza y la velocidad, las cuales requieren que se especi�que su magnitudy su dirección. Este tipo de cantidades físicas son del tipo vectorial y se suelen llamar vectores. Hasta estemomento se han considerado vectores, o cantidades vectoriales, que tienen siempre la misma magnitud y lamisma dirección; como por ejemplo, cuando se considera el movimiento de una partícula en la dirección deun vector d bajo la acción de una fuerza F de magnitud y dirección constante. En este caso, el trabajo Wrealizado por esta fuerza F al mover la partícula en la dirección d está dada como W = F �d. En este capítuloestamos interesados en estudiar el fenómeno del trabajo realizado por una fuerza, que ahora se considera tienemagnitud y dirección variable, al mover la partícula a lo largo de una trayectoria que ahora se considera es nolineal. Este tipo de problema tiene vairadas aplicaciones en ciencias e ingeniera en relación con problemas dedifusión de �uidos y circulación de fuerzas, por ejemplo en problemas de mecánica de �uidos y en problemaselectrostática, respectivamente.

1.1. De�nición de campo vectorial

Los campo vectoriales son funciones con dominio en una región de Rn y de valor vectorial, las cuales sirvenpara representar cantidades vectoriales de magnitud o dirección no necesariamente constante.

De�nición 1.1 Sea D un subconjunto no vacío de Rn. Un campo vectorial autónomo sobre D es unafunción F que asigna a cada punto x en D, de coordenadas (x1; : : : ; xn), el vector F(x) = F(x1; : : : ; xn) deRn. Simbólicamente, toda función F : D � Rn ! Rn, tal que F(x) 2 Rn para cada x 2 D, es un campovectorial1 . Por de�nición, al vector F(x) le corresponden n funciones componentes f1(x); : : : ; fn(x), quetambién están de�nidas sobre D, permiten escribir el campo vectorial de la forma F(x) = (f1(x); : : : ; fn(x)),o bien, F(x1; : : : ; xn) = (f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fn(x1; : : : ; xn)), para cada x 2 D. Los campos escalares fi sellaman las componentes del campo vectorial F.

Geométricamente, el campo vectorial F se representa como la �echa de origen en x y extremo x+F(x), paracada x 2 D. Esta representación del campo vectorial determina su grá�ca.

Por ejemplo, la función F(x; y) = i + 2j, para todo �2 � x � 2, �2 � y � 2, de�ne un campo vectorialconstante sobre el rectángulo [�2; 2] � [�2; 2]. La Figura 1 muestra este campo vectorial, el cual asigna el

1Usualmente se llama también un campo vectorial estable, por ser sus valores vectoriales del campo vectorial independientesdel tiempo.

Julio C. Carrillo E., Esc. de Matemáticas UIS 3

vector i+ 2j en cada punto de esta región.

Figura 1. Campo vectorial F(x; y) = i+ 2j Figura 2. Campo vectorialsobre [�2; 2]� [�2; 2]. F(x; y) = i+ 2j sobre un cardiode.

Campo vectorial constante.

la función F(x; y) = (cosx2 + y)i + (1 + x � y2)j, para todo �2 � x � 2, �2 � y � 2, de�ne un campovectorial sobre el rectángulo [�2; 2]� [�2; 2]. También, la función F(x; y; z) = senxi+ sen2 yj+cos3 zk, paratodo (x; y; z) en el interior del elipsoide de ecuación x2=a2 + y2=b2 + z2=c2 = 1, de�ne un campo vectorialatravéz del elipsoide. Las siguientes �guras representan estos campos vectoriales.

Campo vectorial F(x; y) = (cosx2 + y)i Campo vectorial F(x; y; z) = senxi+ sen2 yj+(1 + x� y2)j a travéz del rectángulo +cos3 zk a travéz de una esfera de radio 5.[�2; 2]� [�2; 2].


A menudo. los campos vectoriales dependen de la posición x y del tiempo t, de tal manera que F = F(x; t) =F(x1; : : : ; xn; t), en donde el punto x está en la región D de Rn y t está en un cierto intervalo I.

De�nición 1.2 Sea D un subconjunto no vacío de Rn e I un intervalo no vacío de R. Un campo vectorialno autónomo sobre D� I es una función F que asigna a cada punto x en D, de coordenadas (x1; : : : ; xn), y acada t en I el vector F(x; t) = F(x1; : : : ; xn; t) de Rn. Simbólicamente, toda función F : D�I � Rn�R! Rn,tal que F(x; t) 2 Rn para cada x 2 D y t 2 I, es un campo vectorial no autónomo. Geométricamente, el campovectorial no autónomo F se representa como la �echa de origen en x y extremo x+ F(x; t).

En conclusión, un campo vectorial puede depender o no del tiempo. Si el campo vectorial es autónomo, oestá en estado estable, entonces el campo vectorial no depende del tiempo; i.e., la magnitud y la dirección delcampo vectorial son las mismas, independientemente del tiempo en que ellas se consideren. Si por el contrario,la magintud y la dirección del campo dependen del tiempo, es decir, su magnitud y dirección son distintasen tiempos t distintos, entonce el campo vectorial es no autónomo o no estable.

1.2. Clasi�cación física de los campos vectoriales

Desde el punto de vista físico los campos vectoriales tienen dos clasi�caciones:

1. Los campos de fuerza � como lo son los gravitacionales, electrostáticos y electromagnéticos� surgende diferentes maneras y todos ellos dan origen a un campo vectorial: en un punto x0 del plano o delespacio se puede poner un vector que tiene la magnitud y la dirección de la fuerza que el campo ejercesobre una partícula unitaria de prueba que está localizada en el punto.

2. Los campos de �ujo y los campos de velocidades que surgen del movimiento de un �uido en el plano oen el espacio. Los campos de �ujos pueden tener fuentes o sumideros; i.e., lugares en donde el �ujo esagregado o removido del �ujo. El campo de velocidades de un �ujo constante se denota como V(x), locual da la dirección y magnitud (rapidez) del �ujo en el punto x. Si es �(x) es la densidad del �uidoentonces se de�ne el campo del �uido como F(x) = �(x)V(x), que puede ser interpretado de la siguienteforma: la dirección de F es la dirección del �ujo y la magnitud F es la tasa de transporte de masa (porunidad de área) en el punto x en la dirección del �ujo. Esto es, la magnitud de F es la tasa por unidadde área a la que la masa es transportada a través de una pequeña trozo de plano perpendicular al �ujoen el punto x.

Por ejemplo, el campo vectorial de fuerza electrostática F que surge de una carga positiva unitaria puesta enel origen da que, en unidades apropiadas, el campo vectorial está dirigido radialmente hacia afuera del origeny tiene magnitud 1=�2, donde � es la distancia desde el origen. Es decir,

F(x; y; z) =xi+ yj+ zk

�2; � =

px2 + y2 + z2:

El campo de velocidades de un �ujo F que rota con velocidad angular ! constante alrededor del eje z puedeconsiderarse como un �ujo en el plano xy, de la forma

F(x; y; z) = !(�yi+ xj):

El estado de la atmósfera es descrito por campo escalares como la presión p = p(t), la temperatura T = T (r),la densidad � = �(r), y por el campos vectoriales como la velocidad del viento V = V(r)y la aceleraciónA = A(r) del viento.

1.3. Campos vectoriales conservativos, divergencia y rotacional

Desde el punto vista físico, existen tres tipos clasi�caciones de los campos de fuerzas y de velocidades. Ellosigualmente de�nen la misma clasi�cación de los campos vectoriales.

De�nición 1.3 Un campo vectorial F : D � Rn ! Rn es conservativo en D si existe un campo escalar f talque F(x) = rf(x) para todo x en D. El campo escalar f es llamado la función de potencial de F en D.


