calculo-dif benjamin garza olvera

C Co ol le eg gi io o d de e E Es st tu ud di io os s C Ci ie en nt t í íf f i i c co os s y y T Te ec cn no ol ló óg gi i c co os s d de el l E Es st ta ad do o d de e T Ta ab ba as sc co o Organismo Descentralizado

Cálculo FDA03 1

C C CO O OL L LE E EG G GI IIO O O D D DE E E E E ES S ST T TU U UD D DI IIO O OS S S C C CI IIE E EN N NT T TÍ ÍÍF F FI IIC C CO O OS S S Y Y Y T T TE E EC C CN N NO O OL L LÓ Ó ÓG G GI IIC C CO O OS S S

D D DE E EL L L E E ES S ST T TA A AD D DO O O D D DE E E T T TA A AB B BA A AS S SC C CO O O

DIRECCION ACADEMICA

SECUENCIA DIDÁCTICA

CÁLCULO

Enero 2008


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DIRECTORIO

Director General M. V. Z. Fernando Oropeza Correa

Director Académico M.E. Elmer Jiménez Ricardez

Departamento de Planes y Programas Lic. Ma. de la Paz Sarmiento del Ángel

Elaboraron Ing. Francisco Javier Velazquez Medellín

Lic. Carmen López Pérez

Ing. Daniel Hernandez Julian

Ing. Eduar Domínguez Condado

Lic Sebastian Sanchez Alvarez

Ing. Carlos Manuel Hernández Hernández

Lic. José Alberto Cruz López

Asignatura: Cálculo

Semestre: Cuarto

Este material es vigente a partir de Enero del 2008 Se autoriza su reproducción parcial o total, previa Autorización por escrito del CECyTE Tabasco.

ESTE PROGRAMA ES SOLO PARA USO DEL DOCENTE


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REFLEXIÓN INICIAL

Maestro ¿y esto para que sirve?... Es la pregunta que muchas veces se oye en un salón de clase de matemáticas. El siguiente trabajo trata de colaborar a que la enseñanza de

las matemáticas sea cada vez mejor, a que los que las estudian se convenzan de que el

esfuerzo que tiene que realizar para aprenderlas no es solamente para pasar de

semestre, sino que los procesos de pensamiento que enfrentan, las habilidades que

adquieren y sobre todo la actitud que deben tener frente a los problemas es útil en su

formación, en su desarrollo profesional, incluso en su vida cotidiana.

Por saber matemáticas entendemos participar del quehacer matemático; es decir, tener

la habilidad para resolver problemas, conjeturar, hacer demostraciones. A que los

alumnos puedan tener a la mano respuestas a la pregunta que hacemos ¿y esto para que sirve?...

El sentido numérico distingue a los estudiantes maduros de matemáticas de los novatos. Todos los estudiantes de cálculo cometen errores numéricos al resolver problemas, pero

el que tiene sentido numérico reconoce una respuesta absurda y vuelve a hacer el problema. Para alentar y desarrollar esta importante habilidad, se recomienda un proceso

que llamamos estimación, es decir, llegar a respuestas aproximadas a las preguntas.


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PRESENTACIÓN

Una de manera de concebir las matemáticas y su enseñanza, conduce al maestro a la elaboración de una estrategia que contiene conceptos bien definidos y procedimientos descritos con precisión, que pueden aplicarse a la resolución de problemas; la exposición de este método frente a los estudiantes se convierte, así, en la base fundamental de la práctica docente está surge de la convicción de que los estudiantes tendrán acceso a los contendidos matemáticos siguiendo con cuidado la exposición del maestro y podrán resolver problemas similares a los que se resuelven en clase.

Como consecuencia de esta estrategia de enseñanza los estudiantes asocian las matemáticas con la certeza y la identifican como la disciplina en la cual pueden obtener respuestas correctas rápidamente. En resumen las ideas adquiridas por los estudiantes sobre las matemáticas escolares en los siguientes términos:

• La práctica de estudiar matemáticas se relaciona muchas veces con el recordar y aplicar la regla correcta a la pregunta de los maestros y la veracidad de las respuestas se determinan con la ratificación por parte de los maestros o el libro de texto. Estas ideas acerca de las matemáticas y el significado de su aprendizaje se adquieren a través de los años al observar, escuchar y aplicar actividades matemáticas.

• Los maestros muestran a lo estudiantes solamente los movimientos correctos al resolver un problema. Es decir, seleccionan el método adecuado, trabajan correctamente las operaciones y obtienen una solución correcta. De esta forma, los estudiantes piensan que resolver problemas es seleccionar una serie de trucos que son solamente accesibles a unos cuantos.

Uno de los objetivos de la subsecretaría de educación e investigación tecnológicas es promover, apoyar e impulsar el trabajo creativo de sus alumnos y docente, principalmente con la elaboración de libros, manuales y demás apoyos que fortalezcan el proceso de enseñanza – aprendizaje, así como el de la construcción del conocimiento.

Para la elaboración de la secuencia de Cálculo se ha partido de las necesidades que requiere las áreas de ingeniería, ciencias exactas, entre otras y del análisis de los programas vigentes, tomando de estos los conceptos fundamentales y subsidiarios que permitan con su desarrollo el logro del propósito general del campo de las matemáticas consistentes en que:

El estudiante, a partir de la apropiación de los contenidos fundamentales de las matemáticas, desarrolle habilidades del pensamiento, comunicación y descubrimiento que les permitan usarlas en la resolución de problemas.


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El programa de la asignatura de Cálculo, bajo la guía conciente de los docentes en las aulas, puede contribuir a formar estudiantes que sepan:

• Aprender a conocer. • Aprender a ser. • Aprender a hacer. • Aprender a convivir con sus semejantes.

Por lo tanto, la función académica del Instructor trae consigo una serie de tareas a desempeñar como son:

• Fomentar el autoaprendizaje. • Sugerir formas de enfrentar el aprendizaje. • Indicar al estudiante las actividades de aprendizaje que posibilitarán el logro del

objetivo propuesto.

Esta obra esta organizada en tres unidades, cuyo contenido puede describirse como sigue:

1. La primera unidad aborda problemas que introducen a la notación, graficas, tabulación y operaciones con funciones. Al mismo tiempo inducen el concepto de función, sus operaciones y composición de los mismos.

2. En la segunda unidad se proponen actividades para determinar los tipos de funciones, algebraicas y trascendentes, así como sus respectivas representaciones gráficas.

3. En la tercera unidad se introduce al alumno al concepto de límites de funciones, su existencia y no existencia; se hace también un análisis de sus límites laterales, al infinito y en el infinito. Posteriormente se aborda el concepto de derivada de una función para que posteriormente se analicen diversas aplicaciones de ellas, como son los máximos y mínimos, rapidez de variación, no olvidando el concepto de velocidad y aceleración. Finalmente una introducción a la segunda parte del cálculo “cálculo integral”.

Ponemos este material de consulta y apoyo didáctico en manos de nuestros maestros y maestras y, especialmente, en los alumnos y alumnas que se forman en los planteles del subsistema. Creemos que les será de gran utilidad en su formación académica.


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PROGRAMA DE ESTUDIO

CÁLCULO

Unidad I. FUNCIONES

1.1.Dominio, rango y notación.

1.2.Tabulación.

1.3.Gráficas.

1.4.Operaciones con funciones.

Unidad II. TIPOS DE FUNCIONES

2.1. Funciones algebraicas.

2.2. Funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales).

2.3. Gráficas de funciones trascendentes.

2.4. Modelos matemáticos.

Unidad III. LIMITES

3.1. Límites de funciones algebraicas.

3.2. Límites de funciones trascendentes.

3.3. Derivada.

3.3.1 Interpretación geométrica de la derivada.

3.3.2. Resolución de la derivada.

3.3.3. Regla de la cadena.

3.3.4. Fórmulas de la derivada.

3.4. Comportamiento de la función.

3.4.1. Funciones crecientes y decrecientes.

3.4.2 Máximos y mínimos.

3.4.3. Puntos de inflexión.

3.5. Integral.

3.5.1. Definición.

3.5.2. Integración de funciones.


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MARCO CONCEPTUAL

CALCULO

Funciones Tipos de funciones Limites

•Dominio, contradominio y notación.

•Tabulación. •Gráficas. •Operaciones con funciones.

•Funciones algebraicas.

•Funciones trascendentes (trigonométricas y exponenciales).

• Límite de funciones algebraicas.

• Límite de funciones trascendentes.

•Derivada. o Interpretación geométrica de la derivada

o Resolución de derivada. o Regla de la cadena. o Fórmulas de derivación.

• Integral. o Definición. o Integración de funciones.

Categorías: Diversidad, espacio y tiempo.

Valores: Libertad, espacio y tiempo.

Procedimentales: Interpretar, clasificar, obtener, demostrar, formular, describir, analizar, relacionar, relacionar, identificar, graficar, comprobar.

•Comportamiento de la función. o Funciones crecientes y decrecientes.

o Máximos y mínimos. o Puntos de inflexión.


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PROPOSITO DE LA ASIGNATURA

Con el propósito de fortalecer el trabajo académico de los profesores que coadyuve a la formación de los estudiantes, la academia de matemáticas y la dirección general se dio a la tarea de formar comisiones de trabajo integrada por docentes para que al final del semestre, los alumnos desarrollen la capacidad de análisis lógico, manejo y aplicación de las funciones mediante la resolución de problemas reales e imaginarios a través de modelos matemáticos en las diversas áreas de la ciencia y tecnologías.

Además cada alumno tendrá la capacidad de manejar adecuadamente las fórmulas para resolver problemas de límites y derivadas, aplicando métodos, procedimientos y recursos que faciliten el aprendizaje del alumno, despertando en él o en ella, la motivación de continuar explorando el inmenso campo del cálculo.

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Al finalizar el curso el alumno aplicará la capacidad de análisis lógico en el estudio de todo tipo de funciones algebraicas y trascendentes, mediante la aplicación de métodos algebraicos que ele permitan comprender los modelos matemáticos utilizados en las diversas áreas de la ciencia y la tecnología.

PRODUCTO ESPERADO

El éxito de esta asignatura empieza con un buen dominio del álgebra, y una de las metas de esta obra es ayudar a los estudiantes a desarrollar este dominio. Otra de las metas consiste en indicarles a los estudiantes como puede usarse el cálculo diferencial para hacer modelos de problemas reales. Aun cuando incluimos aquí un repaso de los conceptos básicos del cálculo, suponemos que la mayoría de los estudiantes dominan lo fundamental.

