c. besse and c.h. bruneau- numerical study of elliptic-hyperbolic davey-stewartson system: dromions...

8/3/2019 C. Besse and C.H. Bruneau- Numerical Study of Elliptic-Hyperbolic Davey-Stewartson System: Dromions Simulation…

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M a t h e m a t i c a l M o d e l s a n d M e t h o d s i n A p p l i e d S c i e n c e s

f

c W o r l d S c i e n t i c P u b l i s h i n g C o m p a n y

N U M E R I C A L S T U D Y O F E L L I P T I C - H Y P E R B O L I C

D A V E Y - S T E W A R T S O N S Y S T E M :

D R O M I O N S S I M U L A T I O N A N D B L O W - U P

C . B e s s e

y

, C . H . B r u n e a u

y

y : M a t h e m a t i q u e s A p p l i q u e e s d e B o r d e a u x

U n i v e r s i t e B o r d e a u x I

3 3 4 0 5 T a l e n c e C e d e x .

T h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e e l l i p t i c - h y p e r b o l i c f o r m o f

t h e D a v e y - S t e w a r t s o n e q u a t i o n s . A w e l l s u i t e d n i t e d i e r e n c e s s c h e m e t h a t p r e s e r v e s

t h e e n e r g y i s d e r i v e d . T h i s s c h e m e i s t e s t e d t o c o m p u t e t h e f a m o u s d r o m i o n 1 ? 1 a n d

d r o m i o n 2 ? 2 s o l u t i o n s . T h e a c c u r a c y o f C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e i s d i s c u s s e d a n d i t i s

s h o w n t h a t i t i n d u c e s a p h a s e e r r o r . T h e n , t h e q u a l i t a t i v e b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n s i s

s t u d i e d ; i n p a r t i c u l a r t h e i n u e n c e o f t h e i n i t i a l d a t u m a n d o f t h e v a r i o u s p a r a m e t e r s

i s p o i n t e d o u t . F i n a l l y , n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s s h o w t h e e x i s t e n c e o f b l o w - u p s o l u t i o n s

1 . I n t r o d u c t i o n

T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o s t u d y n u m e r i c a l l y t h e b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n s o f

D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m

( D S )

i u

t

+ u

x x

+ u

y y

= j u j

2

u + b u '

x

;

'

x x

+ m '

y y

= ( j u j

2

)

x

;

w h e r e t h e c o n s t a n t s , , b , m a n d a r e r e a l . T h i s s y s t e m d e s c r i b e s t h e e v o l u t i o n o f

w a t e r s u r f a c e w a v e s i n p r e s e n c e o f g r a v i t y a n d c a p i l l a r i t y

1

,

2

. F o l l o w i n g G h i d a g l i a -

S a u t

3

, w e c l a s s i f y t h e s e s y s t e m s a s e l l i p t i c - e l l i p t i c ( E - E ) , e l l i p t i c - h y p e r b o l i c ( E - H ) ,

h y p e r b o l i c - e l l i p t i c ( H - E ) a n d h y p e r b o l i c - h y p e r b o l i c ( H - H ) a c c o r d i n g t o t h e s i g n o f

( ; m ) : ( + ; + ) , ( + ; ? ) , ( ? ; + ) a n d ( ? ; ? ) . I n t h i s p a p e r , w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o

t h e ( E - H ) c a s e . A s d e s c r i b e d i n

4

, t h e ( E - H ) m o d e n e e d s a p p r o p r i a t e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s . F o l l o w i n g

4

, w e t a k e

l i m

! ? 1

' ( x ; y ; t ) = '

1

( ; t ) ;

l i m

! ? 1

' ( x ; y ; t ) = '

2

( ; t ) ;

w h e r e = c x ? y , = c x + y r e p r e s e n t t h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s , m = ? c

2

a n d

'

1

a n d '

2

a r e g i v e n f u n c t i o n s .

1



2 . E x a c t s o l u t i o n s o f D S I

U s i n g i n v e r s e s c a t t e r i n g m e t h o d s , F o k a s a n d S a n t i n i

8 ; 1 0

s h o w f o r D S I t h a t t h e r e

e x i s t s l o c a l i z e d c o h e r e n t s t r u c t u r e s w h i c h a r e g o v e r n e d b y t h e n o n t r i v i a l b o u n d a r i e s

'

1

a n d '

2

, a n d c a l l t h e m \ d r o m i o n s " s i n c e t h e y t r a v e l o n t h e t r a c k s ( i n a n c i e n t

g r e e k \ d r o m o s " ) g e n e r a t e d b y t h e b o u n d a r i e s a n d a r e d r i v e n b y t h e m . T h e y a r e

l o c a l i z e d t r a v e l i n g s o l u t i o n s w h i c h d e c a y e x p o n e n t i a l l y i n b o t h a n d , a n d c a n

i n t e r a c t u p o n t h e m o v e m e n t . C o n t r a r y t o s o l i t o n s , t h e y d o n o t p r e s e r v e t h e i r f o r m

u p o n i n t e r a c t i o n a n d c a n e x c h a n g e e n e r g y . T o o b t a i n t h e m , F o k a s a n d S a n t i n i w r i t e

( D S I ) i n t h e f o r m

8

>

>

>

<

>

>

>

:

i u

t

+ u + u U

1

+ U

2

] = 0 ;

'

= ? U

1

+

2

j u j

2

;

'

= ? U

2

+

2

j u j

2

;

w h e r e

U

1

= ?

