cac chuyen de suu tam ve so hoc

8/14/2019 Cac Chuyen de Suu Tam Ve So Hoc

1/16

Ti liu mng

Bi 1 : CHNG MINH MT S KHNG PHI L S CHNHPHNG

Trong chng trnh Ton lp 6, cc em c hc v cc bi ton lin quan ti php chia htca mt s t nhin cho mt s t nhin khc 0 v c bit l c gii thiu v s chnh phng, l

s t nhin bng bnh phng ca mt s t nhin (chng hn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; ).Kt hp cc kin thc trn, cc em c th gii quyt bi ton : Chng minh mt s khng phil s chnh phng. y cng l mt cch cng c cc kin thc m cc em c hc. Nhng biton ny s lm tng thm lng say m mn ton cho cc em.

1. Nhn ch s tn cngV s chnh phng bng bnh phng ca mt s t nhin nn c th thy ngay s chnh phngphi c ch s tn cng l mt trong cc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. T cc em c th gii cbi ton kiu sau y :

Bi ton 1 : Chng minh s : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khng phi l s chnhphng.

Li gii : D dng thy ch s tn cng ca cc s 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ln lt l

6 ; 9 ; 4 ; 1. Do s n c ch s tn cng l 8 nn n khng phi l s chnh phng.Ch : Nhiu khi s cho c ch s tn cng l mt trong cc s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhngvn khng phi l s chnh phng. Khi cc bn phi lu thm mt cht na :

Nu s chnh phng chia ht cho s nguyn t p th phi chia ht cho p2.Bi ton 2 : Chng minh s 1234567890 khng phi l s chnh phng.Li gii : Thy ngay s 1234567890 chia ht cho 5 (v ch s tn cng l 0) nhng khng chia

ht cho 25 (v hai ch s tn cng l 90). Do s 1234567890 khng phi l s chnh phng.Ch : C th l lun 1234567890 chia ht cho 2 (v ch s tn cng l 0), nhng khng chia

ht cho 4 (v hai ch s tn cng l 90) nn 1234567890 khng l s chnh phng.Bi ton 3 : Chng minh rng nu mt s c tng cc ch s l 2004 th s khng phi l s

chnh phng.

Li gii : Ta thy tng cc ch s ca s 2004 l 6 nn 2004 chia ht cho 3 m khng chia ht 9nn s c tng cc ch s l 2004 cng chia ht cho 3 m khng chia ht cho 9, do s ny khngphi l s chnh phng.

2. Dng tnh cht ca s dChng hn cc em gp bi ton sau y :

Bi ton 4 : Chng minh mt s c tng cc ch s l 2006 khng phi l s chnh phng.Chc chn cc em s d b chong. Vy bi ton ny ta s phi ngh ti iu g ? V cho gi

thit v tng cc ch s nn chc chn cc em phi ngh ti php chia cho 3 hoc cho 9. Nhng likhng gp iu k diu nh bi ton 3. Th th ta ni c iu g v s ny ? Chc chn s ny chiacho 3 phi d 2. T ta c li gii.

Li gii : V s chnh phng khi chia cho 3 ch c s d l 0 hoc 1 m thi (coi nh bi tp cc em t chng minh !). Do tng cc ch s ca s l 2006 nn s chia cho 3 d 2. Chng ts cho khng phi l s chnh phng.Tng t cc em c th t gii quyt c 2 bi ton :

Bi ton 5 : Chng minh tng cc s t nhin lin tip t 1 n 2005 khng phi l s chnhphng.

Bi ton 6 : Chng minh s : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khng l s chnh phng.By gi cc em theo di bi ton sau ngh ti mt tnh hung mi.Bi ton 7 : Chng minh s :

n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 khng l s chnh phng.

GV : Nguyn Thanh Hi - Trng THCS L nh Kin 1


2/16

Ti liu mng

Nhn xt : Nu xt n chia cho 3, cc em s thy s d ca php chia s l 1, th l khng btchc c cch gii ca cc bi ton 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nu xt ch s tn cng cc em s thy ch s tncng ca n l 9 nn khng lm tng t c nh cc bi ton 1 ; 2. S d ca php chia n cho 4 ld thy nht, chnh l 3. Mt s chnh phng khi chia cho 4 s cho s d nh th no nh ? Ccem c th t chng minh v c kt qu : s d ch c th l 0 hoc 1. Nh vy l cc em giixong bi ton 7.

3. Kp s gia hai s chnh phng lin tipCc em c th thy rng : Nu n l s t nhin v s t nhin k tha mn n2 < k < (n + 1)2 th kkhng l s chnh phng. T cc em c th xt c cc bi ton sau :

Bi ton 8 : Chng minh s 4014025 khng l s chnh phng.Nhn xt : S ny c hai ch s tn cng l 25, chia cho 3 d 1, chia cho 4 cng d 1. Th l

tt c cc cch lm trc u khng vn dng c. Cc em c th thy li gii theo mt hng khc.Li gii : Ta c 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nn 20032 < 4014025 < 20042. Chng t

4014025 khng l s chnh phng.Bi ton 9 : Chng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khng l s chnh phng vi mi s t

nhin n khc 0.Nhn xt : i vi cc em lm quen vi dng biu thc ny th c th nhn ra A + 1 l s

chnh phng (y l bi ton quen thuc vi lp 8). Cc em lp 6, lp 7 cng c th chu kh c ligii.Li gii : Ta c :A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2

+ 3n +1)2.Mt khc :(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A.iu ny hin nhin ng v n 1. Chng t : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2. => A khng l schnh phng.Cc em c th rn luyn bng cch th gii bi ton sau :

Bi ton 10 : Hy tm s t nhin n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n l s chnh phng.Gi : Ngh n (n2 - n + 1)2.Bi ton 11 : Chng minh s 235 + 2312 + 232003 khng l s chnh phng.Gi : Ngh n php chia cho 3 hoc php chia cho 4.Bi ton 12 : C 1000 mnh ba hnh ch nht, trn mi mnh ba c ghi mt s trong cc s

t 2 n 1001 sao cho khng c hai mnh no ghi s ging nhau. Chng minh rng : Khng th ghptt c cc mnh ba ny lin nhau c mt s chnh phng.

