calculo i práctica 9 con la calculadora classpad 330

7/28/2019 CALCULO I Prctica 9 con la calculadora ClassPad 330

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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9CALCULO I: Prctica 9 con la calculadora ClassPad 330

Objetivos: En esta prctica utilizaremos laAplicacin Geometra, laAplicacin Princ ipal, yla Aplicacin Grficos & Tablas del Men de Aplicaciones Incorporadas de lacalculadora ClassPad 330,para estudiar aquellos aspectos importantes del conceptode la derivada de una funcin real de variable real. El concepto de derivada es unode los instrumentos ms poderosos de la matemtica y las ciencias aplicadas. En esta

prctica abordaremos la idea geomtrica de cmo nace este concepto, las reglas parasu clculo algebraico y su aplicacin en problemas de clculo de valores aproximados.

Requisitos: Antes de realizar esta prctica es imprescindible haber estudiado el Captulo 2 deltexto recomendado y haber realizado en su totalidad la Prctica 7.

Observaciones: Es importante sealar al estudiante que debe realizar las actividades propuestassiguiendo cuidadosamente cada instruccin .

Para distinguir en esta prctica las instrucciones y actividades de la mera difusin de informacin,

ests se destacarn con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo. El primericono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicar alestudiante que se abre una seccin donde nicamente podr hacer uso de la calculadora y ejecutar las

instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se est planteando una situacin problemtica y elltimo que debe reportar por escrito la respuesta a la situacin problemtica formulada.

9.1 Recta tangente a la grfica de una funcin en uno de sus puntos.

Para entender el concepto de derivada de una funcinreal de variable real en un punto de su dominio,comenzaremos por dar solucin al problema de establecerla ecuacin de la recta tangente a la grfica de unafuncin en uno de sus puntos. Para precisar esto,supongamos que fes una funcin definida al menos en unintervalo abierto que contiene al nmero real a y queremosencontrar la ecuacin de la recta tangente T a la grfica de f

en el punto (Figura 1).))a(f,

a(mTy,0

mT

))x(f,

a(ACon este nico dato no es posible obtener la ecuacin

de la tangente en A de manera automtica, hace faltaconocer, por ejemplo, la pendiente de dicha recta

tangente en A o las coordenadas de otro punto

por donde pase dicha tangente. Si slo se conocen lascoordenadas del punto de contacto, tendremos que resolverel problema bajo una mirada heurstica.

)

x(B )0

)a(Intentemos primeramente calcular la pendiente

de la recta tangente de maneraaproximada. Tomemos unpunto de la grfica de la funcin donde x es un

punto variable en el intervalo abierto donde fest definida.Con este nuevo punto podemos calcular la pendiente de larecta secanteS que pasa porA y B, esto es,

x(B

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemtica Aplicada1

a

)a(fx)x(f)x(mAB = (Figura 2).Pero, qu valores se obtienen para esta pendiente

cuando el punto B se mueve sobre la grfica de faproximndose a la posicin que ocupa el punto A?(Figura 3).

Figura 1

Figura 2

Figura 3


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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9Para contestar a esta pregunta utilicemos la Aplicacin Geometra de la ClassPad en unejemplo concreto y visualicemos lo que ocurre:

1. Considere la funcin cuya regla de correspondencia es 34

2 )2,2x)x(f = y el punto (A desu grfica. Intentemos responder a la siguiente pregunta: Cul es el valor aproximado de lapendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin en el punto A cuando otro punto variable

, que se mueve sobre la grfica de f, se aproxima a la posicin que ocupa el punto A?


))x(f,x(B

2. Operacin con la ClassPad.

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lpiz tctil y colquelasobre la mesa. Presione para encenderla.

(2) Toque para acceder a la aplicacin Geometra.

(3) En la barra de mens toque [Arch] [Nuevo] [Acep.] para limpiar laventana de la Aplicacin Geometra e iniciar un nuevo archivo.

(4) Toque [Formato geomtrico].(5) En el cuadro de dilogo configure los parmetros tal como aparecen

en la Figura 4. Al finalizartoque .

Aparecer la ventana de la Aplicacin Geometra exhibiendo losejes coordenados y la rejilla entera en el intervalo [ ]5,5 .

(6) Toque [Dibuj] [Funcin] [f(x)].

(7) En el cuadro de dilogo edite la expresin 34/x2 y toque . Aparecer la grfica de la funcin fen el intervalo [ ]5,5 .

(8) Toque [Dibuj] [Construir] [Tangente a curva].

(9) Seguidamente toque sobre la pantalla el punto de coordenadas

)2,2( para trazar la rectatangente a la curva en el punto A. Aparecer la tangente a la grfica de fen el punto A.

(10) En la barra de herramientas toque para acceder al cuadro demedidas.

(11) Toque la recta tangente para seleccionarla.

En el cuadro de medidas aparecer que 4xy es la ecuacin dela tangente a la grfica de la funcin en el punto )2,2(A . Demanera que la pendiente de esta recta es 1)2(mT = .

(12) Toque [Dibuj] [Recta]. Seguidamente toque el punto A y luego elpunto auxiliar )3,0(B .

