3 章　3 次元形状をモデリングする

ここでは， 3 次元形状 ( 立体 ) をコンピュータ内に定義する手法について説明する．

3.1 　境界表現

境界表現 (boundary representation)頂点，稜線，面分などの幾何情報およびそれらの接続情報

幾何情報 (geometrical data)3 次元空間内の座標値（ｘ，ｙ，ｚ）

接続情報 (topological data)面分はどの稜線で区切られているかの情報

3.1 　境界表現 多面体を構成する曲面群と，曲面を構成する稜線群と，

稜線を構成する頂点群との間の接続関係 ( 位相情報 )を表したもの．

境界表現法では多面体を構成する頂点，稜線，曲面の接続関係をウィングドエッジデータ構造を用いて表現することが多い．

ウィングドエッジデータ構造：多面体の各稜線を中心とした形状要素の接続関係を表現する位相データ構造

3.1 　境界表現　　　 1 ．ポリゴン表現

多角形は基本的な形状要素

凸多角形 凹多角形 穴のある多角形

頂点稜線

穴

頂点稜線

頂点稜線

3.1 　境界表現　　　ポリゴンの法線ベクトル

1vx

y

z

ax+by+cz=1

1/b

1/c 1/a

2v

kjv

kiv

cb

ca11

11

2

1

nkji

kji

vvabcabc

cb

ca111

/1/10

/10/121

222

21

21

cbas

s

c

s

b

s

a

kjivv

vvn

単位法線ベクトル nは 3次元 CGにおいて，陰影づけなどの処理で重要な役割を果たす．

3.1 　境界表現　　　多角形の三角形分割

多角形

Q0

Q1

Q2 Q3

Q4

三角形

多角形

Q0

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8Q9

Q10

Q0

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8Q9

Q10

仮想の稜線( ブリッジ稜線 )

3.1 　境界表現　　　多角形メッシュによる物体の近似

CG では， 3 次元空間に定義された 2 次曲面や自由曲面は，複数の小さな多角形 ( ポリゴン ) で近似して表示する．

多角形メッシュでは粗いことがある．その場合は，四角形メッシュや三角形メッシュを用いる．

四角形メッシュの頂点は同一平面内にない場合がある．

その場合，曲面の最小単位である三角形メッシュを用いて，物体を近似して表示する．

3.1 　境界表現　　　 2 ．ウィングドエッジデータ構造

PVT

NVT

Edge

PCWNCCW

PCCWNCW

NfacePface

稜線 Edge ：頂点 PVT と頂点NVTで構成稜線 Edge ＝曲面Nface と曲面 Pface の稜線稜線NCCWと稜線 PCWは頂点 PVT に接続稜線NCWと稜線 PCCWは頂点NVTに接続

多面体を構成するすべての稜線に適用し接続関係を記述

PVT

NVT

EdgePface

Nface

NCCW

NCW PCCW

PCW

オイラーの関係式V － E ＋ F ＝２

頂点の数（８） 稜線の数

（１２）

曲面の数（６）

3.1 　境界表現　　　 ( 例題 ) ウィングドエッジデータ構造

PVT

NVT

Nface Pface

NCCW

PCCW

PCW

NCW

EENfacePface

PVT

NVTNCW

NCCW

PCW

PCCW

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦ ⑧

⑨Ⅰ

ⅡⅢ1

2

34

5 6

7

PVT ： 2

NVT ： 6

Nface ：Ⅲ Pface ：Ⅱ

NCCW ：③

PCCW ：⑥

PCW ：②

NCW ：⑧

⑦

3.2 　 CSG 表現　　　 1 ．プリミティブ

円柱や直方体などの形状プリミティブ ( 形状要素 ) を組み合わせて物体を生成する方法

f(x ， y ， z)=0

半空間 Sij

形状プリミティブ Sj

Sj=∩Sij

)0),,((

0),,(

1

zyxfS

zyxf

ij

n

ij

ij

3.2 　 CSG 表現　　　プリミティブ例

ｒ

ｈ

x

y

z

0

)0),,((

),,(

),,(

),,(

3

1

3

2

2221

zyxfS

zzyxf

hzzyxf

ryxzyxf

iicyl

3.2 　 CSG 表現　　　 2 ．集合演算

和（ A∪B ）

A B

差（ A － B ） 積（ A∩B ）

3.2 　 CSG 表現　　　 CSG のトリー構造

－

－

∪

∪

∩

3.2 　 CSG 表現　　　 3 ．境界評価関数

境界評価関数Bi(x,y,z) は，ある点が立体形状の内部にあるか，外部にあるか，境界 (形状の表面 )にあるか，さらに境界表面からどのくらい離れているかを評価する．

n

jji zyxfP

1

)0),,((

プリミティブ Pi

)),,((max),,(1

zyxfzyxB j

n

ji

kiki

kiki

kiki

PPzyxBzyxB

PPzyxBzyxB

PPzyxBzyxB

zyxB

:)},,(),,,(max{

:)},,(),,,(max{

:)},,(),,,(min{

),,(

3.2 　 CSG 表現　　　 3 ．境界評価関数 ( 例 )

x

y

0

1

-1

-1

1

1.5円 P と楕円 Q

(0,1.2) 境界評価関数の値を求めなさい .