Bi ton 13 : Chng minh rng : Tng cc bnh phng ca bn s t nhin lin tip khng thl s chnh phng.

Gi : Ngh ti php chia cho 4.Bi ton 14 : Chng minh rng s 333333 + 555555 + 777777 khng l s chnh phng.Gi : Ngh n php chia cho mt chc (?)Bi ton 15 : Lc u c hai mnh ba, mt cu b tinh nghch c cm mt mnh ba ln li x

ra lm bn mnh. Cu ta mong rng c lm nh vy n mt lc no s c s mnh ba l mt schnh phng. Cu ta c thc hin c mong mun khng ? kt thc bi vit ny, ti mun chc cc em hc tht gii mn ton ngay t u bc THCS v choti c ni ring vi cc qu thy c : nguyn tc chung chng minh mt s t nhin khng l schnh phng, l da vo mt trong cc iu kin cn mt s l s chnh phng (m nh ccqu thy c bit : mi iu kin cn trn i l dng ph nh !). T cc qu thy c c thsng to thm nhiu bi ton th v khc.



3/16

Ti liu mng

Bi 2 : CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG

Cc bn c gii thiu cc phng php chng minh mt s khng phi l s chnh phngtrong TTT2 s 9. Bi vit ny, ti mun gii thiu vi cc bn bi ton chng minh mt s l s chnhphng.Phng php 1 : Da vo nh ngha.

Ta bit rng, s chnh phng l bnh phng ca mt s t nhin. Da vo nh ngha ny, tac th nh hng gii quyt cc bi ton.

Bi ton 1 : Chng minh : Vi mi s t nhin n th an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l s chnhphng.

Li gii : Ta c :an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1= (n2 + 3n + 1)2

Vi n l s t nhin th n2 + 3n + 1 cng l s t nhin, theo nh ngha, an l s chnh phng.

Bi ton 2 : Chng minh s : l s chnh phng.Li gii :

Ta c :

Vy : l s chnh phng.Phng php 2 : Da vo tnh cht c bit.Ta c th chng minh mt tnh cht rt c bit : Nu a, b l hai s t nhin nguyn t cng

nhau v a.b l mt s chnh phng th a v b u l cc s chnh phng.



4/16

Ti liu mng

Bi ton 3 : Chng minh rng : Nu m, n l cc s t nhin tha mn 3m2 + m = 4n2 + n th m -n v 4m + 4n + 1 u l s chnh phng.

Li gii :Ta c : 3m2 + m = 4n2 + ntng ng vi 4(m2 - n2) + (m - n) = m2hay l (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)

Gi d l c chung ln nht ca m - n v 4m + 4n + 1 th (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia ht cho d =>8m + 1 ch ht cho d.Mt khc, t (*) ta c : m2 chia ht cho d2 => m chia ht cho d.T 8m + 1 chia ht cho d v m chia ht cho d ta c 1 chia ht cho d => d = 1.Vy m - n v 4m + 4n + 1 l cc s t nhin nguyn t cng nhau, tha mn (*) nn chng u l ccs chnh phng. Cui cng xin gi ti cc bn mt s bi ton th v v s chnh phng :1) Chng minh cc s sau y l s chnh phng :

2) Cho cc s nguyn dng a, b, c i mt nguyn t cng nhau, tha mn : 1/a + 1/b = 1/c. Hy chobit a + b c l s chnh phng hay khng ?3) Chng minh rng, vi mi s t nhin n th 3n + 4 khng l s chnh phng.4) Tm s t nhin n n2 + 2n + 2004 l s chnh phng.

5) Chng minh : Nu : v n l hai s t nhin th a l s chnh phng.

Bi 3 : TM CH S TN CNGTm ch s tn cng ca mt s t nhin l dng ton hay. a s cc ti liu v dng ton ny

u s dng khi nim ng d, mt khi nim tru tng v khng c trong chng trnh. V th c

khng t hc sinh, c bit l cc bn lp 6 v lp 7 kh c th hiu v tip thu c.Qua bi vit ny, ti xin trnh by vi cc bn mt s tnh cht v phng php gii bi ton tm chs tn cng, ch s dng kin thc THCS.Chng ta xut pht t tnh cht sau :

Tnh cht 1 :a) Cc s c ch s tn cng l 0, 1, 5, 6 khi nng ln ly tha bc bt k th ch s tn cngvn khng thay i.b) Cc s c ch s tn cng l 4, 9 khi nng ln ly tha bc l th ch s tn cng vn khngthay i.c) Cc s c ch s tn cng l 3, 7, 9 khi nng ln ly tha bc 4n (n thuc N) th ch s tncng l 1.

d) Cc s c ch s tn cng l 2, 4, 8 khi nng ln ly tha bc 4n (n thuc N) th ch s tncng l 6.