Figura 4

Figura 5 Con esto se ha trazado la recta secante a la grfica de fen los puntos A y B. Utilicemos la opcin

de animacin para mover el punto B sobre la grfica de f(Figura 5):

(13) Toque y luego toque .

(14) Toque ahora el punto B y luego toque la grfica de la funcin para seleccionarlos.

(15) Toque [Edit] [Animacin] [Agregar animacin].

Configuremos ahora un nmero suficiente de pasos que tendr la animacin en el intervalo [ ]5,5 .Elegiremos 40 pasos de animacin.


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(16) Toque [Edit] [Animacin] [Editar animaciones].

(17) En el recuadro [Pasos] edite el nmero 40 y toque la ventana donde se encuentran las grficas.

Toque para maximizar la ventana.

(18) Toque [Edit] [Animacin] [Reproducir (repetir)].

Mientras la ClassPad ejecuta la animacin, observe que a medida que el punto B se acerca al punto A,

(en este caso x se aproxima a 2 por la izquierda) las rectas secantes tienden a adoptar la posicin lmite dela recta tangente en A. De manera que las rectas secantes cuyo punto B se encuentran ms cerca de Atendrn una pendiente cuyo valor se acerca al valor de la pendiente de la recta tangente. Para ver estos

valores aproximados elaboremos una tabla de las pendientes m para cada valor de x calculado en

cada paso de la animacin.

)x(AB

(19) Toque [Edit] [Animacin] [Parar] para detener la animacin.

(20) Toque para acceder al cuadro de medidas. Seleccione el punto B

y toque el botn para obtener en la tabla las coordenadas de lospuntos B generados en la animacin.

(21) Toque en la tabla la columna de las ordenadas de los puntos B para

seleccionarla y seguidamente toque [Edit] [Borrar]. Con esta ltima accin nos hemos quedado solamente con las

abscisas de los puntos B generados en la animacin.

(22) Toque ahora la ventana de las grficas y luego el icono .Seleccione la recta secante que pasa porA y B.

(23) En el cuadro de medidas toque para calcular las pendientes

de las rectas secantes en cada paso de la animacin. Toque .

Aparece al lado de las abscisas de los puntos la columna de lasrespectivas pendientes.

Figura 6

(24) Toque la ventana de la tabla y luego toque el icono permanente .(25) Deslice la barra de desplazamiento y ubique la abscisa del punto B ms cercano al punto x = 2.

Encontrar que la abscisa del punto B ms cercano al punto A es 923077.1x = , cuya pendiente es980769. . Observe que este valor esta bastante cerca del valor de la pendiente

1)2(T = de la recta tangente en A.0)x(mAB =

m

Ahora, efectuando un clculo de lmite encontramos el valor exacto de la pendiente de la recta tangente

a la grfica de la funcin fen el punto , el cual viene dado por:))a(f,a(A

ax

f)x(flm)x(mlm)a(m

axAB

axT =

)a(.

En nuestro caso, 14 2xlm2x 234/xlm2x )2(f)x(flm)2( 2x

2

2x2xT == +==

)a(f

m (como ya sabamos).

Esto nos permite dar la siguiente definicin:

Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene al punto a. La derivada de f en a,

denotada por est dada poraxax

,a(A

)a(f)x(flm=

)a(f)a(f , siempre que este lmite exista.

Por otra parte, como se ha definido, si el lmite anterior existe, entonces representa la

pendiente de la recta tangente a la grfica de f en el punto y su ecuacin viene dada por:))a(f


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Prof. Robinson Arcos 4

)a(f)ax)(a(fy + .En el caso de no existir el lmite, entonces diremos que f no posee recta tangente en el punto A.

Bajo estas consideraciones es que se define modernamente el concepto de recta tangente a la grficade una funcin en uno de sus puntos.

Observaciones:

Si se introduce una nueva variable h tal que hax + el cocienteax

)a(f)x( toma la formafh

)a(f)h y la derivada de fen a se define por medio de

a(f +h

)a(f)hf

. Es comn

usar este lmite para el clculo de la derivada de una funcin en un punto.

a(flm)a(

0h

+= Los lmites laterales

h

)a(f)h y

a(flm)a(f

0h

+= ++ h)a(f)h

son llamados

respectivamente, derivada lateral derecha y derivada lateral izquierda de fen a. Representanlas pendientes de la rectas semitangentes a la derecha y a la izquierda respectivamente. En

consecuencia, f es derivable en a ( )a(f

a(flm)a(f

0h

+=

existe) si y solo si las derivadas laterales de f en aexisten y son iguales.

Una funcin fes derivable en un intervalo abierto si ella es derivable en cada uno de los puntos ade ese intervalo. Diremos que fes derivable en un intervalo cerrado si lo es en cada uno de lospuntos a de su interior y las derivadas laterales existen en cada uno de sus puntos extremos.

La condicin de derivabilidad de una funcin en un punto, es una condicin ms fuerte que lacontinuidad. El siguiente teorema nos da una condicin suficiente para la continuidad: Si f esderivable en a, entonces f es continua en a. El recproco de este teorema no es cierto.

9.2 La funcin derivada.

Supongamos que fest definida en un intervalo abierto y sea x un nmero de ese intervalo. Dado que ellmite es nico, podemos definir una nueva funcin mediante la siguiente regla de correspondencia:

h

)x(f)h x(flm)x(f

0h=

f fDomf

para aquellos puntos del intervalo donde el lmite existe.

