121

CHƯƠNG 5

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Giả sử đặc trưng của tổng thể cần nghiên cứu là một biến ngẫu nhiên X nào đó mà ta chưa biết phân phối xác suất của nó, hoặc biết luật phân phối nhưng phân phối đó lại phụ thuộc vào một tham số θ nào đó chưa biết. Luật phân phối xác suất của X hoàn toàn xác định nếu tham số θ được xác định. Tham sốθ có thể là kỳ vọng, phương sai, hay độ lệch chuẩn,… của X . Bài toán ước lượng tham số là bài toán từ mẫu đặc trưng X có thể ước lượng được tham số θ . Nếu bài toán yêu cầu một giá trị xấp xỉ cho tham số θ thì ta có bài toán ước lượng điểm. Còn nếu ta cần xấp xỉ tham số θ trong một khoảng nào đó được gọi là bài toán ước lượng khoảng.

5.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

5.1.1. Ước lượng điểm

Định nghĩa 5.1. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất dạng hàm mật độ là ( ),f x θ , θ là tham số. Từ mẫu ( )1 2, ,..., nX X X đặc trưng X ta tìm một thống kê

( )1 2, ,..., nT X X Xϕ= không phụ thuộc θ sao cho với mẫu cụ thể ( )1 2, ,..., nx x x giá

trị ( )1 2, ,..., nt x x xϕ= có thể xấp xỉ cho θ . Khi đó, T được gọi là một ước lượng

điểm cho θ .

Như vậy, đối với một mẫu, ta có thể lập được nhiều ước lượng điểm cho một tham số. Mỗi ước lượng điểm là một thống kê mà giá trị của thống kê tại một mẫu cụ thể nào đó có thể xấp xỉ cho tham số cần ước lượng. Vấn đề đặt ra là: Ước lượng điểm nào tốt nhất, giá trị nó có thể xấp xỉ tốt nhất cho θ ?

Định nghĩa 5.2. Ước lượng không chệch (unbiased estimator). Một ước lượng T cho tham số θ được gọi là ước lượng không chệch nếu ET θ= .

Ví dụ 5.1. Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng là µ và phương sai là 2σ . Từ mẫu

( )1 2, ,..., nX X X ta lập các thống kê:

1

1 n

i

i

X Xn =

= ∑ (trung bình mẫu)

( )22

1

1

1

n

i

i

S X Xn =

= −−∑ (phương sai mẫu)

và 2S S= (độ lệch chuẩn mẫu)

Từ kết quả chương 4 ta có, EX µ= và ( )2 2E S σ= . Do đó, X là ước lượng

không chệch của µ , 2S là ước lượng không chệch cho 2σ và S là ước lượng không chệch cho σ .

122

Định nghĩa 5.3. Ước lượng hiệu quả. Một ước lượng không chệch T cho tham số θ được gọi là ước lượng hiệu quả nếu T là ước lượng có phương sai bé nhất trong số các ước lượng không chệch cho θ .

Định nghĩa 5.4. Lượng thông tin Fisher. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ ( ),f x θ , lượng thông tin Fisher về θ của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là ( )I θ , là

đại lượng:

( )( )

2ln ,f X

I Eθ

θθ

∂ = ∂

(5.1)

Định lí 5. 1. Cho ( )1 2, ,..., nX X X là mẫu đặc trưng X có hàm mật độ ( ),f x θ , T

là một ước lượng không chệch bất kỳ của θ , ( )I θ là lượng thông tin Fisher về θ

của biến ngẫu nhiên X . Khi đó:

( )1

..

DTn I θ

≥

Như vậy, nếu T là một ước lượng không chệch của θ sao cho ( )

1

.DT

n I θ=

thì T là ước lượng hiệu quả của θ .

Ví dụ 5.2. Cho mẫu ( )1 2, ,..., nX X X từ biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn

( )2,N µ σ . Khi đó X là ước lượng hiệu quả cho .µ

Thật vậy, theo định lý về phân phối của trung bình mẫu ta có: 2DX

DXn n

σ= = .

Vì X có phân phối chuẩn nên hàm mật độ của X là:

( )( )

2

2

1

21, .

2

x

f x eµ

σµσ π

−−

=

Suy ra, ( )( ) ( )

2

2ln , ln 2

2

xf x

µµ σ π

σ

− −= −

Nên, ( )

2

ln ,f x xµ µ

µ σ

∂ −=

∂

Do đó, lượng thông tin Fisher

( )( ) ( )

( )2 2 2

2

4 4 4 2

ln , 1 1f x xI E E E x

µ µ σµ µ

µ σ σ σ σ

∂ − = = = − = = ∂

Suy ra, ( ) 2.

nn I θ

σ= .

Như vậy, ta có ( )

2 1

.DX

n n I

σ

θ= = hay X là ước lượng hiệu quả của µ .

123

Định nghĩa 5.5. Ước lượng vững. Một ước lượng T được gọi là ước lượng vững cho tham số θ nếu với mọi 0ε >

( )lim | | 1nP T θ ε

→∞− < = (5.2)

Như vậy, một ước lượng được gọi là vững nếu giá trị của nó càng gần θ hơn khi cỡ mẫu n càng lớn.

Định lí 5. 2. Cho T là ước lượng không chệch của tham số θ . Khi đó, nếu lim 0nDT

→∞= thì T là ước lượng vững của θ .

Ví dụ 5.3. Cho mẫu ( )1 2, ,..., nX X X đặc trưng X , có kỳ vọng µ và phương sai 2σ thì trung bình mẫu X là ước lượng vững cho µ .

Thật vậy, theo định lý về phân phối xác suất của trung bình mẫu, 2

DXn

σ=

nên 2

lim lim 0n nDX

n

σ→∞ →∞

= = . Do đó, X là ước lượng vững cho µ .

5.1.2. Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại

Định nghĩa 5.6. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ( ),f x θ . Lấy mẫu đặc

trưng X ( )1 2, ,..., nX X X . Khi đó, 1 2, ,..., nX X X là n biến ngẫu nhiên độc lập có

cùng phân phối xác suất như X , tức là biến ngẫu nhiên iX có hàm mật độ là

( ), , 1, 2,...,if x i nθ = . Đặt

( ) ( ) ( ) ( )1 2, . , .... ,nL f x f x f xθ θ θ θ= (5.3)

Được gọi là hàm hợp lý của tham số θ . ( )L θ là một hàm theo biến θ với

các tham số 1 2, ,..., nx x x .