2

Z

? 1

( j u j

2

)

d

0

+ u

1

( ; t ) ;

U

2

= ?

2

Z

? 1

( j u j

2

)

d

0

+ u

2

( ; t ) :

T h e r e f o r e , u

1

( ; t ) c o r r e s p o n d s t o ? '

2

( ; t ) a n d u

2

( ; t ) t o ? '

1

( ; t ) . A s u s u a l

b y i n v e r s e s c a t t e r i n g t e c h n i q u e s , t h e a n a l y t i c f o r m o f d r o m i o n s s o l u t i o n s i s v e r y

h a r d t o o b t a i n . H o w e v e r , t h e ( M ; N ) d r o m i o n s o l u t i o n , d e s c r i b i n g t h e i n t e r a c t i o n

o f N M l o c a l i z e d l u m p s , t a k e s t h e f o l l o w i n g f o r m

u ( ; ; t ) = 2 X

t

Z Y ( 2 . 1 )

w i t h

X = ( C

x

+ I )

? 1

V i s a v e c t o r o f s i z e N ;

Y = ( C

y

+ I )

? 1

W i s a v e c t o r o f s i z e M ;

Z = ( A ? I )

? 1

a n d a N M m a t r i x ;

A = ( C

y

+ I )

? 1

( C

x

+ I )

? 1

]

t

i s a N N m a t r i x ;

w h e r e t h e s u p e r s c r i p t t d e n o t e s t h e t r a n s p o s e o f a m a t r i x . T h e N N m a t r i x C

x

i s g i v e n b y

( C

x

)

j k

=

m

j

m

k

j

+

k

e x p ? (

j

+

k

) ( ? i (

j

?

k

) t ) ] ;

a n d t h e M M m a t r i x C

y

b y

( C

y

)

j k

=

l

j

l

k

j

+

k

e x p ? (

j

+

k

) ( ? i (

j

?

k

) t ) ] :

F i n a l l y ,

( V )

j

= l

j

e x p

?

j

(

? i

j

t ) ] ; 1

j

N ;

( W )

j

= m

j

e x p ?

j

( ? i

j

t ) ] ; 1 j M ;

3



w h e r e

j

;

j

; l

j

; m

j

a n d 2 C a n d R e (

i

) ; R e (

i

) 2 R

+

. B e s i d e s , t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s a r e

u

1

( ; t ) = 2 @

( Y

t

W ) ; ( 2 . 2 )

u

2

( ; t ) = 2 @

( X

t

V ) ; ( 2 . 3 )

w h i c h c a n b e w r i t t e n a s

u

1

( ; t ) = ? 2 @

M

X

k = 1

m

k

e x p ?

k

( + i

k

t ) ] Y

k

( ; t ) ;

u

2

( ; t ) = ? 2 @

L

X

j = 1

l

j

e x p ?

j

( + i

j

t ) ] X

j

( ; t ) :

T h e n , a s t ! 1 , u

1

( ; t ) ( r e s p . u

2

( ; t ) ) c o n s i s t s o f M ( r e s p . L ) s o l i t o n s e a c h

t r a v e l i n g w i t h v e l o c i t y ? 2 I m (

k

) ( r e s p . ? 2 I m (

j

) ) . M o r e o v e r , a l w a y s a s t ! 1 ,

u ( ; ; t ) c o n s i s t s o f M t i m e s N w i d e l y s e p a r a t e d l u m p s , n a m e d

k j

, k = 1 : : M ; j =

1 : : N , e a c h t r a v e l i n g w i t h v e l o c i t y ( ? 2 I m (

k

) ; ? 2 I m (

j

) ) . I n t h e s p e c i a l c a s e o f

k j

= 0 f o r k 6= j , t h e n u m b e r o f l u m p s i s m i n ( M ; N ) .

T o i l l u s t r a t e t h e s e f o r m u l a , w e g i v e h e r e t h e ( 1 ? 1 ) d r o m i o n e x p r e s s i o n . L e t =

R

+ i

I

, =

R

+ i

I

,

̂

= + 2

I

t , ̂ = + 2

I

t , =

1

R

l n

j j

p

2

R

,

=

1

R

l n

j j

p

2

R

,

R

u

=

R

( ̂ ? ) +

R

(

̂

?