La comprensión y aplicación del cálculo mediante el desarrollo de modelos matemáticos utilizados en las diversas áreas de la ciencia y la tecnología para resolver problemas que nos afectan diariamente.

Los autores de esta obra espera la aceptación de este, así como agradecerá sus sugerencias y criticas para el mejoramiento del presente siendo estas bienvenidas y consideradas para la próxima revisión; agradeciendo de antemano a la dirección académica y el plantel No. 7 por la ayuda prestada para realización de esta obra.

METODOLOGIA

Nuestro objetivo con este texto mantiene al cálculo concentrado en unas cuantas ideas básicas en torno de palabras, fórmulas y gráficas. La solución de conjuntos de problemas crucial para desarrollar las habilidades matemáticas no debe sobre ponerse al objetivo de comprensión del cálculo.

Que los estudiantes trabajen en forma colectiva de tal manera que sean personas criticas y creativas desarrollando, los valores de solidaridad y justicia para que estos sean parte de su vida y los lleven a cabo en la solución de situaciones reales en esta sociedad globalizada.

El funcionamiento del proceso enseñanza – aprendizaje depende de las estrategias implementadas por el docente del interés del alumno.


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EVALUACION

EVIDENCIAS PONDERACIÓN Desempeño 10 %

Producto 40 %

Conocimiento 30 %

Actitud 20 % Total 100%


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SUGERENCIAS PARA TRABAJAR LA ASIGNATURA

Esta asignatura, Cálculo consta del programa, una secuencia didáctica y sus materiales básicos de estudio.

En el programa se realiza la presentación de la asignatura, el propósito, el producto esperado así como su metodología y sus criterios de evaluación.

La secuencia didáctica, la cual se divide en diferentes aspectos:

A. Encabezado: En este de especifica la asignatura, el nombre del Instructor, la unidad, tema y subtemas a tratar.

B. Motivación: Son actividades que debe realizar el Instructor para despertar interés en el alumno para el estudio de los temas.

C. Apertura: Este se realiza para comenzar la secuencia didáctica y permite explorar que tanto se sabe de la temática que se tratará en el objeto de estudio.

D. Desarrollo: Son acciones que facilitan y permiten el aprendizaje de los contenidos temáticos revisados en la unidad. Estas actividades de aprendizaje son realizadas en las sesiones presenciales y no presénciales.

E. Cierre: Son procesos que se emplean para concluir los contenidos del aprendizaje adquirido.

F. Métodos y Técnicas de enseñanza: Son actividades de enseñanzaaprendizaje que se llevan a cabo dentro del aula para facilitar el aprendizaje de los educandos.

G. Material y equipo didáctico: Son todos los recursos materiales que se utilizan para el desarrollo de las actividades.

H. Actividades previas para el alumno: Son las que se realizan antes de tener contacto con toda lectura o contenidos de la unidad.

I. Actividades del maestro: Son las actividades que desarrolla el Instructor para la realización de la secuencia didáctica.

J. Bibliografía: Son todas aquellas fuentes de información donde se consulta, se complementa y se extrae la información requerida.


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CUADRO PROGRAMÁTICO DE SESIONES PRESENCIALES Sesión Contenido Actividades

Sesiones correspondientes a la Unidad I Del 05 al 29 de Febrero del 2008.

Evaluación del 1 er parcial del 03 al 07 de Marzo del 2008.

Periodo de Recuperación: 10 al 14 de Marzo del 2008.

Hrs:

FUNCIONES

1.1 Dominio, rango y notación. 1.2 Tabulación. 1.3 Graficas. 1.4 Operaciones con funciones.

TIPOS DE FUNCIONES

2.1 Funciones algebraicas.

Funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales).

• Establecer el concepto de relación mediante la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.

• Identificar a la función como un caso particular de relación. Establecer la nomenclatura propia de las funciones y conceptos relacionados a ellas como: variables constantes, intervalos, dominio, rango y regla de asignación.

• Mediante una investigación bibliográfica obtener la clasificación de las funciones en: algebraicas y trascendentes.

• Distinguir en las funciones algebraicas las: explicitas, implícitas, enteras, racionales, irracionales.

• Analizar como un caso especial las funciones implícitas.

• Calcular el dominio, el rango y representar gráficamente las funciones.

• Obtener las graficas de la función logarítmica y exponencial.

• Dadas dos o más funciones determinar la función: suma, diferencia, producto, cociente, composición y obtener el dominio y rango correspondientes.

Sesiones correspondientes a la Unidad II Del 01 al 18 de Abril del 2008.

Evaluación del 2° parcial del 21 al 25 de Abril del 2008.

Periodo de Recuperación: Del 28 al 30 de Abril del 2008

Hrs:

LÍMITES

3.1 Límites de funciones algebraicas.

3.2 Límites de funciones trascendentes.

• Introducir mediante situaciones geométricas que involucren procesos infinitos, la idea intuitiva de límites.

• Mediante una investigación bibliográfica encontrar procesos de aproximación infinita que permita deducir geométricamente la idea intuitiva de límite de una variable y límite de una función.

• Aplicando las propiedades de límites para la suma y diferencia, productos, cocientes y radicales, calcular el límite de funciones.

• Analizar los casos en los que la función presenta indeterminaciones con respecto al límite en dichos valores.


Cálculo FDA03 XIII

• Analizar y diferenciar gráficamente los casos de límites al infinito y aquellos cuyo límite es infinito.

• A partir de funciones propuestas, analizar sus gráficas y deducir el concepto de continuidad.

• Identificar a las funciones continuas como la clase básica de funciones para las operaciones de cálculo. Identificar las diferentes clases de funciones.

• Realizar una investigación bibliográfica sobre funciones trascendentes.

• Graficar y operar con funciones trascendentes.

Sesiones correspondientes a Unidad III

Del 06 al 30 de Mayo del 2008.

Evaluación del 3 er parcial del 02 al 06 de Junio del 2008.

Periodo de Recuperación: Del 09 al 13de Junio del 2008

Hrs:.

3.3 Derivada. 3.3.1 Interpretación geométrica

de la derivada. 3.3.2 Resolución de la derivada. 3.3.3 Regla de la cadena. 3.3.4 Fórmulas de la derivada.

3.4 Comportamiento de la función. 3.4.1 Funciones crecientes y

decrecientes. 3.4.2 Máximos y mínimos. 3.4.3 Puntos de inflexión.

3.5 Integral. 3.5.1 Definición. 3.5.2 Integración de funciones.

• Mediante una investigación bibliográfica obtener la información de los orígenes del cálculo y evolución del mismo.

• Mediante ejemplos propuestos discutir los conceptos de incremento de una variable, incremento correspondiente de una función y razón de cambio promedio.

• Interpretar geométricamente la rapidez de variación.

• Aplicando el concepto de límite, interpretar geométricamente a la razón de cambio promedio, como la pendiente de la tangente en un punto, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

• Dadas dos funciones en general derivables obtener mediante la definición la derivada de: suma y diferencia; producto y cociente; potenciación y radicación n – ésima para el caso de alguna de ellas.

• Calcular derivadas de funciones algebraicas diversas utilizando las fórmulas fundamentales. Obtener la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, interpretándola como la derivada de la función.

• Dada una función obtener las ecuaciones de las rectas tangentes y normales en un punto determinado.


Cálculo FDA03 XIV

• Identificar funciones propuestas como composición de funciones y aplicar la regla de la cadena para obtener su derivada.

• Dada la ecuación de una curva, en forma implícita obtener la derivada.

• Aplicando la derivación implícita obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.

• Interpretar a la derivada como una función y obtener derivadas sucesivas. Usar las diferentes notaciones.

• Analizar la función logarítmica gráficamente y la notación que la identifica de acuerdo con su base.

• Obtener y analizar los puntos de inflexión de una función.

• Investigación bibliográfica sobre el concepto y aplicaciones practicas del cálculo integral.


Cálculo FDA03 XV

UNIDAD I FUNCIONES


Cálculo FDA03


Tema integrador Cambio o variación en diversos sectores de la sociedad (Económico, Salud e Industrial.)

Unidad I Funciones

Tema Dominio, rango y notación.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno determinará el dominio y rango de una función mediante ejemplos y ejercicios de tabulación asignando correctamente los valores y representados geométricamente.

SECUENCIA DIDÁCTICA No. 1 ACTIVIDAD DESARROLLO

1. Motivación

Aplicar la técnica de ¿Cómo soy?, en la cual consiste en lo siguiente:

• Se le proporciona al alumno una tarjeta bibliográfica donde se le pide que anote la cualidad que lo define y la deberá colocar en una urna que el facilitador traerá, puede ser una caja grande o un recipiente donde se puedan colocar dichas tarjetas. (Tiempo de 20 minutos).

• Posteriormente el facilitador sacara una tarjeta y entre todos identificaran de quien se trata, puede sacar unas diez tarjetas como mínimo. (Tiempo de 30 minutos).

2. Apertura

Antes de iniciar el tema, desarrollaras por escrito cual es tu idea acerca de los siguientes conceptos:

1. ¿Qué es un conjunto? 2. ¿Qué entiendes por el concepto relación? 3. ¿Que entiendes por función? 4. ¿Qué es notación?

En el siguiente diagrama completa la relación dada, uniendo los puntos por medio de una flecha, por ejemplo el primero, es del punto 2 asociado con el punto 4.

2

4

6

8

4 163664


Cálculo FDA03

ACTIVIDAD DESARROLLO

3. Desarrollo

1. Solicitar al alumno que investigue acerca de las siguientes definiciones: conjunto, relación, dominio, contradominio ó rango.

2. Realizar una grafica de líneas, donde en el eje X identifique los meses y en el eje Y el número de alumnos que nacieron en cada mes.

3. Del ejercicio anterior une los puntos y relaciona la curva obtenida con una ecuación matemática.

4. En una plenaria se dará respuesta a las interrogantes antes planteadas. 5. Escribe tus respuestas a las interrogantes en tu cuaderno y redacta una

conclusión de lo visto en clases, la cual deberás entregar al día siguiente. 6. Se resolverán ejercicios relacionados con el tema.