),(

),(

),(

yxB

yxB

yxB

QP

QP

QP

境界表現、ＣＳＧ表現、スイープ表現

3- １章　3 次元形状をモデリングする

立体の表現方法 (1)

境界表現 (B-rep(Boundary

Representation))

ＣＳＧ表現 (Constructive Solid Geometry

Representation)

スイープ表現 (Sweep Representation)

f1: v1, v2, v3, v4, v5, v6 S: Sweep(f1, dir: (0, 0, -1), length:

4)

立体の表現方法 (2)

境界表現（１）境界表現とは，頂点・稜線・面と，これらの相互関係を表すデータによって立体データを表現するものである．

境界表現（２）境界表現によるデータは，以下の２種類のデータにより構成される．

幾何データ：座標，方程式の係数などのような数値デ

ータトポロジーデータ

：頂点・稜線・面間の関係を表すデータ幾何データ

トポロジーデータ

ウィングドエッジデータ構造（１）境界表現の一実現例

ウィングドエッジデータとは，立体を稜線の集まりであると定義し，各稜線について，他の稜線・頂点・面との関係を保持するトポロジーデータ構造である．

各稜線につき一つのウィングドエッジデータを生成

ウィングドエッジデータ構造（２）

V1

V2E2

E3

E1

E4E

F1

F2

各稜線につき一つのウィングドエッジデータを生成

V1 V2

E1 E2

E4 E3

F1 F2

E

ウィングドエッジデータ構造（３）

V1 V2

E1 E3

E2 E4

F1 F2

E

V1 V2

E1 E3

E2 E4

F1 F2

E

V1 V2

E1 E3

E2 E4

F1 F2

E

V1 V2

E1 E3

E2 E4

F1 F2

E

V1 V2

E1 E3

E2 E4

F1 F2

E

稜線の数だけウィングドエッジデータを生成

V1 V2

E1 E2

E4 E3

F1 F2

E

内部と外部の判定点Ｐ (x0,y0,z0) が，多面体の中に存在するかを調べる．面 F1 のどちら側に点 P が存在するかを調べる．

V1

V2V3

V4E1

E2

E3

E4

E5E6

F1 F2

F3

F4

点Ｐ (x0,y0,z0)

以上のような処理を，各面について調べる．全ての面について，点 Pは各面の実体側にあると判断された場合，点 Pは立体中に存在するものとする．

ＣＳＧ表現 (Constructive Solid Geometry)

ＣＳＧ表現とは，立体を３次元空間における点の集合ととらえ，集合演算を基本に立体をモデル化する方法である．

＋

CSG 表現の集合演算

A B

A∩B A － B

B － AA B ∪ または A ＋ B

ＣＳＧ表現の例（１）例えば，下図の立体Ｓは，Ａ＋Ｂ( Ａ : 直方体 Ｂ : 円柱 ) で表される．

立体Ｓ

＝ ＋

Ａ : 直方体 Ｂ : 円柱

ＣＳＧ表現の例（２） 30,120,110),,( zyxzyx

200,3),,( 22 xzyzyx

点集合Ａ 0:

点集合Ｂ0:

z

x

y

o 11

123

x

y

z

o3

20

ＣＳＧ表現の例（３）

x

y

z

o3

20

z

x

y

o 11

123

z

x

y

o

変換行列Ｔ a

変換行列Ｔb

プリミティブの例

内部と外部の判定（１）例えば，点 P(x0,y0,z0) が，下図に示す立体の中に存在するかを調べる．

z

x

y

o

点 P(x0,y0,z0)

内部と外部の判定（ 2 ）この場合，点 P の同次座標　 P'(wx0,wy0,wz0,w)を考え， P' Ｔ a

-1 が集合Ａ 0 中に存在するか？P' Ｔ b

-1 が集合Ｂ 0 中に存在するか？ を調べる．

形状ＳはＡとＢの和集合なので，上記のいずれかが満たされれば，点 P は形状Ｓ中に存在するものとする．

z

x

y

o

x

y

z

o3

20

xo

z

y

点 P(x0,y0,z0)

境界表現とＣＳＧ表現の比較境界表現の利点

形状の幾何データが数値で与えられているので，形状の表示，シミュレーションに，形状データをそのまま流用できる．面・稜線・頂点がデータとして別個に管理されているため，形状以外の情報を，面・稜線・頂点に関連付けやすい．

CSGの利点形状の定義が明確．

スイープ表現 平面図形を一定方向に移動したときの軌跡で立体を表現 局所変形との組み合わせで，様々な形状を表現可能 平行移動スイープ，回転移動スイープ