cálculo integral- aplicaciones con voyage 200

Cálculo Integral

[Aplicaciones con Texas Instruments Voyage 200]

2010 En este manual encontrarás aplicaciones para diversos temas del Cálculo Integral, graficación, Aplicaciones de la Integral (areas bajo la curva, longitud de arco, volúmenes de revolución, solucionador de integrales indefinidas, paso a paso en SMG.

Materia para: Todas las Ingenierías

EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::

II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ

[ CÁLCULO INTEGRAL ] Invierno 2009

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200

Función Forma de

escritura en HOME

Descripción simple Ejemplo.

Valor absoluto

abs(expr)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.

Raíz de cualquier

orden

��

(expr)^(n/m)

Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.

Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Secante sec(expr)

Cotangente cot(expr)

arc coseno cos-1(expr)

Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.

arc seno sen-1(expr)

arc tangente

tan-1(expr)

arc cosecante

csc-1(expr)

arc secante sec-1(expr)

arc cotangente

cot-1(expr)


Índice General Página 4

Índice General

I. Introducción…………………………………………………………………………….5

II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7

III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9

IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11

V. Índice de Cálculo Integral…...………………………………………………….21

VI. Contenido…………………………………………………………………………23-59

VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..60

VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..63


Introducción Página 5

Introducción

Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas

el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran

campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a

lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.

Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro

que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje

impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar

cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar

grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:

1. Química General

2. Algebra Lineal

3. Calculo Diferencial

4. Calculo Integral

5. Ecuaciones Diferenciales

6. Probabilidad y Estadística 1

7. Probabilidad y Estadística 2

8. Física 1

9. Física 2

10. Física 3

11. Fisicoquímica

12. Termodinámica

Y de las demás materias disciplinarias

(Programa Académico de Ingeniería Industrial):

13. Diseño de Experimentos

14. Computación 2

15. Resistencia de Materiales 1

16. Circuitos Eléctricos 1

17. Investigación de Operaciones 1

18. Investigación de Operaciones 2

19. Tecnología de los Materiales

20. Ingeniería Económica 1

21. Ingeniería Económica 2

22. Control Estadístico del Proceso

23. Medición del Trabajo

24. Metrología

25. Administración Financiera

Las materias en Negritas son las

que recomiendo fuertemente para

el uso de esta calculadora porque

facilita mucho el trabajo y también

existen programas específicos y

didácticos para cada una.


Introducción Página 6

PRÉSTAMO

Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú

puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por

espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con

el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la

facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende

de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:

• Copia de tu credencial de la Universidad

• Copia de tu toma de materias actual

• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual

Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.


Detalle Técnico Página 7

Detalle Técnico

Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:

� 1 Calculadora

� 1 Carcasa

� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)

� 1 Bolsita protectora

Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu

computadora debes solicitar también:

� 1 Cable TI-USB Silver-Link

Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN

DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.

Pasos al Iniciar sesión:

1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la

calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.

IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.

2. Retira la carcasa de la calculadora:


Detalle Técnico Página 8

3. Colócala por atrás para protegerla mejor.


Detalle General de Teclas Página 9

Detalle General de Teclas

La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las

teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente

te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.

La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas

que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en

algunos casos entrar a menús avanzados.

Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte

superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.

Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de

Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.

La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las

aplicaciones y programas de la misma.

La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.

La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al

dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de

Cursor

Parte Numérica

Teclado Extendido Teclas especiales Shift,

DIAMANTE, 2nd

Teclas F1-F8

Tecla APPS

Tecla CLEAR Tecla ESC


Detalle General de Teclas Página 10

datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en

cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.

La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en

algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.

La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.


Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11

Introduciendo datos y

expresiones

correctamente

Se ha dedicado un capítulo completo a la

explicación de cómo introducir datos y

expresiones correctamente debido a que se

han identificado numerosos errores de

escritura en muchos estudiantes a la hora de

teclear los datos, lo cual es de vital

importancia ya que de teclear

incorrectamente la información nos puede

arrojar resultados incorrectos o muy

diferentes a lo que queremos en realidad,

independientemente del programa en el que

estemos éstas reglas son para cualquier

aplicación en el que se esté trabajando, es

conveniente tomarse un tiempo para

entender y practicar estos sencillos ejercicios

para que escribas correctamente la

información en cada tarea que resuelvas.

Signo Menos

Es importante que a la hora de teclear una

expresión en la calculadora se teclee el signo

menos adecuado en cada caso. Se debe

seguir la siguiente regla:

“Cuando se escriba una expresión en la que

se inicie con signo negativo debe usarse la

tecla con signo negativo entre paréntesis

”. Esto mismo se usa con las

calculadoras científicas habituales. Veremos

un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,

tecla ON:

Muévete con el cursor a través de las

aplicaciones y posiciónate en HOME y da

ENTER:

Por ejemplo, si queremos escribir:

�7� 8

Damos ENTER :

Vemos que se despliega correctamente y se

reacomoda en la línea de entrada. Este error

del uso del signo menos es muy común y

debe usarse ya sea en el inicio de una

expresión o en la de un exponente que

queramos a una potencia negativa o después

de que se ha cerrado un paréntesis. Para

borrar la línea de entrada teclea CLEAR.



Si se hubiera puesto el otro signo menos

hubiera salido un resultado completamente

diferente e incorrecto. Otro ejemplo:

��

Vemos que se lee correctamente, si

hubiéramos puesto el signo contrario:

Vemos que nos indica que hay un error de

sintaxis en la línea de entrada.

“En cualquier otra posición de una

expresión que no sea el inicio, el signo

negativo que debe usarse es el de la tecla

blanca .”

Por ejemplo:

�� 8� � 13

Para el primer término como esta al inicio se

usa el signo menos de la tecla negra y para el

último término se usa el signo menos de la

tecla blanca:

Como tip podemos decir que en la línea de

entrada el signo menos de la tecla negra está

un poco más pequeño y más arriba que el de

la tecla blanca.

Paréntesis

El uso correcto de los paréntesis es muy

importante ya que de igual manera va a

definir nuestras expresiones. Los paréntesis

dividen expresiones completas en la línea de

entrada de la calculadora, hay algunas

funciones como la función exponencial,

logaritmo natural o las trigonométricas que

cuando lo tecleas inmediatamente te abre un

paréntesis y lo hace con la finalidad de que

definas correctamente lo que va dentro de

esa función. Es importante recordar que

“Todo paréntesis que se abre debe

cerrarse”. Por ejemplo supongamos que

deseamos escribir:

sin 7� 8�� ln �

Al teclear la función de seno se abre

automáticamente el paréntesis e

inmediatamente después debemos escribir



el argumento del seno para después cerrarlo

con el paréntesis de cierre:

Es importante también cerrar

ordenadamente cada paréntesis que se abra,

veamos otro ejemplo:

√cos � � sin 2�

Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de

signo de multiplicación y si te fijas se

abre el paréntesis inmediatamente después

del símbolo de la raíz y luego debemos

escribir la expresión de adentro y cerrar con

el paréntesis final para indicar que todo va

dentro de la raíz:

Fíjate en el orden de los paréntesis, el

primero es el que encierra a todos los demás,

damos ENTER:

Signo de División

Este es otro error algo común a la hora de

escribir las expresiones, y hay que seguir otra

regla muy simple cuando usamos el signo de

división:

“Cuando haya más de un término en el

numerador o denominador en una división,

estas expresiones deben encerrarse entre

paréntesis”

Por ejemplo si deseamos escribir:

3�9� 13

Como hay un solo término en la parte de

arriba no es necesario teclear el paréntesis,

pero como en la parte de abajo hay más de

uno, debemos teclear los paréntesis en la

parte de abajo, la forma de escritura se

podría resumir con este tip:

� �� !é�#$ %&/� �� !é�#$ %&

Vemos en la pantalla como se ve

correctamente la escritura de la expresión

que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no

ponemos los paréntesis? Observa:



Vemos que al dar ENTER la calculadora

entiende otra cosa completamente distinta.

Es un muy buen tip que observes lo que

escribiste al dar ENTER en la parte izquierda

de la pantalla y veas si esa expresión es la

que quieres.

Otro ejemplo:

�� 8��7�� 3� � 15

Como en el numerador y denominador hay

más de un término deben escribirse ambos

paréntesis al inicio y al final de cada

expresión, damos ENTER:

Nótese que en el denominador como la

expresión inicia con un término con signo

negativo se empieza usando el menos de la

tecla negra, y el siguiente es con la tecla

menos blanca. Recordemos que los

paréntesis dividen expresiones completas,

por eso aunque este en medio de la línea de

entrada se usa el signo negativo negro.