De�nición 1.4 Si F = P i+Qj+Rk es un campo vectorial diferenciable en el espacio, se de�ne el rotacionalde F como

rotF = r� F =

��i j k@x @y @zP Q R

��= (Ry �Qz)i� (Rx � Pz)j+ (Qx � Py)k:

Si rotF es un vector no nulo se dice que F es rotacional, e irrotacional en caso contrario. Nótese que F esrotacional si

Ry = Qz; Rx = Pz; Qx = Py:

Si el campo vectorial F está en el plano entonces F es rotacional si

Qx = Px:

Esto obviamente requiere que las componentes del campo tengan primeras derivadas parciales no nulas.

Desde el punto de vista físico, el rotacional está asociado con el problemas de circulación que involucrancampos vectoriales de fuerzas.

Teorema 1.5 Un campo vectorial es irrotacional si y solo si el campo vectorial es conservativo.

De�nición 1.6 Si F = P i+Qj+Qk es un campo vectorial diferenciable, se de�ne la divergencia de F como

divF = r � F = Px +Qy +Rz

Si divF es cero en un punto, se dice que F tiene divergencia nula en el punto, y en caso contrario que tienedivergencia no nula en el punto. Si F tiene divergencia no nula en punto y divF > 0 se dice que F tiene enel punto una fuente, y si divF < 0 que F tiene en el punto un sumidero.

Desde el punto de vista físico, la divergencia está asociado con el problemas de difusión en campos vectorialesde �ujos. Por lo tanto, la difusión del campo de �ujo en un punto de su dominio puede ser nula, no nula,positiva o negativa.

Remark 1.7 Las de�niciones de campos conservativos, divergencia y rotacional de campos vectoriales con-stantes se pueden extender a campos vectoriales no constantes aplicando tales de�nciones únicamente a laparte espacial de tales campos vectoriales.

1.4. Trayectorias de un campo vectorial

Una curva suave C cuyo vector tangente en cada punto tiene la misma dirección que el campo vectorialF en el punto es llamada una trayectoria del campo vectorial F = F(r), siendo r(t), con a � t � b, unaparametrización de C.

Ejemplo 1.8 Las trayectorias del campo vectorial F = rf son las curvas ortogonales a las curvas de nivelf = const en cada punto, i.e., a la líneas de más rápido cambio de la función f = f(r).

Ejemplo 1.9 Las trayectorias de las velocidades de un cuerpo rígido rotando respecto a un eje son círculosconcéntricos con centro el eje, mientras que las trayectorias del campo de velocidad de un cuerpo rígidomoviéndose en línea recta son ellas mismas líneas rectas.


Ejemplo 1.10 Las trayectorias del campo de velocidades de un �uido en movimiento son llamadas �stream-lines�. En general, el cambio de streamlines que dependen del tiempo (V = V(r; t)) no coinciden con loscaminos de las partículas del �uido. Sin embargo, si el campo de velocidades es estacionario (V = V(r)), lasstreamlines no cambian con el tiempo y representan el camino de particulas en el �uido.

Sea r = r(t) una trayectoria en campo vectorial F = F(t), en términos de algún parámetro s (usualmentela longitud de arco). Entonces la condición para que la tangente a la trayectoria sea colineal con F debe serconcisamente escrita como

dr� F(r) = 0 (1)

Esta es la forma vectorial de la ecuación diferencial de la trayectoria del campo vectorial F(r). Como lascomponentes de vectores colineales deben ser proporcionales, las trayectorias del campo vectorial F(r) tambiéndeben satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

P (x; y; z)=

dy

Q(x; y; z)=

dz

Q(x; y; z)(2)

en un sistema de coordenadas rectangulares x1; x2; x3. La integración de cualquiera de las dos ecuacionesanteriores da una familia de trayectorias del campo vectorial F(r). Si el campo vectorial es no estacionario,cualquiera de estas dos ecuaciones puede ser reemplazada por

dr � F(r; t) = 0

ydx

P (x; y; z; t)=

dy

Q(x; y; z; t)=

dz

Q(x; y; z; t)(3)

En otras palabras, en el caso de un campo vectorial no estacionario F(r; t), las ecuaciones diferenciales de lastrayectorias tienen la misma forma excepto que t aparece como un parámetro determinando una familia detrayectorias en cada instante de tiempo dado.Si F 6= 0 en un punto x, existe una única trayectoria que pasa por x, cuya tangente en x tiene una direcciónbien de�nida coincidiendo con la de F. Esta trayectoria puede ser encontrada eligiendo constantes apropiadasde integración en la solución general de (2).Si F = 0 en algún punto x, todos los denominadores de (2) se anulan. En tales puntos singulares del sistema(1), la dirección de la trayectoria es indeterminada y el comportamiento de las trayectorias se hacen mascomplicado (existen in�nitas trayectorias que pasan por x o ninguna después de todo).

2. Cálculo vectorial en el plano

2.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el plano

Sea C una curva en el plano xy. Algebraicamente, la curva C se de�ne implícitamente como el conjunto detodos los puntos (x; y) del plano que satisfacen la ecuación E(x; y) = 0, (x; y) 2 D. Se utiliza la notación

C : E(x; y) = 0; (x; y) 2 D � R2;

para representar una curva del plano en forma implícita.Si de la anterior ecuación implícita de la curva C se puede obtener una variable en función de la otra, digamosy = f(x), entonces la curva C se puede representar explícitamente como la grá�ca de una función f(x), locual se denota como

C : y = f(x); x 2 I � R:

Si la curva C es la grá�ca de una función vectorial r : [a; b] � R! R2 �i.e., Gr = fr(t) : t 2 Ig = C�se diceque C es parametrizable y que la función vectorial r es su parametrización. La notación usal en este caso es

C : r(t) = x(t)i+ y(t)j; t 2 I � R:

Si I = [a; b] y r(a) = r(b) se dice que C es una curva cerrada.


La orientación positiva de la curva C se considera en sentido contrario a las manecillas del reloj; en casocontrario la orientación será negativa. Por convención se asume que r preserva la orientación positiva de C.Se dice que la curva C es suave si su parametrización r(t) es C1, es decir, r(t) tiene primera derivada continuapara todo t en I. Se dirá que C es suave a trozos si C es la unión de un número �nito de curvas suaves.Si la parametrización r(t) de la curva C es una función uno a uno entonces se dice que C es simple. La curvaC también puede ser cerrada simple y suave a trozos.

2.2. Regiones en el plano

Las regiones del plano xy que se consideran son regiones conexas, simplemente conexas y múltiplementeconexas.Sea D un conjunto o región cerrada y acotada del plano, es decir, que incluye todo punto es su interior y lacurva que lo limita.

1. D es conexo si cualesquiera dos puntos de D pueden ser conectados por una curva que esté completa-mente contenida en D. Regiones conexas no pueden ser la unión de conjuntos disjuntos.

2. D es simplemente conexo si D es conexo, no tiene huecos, y su frontera, denotada @D, es una curvacerrada simple suave a trozos. Formalmente, D es simplemente conexo si toda curva cerrada simplecontenida en D tiene su interior completamente contenido en D.

Si D es simplemente conexo y su frontera @D está orientada positivamente, entonces se dice que la ori-entación positiva de D es de adentro hacia afuera de D, y negativa en caso contrario. Esta orientaciónse puede establecer mediante el vector normal exterior unitario en cada punto de la frontera. Se consid-eran vectores unitarios, pues ellos únicamente contienen dirección. Supongamos que la frontera @D deD está orientada positivamente y que T es el vector tangente unitario a @D en un punto P cualesquierade @D. Entonces el vector � = T � k es el vector normal exterior unitario a @D en P .

3. D es múltiplemente conexo si D no es simplemente conexo. Es decir, D es múltiplemente conexo si Des conexo y su frontera @D es la unión de un número �nito de curvas cerradas simples suaves a trozosC1; C2; : : : ; Cn tales que C1 contiene en su interior las curvas C2; : : : ; Cn.

Si D es múltiplemente conexo, su orientación positiva sigue aún siendo de adentro hacia afuera. Estohace, de acuerdo con la de�nición anterior, que C1 este orientada positivamente y las curvas C2; : : : ; Cnestén orientadas negativamente.