4. Cierre

1. El alumno elegirá ejercicios y explicara el método de solución, pasando al pintarron.

2. Individualmente graficará en el plano cartesiano funciones algebraicas apoyándose en la tabulación correspondiente.

3. Se realizara una retroalimentación para despejar las dudas o complementar más la información del tema.

SUGERENCIAS METODOLÓGICAS

Métodos y técnicas de enseñanza

• Técnica de ¿Cómo soy?, trabajos individuales, técnica expositiva. • Integrar equipos para socializar las estrategias. • Seleccionar una estrategia por equipo para exponerla al grupo. • Una vez seleccionada la estrategia de solución se expondrán ante el

grupo, se identificará las coincidencias y diferencias.

Material y equipo Didáctico

• Fichas bibliográfica, pintarrón, marcadores, información del tema, hojas blancas, rotafolios, papel bond, material impreso (foto copias y libros)

Evidencias del alumno

• Definiciones: conjunto, relación, dominio, contradominio ó rango. • Graficas de líneas • Ejercicios resueltos

Actividades previas para el alumno

• Investigar el tema mencionado. • Elaborar un resumen. • Cuadro sinóptico. • Preparar el material solicitado.

Actividades del maestro

• Proporcionarle al alumno las fichas bibliográficas, organizar la clase para que se realice de acuerdo a lo planeado.

• Motivar y supervisar los trabajos. • Dar instrucciones generales para las actividades a realizar. • Coordinar la presentación de los trabajos. • Realizar la retroalimentación. • Aclarar dudas.


Cálculo FDA03

Bibliografía

1. Cálculo diferencial. Samuel Fuenlabrada Editorial, Mc Graw Hill.

2. Matemáticas IV Pedro Salazar Vázquez. Editorial, Nueva Imagen.

3. Calculo 4000 problemas con respuestas. Víctor M. González Cabrera Editorial, Progreso.

4. Calculo diferencial e integral. Anthony Granville William. Limusa.

5. Cálculo diferencial. Fuenlabrada Samuel. Mc. GrawHill.

6. Cálculo diferencial. Garza Olvera Benjamín. Colección DEGETI.1998.

7. Cálculo diferencial. Orduño Vega Hipólito. Colección DEGETI.2002.


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Tema integrador: Cambio o variación en diversos sectores de la sociedad (Económico, Salud e Industria.

Unidad I Funciones

Tema •Tabulación. •Gráficas.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno graficará funciones algebraicas apoyándose en la tabulación correspondiente que relaciona la variable independiente y dependiente.

SECUENCIA DIDÁCTICA NO. 2


1. Motivación

• Asigne los valores 0, 1, 2, 3 y 4 a x en la función 2 2 − = x y y completa la tabla siguiente.

x 2 2 − = x y 3 2 1 0 7 1 1 2 3

• ¿Qué elementos se encuentran en el dominio? • ¿Qué elementos conforman el contradominio ó rango?

2. Apertura

• Intente realizar la gráfica de las siguientes funciones: a) 1 2 − = x y b) 2 x y =

3. Desarrollo • Identifica los pasos para realizar la grafica de una función • Resolver ejercicios relacionados con el tema. • Revisar las gráficas obtenidas.

4. Cierre • Presentación de los trabajos realizados de forma individual.

• Retroalimentación del facilitador.


Cálculo FDA03



• Integrar equipos para socializar las estrategias. • Seleccionar una estrategia por equipo para exponerla al grupo. • Una vez seleccionada la estrategia de solución se expondrán ante el



• Hojas blancas, rotafolios, papel bond, marcadores, material impreso (foto copias y libros).


• Tabulación completada del ejercicio de motivación. • Pasos para realizar una grafica. • Graficas realizadas en clases.




• Selección del material. • Motivar y supervisar los trabajos. • Dar instrucciones generales para las actividades a realizar. • Coordinar la presentación de los trabajos. • Realizar la retroalimentación. • Aclarar dudas.

Bibliografía


2. Matemáticas IV. Pedro Salazar Vázquez. Editorial, Nueva Imagen.

3. Guía completa de matemáticas. Tomo II Editorial, Reymo.




Cálculo FDA03


7. Cálculo diferencial. Hipólito Orduña Vega. Colección DEGETI.2002.


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Unidad I Funciones

Tema Operación con funciones.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno realizará las cuatro operaciones fundamentales con funciones.



1. Motivación

Dada las siguientes funciones: ( ) 2 2 + + = x x x f Y ( ) 1 3 + = x x g .

Encontrar la suma, la resta, el producto y el cociente.

2. Apertura

• Exprese el área de un círculo como una función de su diámetro.

• Exprese el área de un triángulorectángulo en función de su altura h siendo ésta el doble de su base.

• Realiza la suma del área del circulo con el área del triangulorectángulo

3. Desarrollo

• Escoger dos funciones y expresar la composición entre ellas.

• Del ejercicio de apertura realice el cociente de las funciones.

• Resolver diversos ejercicios relacionados con la operación de funciones.

4. Cierre • Presentación de problemas planteados por el alumno.

• Retroalimentación del facilitador.


Cálculo FDA03






• Hojas blancas, rotafolios, papel bond, marcadores, material impreso (foto copias y libros).


• Ejercicio de motivación resuelto • Ejercicio de apertura resuelto • Ejercicios resueltos propuestos por el facilitador





Bibliografía




4. Diferencial e integral. Anthony Granville William. Limusa.




Cálculo FDA03

UNIDAD II TIPOS DE FUNCIONES


Cálculo FDA03



Unidad II Tipos de funciones

Tema •Funciones algebraicas.

Objetivo: El alumno comprenderá y diferenciara las funciones algebraicas.



1. Motivación

• Dada la siguiente lista de funciones determina de acuerdo a tu conocimiento las que sea algebraicas y realiza su grafica.

Función Clasificación x y = 3 = y

2 x sen y = t e h = x y 3 2 =

( ) 2 1

− +

= x x x f

( ) 2 log − = x y x sen y =

x y cos =

2. Apertura

Formar equipos de 5 integrantes para realizar las siguientes actividades: • Realizar la investigación de la clasificación de funciones. • Presentar ante el grupo la información obtenida. • Comparar los resultados obtenidos con los demás equipos.

3. Desarrollo

• Clasificar los diferentes tipos de funciones algebraicas de la lista presentada en motivación.

• Análisis y discusión de ejercicios propuestos por el facilitador.


Cálculo FDA03


4. Cierre • Retroalimentación de los temas desarrollados. • Resolución de ejercicios planteados por el facilitador.



• Integrar equipos para socializar las estrategias. • Seleccionar una estrategia por equipo para exponerla al grupo. • Una vez seleccionada la estrategia de solución se expondrán ante el grupo,

se identificará las coincidencias y diferencias. • Resolver ejercicios diversos.


• Hojas blancas. • Rotafolios. • Papel bond. • Marcadores. • Material impreso (foto copias y libros). • Calculadora científica.


• Resuelto el ejercicio presentado en motivación. • Investigación realizada a computadora de la clasificación de funciones. • Ejercicios resueltos propuestos por el facilitador.


• Investigar el tema mencionado. • Elaborar un resumen. • Preparar el material solicitado.



Bibliografía





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6. Calculo diferencial e integral Edwin J. Purcell Pearson Prentice Hall



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Tema Gráfica de funciones trascendentes.

Objetivo: El alumno graficará funciones trascendentes y analizará su comportamiento determinando la relación y diferencia entre ellas.



1. Motivación

• Trace la gráfica de las siguientes funciones trascendentes:

a) x sen y = .

b) x y 2 = c) x y log =

2. Apertura

• Trace en un mismo plano cartesiano las funciones x sen y = y x y cos = .

• Determine el dominio y rango de cada función. • Determine el desplazamiento (separación) entre las curvas.

3. Desarrollo

• Investigar las diferentes gráficas de funciones trascendentes. • Presentar ante el grupo la información obtenida. • Análisis y discusión de los trabajos presentados.



Cálculo FDA03




grupo, se identificará las coincidencias y diferencias. • Resolver ejercicios diversos.




• Las graficas correspondientes a los ejercicios de apertura. • Las graficas correspondientes para los ejercicios de motivación. • Las investigaciones realizadas en desarrollo.





Bibliografía




4. Cálculo diferencial. Fuenlabrada Samuel. Mc. GrawHill.



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Tema Modelos matemáticos.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno formulará modelos matemáticos sencillos a partir de situaciones reales.



1. Motivación

En una comunidad de 8,000 personas, la rapidez con la que se difunde un rumor es conjuntamente proporcional al número de personas que lo han escuchado y al número de personas que no lo han escuchado. Encuentre el modelo matemático que exprese la rapidez a la que se esparce el rumor como una función del número de personas que lo han escuchado.

2. Apertura

Del problema anterior, suponiendo que 20 personas han escuchado el rumor, éste circula a una rapidez de 200 personas por hora, determine: •¿Qué tan rápido circula el rumor cuando lo han escuchado 500 personas? •¿Cuántas personas han escuchado el rumor cuando éste corre con la mayor rapidez? Trace su gráfica.

3. Desarrollo • Investigar diferentes modelos matemáticos. • Resolver problemas reales aplicando modelos matemáticos establecidos. • Análisis y discusión de los modelos encontrados.

4. Cierre

• Retroalimentación del tema desarrollado. • Resolución de ejercicios planteados por el facilitador. • Reconocer y valorar la importancia de los modelos matemáticos en la

solución de situaciones reales cotidianas.


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• Resolución al problema propuesto en motivación • Resolución al ejercicio propuesto en apertura • Resolución de ejercicios propuestos por el facilitador





Bibliografía








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UNIDAD III LIMITES


Cálculo FDA03


Tema integrador: Cambio o variación en diversos sectores de la sociedad (Económico, Salud e Industrial).

Unidad III Límites

Tema 3.1. Límites de funciones algebraicas.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno comprenderá el concepto de límite para las funciones algebraicas



1. Motivación

Dada la función x

y 2 = , obtener los valores de y cuando x se aproxima a cero

por la derecha (utiliza calculadora científica).

x x

y 2 =

3 2 1.5 1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001

2. Apertura

• Del ejercicio de apertura que sucede con los valores de la variable dependiente, cuando la variable independiente se aproxima a cero.

• Realizar la grafica de la función con los valores obtenidos en la tabla anterior.

3. Desarrollo

• Realizar una investigación y diferenciar entre los términos infinito e infinitesimal.