Esta funcin se llama la derivada de f. Derivarfo encontrar la derivada de fsignifica determinar estafuncin . Tenga presente que por la definicin Dom .

Observaciones:

En las aplicaciones la variable independiente x puedecambiar ligeramente y resulta necesario encontrar el cambiocorrespondiente en la variable dependiente y. Un cambio en xse denota frecuentemente por el smbolo x (que se leedelta x). Por ejemplo, si x vara de x a , entonces

. El nmero mide el incremento o cambiode x. Observe que , es decir, el nuevo valor de

es igual al valor ms el incremento

1 2x

12 xxx xxxx 12

2x 1x .x

Figura 7

Los smbolos o se usan para denotar el cambio en la variable dependiente y correspondiente al

cambio en la variable independiente x, entonces

y f

x )x(f)xx(f)y 11 x(f)x(ff 12 = .En trminos generales, si y x se incrementa en)x(fy = x , entonces el incremento oy f de y es:

)x(f)xx(ffy = + Departamento Matemtica Aplicada

.


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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9La notacin de incrementos puede usarse para definir la derivada de una funcin. Esto es,


x

)x(f)xx(flm

x

flm

0x0x = x

ylm)x(f

0x==

Si el lmite existe, ste se denota pordx

dyo por

dx

df. Tenemos de este modo que )x(

dx

df)x(

dx

dy)x( =f .

Esta notacin se conoce como la notacin de Leibniz. En la ltima seccin de esta prctica nos

dedicaremos a profundizar ms sobre estos conceptos y su interpretacin.

3. Para la funcin definida por : +=

sixx21

xsi1x)x(f

2

2

[x

)1(f21xlm)x(flmxx21lm)x(flm 22 =

1 21)x(f +] [1, ] ,1

Por otra parte, en tenemos:1

1x1x1x1x luego, f es continua en R.

Solucin a la situacin problemtica planteada en b):

Para encontrar usando la definicin y teniendo presente que f es una funcin definida a

trozos debemos calcular en cada uno de los intervalos

)x(f)x(f ] [1, , ] [,1 1y luego en x = :

Para 1x < tenemos:x2hx2lm

hlm

h

)1x()1)hx((lm

h

)flm)x(f

0h0h

22

0h0h==

h2+xh2x(f)hx( +

Para x > 1 encontramos:

=)

0h0h

==h

xx21())hx()hx(21(lm

h

)x(f)hx(flm)x(f

22

x22hx22lmh

hxh2h2lm 0h

2

0h Para x = 1 se tiene lo siguiente:

2h2lmh

hh2lm)1(f

0h

2

0h== lmh

21)h1(lm

h

)1(f)h1(f

0h

2

0h==

0hh2)h1()h1(21)1(f)h1(f 22 =lmh

lmh

lmh

lm)1(f0h0h0h0h

= ++


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Estos resultados nos indican que f no es derivable en 1x = . Luego, tenemos que: >


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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9Solucin a la situacin problemtica planteada en d):

Trazaremos ahora en un mismo sistema coordenado las grficas de f, f y las dos semitangentes en. Para ello haremos uso de la Aplicacin Grficos & Tablas de la ClassPad.1x =


(38) Toque para acceder a la aplicacin Grficos &Tablas.

(39) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] y active el teclado virtual.

(40) Alterne entre los teclados abc y mth para editar en la lnea y1: laexpresin )x(1f .

(41) Seguidamente en el teclado mthtoque la secuencia de botones:

.

(42) De manera anloga, en la lnea y2: edite la expresin )x(2f .

(43) Toque a continuacin la secuencia de botones:

.

(44) Toque para trazar la grfica de fy maximizar la pantalla.

(45) Toque para acceder a la ventana de visualizacin.Figura 10

(46) Configure los siguientes parmetros: 1:Mnx ; 2:.mx ; escala: 1; 1:Mny ; 4:.mx ; escala: 1(47) Toque .

Observe que tenemos la grfica de una funcin continua y en el punto la grfica presenta un

punto angular. Esto se debe a los valores distintos que presentan las derivadas laterales en .

)2,1(P

1x =1Las ecuaciones de las semitangentes en x = son las siguientes:

Ecuacin de la semitangente a la izquierda: x2y = para 1x 2Ecuacin de la semitangente a la derecha: y = para 1x

Trazaremos ahora la grfica de las dos semitangentes:

(48) Toque para activar el editor de grficos.

(49) Active el teclado virtual mth.

(50) En la lnea y3: toque la siguiente secuencia de botones:

.


.

(52) Toque .

Observe que las dos semitangentes tienen direcciones distintas unade pendiente 2 y la otra de pendiente 0.

Tracemos la grfica dexsix2

)x(f

(53) Toque para activar el editor de grficos.Figura 11


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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9(54) Active el teclado virtual mth.


.

(56) Toque la lnea y seleccione[Trazos gruesos].

(57) Toque y luego .


.

(59) Anlogamente seleccione [Trazos gruesos].

(60) Toque .

(61) Oprima la tecla para realizar un alejamiento.