Định nghĩa 5.7. Một thống kê ( )1 2, ,..., nT X X Xϕ= được gọi là một ước lượng

hợp lý cực đại của θ nếu giá trị ( )1 2, ,..., nt x x xϕ= của thống kê T là điểm cực đại

của hàm hợp lý ( )L θ .

� Các bước tìm ước lượng hợp lý cực đại

� Bước 1: Lập hàm hợp lý ( )L θ và đặt ( )θ =� ( )lnL θ .

� Bước 2: Tính ( )' θ� và giải phương trình ( )' 0θ =� , tìm các điểm tới hạn

( )1 2, ,..., nt x x xϕ= .

� Bước 3: Tính ( )θ′′� và ( )t′′� , nếu ( ) 0t′′ <� thì t là điểm cực đại của

( )θ� và cũng là điểm cực đại của ( )L θ . Do đó, ( )1 2, ,..., nt x x xϕ= là giá trị của

ước lượng hợp lý cực đại của θ .

� Bước 4: Thay các ix bằng iX và kết luận ( )1 2, ,..., nT X X Xϕ= là ước

lượng hợp lý cực đại của θ .

124

Ví dụ 5.4. Một tổng thể có phân phối chuẩn ( )2,N µ σ , với mẫu ( )1 2, ,..., nX X X

đặc trưng X , hãy tìm ước lượng hợp lý cực đại cho µ .

Giải

Hàm mật độ của X là

( ) ( )( )2

2

1

21, , .

2

x

f x f x eµ

σµ µσ π

−−

= =

Hàm hợp lý của θ là

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 21 22 2 2

2

21

1 2

1 1 1

2 2 2

1

2

, . , .... ,

1 1 1. . . ... .

2 2 2

1.

2

n

n

i

i

n

x x x

nx

L f x f x f x

e e e

e

µ µ µσ σ σ

µσ

µ µ µ µ

σ π σ π σ π

σ π=

− − −− − −

−−

=

=

∑ =

Suy ra, ( ) ( ) ( )2

21

1ln 2

2

n

i

i

x nµ µ σ πσ =

= − − −∑�

Ta có ( ) ( )2 21 1

1 1n n

i i

i i

x x nµ µ µσ σ= =

′ = − = −

∑ ∑�

( )1

10

n

i

i

x xn

µ µ=

′ = ⇔ = =∑�

( ) 20

nµ

σ

−′′ = <�

Vậy, xµ = điểm cực đại của hàm hợp lý ( )L µ . Do đó, x là giá trị ước

lượng hợp lý cực đại của µ và 1

1 n

i

i

X Xn =

= ∑ là ước lượng hợp lý cực đại cho µ .

5.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Định nghĩa 5.8. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất dạng ( ),f x θ , θ

là tham số. Từ mẫu ngẫu nhiên ( )1 2, ,..., nX X X đặc trưng X ta tìm hai thống kê

( )1 1 1 2, ,..., nT X X Xϕ= và ( )2 2 1 2, ,..., nT X X Xϕ= sao cho với ( )0,1γ ∈ cho trước ta

có ( )1 2P T Tθ γ< < = . Khi đó, với mẫu cụ thể ( )1 2, ,..., nx x x , đặt

( )1 1 1 2, ,..., nt x x xϕ= và ( )2 2 1 2, ,..., nt x x xϕ= lần lượt là giá trị các thống kê 1 2,T T thì

khoảng ( )1 2,t t được gọi là khoảng ước lượng của θ với độ tin cậy γ hay còn gọi là

khoảng tin cậy γ cho θ. Ở đậy γ được gọi là độ tin cậy của khoảng ước lượng.

125

5.2.1. Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể

Giả sử biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng là µ chưa biết. Từ mẫu

( )1 2, ,..., nX X X đặc trưng X , hãy ước lượng µ bằng khoảng tin cậy γ . Đặt

1α γ= − , gọi α là mức ý nghĩa. Ta xét các trường hợp sau:

� Trường hợp 1: Biến ngẫu nhiên ( )2~ ,X N µ σ , biết σ .

ta có ( )~ 0,1X

Z n Nµ

σ

−=

Do đó, ( ) ( ) ( )| | | | 1 / 2P Z c P Z c P Z cγ γ α α< = ⇔ ≥ = − = ⇔ > =

Suy ra, / 2c zα= là giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc ( )0,1N .

Mặt khác, ta có:

( ) ( )| |X

P Z c P c Z c P c n c

c c c cP X X P X X

n n n n

µ

σ

σ σ σ σµ µ

−< = − < < = − < <

= − − < − < − + = − < < +

Suy ra, với mẫu cụ thể, ,c c

x xn n

σ σ − +

với / 2c zα= là khoảng tin cậy γ

của µ .

Vậy, khoảng tin cậy 1γ α= − cho µ là:

( );x e x e− + với / 2.e zn

α

σ= (5.4)

Ví dụ 5.5. Biết tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV có phân phối chuẩn độ lệch chuẩn bằng 500, nhưng chưa biết trung bình. Giá trị trung bình mẫu bằng 8900 được tính trên mẫu cỡ 35n = . Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn hình đang khảo sát.

Giải

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tuổi thọ của loại bóng đèn đó,

( )2~ ,500X N µ . Khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn hình:

( );x e x e− + , với 8900x = vì 1 0,95 0,05 / 2 0,025γ α α α= − = ⇒ = ⇒ = ).

/ 2 0,025

500 500. . 1,96. 165,65

35 35e z z

nα

σ= = = =

Vậy, khoảng tin cậy cần tìm là: (8734; 9066) (giờ).

� Trường hợp 2: Biến ngẫu nhiên ( )2~ ,X N µ σ , chưa biết σ .