) a n d I

u

= ? (

I

̂ +

I

̂

) + ( j j

2

+ j j

2

) t + a r g ( l m ) , t h e n

u

1

( ; t ) =

2

R

2

c o s h (

R

( ̂ ? ) )

2

; ( 2 . 4 )

u

2

( ; t ) =

2

R

2

c o s h (

R

(

̂

?

) )

2

; ( 2 . 5 )

a n d

u =

4

p

R

R

e x p f ? R

u

+ i I

u

g

( 1 + e x p ( ? 2

R

( ̂ ? ) ) ) ( 1 + e x p ( ? 2

R

(

̂

?

) ) ) + j j

2

: ( 2 . 6 )

T h e d r o m i o n s o l u t i o n s a r e n o t t h e o n l y e x p l i c i t s o l u t i o n s o f D S I . I n d e e d , r e c e n t l y ,

H i e t a r i n t a a n d H i r o t a

1 2

a n d J a u l e n t e t a l .

1 3

o b t a i n e d a b r o a d e r c l a s s o f d r o m i o n

s o l u t i o n s i n t e r m s o f W r o n s k i a n d e t e r m i n a n t s . F i n a l l y , G i l s o n a n d N i m m o

1 4

c o n -

s i d e r e d a n a l t e r n a t i v e d i r e c t a p p r o a c h w h i c h u s e s a f o r m u l a t i o n o f t h e s o l u t i o n s a s

g r a m m i a n d e t e r m i n a n t s t o o b t a i n a m u c h b r o a d e r c l a s s o f s o l u t i o n s ( p l a n e - w a v e

s o l i t o n s , d r o m i o n s , s o l i t o s ) .

3 . N u m e r i c a l s c h e m e

I n t h i s s e c t i o n , w e i n t r o d u c e t h e n u m e r i c a l m e t h o d u s e d t o c o m p u t e s o l u t i o n s o f

t h e s l i g h t l y m o d i e d ( D S ) ( E - H ) s y s t e m t o s e e t h e i n u e n c e o f e a c h d e r i v a t i v e t e r m

4



o n t h e b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

i u

t

+ u

x x

+ u

y y

= j u j

2

u + b u '

x

; ( a )

'

x x

? c

2

'

y y

= ( j u j

2

)

x

; ( b )

l i m

! ? 1

' ( x ; y ; t ) = '

1

( ; t ) ;

l i m

! ? 1

' ( x ; y ; t ) = '

2

( ; t ) ;

u ( t = 0 ; x ; y ) = u

0

( x ; y ) :

( 3 . 7 )

w i t h , > 0 . A p p r o x i m a t i n g t h i s s y s t e m , w e f a c e s e v e r a l d i c u l t i e s ; n a m e l y , t h e

s i z e o f t h e d o m a i n , t h e c o u p l i n g o f e q u a t i o n s a n d t h e h y p e r b o l i c t y p e o f t h e s e c o n d

e q u a t i o n . T h e n , w e h a v e t w o p o s s i b i l i t i e s f o r t h e n u m e r i c a l t r e a t m e n t o f ( 3 . 7 ) . O n

o n e h a n d , w e c a n u s e t h e s t r u c t u r e o f t h e s y s t e m a s i n

1 1

a n d w r i t e ( 3 . 7 ) a s

i u

t

+ u

x x

+ u

y y

=

j u

j

2

u + b u V

w h e r e

V =

4 c

Z

? 1

( j u j

2

)

d

0

+

Z

? 1

( j u j

2

)

d

0

!

+ '

1

+ '

2

h o w e v e r , w i t h o u t t h e u s e o f s p e c t r a l m e t h o d s , t h e i n t e g r a l s a r e d i c u l t t o c o m p u t e

a n d , w i t h s u c h a f o r m u l a t i o n , i t i s n o t p o s s i b l e t o c o m p u t e ' . O n t h e o t h e r h a n d ,

w e c a n a p p r o x i m a t e s e p a r a t e l y b o t h e q u a t i o n s o f ( 3 . 7 ) w h i c h i s m o r e a p p r o p r i a t e

f o r n i t e d i e r e n c e s c h e m e s .

M o r e o v e r , w e w a n t t o p r e s e r v e t h e e n e r g y

M ( u ) =

Z

R

2

j u j

2

d x d y ( 3 . 8 )

3 . 1 . S e m i - d i s c r e t i z a t i o n i n t i m e

T h e m a i n i d e a i s t o u s e t h e C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e p r o p o s e d b y D e l f o u r - F o r t i n -

P a y r e

1 5

f o r t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n ( N L S ) :

( N L S ) i u

t

+ u = j u j

2

u ; x 2 R

d

; t > 0 ;

u ( x ; t = 0 ) = u

0

( x ) ; x 2 R

d

:

T h i s s c h e m e i s s t u d i e d i n

1 6 ; 1 7 ; 1 8

. I t i s f u l l y i m p l i c i t a n d e x a c t l y p r e s e r v e s b o t h

i n v a r i a n t s o f ( N L S ) . I t t a k e s t h e s e m i - d i s c r e t i z e d f o r m

i

u

n + 1

? u

n

t

+

u

n + 1

+ u

n

2

=

j u

n + 1

j

2

+ j u

n

j

2

2

u

n + 1

+ u

n

2

w h e r e u

n

i s t h e a p p r o x i m a t i o n o f u a t t i m e t

n

= n t . I n f a c t , t h i s e q u a t i o n i s

w r i t t e n a t t i m e t

n +

1

2

= ( n + 1 = 2 ) t . I n o r d e r t o u s e t h i s s c h e m e f o r D S ( E - H ) , w e

j u s t h a v e t o a d d t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e t e r m u '

x

. W e w r i t e i t a s

u

n + 1

+ u

n

2

'

n +

1

2

x

5



a n d r e p l a c e t h e o p e r a t o r b y D = @

x x

+ @

y y

. N o w , t h e p r i n c i p l e o f r e l a x a t i o n

i s t o w r i t e ( 3 . 7 b ) a t t h e d i e r e n t t i m e t

n

= n t , a n d p r o c e e d i n g i n t h e s a m e w a y ,

w e o b t a i n

L (

'

n +

1

2

+ '

n ?

1

2

2

) = ( j u

n

j

2

)

x

w h e r e L = @

x x

? c

2

@

y y

. W e t a k e a s i n i t i a l c o n d i t i o n u

0

= u

0

. F i n a l l y , w e g e t

i

u

n + 1

? u

n

t

+ D

u

n + 1

+ u

n

2

=

j u

n + 1

j

2

+ j u

n

j

2

2

u

n + 1

+ u

n

2

+

b

u

n + 1

+ u

n

2

'

n +

1

2

x

( 3 . 9 )

L

'

n +

1

2

+ '

n ?

1

2

2

!

= ( j u

n

j

2

)

x

: ( 3 . 1 0 )

T h e n , t h e r e i s c o n s e r v a t i o n o f t h e e n e r g y ( 3 . 8 ) . I n d e e d , m u l t i p l y i n g ( 3 . 9 ) b y

u

n + 1

+ u

n

, i n t e g r a t i n g i n s p a c e a n d t a k i n g t h e i m a g i n a r y p a r t , w e g e t

Z

R

2

j u

n + 1

j

2

d x d y =

Z

R

2

j u

n

j

2

d x d y : ( 3 . 1 1 )

M o r e o v e r , a s t h e f u n c t i o n s '

1

a n d '

2

a r e d e n e d o n t h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s , w e

h a v e t o r e w r i t e ( 3 . 9 ) a n d ( 3 . 1 0 ) i n t h e ( ; ) p l a n e

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

S (

'

n +

1

2

+ '

n ?

1

2

2

) =

4 c

T ( j u

n

j

2

) ( a )

i

u

n + 1

? u

n

t

+ ( c

2

+ ) (

u

n + 1

+ u

n

2

) + 2 ( c

2

? ) S (

u

n + 1

+ u

n

2

) = ( b )

(

j u

n + 1

j

2

+ j u

n

j

2

2

+ b c T ( '

n +

1

2

) ) (

u

n + 1

+ u

n

2

)

( 3 . 1 2 )

w h e r e S = @

a n d T = @

+ @

.

R e m a r k 0 . 1 I n t h i s p a p e r , w e d o n o t p r o v e n e i t h e r e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n n o r

t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s c h e m e . H o w e v e r , t h e s a m e s c h e m e i s u s e d i n

1 9

f o r t h e

( N L S ) , D S ( E - E ) a n d D S ( E - H ) e q u a t i o n s a n d r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n d c o n v e r g e n c e

o f s o l u t i o n s a r e p r o v e d .

3 . 2 . F u l l d i s c r e t i z a t i o n

F o r t h e s p a t i a l a p p r o x i m a t i o n , w e r e s t r i c t t h e i n n i t e d o m a i n t o a l a r g e e n o u g h

b o u n d e d o n e a n d t a k e h o m o g e n e o u s D i r i c h l e t c o n d i t i o n s o n t h e b o u n d a r y . W e

c o n s i d e r t h e a p p r o x i m a t e d d o m a i n i s l a r g e e n o u g h w h e n t h e v a l u e o f t h e i n i t i a l

d a t u m a t t h e b o u n d a r y i s l e s s t h a n 1 0

? 6

. T h e n u m e r i c a l t e s t s s h o w t h a n t h i s i s

e n o u g h t o a v o i d a d a m a g e o f t h e q u a l i t a t i v e b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n .