También notamos que la calculadora

factoriza la parte de arriba y cambia signos

por comodidad, siendo esto una igualdad

exacta.

Exponentes

Otro error relativamente común son los

exponentes. Por ejemplo si queremos

escribir:

��)

Como veras a simple vista en la calculadora

no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta

la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del

orden que sea se debe usar el exponente con

la sencilla regla:

√�� * �� +⁄

Cuando se escribe un exponente en

fracciones en la calculadora, de igual

manera debe ponerse entre paréntesis

después del símbolo de exponente:

Al dar ENTER vemos la expresión correcta de

la equis con su exponente. De igual manera

se recalca la importancia de poner entre

paréntesis esta expresión ya que de no

hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,

observa:



Vemos que al no ponerlo la calculadora

entiende que se trata de una equis cuadrada

entre tres y no es la expresión adecuada. Por

eso es MUY IMPORTANTE el escribir

correctamente la información en la

calculadora ya que de no hacerlo nos dará

resultados incorrectos.

Listas ó Matrices

Cuando escribas en listas o matrices

(generalmente las usaras en materias como

Algebra Lineal, Investigación de Operaciones

1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería

Económica 2) es importante que recuerdes

que las comas “,” también dividen

expresiones y por lo tanto si por ejemplo

escribes un dato con signo negativo es como

si iniciara una nueva expresión y debe

teclearse con el signo menos de la tecla

negra.

Por ejemplo al escribir la lista:

-5, �6,8, �2,10

Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”

+ paréntesis de apertura o cierre

:

Vemos que al dar ENTER la lista se crea con

los datos de signo correctos, de poner el otro

signo menos ocurriría un error de sintaxis.

Funciones solve, factor, expand

Si estás trabajando en materias como calculo

diferencial, cálculo integral, algebra lineal es

posible que te sean útiles éstas funciones. En

general se te explicarán en el curso de la

materia que tomes si es que te son de ayuda.

De todas maneras aquí se te explica un poco

de cómo usarlas. Todas estas funciones están

en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre

cada una se copia a la línea de entrada para

usarse:

Función Solve

La función solve resuelve igualdades o

inecuaciones en la línea de entrada de HOME

lo único que necesitas es introducir la

ecuación en la línea de entrada, la respectiva

igualdad o inecuación, luego la respectiva

coma e inmediatamente después la variable

que deseas que la calculadora encuentre, de

esta forma:

1%23��4�54$ó , 35�$572�&

Por ejemplo nos piden encontrar los valores

de X que satisfacen la expresión:

�� 6�� 5� 30 * 75



En la línea de entrada de HOME se debe

introducir de esta forma:

1%23�� 6�� 5� 30 * 75, �&

Ahora simplemente damos ENTER:

Y se llega al resultado.

Función Factor

La función factor como su nombre lo indica

factoriza expresiones (de ser posible) y

devuelve la multiplicación adecuada que

daría como resultado esa expresión. Su

forma de escritura es:

954!%��1$% &

Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma

ni variable a buscar ya que no necesita de

una variable para encontrar, sino que va a

factorizar con las variables que tengas dentro

de la expresión. Por ejemplo te piden

factorizar la siguiente expresión:

�� 9�� 7� � 63

Para introducirlo en la línea de entrada de

HOME sería así:

954!%�� 9�� 7� � 6&

Damos ENTER y vemos:

Nos devuelve la factorización adecuada de

binomios que daría como resultado ese

polinomio.

Función Expand

La función expand es la función inversa de

factor, cuando introduzcas una expresión

elevada a una potencia o una multiplicación

de expresiones lo que va a hacer es

desarrollar esa multiplicación para que la

visualices por completo. Su forma de

escritura es similar a la de factor:

��5 ��1$ó &

Por ejemplo supongamos que necesitas

desarrollar la expresión:

�2�� 9&�

En la línea de entrada de HOME se debe de

introducir así:

��5 ��2�� 9&�&




Operador With

El operador “with” es un comando

condicionante, en la calculadora se puede

combinar con varias funciones de la misma

para restringir la búsqueda de una respuesta

ó para sustituir un valor en una variable en

una expresión dada. Su símbolo es |. Tú

puedes combinarlo de la siguiente forma:

1. Pidiéndole que sustituya un valor en una

variable, esto es útil cuando quieres sustituir

un valor cualquiera en una expresión grande

y tendrías que hacer varias operaciones a

mano, por ejemplo:

5� 7��3�� 12�� 5�

Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya

equis y evaluarlo. Primero debes teclear la

expresión completa en la línea de entrada y

luego teclear este operador, el operador

“with” sale tecleando “2nd” + letra K del

teclado extendido. En la línea de entrada

quedaría así:


Como puedes ver opera la expresión,

también antes de dar ENTER puedes

presionar DIAMANTE y te devolverá un valor

numérico aproximado.

2. También lo puedes usar para restringir la

búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas

sólo la solución positiva de X para:

�� 2� � 15 * 0

Para ésta igualdad como sabemos ocupamos

la función solve y al finalizar de escribir la

función restringimos la búsqueda a X>0:

1%23�� 2� � 15 * 0, �&|� ; 0

En la línea de entrada quedaría así:


El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de

punto de la parte numérica.



Mensajes de Error Comunes

Los mensajes de error comunes suceden

cuando en la línea de entrada cometiste un

error de sintaxis o que falta una variable o

alguna expresión necesaria.

Uno de los más comunes es el mensaje de

“Missing )”:

Nos indica que falta un paréntesis ya sea de

cierre o apertura en la línea de entrada. Este

error hace referencia a la regla que dice

“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”

Otro error común es el de “Syntax”:

Este error nos indica que hemos escrito algo

mal en la línea de entrada, generalmente se

debe a los signos negativos, es decir que

hemos usado los inadecuados.

También tenemos éste otro error, el de “Too

few arguments”

El cual nos indica que hacen falta

argumentos para la función, esto se explicará

con el uso mismo de los programas y

software para que sepas como y donde

ponerlos.

Un último factor importante en el uso de la

calculadora es que después de que le des

una orden ya sea dando ENTER o con

cualquier otra tecla de resolución dejes que

la calculadora “piense” o resuelva lo que le

has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice

en la esquina inferior derecha, aparece el

recuadro de BUSY, lo cual indica que esta

ocupada y no debes teclear nada hasta que

te devuelva una respuesta.

Borrando Variables

Es importante que de cuando en cuando

después de haber usado tu calculadora

elimines las variables con valores asignados

que se hayan podido guardar en la memoria,

esto ocurre algunas veces cuando ocupas la

función solve ó cuando usas el Numeric

Solver, para eliminar las variables estando en

HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da

ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:

Al hacer esto borras automáticamente todos

los valores que podrían contener las

variables de la “A” a la “Z”. Es importante

que hagas esto cuando inicias un nuevo

problema.



Multiplicación Implícita de Variables

Otro error bastante común a la hora de

teclear los datos es que nosotros al escribir a

mano damos por hecho la multiplicación

implícita de variables en una expresión, por

ejemplo al escribir:

�< 3�� 2<=

Nosotros por intuición y por lo que nos han

enseñado sabemos sin problema que en la

primer y último termino hay una

multiplicación de variables X por Y y Y por Z.

En la Texas debemos especificar ésta división

de variables ya que si las tecleamos juntas la

Texas pensará que se trata de una variable

única llamada XY ó YZ:

La forma correcta es teclear el signo de

multiplicación entre ambas variables:

Podemos ver la diferencia, como tip puedes

observar el pequeño punto entre la X y la Y,

así como entre la Y y la Z indicando la

independencia de cada variable. Es

importante teclear esto correctamente, ya

que en el uso de alguna función podría no

reconocer la variable que quieres que

resuelva, por ejemplo:

Podemos ver que al resolver una igualación a

15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta

variable ya que para la Texas solo hay

variables X, XY y YZ, lo correcto sería:

Cuando todo falla

Se ha llegado a ver situaciones en donde la

pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto

ocurre generalmente cuando no esperaste

una respuesta de la misma cuando estaba en

estado BUSY, siempre debes esperar

después de darle un comando de resolución

o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a

que te devuelva un valor o mensaje, NO LA

FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el

estado de la misma, éste se encuentra

siempre activo en la esquina inferior derecha

de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez

y ordenadamente. De todas maneras si se te

llegara a trabar presiona al mismo tiempo

estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:

+ + . Esto reiniciará la

calculadora completamente y sin problemas.