126

Bằng cách sử dụng thống kê X

T nS

µ−= có phân phối student 1n − bậc tự

do, ta xây đựng khoảng tin cậy 1γ α= − cho µ là:

( );x e x e− + với / 2.s

e tn

α= (5.5)

trong đó / 2tα là giá trị tới hạn phân phối student với n bậc tự do.

� Trường hợp 3: Với mẫu lớn, 30n ≥ không cần X có phân phối chuẩn. Khoảng tin cậy 1γ α= − cho µ là:

( ),x e x e− + với / 2.s

e zn

α= (5.6)

Ví dụ 5.6. Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại cây công nghiệp ở một nông trường như sau:

xi 3 4 5 6 7 8

số cây 2 8 23 32 23 12

Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây đó bằng khoảng tin cậy 90%.

Giải

Từ số liệu đã cho ta tính được 6,02x = và độ lệch chuẩn mẫu 1,206s = .

Khoảng tin cậy 90% cho chiều cao trung bình của loại cây đó là:

( );x e x e− + , 1 0,9 / 2 0,05γ α α= − = ⇒ =

/ 2 0,05

1,206 1,206. 1,6449. 0, 2

10 10100

se z zα= = = =

Do đó, chiều cao trung bình của cây trong khoảng ( )5,82; 6,22 (m).

5.2.2. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể (mẫu lớn)

Giả sử một tổng thể lớn có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p (chưa biết). Từ mẫu cỡ lớn ( 30n ≥ ) ta tính tỉ lệ mẫu p , giả sử thỏa điều kiện 5np > và

( )1 5n p− > . Khi đó, khoảng tin cậy 1γ α= − cho p là: ( );p e p e− + với

( )/ 2

1.p p

e zn

α

−= (5.7)

Ví dụ 5.7. Một kho hàng có tỉ lệ phế phẩm là p . Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có 7 phế phẩm. Hãy ước lượng p bằng khoảng tin cậy 95%.

Giải

127

Nhận thấy mẫu 100 30n = > , ngoài ra ( )7 5, 1 93 5np n p= > − = > . Nên

khoảng tin cậy 95% cho p là: ( );p e p e− + với 7

0,07100

p = = .

1 0,95 0,05α α− = ⇒ = , / 2 0,025 1,96z zα = =

( )/ 2

1 0,07.0,93. 1,96. 0,05

100

p pe z

nα

−= = = .

0,05

0,12

p e

p e

− =

+ =

Do đó, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ p thuộc khoảng: ( )0,02;0,12 .

Ví dụ 5.8. Để ước lượng tỉ lệ lúa lép, người ta hốt ngẫu nhiên 500 hạt lúa thấy tỉ lệ mẫu là 2%. Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỉ lệ lúa lép thực tế.

Giải

Gọi p là tỉ lệ lúa lép thật sự. Từ đề bài ta có 500 30;n = > 10 5;np = >

( )1 490 5n p− = > . Nên khoảng tin cậy 96% cho p là: ( ); ,p e p e− + 0,02p = ,

1 0,96γ α= − = 0,04α⇒ = , / 2 0,02 2,0537z zα = = .

( )/ 2

1 0,02.0,980,0129

5002,0537.

p pe z

nα

−= = =

Suy ra, 0,0071p e− = ; 0,0329p e+ = .

Do đó, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ lúa lép thật sự nằm trong khoảng

( )0,0071;0,0329 tức là từ 0,71% đến 3,29%.

5.2.3. Khoảng tin cậy cho hiệu hai trung bình

Giả sử hai tổng thể X và Y đều có phân phối chuẩn với kỳ vọng lần lượt là

Xµ và Yµ và với phương sai lần lượt là 2Xσ và 2

Yσ . Từ X ta lấy mẫu

( )1 2, ,..., nX X X , từ Y ta lấy mẫu ( )1 2, ,..., mY Y Y , hai mẫu lấy độc lập. Ta xét hai

trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu biết Xσ và Yσ

Khoảng tin cậy 1γ α= − cho hiệu X Yµ µ− là: ( );x y e x y e− − − +

2 2

/ 2. X Ye zn m

α

σ σ= + (5.8)

Ví dụ 5.9. Để nghiên cứu lượng tiền gửi tiết kiệm vào ngân hàng của hai thành phố người ta điều tra ngẫu nhiên 230 ngân hàng ở thành phố A và tìm được lượng tiền gửi trung bình của mỗi khách hàng là 1,317 triệu đồng. Ở thành phố B nghiên cứu 302 ngân hàng tìm được lượng tiền gửi trung bình mỗi khách hàng là 1,512 triệu đồng. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự chênh lệch của số tiền gửi tiết kiệm trung bình của dân hai thành phố đó. Biết tiền gửi tiết kiệm của dân hai thành phố là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn lần lượt là 0,517 và 0,485 triệu đồng.

128

Giải

Gọi X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ lượng tiền gửi tiết kiệm mỗi người dân ở hai thành phố A và B. Khoảng tin cậy 95% cho X Yµ µ− là:

( );x y e x y e− − − + :

1,317 1,512 0,195x y− = − = − ;

2 2 2 2

/ 2

0,517 0, 485. 1,96. 0,0864

230 302X Ye zn m

α

σ σ= + = + =

Suy ra:

0, 2814

0,1086

x y e

x y e

− − = −

− + = −

Vậy, khoảng tin cậy 95% cho sự chênh lệch của số tiền gửi tiết kiệm trung bình của dân hai thành phố nằm trong khoảng ( )0, 2814; 0,1086− − triệu đồng.

Trường hợp 2: Chưa biết ,X Yσ σ nhưng biết X Yσ σ= (tức là X, Y có phân phối chuẩn cùng phương sai).

Khoảng tin cậy 1γ α= − cho X Yµ µ− là: ( );x y e x y e− − − +

( )2 2/ 2

1 1n me t s

n mα

+ − = +

(5.9)

Với ( ) ( )2 2

2 1 1

2X Yn s m s

sn m

− + −=

+ − gọi là phương sai mẫu chung.