• Investigar y presentar en diapositivas tres funciones que tiendan al infinito y tiendan a cero.

• Realiza un formulario donde identifiques los teoremas sobre límites.

• Evaluar diferentes tipos de límites aplicando los teoremas.


Cálculo FDA03


4. Cierre • Retroalimentación de los temas desarrollados. • Resolución de ejercicios planteados por el facilitador. • Realizar rotafolios donde se reflejen los teoremas sobre límites.








• Entregar contestado el ejercicio de motivación junto con su grafica. • Investigación de los conceptos infinito e infinitesimal.

• En presentación electrónica presentar tres funciones que tiendan al infinito y tres que tiendan a cero.

• Realiza un formulario donde identifiques los teoremas sobre límites.

• Evaluar diferentes tipos de límites aplicando los teoremas





Bibliografía




4. Cálculo. Larson, Hostetler, Edwards. Editorial, Mc Graw Hill.

5. Cálculo con geometría analítica.


Cálculo FDA03

Dennis G. Zill. Editorial, Iberoamericana.

6. Cálculo diferencial e integral. Purcell, Varberg. Editorial, Prentece Hall.

7. Cálculo con geometría analítica. Earl W. Swokowski. Editorial, Iberoamericana.


Cálculo FDA03



Unidad III Límites

Tema 3.2. Límites de funciones trascendentes.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno comprenderá el concepto de límite para las funciones trascendente



1. Motivación

Dada la función Y=(sen (x))/x , obtener los valores de y cuando x se aproxima a Cero.

x Y=(sen (x))/x

1.0 0.5 0.1 0.01 0.01 0.1 0.5 1

2. Apertura Se pretende cercar un terreno con 1,000m. de malla. Determine la figura del terreno que maximice su área.

3. Desarrollo • Realizar una investigación bibliográfica referente a los teoremas de límites.

• Evaluar diferentes tipos de límites.


Cálculo FDA03








• Hojas blancas. • Rota folios. • Papel bond. • Marcadores. • Material impreso (foto copias y libros). • Calculadora científica.


• Hallar el valor de Y en la motivación. • Solucionar el problema de apertura. • Realizar la investigación de desarrollo. • Resolver los ejercicios planteados por el facilitador en el cierre.





Bibliografía





5. Cálculo con geometría analítica. Dennis G. Zill. Editorial, Iberoamericana.


Cálculo FDA03




Cálculo FDA03



Unidad III Límites

Tema 3.3.1 Interpretación geométrica de la derivada. 3.3.2 Resolución de la derivada.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno comprenderá el concepto de derivada mediante su interpretación geométrica y lo aplicará en el análisis de problemas que impliquen una razón de cambio.



1. Motivación

• Considere la gráfica de la ecuación 1 2 + = x y y calcula la pendiente de la recta que une los puntos dados en la siguiente tabla:

Punto A Punto B Pendiente m ( ) 1 , 0 ( ) 17 , 4 ( ) 1 , 0 ( ) 10 , 3 ( ) 1 , 0 ( ) 5 , 2 ( ) 1 , 0 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 0

4 5,

2 1

• ¿Cómo varía la pendiente? • ¿Cuál será el valor de la pendiente, cuando la recta está en forma horizontal?

2. Apertura

Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s. Su altura sobre el suelo t s después está dada por ( ) t t t s 120 9 . 4 2 + − = . Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. Trace la gráfica.

3. Desarrollo

• Proporcionar material bibliográfico acerca de la interpretación geométrica de la derivada.

• Derivar funciones algebraicas aplicando la fórmula general (regla de los cuatros pasos).

4. Cierre

• Retroalimentación de los temas desarrollados. • Resolución de ejercicios planteados por el facilitador. • Hallar el cociente de incrementos de la función f(t)=3t+9 entre los dos

puntos (1,12) y(2,15); comparar el cociente de incrementos con la razón de cambio instantáneo en cada punto.


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• Hallar el valor de la pendiente m en la motivación. • Solucionar el problema de apertura y hacer su grafica. • Aplicar las formulas de derivación para derivar funciones planteadas por el

facilitador en desarrollo. • Solucionar el problema de cierre ahí planteadas.





Bibliografía

1. Cálculo diferencial.

Samuel Fuenlabrada.

Editorial, Mc Graw Hill.

2. Matemáticas IV.

Pedro Salazar Vázquez.

Editorial, Nueva Imagen.

3. Guía completa de matemáticas.

Tomo II.

Editorial, Reymo.

4. Cálculo.

Larson, Hostetler, Edwards.

Editorial, Mc Graw Hill.


Dennis G. Zill.

Editorial, Iberoamericana.


Cálculo FDA03

6. Cálculo diferencial e integral.

Purcell, Varberg.

Editorial, Prentece Hall.


Earl W. Swokowski.

Editorial, Iberoamericana.


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Unidad III Límites

Tema 3.3.3. Fórmulas de la derivada.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno derivará funciones aplicando las fórmulas elementales.



1. Motivación Mediante la formula de derivación demuestre que la derivada de la función

3 x y = es 2 3x .

2. Apertura

Aplicando la formula correspondiente realice los siguientes ejercicios: • y = 20. • y = 10X • y= x 3

• y=sen x

3. Desarrollo

• Proporcionar material bibliográfico de las fórmulas básicas de la derivada. • Derivar funciones aplicando las fórmulas básicas. • Del siguiente lenguaje algebraico, encuentre su derivada: f(x) es igual al

cuadrado del primer número más el doble de otra cantidad.



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• Demostrar que la derivada de la función es la respuesta dada en la motivación.

• Solucionar los problemas de apertura. • Plantear y resolver el problema de desarrollo. • Solucionar los problemas planteados por el facilitador.





Bibliografía

1. Calculo diferencial. Samuel Fuenlabrada Editorial, Mc Graw Hill.








Cálculo FDA03

Earl W. Swokowski. Editorial, Iberoamericana.


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Unidad III Límites

Tema 3.3.4. Regla de la cadena.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno derivará diversos tipos de funciones aplicando la regla de la cadena.



1. Motivación Demuestre mediante la regla de la cadena que la derivada de la función

( ) 60 2 1 4 2 + − = x x y es ( ) ( ) 4 4 1 4 2 59 2 − + − = ′ x x x y

2. Apertura

Aplicando la regla de la cadena , obtenga la derivada las siguientes funciones:

• Calcular dx dy

cuando ( ) 5 2 1 + = x y .

• Hallar la derivada 13

4

2

3 1 2

+

+ − =

t t t y

3. Desarrollo • Proporcionar material bibliográfico de la regla de la cadena. • Derivar funciones aplicando el método de la cadena. • Ejercicio: Sea Y igual al cuadrado de la suma de X y 6. Hallar su derivada.



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• Hojas blancas. • Rota folios. • Papel bond. • Marcadores. • Material impreso (foto copias y libros). • Calculadora científica.


• Solucionar los problemas dados en la motivación, apertura, desarrollo y cierre.





Bibliografía

1 Calculo diferencial. Samuel Fuenlabrada Editorial, Mc Graw Hill.

2 Matemáticas IV Pedro Salazar Vázquez. Editorial, Nueva Imagen.

3 Guía completa de matemáticas. Tomo II Editorial, Reymo.

4 Cálculo. Larson, Hostetler, Edwards. Editorial, Mc Graw Hill.

5 Cálculo con geometría analítica. Dennis G. Zill. Editorial, Iberoamericana.

6 Cálculo diferencial e integral. Purcell, Varberg. Editorial, Prentece Hall.

7 Cálculo con geometría analítica.


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Earl W. Swokowski. Editorial, Iberoamericana.


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Unidad III Límites

Tema 3.4. Comportamiento de la función.

3.4.1. Funciones crecientes y decrecientes.

Objetivo: El alumno graficara la función indicando los puntos creciente y decreciente.



1. Motivación

• Determina las regiones de línea donde sea creciente ó decreciente la grafica de esta función.

• En la misma gráfica localiza los puntos mas altos y más bajos.

2. Apertura Dada la función ( ) ( ) 4 2 1 − = x x f , trace su gráfica y analice el comportamiento.

3. Desarrollo • Trazar las curvas de funciones indicando cuando es decreciente y

cuando es creciente. .


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4. Cierre

• Retroalimentación de los temas desarrollados. • Resolución de ejercicios planteados por el facilitador. • Revisión de las gráficas correspondientes a los ejercicios resueltos en

clase y realizados por el alumno.








• Solucionar los problemas dados en la motivación, apertura, desarrollo y cierre.





Bibliografía





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Unidad III Límites

Tema 3.4. Comportamiento de la función. 3.4.2 Máximos y mínimos.

Objetivo: El alumno calculará los puntos máximos y mínimos de una función, aplicándolos en la solución y el análisis de problemas que implique crecimiento y decrecimiento.



1. Motivación

Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar la mejor forma de hacer algo. Por ejemplo, un granjero necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para producir la mayor ganancia. Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos.

Algunas veces un problema de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizar una función en un conjunto específico.

En la figura encuentre el punto máximo y mínimo de la función representado en la grafica siguiente.


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2. Apertura Encuentre los valores máximos y mínimos de la función ( ) 2 3 3 2 x x x f + − = , definido en

el intervalo cerrado

− 2 ,

2 1

, trace su gráfica y analice el comportamiento.

3. Desarrollo • Resolver ejercicios aplicando los criterios de la primera y segunda derivada. • Trazar las curvas sofisticadas de funciones indicando, los máximos y mínimos.

4. Cierre

• Retroalimentación de los temas desarrollados. • Resolución de ejercicios planteados por el facilitador. • Revisión de las gráficas correspondientes a los ejercicios resueltos en clase y

realizados por el alumno.








• Solucionar los problemas que existe en la motivación, apertura, desarrollo y cierre.

• Solucionar los problemas que el facilitador indique en su momento.


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Bibliografía

1 Cálculo diferencial. Samuel Fuenlabrada Editorial, Mc Graw Hill.






7 Cálculo con geometría analítica. Earl W. Swokowski. Editorial, Iberoamericana.


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Unidad III Límites

Tema 3.4. Comportamiento de la función. 3.4.3. Puntos de inflexión.

Objetivo: El alumno calculará el ó los puntos de inflexión de una función.



1. Motivación

• Trace la gráfica de la función x x x y 3 3 1 2 3 − − = y encuentre el punto

de inflexión.