Ephy

Pensando en el gran número de usos en el

área de Química y sus modalidades

combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,

Química Orgánica, etc.) instalé en todas las

calculadoras una práctica tabla periódica de

los elementos que puedes consultar. Para

entrar a ella estando en HOME teclea en la

línea de entrada la combinación “EPHY()” y

da ENTER:

Da ENTER nuevamente para continuar:

Y verás:

Y puedes desplazarte por cada elemento, y

para ver su información da ENTER sobre el

símbolo del elemento que deseas ver y verás

su ficha completa:

La desventaja es que está en francés, pero

los símbolos químicos no cambian, son

iguales para todos, además de que es

bastante entendible, la información es

explícita, la información de cada elemento es

la siguiente:

• Nombre

• Masa Atómica

• Electronegatividad

• Densidad (gr/cm3)

• Punto de Ebullición (°C)

• Punto de Fusión (°C)

• Valencia

• Configuración Electrónica

• Radio Atómico

• Por quién fue descubierto y en que

año.

Para salir de la tabla simplemente da ESC:


Índice de Cálculo Diferencial Página 21

Índice de Calculo Integral

C a p í t u l o 1 Gráfica de Funciones & Integral definida

1.1 Graficando funciones.……………………………………………………………………….23

i) (Encontrando áreas bajo la curva & longitud de arco). Forma Gráfica

1.2 Integral definida……………………....……………………………………………………….26

C a p í t u l o 2 La Integral Indefinida

2.1 Integrales Indefinidas.………………………………….……………………………………28

2.2 Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso)…..…………………………………33

2.3 Librería de Fórmulas de SMG……………………………………………………………..43

C a p í t u l o 3 Aplicaciones de la Integral

3.1 Área entre 2 curvas ……………………..……………………………………………………47

i) (Sombreado)

3.2 Longitud de Arco.………………………………………………………………………………50

3.3 Series de Taylor.………………………………………………………………………………..53

3.4 Sólidos de Revolución.…………….………………………………………………………..54

Consideraciones especiales MUY IMPORTANTE............................................................55


Índice de Cálculo Diferencial Página 22


Graficando Funciones Página 23

Graficando Funciones

Bien ahora vamos a ver como graficar, ver y

calcular áreas bajo la curva desde la gráfica

misma. Usaremos esta función:

9��& * �� 2� 1

Enciende tu calculadora, tecla ON.

Muévete a través de las aplicaciones con las flechas hasta el programa “Y=Editor” y da ENTER

Da ENTER de nuevo y escribe sobre la línea

de entrada la ecuación x^2+2x+1

Da ENTER de nuevo y verás como se

palomeo la ecuación, es importante señalar

que en esta sección de gráficas solo se puede

usar la variable

“x” para

graficar.

Luego para ver la gráfica de la ecuación

simplemente presiona F2 (el menú de Zoom)

y selecciona la sexta opción o “ZoomStd” y

da ENTER, el cual generará una vista rápida

de la gráfica con límites en los 4 cuatro

cuadrantes con ±10 unidades en los 4

sentidos.

Ya puedes ver la gráfica y la forma de la

función.

Ya sabes como graficar una función con tu

calculadora, ahora veremos como puedes

encontrar el área bajo la curva en un

intervalo dado y la longitud de arco de esta

misma función de igual manera en un

intervalo dado.

Supongamos que nos piden el área bajo esta

curva entre los intervalos a = -1 y b = 2.

Ahora simplemente presionamos F5 , , se

despliega el menú matemático y nos

posicionamos sobre la séptima opción que

tiene el símbolo de integral de función de

equis y damos ENTER:



Se resalta un cursor parpadeando y en la

parte inferior nos pregunta “Lower limit”,

simplemente tecleamos -1 y

damos ENTER:

Vemos que ahora nos pregunta “Upper

Limit?”y ahora tecleamos el 2 y ENTER:

Observamos que nos sombreo el área bajo la

curva y en la parte de abajo nos indica el

área que cubre que es igual a 9.

Longitud de Arco

Ahora en esta misma grafica supongamos

que nos piden obtener la longitud de arco

entre los mismos intervalos:

Damos nuevamente en F5 y seleccionamos la

opción B y damos ENTER:

Igual que antes primero nos pregunta el

primer punto, igualmente presionamos -1

y ENTER:

Ahora nos pregunta el segundo punto y de

igual manera presionamos el 2 y ENTER:

Vemos que marca entre unas cruces el arco

que encontró y en la parte de abajo del lado



izquierdo el valor lineal de dicho arco. Éste

tema de longitud de arco lo verás al final del

curso de cálculo integral donde te pedirán

encontrar la longitud de arco en un intervalo

dado con una función, te lo muestro de una

vez porque que estamos aquí en la parte de

graficación y para que conozcas las

aplicaciones posibles al cálculo integral en

ésta parte de la calculadora.

Recuerda que puedes ajustar la pantalla de

graficación con DIAMANTE + letra E del

teclado extendido, luego para ver la gráfica

ya corregida damos DIAMANTE + letra R del

teclado extendido.


Integral definida Página 26

Integral Definida

De igual manera tú puedes calcular

analíticamente el área bajo la curva (sin

graficar), en el solucionador instantáneo de

HOME, para regresar presionamos

DIAMANTE + letra Q :

Haremos algunas de las integrales que se

harán después de forma analítica, por ahora

evaluadas en un intervalo dado:

> �2� 1&��

�?

Para introducir la función de la integral

simplemente tecleamos la combinación 2nd

+ tecla 7 de la parte numérica, escribimos la

expresión y al finalizar una coma, luego la

variable de integración, luego coma y el

límite inferior y luego coma y el límite

superior, y completamos con paréntesis de

cierre:

Recordemos que el signo negativo del límite

inferior debe ser el de la tecla negra ,

ahora sólo damos ENTER:

Vemos de inmediato el resultado del área

bajo la curva en ese intervalo, recuerda que

si tienes problemas a la hora de introducir las

expresiones consulta el apartado de

“Introduciendo datos y expresiones

correctamente” al inicio de este manual.

Veremos ahora un par de ejemplos más:

> @ sec �1 tan �D� ��

E �F

G

De igual manera introducimos la integral de

la misma manera que al principio sólo que

antes de finalizar escribimos “,” y el

límite inferior y luego coma y el límite

superior:

Luego simplemente damos ENTER y vemos el

resultado inmediato expresado en

factorizada y simplificada:

Pero claro si tú quieres puedes forzar a la

calculadora a que te devuelva un valor

numérico aproximado, presiona

simplemente DIAMANTE antes de dar

ENTER:


Integral definida Página 27

Por último ejemplificaremos con:

> �H · cos � ��E �F

E �F

Escribimos la integral igual que al inicio y

marcamos los límites y antes de dar ENTER

presionamos DIAMANTE para ver el valor

numérico exacto:

De igual forma tú puedes en los intervalos en

lugar de poner números poner variables para

que la calculadora te devuelva la expresión

un paso antes del final donde sustituyes los

valores:

Como puedes ver este es el paso antes del

final donde sustituyes los valores del

intervalo que desees.


Integral Indefinida Página 28

Integrales Indefinidas

Esta es una de las aplicaciones más

poderosas y sorprendentes de la TIV200 ya

que puede resolver CUALQUIER integral (con

solución posible real) definida o indefinida,

doble ó triple, longitudes de arco, series de

Taylor y más, empezaremos a resolver un

ejemplo de cada tipo de integral para

mostrar como introducir los datos, para

después graficar algún ejemplo y mostrar el

área bajo la curva, primero veremos el

solucionador instantáneo que es muy útil

para corroborar resultados en un examen

difícil para luego verlo con el programa SMG

que resuelve paso a paso con tu ayuda,

veamos el siguiente ejemplo:

>�2� 1&� ��

Enciende tu calculadora tecla ON

Muévete con las flechas de desplazamiento

y posiciónate sobre el

ícono de HOME y da ENTER :

Esta es la pantalla principal de HOME, aquí se

realizan la mayoría de los cálculos difíciles y

complejos, ahora presiona F3 y verás

que se despliega un menú, posiciónate sobre

la segunda opción que dice “Integrate” y da

ENTER:

Verás que se copia la función

inmediatamente a la línea de entrada y se

encuentra el cursor parpadeando esperando

a que introduzcas la información, ahora

simplemente se escribe la ecuación:

Te muestro tecla por tecla como debes

teclear para que quede bien en la línea de

entrada, es muy importante que escribas

bien las ecuaciones sobre todo cuando hay

divisiones porque podría arrojar resultados

incorrectos, debes indicar bien con

paréntesis que hay arriba y debajo de cada

división, así como los exponentes y

argumentos de funciones trigonométricas,

también como una regla todo paréntesis que

se abre debe cerrarse, y al final de cada

función va una coma y la variable que

deseamos que calcule, aquí en este ejemplo

usamos la equis por comodidad pero podría

ser cualquier letra del abecedario, de tal

manera que quede así:

Ahora solo damos un ENTER y vemos el

resultado:



Borramos línea de entrada con CLEAR.