Tenemos ahora la grfica f con una discontinuidad de salto finitoen 1x = . Figura 12

6. Considere la funcin definida por .

+=bsixx4

siax2x2)x(f

2

2

0

xx2

1 xloga; a > 0

alnx

1

Funciones trigonomtricas Funciones hiperblicas

)x(f )x(f )x(f )x(fsenx xcos

2

eesenhx

xx = xcoshxcos senx

2

eexcosh

xx += senhxxtan xsec2

xcosh

senhx xhsec 2xtanh = xcot xcsc2

xtanh

1 xhcsc 2xcoth = xsec xtanxsec

xcosh

1 xtanhhxsechxsec =

xcsc xcotxcsc

senhx

1 xcothhxcschxcsc =

Funciones trigonomtricas inversas Funciones hiperblicas inversas

)x(f )x(f )x(f )x(farcsenx

2x1

1

)1xxln(arcsenhx2 +

1x

1

2 + xarccos

2x1

1

)1xxln(hxarccos2

1x

1

2 xarctan

2x1

1

+

+= x1 x1ln21hxarctan 2x11

xcotarc

2x1

1

+

+

= 1x1x

ln2

1

xcotharc 2x1

1

xsecarc

1xx

1

2

+

2

2

x

x1

x

1lnhxsecarc 2x1x

1

xcscarc

1xx

1

2

++

2

2

x

x1

x

1lnhxcscarc 2x1x

1

+Tabla 2


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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9El proceso de derivacin de una funcin f se basa fundamentalmente en que la regla de

correspondencia de fviene dada por una expresin algebraica que se construye por medio de operacionesaritmticas y composicin de algunas funciones usuales. Al calcular la derivada de una funcin fpor mediode las reglas presentadas en la Tabla 1, la derivada de f termina desglosada como una expresinalgebraica en las derivadas de aquellas funciones usuales que conforman la regla de correspondencia de f.Basta conocer entonces, las derivadas de las funciones usuales (Tabla 2) y sustituirlas en esta ltimaexpresin para obtener la derivada de f.

Veamos esto resolviendo la siguiente situacin problemtica:

7. Dada la funcin definida por1

12+)x(f

)2(fx

x3)x(fy = :

a) Encuentre aplicando las reglas de derivacin presentadas en las Tablas 1 y 2.

b) Evale .

c) Utilice la ClassPad para encontrar )x(f y )1(f .Solucin a la situacin problemtica presentada en el inciso a):

Veamos el proceso del calculo de la derivada de fen los siguientes pasos:

Paso 1: Identifique las operaciones que conforman la regla de correspondencia de f y elorden de prioridad de estas operaciones.

La regla de correspondencia de fest conformada por la composicin de la funcin raz cuadrada y unafuncin racional (cociente de dos polinomios). El polinomio numerador est conformado por la diferencia dedos funciones y el polinomio denominador por la suma de dos funciones.

Paso 2: Desglose la derivada de f en trminos de las derivadas de las funciones usuales.

Al calcular la derivada de fser necesario desglosar primeramente la composicin de las dos funcionesantes mencionadas. Al hacer uso de la regla 6 de la Tabla 1 se obtiene:

= =

1x311x3 2

6glaRe2

++

+ 1x1x

1x32

1x 2

Observe que al finalizar este paso, nos queda desglosar un cociente. Al aplicar la regla 4 de la Tabla 1obtenemos:

=

+=

+

2

22

2

4glaRe2

2

)1x)(1x3()1x()1x3(1

1x

1x31

++)1x(

1x

1x32

1x

1x32

Para desglosar las derivadas indicadas en el paso anterior aplicaremos la regla 1 de la Tabla 1:

=

+

=

2

22

2

1glaRe

)1x(

))1()x)((1x3()1x)()1()x3((

1x3

1

2x3y =Prof. Robinson Arcos Departamento Matemtica Aplicada10

+ 1x2

Para dejar la derivada en trminos de las derivadas de las funciones presentadas en la Tabla 2,

aplicamos finalmente la regla 2 de la Tabla 1 a la funcin :


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=

+

+=

2

22

2

2glaRe

)1x(

))1()x)((1x3()1x)()1()x(3(

1x

1x32

1

Paso 3: Sustituya las derivadas de las funciones usuales encontradas en el proceso dedesglose.

Sustituyendo ahora las derivadas de las funciones ,2xy = xy = y 1y = que se encuentran en laTabla 2, se obtiene la expresin:

=

++

+2

2

2 )1x(

)01)(1x3()1x)(0)x2(3(

1x

1x32

1

Paso 4: Simplifique la expresin obtenida.

Simplificando esta ltima expresin se obtiene:

=+222 1 +

+

= +

+

2222 )1x(

x3x6x6

1x

1x32

1

)1x(

)1x3()1x(x6

1x

1x32

1

1

1x2

22

++

x3)1x(2

1x6x3

)1x(

1x6x3

1x

1x32

1222 +=

++

Luego la funcin derivada de fes:1x

1x1x6x32

2

+

3)1x(2)x(f

2+= .Solucin a la situacin problemtica presentada en el inciso b):

Para calcular basta sustituir x en la funcin derivada y simplificar:)2(f 2198

33251212623)22

2 =++ +=


123)12(22(f

Solucin a la situacin problemtica presentada en el inciso c):

El submen [Clculo ] de los mens [Accin] e [Interactivo] de la Aplicacin Principal, presentael comando [Diff] que permite el clculo de la funcin derivada y el clculo de la derivada de una funcin en

un punto. Este comando pude activarse directamente con el botn en el teclado virtual mth. Tambinel teclado virtual 2D presenta de una plantilla con la notacin diferencial para calcular derivadas.

