calcuclo integral pasito a paso i

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  • En matemtica, observamos diversos smbolos, una de ellas es una variante de la letra s larga, es el smbolo de la integral, f . Su creador Leibniz, lo tom de la letra inicial de la palabra latina summa, escrito rumma. En el alfabeto fontico internacional la s alargada, es llamada esh, f. Adems, ste smbolo se le conoce como la antiderivada.

    Una funcin F(x) se denomina antiderivada de otra funcin f(x) continua sobre un intervalo conocido, si se cumple la siguiente igualdad:

    Sea la funcin F(x) = x 4 una antiderivada de la funcin f(x) = 4x3 , porque, si diferenciamos

    F(x), es decir, F' (x) = 4x3 , ser igual que la funcin original.

    Adems, la funcin T(x) = x 4 + 9 , es tambin una antiderivada de f(x) = 4x3 , porque, si diferenciamos T(x), es decir, r' (x) = 4x3 +O, ser igual que la funcin original. En general se cumple lo siguiente:

    La suma de F(x) +e, se conoce como antiderivada general de f(x). Veamos la TABLA 2.1:

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    TABlA 2.1: Ejemplos ilustrativos de funciones originales

    R(x) = x 312

    Grupo Editorial Megabyte

    r(x) = ~x112 2

  • Unidad II - Integrales Indefinidas

    Ampliando: Si f(x) = 4x3 las antiderivadas generales son F1 (x) = x 4 -7, F2 (x) = x 4 + 2rr, y F3 (x) = x4 + 120e-rr etc. Obsrvese, los nmeros -7, 2n y 120e-n , son diferentes, y no hacen variar las funciones F1 (x), F2 (x) y F3 (x), por ello se consideran constantes, y se denotan

    por la letra e , de manera usual. Finalmente, la ant:Wrvaa genera{ de la funcin f(x) est dada por: F(x) +e (la letra e es una constante, e E IRl.). Por lo tanto, es importante mencionar que al calcular la antiderivada no se obtiene una nica funcin, sino toda una familia de funciones, que desde el punto de vista geomtrico, son curvas paralelas a F(x), veamos la Figura 2.1.

    fiGURA 2.1: Ejemplos de antiderivadas generales

    2.1.3.A. Definicin: Sea M(x) la antiderivada general de f(x), si se cumple M(x) = F(x) + e, tal que F'(x) = f(x), entonces a M(x) se le conoce como la integral indefinida de f(x). Notacin de la integral indefinida de f(x), cuando x pertenece a un intervalo conocido:

    DEBES SABER QUE: Si diferenciamos la doble igualdad en la definicin de la integral indefinida, tenemos: M'(x) = F'(x) = f(x), a sta relacin se le conoce como yro_pea funamenta{ de {as antdervads, por tanto, se cumple la siguiente relacin:

    d[F(x)] = f(x)dx

    Veamos los siguientes ejemplos ilustrativos en la TABLA 2.2:

    TABlA 2.2: Ejemplos ilustrativos de la integral indefinida

    Grupo Editorial Megabyte 39

  • Gabriel Loa - Clculo Integral

    La integral es indefinida, porque contiene una constante e, que puede tomar cualquier valor numrico.

    2.1.3.8. Notacin: Veamos el siguiente esquema, que representa la notacin de la integral indefinida.

    FIGURA 2.2: Notacin de la integral indefinida

    TABLA 2.3: Definicin de los elementos de la integral indefinida

    diferencial de x.

    En conclusin: El procedimiento para calcular la antiderivada se denomina integracin indefinida y se denota por el smbolo f, denominado operador de integracin o antiderivacin, de tal forma que la siguiente expresin: f f(x)dx, se denomina integral indefinida de f(x). Y finalmente, la integral indefinida se denota por: M(x) = f f(x)dx = F(x) +c.