Iremos subiendo de complejidad:

>�5 · � 7&� ��

Borramos la línea de entrada con la tecla

CLEAR y hacemos los mismos pasos que

en el problema anterior, llamamos la función

del menú de “Calc” con F3 y damos ENTER

sobre la segunda opción e introducimos la

nueva integral de manera que se vea así:

NOTA: Es importante que entre la variable

“a” y la “x” haya un signo de multiplicación

por que si no la calculadora pensaría

que se trata de una variable con el nombre

“ax” y nos podría dar resultados erróneos,

para ver el resultado damos ENTER:

A esto me refería de que la calculadora

puede operar cualquier variable que tú

introduzcas no importa, te va a integrar

respecto a la que tu elijas después de la

coma.

Ahora:

> J25√� � 7

��K ��

De igual manera borramos la línea de

entrada con CLEAR y seguimos los mismos

pasos anteriores, solo que ahora debemos

tener mucho cuidado en los paréntesis de

división y raíces:

De manera que quede así:

Damos ENTER:

Veamos una con funciones trigonométricas:

> @ sec �1 tan �D� ��

Como ya sabemos realizamos los pasos

anteriores de borrar la línea de entrada y

poner la función de integrar y abrimos el

paréntesis general:

Y ahora para llamar a la función de secante

presionamos “2nd” y el número 5 de la

parte numérica y nos despliega un menú

matemático de lado izquierdo, nos movemos

con las flechas de desplazamiento

hasta la opción A que dice

“Trig” o funciones trigonométricas, abrimos

el submenú y nos posicionamos sobre la



función de la secante que es “sec(“ y damos

ENTER y vemos que se copia

automáticamente a la línea de entrada:

Ahora solo completamos la función cuidando

bien los paréntesis y divisiones y al final de

escribir todo como ya sabemos el respectivo

coma y la equis de manera que se lea así:

Damos ENTER y vemos el resultado:

NOTA IMPORTANTE: Es muy importante

señalar que la TIV200 siempre te va dejar el

resultado expresado en funciones

trigonométricas primarias (seno, coseno y

tangente), y de ser posible de la forma mas

simplificada y factorizada. Este ejemplo fue

tomado de un cuaderno de uno de sus

compañeros de semestres anteriores y

vemos que el resultado que tiene es:

� 11 tan �

Es importante que se entienda que ambos

resultados SON CORRECTOS, solo que

expresados en funciones diferentes, tu

puedes convertir esta expresión encontrada

manualmente a la de la Texas simplemente

sustituyendo la identidad trigonométrica de

tan � * LMN HOPL H luego haces un

quebrado simple y da el mismo resultado

que el de la Texas, también lo puedes

comprobar encontrando un área

sustituyendo algún intervalo cualquiera en

ambas ecuaciones y te darás cuenta que el

resultado es el mismo.

Veamos una de integración por partes, la

famosísima:

> �H · cos � ��

Como ya sabemos borramos la línea de

entrada y llamamos la función, ahora

escribimos normalmente y con cuidado en el

argumento de la función “e”:

De manera que quede así:

Damos ENTER y anotamos el resultado:

Este es un buen ejemplo del gran potencial

de la calculadora ya que para este ejemplo



en específico al hacer manualmente la

integral por partes se cicla y no se encuentra

el resultado de inmediato, debes recurrir a

otras técnicas para resolverlo, por eso es una

gran herramienta para comprobar tus

resultados en un examen.

Una de fracciones parciales:

> � 2�Q 2��

Igual que antes borramos la línea de entrada

con CLEAR y ponemos nuestra integral y

escribimos la función de manera que se lea

así:

Observamos que se tienen que poner

paréntesis encerrando la expresión de arriba

y después del signo de división paréntesis

encerrando la expresión de abajo, esto es

importante para indicar que va arriba y que

va debajo de la división, al final nuestra coma

y equis y el paréntesis de cierre. Damos

ENTER y vemos el resultado:

En este ejemplo normalmente te llevas 1

página y media de operaciones a mano y

llegas a este resultado.

Por último veamos una de sustitución

trigonométrica antes de pasar al

solucionador paso a paso con tu ayuda:

> √25 � ��

Borramos la línea d entrada y escribimos

como ya sabemos la función correctamente

de manera que quede así:


Borramos la línea con CLEAR. Para hacer esta

integral manualmente necesitarías una tabla

de sustituciones trigonométricas y llenar una

hoja de operaciones, con esto puedes

comprobar tus resultados inmediatamente y

sin problemas. Ahora bien tú puedes en

cualquiera de los ejercicios anteriores

evaluar la integral en un intervalo dado

haciendo lo siguiente:

Simplemente vuelve a escribir la integral que

ya teníamos hecha, por ejemplo la anterior o

si quieres copia la expresión del historial a la

línea de entrada dando moviéndote con las

flechas de dirección hacia

arriba y cuando esté sombreada nuestra

integral damos ENTER y se copia

directamente en la línea de entrada:



Ahora simplemente nos posicionamos entre

la última equis “x” y el paréntesis de cierre y

ponemos otra coma e inmediatamente

después el intervalo menor, supongamos 3

, luego otra coma y ahora el

intervalo mayor digamos 5 , de manera

que quede así:


Si nosotros deseamos un resultado numérico

y no factorizado o en este caso expresado

con logaritmos tecla DIAMANTE antes

de dar ENTER:

Recuerda que si tienes problemas a la hora

de introducir las expresiones consulta el

apartado de “Introduciendo datos y

expresiones correctamente” al inicio de este

manual.


Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso) Página 33

Integrales Indefinidas en SMG (paso a paso)

Ahora veremos como resolver las integrales

indefinidas con ayuda de este programa, es

importante señalar que a veces si eliges los

pasos incorrectos puede que te lleve a

resultados obviamente incorrectos por esto

es MUY RECOMENDABLE solucionar primero

tu integral con el solucionador instantáneo

de HOME que siempre te dirá la verdad y

luego hacerlo por pasos en éste programa.

Para entrar en él presionamos la tecla APPS

:

Es la pantalla donde iniciamos ¿recuerdan?,

bien, ahí nos desplazamos con las flechas

hasta encontrar el programa SMG, nos

posicionamos sobre el y damos ENTER.

Nos aparece una pantalla donde nos da 3

opciones; 1) “Current” que significa

continuar con el problema anterior, (no

había, por lo tanto no se puede entrar), 2)

“Open…” que es abrir un problema

anteriormente guardado y 3)”New…” que es

nuestra opción nos posicionamos sobre ella y

damos ENTER

Bien ahora nos aparece una pantalla donde

nos pregunta con que nombre va a guardar

el set de problemas y en que folder, esta es

una ventaja ya que después lo podemos

volver a cargar y visualizar que pasos usamos

para solucionarlo; nos posicionamos sobre la

ventana de abajo dando un teclazo con el

cursor hacia abajo y escribimos un nombre

cualquiera, para este ejemplo pondremos

“pro1”. Lo dejaremos guardado en la carpeta

“MAIN” que es el folder principal de la

calculadora y damos ENTER 2 veces.

Nos sale la pantalla principal, ahora

presionamos F2 y seleccionamos la primera

opción “New Problem…” para introducir un

nuevo problema y damos ENTER.

Para ejemplificar resolveremos los mismos

problemas anteriores (pags.28-32)

haciéndolos por pasos con este programa,

vemos que nos sale un menú de opciones

para las teclas “F1, F2, F3…etc”, presionamos

“F4” que dice en pantalla “Compute” y

seleccionamos la primera opción que dice

“Indefinite Integral” y damos ENTER.



Vemos que nos despliega un apantalla con

una mini línea de entrada, es en esta línea

donde debemos teclear nuestra integral a

resolver paso a paso, empecemos con R�2� 1&� �� , la tecleamos en la línea

como lo haríamos en HOME:

Damos ENTER y nos sale la pantalla donde

haremos la mayoría de las transformaciones

y simplificaciones para llegar al resultado

correcto:

De aquí en adelante es presionar F4 y F3.