Ví dụ 5.10. Để xác định hiệu quả của một loại thức ăn phụ đối với sự tăng trọng của bò, người ta lấy ngẫu nhiên 8 con bò cùng trọng lượng chia làm hai nhóm, mỗi nhóm 4 con. Nhóm thứ nhất cho ăn bình thường, nhóm thứ hai cho thêm thức ăn phụ. Sau 6 tháng thu được kết quả: Nhóm thứ nhất có khối lượng trung bình 330kg/con và độ lệch chuẩn mẫu 33,665 kg/con. Nhóm thứ hai có khối lượng trung bình 360 kg/con và độ lệch chuẩn mẫu 29,4392 kg/con. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho hiệu khối lượng trung bình giữa nhóm thứ hai và nhóm thứ nhất. Biết rằng khối lượng của mỗi con bò có phân phối chuẩn cùng phương sai.

Giải

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng mỗi con bò nhóm 2, Y là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng mỗi con bò nhóm 1. Khoảng tin cậy 95% cho hiệu

X Yµ µ− là:

( );x y e x y e− − − + với 360 330 30x y− = − = , phương sai mẫu chung

( ) ( )2 22 1 1

10002

X Yn s m s

sn m

− + −= =

+ −, 1 0,95 0,05α α− = ⇒ = , ( ) ( )2 6

/ 2 0,025 2, 4469n mt tα

+ −= =

( )6 2/ 2

1 1 1 12,4469. 1000 54,7143

4 4e t s

n mα

= + = + =

129

Vậy, hiệu khối lượng trung bình giữa hai nhóm nằm trong khoảng

( )24,7143;84,7143− kg.

5.2.4. Khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể

Giả sử tổng thể đang xét là biến ngẫu nhiên X có phương sai là 2σ chưa

biết. Giả sử ( )2~ ,X N µ σ , ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu biết µ , khoảng tin cậy γ cho 2σ là:

( )

( )

( )

( )

2 2

1 12 2

12 2

;

n n

k k

k k

x x

n nα α

µ µ

χ χ= =

−

− −

∑ ∑ (5.10)

Lưu ý:

+ kx là các số liệu quan sát về biến ngẫu nhiên X.

+ ( )2

2

nαχ và ( )2

12

nαχ−

lần lượt là giá trị tới hạn mức 2

α và 1

2

α− của phân

phối 2χ (Khi bình phương) n bậc tự do. (Tra Bảng 3)

Ví dụ 5.11. Lãi suất cổ phiếu của một công ty trong vòng 5 năm qua là 15%, 10%, 20%, 7% và 14%. Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng độ lệch chuẩn của lãi suất cổ phiếu của công ty đó. Biết lãi suất cổ phiếu là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có kỳ vọng là 10% năm.

Giải

Gọi X là lãi suất cổ phiếu hàng năm. Ta cần tìm khoảng tin cậy 90% cho phương sai của X .

Ta có ( )5

2

1

150k

k

x µ=

− =∑

Khoảng tin cậy 90% cho 2σ là:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 12 2 2 2

0,05 0,951

2 2

150 150; ;

5 5

150 150; 13,5489;131,0044

11,071 1,145

n n

k k

k k

x x

n nα α

µ µ

χ χ χ χ= =

−

− −

=

= =

∑ ∑

Do đó, độ lệch chuẩn của lãi suất trong khoảng: ( )3,6809;11,4457 %.

Trường hợp 2: Nếu chưa biết σ , khoảng tin cậy γ cho 2σ là:

130

( )( )

( )( )

2 2

2 2

12 2

1 1;

1 1

n s n s

n nα αχ χ−

− −

− −

(5.11)

Lưu ý:

( )2

2

1nαχ − và ( )2

12

1nαχ−

− lần lượt là giá trị tới hạn mức 2

α và 1

2

α− của phân

phối 2χ (Khi bình phương) 1n − bậc tự do. (Tra Bảng 3)

Ví dụ 5.12. Kiểm tra ngẫu nhiên 16 viên thuốc từ một lô thuốc mới nhập về tìm được độ phân tán của thành phần chính trong mỗi viên thuốc là 2 0,0775s = 2g . Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng độ phân tán của thành phần chính trong mỗi viên của lô thuốc đó. Biết khối lượng thành phần chính trong mỗi viên thuốc là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

Giải

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng thành phần chính trong mỗi viên thuốc.

Khoảng tin cậy 95% cho độ phân tán của thành phần chính trong thuốc là:

( ) ( )( )

2 2

2 20,05 0,05

12 2

15 15 15.0,0775 15.0,0775; ; 0,0423;0,1856 .

15 15 27,488 6, 262

s s

χ χ−

= =

Vậy, với độ tin cậy 95%, độ phân tán thành phần chính trong mỗi viên thuốc nằm trong khoảng: ( )0,0423;0,1856 .

5.3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG TIN CẬY

5.3.1. Bài toán xác định độ tin cậy

Trong ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình hay tỉ lệ, e được gọi là sai số ước lượng hay độ chính xác, 2e được gọi là độ dài hay bề rộng khoảng tin cậy. Bài toán đặt ra là với sai số e và kích thước mẫu cho trước hãy tìm độ tin cậy 1γ α= − .

Với công thức (5.4) ta có:

/ 2

e nzα

σ=

Vì với ( )~ 0,1Z N , ta có: ( )/ 2 / 2P Z zα α> = ,

hay / 2e n

P Z ασ

> =

hay 1 / 2

e nα

σ

− Φ =

hay 1 1 2 1 2 1e n e n

γ ασ σ

= − = − − Φ = Φ −

Như vậy, với sai số cho phép khi ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể là e , ở kích thước mẫu n thì độ tin cậy được xác định bởi công thức:

131

2 1e n

γσ

= Φ −

(5.12)

Ví dụ 5.13. Biết khối lượng của mỗi nam sinh viên năm thứ nhất trường đại học A tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 3kg. Chọn ngẫu nhiên 25 nam sinh viên năm thứ nhất, người ta tính được khối lượng trung bình là 52 kg.

a) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của mỗi nam sinh viên năm thứ nhất trường đại học A.

b) Với mẫu trên, nếu muốn bề rộng của khoảng ước lượng trung bình tổng thể là 1,8 kg thì độ tin cậy là bao nhiêu?

