calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più ...€¦ · analisi sismica di sistemi...

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell’Analisi Modale

Lezione 2/2

Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 2

La risposta a carichi variabili con la stessa legge 1/4

Si consideri un vettore di carico della forma

p(t) = s f (t)

in cui tutte le componenti variano nel tempo con la stessa legge f (t).

Il vettore s prende il nome di vettore di eccitazione e rappresenta la distribuzione spaziale, indipendente dal tempo, delle componenti del carico. Si nota che il carico equivalente a un’azione sismica ha la stessa forma della relazione precedente. Il vettore s può essere espresso nella somma di N contributi modali come segue

s = sii=1

N

∑ = Γ iM φii=1

N

∑

Il coefficiente Γi viene detto fattore di partecipazione modale e può essere calcolato attraverso le proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa M

φnT s = Γ iφn

TM φii=1

N

∑


La risposta a carichi variabili con la stessa legge

Pertanto, il vettore di eccitazione modale sn assume la forma

φnT s = Γ nφn

TM φn

Γ n =φnT s

φnTMφn

= φnT sMn

sn = Γ nM φn

Si nota che sn non dipende da come i modi sono stati normalizzati, al contrario di Γn. Si osserva, inoltre, che il vettore sn è proporzionale alle forze d’inerzia associate al modo n-esimo. Tali forze, infatti, si ottengono dalla relazione

fIn (t) =Mun (t) =Mφnqn (t)

…

e la loro distribuzione è data dal vettore Mϕn, proporzionale a quella di sn.



La risposta a carichi variabili con la stessa legge Nel caso in esame, il carico modale generalizzato assume la forma

e le equazioni del moto in termini di coordinate modali si scrivono

Pn t( ) = φnTp t( ) = φn

T s f t( ) = Γ iφnTM φi

i=1

N

∑ f t( ) = Γ nMn f t( )

qn (t)+ 2ξnωn qn (t)+ωn2qn (t) = Γ n f (t) n = 1, 2, ..., N

Il fattore di partecipazione modale Γn, pur dipendendo da come sono stati normalizzati i modi, rappresenta una misura del grado di partecipazione alla risposta totale del modo n-esimo. Ponendo

qn (t) = Γ nDn (t)si ha

Dn (t)+ 2ξnωn

Dn (t)+ωn2Dn (t) = f (t) n = 1, 2, ..., N

Queste equazioni sono formalmente identiche a quelle di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà con massa unitaria, rapporto di smorzamento ξn, e frequenza naturale ωn, sollecitato da un carico f(t). Quindi, tali equazioni possono essere risolte utilizzando gli stessi procedimenti sviluppati per i sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.



La risposta a carichi variabili con la stessa legge

Risolte le equazioni del moto disaccoppiate e determinate le coordinate modali attraverso le relazioni

i contributi modali alla risposta si ottengono dalle relazioni

un (t) = φnqn (t) = φnΓ nDn (t)

Per ogni contributo modale, il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioni interne assume la forma

fSn (t) = Kun (t) = Γ nKφnDn (t) = Γ nωn2MφnDn (t) = snωn

2Dn (t)

Ponendo An (t) =ωn

2Dn (t)

si può infine scrivere fSn (t) = snAn (t)

qn (t) = Γ nDn (t)

La quantità ωn2Dn(t) ha le dimensioni di un’accelerazione e viene in genere indicata come

pseudo-accelerazione.


Prof. Adolfo Santini - Lezioni di Dinamica delle Strutture 6

Analisi sismica di sistemi lineari 1/10

Nel caso di azioni sismiche, il vettore di carico assume la forma

peq (t) = −Mrug (t)

Si nota che anche in questo caso tutte le componenti variano con la stessa legge temporale. Ponendo s =Mr

sn = Mr( )n = Γ nM φn

Γ n =φnT s

φnTMφn

= φnTMr

φnTMφn

= LnMn

si può quindi definire il vettore di eccitazione modale

in cui il fattore di partecipazione modale è dato dall’espressione

Si può quindi scrivere

sn = Mr( )n =LnMn

M φn

in cui si è posto Ln = φn

TMr


Nel caso di azioni sismiche, le equazioni del moto in termini di coordinate modali si specializzano come segue

qn (t)+ 2ξnωn qn (t)+ωn2qn (t) = −Γ nug (t) n = 1, 2, ..., N

avendo posto qn (t) = Γ nDn (t)

Dn (t)+ 2ξnωn

Dn (t)+ωn2Dn (t) = −ug (t) n = 1, 2, ..., N

oppure




Risposte modali Il contributo dell’n-esimo modo alla risposta in termini di spostamenti un(t) è dato da

un (t) = φnqn (t) = φnΓ nDn (t) =Γ n

ωn2 φnAn (t)

fSn (t) = snAn (t)

rn (t) = rnst An (t)

Il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioni assume la forma

L’n-esimo contributo modale rn(t) alla generica risposta r(t) può essere calcolato, per ogni istante di tempo desiderato, attraverso un’analisi statica della struttura sollecitata dalle forze fSn(t). Indicando con rn

st l’aliquota della risposta corrispondente al vettore sn, si può scrivere

È importante sottolineare che la quantità rnst è indipendente dalla modalità di normalizzazione

dei modi.


