第6章 3次元形状のモデリング2 csg (constructive solid geometry) 表現基本3...

第 6 章 3 次元形状のモデリング

第 6章 3次元形状のモデリング

畔上秀幸

名古屋大学情報学研究科複雑系科学専攻

April 3, 2019

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はじめに

§6.1 はじめに

(目標) CG で使われる 3次元形状の表現方法について理解する．

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3 次元形状表現法の種類

§6.2 3次元形状表現法の種類

1 B-Reps (boundary representation) 表現• 境界面を定義することで 3次元形状を表現する．

2 CSG (constructive solid geometry) 表現• 基本 3次元形状の集合演算によって 3次元形状を表現する．

3 ボクセル (voxel) 表現，オクトリー (octree) 表現• 3次元空間をボクセル (立方体の単位セル) に分割し，3次元形状に含まれるボクセルの集合で 3次元形状を表現する．

4 メタボール (meta-ball) 表現，CSRBF (compactly supported radial basisfunction) 表現

• 基底関数の組み合わせによって 3次元形状を表現する．

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B-Reps 表現

§6.3 B-Reps 表現

定義 6.3.1 (多面体)

4つ以上の平面で囲まれた３次元有界領域を多面体 (Polyhedron) という．多面体は，複数の頂点を結ぶ辺と，その辺に囲まれた面で構成される．

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B-Reps 表現

定義 6.3.2 (B-Reps 表現)

多面体を頂点 (vertex)，辺 (edge)，面 (face) に対する1 幾何情報

a 頂点の座標値b 辺を表す数式c 面を表す数式

2 位相情報a 辺と頂点の接続情報b 面と辺の接続情報

で表現する方法を B-Reps 表現という．

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B-Reps 表現

多面体であるための必要条件

§ 6.3.1 多面体であるための必要条件

境界を求める演算子を ∂ と表す．図のような 4面体 P に対して，

∂P = △ABC+△CDA+△BDC+△BAD

∂ △ABC =−→AB+

−→BC+

−→CA, · · ·

∂−→AB = −A+ B, · · ·

∂A = 0

が成り立つ．

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B-Reps 表現


A

B

C

DP

図 6.1: 4面体 P

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B-Reps 表現


多面体であるならば，次の条件が成り立つ．

定理 6.3.3 (多面体であるための必要条件)

多面体 P の境界が多角形 Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, で構成され， Fi の境界が線分Eij , j ∈ {1, 2, · · · ,mi}, で構成され，Eij の境界が点 Vijk, k ∈ {1, 2} で構成されるとき，P が多面体であるとき，

∂∂P = 0,

∂∂Fi = 0,

∂∂Eij = 0,

∂∂Vijk = 0

が成り立つ．

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B-Reps 表現


境界の隣接行列

I0 =(A B C D

1 1 1 1

), I1 =

−→AB

−→BC

−→CA

−→DC

−→BD

−→DA

A −1 0 1 0 0 1

B 1 −1 0 0 −1 0

C 0 1 −1 1 0 0

D 0 0 0 −1 1 −1

I2 =

△ABC △CDA △BDC △BAD−→AB 1 0 0 −1−→BC 1 0 −1 0−→CA 1 −1 0 0−→DC 0 −1 1 0−→BD 0 0 1 −1−→DA 0 1 0 −1

, I3 =

△ABC 1

△CDA 1

△BDC 1

△BAD 1

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B-Reps 表現


を用いれば

∂∂P = 0 ⇔ I0I1I2I3 = 0,

∂∂ △ABC = 0 · · · ⇔ I0I1I2 = 0TR4 ,

∂∂−→AB = 0 · · · ⇔ I0I1 = 0T

R6

とかける．

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B-Reps 表現

多面体であるための十分条件

§ 6.3.2 多面体であるための十分条件

次の条件が成り立つならば，多面体 (polyhedron) である．

定理 6.3.4 (Euler の多面体公式)