Con F4 se accede al menú de

transformaciones posibles de la parte

seleccionada y con F3 se selecciona una

parte de la expresión para que la

transformes, con la práctica te irás

familiarizando con ello. Damos en F4

que dice “Trans” que quiere decir

transformación:

Vemos un menú en donde nosotros

podemos seleccionar la transformación

correspondiente para resolver la integral,

seleccionamos la primera opción que dice

“integration by substitution” y damos ENTER:

Aquí vemos una herramienta didáctica en

donde ustedes pueden intentar deducir cual

es la sustitución correcta por “u” para

resolver la integral, si no puedes después de

un tiempo ó no lo logras encontrar sólo

presiona F1 y automáticamente nos da

la sustitución correcta por la variable “u”:

Y damos ENTER 2 veces:

Vemos que arriba de la nueva integral que se

creó aparece el paso que se hizo por escrito,



ahora presionamos nuevamente F4

para ver la próxima transformación posible:

Observamos que la primera opción se refiere

a sacar las constantes de la integral y ese es

justamente el paso correcto, ó también el

paso de “integral of polynomial” nos llevaría

al mismo resultado, pero para ejemplificar el

uso de F3 mostraremos éste paso, damos

ENTER:

Ahora debemos seleccionar solo la integral,

para esto presionamos ahora F3:

Vemos que se enmarca con una línea

punteada la primera parte de la expresión, es

importante que aprendas como usar estas

líneas punteadas, cada vez que presionas con

el cursor hacia abajo seleccionas expresiones

más pequeñas dentro de tu expresión

general, y cuando presionas con el cursor

hacia arriba, seleccionas cada vez

expresiones más grandes y generales, y

cuando presionas a la derecha o izquierda te

mueves dentro de ese mismo nivel de

expresiones. Para pasarnos a la integral

damos una vez a la derecha con el cursor y

observamos que se enmarca la integral, ya

enmarcada presionamos F4 :

Vemos que la primera opción es la adecuada

para resolver la integral, ya que es de las

primeras formulas que les enseñan sus

profesores, damos ENTER:

Vemos que se deja representada la formula

sin operar todavía, esto lo hace la

calculadora con fines didácticos, para que tu

observes paso a paso lo que hace se hace,

ahora para que opere la expresión damos en

F5 “Tools”, nos posicionamos sobre la

segunda opción que dice “Apply” para luego

abrir el submenú y seleccionar la cuarta

opción “Simplify” y damos ENTER, (o

simplemente damos ENTER):



Observamos que ya operó las fracciones, por

último debemos regresar a la sustitución

anterior, para esto damos de nuevo en F5 y

seleccionamos la quinta opción “Back

substitute..” y damos ENTER 2 veces:

Y llegamos al mismo resultado que el

operador automático de HOME. Lo genial de

esto es que tu puedes guardar tus problemas

resueltos y volverlos a cargar en cualquier

momento para ver como los realizaste y que

pasos utilizaste, muy útil en un examen.

Veamos un ejemplo más complejo:

> �� · √�� 25

El de la sustitución trigonométrica, primero

para hacer un nuevo problema presionamos

F2 y seleccionamos la primera opción

que dice “New Problem…” y damos ENTER:

Nos sale la pantalla que ya conocemos y

ahora simplemente escribimos en la línea de

entrada la función con su respectivo coma y

equis:

Damos ENTER y nos limpia la pantalla con

este nuevo problema, pero no te asustes el

problema que resolvimos anteriormente

sigue guardado, al final mostraremos como

cambiarte de problema a problema:

Ahora presionamos F4 para ver las

opciones de transformación posibles:

Seleccionamos la primera opción porque

como vemos es una fórmula ya existente en

la biblioteca de la calculadora y damos

ENTER:

Damos otro ENTER para que simplifique

automáticamente la expresión y vemos el

resultado completo:

NOTA IMPORTANTE: Este resultado no se ve

tan similar si lo comparamos con el del

solucionador instantáneo del HOME que nos

daría la expresión:



Sin embargo es muy importante que se

entienda que AMBOS RESULTADOS SON

CORRECTOS, si tu encuentras un área con un

intervalo cualquiera en ambas expresiones y

la operas te darás cuente que el valor es el

mismo, tu puedes llegar al mismo resultado

con diferentes expresiones.

Ahora uno de Fracciones Parciales:

> � 2�Q 2��

Nuevamente presionamos F2 y

seleccionamos “New problem…” y damos

ENTER:

Anotamos nuestra integral con los

respectivos paréntesis de cierre entre

numeradores y denominadores y también

como ya sabemos nuestra coma al final de la

expresión y equis , de manera que se vea así:

Y damos ENTER:

Damos en F4 para ver las opciones posibles

de transformación y nos damos cuenta que

es una integral de fracciones parciales, por lo

tanto seleccionamos la segunda opción y

damos ENTER :

Vemos como automáticamente nos

transforma la fracción en 4 pequeñas

fracciones que son las que a veces te toma

tanto tiempo deducir por el algebra

compleja, esta es un buen paso para

comprobar que tus fracciones que obtuviste

son las correctas:

Damos en F4 de nuevo para

seleccionar la posible transformación y nos

damos cuenta que es una integral de sumas y

diferencias y por lo tanto se puede dividir en

varias, entonces seleccionamos la primera

opción y damos ENTER:



Ya las dividió en 4 integrales, ahora lo que

debemos hacer es simplemente ir

seleccionando una por una y resolverla, para

esto, ahora presionamos F3, vemos que

aparece un recuadro donde podemos

observar que esta enmarcada la primera

integral, tu puedes moverte entre integrales

con las flechas de dirección y e ir

seleccionando expresiones más pequeñas

entre expresiones con las flechas de

dirección y , empezaremos con

la primera integral, ya que está seleccionada,

damos en F4:

Seleccionamos la primera opción ya que

vemos que el 3 puede salir de la integral por

ser constante, a veces pueden parecer cosas

obvias cuando está realizando esto paso a

paso, sin embargo la calculadora lo hace para

que se entienda paso por paso lo que se hace

hasta llegar al resultado. Damos ENTER en la

primera opción:

Observamos que ya saco el 3 de la integral,

ahora volvemos a presionar F3 para

seleccionar la primera integral y damos una

vez hacia abajo y una vez a la derecha

para seleccionar solo la integral sin el 3 y

damos F4 de nuevo:

La primera opción es la correcta por ser una

formula general del logaritmo natural y

damos ENTER:

Vemos que ya quedo la primera integral,

ahora vamos por las otras, presionamos F3 y

damos una vez a la derecha vemos que se

enmarca la segunda integral:

Damos en F4:



Seleccionamos la primera opción que es una

formula general y damos ENTER:

Vemos que la segunda integral ya expresó la

formula pero todavía no lo opera, esto lo

hace igualmente con fines didácticos, para

que veas lo que se hace paso a paso. Para

simplificar ahora solo damos ENTER:

Vemos que ya nos pasó al final las integrales

ya resueltas y al principio las otras 2 que nos

faltan, damos en F3 de nuevo y

seleccionamos la primera integral y damos

F4:

Nuevamente como lo indica la primera

opción, sacar la constante es lo primero que

hay que hacer y damos ENTER:

Ya afuera damos en F3 de nuevo y luego 2

veces abajo y una vez a la

derecha para enmarcar solo la integral:

Damos en F4:

Y seleccionamos la primera opción que es la

formula que ya conocemos:

Vemos que ya la operó y solo nos queda una,

damos en F3 y una vez a la derecha para

movernos a la otra integral y ahora F4:



Otra vez sacar la constante es lo primero

opción 1 y ENTER:

Ahora seleccionamos solo la segunda integral

así: primero F3 y damos ya

enmarcada damos F4:

Otra vez la primera opción es la adecuada y

damos ENTER:

Vemos que ya dejo expresada la fórmula y

ahora solo damos ENTER de nuevo para que

simplifique y opere lo faltante:

Hasta aquí el resultado ya es correcto, sin

embargo si queremos juntar los logaritmos

en uno solo debemos hace un par de pasos

más:

Damos en F3 y para seleccionar ambas

expresiones con logaritmos dejamos

presionado la tecla “shift” y damos una

vez hacia la derecha , soltamos el shift y

ya que estén enmarcadas ambas expresiones

damos F4:

Seleccionamos la tercera opción que es la de

factorizar y damos ENTER:

Ahora damos en F3 de nuevo una vez hacia

abajo y luego una vez a la derecha

para seleccionar solo los logaritmos y

damos en F4:



Seleccionamos la tercera opción para

reacomodar los logaritmos:

Para finalizar damos volvemos a

seleccionarlos y damos en F4 y

seleccionamos la tercera opción que es la ley

de logaritmos cuando se restan y damos

ENTER:

Y llegamos al resultado final:

Como algo adicional el SMG puede darte el

dominio de cada función de la siguiente

manera:

Presionamos F5 :

Abrimos el submenú de “Info” o primera

opción y seleccionamos la tercera opción que

dice “Domain” y damos ENTER:

Y vemos que claramente nos indica que la

suma del denominador de la fracción debe

ser diferente de cero ya que se

indeterminaría la función.

