cálculo diferencial e integral 2 -unidade 7- integral dupla - conceitos e propriedades
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Integral Dupla - Conceitos e PropriedadesTRANSCRIPT
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Ensino Superior7. Integrais DuplasConceitos e PropriedadesAmintas Paiva AfonsoClculo 2
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Integrais DuplasIntegral dupla uma extenso natural do conceito de integral definida para as funes de duas variveis. Sero utilizadas para analisar diversas situaes envolvendo clculo de reas e volumes, determinao de grandezas fsicas e outros.
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f :IR2IR contnua noretngulo R = [a,b] x [c,d]ybaxdcRIntegrais Duplas
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f 0 em RQ = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z f(x,y)}xyzQRVolume de Q = V = ?Integrais Duplas
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Partio de RxixbaxdcRyx1x2xi-1y1y2yj-1yjyRij(xij , yij)Integrais Duplas
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V = xyzQRf (xij , yij) (xij , yij )VijIntegrais Duplas
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Integral Dupla de f sobre o retngulo RIntegrais Duplas
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Integrais IteradasIntegrais Duplas
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Integrais Duplas em Regies Genricas1) Regies inscritas em faixas verticaisD = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }xy0bay = g1(x)y = g2(x)DIntegrais Duplas
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Integrais Duplas em Regies Genricas1) Regies inscritas em faixas horizontaisxy0dcx = h1(y)x = h2(y)DIntegrais DuplasD = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
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Propriedades das Integrais Duplas Integrais Duplas
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Massa e Centro de Massa de uma Lmina(x,y) : densidade no ponto (x,y)D : local ocupado pela lminam : massa da lminaIntegrais Duplas
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Centro de Massa : (X,Y)onde X = My/m e Y = Mx/mpara:eIntegrais Duplas
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Exemplo 1
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Exemplo 2dx
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Exemplo 3
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Exemplo 4
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Exemplo 5
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Exemplo 6
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Exemplo 7Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].
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Exemplo 8Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 y 1, 0 x y}D = {(x, y) / 0 x 1, x y 1}
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Exemplo 8
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Exerccios3) Integrar a funo f(x,y), considerando o domnio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .
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Propriedades das Integrais Duplas
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Integrais Dupla para Domnios No Retangulares Mltiplo constante:
Soma e diferena:
Aditividade: (R = R1 + R2)
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Clculo de Integrais DuplasSef(x,y) contnuano retngulo R = [a, b] [c, d], a integral duplaigualaintegral iterada.xyfixofixo
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Clculo de Integrais Duplasabxyh(x)g(x)xASef(x,y) contnuaemA ={(x, y) / xem [a,b]eh(x)y g(x)}, a integral duplaigualaintegral iterada.
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Clculo de Integrais Duplasdxych(y)g(y)yASef(x,y) contnuaemA ={(x, y) / yem [c,d]eh(y)x g(y)}, a integral duplaigualaintegral iterada.
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Clculo de Integrais Duplas
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Integrais Duplas para Domnios No Retangulares
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Clculo de Integrais Duplas
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Integrais Dupla para Domnios No Retangulares
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Clculo de Integrais Duplas
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Integrais Iteradas Definio
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ExercciosCalcule , onde D a regio limitada pelas parbolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
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ExercciosResposta: 36
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Exerccios Calcule , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela parbola y2 = 2x + 6.
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Exerccios Calcule , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela parbola y2 = 2x + 6.
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Exerccios
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Exerccios
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Exerccios
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Exerccios
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Exerccios
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Exerccios
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Exerccios
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Exerccios
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Valor Mdio de f(x,y) sobre o domnio R
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Valor Mdio de f(x,y) sobre o domnio RExemplo: Calcular o valor mdio da funo f(x,y) = sen(x + y), no retngulo 0 x e 0 x /2.