Vic chng minh tnh cht trn khng kh, xin dnh cho bn c. Nh vy, mun tm ch s tn cngca s t nhin x = am, trc ht ta xc nh ch s tn cng ca a.- Nu ch s tn cng ca a l 0, 1, 5, 6 th x cng c ch s tn cng l 0, 1, 5, 6.- Nu ch s tn cng ca a l 3, 7, 9, v am = a4n + r = a4n.ar vi r = 0, 1, 2, 3 nn t tnh cht 1c => chs tn cng ca x chnh l ch s tn cng ca ar.- Nu ch s tn cng ca a l 2, 4, 8, cng nh trng hp trn, t tnh cht 1d => ch s tn cng cax chnh l ch s tn cng ca 6.ar.



5/16

Ti liu mng

Bi ton 1 : Tm ch s tn cng ca cc s :a) 799 b) 141414 c) 4567

Li gii :a) Trc ht, ta tm s d ca php chia 99 cho 4 :99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + + 9 + 1) chia ht cho 4=> 99 = 4k + 1 (k thuc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7

Do 74k

c ch s tn cng l 1 (theo tnh cht 1c) => 799

c ch s tn cng l 7.b) D thy 1414 = 4k (k thuc N) => theo tnh cht 1d th 141414 = 144kc ch s tn cng l 6.c) Ta c 567 - 1 chia ht cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuc N)=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tnh cht 1d, 44kc ch s tn cng l 6 nn 4567 c ch s tn cng l 4.

Tnh cht sau c => t tnh cht 1.Tnh cht 2 : Mt s t nhin bt k, khi nng ln ly tha bc 4n + 1 (n thuc N) th ch s

tn cng vn khng thay i.Ch s tn cng ca mt tng cc ly tha c xc nh bng cch tnh tng cc ch s tn cng catng ly tha trong tng.

Bi ton 2 : Tm ch s tn cng ca tng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009.Li gii :

Nhn xt : Mi ly tha trong S u c s m khi chia cho 4 th d 1 (cc ly tha u c dng n

4(n - 2) +

1, n thuc {2, 3, , 2004}).Theo tnh cht 2, mi ly tha trong S v cc c s tng ng u c ch s tn cng ging nhau, bngch s tn cng ca tng :

(2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009.Vy ch s tn cng ca tng S l 9.T tnh cht 1 tip tc => tnh cht 3.Tnh cht 3 :a) S c ch s tn cng l 3 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 7 ; sc ch s tn cng l 7 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 3.b) S c ch s tn cng l 2 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 8 ; sc ch s tn cng l 8 khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s c ch s tn cng l 2.c) Cc s c ch s tn cng l 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nng ln ly tha bc 4n + 3 s khng thayi ch s tn cng.Bi ton 3 : Tm ch s tn cng ca tng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011.Li gii :

Nhn xt : Mi ly tha trong T u c s m khi chia cho 4 th d 3 (cc ly tha u c dng n4(n - 2) +3, n thuc {2, 3, , 2004}).Theo tnh cht 3 th 23 c ch s tn cng l 8 ; 37 c ch s tn cng l 7 ; 411 c ch s tn cng l 4 ;Nh vy, tng T c ch s tn cng bng ch s tn cng ca tng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) +199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7+ 4 = 9019.Vy ch s tn cng ca tng T l 9.* Trong mt s bi ton khc, vic tm ch s tn cng dn n li gii kh c o.

Bi ton 4 : Tn ti hay khng s t nhin n sao cho n2 + n + 1 chia ht cho 19952000.Li gii : 19952000 tn cng bi ch s 5 nn chia ht cho 5. V vy, ta t vn l liu n2 + n

+ 1 c chia ht cho 5 khng ?Ta c n2 + n = n(n + 1), l tch ca hai s t nhin lin tip nn ch s tn cng ca n2 + n ch c th l0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 ch c th tn cng l 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 khng chia ht cho 5.Vy khng tn ti s t nhin n sao cho n2 + n + 1 chia ht cho 19952000.



6/16

Ti liu mng

S dng tnh cht mt s chnh phng ch c th tn cng bi cc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 , ta cth gii c bi ton sau :

Bi ton 5 : Chng minh rng cc tng sau khng th l s chnh phng :a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (vi k chn)b) N = 20042004k+ 2003

S dng tnh cht mt s nguyn t ln hn 5 ch c th tn cng bi cc ch s 1 ; 3 ; 7 ; 9 , ta tip

tc gii quyt c bi ton :Bi ton 6 : Cho p l s nguyn t ln hn 5. Chng minh rng : p8n +3.p4n - 4 chia ht cho 5.* Cc bn hy gii cc bi tp sau :Bi 1 : Tm s d ca cc php chia :a) 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5b) 23 + 37 + 411 + + 20038007 cho 5Bi 2 : Tm ch s tn cng ca X, Y :X = 22 + 36 + 410 + + 20048010Y = 28 + 312 + 416 + + 20048016Bi 3 : Chng minh rng ch s tn cng ca hai tng sau ging nhau :U = 21 + 35 + 49 + + 20058013

V = 2

3

+ 3

7

+ 4

11

+ + 2005

8015

Bi 4 : Chng minh rng khng tn ti cc s t nhin x, y, z tha mn :19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004.

* Cc bn th nghin cu cc tnh cht v phng php tm nhiu hn mt ch s tn cng ca mt st nhin, chng ta s tip tc trao i v vn ny.