Giải

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng mỗi nam sinh viên năm thứ nhất

trường đại học A thì ( )2~ ,X N µ σ , và chúng ta phải ước lượng µ :

a) Khoảng tin cậy 95% cho µ là: ( );x e x e− + với x = 52 và

e = 0,025

31,960. 1,176

5e z

n

σ= = =

Vậy, khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của mỗi nam sinh viên năm thứ nhất trường đại học A là (50,824; 53,1766) (kg).

b) Xác định độ tin cậy γ :

Theo giả thiết, sai số ước lượng là 0,9e = . Khi đó,

Áp dụng (5.12) ta được:

( )2 1 2 1,5 1 0,8664e n

γσ

= Φ − = Φ − =

Vậy, γ = 86,64%.

Chú ý. Trong công thức (5.12) trường hợp không biết σ ta có thể thay thế σ bằng .s Và để có công thức đó ta xuất phát từ công thức (5.6). Nếu xuất phát từ công thức

(5.5), khi đó ( ) ( )1 1/ 2 / 2

..n ns e n

e t tsn

α α

− −= ⇒ =

./ 2

e nP T

sα

⇒ = >

.1 2

e nP T

sγ

⇒ = − >

(5.13)

ở đây T là biến ngẫu nhiên có phân phối student 1n − bậc tự do. Có thể dùng hàm TDIST trong Excel để tính:

132

. .; 1;1

e n e nP T TDIST n

s s

> = −

(5.14)

Tuy nhiên, trong giáo trình này ta chỉ sử dụng công thức (5.12) để xác định độ tin cậy. Nếu có độ tin cậy rồi, thì việc xây dựng lại khoảng tin cậy cho trung bình cần được áp dụng theo đúng trường hợp.

Đối với bài toán khoảng tin cậy cho tỉ lệ, sử dụng công thức (5.7) ta cũng suy ra được công thức:

( )2 1

1

e n

p pγ

= Φ − −

(5.15)

Ví dụ 5.14. Trong đợt khảo sát tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt, người ta lấy 1000 hạt gieo thử và thấy 860 hạt nảy mầm. Biết khoảng tin cậy γ cho tỉ lệ nảy mầm là

( )0,8385;0,8815 . Hãy tìm độ tin cậy γ .

Giải

Ta có tỉ lệ mẫu 0,86p = , từ khoảng tin cậy ( ) ( ); 0,8385;0,8815p e p e− + =

suy ra 0,0215e = .

Do đó, độ tin cậy ( )

12 1 0,951

e n

p pγ

= Φ − = −

Vậy, độ tin cậy cần tìm là 95%.

5.3.2. Bài toán xác định kích thước mẫu

Trong bài toán tìm khoảng tin cậy cho trung bình hay tỉ lệ, chất lượng của ước lượng được phản ánh qua độ tin cậy γ và sai số ước lượng. Nếu độ tin cậy càng cao thì ước lượng càng tốt nghĩa là càng đáng tin cậy. Tuy nhiên, khi độ tin cậy càng cao thì sai số ước lượng càng lớn, tức là biên độ của giá trị cần ước lượng dao động lớn. Bài toán đặt ra là với độ tin cậy γ và sai số ước lượng không quá ε (ε được gọi là độ chính xác) thì kích thước mẫu là bao nhiêu?

� Đối với bài toán ước lượng trung bình.

Gọi 1n là kích thước mẫu mới, từ công thức (5.4), ta có:

/ 2

1

.e zn

α

σε= ≤

2

1 / 2.n zα

σ

ε

⇒ ≥

Như vậy, kích thước mẫu mới phải là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn

2

/ 21

.zn α σ

ε

≥

(5.16)

Trong trường hợp chưa có biết σ , ta lấy mẫu thăm dò n và tìm độ lệch chuẩn mẫu s . Khi đó kích thước mẫu cần tìm phải thỏa:

133

2

/ 21

.z sn α

ε

≥

(5.17)

� Đối với bài toán tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ ta cũng có công thức:

Nếu có mẫu thăm dò và tính được tỉ lệ mẫu p thì kích thước mẫu cần tìm là:

( )2

/ 21

. 1z p pn

α

ε

− ≥

(5.18)

Còn nếu chưa có mẫu tham dò thì ta có thể xem 1

2p = và do đó ta được công

thức:

2

/ 2

2

zn α

ε

≥

(5.19)

Ví dụ 5.15. Khối lượng một chi tiết máy là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1,2σ = kg. Phải chọn ít nhất bao nhiêu chi tiết máy để điều tra, nếu muốn độ chính xác của ước lượng là 0,3 kg và độ tin cậy là 95%.

Giải

Gọi n là kích thước mẫu cần tìm, theo công thức (5.16) ta có: 22

/ 2. 1,96.1,261, 47

0,3

zn α σ

ε

≥ = =

Vì n là số nguyên dương bé nhất nên chọn 62n = .

Vậy, cần điều tra 62 chi tiết máy.

Ví dụ 5.16. Thống kê trên mẫu trước đây biết tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống là 90%.p = Để ước lượng tỉ lệ nảy mầm p với độ tin cậy 95% và độ dài khoảng tin cậy không quá 0,02 thì phải gieo bao nhiêu hạt.

Giải

Gọi 1n là kích thước mẫu cần tìm, ta có:

Độ dài khoảng tin cậy 2 0,02 0,01e e ε≤ ⇒ ≤ = .

Vì đây có mẫu thăm dò nên ta áp dụng công thức (5.18) nên:

( )( )

22

/ 21

. 1 1,96.0,9. 1 0,9 3457,44

0,01

z p pn

α

ε

− ≥ = − =

Vì 1n là số nguyên dương bé nhất nên chọn 1 3458n = hạt.

134

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5. 1. Cân các gói hàng khối lượng một kg của cùng một loại hàng ở một siêu thị, ta được bảng số liệu sau:

0,95 0,91 0,97 1,06 1,05 0,97 0,98 1,02 1,09 0,94.

a) Tính các giá trị trung bình mẫu, giá trị phương sai mẫu và giá trị độ lệch chuẩn mẫu.

b) Xác định khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của một gói hàng trên, biết rằng khối lượng đó là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.