El comando [Diff] presenta la siguiente sintaxis:

Diff(funcin, variable, orden de la derivada, punto en que se desea calcular la derivada)

Veamos como opera este comando:


(62) Toque para acceder a la aplicacin Principal.

(63) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

(64) Toque [Adm. de variable] [Main] [Main] [Todo] [Seleccionar todo][Edit] [Borrar] [Acep].

(65) Toque [Cerr.] [Cerr.] para regresar al rea de trabajo.


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Para trabajar con comodidad definamos la funcin f:

(66) Active el teclado virtual.

(67) Toque [Accin] [Comando] [Define].

(68) Toque .

(69) Utilice la plantilla de cociente y edite la expresin

1x

1x3

+

.2

(70) Toque .

(71) Toque ahora [Accin] [Clculo] [Diff].

Esto activa el comando [Diff].

(72) Toque seguidamente .

Se obtiene

22

)1x(1x

1x32

)x(

++= 2x3 1f + que es la derivada de f.x6

Observe que cuando la variable por defecto es x, no es necesario

incluirla en la sintaxis. Adems, como lo que queremos en primerlugar calcular la derivada de f, los dems elementos de la sintaxisno se toman en consideracin.

Para calcular )2(f se procede de la siguiente manera:(73) Toque .

(74) Toque ahora .

Se obtiene198

)23325= .(f

Aqu fue necesario indicar la variable x, el orden de la derivada queen nuestro caso es 1 y el punto donde queremos evaluar laderivada que es 2x = .

Otra manera de realizar los clculos con la plantilla del tecladovirtual 2D, teniendo presente que en la notacin de diferenciales

dx

)x(df) = , es la siguiente:x(f

(75) Toque .

(76) Con el cursor en el recuadro inferiortoque .

(77) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque la secuencia de

botones .

Se obtiene el resultado anterior.

Para evaluar la derivada en 2x = se procede de la siguientemanera:(78) Ubique el cursor en la lnea de entrada anterior, delante de la

expresin ))x(f(d

y toquedx

.

Se obtiene198dx

)x(df)2(

2x= =

3325f = .

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16


13/21

Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 99. Dada la funcin definida por

21x

xxarctan

2

1y

2+

+ :

a) Encuentredx

dyaplicando las reglas de derivacin presentadas en las Tablas 1 y 2.

b) Evale1xdx

dy = .c) Utilice la ClassPad para encontrar

dx

dyy

1xdx

dy

= .

10. Dada la funcin definida por15

1)1x(

32

)1x(52

y 35 + :

a) Encuentredxdy

aplicando las reglas de derivacin presentadas en las Tablas 1 y 2.

b) Evale5x=dx

dy.

c) Utilice la ClassPad para encontrardx

dyy

5xdx

dy

= .

9.4 Tasas de cambio y aproximaciones por diferenciales.

Supongamos que una cantidad y est relacionada con otra cantidad x por medio de la ecuacindonde, como siempre, y representa la variable dependiente y x la variable independiente. En esta

seccin nos dedicaremos ms profundamente al problema de cmo medirla tasa de cambio o razn decambio de la variable dependiente y como resultado de un cambio arbitrario en la variable independiente x.

)x(fy =

)x(f 0x

)x(f 0

x 0x

+x

9.4.1 Tasa de cambio promedio y tasa de cambio instantneo.

Consideremos un punto A situado sobre lagrfica de la funcin definida por la ecuacin

(observe la Figura 17), tal que sea el

valor que asume en ese punto la variable

independiente, y el correspondiente valor que

toma la variable dependiente. Se realiza un

incremento arbitrario en el valor de la

variable independiente obtenindose un punto Bsobre la grfica de f tal que sea un nuevo

valor que asume la variable independiente y

el correspondiente valor de la variable

dependiente. Al pasar del punto A al punto B, elcambio en el valor de x se mide por:

y

(f

xx0

)x0Figura 17

}

valorfinalvalor

0 x)xx(x 48476Prof. Robinson Arcos Departamento Matemtica Aplicada13

inicial

0


14/21



xEl smbolo Delta indica variacin o cambio, de manera que significa variacin o cambio dex. El cambio correspondiente en el valor de y se mide por:

8inicial

0 )

y

7648476valorfinalvalor

0 x(f)xx(fy donde significa variacin o cambio de y.

En general el clculo de los valores de x y y por separado no presenta una informacin relevante,

pues es ms importante conocer la relacin que existe entre ambas variaciones, y por lo tanto se construyela razn de estos cambios, es decir, el cociente incremental

x

)xx(f

x

y 0 =

)x(f 0

Este cociente representa el cambio que experimenta la variable y por cada unidad de cambio queexperimente la variable x y se denomina la tasa o razn de cambio promedio de y con respecto a x enel intervalo [ ]xx,x 00 . Esta tasa la denotaremos por:

[ ]xx

xx,xRCP 000x/y )x(f)xx(fy 0

))x(f,x(A ))xx(f,xx(

Grficamente, esta tasa representa el valor de la pendiente de la recta secante a la grfica de fen lospuntos y B0 000

x

.

