程序控制 程序動態應答分析 - ntut.edu.twjcjeng/chap2_process dynamic...動態(dynamics)...
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程序控制
程序動態應答分析: Laplace Transform
程序控制程序控制
程序動態應答分析程序動態應答分析: : Laplace TransformLaplace Transform
動態(Dynamics)
• 在一穩定情況下，程序或控制系統，受到任何輸入變數擾動(Disturbances)，程序或控制系統輸出變數，將會產生變動，這種變動是時間的函數，稱之為動態。
• 用來表達程序動態的數學，就是微分方程式。
( )1 2, , , ,ii m
dyf x x x t
dt= ⋯
微分方程式 VS拉氏轉換
• 數學上以微分方程式表示製程動態輸入、輸出關係
• 自動控制學中，是以拉氏轉換函數(Laplace
Transfer Function)來表示輸入、輸出關係:
– G: 轉換函數
– s: 拉氏因子(Laplace Operater)
– 其中輸入、輸出均為微擾變數微擾變數微擾變數微擾變數(deviation variable)
sy y y= −
( ) ( )( )
( ) ( )
s Y sG s
s U s= =輸出
輸入
程序控制系統塊解圖
為什麼要用 Laplace轉換？
• 動態程序
– 由線性及非線性微分方程式所組成
• Laplace 轉換為什麼好用？
– 它把微分、積分變成乘、除，使運算減化
– 它是一個線性轉換，具有加成性
( ), ,=y f y u pɺ
Laplace轉換的角色
• 轉換函數 (Transfer Functions)
• 頻率應答 (Frequency Response)
• 控制系統設計 (Control System Design)
• 穩定性分析 (Stability Analysis)
定義
• 對函數 f(t)，其Laplace 轉換F(s)可表示為：
– : Laplace 轉換因子(Laplace Transform Operator)
– s : 複數變數(complex variable)，s =a+bi
– : 反Laplace 轉換因子(Inverse Laplace Transform
Operator)
[ ][ ]
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
L
L
stF s f t f t e dt
f t F s
∞ −
−
= =
=∫
L
-1L
Laplace轉換的特性
• 加成性 (Superposition Principle)
( ) ( ) ( )
( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
L L L
L
ax t by t a x t b y t aX s bY s
aX s bY s ax t by t−
+ = + = +
+ = +
常用的 Laplace轉換
• 常數函數 • 階梯函數(Step Function)
– 若 a = 1，單位階梯函數(Unit Step Function)
0 0( )
0
tf t
a t
<= ≥
( )f t a=
( )0
0
0
Lst
st
a ae dt
ae
sa
s
a
s
∞ −
∞−
=
= −
= − −
=
∫
( ) 1( )S t
s=L
a
( )f t
t0
( )S t
常用的 Laplace轉換
• 斜坡函數(Ramp Function)
0 0( )
0
tf t
at t
<= ≥
( ) 2( )
af t
s=L
slope a=
( )f t
t0
( )
1( )
( 1)!( )
n
n
f t t
nf t
s
−=−=L
常用的 Laplace轉換(續)• 微分(Derivatives)
– 一階微分 高階微分
( ) ( )( ) ( )
0
00( )
0
0
st
st st
df dfe dt
dt dt
f t e
sF s
sdt e
s f f
f
f
∞ −
∞ ∞− −
=
= +
= −
= −
∫
∫
L
L
( ) ( )
( )( ) ( )
1
2 (1)
( 2) ( 1)
0
0
0 0
nn n
n
n
n n
d fs F s s f
dt
s f
sf f
−
−
− −
= −
− −
− −
⋯
L
常用的 Laplace 轉換(續)• 指數函數(Exponential Function)
( )0
( )
0
( ) , 0
( )
1
1
bt
bt st
b s t
f t e b
f t e e dt
e
s
b s
b
−
∞ − −
∞− +
= >
=
= −
+
+
=
∫L
常用的 Laplace轉換(續)• 三角函數(Trigonometric Function)
( ) ( ) ( )
2 2
( ) cos
cos2
1 1cos
2 2
1 1 1
2
j t j t
j t j t