Ahora para ver los problemas anteriores sólo

damos en F6 y damos en la segunda

opción “Previous Problem” o problema

anterior en español y damos ENTER:

Vemos como nos lanza al problema anterior

y te puedes desplazar con las flechas de

dirección arriba y abajo para ver paso por

paso lo que se hizo en cada uno.

Hagamos un último problema para

integración por partes:

> � · �H��

Como ya sabemos introducimos en un nuevo

problema la función:



Damos en F4 y seleccionamos la segunda

opción:

Presionamos F1 para que nos ayude a

encontrar f(x) y g´(x) y damos ENTER 2 veces:

Ésta pausa que hace SMG en ésta pantalla es

útil en el tema de Integración por partes ya

que nos muestra las variables U y dV que se

tendrían que encontrar si se hiciera

manualmente, solo que SMG lo maneja con

variables distintas, f(x) es U, g’(x) es dV, que

están en la parte superior del recuadro, éstas

son las funciones que te piden derivar e

integrar respectivamente, expresiones que

también te lo muestra ya resuelto en la parte

inferior de cada una, debajo de f(x) esta su

derivada, y debajo de la derivada de g(x) ó

g’(x) está su integral.

Damos ENTER una vez más y luego una

última vez ENTER para que simplifique:

Ahora seleccionamos la integral pendiente

con F3 y una vez a la derecha y una

vez abajo , ya enmarcada presionamos

F4:

Damos ENTER en la primera opción y vemos

el resultado:


Librería de Fórmulas de SMG Página 43

Librería de Fórmulas de SMG

NOTA MUY IMPORTANTE: El SMG tiene

ciertas limitaciones, resuelve SOLO las

integrales que se encuentren en su base de

datos con las fórmulas que contiene, que es

muy extenso y muy completo y te servirá

para casi todo tu curso de Calculo Integral,

sin embargo he encontrado cierto tipo de

integrales que no puede resolver porque no

se encuentran en esta base de fórmulas, a

continuación vamos a mostrar cuales son las

fórmulas que contiene y luego mostraremos

cuales no. Empezaremos con las que SI

TIENE:



Estas son todas las formulas de integrales

que posee en su base de datos, las del tipo

que he visto que NO PUEDE solucionar son:

> √5� � �� > ��

√5� ��

Y combinaciones de éstas, con las

expresiones iguales dentro de la raíz pero en

diferentes lugares y con la equis también,

hay otras por sustitución trigonométrica que

las resuelve con cambio de variable, como

decía un método diferente para llegar al

mismo resultado.

Es por esta razón que se es ALTAMENTE

RECOMENDADO solucionar primero la

integral en el solucionador instantáneo de

HOME, HOME puede resolver la integral que

sea sin restricciones. NOTA IMPORTANTE: En

ocasiones es posible que en el solucionador

instantáneo de HOME y los resultados que

ves en clase se vean y sean diferentes, sin

embargo es MUY IMPORTANTE dejar en

claro que el resultado que te da la Texas ES

CORRECTO, al igual que el que se hace a

mano (si lo hiciste bien claro está), se

preguntarán porque, y la respuesta es simple

y tiene que ver con la razón de ser de la

integral; la razón de ser de la integral es

evaluar un área bajo la curva, si tu evalúas tu

resultado y el de la Texas en un mismo

intervalo te debe resultar el mismo valor

numérico SIEMPRE, si no, algo hiciste mal, si

metiste bien los datos a la calculadora su

resultado es correcto, ó la otra opción es que

te hayas equivocado en alguna operación a

mano. Un ejemplo típico de esto es el

ejemplo de la primera integral que se hizo en

la página 2, también es válido desarrollar el

binomio y resolver en 3 integrales separadas.

Te invito a que lo pruebes y lo descubras por

ti mismo, evalúa el resultado de la página 28



y el del binomio desarrollado en los

intervalos 0 y 2.

En general el único tema en donde “casi” no

puede ayudarte el SMG es en el tema de

Integración por sustitución trigonométrica,

ya que no posee este método en su

programación, es en ésta parte donde solo

podrás ayudarte del solucionador

instantáneo de HOME.


Área entre 2 curvas Página 47

Área entre 2 curvas

Este tema será de los últimos que verás en tu

clase de Cálculo Integral. Generalmente te

darán 2 curvas cualesquiera y te pedirán que

encuentres el área encerrada entre ellas.

Veamos un ejemplo:

Encuentre el área encerrada entre las curvas:

< * �� 4 & < * 2� 4

Bien lo primero que haremos será ver los

puntos en los que se intersecan

analíticamente ambas funciones, para esto

llamaremos a la función “solve(“,

presionamos F2 y se despliega el menú de

algebra, damos ENTER para que se copie a la

línea de entrada:

Ahora tecleamos ambas ecuaciones

igualadas y después de escribirlas una coma

y equis y cerramos el último

paréntesis de cierre:

Con esto le estamos diciendo a la calculadora

que queremos que encuentre los valores

posibles de equis que cumplan esa igualdad,

damos ENTER:

Y vemos los puntos de intersección de ambas

curvas, en -2 y 4. Ahora bien ya que sabemos

en que punto se intersecan, vamos a graficar

ambas curvas para que se observe cuál es el

área a encontrar. Debemos dirigirnos al área

de gráfica presionando DIAMANTE +

letra W del teclado extendido:

Aquí como ya sabemos graficar simplemente

escribimos ambas gráficas en y1 y y2 y las

marcamos:

Damos un Zoom Standard (±10 en eje de x y

y) presionando F2 y la opción 6 que dice

ZoomStd:



Ahora bien vemos que no se alcanza a

visualizar la intersección superior, debemos

ajustar la gráfica accediendo al menú

WINDOW, para esto presionamos DIAMANTE

+ la letra E del teclado extendido:

Aquí simplemente debemos aumentar el

rango del Ymax, para ver más en la parte de

arriba, simplemente nos posicionamos sobre

este valor y tecleamos digamos 15 y damos

ENTER:

Ahora para volver a ver la nueva gráfica ya

ajustada damos en DIAMANTE + letra R

del teclado extendido:

Ya que vemos bien la gráfica vemos

claramente cual es el área a encontrar, esto

es de gran ayuda ya que además de ver

como van ambas gráficas te ayuda a ver cual

gráfica se tiene que restar a la otra, es

claramente que la gráfica de la recta se tiene

que restar a la de la curva, siempre de arriba

abajo.

Sombreado

Ahora para sombrear el área entre ambas

presionamos F5 el menú de MATH y

seleccionamos la opción número 8 que dice

“Shade” (sombra) y damos ENTER:

Ahora vemos que nos hace una pregunta en

la parte inferior y dice “Above?”, es decir

“sobre?”, y pregunta que sobre que curva.

Aquí nosotros nos podemos cambiar de

curva presionando arriba y abajo con el

cursor, sabemos que la curva sobre la que

está el área es la de la parábola o sea que

damos ENTER:

Vemos que ya marco con una pequeña cruz

la curva lo cual indica que va a sombrear

sobre ella, ahora en la parte inferior

izquierda nos pregunta “Below?” es decir

“debajo?”, y quiere decir que debajo de cuál

curva va a sombrear el área, esta curva es la

recta y ya esta sobre ella, así que sólo damos

ENTER:



Ahora bien ya que marcamos ambas curvas

nos pregunta el límite inferior “Lower

Limit?”, sabemos que el límite inferior está

en las intersecciones que encontramos y

corresponde a -2, asi que sólo tecleamos

y damos ENTER:

Y por último como habrán adivinado, el

límite superior “Upper limit?” que

corresponde a 4, así que solo tecleamos 4 y

ENTER:

Y hemos sombreado el área que es la que

piden que encontremos. Ahora para calcular

dicha área fácilmente debemos ir a HOME,

presionamos DIAMANTE + la letra Q

del teclado extendido, ya en HOME podemos

resolver el área de 2 formas, la más simple es

teclear la integral y restar ambas funciones

y2(x) - y1(x), poner que es respecto a equis y

poner los intervalos de -2 a 4:

Damos ENTER:

Y vemos el resultado que son 36 unidades

cuadradas. Es importante el orden con que

restas las funciones para encontrar el área,

para esto nos sirvió graficar, para saber que

función se restaba de la otra. Como podrás

darte cuenta tú puedes mandar llamar

funciones escritas en el área gráfica y

seguirlas usando en HOME sin necesidad de

reescribirla completa. La otra forma como lo

acabo de mencionar es simplemente

tecleando la resta de ambas funciones, luego

que es respecto a equis y el intervalo:


Longitud de Arco Página 50

Longitud de Arco

Bien ahora veremos una función muy útil

que es la “ArcLenght” o longitud de arco en

inglés, regresamos a HOME oprimiendo tecla

DIAMANTE + tecla “Q” del

teclado extendido:

Vemos que regresamos a la pantalla original.