球と位相同型な多面体では，面の数 f , 辺の数 e, 頂点の数 v に対して，

χ = f − e+ v = 2

が成り立つ．貫通する穴の数 g，面上の穴 (リング) の数 h に対して，

χ = f − e+ v − h = 2− 2g

が成り立つ．

χ は Euler 標数 (Euler characteristic) とよばれる．

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B-Reps 表現


定理 6.3.4 より，次のことがいえる．

1 多面体の数 b, 面の数 f , 辺の数 e, 頂点の数 v, 貫通する穴の数 g，面上の穴(リング) の数 h に対して，定理 6.3.4 より

z (x) = a · x = 0 (6.3.1)

が成り立つ．ただし，

a =(1 −1 1 −1 2 −2

)T,

x =(v e f h g b

)Tである．したがって，定理 6.3.4 を満たす x は，上式を満たす 6次元上の超平面上の整数値ベクトル (格子点) の集合である．

2 式 (6.3.1) を満たす独立な x のベクトルは５つである．それらを di,i ∈ {1, 2, · · · , 5}, とかき，Euler 作用素とよぶ．

3 di, i ∈ {1, 2, · · · , 5}, は，式 (6.3.1) を満たす超平面内にあることから，dz/dx = a と直交する．

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B-Reps 表現


4 したがって，x は，整数 ni, i ∈ {1, 2, · · · , 5}, に対して

x = n1d1 + n2d2 + n3d3 + n4d4 + n5d5

とかける．

5 例えば

A =(mev mfe mbfv mehg me-kh

d1 d2 d3 d4 d5

)

=

1 0 1 0 01 1 0 1 10 1 1 0 00 0 0 1 −10 0 0 1 00 0 1 0 0

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B-Reps 表現


と選べば，

x = An

とかける．ただし，n = (n1, n2, · · · , n5)T である．また，記号

mev, · · · ,me-kh は Euler 作用素に対するニーモニックコード (mnemoniccodes) である．m, k はそれぞれ ”make”, ”kill”, v, e, f, h, g, b はそれぞれ”vertex”, ”edge”, ”face”, ”hole”, ”ring”, ”body” を表す．

4面体を作成する場合は次のようになる．

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B-Reps 表現


mbfv mev mev

mfe mev mfe mfe

図 6.2: ニーモニックコードによる 4面体の作成

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B-Reps 表現

集合演算

§ 6.3.3 集合演算

B-Reps 表現における多面体の集合演算は次のように行われる．

1 多面体 A のすべての面と多面体 Bi, i ∈ {1, 2, · · · ,m}, のすべての面の交線を求める．

2 A, Bi, i ∈ {1, 2, · · · ,m}, のすべての辺と求めた交線の交点を求め，交点と辺と面のデータを保存する．

3 集合演算を行い，不要となる頂点，辺，面に消去のマークをつける．

4 消去マークの頂点，辺，面を削除する．

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B-Reps 表現

集合演算

図 6.3: B-Reps 表現における多面体の集合演算

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B-Reps 表現

局所演算

§ 6.3.4 局所演算

B-Reps 表現では次のような局所演算が使われる．

1 挿引演算 (sweep, swing)

2 反転演算 (reflection)

3 面取りa chamfer: 頂点あるいは辺を平面で置き換える．b fillet: 頂点あるいは辺を球面あるいは円筒面で置き換える．

4 せん断 (shear)

5 曲げ (bend)

6 角度付け (angle)

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B-Reps 表現

局所演算

sweep swing reflection

chamfer shear

図 6.4: B-Reps 表現における多面体の集合演算

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B-Reps 表現

位相データベース

§ 6.3.5 位相データベース

位相情報のデータベースには，次のような構造が使われる．1 リスト構造 (list structure)

a 多面体，面，辺は，それぞれを構成する要素のデータをもつ．b 構造は単純であるが，同じデータを重複して記憶する点が不利である．

P

F1 F2 Fn

E1 E2 Em...

V1 V2

...