    Existe una interpretacin geomtrica simple para la propiedad fundamental de las

    antiderivadas. Si F y G son derivadas de f , es correcto que: c'(x) = F'(x) = f(x), por lo tanto, se cumple: 3:.._ f f(x)dx = f(x).

    dx

    Significa, que la pendiente F' (x) de la recta tangente a y= F(x) en el punto (x, F(x)) es la

    misma pendiente c'(x) de la recta tangente a y=G(x) en el punto (x,G(x)), lo cual

    implica que las rectas son paralelas, como se muestra en la FIGURA 2.3. En conclusin, la curva y-= G(x) es paralela a la curva y= F(x), vlido para todo x, de manera que se

    cumple lo siguiente:

    40

  • Unidad II - Integrales Indefinidas

    FIGURA 2.3: Interpretacin geomtrica de las antiderivadas

    A continuacin, se muestra las propiedades ms importantes de la integral indefinida.

    TABLA 2.4: Propiedades de la integral indefinida

    Ejemplos ilustrativos con cada una de las propiedades:

    La derivada de la integral indefinida es igual al integrando (est resaltado en negrita).

    La antiderivada de f' (x) es f(x), siempre y cuando f(x) sea una funcin derivable en un intervalo conocido.

    integral indefinida se interpreta como una operacin inversa a la diferenciacin (es equivalente a I), es decir:

    d[f(x)] = f' (x)dx

    La diferencial de la integral indefinida es igual a la funcin integrando por la diferencial de x.

    Sea f(x) = 4x3 ; determine:~ [f f(x)dx] , aplicamos la propiedad correspondiente: dx

    :x [f f(x)dx] = [f 4x3 dx]' = [x4 +e]' = 4x3 Sea f'(x) = 5x4 y f(x) = x 5 , determine: f f'(x)dx, tenemos que, f 5x4 dx = x 5

    Grupo Editorial Megabyte 41

  • Gabriel Loa - Clculo Integral

    Sea f(x) = x2 , determine: J d(f(x)) , entonces tenemos J d(x2) = x2 + e

    Sea f(x) = 7x8 , halle: d[f f(x)dx] , entonces tenemos d[f 7x8 dx] = [f 7x8 dx]' dx = 7x8 dx

    Sea f(x), una funcin derivable, k y e son constantes de la integracin indefinida; se puede observar en la columna izquierda la frmula e inmediatamente el ejemplo ilustrativo al lado derecho, para su mejor comprensin; veamos la TABLA 2.5:

    TABlA 2.5: Frmulas bsicas de integracin

    1) J kdx =.kx +e

    3) J kf(x)dx = kff(:;)dx

    42

    J Sdy =By+ e

    f dx --=lnlx-21 +e x-2

    f 3x

    3xdx =-+e ln3

    J dx 1 x- 4\ x 2 - 42 = 2(4) In x + 4 +e

    f dx 1 x + 5\ 52 - x 2 = 2(5) In x- 5 +e

    J :::::.==d=x== = sen-1 (-x_-_4) +e )16-(x-4)2 4

    Grupo Editorial Megabyte

  • Unidad II - Integrales Indefinidas

    Las frmulas o reglas de integracin tienen nombres conocidos como: La frmula 1, es la regla de la constante, la nmero 2, es la regla de la potencia, la nmero 3, es la regla del factor constante por una funcin, la nmero 4, es la regla exponencial, la nmero 5, es la regla logartmica, y la nmero 6, es la regla de la suma y diferencia, entre otras.

    DEBES SABER QUE: Amigo lector, si Ud. efecta la diferenciacin del lado derecho, el resultado debe ser igual al

    integrando. Veamos la frmula 1, de la TABLA 2.5: !!.. (kx +e) =!!.. (kx) +!!..(e) =k+ O= dx dx dx

    k , de esta manera, puede verificar su procedimiento, para todas integrales, que realice.