En ocasiones se necesita evaluar la razn de cambio de y respecto de x cuando el cambio se hacems y ms pequeo, es decir en trminos grficos, cuando el punto B se acerca al punto A. A medida queesto sucede, se va acercando a cero, y la razn de cambio promedio de y con respecto a x tiende auna razn de cambio lmite que llamaremos razn de cambio instantnea de y con respecto a x en elpunto . Esta tasa la denotaremos por:

x

0x

[ ]0xx

00 dy)x(f)xx(fy

=

0x

0x x

00x0x

00x/y0x

0x/y dx)x(f

xlm

xlmxx,xRCPlm)x(RCI =

Se tiene entonces que la razn o tasa de cambio instantnea de y respecto de x en el punto es

justamente la derivada de fen el punto . Por otra parte, si se acerca a cero, entonces se tiene quedx

dyy x

, es decir que

dx

dyxy ; o sea que si la variable independiente x cambia en , el cambio

resultante

x

y en la variable dependiente y es aproximadamente igual adx

dyxmultiplicado por el cambio

en la variable independiente x. En particular, si el cambio es 1x = (una unidad) una estimacin delcambio ser precisamentey

dx

dy.

11. Un fsico describe que cuando cierta sustancia se calienta, la temperatura, medida en

grados centgrados despus de t minutos, est dada por 8t6t30)t(T + para 5t0 .a) Encuentre la razn de cambio promedio de T con respecto de t en el intervalo de tiempo

.]5.4,4b) Calcule la razn de cambio instantnea de T respecto de t justo al cuarto minuto.

Solucin a la situacin problemtica planteada en a):

[ ] min/C46,31)329(25.0

)846430(85.465.430

45.4

)4(T)5.4(T5.4,4RCP t/T ==

Lo que significa, en trminos promedios, que durante ese lapso de tiempo que va de 4 a 4.5 minutos latemperatura aumentar a razn de 31,46 C por minuto.


15/21

Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9Solucin a la situacin problemtica planteada en a):

min/

C5,31

C5.314

330

t

330

dt

dT)4(RCI

4t4tt/T ==

Lo que significa que la temperatura justo a los 4 minutos aumenta a razn de 31.5 C por minuto. Entrminos predictivos, esto significa que la temperatura aumentar en el prximo minuto en

aproximadamente en 31,5 C, o bien, )4(T)5(T + .

12. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba. Su altura en pies sobre el suelo a los t

segundos viene dada por .2t16

)x(f x

t144)t(s a) Cul es la velocidad del proyectil a los tres segundos de vuelo?

b) Cul es la velocidad media del proyectil durante el tiempo que estuvo en el aire?

9.4.2 Aproximaciones por diferenciales.

Sea una funcin derivable, y seay un incremento de la variable independiente x. Ladiferencial dy de la variable dependiente y se define por x)x(fdy . Con esta definicin tenemos que

y en consecuenciaxdx dx)x(fx)x(fdy .El concepto de diferencial se utiliza para realizar aproximaciones lineales. Sean un punto

sobre la grfica de f, un incremento arbitrario en el valor de la variable independiente x y

))x( 0x 0x y

f,x(A 0 lavariacin resultante en el valor de la variable dependiente y; si x es suficientemente pequeo,

entonces como hemos visto )x(f 0x

y o bien, )x()x(f

000

+)0

fx

)x

x(f

. Por lo tanto se tiene que el

valor de se puede aproximar por la frmula:)xx(f 0

xx(f)x(f)xx(f 00 para 0x Es importante resaltar que la diferencial x)0x(fdy no es el incremento real de la variable

dependiente y cuando la variable independiente x cambia de a0x x0 x , sino la variacin que y tendrasi continuara variando a la misma tasa fija )x(f 0 cuando x cambia de a x0x 0 x . Por eso se dice que

la diferencial dy es el incremento de la ordenada a la tangente (vea la Figura 17).)x(f 0

Si se considera el movimiento del punto ))xx(f,xx(B 00 hacia el punto a lo largode la grfica de fcuando la variable independiente x cambia de a

))x( 0f,x(A 0x0x x0 , es decir, cuando se realiza

una variacin horizontal , la variacin resultante vertical realx y de la variable independiente y se ilustra

grficamente en la Figura 17 por el segmento BC .

Se puede observar sobre la base de la ilustracin grfica que dyy cuando , en vista que lalongitud del segmento

0x BD representa la diferencia entre y y dy, sta se acerca a cero cuando 0x .