図 6.5: リスト構造

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B-Reps 表現


2 リング構造 (ring structure)

a 多面体は，それを構成する面を一つ指定する．指定された面はその多面体を構成する面を順に指定して，最初の面に戻るリングを構成する．

b 面は，その面を構成する辺を一つ指定する．指定された辺はその面を構成する辺を順に指定して，最初の辺に戻るリングを構成する．

c 辺は，その辺を構成する頂点を一つ指定する．その頂点はもう一つの頂点を指定して，最初の頂点に戻るリングを構成する．

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B-Reps 表現


P

F1 F2 Fn

E1 E2 Em

V1 V2

...

...

図 6.6: リング構造

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B-Reps 表現


3 ウィングド・エッジ・データ構造 (winged edge data structure)

a 各辺から，2つの頂点，2つの面，4つの辺へのポインタをもつ．b 各頂点は辺の一つに対してポインタをもつ．c 各面は辺の一つへのポインタをもつ．d 特徴：構造体の特徴を生かしたデータ構造である．この構造を用いて，時計回り，反時計回りにすべての辺を追跡できる．両方向の追跡により，B-Reps 表現の必要条件をチェックできる．

E pfacenface

pvt

nvt

pcw

ncw

nccw

pccw

E

pfacenface

pvt

nvt

pcw

ncw

nccw

pccw

図 6.7: ウィングド・エッジ・データ構造

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CSG 表現

§6.4 CSG 表現

定義 6.4.1 (CSG 表現)

3次元形状をプリミティブ (primitive) とよばれる基本形状の集合演算により表現する方式を CSG 表現という．

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CSG 表現

プリミティブの表現

§ 6.4.1 プリミティブ

プリミティブは制約条件を満たす３次元領域として表現される．例えば，円柱は

P (r, h) ={x ∈ R3

∣∣ x21 + x2

2 − r2 ≤ 0, x3 − h ≤ 0, x3 ≤ 0}

と表現される．一般に，プリミティブ Pi, i = 1, 2, · · · ,m, は

Pi ={x ∈ R3

∣∣ fij (x) ≤ 0, j ∈ {1, 2, · · · , ni}}

のように表現される．

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CSG 表現

プリミティブの表現

x3

x1

x2

r

h

図 6.1: 円柱

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CSG 表現

プリミティブの集合演算

§ 6.4.2 プリミティブの集合演算

3次元形状はプリミティブの集合演算 (Boolean operations) によって表現される (図 6.2 参照．ただし，\ は集合の差演算)．

n

n

[

\

図 6.2: CSG 表現

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CSG 表現

正規化された集合演算

§ 6.4.3 正規化された集合演算

開領域 A,B ⊂ R2 の集合演算は図 6.3 のようになる．ただし，A = ∂A∪A とする．また，same, diff はそれぞれ外向き法線が同方向，逆方向の違いを表す．

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CSG 表現


A B A ∩ B A \ B

B \ A ∂A ∩ B ∂B ∩A ∂A \ B

∂B \ A ∂A ∩ ∂B same ∂A ∩ ∂B diff

図 6.3: 集合演算

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CSG 表現


集合演算の誤りを防ぐために，正規化された集合演算が使われる．開あるいは閉領域 A,B ⊂ R2, □ ∈ {∪,∩, \} に対して，

A□∗B = closure (interior (A□B))

で定義される □∗ ∈ {∪∗,∩∗, \∗} を正規化された集合演算という．ただし，closure は境界を含める，interior は境界を除く演算子を表す．