6



y

0

0

x

y

ξ

η

A B

Cx

F i g . 1 . D o m a i n

T h e n o n t r i v i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e m e a n o w ' a r e w e l l a d a p t e d t o

s u c h a d o m a i n . I n d e e d , i f w e r e p r e s e n t i t o n g u r e ( 1 ) , w e j u s t h a v e t o p r e s c r i b e

t h e m o n ( A B ) a n d ( A C ) . O b v i o u s l y , w e w i l l i m p o s e t h a t l i m

! ? 1

'

1

( ; t ) =

l i m

! ? 1

'

2

( ; t ) = 0 , s o t h a t , t h e p o i n t A w i l l h a v e t o b e c h o s e n s u c i e n t l y

f a r f r o m t h e o r i g i n . W e m e s h t h e b o u n d e d d o m a i n w i t h a ( J ? 1 ) ( K ? 1 )

g r i d . W e w i l l d e n o t e b y x a n d y t h e s p a c e s t e p s , a n d u

n

l

t h e v a l u e a t t h e p o i n t

( x

0

+ ( j ? 1 ) x ; y 0 + ( k ? 1 ) y ) , ( j = 1 : : J ; k = 1 : : K ) , l = J ( k ? 1 ) + j , a n d '

n +

1

2

l

t h e v a l u e o f ' a t t h e s a m e p o i n t . A l w a y s u s i n g c e n t e r e d n i t e d i e r e n c e s , t h e f u l l y

d i s c r e t e s c h e m e r e a d s

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1

4 x y

2

6

6

6

4

( '

n +

1

2

l + 1 + J

? '

n +

1

2

l + 1 ? J

? '

n +

1

2

l ? 1 + J

+ '

n +

1

2

l ? 1 ? J

)

2

+

( '

n ?

1

2

l + 1 + J

? '

n ?

1

2

l + 1 ? J

? '

n ?

1

2

l ? 1 + J

+ '

n ?

1

2

l ? 1 ? J

)

2

3

7

7

7

5

=

4 c

j u

n

l + 1

j

2

? j u

n

l ? 1

j

2

2 x

+

j u

n

l + J

j

2

? j u

n

l ? J

j

2

2 y

]

i

u

n + 1

l

? u

n

l

t

+ ( c

2

+ ) (

u

n + 1

l + 1

? 2 u

n + 1

l

+ u

n + 1

l ? 1

+ u

n

l + 1

? 2 u

n

l

+ u

n

l ? 1

2 x

2

)

+ (

u

n + 1

l + J

? 2 u

n + 1

l

+ u

n + 1

l ? J

+ u

n

l + J

? 2 u

n

l

+ u

n

l ? J

2 y

2

) ]

+

2 ( c

2

? )

4 x y

2

6

4

u

n + 1

l + 1 + J

? u

n + 1

l + 1 ? J

? u

n + 1

l ? 1 + J

2

+

u

n + 1

l ? 1 ? J

+ u

n

l + 1 + J

? u

n

l + 1 ? J

? u

n

l ? 1 + J

+ u

n

l ? 1 ? J

2

3

7

5

= (

j u

n + 1

l

j

2

+ j u

n

l

j

2

2

) + b c (

'

n +

1

2

l + 1

? '

n +

1

2

l ? 1

2 x

+

'

n +

1

2

l + J

? '

n +

1

2

l ? J

2 x

) ] (

u

n + 1

l

+ u

n

l

2

)

7



W e c a n n o w s e e t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e w e l l a d a p t e d . I n d e e d , a s

'

n +

1

2

l + 1 + J

= '

n +

1

2

l + 1 ? J

+ '

n +

1

2

l ? 1 + J

? '

n +

1

2

l ? 1 ? J

+ f ( '

n ?

1

2

; u

n

; x ; y )

w e s e e c l e a r l y o n g u r e ( 2 ) t h a t '

n +

1

2

l + 1 + J

i s t h e o n l y u n k n o w n f o r t h e h y p e r b o l i c

dependencel

l+1-J

l+1+J

l-1-J

l-1+J

known row or column

known data

unknown data

F i g . 2 . M e s h

e q u a t i o n o n ' a t p o i n t l . A l l o t h e r t e r m s a r e k n o w n f r o m t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

o r f r o m t h e p r e v i o u s s t e p i n a n e x p l i c i t w a y g o i n g a l o n g t h e x - d i r e c t i o n a n d t h e n

a l o n g t h e y - d i r e c t i o n o r c o n v e r s e l y .

T h e n , t h e r s t s t e p i s t o c o m p u t e '

1

2

w i t h S '

1

2

=

4 c

T ( j u

0

j

2

) . A t e a c h t i m e

s t e p , w e s o l v e a l t e r n a t i v e l y t h e h y p e r b o l i c e q u a t i o n ( 3 . 1 2 - ( a ) )

S '

n +

1

2

= ? S '

n ?

1

2

+

2 c

T ( j u

n

j

2

)

a n d t h e e q u a t i o n ( 3 . 1 2 - ( b ) ) u s i n g a s t a n d a r d i t e r a t i o n p r o c e d u r e b a s e d o n a x e d -

p o i n t a l g o r i t h m . S o , w e g e t s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s o f u

n + 1

b y s o l v i n g l i n e a r

s y s t e m s u n t i l w e e s t i m a t e t h a t t h e r e i s e n o u g h p r e c i s i o n .