Como ejemplo consideremos la funcin definida por quemide el rea de un cuadrado de lado x. Se un valor dado del lado y

un incremento bastante pequeo en comparacin con las magnitudes

y . Entonces por medio de la formula de aproximacin por

diferenciales tenemos que

2x) =0x

xx

x(A

x)x(A 0

0x x0)x(Ax(A 00 )x

xx2x 020

; lo que se

traduce en . Observe que el valor real es:)xx( 20

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemtica Aplicada152)x(02020 xx2x)xx( + Figura 18


16/21



2)x

x xx00

x x

Al realizar la aproximacin por diferenciales de la cantidad que representa el rea del

cuadrado de cuyo lado mide , se obtiene que sta es . Con esto el rea se estar

aproximando por el rea del cuadrado cuyo lado mide x y la suma de las reas de los rectngulos cuyos

lados miden y . La aproximacin no considera el rea del cuadrado cuyo lado mide

0x( +2x20 +x0

0x . El reade este ltimo cuadrado representa en realidad el error cometido en la aproximacin.2)x(

)0La frmula predictiva xx(f)x(f)xx(f 00 para 0x aproxima el valor de )xx(f 0 por elvalor que toma la variable y en la ecuacin de la recta tangente en el punto cuando sta se

evala en x . Para visualizar esto resolvamos la siguiente situacin problemtica:

))x(f, 00x(A

x0

13. Utilice la frmula de aproximacin por diferenciales para calcular valores aproximados de

las races 90 , 99 , 108 , 117 , 126 y 135 . Encuentre en cada caso el valor exacto decada raz que da la ClassPad y el error cometido en cada aproximacin.

Solucin a la situacin problemtica planteada:

Observe primeramente que 10390 = , 11399 = , 123108 = , 133117 = , 143126 = y153135 = . Para encontrar aproximaciones a los valores de estas races consideraremos la funcin

definida por x3 90 = e incrementos para)x(f , el punto inicial x 6,5,4,3,2,1x = . Haremos uso de laAplicacin Principal de la ClassPad para realizar los clculos y establecer comparaciones entre losvalores exactos que proporciona la calculadora y los valores aproximados obtenidos.


(79) Toque para acceder a la aplicacin Principal.

(80) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].(81) Toque [Adm. de variable] [Main] [Main] [Todo] [Seleccionar

todo][Edit] [Borrar] [Acep].

(82) Toque [Cerr.] [Cerr.] para regresar al rea de trabajo.

(83) Active el teclado virtual.

Calcularemos las aproximaciones realizando un clculo iterativo.Para ello definiremos en primer trmino la funcin de trabajo

x3)x = .(f(84) Toque [Accin] [Comando] [Define].

(85) Toque .

Ahora utilizaremos una variable para asignar los valores de losincrementos x . Iniciaremos en cero el primer incremento.

(86) Toque .

Calcularemos ahora el valor real de )x9(f :(87) Seleccione en la lnea de entrada anterior x y toque .

(88) Ubique el cursor en la lnea de entrada vaca y toque la secuencia de

botones: .

Figura 19

Figura 20


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Prof. Robinson Arcos 17 Departamento Matemtica Aplicada

Se obtiene obviamente el valor de 93 9 =)9(f = Calcularemos ahora el valor aproximado de )x9(f :

(89) Toque

.

Se obtiene en este caso nuevamente 9)9(f = ya que 0x = . Para obtener el error en la aproximacin debemos calcular la

diferencia en valor absoluto x)x( 0 . Paraello ejecute las siguientes instrucciones:

f)x(f)xx(f 00 (90) Seleccione en la penltima lnea de entrada )x9(f y toque .(91) Ubique el cursor en la lnea de entrada vaca y toque

.

Se obtiene en este caso el valor0 dado que no hay aproximacin.

Para calcular los valores aproximados de las races realizaremos un

clculo iterativo para 6,5,4,3 . Esto se realiza haciendo

uso del historial de clculo y la actualizacin del valor asignado ax .

,2,1x =

(92) Desactive el teclado virtual.

(93) En la barra de estado que se encuentra al final de la pantalla toque[Estndar] para configurar la calculadora en modo [Decimal].

(94) Ubique el cursor en la lnea de entrada donde se encuentra lainstruccin x0 . Borre nicamente el valor0oprimiendo ycmbielo por el valor1oprimiendo la tecla del teclado plstico.

(95) Oprima ahora la tecla para recalcular el historial de clculo.

Se obtiene que 486832981.910 =3 y el valor aproximado es5.910 con un error absoluto de 0.0131670195.3

Realice de manera anloga los clculos para 6,5,4,3,2x = ycomplete la tabla que se da a continuacin.

Figura 21

Figura 22

0x x xx0 )xx(f 0

Valor exacto de Valor aproximado de)xx(f 0 Error absolutocometido en laaproximacin

9 0 9 9 9 0

9 1 10 9.486832981 9.5 0.0131670195

9 2 11

9 3 129 4 13

9 5 14

9 6 15

Tabla 3

Observar, en la columna de los errores absolutos, que la aproximacin desmejora a medida que elvalor del incremento va aumentando (se aleja de cero). Esto se debe a que se est tomando comoaproximacin a cada raz el valor que toma la variable y en la recta tangente y no el valor sobre la curva.

x


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Facultad de Ingeniera UCV Clculo I Prctica 9El problema tambin puede visualizarse y calcularse en la Aplicacin Geometra.


(96) Toque para acceder a la aplicacin Geometra.

(97) Toque [Arch] [Nuevo] [Acep.].(98) Toque [Dibuj] [funcin] [f(x)].

(99) En el cuadro de dilogo toque .

Configuremos ahora la ventana de visualizacin.

(100) Toque [Ventana vis.].

