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    Anne universitaire 2013-2014

    Le but du calcul diffrentiel est essentiellement de comprendre les phnomnes math-matiques qui interviennent une petite chelle de taille, afin de manipuler ce queles physiciens appellent parfois les infiniment petits. Dans la plupart des situationstudies, le fait de zoomer une petite partie dun objet diffrentiable a pour effetde rendre cette partie de plus en plus proche dun objet linaire ; ainsi une surfacediffrentiable est approche par son plan tangent au voisinage de chaque point.

    On notera quil existe des objets gomtriques plus compliqus, comme les ensemblesfractals, qui nont pas cette proprit : le fait de zoomer indfiniment ne conduit pas une simplification de lobjet.

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    Outre la manipulation des infiniment petits, un aspect essentiel du calcul diffrentielest de ramener la solution de problmes diffrentiables des problmes linaires, auprix dune erreur qui devient ngligeable petite chelle. Dans cette perspective,on est donc conduit faire intervenir de nombreux outils de lalgbre linaire. Laplupart des grands thormes affirment que si une certaine hypothse portant sur les

    objets linariss a lieu, alors la mme conclusion sapplique aux objets diffrentiables,au moins sur de petits voisinages. Nous travaillerons ici dans le cadre des espacesde Banach, car la proprit de compltude est essentielle pour assurer lexistence delimites ; de la mme manire quil existe des suites de rationnels qui ne convergent quedans le corps R des rels, le calcul diffrentiel souffrirait de nombreuses lacunes dansdes espaces non complets. Une grande partie des applications intressantes se situedj en dimension finie, voire en dimension 1, 2 ou 3, mais le fait de travailler dans desespaces de Banach Eplutt que Rn a dune part, lavantage de dgager le caractregomtrique intrinsque des proprits, et dautre part, de fournir des notations trscompactes : ainsi, il est plus simple de noter h Eque (h1, . . . , hn)Rn. Il nous aparu galement utile de distinguer points et vecteurs, les vecteurs apparaissant souventcomme de petits dplacements h effectus partir dun point x pour aboutir unpoint x+h ; nous avons donc rappel cet effet les notions lmentaires concernantles espaces affines. Ceci permet de dgager plus systmatiquement la nature affine ouvectorielle des notions en fonction des situations mises en jeu.

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    3. Thorme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274. quations diffrentielles dordre suprieur a un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    Chapitre VMthodes de rsolution explicites

    1. quations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452. quations du premier ordre non rsolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603. Problmes gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1664. quations diffrentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1735. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    Chapitre VIquations diffrentielles linaires

    1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872. Cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1883. quations dordre p coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1954. Cas des coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    Chapitre VIIStabilit des solutions et points singuliers dun champ de vecteurs

    1. Stabilit des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2112. Singularits dun champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    Chapitre VIIIquations diffrentielles dpendant dun paramtre

    1. Dpendance des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292. Petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2373. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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    et passage ladhrence ceci entrane que u(BE(0, r)) BF(0, ), donc en prenant= r1 on voit que que M= supxBE(0,1) u(x)F r1

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    Dmonstration. Soit (uj ) une suite de Cauchy dans Lc(E, F) pour la norme||| |||.Pour tout >0, il existe N0()tel que pour j, k N0() on ait|||uj uk||| . PourxEfix, on voit que

    uj (x)

    uk(x)

    F =

    (uj

    uk)(x)

    F

    |||uj

    uk

    ||| x

    E

    x

    E,

    donc la suite (uj (x)) est une suite de Cauchy dans F. Soit u(x) = limj+ uj (x)salimite. Il est immdiat que uest linaire. Dautre part lingalit prcdente fournit la limite

    u(x) uk(x)F xE = u(x) xE+ uk(x)F ( + |||uk|||)xE,

    et par consquent uest bien continue. Enfin lingalit ci-dessus donne|||u uk||| pour k N0(), donc (uk)converge vers udans Lc(E, F).