5. 2.

a) Biết rằng tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV có độ lệch chuẩn bằng 500 giờ, nhưng chưa biết trung bình. Ngoài ra, tuổi thọ của loại bóng đèn đó tuân theo luật phân phối chuẩn. Khảo sát trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 bóng loại trên, người ta tính được tuổi thọ trung bình là 8900 giờ. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn hình nói trên.

b) Một tổng thể X có phân phối chuẩn. Quan sát một mẫu ngẫu nhiên kích thước 25 người ta tính được trung bình là 15 và độ lệch chuẩn là 3. Hãy ước lượng kỳ vọng của X bằng khoảng tin cậy 95%.

5. 3. Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV có độ lệch chuẩn bằng 500 giờ, nhưng chưa biết trung bình. Tuy nhiên, trung bình mẫu bằng 8900 giờ được tính trên mẫu cỡ 35n = .

a) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn hình đang khảo sát.

b) Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV trên có phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho trung bình tổng thể.

5. 4. Kiểm tra tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 bóng đèn tính được giá trị trung bình mẫu là 8900 giờ và giá trị độ lệch chuẩn mẫu bằng 500 giờ.

a) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể.

b) Độ tin cậy sẽ là bao nhiêu nếu với cùng mẫu trên sai số ước lượng bằng 130 giờ.

5. 5. Một lô bút bi của xí nghiệp A sản xuất ra gồm 1000 hộp, mỗi hộp 10 cây. Kiểm tra ngẫu nhiên 50 hộp, thấy có 45 cây bút bị hỏng.

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ bút bị hỏng và số bút bị hỏng của lô hàng.

b) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ bút hỏng với độ chính xác 1,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?

5. 6. Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại cây công nghiệp ở một nông trường như sau:

135

xi 3 4 5 6 7 8

số cây 2 8 23 32 23 12

a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây đó bằng khoảng tin cậy 90%.

b) Để ước lượng chiều cao trung bình của loại cây đó ở độ tin cậy 95%, với sai số không quá 2 dm thì cần phải quan sát thêm bao nhiêu cây nữa?

5. 7. Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại cây công nghiệp ở một nông trường như sau:

xi 3 4 5 6 7 8

số cây 2 8 23 32 23 12

a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây đó bằng khoảng tin cậy 90%.

b) Những cây cao từ 7 m trở lên gọi là cây loại A. Hãy tìm khoảng tin cậy 95,44% cho tỉ lệ cây loại A của nông trường.

5. 8. Độ sâu của biển được xác định bằng một máy đo có sai số hệ thống bằng 0, còn sai số ngẫu nhiên của nó tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 20m.

a) Cần phải tiến hành bao nhiêu lần đo để xác định được độ sâu của biển với sai số cho phép không quá 15m ở độ tin cậy 90% ?

b) Tìm khoảng tin cậy 95% cho sai số ngẫu nhiên trung bình. Biết rằng khi tiến hành đo ở một địa điểm xác định 25 lần người ta tính được sai số ngẫu nhiên trung bình mẫu là 100m.

5. 9. Người ta muốn ước lượng tỉ lệ viên thuốc bị sứt mẻ trong một lô thuốc rất nhiều viên.

a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?

b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 20 viên bị sứt mẻ. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể. Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?

5. 10. Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một đàn bò, người ta điều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nông trường và có kết quả sau:

SLSHN (kg) 9 10 12 14 15

Số con bò 10 24 42 16 8

a) Ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày của một con bò bằng khoảng tin cậy 97%.

b) Với độ tin cậy 97% và sai số ước lượng sản lượng sữa trung bình hàng ngày của một con bò không quá 0,3 kg thì phải điều tra thêm bao nhiêu con bò nữa?

5. 11. Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày của một đàn bò, người ta điều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nông trường thấy trung bình mẫu là 11,78 kg và độ lệch

136

chuẩn mẫu là 1,8kg. Ngoài ra trong 100 con bò có 66 con cho sản lượng trên 11kg/ngày.

a) Tìm khoảng tin cậy 90% cho tỉ lệ bò cho sản lượng trên 11kg/ngày.

b) Muốn sai số khi ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày không vượt quá 0,3 kg và sai số khi ước lượng tỉ lệ bò cho sản lượng trên 11kg/ngày không vượt quá 10%, với cùng độ tin cậy 98%, thì cần điều tra bao nhiêu con bò?

5. 12. Độ dài của một loại chi tiết máy được đo 25 lần bằng một máy đo có sai số hệ thống bằng 0. Biết rằng sai số ngẫu nhiên của việc đo có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 10 cm và độ dài trung bình trong 25 lần đo là 100cm.

a) Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho độ dài của loại chi tiết máy trên.

b) Phải tiến hành bao nhiêu lần đo để bề rộng khoảng tin cậy 99% cho độ dài của loại chi tiết máy trên không quá 8 cm.

5. 13. Giả sử đường kính của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối

( )2,N µ σ . Đo 10 sản phẩm, người ta có bảng số liệu:

4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0

Tìm khoảng tin cậy 99% cho µ và σ2.

5. 14. Nghiên cứu về độ bền X (kg/mm2) của một loại thép, người tiến hành một số quan sát một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau:

Độ bền (kg/mm2) Số tấm thép

(95, 115]

(115,135]

(135,155]

(155,175]

(175,195]

(195,215]

> 215

15

19

23

31

29

21

6

a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho độ bền trung bình của loại thép trên.

b) Sẽ đạt độ tin cậy bao nhiêu nếu muốn ước lượng độ bền trung bình của loại thép trên bằng khoảng tin cậy có độ dài bằng 6?

5. 15. Nghiên cứu về độ bền X (kg/mm2) của một loại thép, người tiến hành một số quan sát một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau:

Độ bền (kg/mm2) Số tấm thép

(95, 115]

(115,135]

(135,155]

15

19

23

137

(155,175]

(175,195]

(195,215]

> 215

31

29

21

6

a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho độ bền trung bình của loại thép trên.

b) Thép có độ bền trên 195kg/mm2 được gọi là thép loại A. Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ thép loại A.

5. 16. Mức tiêu hao nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là một biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên, người ta thu được kết quả cho trong bảng sau:

x (gam) 19 19,5 20 20,5

số sản phẩm 5 6 14 3

Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể trong hai trường hợp:

a) biết E(X) = 20g;

b) chưa biết E(X).