A B A ∩ B A ∩∗ B = A ∩∗ B

図 6.4: 正規化された集合演算

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CSG 表現

データベース

§ 6.4.4 データベース

プリミティブのデータベースには，次のような構造が使われる．

1 ID (識別番号)

2 種類

3 幾何正規化データ

4 属性データ

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CSG 表現

データベース

図 6.5: プリミティブデータベースの例

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CSG 表現

データベース

演算順序のデータベースには，次のような構造が使われる．

1 演算の種類

2 演算を受ける 3次元形状の構成順序へのポインタ

3 演算に入るプリミティブ IDへのポインタ

4 次に演算を受ける構成順序へのポインタ

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CSG 表現

アルゴリズム

§ 6.4.5 アルゴリズム

プリミティブのデータベースから必要な情報は次のようにして計算される．

1 あるプリミティブ

Pi ={x ∈ R3

∣∣ fij (x) ≤ 0, j ∈ {1, 2, · · · , ni}}

に対して，ある点 y ∈ R3 の内外判定は

Ifni∩j=1

(fij (y) ≤ 0) is true then 1 else 0

によって行われる．

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CSG 表現

アルゴリズム

図 6.6: 内外判定のアルゴリズム

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CSG 表現

アルゴリズム

2 ある点 y ∈ R3 からあるプリミティブ

Pi ={x ∈ R3

∣∣ fij (x) ≤ 0, j ∈ {1, 2, · · · , ni}}

の境界までの符号付き距離は

Bi (y) = maxj=1,2,··· ,ni

fij (y)

で求められる．ここで，Bi (x) を境界評価関数 (boundary evaluator)という．

3 ある点 y ∈ R3 からプリミティブ Pk = Pi□Pj , □ ∈ {∪,∩, \}, の境界までの符号付き距離は

Bk (y) =

min {Bi (y) , Bj (y)} for Pk = Pi ∪ Pj

max {Bi (y) , Bj (y)} for Pk = Pi ∩ Pj

max {Bi (y) ,−Bj (y)} for Pk = Pi \ Pj

によって計算される．ただし，Bi (y), Bj (y) は Pi, Pj の境界評価関数とする．

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CSG 表現

アルゴリズム

4 Pk の境界 ∂Pk は，すべての j ∈ {1, 2, · · · , nk} に対して

∂Pk ={x ∈ R3

∣∣ Bk (x) = 0, fkj (x) = 0}

で与えられる．

5 fkj (x) と fkl (x), j, l ∈ {1, 2, · · · , nk}, の交線は{x ∈ R3

∣∣ Bk (x) = 0, fkj (x) = 0, fkl (x) = 0}


6 fkj (x), fkl (x), fkm (x), j, l,m ∈ {1, 2, · · · , nk}, の交点は{x ∈ R3

∣∣ Bk (x) = 0, fkj (x) = 0, fkl (x) = 0, fkm (x) = 0}


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ボクセル表現

§6.5 ボクセル表現

定義 6.5.1 (ボクセル表現)

3次元形状を小さな立方体 (ボクセル, voxel) の集合で表現する方式をボクセル表現と表現という．

図 6.1: ピクセル (左) とボクセル (右)

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ボクセル表現

ボクセル表現のデータ量を節約のために次の表現が考案された．

定義 6.5.2 (オクトリー表現)

3次元形状を小さな立方体 (ボクセル, voxel) の集合で表現する．ただし，各ボクセルごとに，次のいずれかに分類する．

1 3次元形状の内部にある（A）

2 3次元形状の外部になる（B）

3 3次元形状の内部と外部にまたがっている（C）

(C) のボクセルに対して，各辺 2等分により 8分割 (オクトリー：8分木) し，上記の分類を (C) のボクセルがなくなるまで繰り返す．

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ボクセル表現

図 6.2: オクトリー表現

開発例 : ボリューム CAD(V-CAD), 理化学研究所

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http://vcad-hpsv.riken.jp/jp/


メタボール表現

§6.6 メタボール表現

定義 6.6.1 (メタボール表現)

基底関数の組み合わせにより濃度分布を作成し，その閾値による等高面で 3次元形状を表現する方式をメタボール表現という．

図 6.1: メタボール表現

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メタボール表現

CSRBF (compactly supported radial basis function) 表現も同様に定義される．開発例 : DigiMeta

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http://www.forest.impress.co.jp/article/2000/05/10/digimeta.html


OpenGL におけるプリミティブ関数

§6.7 OpenGL におけるプリミティブ関数

プリミティブを描く．

program6 1.c

void display(void)

...

/* 光源 */

glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, light0_position);

...

glEnable(GL_LIGHTING); /* ライト ON */

...

/* プリミティブ */

glutSolidTorus(0.3, 0.9, 50, 50);

...