* Tm hai ch s tn cngNhn xt : Nu x N v x = 100k + y, trong k ; y N th hai ch s tn cng ca x cng

chnh l hai ch s tn cng ca y.Hin nhin l y x. Nh vy, n gin vic tm hai ch s tn cng ca s t nhin x th thay vo ta i tm hai ch s tn cng ca s t nhin y (nh hn).R rng s y cng nh th vic tm cc ch s tn cng ca y cng n gin hn.T nhn xt trn, ta xut phng php tm hai ch s tn cng ca s t nhin x = am nh sau :

Trng hp 1 : Nu a chn th x = am 2m. Gi n l s t nhin sao cho an - 1 25.Vit m = pn + q (p ; q N), trong q l s nh nht aq 4 ta c :x = am = aq(apn - 1) + aq.V an - 1 25 => apn - 1 25. Mt khc, do (4, 25) = 1 nn aq(apn - 1) 100.Vy hai ch s tn cng ca am cng chnh l hai ch s tn cng ca aq. Tip theo, ta tm haich s tn cng ca aq.Trng hp 2 : Nu a l , gi n l s t nhin sao cho an - 1 100.Vit m = un + v (u ; v N, 0 v < n) ta c :x = am = av(aun - 1) + av.V an - 1 100 => aun - 1 100.Vy hai ch s tn cng ca am cng chnh l hai ch s tn cng ca av. Tip theo, ta tm haich s tn cng ca av.Trong c hai trng hp trn, cha kha gii c bi ton l chng ta phi tm c s t

nhin n. Nu n cng nh th q v v cng nh nn s d dng tm hai ch s tn cng ca a q v av.Bi ton 7 :Tm hai ch s tn cng ca cc s :a) a2003 b) 799Li gii : a) Do 22003 l s chn, theo trng hp 1, ta tm s t nhin n nh nht sao cho 2n - 1

25.



7/16

Ti liu mng

Ta c 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 23(220 - 1) 100.Mt khc :22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k N).Vy hai ch s tn cng ca 22003 l 08. b) Do 799 l s l, theo trng hp 2, ta tm s t nhin n b nht sao cho 7n - 1 100.Ta c 74 = 2401 => 74 - 1 100.

Mt khc : 99

- 1 4 => 99

= 4k + 1 (k N)Vy 799 = 74k + 1 = 7(74k- 1) + 7 = 100q + 7 (q N) tn cng bi hai ch s 07.Bi ton 8 :Tm s d ca php chia 3517 cho 25.Li gii : Trc ht ta tm hai ch s tn cng ca 3517. Do s ny l nn theo trng hp 2, ta

phi tm s t nhin n nh nht sao cho 3n - 1 100.Ta c 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) 100.Mt khc : 516 - 1 4 => 5(516 - 1) 20=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k- 1) + 35 = 35(320k- 1) + 243, c hai ch s tncng l 43.Vy s d ca php chia 3517 cho 25 l 18.

Trong trng hp s cho chia ht cho 4 th ta c th tm theo cch gin tip.Trc tin, ta tm s d ca php chia s cho 25, t suy ra cc kh nng ca hai ch s tn cng.Cui cng, da vo gi thit chia ht cho 4 chn gi tr ng.Cc th d trn cho thy rng, nu a = 2 hoc a = 3 th n = 20 ; nu a = 7 th n = 4.Mt cu hi t ra l : Nu a bt k th n nh nht l bao nhiu ? Ta c tnh cht sau y (bn c tchng minh).

Tnh cht 4 : Nu a N v (a, 5) = 1 th a20 - 1 25.Bi ton 9 : Tm hai ch s tn cng ca cc tng :a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003Li gii :

a) D thy, nu a chn th a2

chia ht cho 4 ; nu a l th a100

- 1 chia ht cho 4 ; nu a chia ht cho 5 tha2 chia ht cho 25.Mt khc, t tnh cht 4 ta suy ra vi mi a N v (a, 5) = 1 ta c a100 - 1 25.Vy vi mi a N ta c a2(a100 - 1) 100.Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042.V th hai ch s tn cng ca tng S1 cng chnh l hai ch s tn cng ca tng 12 + 22 + 32 + ... +20042. p dng cng thc :

12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tn cng l 30.Vy hai ch s tn cng ca tng S1 l 30.

b) Hon ton tng t nh cu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043. V

th, hai ch s tn cng ca tng S2 cng chnh l hai ch s tn cng ca 1

3

+ 2

3

+ 3

3

+ ... + 2004

3

.p dng cng thc :

=> 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tn cng l 00.Vy hai ch s tn cng ca tng S2 l 00.Tr li bi ton 5 (TTT2 s 15), ta thy rng c th s dng vic tm ch s tn cng nhnbit mt s khng phi l s chnh phng. Ta cng c th nhn bit iu thng qua vic tmhai ch s tn cng.



8/16

Ti liu mng

Ta c tnh cht sau y (bn c t chng minh).Tnh cht 5 : S t nhin A khng phi l s chnh phng nu :+ A c ch s tn cng l 2, 3, 7, 8 ;+ A c ch s tn cng l 6 m ch s hng chc l ch s chn ;+ A c ch s hng n v khc 6 m ch s hng chc l l ;+ A c ch s hng n v l 5 m ch s hng chc khc 2 ;

+ A c hai ch s tn cng l l.Bi ton 10 : Cho n N v n - 1 khng chia ht cho 4. Chng minh rng 7n + 2 khng th l schnh phng.