Risposta totale La risposta totale si ottiene sommando i contributi di tutte le risposte modali, cioè

u(t) = un (t)n=1

N

∑ = Γ nφnDn (t)n=1

N

∑ = Γ n

ωn2 φnAn (t)

n=1

N

∑

fS (t) = fSn (t)n=1

N

∑ = snAn (t)n=1

N

∑

r(t) = rn (t)n=1

N

∑ = rnstAn (t)

n=1

N

∑


Il vettore delle forze assume la forma

Il generico parametro di risposta r(t) può essere calcolato, per ogni istante di tempo desiderato, sommando i contributi di tutte le risposte modali


Sommario del procedimento

1.  Si calcolano le frequenze ωn e i modi naturali di vibrazione . 2.  Si assegnano i rapporti di smorzamento modali ξn. 3.  Il vettore di eccitazione Mr si suddivide nelle sue componenti modali sn. 4.  Per ogni contributo modale si esegue un’analisi statica della struttura soggetta

alle forze sn e un’analisi dinamica del sistema lineare viscoso a un grado di libertà di frequenza ωn e rapporto di smorzamento ξn, soggetto all’accelerazione del suolo .

φn

ug (t)

L’analisi modale consiste, quindi, nell’analisi statica della struttura sollecitata dagli N insiemi di forze sn (n = 1, 2, …, N) e nell’analisi dinamica di N differenti sistemi a un grado di libertà. La risposta sismica della struttura è data dalla combinazione delle risposte modali.



Edifici multipiano con pianta simmetrica Si consideri il caso di edifici multipiano con due assi di simmetria in pianta e impalcati rigidi nel proprio piano, sollecitati da un’accelerazione del suolo diretta secondo uno degli assi di simmetria. In questo caso il vettore pseudostatico r ha componenti tutte unitarie e verrà indicato con il simbolo 1, cioè

r = 1Nel caso specifico si ha

Ln = Lnh = φn

TM1 = miφini=1

N

∑ Mn = φnTMφn = miφin

2

i=1

N

∑ Γ n =φnTM1

φnTMφn

= Lnh

Mn

=miφin

i=1

N

∑

miφin2

i=1

N

∑

sin = Γ nmiφinfSin = sinAn (t) uin (t) =

Γ n

ωn2 φinAn (t) = uin

stAn (t)

in cui mi è la massa dell’i-esimo impalcato.



Il taglio modale alla base risulta

Tbnst = sin

i=1

N

∑ = Γ n miφini=1

N

∑ = Γ nLnh = Ln

h

Mn

Lnh =

Lnh( )2Mn

= mn*

Tbn (t) = TbnstAn (t) = mn

*An (t)

Si nota che il generico contributo modale del taglio alla base è dato da un’espressione analoga a quella relativa a un sistema lineare a un grado di libertà. La quantità prende il nome di massa modale efficace e risulta indipendente da come sono stati normalizzati i modi naturali di vibrazione.

mn*



Il momento ribaltante modale alla base risulta

Mbnst = hisin

i=1

N

∑ = Γ n himiφini=1

N

∑

Lnθ = himiφin

i=1

N

∑

Mbnst = Γ nLn

θ = Lnh

Mn

Lnθ =

Lnh( )2Mn

Lnθ

Lnh = mn

*hn* Mbn (t) = mn

*hn*An (t)

da cui ponendo

si ottiene

Anche il generico contributo modale del momento ribaltante alla base è dato da un’espressione analoga a quella di un sistema lineare a un grado di libertà. La quantità prende il nome di altezza modale efficace e risulta indipendente da come sono normalizzati i modi naturali di vibrazione.

hn*



I contributi modali alla risposta alla base di un sistema simmetrico a molti gradi di libertà sono associati a una massa posta all’altezza rispetto al piano delle fondazioni. La massa e l’altezza modale efficace del modo n-esimo dipendono dalla distribuzione delle masse lungo l’altezza dell’edificio e dalla forma del modo e sono indipendenti da come sono stati normalizzati i modi. La somma delle masse di tutti gli impalcati del sistema è uguale alla somma di tutte le masse modali efficaci, infatti

mn* hn

*

mii=1

N

∑ = 1TM1 = 1T s = 1T snn=1

N

∑ = 1T Γ nMφnn=1

N

∑

= Γ n 1TMφn( )

n=1

N

∑ = Γ nn=1

N

∑ miφini=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=

= Γ nLnh

n=1

N

∑ =Lnh( )2Mnn=1

N

∑ = mn*

n=1

N

∑



Generalmente i valori delle masse modali efficaci diminuiscono al crescere dell’indice del modo. Ciò consente di stabilire un criterio per considerare un numero di contributi modali notevolmente inferiore a N: una precisione sufficiente può essere raggiunta quando la somma delle masse modali efficaci, cioè della massa complessiva partecipante al moto, raggiunge una percentuale ritenuta sufficiente della massa totale dell’edificio, per esempio il 90%. Di solito bastano pochi contributi modali per raggiungere questa percentuale.


calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più ...€¦ · analisi sismica di sistemi...

Documents