Sabemos que la fórmula para la longitud de

arco de una función en un intervalo dado es:

> �1 U9V��&W�X

Y��

Bueno pues con la TIV200 no tendrás que

derivar, luego elevar al cuadrado para luego

hacer la integral, hay una función que hace

todo esto y te da el resultado inmediato,

veamos un ejemplo:

9��& * 13 �� 2&� �F

5 * 0 < 7 * 3

Damos en F3 y se abre el menú de

calculo, seleccionamos la octava opción que

dice “arcLen(“, y damos ENTER:

Como ya sabemos se copia directamente a la

línea de entrada, ahora solo tecleamos la

función con cuidado en los exponentes y

paréntesis para no confundir a la

calculadora, de manera que quede así:

Ya que hemos terminado de escribir la

función ahora solo ponemos una coma

para luego poner la variable de integración

equis , con esto referimos que es con

respecto a equis la integración, luego otra

coma e inmediatamente después

ponemos el límite inferior, en este caso 0

, luego otra coma e

inmediatamente después el límite superior,

en este caso 3 y cerramos con el

paréntesis de cierre , de manera que se

vea así:

Damos ENTER y vemos el resultado de

inmediato:

Observamos que el resultado es 12. Es así de

simple y puedes poner cualquier función que

desees, en algunas tarda un poco más que en

otras debido a su complejidad o porque

algunas las resuelve con métodos numéricos

más complejos. También puedes sustituir



variables en los intervalos para ver la

sustitución adecuada antes del final.

Hay ocasiones en donde te dan funciones sin

despejar en X y Y, y te piden encontrar la

longitud de arco entre 2 coordenadas, éste

tipo de ejercicios lo único que buscan es

confundirte ya que tu puedes encontrar la

longitud de arco con respecto a X ó con

respecto a Y usando las coordenadas

correspondientes de cada eje y encontrarás

la misma longitud.

Ejemplo. Halla la longitud de arco de la

siguiente función entre los siguientes pares

de coordenadas:

Z[ * \] ^ _^, √[` Z �[, ]&

Vemos que no nos dan despejada la función,

debemos despejarla, esto lo puedes hacer a

mano ó en HOME con la función solve del

menú F2 de Álgebra:

Luego de teclear la expresión podemos

indicarle cual variable deseamos que

despeje, puede ser X ó Y, empezaremos

como es costumbre con la Y:

Y vemos el resultado del despeje, es

importante entender lo que nos dice el

resultado completo, sabemos que la raíz

tiene 2 resultados es por esto que la primera

parte nos dice un resultado negativo con la

condición “and” de que x^3 ≥ -1, esto nos lo

dice claramente ya que si fuera menor a

menos 1 la raíz quedaría negativa y habría

resultado no real, es una pequeña

“exageración” de la Texas, pero nos lo deja

en claro para especificar el resultado

completo, e inmediatamente después (or)

nos marca el resultado positivo con la misma

condición. Borramos la línea de entrada con

tecla CLEAR y llamamos a la función arcLen:

Y tecleamos el despeje, únicamente la

solución positiva, en estos y muchos casos

casi siempre se tomará la solución positiva,

marcamos que es respecto a X y los límites

inferior y superior nos los dice las

coordenadas del problema, debemos

recordar solamente que si es respecto a X la

integración debemos poner los límites

inferior y superior de las coordenadas de X

únicamente, en éste caso 1,2:

Y damos ENTER, después de unos segundos

vemos:



Éstas son unidades lineales 1.88055,

borramos la línea de entrada y procedemos a

hacer los mismo pero con respecto a Y,

primero despejamos X:

Vemos el despeje correspondiente, ahora

borramos la línea de entrada con CLEAR,

llamamos nuevamente la función arcLen y

hacemos lo mismo pero con respecto a Y,

con límites inferior y superior de

coordenadas de Y:

Damos ENTER y vemos luego de unos

momentos:

Vemos que el resultado numérico es el

mismo para ambas expresiones. Yo te

recomiendo que cuando se te presenten

problemas de éste tipo utilices la función en

(en X ó Y) que te resulte más fácil despejar.

NOTA IMPORTANTE. Es posible que en

ocasiones debido a la complejidad de la

función pueda demorarse unos minutos (no

más de 5), sé paciente siempre te devolverá

una respuesta.


Series de Taylor Página 53

Series de Taylor

Para las series de Taylor de igual manera está

la función que quizá y hayas visto en el

mismo menú que dice “Taylor(“, hagamos el

ejemplo más común:

9��& * sin��&

A quinto orden:

Borramos la línea de entrada con CLEAR

y presionamos F3 para para

desplegar el menú de calculo y nos

posicionamos sobre la octava opción que

dice “Taylor(“ y damos ENTER:

Vemos que se copia automáticamente a la

línea de entrada, ahora simplemente

ponemos la función seno con la tecla “sin”

, luego equis , cerramos el

paréntesis de la función seno , una coma

otra equis para indicar que es respecto

a equis , una coma más e

indicamos el orden, en este caso es el quinto

y cerramos todo con una paréntesis de

cierre , de manera que quede así:

Y damos ENTER:

Vemos el resultado de la suma de las

derivadas subsecuentes.


Sólidos de Revolución Página 54

Sólidos de Revolución

Los sólidos de revolución como podrás darte

cuenta es todo igual que el área entre

curvas, sólo que la función es al cuadrado y

un pi π que afuera de la integral multiplica a

todo. Por ejemplo te piden el sólido

generado al girar la siguiente función

alrededor del eje X:

2 � √�

Entre 0 y 4. Solo tecleamos en la calculadora:

Y damos ENTER:

Y listo encontramos el sólido de revolución,

es importante mencionar que éste resultado

numérico representa unidades cúbicas ya

que es un sólido.

También con la combinación de la fórmula

de área entre curvas puedes encontrar un

área entre 2 curvas que giren y generen un

sólido de revolución alrededor de un eje, por

ejemplo del ejercicio de la página 47:

También es importante mencionar que

puedes encontrar áreas entre curvas, sólidos

de revolución, ó longitudes de arco con

respecto al eje Y, solo debes despejar la

función que tengas a x(y) en lugar del

cotidiano y(x) y evaluando en lugar de

coordenadas de X con coordenadas de Y.


Consideraciones Especiales MUY IMPORTANTE Página 55

Consideraciones especiales

MUY IMPORTANTE

No siempre hay solución única

Hay ocasiones (como ya lo he mencionado)

que cuando resuelves integrales en el

solucionador instantáneo de HOME puedes

encontrar resultados poco parecidos a los

que resuelves a mano, pero es MUY

IMPORTANTE que se entienda que ambos

resultados (si hiciste todo bien claro está)

son correctos, tu puedes comprobarlo

evaluando en un intervalo cualquiera ambas

expresiones y el resultado numérico debe ser

el mismo, esto ocurre mas o menos seguido,

a continuación muestro un ejemplo típico:

>�2� 1&��

Esta integral se puede resolver de 2 formas,

una es por el método de sustitución, y el otro

desarrollando el binomio para después hacer

las 3 integrales por separado. Haremos los 2

métodos para ejemplificar esta

consideración especial. En el solucionador

instantáneo de HOME tecleamos tal cual la

integral y vemos el resultado:

Vemos que la calculadora lo resolvió por el

método de sustitución, sustituyendo “u” por

2x+1 y quedando una expresión más simple

para después integrarla normalmente como

una “u” a la “n”. Éste es un resultado, ahora

veamos el otro, borramos la línea de entrada

con la tecla CLEAR y para desarrollar el

binomio llamamos a la función “expand(“

que se encuentra en el menú de Algebra F2:

Para expandir el binomio sólo tecleamos la

expresión, cerramos el paréntesis

correspondiente y damos ENTER:

Ya que tenemos el binomio desarrollado

vamos a integrar esta misma expresión.

Sacamos la función de integración y

sombreamos del historial el binomio

desarrollado, lo copiamos dando ENTER,

integramos con respecto a X y vemos el

resultado:



Como puedes darte cuenta ambos resultados

son muy diferentes, aunque factorices o

desarrolles el primer resultado jamás te

coincidirá con el segundo resultado. Sin

embargo tiene que quedar en claro que

AMBOS SON CORRECTOS, y vamos a

demostrarlo en este momento. La razón de

ser de la integral es encontrar un área bajo la

curva, es encontrar una expresión que pueda

ser evaluada en un intervalo cualquiera y

encontrar un área, entonces vamos a probar

ambas expresiones en un intervalo y el

resultado debe ser el mismo. Por poner

cualquier intervalo lo evaluaremos entre -1 y

2.