4 . N u m e r i c a l e x p e r i m e n t s

4 . 1 . C o m p u t a t i o n o f d r o m i o n s o l u t i o n s

A s w e m e n t i o n e d i n s e c t i o n 2 , t h e r e a r e e x p l i c i t s o l u t i o n s o f t h e s u b c a s e ( D S I ) . S o ,

w e r s t t e s t o u r s c h e m e o n ( D S I ) s y s t e m a n d d r o m i o n s o l u t i o n s . W e s t a r t w i t h t h e

1 - 1 d r o m i o n s o l u t i o n

u ( ; ; t ) =

4 i e x p ( ? ( + + 4 t ) ? i ( + ) )

( 1 + e x p (

? 2

? 4 t ) ) ( 1 + e x p (

? 2

? 4 t ) ) + 1

c o r r e s p o n d i n g t o = ? 1 , = = l = m = 1 + i a n d = 1 i n ( 2 . 6 ) . I t r e p r e s e n t s

a s o l i t o n m o v i n g w i t h s p e e d 2

p

2 i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n o n t h e l i n e = . T h e

8



n o n t r i v i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a s s o c i a t e d w i t h ' a r e

'

1

( ; t ) = ? 2 t a n h ( + 2 t ) + A

'

2

( ; t ) = ? 2 t a n h ( + 2 t ) + B

w h e r e A = B = ? 2 i n o r d e r t h a t l i m

! ? 1

'

1

( ; t ) = l i m

! ? 1

'

2

( ; t ) = 0 . M o r e -

o v e r , a s

' ( ; ; t ) =

2

Z

? 1

j u j

2

( ; s ; t ) d s +

Z

? 1

j u j

2

( s ; ; t ) d s

!

+ '

1

( ; t ) + '

2

( ; t )

a n e a s y c o m p u t a t i o n g i v e s

' ( ; ; t ) = ? 4

1

1 + e x p ( 2 + 4 t )

+

1

1 + e x p ( 2 + 4 t )

( 1 + e x p ( ? 2 ? 4 t ) ) ( 1 + e x p ( ? 2 ? 4 t ) ) + 1

+ '

1

( ; t ) + '

2

( ; t )

W e t a k e t h e i n i t i a l d a t u m a t t = ? 3 . T h e d o m a i n i s t h e s q u a r e ? 1 2 ; 1 2 ] ? 1 2 ; 1 2 ]

w i t h a 1 2 8 1 2 8 m e s h , t = 1 0

? 3

a n d t 2 ? 3 ; 3 ] . O n t h e g u r e s ( 3 ) , ( 4 ) , w e p l o t

t h e m o d u l e o f t h e t h e o r e t i c a l a n d t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n a t t = 0 .

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

η ξ

F i g . 3 . N u m e r i c a l d r o m i o n 1 - 1

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

η ξ

F i g . 4 . E x a c t d r o m i o n 1 - 1

W e c a n n o t s e e a n y r e v e l a n t d i e r e n c e s . T o e m p h a s i z e i t , w e l o o k a t t h e e v o l u t i o n

o f t h e c o n t o u r o f t h e l o c a l i z e d s o l u t i o n f o r t =

? 3 ; 0 ; 3 o n g u r e ( 5 ) .

9



−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−3

t=0

t=3

η

ξ

F i g . 5 . C o n t o u r o f n u m e r i c a l d r o m i o n 1 - 1

T h e s t r u c t u r e o f t h e d r o m i o n i s p e r f e c t l y p r e s e r v e d . M o r e o v e r , w e s h o w t h e

e v o l u t i o n o f t h e L

1

- n o r m a n d s e e t h a t i t i s w e l l c o n s e r v e d o n g u r e ( 6 ) .

−3.0 −1.0 1.0 3.00.0

0.5

1.0

F i g . 6 . L

1

n o r m

N e x t , t o u n d e r s t a n d b e t t e r w h a t d r i v e n b y t h e t r a c k s m e a n s , w e p l o t ' f o r t h e

s a m e v a l u e s o f t o n ( g ( 7 , 8 , 9 ) .

1 0



−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

ξ

η

F i g . 7 . ' a t t = - 3

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

ξ

η

F i g . 8 . ' a t t = 0

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

ξ

η

F i g . 9 . ' a t t = 3

I n f a c t , i f w e c o m p a r e p o s i t i o n o f u o n g ( 5 ) w i t h c r o s s s e c t i o n p o s i t i o n o f t h e

c o n t o u r o f ' o n g ( 1 0 , 1 1 , 1 2 ) , w e c a n s e e t h a t u i s e x a c t l y l o c a l i z e d o n t h e t r a c k s

l e f t b y ' .