Li gii : Do n - 1 khng chia ht cho 4 nn n = 4k + r (r {0, 2, 3}). Ta c 74 - 1 = 2400 100.Ta vit 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k- 1) + 7r + 2.Vy hai ch s tn cng ca 7n + 2 cng chnh l hai ch s tn cng ca 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nn ch cth l 03, 51, 45. Theo tnh cht 5 th r rng 7n + 2 khng th l s chnh phng khi n khng chia htcho 4.

* Tm ba ch s tn cngNhn xt : Tng t nh trng hp tm hai ch s tn cng, vic tm ba ch s tn cng ca

s t nhin x chnh l vic tm s d ca php chia x cho 1000.

Nu x = 1000k + y, trong k ; y N th ba ch s tn cng ca x cng chnh l ba ch s tn cngca y (y x).Do 1000 = 8 x 125 m (8, 125) = 1 nn ta xut phng php tm ba ch s tn cng ca s t nhinx = am nh sau :

Trng hp 1 : Nu a chn th x = am chia ht cho 2m. Gi n l s t nhin sao cho an - 1 chiaht cho 125.Vit m = pn + q (p ; q N), trong q l s nh nht aq chia ht cho 8 ta c :

x = am = aq(apn - 1) + aq.V an - 1 chia ht cho 125 => apn - 1 chia ht cho 125. Mt khc, do (8, 125) = 1 nn aq(apn - 1) chia htcho 1000.Vy ba ch s tn cng ca am cng chnh l ba ch s tn cng ca aq. Tip theo, ta tm ba ch s tncng ca aq.

Trng hp 2 : Nu a l , gi n l s t nhin sao cho an - 1 chia ht cho 1000.Vit m = un + v (u ; v N, 0 v < n) ta c :x = am = av(aun - 1) + av.V an - 1 chia ht cho 1000 => aun - 1 chia ht cho 1000.Vy ba ch s tn cng ca am cng chnh l ba ch s tn cng ca av. Tip theo, ta tm ba ch s tncng ca av.Tnh cht sau c suy ra t tnh cht 4.

Tnh cht 6 :Nu a N v (a, 5) = 1 th a100 - 1 chia ht cho 125.Chng minh : Do a20 - 1 chia ht cho 25 nn a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 c cng s d l 1=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia ht cho 5. Vy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia htcho 125.Bi ton 11 :Tm ba ch s tn cng ca 123101.Li gii : Theo tnh cht 6, do (123, 5) = 1 => 123100 - 1 chia ht cho 125 (1).Mt khc :123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia ht cho 8 (2).V (8, 125) = 1, t (1) v (2) suy ra : 123100 - 1 chi ht cho 1000=> 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k N).



9/16

Ti liu mng

Vy 123101 c ba ch s tn cng l 123.Bi ton 12 :Tm ba ch s tn cng ca 3399...98.Li gii : Theo tnh cht 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi ht cho 125 (1).

Tng t bi 11, ta c 9100 - 1 chia ht cho 8 (2).V (8, 125) = 1, t (1) v (2) suy ra : 9100 - 1 chia ht cho 1000 => 3399...98 = 9199...9 = 9100p + 99 = 999(9100p -

1) + 999

= 1000q + 999

(p, q N).Vy ba ch s tn cng ca 3399...98 cng chnh l ba ch s tn cng ca 999.Li v 9100 - 1 chia ht cho 1000 => ba ch s tn cng ca 9100 l 001 m 999 = 9100 : 9 => ba ch s tncng ca 999 l 889 (d kim tra ch s tn cng ca 999 l 9, sau da vo php nhn

xc nh ).Vy ba ch s tn cng ca 3399...98 l 889.Nu s cho chia ht cho 8 th ta cng c th tm ba ch s tn cng mt cch gin tip theo cc bc: Tm d ca php chia s cho 125, t suy ra cc kh nng ca ba ch s tn cng, cui cngkim tra iu kin chia ht cho 8 chn gi tr ng.

Bi ton 13 :Tm ba ch s tn cng ca 2004200.

Li gii : do (2004, 5) = 1 (tnh cht 6)=> 2004100 chia cho 125 d 1=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 d 1=> 2004200 ch c th tn cng l 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004 200 chia ht cho 8nn ch c th tn cng l 376.

T phng php tm hai v ba ch s tn cng trnh by, chng ta c th m rng tm nhiu hnba ch s tn cng ca mt s t nhin.

Sau y l mt s bi tp vn dng :Bi 1 : Chng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia ht cho 5 khi v ch khi n khng chia ht cho 4.Bi 2 : Chng minh 920002003, 720002003 c ch s tn cng ging nhau.Bi 3 : Tm hai ch s tn cng ca :

a) 3999

b) 111213

Bi 4 : Tm hai ch s tn cng ca :S = 23 + 223 + ... + 240023Bi 5 : Tm ba ch s tn cng ca :S = 12004 + 22004 + ... + 20032004Bi 6 : Cho (a, 10) = 1. Chng minh rng ba ch s tn cng ca a101 cng bng ba ch s tn

cng ca a.Bi 7 : Cho A l mt s chn khng chia ht cho 10. Hy tm ba ch s tn cng ca A200.Bi 8 : Tm ba ch s tn cng ca s :199319941995 ...2000Bi 9 : Tm su ch s tn cng ca 521.