Primero seleccionamos el primer resultado y

lo evaluamos, para esto sacamos el operador

“with” que es una pequeña barra que se sale

tecleando “2nd” + letra K del teclado

extendido:

Ya que salió el operador tecleamos “x= -1”

que es el primer valor a evaluar:

Damos ENTER y vemos el primer valor

numérico:

Quitamos la sombra dando a la derecha con

el cursor y solo eliminamos el dato de -1 y

ponemos el 2:

Ahora bien ya tenemos nuestros 2 primeros

valores, debemos restarlos como ya

sabemos, el límite superior menos el límite

inferior y nos queda:

Vemos que el área es 21, este mismo valor

nos debe de dar para la otra expresión,

veamos la segunda expresión evaluada en -1:

Vemos que nos da -1/3, nada parecido al

límite inferior de la otra expresión. Veamos

el límite superior:



De igual manera notamos que el límite

superior es bastante diferente. Ahora para

probarlo lo restamos:

Damos ENTER y…

Sucede la magia!!, ambas áreas son iguales,

este par de expresiones se compensan

perfectamente de forma que cuando los

evalúas en cualquier intervalo el resultado

siempre será el mismo, es por esto que no

siempre hay una solución única a las

integrales, y esto ocurre muy seguido.

Cuando veas un resultado diferente en la

Texas de lo que resolviste manualmente

primero pruébalos en un intervalo antes de

dudar de tu respuesta, si ambas áreas son

iguales entonces tu resultado es correcto.



Integrales Especiales

Hay integrales que a la hora de resolverlas

en el solucionador instantáneo de HOME

parece no resolverla o te devuelve una

expresión simplemente factorizada de la

integral. Mostraré un ejemplo y como

solucionarlo:

> �9�Q � 27��

Cuando introducimos esta integral en el

solucionador de HOME y damos ENTER

vemos:

Vemos que simplemente factoriza lo de

dentro de la raíz junto con una equis y no

resuelve la integral, cuando suceda esto, lo

único que debes hacer es eliminar la función

de valor absoluto que da el resultado.

Borramos la línea de entrada con tecla CLEAR

y sombreamos el resultado y damos ENTER

para que se copie a la línea de entrada y

ahora eliminamos únicamente la función

“abs()“ que esta dentro del resultado:

Eliminando función “abs()”:

Ahora damos ENTER:

Y listo ya vemos el resultado correcto. Esto

ocurre debido a la naturaleza misma de la

función, esta función es simétrica, al

encontrar un área existen 2 expresiones que

representan la función para encontrar un

área, uno en el eje de los negativos y otro en

el de los positivos, generalmente solo va

cambiar el signo de la expresión

dependiendo de que lado vayas a encontrar

el área. Casi siempre los profesores solo

piden el resultado de los positivos (como en

éste caso), sin embargo el resultado

completo sería:

�� 3&�/� & �� 3&�/� Dependiendo del área a buscar (intervalo),

ya sea en los negativos o en los positivos del

eje de la X se escoge la función solución, la

función positiva para evaluaciones en el eje

de los positivos y la función negativa para

evaluaciones en el eje de los negativos

(¿bastante obvio verdad?). Esto es digamos

una “exageración” de la Texas sin embargo

es importante que se entienda el porque lo

hace así, ésta función en específico sólo

existe en la parte positiva del eje de las Y, si

la graficamos:



Vemos que hay una discontinuidad cerca del

origen y solo existe en la parte superior del

plano por lo tanto solo hay áreas bajo la

curva positivas posibles. Si evaluamos por

ejemplo un área entre 2 y 4:

Ó si evaluamos un área entre -4 y -2:

Vemos que de igual forma encuentra áreas

sólo positivas para esta función ambas con

un valor de 45.8722. Es por esto que sería un

error decir que la solución absoluta para la

integral de ésta función es �� 3&�/� ya

que si la evaluamos entre los límites

negativos tenemos:

Vemos un área negativa.

Sería un error decir que hay áreas negativas

para ésta función ya que acabamos que

comprobar con la gráfica que esto no es

posible, es por esto que la Texas hace esta

separación a la hora de resolver la integral.

Puede parecerte una exageración pero así es

la forma de operar matemáticamente

estricta de la Texas que no permite que haya

errores e incongruencias, ya que aunque solo

cambie el signo para ella es diferente. Es por

esto que se completa la solución con la

misma expresión pero con el signo negativo

para la misma función, si la evaluamos en los

límites negativos vemos:

Vemos ya el área positiva como debe ser.

Es importante que identifiques estas

situaciones en el solucionador instantáneo

de HOME, generalmente con éstas

situaciones en específico solo hay que quitar

la expresión “abs(” y volver a integrar sin

ésta expresión.

Con esto concluimos el curso para Cálculo

Integral apoyado con la calculadora Texas

Instruments Voyage 200, espero que te haya

sido de utilidad y le des el uso adecuado, te

recomiendo que resuelvas los ejercicios al

final de éste manual para que adquieras

habilidad a la hora de resolver tus tareas y

exámenes.


Ejercicios Propuestos Página 60

Ejercicios Propuestos

Grafica de Funciones & Integral definida

Encuentra de cada una de forma gráfica el área solicitada:

5& > � · �� 9Q

G��

7& > ��√1 �

?

G

4& > �√�� 1

�

��

�& > ��1 ��

√

?

�& > sin� �E

G��

9& > �� 1 ��

�

�

a& > �� · lnQ �

�

�

b& > sin� �E �F

G��

$& > cos �E

G· �LMN H��

c& > �5�4 cos �&��?

�?



La Integral Indefinida

Resuelve las siguientes integrales indefinidas en el solucionador instantáneo de HOME y en SMG

de ser posible.

Integrales directas

5& >�3�� 5�� 3� 4& ��

7& > � � 1√2� � √� 1 ��

4& > cos�5 · � 7&��

�& > 2 · �H ��H�H ��

Integrales por sustitución

5& > sin � · cos � ��

7& > 4� � 32�� 3� � 14 ��

4& > 2� · �Hd��

�& >�1 � cos �&� · sin � ��

Integración por partes

5& > � · �H ��

7& > �sin� � ��

4& > �� · ln � ��

�& >�2� 4& · ��HeQ��

5& > 3�� 1��

7& > �� 6 ��

4& > 6�� 2� � 14��

�& > 4� � 2�� 2� ��

5& > �� · √4 � ��

7& > 1√1 � ��

4& > √25 � ��

�& > �1 �Q ��

Integrales por fracciones parciales

Integrales por sustitución trigonométrica



Aplicaciones de la Integral

Área entre 2 curvas

De los siguientes pares de curvas halla el área encerrada entre ellas.

5& < * 2 · �1 � ��& & < * 1

7& < * �� 4� & < * 6� � �� 4& < * �� & < * √�

�& < * 3�� 10� & < * �� 2�

Longitud de Arco

Encuentra las longitudes de arco de las siguientes curvas, entre las siguientes coordenadas dadas:

5& < * 3�� 7 � !�� 1,10& < �2,19&

7& 8< * �Q 2�� !�� 251 4%%�� 5�51 �� 2 < 5

4& 9<� * 4�� !�� 0,0&< �3,2√3&

�& ��/� <�/� * 1 � !�� 251 4%%�� 5�51 �� 1 < 1/8

Sólidos de Revolución

Encuentra el volumen de sólido de revolución generado al girar las siguientes funciones en torno

al eje X en los límites señalados

5& < * √�) � !�� * 0 < � * 8 7& < * �� 2� � 1 � !�� * 0 < � * 2

4& � * �< � 2&� � !�� * 2 < � * 7 Por último encuentra el volumen de sólido de revolución generado al girar la región encerrada

entre las siguientes pares de curvas alrededor del eje X:

5& < * 2 · √� � 1 & < * � � 1

7& < * �H & < * �√� 4 � !�� * 0 < � * 7


Bibliografía Página 63

Bibliografía

Sitio Web:

http://www.inetor.com/definidas/ejercicios_definida.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML

http://hdqtitm.blogviajes.com/1161208140/

http://www.monografias.com/trabajos61/integracion-sustitucion-trigonometrica/integracion-

sustitucion-trigonometrica2.shtml

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm

http://usuarios.multimania.es/calculoint21/id48.htm

http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&langpair=en|es&u=http://tutorial.math.lamar.ed

u/Classes/CalcI/VolumeWithCylinder.aspx

cálculo integral- aplicaciones con voyage 200

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