    1.8. Thorme de Baire. Dans un espace mtrique complet(X, d)non vide(i) toute intersection dnombrable douverts denses est dense;

    (ii) toute runion dnombrable de ferms dintrieur vide est dintrieur vide;

    (iii) si lespace entier est runion dnombrable de ferms, lun au moins de ces fermscontient un ouvert non vide.

    Dmonstration. Montrons dabord(i). On noted la distance de X et B(x, r), resp.B(x, r), lensemble des y tels que d(x, y) < r, resp. d(x, y) r (boules ouverteset fermes). Pour tablir (i), soient (Un)n1 une suite douverts denses de X et

    V un ouvert non vide de X. Comme U1 est dense, louvert V U1 contient uneboule ferme B(x1, r1), et on peut supposer 0 < r1 < 1. Comme U2 est dense,la boule ouverte B(x1, r1) rencontre U2, do une boule ferme B(x2, r2) telle queB(x2, r2) B(x1, r1)U2 VU1U2, et on peut supposer 0 < r2 < 1/2. Parrcurrence, on construit ainsi des boules fermes embotes B(xn, rn)telles que, pourn 2 on ait B(xn, rn) B(xn1, rn1)Un et 0 < rn < 1/n, ce qui implique deproche en proche

    B(xn, rn)V U1 . . . Un.Les centres xn forment une suite de Cauchy : en effet, si p n on a xp B(x, rp)B(xn, rn), donc d(xn, xp) < 1/n. Comme X est complet, la suite (xp) converge

    vers une limite x = limp+ xp et x B(xn, rn) pour tout n 1. Ceci impliquexVn1 Un. Par suite louvert V rencontre lintersectionn1 Un, et comme Vtait arbitraire, on a bien montr que

    n1 Un est un ouvert dense.

    (ii)se dduit de (i) par passage aux complmentaires.

    (iii)Si tous les ferms taient dintrieur vide, leur runion le serait aussi, et elle nepourrait donc concider avec lespace entier.

    1.9. Thorme de lapplication ouverte de Banach. SoientEetFdeux espacesde Banach, etu : E Fune application linaire continue et surjective deE surF.Alors u est une application ouverte (limage paru de tout ouvert deEest un ouvertdeF).

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    Dmonstration. Soit BE = BE(0, 1) la boule unit ouverte de E. Comme E est larunion des boules homothtiques nBEon a

    F =u(E) =

    n1u(nBE) =

    n1u(nBE).

    Daprs le thorme de Baire, on en dduit que lun des ferms u(n0BE)est dintrieurnon vide, donc contient une certaine boule boule ouverteBF(y0, r0)deF. Ceci implique

    BF(0, 2r0) =BF(y0, r0) BF(y0, r0)u(n0BE) u(n0BE)u(2n0BE)

    [en prenant une diffrence de suites situes dans n0BEdont les images converge vers unpointy =y1y2BF(y0, r0)BF(y0, r0)]. Aprs homothtie, ceci montre queu(BE)contient la boule BF(0, ) de rayon = r0/n0, et de mme que u(2kBE) contientBF(0, 2

    k). Fixons y

    F, y

    = 0. On a y0 = 2

    y

    F

    y

    BF(0, ), donc il existe

    x0BEtel que u(x0)soit arbitrairement proche de y0, disonsy0 u(x0)F

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    (i) est continue surE1 . . . Ep.(ii) est continue en(0, . . . , 0).

    (iii) M= supx11,...,xp1

    (x1, . . . , xp)< +.

    (iv) Il existe une constanteM 0telle que pour tout(x1, . . . , xp)E1 . . . Ep onait lingalit

    (x1, . . . , xp) Mx1 . . .xp.

    On dit alors queest une application multilinaire continue(ou borne).

    Dmonstration. Il est vident que (i) (ii). Montrons que (ii) (iii). Si est continue en (0, . . . , 0), il existe un voisinage de (0, . . . , 0) dans la produit, soitBE1(0, r1). . . BEp(0, rp) sur lequel(x1, . . . , xp) < = 1. Par homothtie etpassage ladhrence on voit facilement que

    M= supx11,...,xp1

    (x1, . . . , xp) 1r1 . . . rp

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