Bi 4 : MT DNG TON V CLN V BCNN

Trong chng trnh s hc lp 6, sau khi hc cc khi nim c chung ln nht (CLN) v bichung nh nht (BCNN), cc bn s gp dng ton tm hai s nguyn dng khi bit mt s yu ttrong c cc d kin v CLN v BCNN.



10/16

Ti liu mng

Phng php chung gii :1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tm, lin h vi cc yu t cho tm hai s.2/ Trong mt s trng hp, c th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tch ca hais nguyn dng a, b, l : ab = (a, b).[a, b], trong (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b.Vic chng minh h thc ny khng kh :Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 (*)

T (*) => ab = mnd2

; [a, b] = mnd=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab=> ab = (a, b).[a, b] . (**)Chng ta hy xt mt s v d minh ha.Bi ton 1 : Tm hai s nguyn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16. Li gii : Do vai tr

ca a, b l nh nhau, khng mt tnh tng qut, gi s a b.T (*), do (a, b) = 16 nn a = 16m ; b = 16n (m n do a b) vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1.Theo nh ngha BCNN :[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15=> m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80.

Ch : Ta c th p dng cng thc (**) gii bi ton ny : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 =

240.16 suyy ra mn = 15.Bi ton 2 : Tm hai s nguyn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6.Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b.

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 ; m n.V vy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tng ng mn = 6 tng ng m = 1, n = 6 hoc m = 2, n= 3 tng ng vi a = 6, b = 36 hocc l a = 12, b = 18.

Bi ton 3 : Tm hai s nguyn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60.Li gii :

T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.Tm c (a, b) = 3, bi ton c a v dng bi ton 2.Kt qu : a = 3, b = 60 hoc a = 12, b = 15.

Ch : Ta c th tnh (a, b) mt cch trc tip t nh ngha CLN, BCNN : Theo (*) ta c ab= mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.

Bi ton 4 : Tm hai s nguyn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5.Li gii : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1.

V vy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tng ng vi m = 13 v n = 5 hay a = 65 v b = 25.Ch : phn s tng ng vi 2,6 phi chn l phn s ti gin do (m, n) = 1.Bi ton 5 : Tm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140.Li gii : t (a, b) = d. V , a/b = 4/5 , mt khc (4, 5) = 1 nn a = 4d, b = 5d.Lu [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.Bi ton 6 : Tm hai s nguyn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16.Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b.

Ta c : a = 16m ; b = 16n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1 ; m n.V vy : a + b = 128 tng ng 16(m + n) = 128 tng ng m + n = 8Tng ng vi m = 1, n = 7 hoc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoc a = 48, b = 80

Bi ton 7 : Tm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72.Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1.Khng mt tnh tng qut, gi s a b => m n.Do : a + b = d(m + n) = 42 (1)

[a, b] = mnd = 72 (2)=> d l c chung ca 42 v 72 => d thuc {1 ; 2 ; 3 ; 6}.



11/16

Ti liu mng

Ln lt thay cc gi tr ca d vo (1) v (2) tnh m, n ta thy ch c trng hp d = 6 => m+ n = 7 v mn = 12 => m = 3 v n = 4 . (tha mn cc iu kin ca m, n). Vy d = 6 v a = 3.6= 18 , b = 4.6 = 24Bi ton 8 : Tm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140.

Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = 1.Do : a - b = d(m - n) = 7 (1)

[a, b] = mnd = 140 (2)=> d l c chung ca 7 v 140 => d thuc {1 ; 7}.Thay ln lt cc gi tr ca d vo (1) v (2) tnh m, n ta c kt qu duy nht :d = 7 => m - n = 1 v mn = 20 => m = 5, n = 4Vy d = 7 v a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .

Bi tp t gii :1/ Tm hai s a, b bit 7a = 11b v (a, b) = 45.2/ Tm hai s bit tng ca chng bng 448, CLN ca chng bng 16 v chng c cc ch s hngn v ging nhau.3/ Cho hai s t nhin a v b. Tm tt c cc s t nhin c sao cho trong ba s, tch ca hai s lun chiaht cho s cn li.

Bi 5 : NGUYN L I - RCH - L

Nguyn l i-rch-l pht biu nh sau : Nu c m vt t vo n ci ngn ko v m > n th c t nhtmt ngn ko cha t nht hai vt. Nguyn l i-rch-l ch gip ta chng minh c s tn ti ngnko cha t nht hai vt m khng ch ra c l ngn ko no. Cc bn hy lm quen vic vndng nguyn l qua cc bi ton sau y.

Bi ton 1 : Chng minh rng trong 11 s t nhin bt k bao gi cng tn ti t nht 2 s chiu chia ht cho 10.

Li gii :Vi 11 s t nhin khi chia cho 10 ta c 11 s d, m mt s t nhin bt k khi chia cho 10 c 10

kh nng d l 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9.V c 11 s d m ch c 10 kh nng d, theo nguyn l i-rch-l, tn ti t nht 2 s khi chia cho 10c cng s d do hiu ca chng chia ht cho 10 (pcm).

Bi ton 2 : Chng minh rng tn ti s c dng 19941994...199400...0 chia ht cho 1995.Li gii :

Xt 1995 s c dng : 1994 ; 19941994 ; ... ; .Nu mt trong cc s trn chia ht cho 1995 th d dng c pcm.Nu cc s trn u khng chia ht cho 1995 th khi chia tng s cho 1995 s ch c 1994 kh nng dl 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 1994.V c 1995 s d m ch c 1994 kh nng d, theo nguyn l i-rch-l tn ti t nht 2 s khi chia cho

1995 c cng s d, hiu ca chng chia ht cho 1995. Gi s hai s l :Khi : = 1994...199400...0 chia ht cho 1995 (pcm).