2.3. Campos vectoriales en el plano

Sea F un campo vectorial de fuerzas o velocidades en el plano que actúa sobre una partícula que se muevea lo largo de una trayectoria C en el domino del campo. Si F = P i + Qj, y T y n representan los vectorestangente unitario y normal exterior unitario en punto (x; y) de C, entonces el campo vectorial F se puedeescribir de la forma

F = (F � T )T + (F � n)n:en ése punto. Los escalares F � T y F � n se llaman la componente tangencial y la componente normal de F alo largo de C, respectivamente. El estudio del comportamiento de F a lo largo de sus componentes normal ytangencial es la parte central del Cálculo Vectorial, y de suma importancia en la física, la matemática y laingeniería.

2.4. Integral de línea

En esta sección consideramos que C es una curva simple suave a trozos del plano que está parametrizadamediante la función vectorial r(t) con a � t � b; o mediante la longitud de arco r(s) donde 0 � s � l. Como

s = s(t) =

Z t

0

kr0(u)kdu =Z t

0

v(u)du; a � t � b

entonces ds = kr0(t)kdt = v(t)dt. Es claro que 0 � s � l, donde l = s(b) es la longitud de C entre los puntosr(a) y r(b), y s es el parámetro de longitud de arco.


2.4.1. Integral de línea de un campo escalar

Sea f(x; y) es un campo escalar de�nido y continuo sobre C. Entonces se de�ne la integral de línea o detrayectoria de f a lo largo de C comoZ

C

fds =

ZC

f(x; y)ds =

Z l

0

f(r(s))ds =

Z b

a

f(r(t)) kr0(t)k dt;

si alguna de las integrales de una variable del lado derecho existe.

La notaciónIC

fds es conveniente para denotar la integral de línea de f a lo largo de C, cuando C es una

curva cerrada.Si �(x; y) es la densidad de C entonces la integral de línea

M =

ZC

dm =

ZC

�ds

nos da la masa total de C.

2.4.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados

Sea f un campo escalar de�nido y continuo sobre C. Se de�nen la integral de línea o de trayectoria de f a lolargo de los ejes x y y como Z

C

fdx = l��mn!1

nXi=1

f(x�i ; y�i )�xi;Z

C

fdy = l��mn!1

nXj=1

f(x�j ; y�j )�yj ;

respectivamente, si los límites existen.

2.4.3. Integral de línea de un campo vectorial

Sea F(x; y) es un campo vectorial de�nido y continuo sobre C. Entonces se de�ne la integral de línea o detrayectoria de F a lo largo de C como2Z

C

F � Tds =Z l

0

F(r(s)) � T (s)ds =Z b

a

F(r(t)) � r0(t)dt =ZC

F � dr

si alguna de las integrales de una variable del lado derecho existe. Observe que F �T representa la componentetangencial de F a lo largo de la C. Segundo, que estas representaciones son posibles por ser C una curvasuave a trozos y Tds = dr = r0(t)dt.Si F = P i+Qj, y r(t) = x(t)i+ y(t)j, se obtiene la versión cartesiana de la integral de línea de F comoZ

C

F � Tds =ZC

F � dr =ZC

Pdx+Qdy:

El trabajo que ejerce F a lo largo de C se de�ne como la integral de línea de la componente tangencial de Fa lo largo de C:

Trabajo de F a lo largo de C =WC(F) =ZC

F � Tds =ZC

F � dr:

2Primero, observe que T =dr

dsimplica Tds = dr. Esto se establecer considerando que Tds =

r0(t)

kr0(t)kkr0(t)k dt = r0(t)dt = dr.

También,dr

ds=dr

dt

dt

ds=dr

dt

1dsdt

= r0(t)1

kr0(t)k=

r0(t)

kr0(t)k= T .


El �ujo de F a lo largo de C se de�ne como la integral de línea de la componente normal de F a lo largo deC:

Flujo de F a lo largo de C = FC(F) =ZC

F � n ds =ZC

Pdy �Qdx:

En efecto, como

n = T � k = r0(t)� kkr0(t)k =

[x0(t)i+ y0(t)j]� kkr0(t)k =

y0(t)i� x0(t)jkr0(t)k

y ds = kr0(t)kdt entonces

F � n ds = (P i+Qj) � [y0(t)i� x0(t)j]dt = Pdy �Qdx

pues dx = x0(t)dt y dy = y0(t)dt.

2.4.4. Teorema de Green en el plano

Teorema 2.1 (Teorema de Green en forma tangencial) Sea D es una región múltiplemente conexa delplano3 limitada por una curva C cerrada simple suave a trozos. Si F = P i+Qj es un campo vectorial de�nidoy con primeras derivadas parciales sobre D. EntoncesZ

@D

Pdx+Qdy =

ZZD

(Qx � Py)dA

Aplicando el teorema de Green en forma tangencial se obtiene la versión normal del mismo teorema.

Teorema 2.2 (Teorema de Green en forma normal) Sea D es una región múltiplemente conexa delplano4 limitada por una curva C cerrada simple suave a trozos. Si F = P i + Qj es un campo vectorialde�nido y con primeras derivadas parciales continuas sobre D. EntoncesI

D

Pdy �Qdx =ZZ

D

(Px +Qy)dA

Formas vectoriales del teorema de Green: Como

rotF � k = Qx � Py; divF = Px +Qy;

las siguientes son las versiones vectoriales del teorema de Green.

Forma tangencial Forma normalI@D

F � Tds =I@D

F � dr =ZZ

D

rotF � k dAI@D

F � n ds =ZZ

D

divF dA

I@D

Pdx+Qdy

W@D(F)

=

ZZD

(Qx � Py)dAI@D

Pdy �QdxF@D(F)

=

ZZD

(Px +Qy)dA

Tasa de F que pasa por D(Problema de circulación) (Problema de difusión)

2.4.5. Campos conservativos

Teorema 2.3 (Teorema fundamental de la integral de línea) Sea F es un campo vectorial continuoen una región conexa abierta D. Si el campo vectorial F es conservativo en D y C es una curva simple suavea trozos que conecta dos puntos a y b cualesquiera de D entoncesZ

C

F � dr = f(b)� f(a)

3Recuerde que por de�nición D es un conjunto cerrado y acotado del plano xy.4Recuerde que por de�nición D es un conjunto cerrado y acotado del plano xy.


En efecto, existe un campo escalar f con primeras derivadas parciales continuas es en D tal que F = rf . Porlo tanto, Z

C

F � dr =Z b

a

F(r0(t)) � r0(t)dt =Z b

a

rf(r0(t)) � r0(t)dt

=

Z b

a

d

dtf(r(t))dt = f(b)� f(a):

Sea F un campo vectorial continuo en una región D. Decimos que la integral de líneaRCF�dr es independiente

de trayectoria siRC1F �dr =

RC2F �dr para cualesquiera dos trayectorias C1 y C2 contenidas en D que tengan

el mismo el mismo origen y el mismo extremo.

Teorema 2.4 (Teorema para campos vectoriales conservativos y curvas cerradas) Sea F un cam-po vectorial continuo en una región abierta conexa D. Entonces las siguientes tres proposiciones son equiva-lentes.

1. F es conservativo en D.

2.ZC

F � dr es independiente de trayectoria.

3.IC

F � dr = 0 para toda curva cerrada C en D.

Teorema 2.5 Sea F = P i + Qj un campo vectorial de�nido en una región D abierta simplemente conexa.Si las componentes de F tienen primeras derivadas parciales continuas en D y Py = Qx en toda la región Dentonces F es conservativo en D.