    Debo mencionar que uno de los pasos ms importantes en la integracin es reescribir o darle la forma adecuada al integrando, en una forma que corresponda con las frmulas bsicas de integracin, siguiendo el patrn de la TABLA 2.6:

    TABlA 2.6: Proceso para reescribir el integrando

    TABLA 2.7: Ejemplos ilustrativos de cmo reescribir el integrando

    (hl/2) 2,4 1/2 +e 4,8h1/ 2 +e 1 2 5 -4 zP -P +e

    p2 (p-4) -+5- +e 2 -4

    3 21 -z7/3 --z4/3 +e 7 4

    Demostrar la regla de potencia:

    Para comprobar la regla de la potencia, es suficiente demostrar que la derivada de la

    funcin,

    _:!___ (xn+l) = (-1-) [(n + 1)xn] = xn dx n +1 n+ 1

    Grupo Editorial Megabyte 43

  • Gabriel Loa - Clculo Integral

    En consecuencia, dado que la derivada de (xn+l) es xn, en sentido contrario, la antiderivada n+1

    de xn es (xn+l) . Por supuesto que la antiderivada general se obtiene sumando la constante n+1

    de integracin e.

    Ejemplos ilustrativos:

    f 1 J r-2

    +1 r- 1 1 -dr = r- 2 dr =---+e=-+ e=--+ e r 2 -2+1 -1 r

    J 1 f t-1/2 +1 -dt = t- 112 dt = +e= 2Vt + e Vt (-~+1)

    f J f z0+1

    dz = 1dz = z 0 dz = 0

    + 1

    +e= z + e

    Es importante, tomar en cuenta que la variable de integracin comnmente es x , pero puede ser otra como Ud. puede observar (r, t, z) etc.

    Demostrar la regla de la constante por una funcin: f kf(x)dx =k f f(x)dx , k es una constante. Para comprobar la regla de la constante, es suficiente demostrar que la derivada

    de la derecha, k f f(x)dx es kf(x), de la siguiente manera:

    :x [k J f(x)dx] =k :x [f f(x)dx] = kf(x)

    Ejemplos ilustrativos, integracin trmino a trmino:

    dr = ---+ 7 + r dr J (100- Sr+ 7r

    2 + r

    3) J (100 5 )

    r 2 r 2 r

    =100fr-2dr -SJ.!dr+ 7frdr +frdr r

    (r-2+1) r1+1

    = 100 -- - Slnlrl + 7r +-+e -1 2

    100 Slnlrl + 7r +::.:_+e r 2

    DEBES SABER QUE: Amigo lector, las variables no pueden salir del signo integral, es decir; f xe-xdx * x f e-xdx. La integral de un producto no es el producto de las integrales, as:

    J f(x).g(x)dx =1= J f(x)dx. J g(x)dx 44 Grupo Editorial Megabyte

  • La integracin con condiciones iniciales tiene como objetivo determinar la constante de integracin e, empleando para ello el dato inicial del problema denominado condicin inicial CI, 0 tambin valor en la frontera, de esta manera se conocer de manera particular la nica funcin y= f(x) = y(x).

    Es decir, cualquier funcin de la forma f(x) = x 2 + e, tiene su derivada igual al valor 2x. Note, que debido a la constante de integracin e, no se conoce un f(x) nico. Sin embargo, si tiene un valor particular de x, es posible determinar el valor de e y as conocer especficamente f(x).

    Ejemplo ilustrativo: Si se conoce que, f(2) = 3, reemplazamos en la ecuacin f(x) = x 2 +e, f(2) = 22 +e , 3 = 4 +e, despejamos la constante, e = -1 , por lo tanto, obtenemos la funcn yarteu{ar u orgna[: f(x) = x 2 - 1. Es decir, ahora ya se conoce la funcin particular f(x) para la cual f' (x) = 2x y !(2) = 3. La

    condicin f(2) = 3, que da un valor para la funcin , y un valor especfico de x, se denomina condicin inicial.

    Ejemplo 1: Determine f(x), si f'(x) = (x 2 + 1)(4x- 3), con la condicin inicial que: !(1) =S.