5. 17. X (đơn vị tính bằng %) là chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra 100 sản phẩm, người ta tính được trung bình mẫu là 13,52; độ lệch chuẩn mẫu là 3,35.

a) Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác 0,3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

b) Người ta xem các sản phẩm có chỉ tiêu X dưới một 10% là loại 2. Dựa vào mẫu trên người ta tính được khoảng tin cậy γ cho tỉ lệ sản phẩm loại 2 là (4%, 16%). Tìm độ tin cậy γ của ước lượng này.

5. 18. Người ta muốn ước lượng tỉ lệ p người dân không đồng ý về một điều luật mới được đề nghị.

a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 2% ở độ tin cậy 90% thì phải hỏi ý kiến ít nhất mấy người?

b) Trên một mẫu ngẫu nhiên 344 người được hỏi ý kiến, có 83 người không đồng ý. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho p . Dựa vào số liệu của mẫu này, hãy giải lại câu a).

5. 19. Để nghiên cứu đường kính X (mm) của một loại sản phẩm do một xí nghiệp sản xuất, người ta đo ngẫu nhiên 100 sản phẩm của xí nghiệp và có kết quả cho trong bảng sau:

xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15

Tần số 8 12 20 30 14 10 6

Theo qui định, những sản phẩm có đường kính từ 9,9 mm đến 10,1 mm là những sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ và đường kính trung bình của những sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.

5. 20. X (tính bằng %) và Y (tính bằng cm) là 2 chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên ở một số sản phẩm, người ta có kết quả sau:

138

xi

yk

1 2 3x 4x

(90, 95] 5 13 2

(95, 100] 19 23 15 8

(100, 105] 12 10 7

(105, 110] 5 2

a) Để ước lượng trung bình của chỉ tiêu Y với sai số cho phép 0,5 cm và độ tin cậy 90% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

b) Cho biết khoảng tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn mẫu của chỉ tiêu X.

5. 21. X (tính bằng %) và Y (tính bằng cm) là 2 chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên ở một số sản phẩm, người ta có kết quả sau:

xi

yk

1 2 3 4x

(90, 95] 5 13 2

(95, 100] 19 23 15 8

(100, 105] 12 10 7

(105, 110] 5 2

a) Cho biết khoảng tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của chỉ tiêu X.

b) Hãy tìm giá trị 4x .

5. 22. Một giống lúa mới được gieo trong 10 miếng đất thí nghiệm có các điều kiện giống nhau, cho các sản lượng tính theo cùng một đơn vị như sau:

25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.

Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ2). Hãy tìm

khoảng tin cậy 90% cho µ và σ2.

5. 23. Để đánh giá trữ lượng cá trong một hồ lớn, người ta đánh bắt 2000 con cá từ hồ đó, đánh dấu rồi thả lại xuống hồ. Vài ngày sau, họ đánh bắt lại 400 con thì thấy có 80 con có đánh dấu.

a) Hãy ước lượng trữ lượng cá trong hồ bằng khoảng tin cậy 95%.

b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải đánh bắt bao nhiêu con cá?

5. 24. Một máy sản xuất tự động có tỉ lệ sản xuất ra sản phẩm loại A lúc đầu là 48%. Máy được cải tiến và sau một thời gian áp dụng, người ta kiểm tra 40 hộp, mỗi hộp gồm 10 sản phẩm và ghi lại số sản phẩm loại A trong mỗi hộp (SSPLA/h) như sau :

SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

139

Số hộp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0

Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A sau khi máy được cải tiến bằng khoảng tin cậy 95%.

5. 25. Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta quan tâm đến đường kính X (cm) và chiều cao Y (m) của loại cây đó. Đo chiều cao và đường kính của 100 cây cùng độ tuổi được chọn ngẫu nhiên, kết quả thu được cho trong bảng sau:

yk

xi

3 4 5 6 7

(20, 22] 5

(22, 24] 19 25 10

(24, 26] 5 17 8

(26, 28] 7 4

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho đường kính trung bình của loại cây này.

b) Để ước lượng đường kính trung bình của loại cây này với độ chính xác đạt được ở câu (a) và độ tin cậy 99% thì cần đo thêm bao nhiêu cây nữa?

5. 26. Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta quan tâm đến đường kính X (cm) và chiều cao Y (m) của loại cây đó. Đo chiều cao và đường kính của 100 cây cùng độ tuổi được chọn ngẫu nhiên, kết quả thu được cho trong bảng sau:

yk

xi

3 4 5 6 7

(20, 22] 5

(22, 24] 19 25 10

(24, 26] 5 17 8

(26, 28] 7 4

Những cây cao từ 6m trở lên là cây loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ và đường kính trung bình của cây loại A bằng khoảng tin cậy 99% (giả thiết đường kính cây loại A là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn).

5. 27. Để khảo sát mức tiêu hao nguyên liệu (tính bằng gam) để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm của một nhà máy, người ta quan sát mức tiêu hao nguyên liệu trên một mẫu, và thu được kết quả sau: (đơn vị gam)

ix 18 19 20 21 22

in 13 21 27 21 18

a) Tìm khoảng tin cậy 98% cho số tiền trung bình được dùng để mua nguyên liệu để sản xuất trong mỗi quí của nhà máy. Biết rằng giá loại nguyên liệu này là 800 ngàn đồng/kg và sản lượng của nhà máy trong một quí là 40.000 sản phẩm.

140

b) Nếu muốn ước lượng số tiền trung bình để mua nguyên liệu trong mỗi quí của nhà máy bằng khoảng tin cậy 99% và sai số không quá 8 triệu đồng thì phải lấy mẫu với kích thước là bao nhiêu?