f t t
e et
t e e
s j s j
s
s
ω ω
ω ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
−
−
=
+=
= +
= + − +
=+
L L L ( ) 2 2sin t
s
ωωω
=+
L
(Euler identity)
常用的 Laplace轉換(續)• 波動性函數 (Rectangular Pulse Function)
• 脈衝函數(Impulse Function or Dirac Delta Function)
– Let and , then f(t)=δ(t)= Impulse function
0 0
( ) 0
0w
w
t
f t h t t
t t
<= ≤ < ≥
h
( )f t
wt Time, t( ) ( )1 wt shF s e
s−= −
1
w
ht
=
( )( ) 1L tδ =
0wt →
Taking limit and by
L’Hospital’s rule
Unit rectangular pulse
h = 1/tw � htw = 1
利用Laplace轉換解ODE
等號左右兩邊同時取Laplace轉換
整理代數方程式
Y(s) = F(s)
應用部分分式展開式(Partial
Fraction Expansion)將F(s)展開
等號左右兩邊同時取反Laplace
轉換，完成ODE求解
Example 3.1
• ODE:
• Ans:
– 等號左右兩邊同時取Laplace轉換
– 整理代數方程式
– 取Inverse Laplace轉換
( )5 4 2 0 1dy
y ydt
+ = =
( ) 25 ( ) 1 4 ( )sY s Y s
s− + =
( )5 2
( )5 4
sY s
s s
+=+
( )-1 0.85 2
( ) 0.5 0.55 4
Lts
y t es s
− += = + +
部分分式展開式 –實數解
• Example
( )( )( )
1 2
1 21 4
5( )
1 4 1 4
5 4 5 1,
4 3 1 3s s
sY s
s s s s
s s
s s
α α
α α=− =−
+= = +
+ + + +
+ += = = = −+ +
( )
( )1
1
1
1
1 2
1 1
1 1 2
( ) ( )( )
( )( )
( )
(
( )
( )( )
)s a
ni
ni i
ii
s a
N s N sY s
D s s as a
N s
s a R s s
N sY
a s a
s s aR s
α
α α
α−
−
=
=
=
=
= = =++
= = + +
= +
+ + +
=
∑∏
⋯
Example 3.2
• ODE:
• Ans:
– 等號左右兩邊同時取Laplace轉換
– 整理代數方程式
– 應用部分分式展開式
''' '' ' ' ''6 11 6 1, (0) (0) (0) 0y y y y y y y+ + + = = = =
3 2 1( ) 6 ( ) 11 ( ) 6 ( )s Y s s Y s sY s Y s
s+ + + =
( )3 2
1( )
6 11 6Y s
s s s s=
+ + +
31 2 4( )1 2 3
Y ss s s s
αα α α= + + ++ + +
Example 3.2(續)
– 取Inverse Laplace轉換
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 2
0 1
3 4
2 3
1 1 1 1
1 2 3 6 2 3 2
1 1 1 1
1 3 2 1 2 6
s s
s s
s s s s s s
s s s s s s
α α
α α
= =−
=− =−
= = = = −+ + + + +
= = = = −+ + + +
1 11 16 62 2( )
1 2 3Y s
s s s s= − + −
+ + +
( )-1 -1
2 3
1 11 16 62 2( )
1 2 3
1 1 1 1( ) 6 2 2 6
L L
t t t
Y ss s s s
y t e e e− − −
= − + −
+ + +
= − + −
部分分式展開式 –實數重根
• Let
• Then
( )
( ) ( ) ( )1 2
2
( ) ( )( )
( ) ( )r
rr
N s N sY s
D s s b R s
s b s b s b
α α α
= =+
= + + + ++ + +
⋯ ⋯
( )
( ) ( ) ( )( ) [ ]
1 2
1 2 1
( )( )
( )
Other Partial Fractions
r r
r
r
r
rN sQ s
D s
s b s b s b
b
s
s
b
α α α
α
− −−
=
= + + + + + +
+ +
+
+
⋯
( )
( )
1 ( )0,1, , 1
!
i
r i i
s b
d Q si r
i dsα −
=−
= = −⋯
1-1 1
( ) ( 1)!