(101) En el cuadro de dilogo configure los siguientes parmetros:

6:mnx 18:mxx 6:; ; medy

(102) Toque .

(103) Toque ahora [Dibuj] [Punto].

(104) Oprima la tecla para realizar un alejamiento.(105) Marque el punto )12,16(A que est sobre la grfica de f.

(106) Toque y luego toque el punto A y la grfica de f paraseleccionarlas.

(107) Toque [Edit] [Animacin] [Agregar animacin].

(108) Toque [Edit] [Animacin] [Editar animaciones].

(109) En el cuadro de dilogo configure los siguientes parmetros:

Pasos: 7 ; ;


9:t0 15:t1

(110) Toque la pantalla de la grfica y corrobore los parmetrosintroducidos. Su pantalla debe presentarse como la de la Figura 23.

(111) Toque para maximizar la pantalla.

(112) Oprima la tecla para realizar un acercamiento.

(113) Toque [Dibuj] [Construir] [Tangente a curva].

(114) Toque ahora el punto )9,9(B que est sobre la grfica de f.

Aparece la tangente a la curva en el punto B.

Construyamos ahora la recta vertical que pasa porA:

(115) Toque [Dibuj] [Recta] y luego toque los puntos )12,16(A y

)0,16(C .

(116) Toque y luego toque nicamente la recta tangente y la recta

vertical para seleccionarlas.(117) Toque [Dibuj] [Construir] [Interseccin].

Aparece el punto D de interseccin.

(118) Cancele la seleccin tocando cualquier punto de la pantalla dondeno aparezcan objetos.

(119) Toque para acceder al cuadro de medidas.

(120) Toque el punto A y la recta vertical para seleccionarlos.

(121) Toque y el icono , al aparecer la palabra Si en el cuadro de

Figura 23

Figura 24

Figura 25


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Prof. Robinson Arcos 19 Departamento Matemtica Aplicada

medidas toque el botn de verificacin para fijar el punto A a larecta vertical.

(122) Cancele la seleccin y toque la recta vertical. Toque y el icono

, al aparecer el valor 270 en el cuadro de medidas toque el

botn de verificacin para fijar la medida.

(123) Toque para regresar a la barra de herramientas.(124) Toque ahora [Edit] [Animacin] [Reproducir (repetir)].

Mientras se realiza la animacin observe que cada uno de los 7pasos de la animacin, el punto A recorre los puntos de abscisas

15,14, . Por otra parte, las ordenadas del punto

A en movimiento, nos da los valores exactos de la funcin (valoresexactos de las races) mientras que las ordenadas del punto D enmovimiento, nos da los valores aproximados de la funcin (valores

aproximados de las races). Adems la longitud del segmento

13,12,11,10,9x =

AD nos da los errores absolutos cometidos en las aproximaciones.

Construyamos ahora una tabla con los valores generados durante laanimacin:

(125) Toque [Edit] [Animacin] [Parar] para detener la animacin.

(126) Toque para acceder al cuadro de medidas.

(127) Toque el punto A para seleccionarlo.

(128) Toque el botn para visualizar en la tabla de animacin losvalores de la variable x y los valores exactos de las races.

Aqu la columna x nos da los valores que toma la variable x y lacolumna y los valores exactos de las races (Figura 27). Comparecon los valores anotados por usted en la Tabla 3.

(129) Toque la pantalla de la grfica y luego toque para

maximizarla.

(130) Toque el punto D para seleccionarlo. Toque luego .

Aparecen las coordenadas de los puntos D obtenidos en laanimacin.

(131) Toque la columna x (que se ha repetido) para seleccionarla.

(132) Toque [Edit] [Borrar] para eliminarla.

Aparecen ahora tres columnas (Figura 28), la ltima contiene losvalores aproximados de las races. Compare con la Tabla 3.

(133) Toque nuevamente la pantalla de la grfica y luego toquepara maximizarla.

(134) Toque ahora los puntos A y D para seleccionarlos. Toque .

(135) Toque la pantalla de la tabla y luego toque para maximizarla.

(136) Deslice a la derecha la barra de desplazamiento.

Aparece para cada paso de la animacin la distancia entre estosdos puntos. La columna Distancia (Figura 29) nos da los erroresabsolutos cometidos en las aproximaciones. Compare con losvalores de la Tabla 3.

Figura 26

Figura 27

Figura 28

Figura 29


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En la actividad anterior hemos visto algunos aspectos importantes: en primer trmino se ha mostradoque la diferencial dy se usa para estimar y cuando x es muy pequeo en comparacin con las

magnitudes de y . Esto es,xx0 0x dyx)x(f))xy 00 x(f 0x(f = cuando . Por otraparte la diferencia nos el error que se ha cometido en la aproximacin. Esta diferencia puede ser

positiva o negativa, e incluso

0x dyy

y

y dy pueden ser positivos o negativos. Para el caso en que estos

diferenciales sean positivos, si , la curva se encontrar por encima de la tangente. Si

, ser la curva la que se encontrar por debajo de la tangente; que es lo que ocurre en elejemplo precedente. A veces interesa calcular el error en trminos absolutos y por ello se calcula

0dyy >0dyy

calculo i práctica 9 con la calculadora classpad 330

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