Respuesta 3 11 , 1 −

2. Apertura Dada la función ( ) ( ) 4 2 1 − = x x f , trace su gráfica y analice el comportamiento.

3. Desarrollo

• Resolver ejercicios aplicando los criterios de la primera y segunda derivada.

• Trazar las curvas de funciones indicando: Los puntos de inflexión.

4. Cierre




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• Solucionar y graficar los problemas de motivación y apertura. • Solucionar y graficar los problemas que el facilitador especifique en su

momento.





Bibliografía

1 Cálculo diferencial. Samuel Fuenlabrada Editorial, Mc Graw Hill.







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7 Cálculo con geometría analítica. Earl W. Swokowski. Editorial, Iberoamericana.


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Unidad III Límites

Tema 3.5. Integral.

3.5.1. Definición. 3.5.2. Integración de funciones.

Objetivo: Al finalizar la secuencia, el alumno comprenderá el concepto de la integral mediante el cálculo del área bajo la curva.



1. Motivación

Hallar el área total de las figuras y trazar una figura única a través de un polígono regular.

2. Apertura Calcula el área comprendida por la gráfica de la función 2 x y = y el eje de las X en el intervalo [ ] 2 , 0 .

3. Desarrollo

• El facilitador expondrá todo lo relacionado con la definición de la integral y el cálculo del área bajo una curva en forma aproximada.

• Investigar las fórmulas inmediatas de integración. • Resolver integrales por el método de sustitución simple.


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4. Cierre










• Resolver el problema de integral y visualizar el concepto y aplicación de integral.

• Resolver ejercicio sugeridos por el facilitador.





Bibliografía



3. Guía completa de matemáticas. Tomo II


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Editorial, Reymo. 4. Cálculo.

Larson, Hostetler, Edwards. Editorial, Mc Graw Hill.





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CRITERIOS EVALUACIÓN

UNIDAD I CRITERIOS PORCENTAJE

Producto 40 %

Desempeño 10 %

Conocimiento 30 %

Actitud 20 %

Total 100%


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RESUMEN

UNIDAD I

La representación más natural y conveniente de muchas funciones es la gráfica. Existen diversos ejemplos tales como: un electrocardiograma para los latidos cardiacos, un polígrafo para la detección de mentiras y un sismógrafo para la actividad sísmica, entre otros.

Los objetos fundamentales con que tratamos en el cálculo son funciones. En esta unidad se prepara el camino para el cálculo al analizar las ideas básicas de las funciones, sus gráficas y las maneras para transformarlas y combinarlas. Haremos hincapié en que una función se pueda representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con una gráfica o con palabras.

UNIDAD II

En esta unidad consideraremos los tipos principales de funciones que se presentan en el cálculo y describiremos los procesos de usarlas como modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. Expondremos también el uso de las calculadoras graficadoras y del software para trazar gráficas por computadora.

UNIDAD III

En esta unidad se estudia lo más relevante del cálculo: límites, derivadas e integrales. En las unidades anteriores vimos de qué manera la idea de límite sustenta las diversas ramas del cálculo. Por lo tanto, resulta adecuado empezar el estudio del cálculo investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límite que se usa para hallar tangentes y velocidades da lugar a la idea central del cálculo diferencial: la derivada.

Conoceremos las reglas de derivación y nos encontraremos en mejor posición para explorar las aplicaciones de la derivada, con mayor profundidad. Aprenderemos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica de una función y en particular cómo nos ayudan a localizar los valores máximos y mínimos de las funciones.

Haremos una breve introducción al cálculo integral partiendo del problema para calcular el área bajo una curva, recalcando que la integral es la primitiva o la antiderivada de una función.

Proporcionaremos las fórmulas elementales de integración así como diversos ejemplos y ejercicios propuestos.


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GLOSARIO

Arco: Parte de una circunferencia.

Asíntota: Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de coordenadas recorriendo la curva. También se puede decir que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.

Axioma: Proposición aceptada sin necesidad de demostración dada su evidencia

Axioma de continuidad: Axioma de la recta real que afirma la existencia de una biyección entre los puntos de la recta y los números reales.

Cero de una función: Todo punto para el cual f(x) = 0.

Composición de Funciones: Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Delta: Cuarta letra del alfabeto griego que tiene la forma de un triángulo.

e: Número irracional trascendente que puede obtenerse como límite de la sucesión: (1 + 1/n ) n cuando n tiende a infinito.

Ecuación: Es toda igualdad válida sólo para algún(nos) valor(es) de la(s) variable(s). Ejemplo, 6x = 18; x y = 7

Ecuación bicuadrada: Ecuación de cuarto grado de la forma ax 4 + cx 2 + e = 0.

Ecuación cuadrática: Ecuación de segundo grado o cuadrática se expresa mediante la relación ax 2 + bx + c = 0, donde a es distinto de 0.

Ecuación cúbica: Las ecuaciones de tercer grado o cúbicas son del tipo ax 3 + bx 2 + cx +d = 0, donde a es distinto de 0. Ecuación cuártica: Las ecuaciones de cuarto grado o cuadráticas, ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, para “a” distinto de 0. Ecuación Diferencial: Ecuación que contiene derivadas. Ecuación Exponencial: Se refiere a la ecuación en la cual la incógnita aparece en algún exponente.

Ecuación Incompleta Pura: Ecuación cuadrática de la forma ax 2 + c = 0.

Ecuación Incompleta Binomio: Ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx = 0.

Ecuación Literal: Ecuación cuyas cantidades conocidas están representadas por letras.


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Ecuación Logarítmica: Ecuación en la cual aparecen expresiones logarítmicas.

Ecuación Numérica: Ecuación cuyas cantidades conocidas están representadas por números.

Ecuación Trigonométrica: La ecuación trigonométrica es aquella cuyas incógnitas son el asunto principal de

las funciones trigonométricas.

Ecuaciones compatibles: Ecuaciones que tienen al menos una solución común.

Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen las mismas soluciones.

Ecuaciones Independientes: Ecuaciones que no poseen las mismas soluciones.

Ecuaciones Simultáneas: Ecuaciones para las cuales se verifican valores iguales de las incógnitas.

Evaluar: Valorar una cosa.

Exponente: Número que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad.

F: Letra usada para designar una función.

Fracción Decimal: Fracción que tiene por denominador una potencia positiva de 10.

Fracción Impropia: Fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.

Fracción Irreducible: Fracción que no se puede simplificar más.

Fracción Ordinaria: Fracción cuyos términos son números enteros.

Fracción Propia: Aquella cuyo numerador es menor que el denominador.

Fracciones Equivalentes: Aquellas que tienen el mismo valor.

Función Continua: Una función f(x) es continua en x = x0 si y sólo si:

1. Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x0.

2. Existe f(x0) tal que f(x0) = L

Función Lineal: Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma f(x, y) = ax + by. Su representación gráfica es una recta.

Función Primitiva: Dada una función cualquiera f(x), definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Grado de un término algebraico: Es la suma de los exponentes de la parte literal de un término algebraico.

Grado Sexagesimal: Está dividido en 60 partes iguales llamados minutos y cada minuto está dividido en 60 partes llamados segundos.


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Hemisferio: Cada una de las dos partes de una esfera, limitadas por un círculo máximo.

Identidad: Igualdad que se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s) que contiene. Ejemplo, x + y = y + x.

Igualación: Método para resolver sistemas de ecuaciones.

Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación.

Infinitesimal: Cantidad infinitamente pequeña de límite cero.

Infinito: Magnitud mayor que cualquier cantidad dada.

Líneas Secantes: Líneas que se cortan en un punto.

Logaritmo: El logaritmo de un número, respecto de otro llamado base, es el exponente a que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Parábola: Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan, a la vez, de un punto dado y de una recta dada. El punto dado es el foco y la recta dada, la directriz de la parábola.

IR: Símbolo con el cual se designa a los números reales.

Racionalizar: Operación que consiste en eliminar la raíz del denominador.

Radián: Unidad de medida de ángulos que equivale a un ángulo que con el vértice en el centro de la circunferencia subtiende un arco de longitud igual al radio de esta circunferencia.

Radicación: Operación inversa a la potenciación que consiste en encontrar la base de una potencia, dados el resultado de ella y su exponente.

Radical: Símbolo que indica la operación de extraer raíz.

Radio (De una circunferencia): Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Radio (De una esfera): Segmento que une el centro de la esfera con un punto cualquiera de la superficie esférica.

Radio (De un polígono): Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Radio Vector: Segmento orientado que va del foco a un punto de la parábola o elipse.

Raíz (De una ecuación): Solución de una ecuación.

Raíz Cuadrada: Expresión radical de índice dos.

Raíz Cúbica: Expresión radical de índice tres.

Secante: Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos no coincidentes. Toda secante determina una cuerda. Se llama secante de dos o más rectas a otra recta que las intersecta.


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Seno (De un ángulo): Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Serie: Suma de una sucesión ordenada de términos.

Serie Aritmética: Serie cuyos términos forman una progresión aritmética.

Serie Convergente: Serie que tiene un límite definido.

Serie Divergente: Serie que no tiene un límite definido.

Serie geométrica: Serie cuyos términos forman una progresión geométrica.

Símbolo: Representación convencional de un número, cantidad, relación, operación, etc.

Simetral: La simetral de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un trazo.

Simplificar: Es transformar una fracción en otra equivalente cuyos términos son menores que la fracción original.

Sucesión: Conjunto de números dispuestos en un orden definido y que siguen una determinada ley de formación.

Sucesión monótona creciente: Sucesión en la cual un término cualquiera es menor o igual que el siguiente.

Sucesión monótona decreciente: Sucesión en la cual un término cualquiera es mayor o igual que el siguiente.

Sucesiones convergentes: Son las que tienen límite.

Sucesos Independientes: Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no afecta el resultado del otro.

Suma por su diferencia: Es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.

Valor Absoluto: Valor de una cifra, independiente del lugar que ocupe o del signo que vaya precedida.

Valor Relativo: Valor que depende de la posición que dicha cifra ocupa en el número.


Cálculo FDA03

BANCO DE REACTIVOS

FUNCIONES

Subraye la respuesta correcta.