2.4.6. Integral de línea y circulación

Sea C una curva en un campo vectorial F = F(r), y r(t) con a � t � b es una parametrización de C.Supongamos que C se subdivide en n+ 1 puntos r0; r1; : : : ; rn tales que r0 = a y rn = b. Considere la suma

nXi=1

F(ri) ��ri

donde �ri = ri � ri�1 (se ingora la diferencia entre el segmento �ri y el arco que subtiende). El límite deesta suma cuando n!1 (probado que existe) y la máxima longitud de los segmentos �ri a cero es llamadala integral de línea de F a lo largo de C y es denotada porZ

C

F � dr = l��mm�ax�ri!0n!1

nXi=1

F(ri)�ri

Aquí el vector dr es dirigido a lo largo del vector tangente a la curva en cada punto y su magnitud es igualal elemento de longitud de arco a lo largo de la curva:

jdrj =p(dx1)2 + � � �+ (dxn)2 = ds

Un caso de particular interés es cuando la integral de línea sea tomada sobre una curva cerrada (� es el vectortangente a la curva y dr = �ds). La integral de línea

� =

IC

F � dr

es entonces llamada la circulación del campo vectorial F alrededor de C. Si F es un campo de fuerza, entonces� es llamado el trabajo hecho por la fuerza para mover la partícula alrededor de C.


3. Cálculo vectorial en el espacio

3.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el espacio

Algebraicamente, una curva C en el espacio se puede considerar como la intersección de dos super�cies. Porejemplo, la intersección del plano z = 15� y y el paraboloide z = 2x2 + y2 � 1 es una elipse.

4

y

2

4

4

x

2 02

02

0

4

60

20z 40

Una curva C en el espacio se representa solo paramétricamente. La curva C en el espacio es parametrizablesi existe una función vectorial r : I � R ! R3 cuya imagen es C. La orientación positiva de C se considerade nuevo que está dada por la función vectorial r(t). Se asume también que las ecuaciones paramétricas deC están dadas por las ecuaciones

x = x(t); y = y(t); z = z(t); t 2 I

Para el caso del ejemplo anterior, la elipse puede ser parametrizada de la forma

x = 12

q652 cos t; y = 1

2 (1 +p65 sen t); z = 1

2 (29�p57 sen t); 0 � t � 2�:

3.2. Super�cies algebraicas y paramétricas

Para una super�cie S en general se usan coordenadas xyz, y existen básicamente dos métodos para represen-tarla. La representación implícita de una super�cie S está dada como el conjunto de todos los puntos (x; y; z)que satisfacen la ecuación F (x; y; z) = 0 donde (x; y; z) 2 A � R3. Así,

S : F (x; y; z) = 0; (x; y; z) 2 A � R3:

Algunas veces es posible despejar de la ecuación de la super�cie una variable en función de las otras dos.En este caso, se obtiene la representación explícita de S mediante la grá�ca de un campo escalar, digamosz = g(x; y), con (x; y) en alguna región R del plano xy. Por lo tanto,

S : z = f(x; y); (x; y) 2 R � R2:

Existe un tercer método para representar super�cies, la representación paramétrica. Una función � : D �R2 ! R3, llamada función de super�cie, es una parametrización de S si la grá�ca de � es S; es decir,G� = f�(u; v) : (u; v) 2 Dg = S. La función de super�cie también se puede escribir de la forma

S : �(u; v) = x(u; v)i+ y(u; v)j+ z(u; v)k; (u; v) 2 D;

donde x = x(u; v), y = y(u; v) y z = z(u; v) son las ecuaciones paramétricas de S. Este método es análogo almétodo de parametrización de curvas en el plano.Sea S es una super�cie que está parametrizada por la función de super�cie �(u; v) con (u; v) 2 D que tieneprimeras derivada parciales �u y �v que son continuas en un punto (u0; v0) en D. Entonces los vectores

�u = xu(u0; v0)i+ yu(u0; v0)j+ zu(u0; v0)k;

�v = xv(u0; v0)i+ yv(u0; v0)j+ zv(u0; v0)k;


son tangentes a S en el punto �(u0; v0) de S, y serán linealmente independientes si �u��v 6= O. Se dice queS es suave en �(u0; v0) si las primeras derivadas parciales de �(u; v) son continuas en (u0; v0) y linealmenteindependientes en �(u0; v0). Si S es suave en el punto �(u0; v0) = (x0; y0; z0) entonces plano tangente a S enel punto (x0; y0; z0) tiene ecuación

(x� x0; y � y0; z � z0) � n = 0;

donde n = �u��v es denominado el producto vectorial fundamental de la representación de �5 . Si F (x; y; z) =0 es la representación algebraica explícita de S, también se puede decir que S es suave en (x0; y0; z0) si lasprimeras derivadas parciales Fx, Fy y Fz de F son continuas y no nulas en este punto. El vector rF (x0; y0; z0)será normal a la super�cie en (x0; y0; z0) y plano tangente en (x0; y0; z0) tendrá la ecuación

(x� x0; y � y0; z � z0) � rF (x0; y0; z0) = 0:

Si S está de�nida explícitamente por la función z = g(x; y), entonces S es suave en (x0; y0; z0), z0 = g(x0; y0),si las derivadas parciales gx y gy son continuas y no nulas en este punto. El plano tangente en (x0; y0; z0)tendrá la ecuación

z � z0 = (x� x0; y � y0; ) � rg(x0; y0):

La super�cie S es suave si es suave en cada uno de sus puntos. La super�cie es suave a trozos si es la uniónde un número �nito de super�cies suaves.La super�cie S es simple si su parametrización es una función uno a uno. S es simple a trozos si es la uniónde un número �nito de super�cies simples.Una super�cie suave y simple a trozos es suave excepto posiblemente a lo largo de las curvas que unen cadauno de los trozos de super�cie, y diferenciable excepto posiblemente en un número �nito de puntos de estasmismas curvas. Por el ejemplo, la super�cie de un cubo es la unión de cuatro super�cies suaves simples, y lasaristas son curvas suaves que son diferenciables excepto en los cuatro vértices del cubo6 .Por lo general, las super�cies que son orientables son las super�cies cerradas y no cerradas. Una super�cie nocerrada es una super�cie que está limitada por una curva cerrada suave y simple a trozos (e.g., un paraboloidelimitado por un plano o un globo aerostático, que es una esfera truncada, y en general todo super�cie de�nidaexplícitamente). Toda super�cie no cerrada tiene una frontera que es una curva.Las super�cies cerradas son super�cies que no tienen frontera y limitan regiones solidas del espacio (e.g., unaesfera, la super�cie de un cubo). La super�cies cerradas dividen el espacio tridimensional en dos regiones, laexterior y la interior a la super�cie.Por convención las super�cies se denotan por la letra S mayúscula. Si S es una super�cie no cerrada sufrontera será una curva la cual se denotará por @S o por la letra C mayúscula. Las regiones sólidas delespacio se denotan por la letra griega mayúscula, y su frontera será una super�cie cerrada la cual sedenotará por @ o por la letra S mayúscula.

Toro Diabolo(x2 + y2 + z2 +R2 � 1)2 = R2(x2 + y2) x2 = (y2 + z2)2

(a) Super�cie cerrada (b) Super�cie no cerradaFigura 1. Super�cies orientables

Las super�cies cerradas y no cerradas generalmente tienen la característica de poseer dos lados o caras. Portanto, una super�cie orientable es una super�cie con dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo; y elotro el lado interior o negativo. Si S es una super�cie suave orientable, existen dos vectores normales unitarios�1 y �2, el uno el opuesto del otro, en cada punto de un lado de la super�cie. A un lado de la super�cie se le

5Observe que n no es un vector unitario.6C.f. Marsden and Tromba, Vector Calculus, p. 449.


puede asociar uno de estos vectores normales. Así, para especi�car un lado de la super�cie S, en cada puntode este lado de S se elige un vector normal unitario � que apunte hacia afuera desde el lado positivo de S enese punto.En super�cies cerradas, por convención, el lado positivo lo constituye su exterior y el lado negativo su interior.El lado positivo de la super�cie se considera como el lado en el cual apunta el vector �. En super�cies nocerradas con dos lados se puede elegir uno de ellas como el positivo, siendo automáticamente el segundo elnegativo. Una super�cie se dice que está orientada positivamente cuando se ha de�nido uno de sus ladoscomo el positivo.La de�nición anterior supone que la super�cie tiene dos lados. Un ejemplo de super�cie que no es orientable,por no tener dos lados, es la cinta de Möbius. En cada punto p de la cinta existen dos vectores normalesunitarios �1 y �2 de direcciones opuestas. Sin embargo, si se mueve �1 a lo largo de la cinta, cuando se regresede nuevo a p los vectores �1 y �2 tendrán la misma dirección. Esto demuestra que la cinta de Möbuis no tienedos lados, y por tanto no es orientable en el sentido de la de�nición anterior.