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

ξ

η

F i g . 1 0 . ' a t t = - 3

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

ξ

η

F i g . 1 1 . ' a t t = 0

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

ξ

η

F i g . 1 2 . ' a t t = 3

I n o r d e r t o a n a l y z e b e t t e r t h e e r r o r w e m a d e , w e p l o t o n g u r e ( 1 3 , 1 4 , 1 5 )

N

1

= j j u

e x

j j

2

? j j u

n u m

j j

2

, N

2

= j j u

e x

? u

n u m

j j

2

a n d N

3

= j j j u

e x

j ? j u

n u m

j j j

2

w h e r e

u

e x

i s t h e e x a c t s o l u t i o n a n d u

n u m

t h e n u m e r i c a l o n e .

1 1



−3.0 −1.0 1.0 3.0−0.25

−0.15

−0.05

0.05

0.15

F i g . 1 3 . N

1

= j j u

e x

j j

2

? j j u

n u m

j j

2

−3.0 −1.0 1.0 3.00.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

F i g . 1 4 . N

2

= j j u

e x

? u

n u m

j j

2

−3.0 −1.0 1.0 3.00.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

F i g . 1 5 . N

3

= j j j u

e x

j ? j u

n u m

j j j

2

T h e N

1

q u a n t i t y i s l e s s t h a n 1 0

? 5

a t a n y t i m e a s e x p e c t e d f r o m ( 3 . 1 1 ) . H o w e v e r ,

t h e p h a s e e r r o r i s q u i t e h i g h a s r e v e a l e d b y N

2

.

T h i s p h a s e e r r o r c o m e s f r o m t h e C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e . I n d e e d , l e t u s c o n s i d e r

t h e l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n

( L S )

i u

t

+ u = 0 ;

u ( 0 ; x ) = u

0

( x ) ;

a n d t h e s e m i - d i s c r e t e C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e s

8

<

:

i

u

n + 1

? u

n

t

+

u

n + 1

+ u

n

2

= 0 ;

u

0

( x ) = u

0

( x ) :

( 4 . 1 3 )

1 2



T h e s o l u t i o n o f ( L S ) i s g i v e n b y

u ( x ; t ) = S ( t ) u

0

( x )

w h e r e

d

S ( t ) ( ) = e x p (

? i

2

t ) a n d

c

( : ) d e n o t e s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m . W r i t i n g ( 4 . 1 3 )

a s

u

n + 1

= ( O p

1

)

? 1

O p

2

u

n

w i t h O p

1

= (

i

t

+

2

) a n d O p

2

= (

i

t

?

2

) . W e g e t

u

n + 1

= e x p ( i )

c

u

n

= e x p ( i ( n + 1 ) )

c

u

0

w i t h = ?

2

t +

6

t

3

1 2

+ o (

1 0

t

5

) . T h u s , i f t = n t ,

j j u

e x

( t ) ? u

n

j j

2

= 2 j s i n (

t t

2

6

2 4

) j j j u

0

j j

2

S o , t h e e r r o r p h a s e c o u l d g r o w u p t o 2 j j u

0

j j

2

, w h i c h i s n o t n e g l i g i b l e . O n g u r e ( 1 6 ) ,

w e p l o t t h e r e l a t i v e p h a s e e r r o r ( N

2

= j j u

0

j j

2

) i n o n e d i m e n s i o n f o r u

0

( x ) = s i n ( 6 x ) ,

w h i c h i s t h e e i g e n v e c t o r o f L a p l a c i a n o p e r a t o r a s s o c i a t e d t o t h e e i g e n v a l u e k

2

= 3 6

c o r r e s p o n d i n g t o

6

i n t h e a b o v e f o r m u l a . W e t a k e t = 1 0

? 2

, x = 5 : 1 0

? 1

a n d

x 2 0 ; ] .

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

time

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

e r r o r p h a s e

Crank−Nicolson scheme error phase

k=6

Theoretical error

Numerical error

F i g . 1 6 . P h a s e e r r o r f o r ( L S ) e q u a t i o n

O b v i o u s l y , w e p r e s e n t h e r e t h e s i m p l e e x a m p l e t o a n a l y z e t h e e r r o r p h a s e o f

C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e . I f w e w a n t t o u n d e r s t a n d w h y N

3

i s b a d t o o , w e m u s t

p l o t j j j u

e x

j ? j u

n u m

j j j

2

f o r a s u p e r p o s i t i o n o f t w o s o l u t i o n s o f ( L S ) . T h e r e s u l t f o r

u

0

( x ) = s i n ( 6 x ) + s i n ( 8 x ) i s p l o t t e d o n g ( 1 7 ) .

1 3



0.0 10.0 20.0 30.0 40.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

N3/||U0||N2/||U0||

F i g . 1 7 . N

2

= j j u

0

j j

2

a n d N

3

= j j u

0

j j

2

f o r ( L S ) e q u a t i o n

W e s e e t h a t t h e e r r o r f o r ( L S ) i s q u i t e h i g h . I n f a c t , j u

e x

j ? j u

n u m

j c o u p l e s t h e

p h a s e a s s o o n a s t h e n u m b e r o f p h a s e i s m o r e t h a n t w o .

