臨界方程式と原子炉方程式

拡散と減速がある体系 一群拡散方程式

フェルミの年齢方程式

一般解

固有値

),,(),,( 2 txqt

txq

),,(),(),(),(1 2 txpqtxtxt

txv TTaT

T

T

5,3,1

cos)(),(n

nn xBtAtx

5,3,1

cos),(),,(n

nn xBtCtxq a

0 x

仮定

・反射体なし

・平板状原子炉

・単一エネルギー

),5,3,1( na

nBn

年齢方程式の解(1/2) 一般解を年齢方程式に代入

従って、一般解は、

5,3,1

2

5,3,1cos),(cos),(

nnnn

nn

n xBtCBxBt

tC

),(),( 2 tCBt

tCnn

n

)tBexp()(T)t,(C 2nnn

5,3,1n

n2nn xBcos)tBexp()(T)t,,x(q

年齢方程式の解(2/2) 年齢 においてレサジー0とすると

故に、年齢方程式の解である減速密度は、

0

5,3,1cos2)(

nnxB

ax

5,3,1n

n2nn

a

5,3,1nn

2n xBcos)tBexp()t(A

pk

xBcos)tBexp(as2)t,,x(q

)t,x(p

k)x(s

)t,x(f)x(s)t,0,x(q

Ta

TaT

)(2)( tAp

kastT n

拡散方程式の解 年齢方程式の解を拡散方程式へ代入すると

ここで、

境界条件を、 とすると、解は

であるから、拡散方程式の解、中性束分布は、

ka

psktAkdt

tdAta

nn

nn

2)()1()(

an

nn DB

Bkk

2

2

1

)exp(

an

Tan DB

vt

21

1

0)0,( x

1)1exp(

)1(2)(

nn

na

nn t

tkkka

psktA

xBttk

kk

kapstx n

n nn

n

n

aT cos1)1exp(

12),(

5,3,1

中性子束の挙動(中性子源がある場合)

の場合（臨界超過）n=1 の項は指数関数的に増加

n=3,5,・・・ の項は０となる。

の場合（臨界未満）(定常値)

の場合（臨界）

1,,,1 531 kkk

1,,,1 531 kkk

1,,, 531 kkk

xBk

kka

psx nn n

n

aT cos

12)(

5,3,1

xBk

kka

psxBtt

kapstx n

n n

n

aaT cos

12cos2),(

5,31

1

参考

1

1k

2

11

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

tt

tt)1k(

tt

1k

1t

t)1k(t

t)1k(1

1k

1t

t)1k(exp

1

中性子束の挙動(中性子源がない場合) 中性子源がないので、 であるから0s

ka

psktAkdt

tdAta

nn

nn

2)()1()(

)()1()( tAkdt

tdAt nn

n

nnnn t

ttkAtA 00 )1exp()(

xBt

ttkAtx nn n

nnT cos)1exp(),(5,3,1

00

中性子束の挙動(中性子源がない場合) の場合（臨界超過）

n=1 の項は指数関数的に増加

n=3,5,・・・ の項は０となる。

の場合（臨界未満）全ての項は０となる

の場合（臨界）

n=1の項のみ残り、他は０となる。

バックリング：

原子炉方程式：

1,,,1 531 kkk

1,,,1 531 kkk

1,,, 531 kkk

xBAxT 1cos)( 21B

0)x(B T21dx

)x(d2

T2

臨界方程式

裸の原子炉の臨界条件は、 とすると

いま熱中性子の拡散距離を とすると

臨界方程式

ここで ：バックリング

：無限増倍係数

BB 1

11

)exp(22

2

T

T

LBBk

aT

DL

11

)exp(2

2

1

a

TDB

Bkk

fpk

22

aB

核分裂連鎖反応のサイクル

4因子公式と６因子公式

無限増倍率ｋ∞は以下となる。（４因子公式）

高速中性子核分裂係数

共鳴を逃れる確率

再生率

熱中性子利用率

実効増倍率は、中性子が漏れない確率PNLを、高速中性子の漏れない確率：PFNL、熱中性子が漏れない確率：PTNLとすると以下となる。（６因子公式）

fpk

TNLFNLNL PPfpPkk

::::

f

p

有限体系における実効増倍係数

有限体系における臨界条件

減速の途中で体系から漏れない確率

熱中性子になってから吸収されるまでに体系から漏れない確率

1 TFeff PPkk

)exp( 2TF BP

2211

TT

LBP

エネルギーE0 をもって発生した中性子が、熱エネルギーEth まで減速するまで

の年齢 : thとすると、その際の移動距離 : （減速距離）

+熱中性子になってから吸収されるまでの移動距離 : L

高速中性子として発生し、減速して熱中性子となり、やがて吸収されるまでの

移動距離 :

移動面積 :

拡散距離(3/4)

2Lth 22 LM th

th

拡散距離(4/4)

thLD減速材 密度(g/cm3) (cm) (cm) (cm2)H2O 1.00 0.16 2.85 27D2O 1.10 0.87 170 131Be 1.85 0.50 21 102BeO 2.96 0.47 28 100グラファイト 1.60 0.84 59 368

20℃におけるMaxwell分布を仮定

大きい原子炉の臨界方程式

いま、以下の近似が成り立つとすると

より

ここで、中性子の移動距離を、 とすると

TT BB 22 1)exp(

11 22

TMBk

)L(B1k

B1LB1k

LB1)Bexp(k1

T2T

2

T22

T22

T2

T2

22TTT LM

原子炉内中性子束分布(1/2)

中性子分布

axcosAT

Aは熱出力により決まる

単位面積当たりの原子炉の出力: W

2/a

2/a Ttt dx)x(rW

: 1核分裂当たりの発生エネルギーΣt: 吸収断面積

ttar2WA

tr

原子炉内中性子束分布(2/2)

よって

axcos

ar2W

ttT

x

maxT )x(T

T

2

arWdx

a1

ar2W

T

maxT

tt

2/a

2/a TT

ttmaxT

演習問題７－１

幅50cmの均質の平板状原子炉において、熱中性子年令を27cm2、拡散距離を3cmとして、中性子が減速の途中で体系から漏れてでない確率PFと熱中性子になってから吸収されるまでに体系から漏れでない確率PTを求めよ。

演習問題７－２

フェルミの年令方程式から、減速密度の一般解を求めよ。

演習問題７－１ 回答の方針

与えられた各種物理量は、幅a=50cm、熱中性子年令τ=27cm2、

拡散距離LT=3cm、であるので、バックリングB2は、

よって、中性子が減速の途中で体系から漏れてでない確率PFは、

また、熱中性子になってから吸収されるまでに体系から漏れてで

ない確率PTは、

22

aB

)Bexp(P T2

F

2T

2T LB11P

演習問題７－２ 回答の方針

フェルミの年齢方程式

一般解を以下と仮定する、

ただし、固有値は、

この一般解を年齢方程式に代入すると、

),,(),,( 2 txqt

txq

5,3,1

cos),(),,(n

nn xBtCtxq

a

0 x

仮定

・反射体なし

・平板状原子炉

・単一エネルギー

),5,3,1( na

nBn