Figura 2. Hormigas caminando sobre una cinta de Möbius, M. C. Escher, 1963.

Sea � el vector normal unitario a S en (x0; y0; z0) apuntando desde el lado positivo de S a ese punto. Engeneral existen tres formas para la ecuación de la super�cie, y las correspondientes representaciones de � son:

F (x; y; z) = 0; � = � rFkrFk

z = g(x; y); � = ��gxi� gyj+ kqg2x + g

2y + 1

�(u; v); � = � �u � �vk�u � �vk

El signo positivo signi�ca que la representación de � preserva la orientación de la super�cie, es decir, � apuntahacia afuera desde el lado exterior de la super�cie en los puntos (x; y; z) de ella. En caso contrario, es decir,cuando � apunta hacia afuera desde el lado interior de la super�cie, se dice que � invierte la orientación.Por ejemplo, a la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1 se le da como orientación positiva seleccionando el vector� = �(x; y; z) de manera que apunte hacia afuera del lado exterior de la esfera. Entonces, para todo punto(x; y; z) en la esfera

� =rFkrFk =

xi+ yj+ zk

�; � =

px2 + y2 + z2

donde F (x; y; z) = x2 + y2 + z2. Como el escalar 1=� es positivo el vector � apunta hacia afuera desde laesfera, es decir, � preserva la orientación de la super�cie. Si el punto (x; y; z) está sobre la super�cie de laesfera entonces

� = xi+ yj+ zk

La esfera también se puede parametrizar de la forma

�(�; �) = cos � sen�i+ sen � sen�j+ cos�k; 0 � � � 2�; 0 � � � �:

El producto cruz de los vectores tangentes �� y �� a la esfera está dado por el vector

�� = �(xi+ yj+ zk) sen�


Como � sen� � 0 para 0 � � � �, entonces el vector �� apunta hacia adentro desde la esfera. Así, laparametrización �(�; �) de la esfera invierte su orientación.Dos comentarios �nales respecto a super�cies no cerradas. Sea S es una super�cie no cerrada la cual tienede�nida una orientación positiva y la curva @S su frontera. La orientación positiva de @S se obtiene aplicandola regla de la mano derecha � considerando en la dirección del dedo pulgar el vector � que es normal a @S,la super�cie en la dirección del dedo corazón, y el dedo índice señalando en la dirección de @S� cuando secamina a lo largo de @S7 . Formalmente, este hecho se puede establecer de la siguiente manera. Sea S es unasuper�cie no cerrada con frontera @S. Si S es parametrizada por una función de super�cie

S : �(u; v) = x(u; v)i+ y(u; v)j+ z(u; v)k; (u; v) 2 D � R2;

entonces D debe ser una región cerrada y acotada en el plano uv limitada por una curva @D cerrada simpley suave a trozos. Supongamos que r : [a; b] ! R2, r(t) = u(t)i + v(t)j es una parametrización de @D endirección positiva. Si S está dada de forma explícita de la forma z = f(x; y) entonces entonces la frontera @Sde S la podemos parametrizar como la curva cerrada simple suave a trozos orientada positivamente que esla imagen de la función vectorial � : [a; b]! (u(t); v(t); f(u(t); v(yt))) con la orientación inducida por �.Segundo, una super�cie S puede ser clasi�cada de la misma forma que se hizo con regiones planas; i.e., Spuede ser conexa, simplemente conexa o múltiplemente conexa.

3.3. Regiones sólidas en el espacio

Una región sólida en el espacio es un conjunto conexo cerrado y acotado en R3 limitado por una super�ciecerrada simple y suave a trozos. Una región sólida en el espacio también se puede clasi�car como conexa,simplemente conexa o múltiplemente conexa. Una región múltiplemente conexa lucirá algo así como un quesocon muchos túneles.

3.4. Campos vectoriales en el espacio

Sea F = P i+Qj+Rj un campo vectorial de fuerzas o de velocidades en el espacio que actúa sobre una super�cieS cerrada o no cerrada del espacio orientada positivamente. Matemáticamente se supone que F(x; y; z) esun campo vectorial de�nido para todo (x; y; z) de la super�cie S. En conexión con campos vectoriales en elespacio es de especial interés el estudio de los dos siguientes problemas.

1. (Circulación) Para super�cies no cerradas S múltiplemente conexas con frontera @S: estudiar el sentidofísico y matemático de la componente tangencial F � T a la frontera @S de S, donde T es el vectortangente unitario a @S, y la curva @S se considera orientada positivamente.

2. (Difusión) Para super�cies cerradas S que limitan sólidos múltiplemente conexos : estudiar el sentidofísico y matemático de la componente normal F � � de F a lo largo de S, donde S se considera orientadapositivamente en la dirección del vector normal unitario �.

3.5. Integral de línea

En esta sección suponemos que C es una curva simple suave a trozos en el espacio que está orientadapositivamente y está parametrizada por la función vectorial r(t) con a � t � b; o mediante la longitud dearco r(s) donde 0 � s � l. Como

s = s(t) =

Z t

0

kr0(u)kdu =Z t

0

v(u)du; a � t � b;

entonces ds = kr0(t)kdt = v(t)dt. De nuevo se cumple que 0 � s � l, donde l = s(b) es la longitud de C entrelos puntos r(a) y r(b).

7C.f. Marsden and Tromba, Vector Calculus, p. 505.


3.5.1. Integral de línea de un campo escalar

Si f(x; y; z) es un campo escalar de�nido y continuo sobre C se de�ne la integral de línea de f a lo largo deC como Z

C

fds =

Z l

0

f(r(s))ds =

Z b

a

f(r(t)) kr0(t)k dt =ZC

fdr:

La notaciónIC

fds es conveniente para denotar la integral de línea de f a lo largo de C, cuando C es una

región cerrada.Si �(x; y; z) es la densidad de C, entonces

M =

ZC

dm =

ZC

�ds

es la masa total de C.

3.5.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados

Si f es un campo escalar de�nido sobre C. Se de�nen la integral de línea de f a lo largo de los ejes x, y y zcomo Z

C

fdx = l��mn!1

nXi=1

f(x�i ; y�i ; z

�i )�xi;Z

C

fdy = l��mn!1

nXj=1

f(x�j ; y�j ; z

�j )�yj ;Z

C

fdz = l��mn!1

nXk=1

f(x�k; y�k; z

�k)�zk;

respectivamente, si los límites existen.

3.5.3. Integral de línea de un campo vectorial

Sea F(x; y; z) un campo escalar de�nido y continuo sobre una curva C. Se de�ne la integral de línea de F alo largo de C como Z

C

F � Tds =Z l

0

F(r(s)) � T (s)ds =Z b

a

F(r(t)) � r0(t)dt =ZC

F � dr:

La notación ZC

F � d~r

también es frecuentemente utilizada.Considerando F = P i+Qj+Rk y r(t) = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k se obtiene la versión cartesiana de la integralde línea de F a lo largo de C como la integralZ

C

F � Tds =ZC

F � r =ZC

Pdx+Qdy +Rdz:

El trabajo que ejerce F a lo largo de C se de�ne como la integral de línea de la componente tangencial de Fa lo largo de C como

Trabajo de F a lo largo de C =WC(F) =ZC

F � Tds =ZC

F � dr

El �ujo de F a lo largo de C no tiene sentido de�nirlo pues, en general, la curva puede tener en un puntomás de un vector normal. Como se verá posteriormente, tiene sentido físico y matemático considerar el �ujode F a través de una super�cie cerrada.El teorema fundamental de la integral de línea y el teorema para campos vectoriales conservativos sobrecurvas cerradas del plano también se cumplen en el espacio. Por eso se omite escribir estos teoremas denuevo.