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glLightfv()

void glLightfv(GLenum light, GLenum pname,

const GLfloat *params);

• glEnable(GL LIGHTING), glDisable(GL LIGHTING) で光源を設定を有効，無効とする．

• light に光源の番号（GL LIGHT0～GL LIGHTn，n はシステム依存）を設定する

• pname に GL POSITION を指定したとき， params は光源を同次座標(x1, x2, x3, w) で設定する．w = 0 のとき (x1, x2, x3) 方向の平行光線となる．GL DIFFUSE を指定すれば光源の拡散反射光強度（色）が設定可能となる．

• pname に GL DIFFUSE を指定したとき， params は拡散反射光強度を設定する．光源の拡散反射光強度が (R,G,B) なら params の各要素には(R,G,B, 1) を設定する．初期値は (1111)．

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glutInitDisplayMode()

void glutInitDisplayMode(unsigned int mode);

• ディスプレイの表示モードを設定する．• mode に GLUT DEPTH を指定して glEnable(GL DEPTH TEST) を指定することで隠面消去が有効となる．

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1 丸型オブジェクト

glutWireCone(), glutSolidCone()

void glutWireCone(radius, height, slices, stacks)

void glutSolidCone(radius, height, slices, stacks)

円錐

glutWireSphere(), glutSolidSphere()

void glutWireSphere(radius, slices, stacks)

void glutSolidSphere(radius, slices, stacks)

球体

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2 特殊型オブジェクト

glutWireTorus(), glutSolidTorus()

void glutWireTorus(innerRadius, outerRadius, nsides, rings)

void glutSolidTorus(innerRadius, outerRadius, nsides, rings)

トーラス

glutWireTeapot(), glutSolidTeapot()

void glutWireTeapot(size)

void glutSolidTeapot(size)

ティーポット

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3 面体オブジェクト

glutWireTetrahedron(),glutSolidTetrahedron()

void glutWireTetrahedron(void)

void glutWireTetrahedron(void)

4面体

glutWireCube(), glutSolidCube()

void glutWireCube(width)

void glutSolidCube(width)

6面体 (立方体)

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glutWireOctahedron(),glutSolidOctahedron()

void glutWireOctahedron(void)

void glutSolidOctahedron(void)

8面体

glutWireDodecahedron(),glutSolidDodecahedron()

void glutWireDodecahedron(void)

void glutSolidDodecahedron(void)

12面体

glutWireIcosahedron(),glutSolidIcosahedron()

void glutWireIcosahedron(void)

void glutSolidIcosahedron(void)

20面体

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ロボットアームを描く．

program6 2.c

void display(void)

...

/* 第 1腕 */

glPushMatrix();

glScalef(0.5, 0.1, 0.1);

glutSolidCube(1.0);

glPopMatrix();

glTranslatef(0.5/2+0.05, 0.0, 0.0);

/* 第 1関節 */

glutSolidSphere(0.05, 10, 10);

...

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図 6.1: ロボットアームの組み立て

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演習 6.7.1 (ロボットの製作)

プログラム program6 2.c を参考にして図 6.2 のようなロボットを製作せよ．

図 6.2: ロボット

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まとめ

§6.8 まとめ

CG で使われる 3次元形状の表現方法についてみてきた．

1 B-Reps 表現では境界面によって多面体が表現される．

2 CSG 表現ではプリミティブの集合演算によって 3次元形状が表現される．

3 ボクセル表現，オクトリー表現では，3次元空間をボクセルの集合で 3次元形状が表現される．

4 メタボール表現，CSRBF 表現では，基底関数の組み合わせによって 3次元形状が表現される．

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参考文献

参考文献

[1] 嘉数侑昇, 古川正志.

CAD/CAM/CGのための形状処理工学入門.

森北出版, 1995.

[2] James D. Foley, Steven K. Feiner, Andries van Dam, John F. Hughes, 佐藤義雄 (訳).

コンピュータグラフィックス理論と実践.

オーム社, 2001.

[3] 千葉則茂, 土井章男.

３次元 CGの基礎と応用.

サイエンス社, 2004.

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