Bi ton 3 : Chng minh rng tn ti s t nhin k sao cho (1999^k - 1) chia ht cho104.

Li gii : Xt 104 + 1 s c dng :19991 ; 19992 ; ... ; 1999104 + 1.

Lp lun tng t bi ton 2 ta c :(1999m - 1999n) chia ht cho 104 (m > n)



12/16

Ti liu mng

hay 1999n (1999m-n - 1) chia ht cho 104V 1999n v 104 nguyn t cng nhau, do (1999m-n - 1) chia ht cho 104.t m - n = k => 1999^k - 1 chia ht cho 104 (pcm).

Bi ton 4 : Chng minh rng tn ti mt s ch vit bi hai ch s chia ht cho 2003.Li gii : Xt 2004 s c dng 1 ; 11 ; 111 ; ... ;Lp lun tng t bi ton 2 ta c :

hay 11...100...0 chia ht cho 2003 (pcm).Mt s bi ton t gii :

Bi ton 5 : Chng minh rng mi s nguyn t p ta c th tm c mt s c vit bi haich s chia ht cho p.

Bi ton 6 : Chng minh rng nu mt s t nhin khng chia ht cho 2 v 5 th tn ti bi can c dng : 111...1.

Bi ton 7 : Chng minh rng tn ti s c dng 1997k (k thuc N) c tn cng l 0001.Bi ton 8 : Chng minh rng nu cc s nguyn m v n nguyn t cng nhau th tm c s

t nhin k sao cho mk - 1 chia ht cho n.Cc bn hy n c s sau : Nguyn l i-rch-l vi nhng bi ton hnh hc th v.

Bi 6 : NGUYN L I-RCH-L& NHNG BI TON HNH HC TH V

Nguyn l c th m rng nh sau : Nu c m vt t vo n ci ngn ko v m > k.n th c tnht mt ngn ko cha t nht k + 1 vt. Vi m rng ny, ta cn c th gii quyt thm nhiu bi tonkhc. Sau y xin gii thiu bn c lm quen vic vn dng nguyn l i-rch-l vi mt s biton hnh hc.

Bi ton 1 : Trong tam gic u c cnh bng 4 (n v di, c hiu n cui bi vit) ly17 im. Chng minh rng trong 17 im c t nht hai im m khong cch gia chng khngvt qu 1.

Li gii : Chia tam gic u c cnh bng 4 thnh 16 tam gic u c cnh bng 1 (hnh 1). V17 > 16, theo nguyn l i-rch-l, tn ti t nht mt tam gic u cnh bng 1 c cha t nht 2 imtrong s 17 im cho. Khong cch gia hai im lun khng vt qu 1 (pcm).

Bi ton 2 : Trong mt hnh vung cnh bng 7, ly 51 im. Chng minh rng c 3 im trong51 im cho nm trong mt hnh trn c bn knh bng 1.

Li gii : Chia hnh vung cnh bng 7 thnh 25 hnh vung bng nhau, cnh ca mi hnhvung nh bng 5/7 (hnh 2).



13/16

Ti liu mng

V 51 im cho thuc 25 hnh vung nh, m 51 > 2.25 nn theo nguyn l i-rch-l, c t nht mthnh vung nh cha t nht 3 im (3 = 2 + 1) trong s 51 im cho. Hnh vung cnh bng c bnknh ng trn ngoi tip l :

Vy bi ton c chng minh. Hnh trn ny chnh l hnh trn bn knh bng 1, cha hnh vung ta ch ra trn.

Bi ton 3 : Trong mt phng cho 2003 im sao cho c 3 im bt k c t nht 2 im cchnhau mt khong khng vt qu 1. Chng minh rng : tn ti mt hnh trn bn knh bng 1 cha tnht 1002 im.

Li gii : Ly mt im A bt k trong 2003 im cho, v ng trn C1 tm A bn knhbng 1.

+ Nu tt c cc im u nm trong hnh trn C1 th hin nhin c pcm.+ Nu tn ti mt im B m khong cch gia A v B ln hn 1 th ta v ng trn C2 tm Bbn knh bng 1.

Khi , xt mt im C bt k trong s 2001 im cn li. Xt 3 im A, B, C, v AB > 1 nn theo githit ta c AC 1 hoc BC 1. Ni cch khc, im C phi thuc C1 hoc C2. => 2001 im khc B vA phi nm trong C1 hoc C2. Theo nguyn l i-rch-l ta c mt hnh trn cha t nht 1001 im.Tnh thm tm ca hnh trn ny th hnh trn ny chnh l hnh trn bn knh bng 1 cha t nht 1002im trong 2003 im cho.

Bi ton 4 : Cho hnh bnh hnh ABCD, k 17 ng thng sao cho mi ng thng chiaABCD thnh hai hnh thang c t s din tch bng 1/3 . Chng minh rng, trong 17 ng thng c5 ng thng ng quy.