3.6. Integral de super�cie

3.6.1. Área e integral de super�cie de un campo escalar

Área de una super�cie. Sea S una super�cie suave que está parametrizada por la función vectorial� : D � R2 ! R3. S se considera de�nida sobre un conjunto cerrado y acotado, lo cual hace que necesarioque D sea un conjunto cerrado y acotado del plano. Al de�nir una partición del rectángulo R de ladosparalelos al ejes plano uv, que contiene a D en su interior, en subrectángulos Rij entonces se introducemediante la función de super�cie �(u; v) una partición de S en pequeñas super�cies Sij = �(Rij) de S queson aproximadamente pequeños paralelogramos con lados adyacentes de�nidos por los vectores �u y �v. Elárea de éstas pequeñas super�cies se pueden aproximar por la magnitud del producto cruz de los vectores�u�u y �v�v, donde �u y �v son escalares apropiados que permiten ajustar el área del paralelogramogenerado por ellos al área de la super�cie S(Rij); es decir,

�Sij = areaS(Rij) � k�u � �vk�u�v;

donde

�u � �v =

��i j kxu yu zuxv yv zv

�� =�� yu zuyv zv

�� i� �� xu zuxv zv

�� j+ �� xu yuxv yv

��k = @(y; z)

@(u; v)i� @(x; z)

@(u; v)j+

@(x; y)

@(u; v)k:

Se de�ne el diferencial de super�cie de área dS como

dS = k�u � �vk dudv:

Sumando y tomando el límite se obtiene el área de S, si el límite existe, como

area(S) =

ZZS

dS =

ZZD

k�u � �vk dudv =ZZD

s�@(x; y)

@(u; v)

�2+

�@(y; z)

@(u; v)

�2+

�@(x; z)

@(u; v)

�2dudv

Integral de super�cie. Sea f(x; y; z) un campo escalar que es continuo sobre S. Entonces se de�ne demanera análoga la integral de super�cie del campo escalar f sobre S como la integralZZ

S

f(x; y; z)dS =

ZZS

fdS =

ZZD

f(�(u; v)) k�u � �vk dudv:

Si S es una super�cie hecha de material delgado, de ancho uniforme, y con densidad (en gms/unidad de área)dada por �(x; y; z) entonces la masa de S y la componente de su centro de masa están dados por

M =

ZZS

dm =

ZZS

�(x; y; z)dS;

Mx =

ZZS

xdm =

ZZS

x�(x; y; z)dS:

Las componente con respecto y y z se de�nen de manera similar. Si �(x; y; z) representa la densidad de cargaeléctrica, entonces la integral de super�cie de � sobre S da la carga eléctrica total sobre S.El valor promedio de un campo escalar f(x; y; z) sobre la super�cie S se puede calcular mediante la integralde super�cie

valor promedio de f sobre S =1

area(S)

ZZS

f(x; y; z)dS:

Si la super�cie S está de�nida explícitamente por el campo escalar z = g(x; y), (x; y) 2 D, entonces S sepuede parametrizar de la forma �(u; v) = xi+ yj+ g(x; y)k, (x; y) 2 D. Entonces

dS =qg2x + g

2y + 1dA;


y por lo tanto, ZZS

f(x; y; z)dS =

ZZS

fdS =

ZZD

f(x; y; g(x; y))qg2x + g

2y + 1dA:

Si f(x; y; z) = 1, entonces el área de S está dada por la integral de super�cie,

area(S) =

ZZS

dS =

ZZD

qg2x + g

2y + 1dA:

Si la super�cie S está de�nida explícitamente mediante la ecuación cartesiana F (x; y; z) = 0 se puede asumir,por ejemplo, que los valores de z están de�nidos implícitamente de la forma z = g(x; y). Derivando implíci-tamente se obtiene

gx =@z

@x= �Fx

Fz; gy =

@z

@y= �Fy

Fz;

suponiendo que F tiene primeras derivadas parciales continuas y Fz 6= 0; i.e., S debe ser suave a trozos.Entonces,

dS =1

jFzj

qF 2x + F

2y + F

2z dA:

3.6.2. Integral de super�cie de un campo vectorial y �ujo a través de una super�cie

La más importante de las integrales de super�cie es la que calcula el �ujo de un campo vectorial a través deuna super�cie. Anteriormente se calculo el �ujo de un campo vectorial F(x; y) a través de una curva en elplano xy. Ahora se va a construir un análogo en el espacio.Sea S una super�cie orientada. Esto quiere decir que S tiene dos lados uno de los cuales ha sido elegido comoel positivo. En cada punto de S hay dos vectores normales unitarios apuntando en direcciones opuestas; elvector normal unitario exterior, denotado por �, es el vector que tiene su origen sobre el lado positivo de S.Si S es una super�cie cerrada, � i.e., una super�cie sin fronteras, como una esfera o un cubo, de tal maneraque esta encierra completamente una parte del espacio tridimensional� como ya se dijo, por convención Ses orientada de tal manera que el lado exterior es el positivo; i.e., � siempre apunta hacia afuera desde delexterior de S.Sea F(x; y; z) un campo vectorial de�nido y continuo sobre una super�cie S orientada positivamente. Se asumeademás que S es un conjunto cerrado y acotado que está parametrizado por la función de super�cie � : D �R2 ! R3. Se de�ne la componente normal de F a lo largo de n por el campo escalar F(x; y; z) ��(x; y; z) � F ��de�nido en cada punto (x; y; z) de S. De la de�nición de integral de super�cie se obtiene la siguiente de�nición.Se de�ne la integral del �ujo de F a lo largo de � o

�ujo de F a través de S =ZZS

F � n dS;

donde F � n representa la componente de F a lo largo de n, el vector normal exterior unitario a S.Se de�ne el vector diferencial de super�cie de área dS o d~S como

d~S = (�u � �v)dudv:

Dado que

n =�u � �vk�u � �vk

; dS = k�u � �vk dudv

se sigue qued~S = n dS:

Por lo tanto,

�ujo de F a través de S =ZZS

F�d~S =ZZS

F � n dS =ZZD

F(�(u; v)) � (�u � �v)dudv:


Si F(x; y; z) representa el campo de velocidades del �ujo de un �uido incompresible de densidad 1, entoncesF �n representa la componente de la velocidad del �ujo en la dirección perpendicular positiva a la super�cie,y F � n dS representa la rata de �ujo a través de un pequeño trozo in�nitesimal de super�cie que tiene áreadS. La integral del �ujo de F es la suma de todos esos �ujos que pasan a través de los trozos de la super�cie.Así que ésta integral de �ujo se puede interpretar como

�ujo de F a través de S = tasa de �ujo neto a través de S;

donde el �ujo es medido en la dirección positiva de �, y el �ujo en la dirección opuesta o negativa. Más engeneral, si el �uido tiene densidad de masa variable entonces el lado derecho de la ecuación (de balance)anterior es la rata de transporte neto de masa del �uido a través de S (por unidad de área, por unidad detiempo).Si F es un campo vectorial de fuerzas, entonces nada está físicamente �uyendo, y el término �ujo se usa paradenotar la integral de super�cie.

Ejemplo 3.1 Hallar el �ujo de F = zi+ xj+ yk que sale a través de la porción de cilindro x2 + y2 = a2 enel primer octante y abajo del plano z = h.