5. 28. Để nghiên cứu lãi suất ngân hàng giữa hai nhóm nước công nghiệp phát triển và đang phát triển, người ta điều tra lãi suất ngân hàng trong một năm của 7 nước phát triển và 11 nước đang phát triển được chọn ngẫu nhiên. Với các nước phát triển, lãi suất trung bình là 17,5% và độ lệch chuẩn là 3,2%; còn đối với các nước đang phát triển, lãi suất trung bình là 15,3% và độ lệch chuẩn là 2,9%. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự chênh lệch về lãi suất trung bình giữa hai nhóm nước trên. Biết rằng lãi suất ngân hàng của của hai nhóm nước trên là các biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật chuẩn có cùng phương sai.

5. 29. Để nghiên cứu lượng tiền gửi tiết kiệm vào ngân hàng của hai thành phố, người ta điều tra ngẫu nhiên 23 khách hàng ở thành phố A và tìm được lượng tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,317 triệu đồng. Ở thành phố B, nghiên cứu 32 khách hàng, tìm được lượng tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,512 triệu đồng. Hãy ước lượng sự chênh lệch trung bình giữa lượng tiền gửi tiết kiệm trung bình của dân hai thành phố A và B bằng khoảng tin cậy 95%. Biết rằng tiền tiết kiệm của người dân hai thành phố A và B là các BNN tuân theo luận phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn theo thứ tự, là 0,517 triệu và 0,485 triệu.

5. 30. Một kỹ sư lâm nghiệp nghiên cứu chiều cao của một loại cây với giả thiết là nó có phân phối chuẩn. Trên một mẫu có kích thước 10n = , anh ta tính được khoảng tin cậy 90% của trung bình tổng thể là (13,063; 14,497). Không may, bộ số liệu của mẫu bị thất lạc, anh ta chỉ còn nhớ các số sau:

12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.

a) Tìm các giá trị trung bình mẫu.

b) Tìm hai số liệu bị thất lạc.

5. 31. Công ty ABC muốn nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng về loại hàng của công ty ở một khu vực, họ tiến hành điều tra về nhu cầu của mặt hàng đó ở 400 hộ gia đình, được chọn ngẫu nhiên ở khu vực đó. Kết quả điều tra như sau:

Nhu cầu (kg/tháng) Số gia đình

< 1

[1, 2)

[2,3)

[3,4)

[4,5)

[5,6)

[6,8)

> 8

10

35

86

132

78

34

15

10

a) Hãy ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của mỗi hộ gia đình trong một năm bằng khoảng tin cậy 95%.

141

b) Với mẫu trên, khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của mỗi hộ trong một năm, nếu muốn sai số ước lượng là 1,425 kg, thì đạt được độ tin cậy bằng bao nhiêu?

5. 32. Một lô trái cây của một cửa hàng đựng trong các sọt, mỗi sọt 100 trái. Người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt, thì thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn.

a) Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng.

b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng, với sai số bằng 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?

5. 33. Một lô trái cây của một cửa hàng đựng trong các sọt, mỗi sọt 100 trái. Người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt, thì thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn.

a) Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng.

b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng, với độ tin cậy 99% và sai số không lớn hơn 1%, thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?

5. 34. Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức độ tiêu thụ sản phẩm này trong thành phố H. Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình và có kết quả sau:

Giả sử thành phố H có 10.000 hộ gia đình.

a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của toàn thành phố H trong một năm với độ tin cậy 96%

b) Để ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của một hộ trong một tháng với sai số ước lượng không quá 50 gam và độ tin cậy 95% thì cần điều tra thêm bao nhiêu hộ gia đình nữa?

5. 35. Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức độ tiêu thụ sản phẩm này trong thành phố H. Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình và có kết quả sau:

Giả sử thành phố H có 10.000 hộ gia đình.

a) Tính các giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu.

b) Những hộ có nhu cầu trên 2 kg/tháng được gọi là những hộ có nhu cầu cao. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ hộ có nhu cầu cao ở thành phố H.

c) Để ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của một hộ trong một tháng với sai số ước lượng không quá 50 gam và độ tin cậy 95% thì cần điều tra thêm bao nhiêu hộ gia đình nữa?

5. 36. Để đánh giá mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe ô tô, người ta theo dõi lượng tiêu hao nhiên liệu (lít/100 km) của 100 chuyến xe và có kết quả sau:

Lượng tiêu hao [35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55) [55; 60)

Nhu cầu (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) ≥ 3,5

Số hộ gia đình 21 147 192 78 34 16 12

Nhu cầu (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) ≥ 3,5

Số hộ gia đình 21 147 192 78 34 16 12

142

Số chuyến xe 14 20 36 22 8

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho lượng tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe nói trên

b) Xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có mức tiêu hao nhiên liệu từ 55 lít/100 km trở lên. Hãy ước lượng tỉ lệ xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật ở độ tin cậy 95%.

5. 37. Kiểm tra ngẫu nhiên học sinh lớp 10 của một trường phổ thông bằng một bài trắc nghiệm khách quan môn toán người ta được số liệu sau:

Điểm số 2 3 4 5 6 7 8 9

số học sinh 5 7 11 26 34 28 16 5

a) Hãy ước lượng điểm số trung bình của các học sinh đó bằng khoảng tin cậy 95%.

b) Học sinh có điểm từ 8 trở lên được xếp loại giỏi. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ học sinh giỏi của trường.

5. 38. Để nghiên cứu về thâm niên công tác (tính tròn năm) của nhân viên ở một công ty lớn, người ta khảo sát thâm niên của 100 nhân viên được chọn ngẫu nhiên trong công ty thấy có 8 nhân viên có thâm niên công tác dưới 8 năm.

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ nhân viên có thâm niên dưới 8 năm.

b) Muốn ước lượng tỉ lệ nhân viên có thâm niên dưới 8 năm của công ty ở độ tin cậy 95% và sai số không quá 5% thì quan sát bao nhiêu nhân viên?

5. 39. Đường kính một chi tiết máy do một phân xưởng sản xuất tuân theo luật phân phối chuẩn. Đo đường kính một 100 chi tiết máy ta được bảng sau:

Đường kính (mm) 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15

Số chi tiết 8 12 20 30 14 10 6

Theo quy định, những chi tiết có đường kính từ 9,9 mm đến 10,1 là những chi tiết đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn bằng độ tin cậy 95%.

b) Hãy ước lượng đường kính trung bình của chi tiết máy của phân xưởng bằng độ tin cậy 95%.