1. Es un subconjunto de un producto cartesiano formado por las parejas que cumplen una cierta condición: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

2. Al conjunto de los primeros elementos de las parejas de la relación se le llama: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

3. Al conjunto de los segundos elementos de las parejas de la relación se llama: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

4. Es una regla de correspondencia que socia a cada objeto x de un conjunto llamado Dominio: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

5. Toda función se puede representar gráficamente en un plano: a) Cartesiano b) Complejo c) Tridimensional d) Mixto

6. Las funciones se clasifican en algebraicas y: a) Explicitas b) Implícitas c) Trascendentes d) Exponenciales

7. Una función se puede representar en forma explicita o: a) Explicitas b) Implícitas c) Trascendentes d) Exponenciales

8. Si f(x)=k, entonces es una función: a) Lineal b) Cuadrática c) Idéntica d) Constante

9. Si f(x)= mx+b, entonces representa una función: a) Lineal b) Cuadrática c) Idéntica d) Constante

10. Si f(x)= 3x 2 +2x+5, entonces es una función: a) Lineal b) Cuadrática c) Idéntica d) Constante

11. Relaciona ambas columnas correctamente.

( ) Si y=5x 3 +2 es:

( ) Si y+x=5 es: ( ) Es una función racional. ( ) Es una función irracional ( ) f(x)+g(x)

a) f(x)= 3 3 5

+ −

x x

b) (2x1)+ (3x) c) Implícita. d) Función cúbica e) f(x)= x

12. Es el resultado de la operación de la función f(x) = 3x 2 – 2x + 5 cuando f ( 3 2

)

a) 3 23

b) 3 23

c) 23 3

13. Dado f(x) = x 3 – 7x 2 – 6x + 42, demostrar que f(1) es :

a) 30 b) 30 c) 29


Cálculo FDA03

14. Grafica la siguiente función ( ) x x f − = 5 en el intervalo [ ] 5 , 3 − y determina su dominio y rango.

a) ( ) ( ) 51 , , 0 ∞ − = ∞ = R y D b) ( ) ( ) ∞ ∞ − = ∞ = , , 5 R y D c) ( ) ( ) ∞ = ∞ − = , 0 5 , R y D

8. Grafica la siguiente función ( ) 1 3 − = x x f y determina su dominio y rango.

a) ( ) ( ) ∞ ∞ − = ∞ ∞ − = , , R y D b) ( ) ( ) −∞ ∞ = ∞ ∞ − = , , R y D c) ( ) ( ) 10 , 0 5 , 0 = = R y D

9. Grafica la siguiente función y determina su dominio y rango ( )

< ≤ < −

− ≤ − =

x si x si

x si x g

2 4 2 1 1

1 3 .

a) ( ) 4 , 1 , 3 , − = ∞ ∞ − = R y D b) ( ) ( ) −∞ ∞ = ∞ ∞ − = , , R y D c) ( ) ( ) 10 , 0 5 , 0 = = R y D

10. Grafica la siguiente función y determina su dominio y rango ( ) x x h = en el intervalo [ ] 2 , 2 − .

a) ( ) 4 , 1 , 3 , − = ∞ ∞ − = R y D b) ( ) ( ) ∞ = ∞ ∞ − = , 0 , R y D c) ( ) ( ) 10 , 0 5 , 0 = = R y D

19. La variable no despejada(x), también es conocida como:

a) Constante b) Variable independiente c) Variable dependiente d) La integral

20. La variable despejada (y), también es conocida como:

a) La integral b) Variable independiente c) Variable dependiente d) Constante

21. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a< x < b. ¿que Intervalo consideras?

a) Abierto (a,b) b) Cerrado [a,b] c) semiabierto (a,b] d) semiabierto [a,b)

22. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a≤ x ≤ b. ¿que Intervalo consideras?


23. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a < x ≤ b. ¿que Intervalo consideras?


24. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a ≤ x < b. ¿que Intervalo consideras?



Cálculo FDA03

LÍMITES

1. Si f es una función definida en [a, b], con la posible excepción de ] , [ b a c∈ , cuando c x → decimos que L es: a) El límite b) La derivada c) Los puntos d) La integral

2. Si k es una constante, entonces k k c x

= → lim , es el límite de:

a) Una constante b) Una potencia c) Un polinomio d) Un radical

3. La función g(x)= x n ( N n∈ ) esta definida en todo el eje real, entonces n n

c x c x =

→ lim ( N n∈ ), es el límite

de: a) Una constante b) Una potencia c) Un polinomio d) Un radical

4. Si el ) ( ) ( lim c p x p c x

= →

, entonces es el límite de:


5. Si f(x) ≥ 0 y existe ) ( lim x f c x→

, entonces ) ( lim ) ( lim x f x f c x c x → →

= es el límite de:


6. Se dice que una función de f(x) es continua en un intervalo, cuando es continua para todos los valores de x dentro de un: a) Punto b) Intervalo c) Plano d) Rango

7. Una variable v que tiende a cero se llama: a) Discontinua b) Punto c) Infinitésimo d) Intervalo

8. La suma algebraica de n infinitésimos siendo n un número finito, es otro: a) Infinitésimo b) Intervalo c) Punto d) Discontinuo

9. El producto de una constante c por un infinitésimo es otro: a) Punto b) Discontinuo c) Infinitésimo d) Intervalo

10. El producto de un número finito n de infinitésimos es otro: a) Punto b) Discontinuo c) Intervalo d) Infinitésimo


( ) Si el ) ( lim x f c x→

existe, entonces

) ( lim ) ( lim x f k x kf c x c x → →

= es:

( ) Es un ejemplo de lim [f(x)+g(x)]

( ) Es un ejemplo de lim [f(x)g(x)]

( ) ) 1 6 7 ( 3

2 − −

→ x x Lim

x ( ) Es una definición de limite al infinito

a) 3

1 1 6 lim 3 lim x

x x − → − → −

b) 0 lim = ∞ → x c

x

c) Limite del producto de una constante por una función.

d) 2 lim ) 2 ( lim 2 2 → →

− x x

x e) Es cualquier ejemplo de límite


Cálculo FDA03

12. Es el resultado de calcular el Lim x = 3 cuando x es a 3 a) x b) 3 c) 3

13. Es el resultado de evaluar el Lim (3x 2 + 2x) cuando x es a 5 a) 85 b) 65 c) .85

14. Es el resultado de evaluar el Lim 1 2 3 5 3

+ −

x x

cuando x es a 2

a) 5 3

b) 5 37

c) 5 40

15. Es el resultado de evaluar el Lim 1 2 2 + x cuando x es a 2

a) 7 b) 8 c) 9

16. Es el resultado de evaluar el Lim 4 12 2

− − −

x x x

, cuando x es a 4

a) 7 b) 4 c) 1

17. Es el resultado de evaluar el Lim 4 6

2

2

− − +

x x x

, cuando x es a 2

a) 4 3

b) 4 5

c) 4 1


2

3

− −

y y

, cuando x es a 3

a) 2 9

b) 2 11

c) 2 9


2 3

9 3 7 6 5 4 x x x

x x + −

+ − cuando x es a infinito ( )

a) 9 4

b) 9 4

c) 9 5

20. Es el resultado de evaluar el Lim 2

2

8 4 5 2 x x x

+ −

cuando x es a infinito ( )

a) 8 5

b) 5 8

c) 8 5


− −

x x

cuando x tiende a 2.

a) 4 b) 5 8

c) 8


2

2

− +

x x

cuando x tiende a infinito.

a) 4 b) 3 c) 8


Cálculo FDA03


7 x


a) 5 b) 3 c) 0


1 x


a) 5 b) 3 c) 0

DERIVADAS

1. Sea P un punto fijo de la curva, y sea Q un punto móvil de esa curva, próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q; a esta línea se le llama: a) Secante b) Tangente c) Recta d) Diámetro

2. Si P es la posición límite (si existe) de la secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva, a esta recta se le llama: a) Secante b) Tangente c) Recta d) Diámetro

3. La derivada de una función f, para un argumento x es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la curva dada por la función en el punto. a) p(x,f(x)) b) x c) f(x) d) p(y,f(x))

4. Es el límite en la comparación de dos variaciones. a) Derivada b) Limite c) Integral d) Función

5. Si en un intervalo abierto u < v, implica que f (u) < f (v), v u, ∀ del intervalo, se dice que la función f(x) es: a) Decreciente b) Creciente c) Estacionaria d) Vacío

6. Si f(x) esta en un intervalo abierto, y si u < v⇒ f (u) > f (v), v u, ∀ en el intervalo se dice que la función es: a) Decreciente b) Creciente c) Estacionaria d) Vacío

7. Antes de un máximo la derivada tiene signo positivo y después tiene signo: a) Positivo b) Negativo c) Menor o igual d) Mayor o igual

8. Antes de un mínimo la derivada tiene signo negativo y después tiene signo: a) Positivo b) Negativo c) Menor o igual d) Mayor o igual

9. Si todas las rectas tangentes a la curva, para puntos de sus intervalos aparecen por encima de ella, diremos que la curva es: a) Cóncava b) Convexa c) Punto de inflexión d) Tangente

10. Al punto de la curva donde ocurre un cambio de concavidad a convexidad o viceversa lo llamaremos punto de: a) Concavidad b) Convexidad c) Inflexión d) Tangencia


Cálculo FDA03

11. Relaciona ambas columnas correctamente

( ) Es la fórmula la de la derivada de una constante.

( ) Es la derivada de la suma de funciones.

( ) Es la derivada de un producto de funciones.

( ) Es un ejemplo de derivación.