Solución. Como el �ujo sale, esto sugiere que el cilindro debe ser orientado de tal manera que n apuntefuera del cilindro; i.e., alejándose del eje z. Por simple inspección se concluye � debe ser radialmente dirigidohacia afuera y horizontal al cilindro. Como la ecuación del cilindro está dado por la ecuación F (x; y; z) = a2,donde F (x; y; z) = x2 + y2, entonces

n =rFkrFk =

2xi+ 2yjp4x2 + 4y2

xi+ yjpx2 + y2

=xi+ yj

a

Esta vector normal es efectivamente exterior a círculo x2+ y2 = a2 en el plano xy; y no tiene componente enz puesto que el vector es horizontal.Para conseguir el diferencial de área de super�cie dS de un elemento in�nitesimal de la super�cie parame-trizada por �(�; z), se usan coordenadas cilíndricas para parametrizar el cilindro:

x = a cos �; y = a sen � ; z = z; 0 � � � �=2; 0 � z � h

Como

�� z =

��i j k

�a sen � a cos � 00 0 1

�� = a cos �i+ a sen �j = xi+ yjentonces

n =�� zk�� zk

=1

a(xi+ yj);

lo cual garantiza que �(�; z) preserva la orientación positiva de la super�cie. Ahora,

dS = k�� zk d�dz = ad�dz:

Se expresan el integrando de la integral de super�cie de la forma

F � n dS = (zi+ xj+ yk) � 1a(xi+ yj)ad�dz = (xz + xy)d�dz = (az cos � + a2 cos � sen �)d�dz:

Así que el �ujo de F a través de S esZZS

F � d~S =ZZS

F � n dS =Z �=2

0

Z h

0

(az cos � + a2 cos � sen �)dzd�

=ah

2

Z �=2

0

(h cos � + 2a sen � cos �) d� =ah(a+ h)

2:


Ejemplo 3.2 Encontrar el �ujo de F = xzi+yzj+z2k que sale a través de la porción de esfera x2+y2+z2 =a2 localizada en el primer octante.

Solución. La esfera se puede escribir de la forma F (x; y; z) = a2 donde F (x; y; z) = x2 + y2 + z2 con x y ynúmeros reales no negativos. De nuevo,

n =rFkrFk =

2xi+ 2yj+ 2zkp4x2 + 4y2 + 4z2

xi+ yj+ zkpx2 + y2 + z2

=xi+ yj+ zk

a(4)

es el vector normal exterior en el punto (x; y; z) de la esfera. Este vector también se puede obtener considerandoque el punto (x; y; z) está sobre la esfera y � se obtiene al normalizar el vector que va del origen al punto(x; y; z). Efectivamente, el vector n apunta en la dirección radial exterior de la esfera desde el origen.Para evaluar la integral se utilizan coordenadas esféricas �, �, �. Sobre la super�cie de la esfera � = a, asíque las coordenadas son exactamente los dos ángulos � y �. Entonces

�(�; �) = a cos � sen�i+ a sen � sen�j+ a cos�k; 0 � � � �=2; 0 � � � �=2:

Por lo tanto,

�� =

��i j k

�a sen � sen� a cos � sen� 0a cos � cos� a sen � cos� �a sen�

��=

�� a cos � sen� 0a sen � cos� �a sen�

�� i� �� a sen � sen� 0a cos � cos� �a sen�

�� j+ �� a sen � sen� a cos � sen�a cos � cos� a sen � cos�

��k= �a2 cos � sen2 �i�a2 sen � sen2 �j� a2 sen� cos�k;

y

k�� k = a2pcos2 � sen4 �+ sen2 � sen4 �+ sen2 � cos2 �

= a2psen4 �+ sen2 � cos2 � = a2

psen2 �(sen2 �+ cos2 �)

= a2j sen�j = a2 sen�;

pues sen� � 0 cuando 0 � � � �=2. Entonces,

dS = a2 sen�d� d�: (5)

De la de�nición de F, (4) y (5) se obtiene

F � n dS = (xzi+ yzj+ z2k) � 1a(xi+ yj+ zk) a2 sen�d� d�

= a(x2z + y2z + z3) sen�d�d� = a(x2 + y2 + z2)z sen�d� d�

= a3z sen�d�d� = a4 cos� sen�d� d�:

Finalmente,ZZS

F � d~S =ZZS

F � n dS = a4Z �=2

0

Z �=2

0

cos� sen�d�d� = a4�

2

1

2sen2 �

��=20

=�a4

4:

3.6.3. Flujo de un campo vectorial

Sea S una super�cie con dos lados (que puede ser o no cerrada) inmersa en un campo vectorial F = F(�).Sea dS un elemento de S, y sea n el vector normal exterior unitario a dS en uno de sus puntos. Entonces el�ujo del campo vectorial F(�) que pasa a través del elemento dS se de�ne como la cantidad

F � d~S = F � ndS = FndS;


donde F es tomado en el mismo punto que �, y Fn = F � n denota la componente (normal) de F a lo largodel vector normal unitario n. Similarmente, el �ujo de F a través de toda la super�cie S se de�ne mediantela integral de super�cie ZZ

S

F � ndS =ZZ

S

FndS =ZZ

S

F � d~S:

Esta integral es independiente de la elección del sistema de coordenadas. En un sistema de coordenadasrectangulares x; y; z esta integral toma la formaZZ

S

F � ndS =ZZ

S

(P cos(�; x) +Q cos(�; y) +R(�; z))dS;

donde P;Q;R son las componentes del campo vectorial.El siguiente ejemplo físico clari�ca el sentido del conepto de �ujo de un campo vectorial.

Ejemplo 3.3 Considere el �ujo estacionario de un �uido totalmente incompresible en cierta región del es-pacio. Tal �ujo es caracterizado por un campo de velocidades continuo V = V(�). Sea S la super�cie suaveinmersa en el �ujo. Entonces, de acuerdo con la integral anterior, el �ujo del campo V(�) a través de S estádado por la integral

Q =

ZZS

V � ndS:

Como se ha mostrado, esto es exactamente la cantidad (i.e., volumen) del �uido que pasa a través de dS porunidad de tiempo.

En efecto, sea dS un elemento de S, con vector unitario normal n. La frontera de dS de�ne un elementode tubo de �ujo AB, i.e., la super�cie formada por las trayectorias del campo de velocidades que pasan através de la frontera de S (un pequeño contorno cerrado). Claramente, pasa la misma cantidad de �ujo através de cada sección transversal perpendicular a este tubo por unidad de tiempo. Para calcular esta cantidad,observemos que la cantidad de �uido pasando a través de dS en un tiempo dt es igual al volumen del cilindrocon base dS y generador kVk dt. La altitud h de este cilindro es obviamente igual a la proyección de Vdt sobreel vector normal a la base, i.e.,

h = kVk dt cos(V; �) = V � � dt:

Por lo tanto, la cantidad de �uido que pasa a través de dS por unidad de tiempo dt es igual a

dQ = kVk cos(V; �)dS = V � � dS:

Integrando sobre toda la super�cie S, se obtiene la integral de super�cie buscada.

3.7. Teorema del rotacional y la divergencia

3.7.1. Teorema del rotacional de Stokes

El teorema de Stokes relaciona integrales de línea con integrales de super�cie. La forma tangencial del teoremade Green en el plano establece que I

@D

F � dr =ZZD

rotF�n dA;


donde @D es una curva cerrada simple suave a trozos que limita la región D del plano xy. Como el ladoizquierdo representa trabajo, una forma natural de extender este resultado al espacio tridimensional puedeser considerando

HF � dr representando el trabajo hecho alrededor de una curva cerrada en el espacio tridi-

mensional.Tratando de generalizar el lado derecho de esta forma tangencial del teorema de Green, la curva @S puedeser únicamente la frontera de algún trozo de super�cie S �que de hecho no es necesariamente un plano. Porlo tanto, la forma natural de generalizar este resultado es de la formaI

@S

F � dr =ZZS

( algo que depende de F) � n dS =ZZS

( algo que depende de F) � d~S:

Teorema 3.4 (del rotacional de Stokes) Sea S una super�cie no cerrada limitada por la curva @S, quese considera una curva cerrada simple suave a trozos orientada positivamente, y F un campo vectorial conprimeras derivadas parciales continuas sobre S. EntoncesI

@S

F � dr =ZZS

rotF � d~S;

o bien I@S

F � Tds =ZZS

rotF � n dS:

Ejemplo 3.5 Veri�car el teorema de Stokes cuando S es la semiesfera centrada en el origen, con y � 0,orientada de tal manera que n subtiende un ángulo agudo con el eje positivo del eje y. Se considera F =yi+ 2xj+ xk.