n bt
n
t e
s b n
− − = + −
L
Example 3.3
• Q:
• Ans:
– Let
• Then
( ) ( )1 2
22
1( )
24 4 2
sY s
s ss s s s
α α β+= = + +++ + +
20
1 1
4 4 4s
s
s sβ
=
+= =+ +
( ) 1sQ s
s
+=
( )
( )2 2
1 222
10 :
2
1 11:
4
s
ss
i Q s
dQ si
ds s
α
α
=−
=−=−
= = =
−= = = = −
部分分式展開式 –複數解• 若
• 則其分母為複數解
21 0 1
021 0
where4
c s c dd
s d s d
+ <+ +
( )( )
2 22 2 1 1
1 0 1 0
2 21 1
0
1/ 2 1/ 22 21 1 1 1
0 0
4 4
2 4
2 4 2 4
d ds d s d s d s d
d ds d
d d
b
d ds j d s j d
s j bs jω ω
+ + = + + + −
= + + −
= + + + + − +
= + + + −
部分分式展開式 –複數解(續)
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
21 0
1 2 1 2
2 2
1 1 2 22 2
1 1 2
1
22 2
1 2 2
( ) ( )( )
( ) ( )
N s N sY s
D s s d s d R s
j
j j
s b
s
s b
b b
s b
j
s
j b
b
s
b b
j
α α β β
ωα β ω α β ω
ω
α β α β
β α ω α
ω
ω
ω
ω β
= =+ +
= +
+ + + =+ +
+ + −++ +
− + ++
+ +++
+
+
++
+ −⋯
⋯
虛部為零
1 2
1 2
β βα α
= −=
( )
( )
( )( )1
1 1
1
1
2
1
2
( )
2 2
j
s b j
j
s b
Y s
s b
s b
j
α βω
α βω
α β ωω
=
++
++ +
−+
+=
+ +
−
+
+⋯
⋯
部分分式展開式 –複數解(續)• 取 Inverse Laplace轉換
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1 1
( ) ( )1 1
1 1
1 1
1 1
( )
2 22 2
2 cos 2 sin
b j t b j t
b j t b j t
bt j t j t bt j t j t
j t j t j t j t
bt bt
bt bt
y t e j e
e j e
e e e j e e e
e e e ee j e
e t e t
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
α βα β
α β
α β
α ω β ω
− − − −
− + − +
− − − −
− −− −
− −
= +
+ − +
= + + − +
+ −= + +
= + +
⋯
⋯
⋯
⋯
Example 3.4
• Q:
• Ans:
( )3 31 2 4 4
22 2
1( )
2 24 5
j jsY s
s s s j s js s s
α βα α α β+ ++= = + + ++ + + −+ +
( )
( )
( )
2
2 0
1
0
1
4 51
0 :5
11:
25
s
s
sQ s
s s
i Q s
dQ si
ds
α
α
=
=
+=+ +
= = =
= = =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3 3 2
2
2
12
4 5
1
2
2 1
2 2
1 2 14
8 6 100 100
s j
sQ s s j
s s s
sj
s s j
j
j j
jj
j
α β=− −
+= + ++ +
++ =+ −
− − +=− − −
− − −= = −−
Laplace轉換的性質
• 終值定理(Final Value Theorem)
– 若 y(∞)存在的話，上式才可適用• Ex:
• 則 y(∞) 不存在
1( )
5Y s
s=
−
( ) ( )0
lim limt s
y t sY s→∞ →
=
Laplace轉換的性質(續)• 初值定理(Initial Value Theorem)
• Ex:
– 初值
– 終值
( ) ( )0
lim limt s
y t sY s→ →∞
=
( )5 2
( )5 4
sY s
s s
+=+
( )5 2 5 2
(0) lim lim 15 4 5 4s s
s sy s
s s s→∞ →∞
+ += = =+ +
( )0 0
5 2 5 2 1( ) lim lim
5 4 5 4 2s s
s sy s
s s s→ →
+ +∞ = = =+ +
Laplace轉換的性質(續)• 積分的Laplace轉換
{ } { }* * * *
0 0 0
* *
0 00
( ) ( )
1 1( ) (
1)
)
(
st
st st
f t dt f t dt e dt
e f t dt e
F ss
f t dts s
∞ −
∞ ∞− −
=
= − +
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
t t
t
L
Laplace轉換的性質(續)• 時間遲延(Time Delay)
( ) ( )0 0( )df t f t t S t t= − −
{ } { }
( )
0
0
0
0 0
*0
0 0
0 00
0
( )0 0
* *
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
s
d
st
st
t
s t t st
t
st s
t
t
f t f t t S t t
f t t S t t e dt
f t t e dt
f t t e e d t t
e f t e dt
e F s
∞ −
∞ −
∞ − − −
∞−
−
−
= − −
= − −
= −
= − −
=
=
∫
∫
∫
∫
L L
Example 3.6
• Q:
• Ans:
( )( )21
( )4 1 3 1
seY s
s s
−+=+ +
( )( ) ( )( )
1 2
2
/ 4 /31
( 2) / 4 ( 2) /32
( ) ( ) ( )
1
4 1 3 1 4 1 3 1
( )
( ) ( 2)
s
t t
t t
Y s Y s Y s
e
s s s s
y t e e
y t e e S t
−
− −
− − − −
= +
= ++ + + +
= −
= − −
Homework #2
1. Derive Laplace transform of the signal
(a) (b)
2. Find y(t) for
(a) (c)
(b)
( )( )
1( )
2 ( 3)( 4)
s sY s
s s s
+=
+ + +
( )0.51
( )2 ( 3)
ssY s e
s s s−+=
+ +
( )2
4( )
1
sY s
s s
+=+
Homework #2
3. Solve the ODE using Laplace transform
( )2
2
(0)6 25 ; 0 0, 0td y dy dy
y e ydt dt dt
−+ + = = =