( ) Es el resultado de ) 3 ( 2 x dx d

.

a) dx dV

dx dU V U

dx d

+ = + ) (

b) ) 3 ( 3 x dx d

c) 0 = k dx d

d) 6x

e) dx dU V

dx dV U V U

dx d

+ = ⋅ ) (

12. Hallar la derivada de estas funciones aplicando el método del incremento: a) y = x 3 b) y = 3x 2 +5 c) y = x 3 2x+7

d) y = t

t 4 +

13. Es el resultado de derivar la función y = x 3 + 7 a) 3x 2 b) x 2 c) 3x 2

14. Es el resultado de derivar la función y = 2x 2 + 4x a) 4x +4 b) 4x +1 c) 4x

15. Es el resultado de derivar la función y = ( 3 – x 2 ) 7 a) 14x (3x 2 ) 6 b) 14x(3x) 6 c) 14(3x 2 ) 7

16. Es el resultado de derivar la función y = x x

a) x 2 3

b) x 2 3

c) x 2 3

17. Es el resultado de derivar la función y = (3x5) (x 2 2x + 8) a) 9x 2 +22x+34 b) 9x 2 – 22x + 34 c) 9x 2 .32x – 34

18. Es el resultado de derivar la función implícita 2y 2 – 6x = xy – x 2

a) x y y x

− + + −

4 6 2

b) x y y x

− − +

4 6 2

c) x y y x

+ − + −

4 6 2

19. Es el resultado de derivar y = 2x + 5 a) 2x b) 2 c) 5

20. Es el resultado de derivar y = 6 a) 1 b) 2.5 c) 0


Cálculo FDA03

21. Es el resultado de derivar y = x 7 2

c 2

a) 7 2

b) 7 2

c)0

22. Es el resultado de derivar y = kx – c a) k b) 1 c)0

23. Es el resultado de derivar y = 2x 2 – 8x + 5 a) 4x b) 4x + 8 c) 4x8

24. Es el resultado de derivar y = x

a) x 2

1 b)

x 1

c) 2 x

25. Es el resultado de la derivada y = 5 2 − x

a) 5 2

b) 5 1

c) 5 1

26. Es el resultado de la derivada y = (4 – x) (3 + x) a) 2x – 1 b) 1 + 2x c) 12x

27. Es el resultado de la derivada y = (5x2) 3 a) 15(5x2) 2 b) 15(5x2) 2 c) 3(5x2)

28. Es el resultado de la derivada y 2 = 5x

a) y 2 5

b) y 2 5

c) y 5 2

29. El valor mínimo local de la función 2 3 4 18 16 3 x x x y + − = es:

a) ( ) 27 , 3 − b) ( ) 27 , 3 − c) ( ) 27 , 3 − − d) ( ) 5 , 1

30. El valor máximo local de la función 4 5 5x x y − = es.

a) ( ) 0 , 0 b) ( ) 256 , 4 c) ( ) 256 , 4 − d) ( ) 4 , 0

31. Los valores críticos de la función 13 45 12 2 3 − + − = x x x y son: a) 3 y 5 b) 3 y 5 c) 3 y 5 d) 3 y 5

32. El punto de inflexión de la curva 11 9 3 3 2 3 + − − = x x x y es:

a) ( ) 16 , 3 b)

−

3 16 , 3 c)

−

3 16 , 3 d)

− −

3 16 , 3


Cálculo FDA03

INTEGRALES

1. La integral de ∫ x dx

es:

a) x +c b) ln (x) + c c) dx

2. La integral de ∫ dx 3 es:

a) 3x+c b) 3x 2 +c c) x 3 + c

3. La integral de dx x ∫ 3 5 es:

a) c x + 2

5 4

b) c x + 3

4 5

c) c x+ 4 5

4. La integral de dx bx ∫ 3 2 es:

a) bx+c b) c x b + 4

2 c) c x + 4

3 1

5. La integral de dx x ∫ 4 es:

a) c x + 4 5

5 4

b) c x + 3 5

4 5

c) c x + 3 2

5 4


a) c x + 5

5 1

b) c x + 5

5 3

c) c x + 5

5 2

7. La integral de ∫ 3 x dx

es:

a) c x

+ 2 2 1

b) c x

+ 2 2 1

c) 2

1 x

+ c

8. La integral de ∫ xdx sen3 es:

a) c x + 3 cos 3 1

b) c x + 3 cos 3 1

c) cos 3x +c

9. La integral de xdx ∫ 2 cot es:

a) Cot x +x +c b) –cot x +c c) – cot x –x +c

10. La integral de dx e x ∫ 5 es:

a) e 5x +c b) c e x + 5

5 1

c) c e x + 5

5 1


Cálculo FDA03

11. La integral de xdx e senx cos ∫ es:

a) e senx +c b) cos x e senx + c c) 2sen x

12. La integral de ∫ x e dx3 es:

a) c e x

+ 3 2 1

b) c e x

+ 3 3 1

c) c e x

+ 3

1

13. La integral de dx e x ∫ − es:

a) c e x

+ 1 b) c

e x +

2 1

c) e x +c

14. La integral de ∫ x senxdx

2 cos es:

a) sen x cos x +c b) sec x +c c) sec 2 x +c

15. La integral de dx x ∫ − 2 es:

a) c x + − 2 3

) 2 (3 2

b) (x2) 2 3

+c c) 2 − x +c


a) c x + 2 2 ln 1

b) 2 x +c c) c + 2 ln 1

17. La integral de ∫ 2

0

cos

π

xdx es:

a) 0 u 2 b) 1 u 2 c) 2 u 2

18. La integral de dx x∫ 2

0

3 es:

a) 16 u 2 b) 8 u 2 c) 0 u 2

19. La integral de dx x x ) 4 5 ( 2

1

2 − + − ∫ es:

a) 2

5 1 u b) 2

7 6 u c) 2

6 7 u

20. La integral de dx x

x x ∫ −

+ − 5 3

25 109 36 2 4

es:

a) 2x 3 + 6x 2 +c b) 2x 3 +6x 2 +c c) 2x 3 6x 2 +c


Cálculo FDA03

HOJA DE RESPUESTAS

FUNCIONES

Subraye la respuesta correcta.

1. Es un subconjunto de un producto cartesiano formado por las parejas que cumplen una cierta condición: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

2. Al conjunto de los primeros elementos de las parejas de la relación se le llama: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

3. Al conjunto de los segundos elementos de las parejas de la relación se llama: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

4. Es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto llamado Dominio un único elemento del rango: a) Relación b) Función c) Dominio d) Rango

5. Toda función se puede representar gráficamente en un plano: a) Cartesiano b) Complejo c) Tridimensional d) Mixto

6. Las funciones se clasifican en algebraicas y: a) Explicitas b) Implícitas c) Trascendentes d) Exponenciales

7. Una función se puede representar en forma explicita o: a) Explicitas b) Implícitas c) Trascendentes d) Exponenciales

8. Si f(x)=k, entonces es una función: a) Lineal b) Cuadrática c) Idéntica d) Constante

9. Si f(x)= mx+b, entonces representa una función: a) Lineal b) Cuadrática c) Idéntica d) Constante

10. Si f(x)= 3x 2 +2x+5, entonces es una función: a) Lineal b) Cuadrática c) Idéntica d) Constante


(d ) Si y=5x 3 +2 es:

(c ) Si y+x=5 es: ( a) Es una función racional. ( e ) Es una función irracional ( b ) Es un ejemplo de f(x)+g(x)

a) f(x)= 3 3 5

+ −

x x

b) (2x1)+ (3x) c) Implícita. d) Función cúbica e) f(x)= x

12. Es el resultado de la operación de la función f(x) = 3x 2 – 2x + 5 cuando f ( 3 2

)

a) 3 23

b) 3 23

c) 23 3

13. Dado f(x) = x 3 – 7x 2 – 6x + 42, demostrar que f(1) es : a) 30 b) 23/3 c) 29


Cálculo FDA03

14. Grafica la siguiente función ( ) x x f − = 5 en el intervalo [ ] 5 , 3 − y determina su dominio y rango.

a) ( ) ( ) 51 , , 0 ∞ − = ∞ = R y D b) ( ) ( ) ∞ ∞ − = ∞ = , , 5 R y D c) ( ) ( ) ∞ = ∞ − = , 0 5 , R y D

11. Grafica la siguiente función ( ) 1 3 − = x x f y determina su dominio y rango.

a) ( ) ( ) ∞ ∞ − = ∞ ∞ − = , , R y D b) ( ) ( ) −∞ ∞ = ∞ ∞ − = , , R y D c) ( ) ( ) 10 , 0 5 , 0 = = R y D

12. Grafica la siguiente función y determina su dominio y rango ( )

< ≤ < −

− ≤ − =

x si x si

x si x g

2 4 2 1 1

1 3 .

a) ( ) 4 , 1 , 3 , − = ∞ ∞ − = R y D b) ( ) ( ) −∞ ∞ = ∞ ∞ − = , , R y D c) ( ) ( ) 10 , 0 5 , 0 = = R y D

13. Grafica la siguiente función y determina su dominio y rango ( ) x x h = en el intervalo [ ] 2 , 2 − .

a) ( ) 4 , 1 , 3 , − = ∞ ∞ − = R y D b) ( ) ( ) ∞ = ∞ ∞ − = , 0 , R y D c) ( ) ( ) 10 , 0 5 , 0 = = R y D

19. La variable no despejada(x), también es conocida como:

a) Constante b) Variable independiente c) Variable dependiente d) La integral

20. La variable despejada (y), también es conocida como:

a) La integral b) Variable independiente c) Variable dependiente d) Constante

21. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a< x < b. ¿que Intervalo consideras?


22. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a≤ x ≤ b. ¿que Intervalo consideras?


23. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a < x ≤ b. ¿que Intervalo consideras?


24. Comprende todos los valores entre, a y b, su notación es a ≤ x < b. ¿que Intervalo consideras?



Cálculo FDA03

LÍMITES

1. Si f es una función definida en [a, b], con la posible excepción de ] , [ b a c∈ , cuando c x → decimos que L es: a) El límite b) La derivada c) Los puntos d) La integral

2. Si k es una constante, entonces k k c x

= → lim , es el limite de:


3. La función g(x)= x n ( N n∈ ) está definida en todo el eje real, entonces n n

c x c x =

→ lim ( N n∈ ), es el

límite de: a) Una constante b) Una potencia c) Un polinomio d) Un radical

4. Si el ) ( ) ( lim c p x p c x

= →

, entonces es el límite de:


5. Si f(x) ≥ 0 y existe ) ( lim x f c x→

, entonces ) ( lim ) ( lim x f x f c x c x → →

= es el límite de:


6. Se dice que una función de f(x) es continua en un intervalo, cuando es continua para todos los valores de x dentro de un: a) Punto b) Intervalo c) Plano d) Rango

7. Una variable v que tiende a cero se llama: a) Discontinua b) Punto c) Infinitésimo d) Intervalo

8. La suma algebraica de n infinitésimos siendo n un número finito, es otro: a) Infinitésimo b) Intervalo c) Punto d) Discontinuo

9. El producto de una constante c por un infinitésimo es otro: a) Punto b) Discontinuo c) Infinitésimo d) Intervalo

10. El producto de un número finito n de infinitésimos es otro: a) Punto b) Discontinuo c) Intervalo d) Infinitésimo


( c ) Si el ) ( lim x f c x→

existe, entonces

) ( lim ) ( lim x f k x kf c x c x → →

= es:

(a ) Es un ejemplo de lim [f(x)+g(x)]

(d ) Es un ejemplo de lim [f(x)g(x)]

( e ) ) 1 6 7 ( 3

2 − −

→ x x Lim

x ( b ) Es una definición de límite en el infinito

a) 3

1 1 6 lim 3 lim x

x x − → − → +

b) 0 lim = ∞ → x c

x

c) Limite del producto de una constante por una función.

d) 2 lim ) 2 ( lim 2 2 → →

− x x

x e) Es cualquier ejemplo de límite

12. Es el resultado de calcular el Lim x = 3 cuando x tiende a 3 a) x b) 3 c) 3 d) 0


Cálculo FDA03

13. Es el resultado de evaluar el Lim (3x 2 + 2x) cuando x tiende a 5 a) 85 b) 65 c) .85 d) 235

14. Es el resultado de evaluar el Lim 1 2 3 5 3

+ −

x x

cuando x tiende a 2

a) 5 3

b) 5 37

c) 5 40

d) 5 37 −

15. Es el resultado de evaluar el Lim 1 2 2 + x cuando x tiende a 2

a) 7 b) 8 c) 3 d) 5


− − −

x x x

, cuando x tiende a 4

a) 7 b) 4 c) 1 d) 3


2

2

− − +

x x x

, cuando x tiende a 2

a) 4 3

b) 4 5

c) 4 1

d) 2 3


2

3

− −

y y

, cuando y tiende a 3

a) 2 9

b) 2 11

c) 2 9

d) 3


2 3

9 3 7 6 5 4 x x x

x x + −

+ − cuando x tiende a infinito.

a) 9 4

b) 9 4

c) 9 5

d) 7 4


2

8 4 5 2 x x x

+ −


a) 8 5

b) 5 8

c) 8 5

d) 2 1


− −

x x

cuando x tiende a 2.

a) 4 b) 5 8

c) 8


2

2

− +

x x


a) 4 b) 3 c) 8


Cálculo FDA03


7 x


a) 5 b) 3 c) 0


1 x


a) 5 b) 3 c) 0

DERIVADAS

1. Sea P un punto fijo de la curva, y sea Q un punto móvil de esa curva, próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q; a esta línea se le llama: a) Secante b) Tangente c) Recta d) Diámetro

2. Si P es la posición límite (si existe) de la secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva, a esta recta se le llama: a) Secante b) Tangente c) Recta d) Diámetro

3. La derivada de una función f, para un argumento x es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la curva dada por la función en el punto. a) ( ) ( ) x f x, b) x c) f(x) d) (y,f(x))

4. Es el límite en la comparación de dos variaciones. a) Derivada b) Limite c) Integral d) Función

5. Si en un intervalo abierto u < v, implica que f (u) < f (v), v u, ∀ del intervalo, se dice que la función f(x) es: a) Decreciente b) Creciente c) Estacionaria d) Vacío

6. Si f(x) está en un intervalo abierto, y si u < v⇒ f (u) > f (v), v u, ∀ en el intervalo se dice que la función es: a) Decreciente b) Creciente c) Estacionaria d) Vacío

7. Antes de un máximo la derivada tiene signo positivo y después tiene signo: a) Positivo b) Negativo c) Menor o igual d) Mayor o igual

8. Antes de un mínimo la derivada tiene signo negativo y después tiene signo: a) Positivo b) Negativo c) Menor o igual d) Mayor o igual

9. Si todas las rectas tangentes a la curva, para puntos de sus intervalos aparecen por encima de ella, diremos que la curva es: a) Cóncava b) Convexa c) Punto de inflexión d) Tangente

10. Al punto de la curva donde ocurre un cambio de concavidad a convexidad o viceversa lo llamaremos punto de: a) Concavidad b) Convexidad c) Inflexión d) Tangencia


Cálculo FDA03

11. Relaciona ambas columnas correctamente

(c) Es la fórmula la de la derivada de una constante.

( a ) Es la derivada de la suma de funciones.

( e ) Es la derivada de un producto de funciones.

( b ) Es un ejemplo de derivación.

( d ) Es el resultado de ) 3 ( 2 x dx d

.

a) dx dV

dx dU V U

dx d

+ = + ) (

b) ) 3 ( 3 x dx d

c) 0 = k dx d

d) 6x

e) dx dU V

dx dV U V U

dx d

+ = ⋅ ) (

12. La derivada de una constante es: a) 1 b) 0 c) 1 d) No existe

13. Es el resultado de derivar la función y = x 3 + 7 a) 3x 2 b) x 2 c) 3x 2 d) 3x

14. Es el resultado de derivar la función y = 2x 2 + 4x a) 4x +4 b) 4x +1 c) 4x d) 8x

15. Es el resultado de derivar la función y = (3 – x 2 ) 7 a) 14x (3x 2 ) 6 b) 14x (3x) 6 c) 14(3x 2 ) 7 d) 14x

16. Es el resultado de derivar la función y = x x

a) x 2 3

b) x 2 3

c) x 2 3

d) x 2

17. Es el resultado de derivar la función y = (3x 5) (x 2 2x + 8) a) 9x 2 +22x+34 b) 9x 2 – 22x + 34 c) 9x 2 .32x – 34 d) 9x 2 + 15x16

18. Es el resultado de derivar la función implícita 2y 2 – 6x = xy – x 2

a) x y y x

− + + −

4 6 2

b) x y y x

− − +

4 6 2

c) x y y x

+ − + −

4 6 2

19. Es el resultado de derivar y = 2x + 5 a) 2x b) 2 c) 5

20. Es el resultado de derivar y = 6 a) 1 b) 2.5 c) 0

21. Es el resultado de derivar y = x 7 2

c 2

a) 7 2

b) 2

7 2 c − c)0

________ 22. Es el resultado de derivar y = kx – c a) k b) 1 c)0


Cálculo FDA03

23. Es el resultado de derivar y = 2x 2 – 8x + 5 a) 4x b) 4x + 8 c) 4x8

24. Es el resultado de derivar y = x

a) x 2

1 b)

x 1

c) 2 x

25. Es el resultado de la derivada y = 5 2 − x

a) 5 2

b) 5 1

c) 5 1

26. Es el resultado de la derivada y = (4 – x) (3 + x)

a) 2x – 1 b) 1 + 2x c) 12x

27. Es el resultado de la derivada y = (5x2) 3 a) 15(5x2) 2 b) 15(5x2) 2 c) 3(5x2)

28. Es el resultado de la derivada y 2 = 5x

a) y 2 5

b) y 2 5

c) y 5 2

_______

29. El valor mínimo local de la función 2 3 4 18 16 3 x x x y + − = es:

a) ( ) 27 , 3 − b) ( ) 27 , 3 − c) ( ) 27 , 3 − − d) ( ) 3 , 1 ____

30. El valor máximo local de la función 4 5 5x x y − = es.

a) ( ) 0 , 0 b) ( ) 256 , 4 c) ( ) 256 , 4 − d) ( ) 4 , 0

31. Los valores críticos de la función 13 45 12 2 3 − + − = x x x y son: a) 3 y 5 b) 3 y 5 c) 3 y 5 d) 3 y 5

32. El punto de inflexión de la curva 11 9 3 3 2 3 + − − = x x x y es:

a) ( ) 16 , 3 b)

−

3 16 , 3 c)

−

3 16 , 3 d)

− −

3 16 , 3


Cálculo FDA03

INTEGRALES

1. La integral de ∫ x dx

es:

a) x +c b) Ln x) +c c) dx

2. La integral de ∫ dx 3 es:

a) 3x+c b) 3x 2 +c c) x 3 + c


a) c x + 2

5 4

b) c x + 4

4 5

c) c x+ 4 5

________ 4. La integral de dx bx ∫ 3 2 es:

a) bx+c b) c x b + 4

2 c) c x + 4

3 1

_________ 5. La integral de dx x ∫ 4 es:

a) c x + 4 5

5 4

b) c x + 3 5

4 5

c) c x + 3 2

5 4

___________ 6. La integral de dx x ∫ 4 2 es:

a) c x + 5

5 1

b) c x + 5

5 3

c) c x + 5

5 2

________

7. La integral de ∫ 3 x dx

es:

a) c x

+ 2 2 1

b) c x

+ 2 2 1

c) 2

1 x

+ c

_________ 8. La integral de ∫ xdx sen3 es:

a) c x + 3 cos 3 1

b) c x + 3 cos 3 1

c) cos 3x +c

_______________

9. La integral de xdx ∫ 2 cot es:

a) Cot x +x +c b) –cot x +c c) – cot x –x +c


Cálculo FDA03

10. La integral de dx e x ∫ 5 es:

a) e 5x +c b) c e x + 5

5 1

c) c e x + 5

5 1

_________ 11. La integral de xdx e senx cos ∫ es:

a) e senx +c b) cos x e senx + c c) 2sen x

12. La integral de ∫ x e dx3 es:

a) c e x

+ 3 2 1

b) c e x

+ 3 3 1

c) c e x

+ 3

1

__________ 13. La integral de dx e x ∫ − es:

a) c e x

+ 1 b) c

e x +

2 1

c) e x +c

________

14. La integral de ∫ x senxdx

2 cos es:

a) sen x cos x +c b) sec x +c c) sec 2 x +c

15. La integral de dx x ∫ − 2 es:

a) c x + − 2 3

) 2 (3 2

b) (x2) 2 3

+c c) 2 − x +c

_________________


a) c x + 2 2 ln 1

b) 2 x +c c) c + 2 ln 1

______________

17. La integral de ∫ 2

0

cos

π

xdx es:

a) 0 u 2 b) 1 u 2 c) 2 u 2

18. La integral de dx x∫ 2

0

3 es:

a) 16 u 2 b) 8 u 2 c) 4u 2


Cálculo FDA03

19. La integral de dx x x ) 4 5 ( 2

1

2 − + − ∫ es:

a) 2

5 1 u b) 2

7 6 u c) 2

6 7 u

______

20. La integral de dx x

x x ∫ −

+ − 5 3

25 109 36 2 4

es:

a) 2x 3 + 6x 2 +c b) 2x 3 +6x 2 +c c) 2x 3 6x 2 +c


Cálculo FDA03

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