Proof. La frontera @S de S es la intersección del plano xz (y = 0) y la semiesfera: x2+z2 = 1, un círculo en elplano xz que debe ser orientado en el sentido de las manecillas del reloj para hacer su orientación compatiblecon la de S. Se considera la siguiente parametrización de @S:

x = cos t; y = 0; z = � sen t; 0 � t � 2�:

Por lo tanto, I@S

F � dr =I@S

Pdx+Qdy +Rdz =

I@S

ydx+ 2xdy + xdz

=

I@S

xdz =

Z 2�

0

x(t)z0(t)dt = �Z 2�

0

cos2 tdt = ��:

La semiesfera S tiene la ecuación F (x; y; z) = 1, donde F = x2+ y2+ z2. Entonces, para todo punto (x; y; z)el vector

n =rFkrFk =

2xi+ 2yj+ 2zk

2px2 + y2 + z2

= xi+ yj+ zk

es normal unitario exterior a S. Se calcula

rotF =

��i j k@x @y @zy 2x x

�� = �j+ k; rotF � n = �y + z:

Integrando en coordenadas esféricas, se tiene

y = sen� sen �; z = cos�; dS = sen�d�d�:

Por lo tanto,ZZS

rotF�d~S =ZZS

rotF � ndS =ZZS

(�y + z)dS =Z �

0

Z �

0

(� sen� sen � + cos�) sen�d�d� = ��:


Interpretación del rotacional. Suponga que F representa el campo vectorial de velocidades para el �ujode un �uido en el espacio. El paso esencial es interpretar la componente del rotF(P0) en un punto P0(x0; y0; z0)y a lo largo de un vector unitario � dado y con su origen en P0.Se coloca una pequeña rueda con aspas de radio a en el �ujo de tal manera que su centro esté en P0 y demodo que su eje apunte en la dirección de �. Entonces, aplicando el teorema de Stokes a un pequeño discoSa de radio a y centro en P0 que está en el plano que pasa por P0 y tiene vector normal �. Sea asume queSa está limitado por el círculo Ca. Del teorema de Stokes se tiene que

velocidad angular de la rueda con aspas =1

2�a2

ICa

F � dr = 1

2�a2

ZZSa

rotF � ndS

� 1

2�a2(rotF(P0) � n)

ZZSa

dS

=1

2�a2(rotF(P0) � n(P0)) area(Sa)

=1

2rotF(P0) � n(P0);

puesto que rotF(P0) � n(P0) es aproximadamente constante sobre Sa, si a es pequeño. Tomando el límitecuando a! 0, la aproximación se convierte en una igualdad:

velocidad angular de la rueda con aspas =1

2rotF(P0) � n(P0):

Como rotF(P0) �n(P0) tiene su valor máximo cuando n(P0) tiene la misma dirección de rotF(P0), se concluyeque

dirección de rotF(P0) = dirección axial en que la rueda gira más rápidomagnitud de rotF(P0) = dos veces la velocidad angular

3.7.2. Teorema de la divergencia de Gauss

El teorema de Gauss relaciona integrales de super�cie con integrales de volumen, y es un teorema acerca desuper�cies cerradas orientadas.

Teorema 3.6 (de la divergencia de Gauss) Sea una región sólida del tipo IV limitada por @, unasuper�cie cerrada orientada positivamente, y F un campo vectorial C1 de�nido sobre . EntoncesZZ

@

F � d~S =ZZZ

divF dV;

o bien ZZ@

F � � dS =ZZZ

divF dV:

El teorema de la divergencia de Gauss también aplica para regiones sólidas simplemente conexas, descom-poniendo la región como la union de regiones sólidas de tipo IV sobre cada unas de las cuales se aplicael teorema de Gauss para regiones del tipo IV . En caso de ser la región sólida múltiplemente conexa, sedescompone la región como la unión de regiones simplemente conexas y se aplica el teorema de Gauss pararegiones simplemente conexas.

Interpretación de la divergencia. Físicamente, el teorema de la divergencia se interpreta como la formanormal del teorema de Green. Si F se considera como el campo de un �ujo tridimensional, la integral del ladoizquierdo en el teorema de la divergencia representa la tasa de transporte de masa a través de la super�ciecerrada @, cuando se considera que el �ujo que sale es positivo y el que entra es negativo.De otro lado, si divF > 0 en (x; y; z) entonces el lado derecho del teorema de la divergencia puede serinterpretado como la tasa de la fuente en (x; y; z): la tasa a la que el �uido está siendo sumado a la fuente


en el punto. Si divF < 0 en (x; y; z) esto indica la tasa a la que el �uido está siendo removido del �ujo en elpunto. La integral del lado derecho representa la tasa de la fuente en . Así que el teorema de la divergenciadice que

�ujo a través de @ = tasa de la fuente que pasa por ; (6)

i.e., el �ujo neto que pasa al exterior de @ es igual a la tasa a la que el �uido está siendo producido (osumado al �ujo) dentro de .Para completar el argumento de (6) se necesita demostrar que

divF = tasa de la fuente en (x; y; z):

Esto se establece demostrando que en un punto P0(x0; y0; z0) dentro de la región , donde F está de�nido,

tasa de la fuente en P0 = l��mr!0

tasa de la fuente que pasa por Crvolumen de Cr

= divF(P0);

donde Cr es una pequeña esfera de radio r alrededor de P0.

Ejemplo 3.7 Veri�car el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = xi+ yj+ zk sobre la esferasólida de radio a.

Solución. El vector normal exterior a la esfera es el vector

n =xi+ yj+ zk

a:

Así que F � n = a yZZ@

F � d~S =ZZ@

F � n dS = aZZ@

dS = a � area(@) = a(4�a2) = 4�a3:

De otro lado divF = 3. Por lo tanto,ZZZ

divF dV = 3ZZZ

dV = 3 � vol() = 3 � 4�a3

3= 4�a3:

Ejemplo 3.8 Use el teorema de la divergencia para evaluar el �ujo de F = x3i + y3j + z3k que cruza laesfera de radio � = a.

Solución. Para evaluar la integral se utilizan coordenadas esféricas �, �, �. En la esfera sólida, digamos ,

x = a cos � sen�; y = � sen � sen�; z = a cos�k; 0 � � � a; 0 � � � 2�; 0 � � � �:

Como divF = 3(x2 + y2 + z2) = 3�2, entoncesI@

F � d~S =ZZZ

divF dV = 3ZZZ

�2 dV = 3

Z 2�

0

Z �

0

Z a

0

�4 sen�d�d�d�

=3a5

5

Z 2�

0

Z �

0

sen�d�d� =3a5

5� 4� = 12�a5

5:

3.8. Aplicaciones a la física y las ecuaciones en derivadas parciales

Dinámica de �uidos


3.8.1. Ecuaciones en derivadas parciales

Ecuación elíptica:

�r � (cru) + au = f en ;

donde c es una matriz de orden 2� 2 de�nida en , c, a, y f son funciones de valor complejo de x y y.Ecuación hiperbólica:

@u

@t�r � (cru) + au = f en :

Ecuación hiperbólica:

@2u

@t2�r � (cru) + au = f en :

Ecuación de valores propios:

�r � (cru) + au = ��u en :

donde � es una función de valor complejo sobre y � es un valor propio. Para funciones hiperbólicas yparabólicas, c, a, f y d pueden ser funciones de valor complejo de x, y y t.Una ecuación no lineal

�r � (c(u)ru) + a(u)u = f(u) en :

donde los coe�cientes c, a, y f son funciones de valor complejo de x, y y de la solución desconocida u.

3.8.2. Condiciones de frontera

Dirichlethu = r sobre @:

Neumann generalizadas� � (cru) + qu = g sobre @:

donde � es el vector normal exterior unitario a @ y g, q, h y r son funciones de valor complejo de x y yde�nidas sobre @. Para problemas que dependen del timpo, los coe�cientes también pueden depender deltiempo.

cÆlculo vectorialmatematicas.uis.edu.co/~jccarril/2010ps/ciii/calculovectorial.pdf · teorema del...

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