14/16

Ti liu mng

Li gii : Gi M, Q, N, P ln lt l cc trung im ca AB, BC, CD, DA (hnh 3).V ABCD l hnh bnh hnh => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD.Gi d l mt trong 17 ng thng cho. Nu d ct AB ti E ; CD ti F ; PQ ti L th LP, LQ ln ltl ng trung bnh ca cc hnh thang AEFD, EBCF. Ta c :S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 hoc S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 hoc l LQ / LP = 1/3.Trn PQ ly hai im L1, L2 tha mn iu kin L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi L trng vi L1 hocL trng vi L2. Ngha l nu d ct AB v CD th d phi qua L1 hoc L2.Tng t, trn MN ly hai im K1, K2 tha mn iu kin K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 khi nu dct AD v BC th d phi qua K1 hoc K2.Tm li, mi ng thng trong s 17 ng thng cho phi i qua mt trong 4 im L1 ; L2 ; K1 ;K2.

V 17 > 4.4 nn theo nguyn l i-rch-l, trong 17 ng thng s c t nht 5 ng thng (5 = 4 +1) cng i qua mt trong 4 im L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 ng thng ng quy, pcm).Sau y l mt s bi tp tng t.

Bi 1 : Trong hnh ch nht c kch thc 3 x 5, ly 7 im bt k. Chng minh rng c haiim cch nhau mt khong khng vt qu

Bi 2 : Trong mt phng ta , cho ng gic li c tt c cc nh l cc im nguyn (chonh v tung l s nguyn). Chng minh rng trn cnh hoc bn trong ng gic cn t nht mtim nguyn khc na.

Bi 3 : T giy hnh vung c cnh b nht l bao nhiu c th ct ra c 5 hnh trn cbn knh bng 1.

Bi 4 : Trn mt t giy k vung, chn 101 bt k. Chng minh rng trong 101 c tnht 26 khng c im chung.

Bi 7 : BN LUN V BI TON "BA V THN"

Chng ta u bit bi ton th v : Ba v thn sau :Ngy xa, trong mt ngi n c c 3 v thn ging ht nhau. Thn tht th (TT) lun lun ni tht,thn di tr (DT) lun lun ni di v thn khn ngoan (KN) lc ni tht lc ni di. Cc v thn vntr li cu hi ca khch n l n nhng khng ai xc nh c chnh xc cc v thn. Mt hm cmt nh hin trit t xa n thm n. xc nh c cc v thn, ng hi thn bn tri :

- Ai ngi cnh ngi ?

- l thn TT (1)ng hi thn ngi gia :- Ngi l ai ?- Ta l thn KN (2)Sau cng ng hi thn bn phi :- Ai ngi cnh ngi ?- l thn DT (3)Nh hin trit tht ln :- Ti xc nh c cc v thn.



15/16

Ti liu mng

Hi nh hin trit suy lun nh th no ?Li gii : Gi 3 v thn theo th t t tri sang phi l : A, B, C.T cu tr li (1) => A khng phi l thn TT.T cu tr li (2) => B khng phi l thn TT.Vy C l thn TT. Theo (3) B l thn DT A l thn KNNhn xt : C 3 cu hi u tp trung xc nh thn B, phi chng l cch hi thng minh ca nh

hin trit tm ra 3 v thn ? Cu tr li khng phi, m l nh hin trit gp may do 3 v thn trli cu hi khng khn ngoan !Nu 3 v thn tr li khn ngoan nht m vn m bo tnh cht ca tng v thn th sau 3 cu hi,nh hin trit cng khng th xc nh c v thn no. Ta s thy r hn qua phn tch sau v 2 cchhi ca nh hin trit :

1. Hi thn X :- Ngi l ai ?C 3 kh nng tr li sau :- Ta l thn TT => khng xc nh c X (Cch tr li khn nht)- Ta l thn KN => X l thn KN hoc DT- Ta l thn DT => X l KN

2. Hi thn X :- Ai ngi cnh ngi ?Cng c 3 kh nng tr li sau :- l thn TT => thn X khc thn TT- l thn KN => khng xc nh c X (cch tr li khn nht)- l thn DT => khng xc nh c X (cch tr li khn nht)

Trong c 2 cch hi ca nh hin trit u c cch tr li khin nh hin trit khng c c mt thngtin no v ba v thn th lm sao m xc nh c cc v thn. Nu gp may (do s tr li ng nghch)th ch cn sau 2 cu hi nh hin trit cng xc nh 3 v thn. Cc bn t tm xem trng hp cc cu tr li ca cc v thn l nh th no nh.Bi ton c ny tht l hay v d dm, nhng nu cc v thn tr li theo cc phng n khn ngoannht th c cch no xc nh c 3 v thn sau 1 s t nht cu hi c khng ?R rng l khng th t cu hi nh nh hin trit c.Phi hi nh th no thu c nhiu thng tin nht ?By gi ta t vn nh sau :Mi ln hi ch c hi 1 v thn v chnh v tr li. Cn hi nh th no sau mt s t nht cuhi ta xc nh c cc v thn. Bi ton r rng l khng d cht no, nhng ti tin rng cc bn stm ra nhiu phng n ti u y ! Sau y l mt phng n ca ti.

Hi thn A :- Ngi l thn KN ?- Nhn c cu tr li.Hi thn B :- Ngi l thn KN ?- Nhn c cu tr li.

Sau ti ch cn hi thm 1 hoc 2 cu na l xc nh c chnh xc 3 v thn. Nh vy s cu hinhiu nht l 4. Cc bn c th rt s cu hi xung di 4 c khng ?Xin mi cc bn hy gii tr bi ton ny bng mt phng n tuyt vi no (Nh l ch hi mtthn v chnh v tr li)

Bi 8 :



16/16

Ti liu mng


cac chuyen de suu tam ve so hoc

Documents