A p o s s i b l e c o r r e c t i o n f o r ( L S ) c o n s i s t s i n s o l v i n g

i

u

n + 1

? u

n

t

+

u

n + 1

+ u

n

2

+

t

2

1 2

3

u

n + 1

+ u

n

2

= 0

b u t , a l t h o u g h t h i s i s b e t t e r f o r t h e l i n e a r c a s e , i t i s n o t s o g o o d f o r t h e n o n l i n e a r

S c h r o d i n g e r e q u a t i o n .

W e c o n t i n u e o u r t e s t s w i t h t h e 2 - 2 d r o m i o n a n d a d i a g o n a l m a t r i x , w h i c h

c o r r e s p o n d s t o t h e i n t e r a c t i o n o f t w o l u m p s . W e t a k e

1

= 2

? 2 i ,

2

= 4

? 0 : 5 i ,

l

1

= 2 + 1 , l

2

= 1 + 2 i ,

1

= 1 ? 2 i ,

2

= 3 ? 0 : 5 i , m

1

= 1 + i , m

2

= 2 + 3 i ,

1 1

= 1 + i ,

2 2

= 2 + 3 i a n d

1 2

=

2 1

= 0 i n ( 2 . 1 ) t o ( 2 . 3 ) . T h e r e s u l t i n g a l g e b r a i c

e q u a t i o n s a r e s o l v e d b y m a k i n g u s e o f M a p l e V . T h u s , w e g e t t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n

o f u ( ; ; t ) , u

1

( ; t ) a n d u

2

( ; t ) w h i c h a r e t o o l a r g e t o b e p r i n t e d i n t h i s p a p e r .

T h e r e f o r e , w e c a n c o m p a r e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n c o m p u t e d f r o m u ( ; ; ? 1 ) w i t h

t h e e x a c t s o l u t i o n a b o v e . T h e s p a c e d o m a i n i s ? 1 0 ; 1 0 ] ? 1 0 ; 1 0 ] , w i t h 2 5 7 p o i n t s

i n e v e r y d i r e c t i o n a n d t = 1 0

? 3

. W e p l o t t h e c o n t o u r o f t h e e x a c t s o l u t i o n a n d t h e

n u m e r i c a l o n e f o r t =

? 1 ; 0 ; 1 ( g ( 1 8 ) ) .

1 4



−10 0 10−10

−5

0

5

10Numerical solution, t=0

−10 0 10−10

−5

0

5

10Numerical solution, t=1

−10 0 10−10

−5

0

5

10Numerical solution, t=−1

−10 0 10−10

−5

0

5

10Exact solution, t=1

−10 0 10−10

−5

0

5

10Exact solution, t=0

−10 0 10−10

−5

0

5

10Exact solution, t=−1

F i g . 1 8 . C o n t o u r o f d r o m i o n 2 - 2

T h e t w o s o l u t i o n s a r e v e r y c l o s e t o e a c h o t h e r a n d w e n o t e o n l y a s m a l l d i s c r e p -

a n c y f o r t = 1 b e h i n d t h e u p p e r b u m p . W e a l s o d r a w t h e m o d u l e o f t h e s o l u t i o n

( g ( 1 9 , 2 0 , 2 1 ) ) a t t h e s a m e t i m e s t o s h o w t h a t i t i s r e a l l y t h e i n t e r a c t i o n o f t w o

l o c a l i z e d l u m p s .

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

100

1

2

3

4

5

F i g . 1 9 . N u m e r i c a l d r o m i o n

2 - 2 a t t = - 1

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

100

1

2

3

4

5


2 - 2 a t t = 0

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

100

1

2

3

4

5


2 - 2 a t t = 1

W e p r e c i s e t h e m o v e m e n t o f t h e t r a c k s l e f t b y ' w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e

c o n t o u r o f ' ( g ( 2 2 , 2 3 , 2 4 ) ) .

1 5



−10 −8 − 6 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

F i g . 2 2 . ' a t t = - 1

−10 −8 − 6 − 4 − 2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

F i g . 2 3 . ' a t t = 0

−10 −8 − 6 − 4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

F i g . 2 4 . ' a t t = 1

A s t h e m a t r i x i s d i a g o n a l , t h e n u m b e r o f l u m p s i s o n l y t w o i n s t e a d o f f o u r .

H o w e v e r , t h e r e a r e f o u r c r o s s - p o i n t s o n t h e t r a c k s . T w o o f t h e m l o c a l i z e t h e e x i s t i n g

l u m p s a n d t h e t w o o t h e r s g i v e t h e l o c a t i o n o f t h e t w o m i s s i n g o n e s a s s t a t e d i n

8

.

T h e p h a s e e r r o r ( g ( 2 5 ) ) i s b i g g e r t h a n t h e o n e o f d r o m i o n 1 - 1 , b u t t h e d y n a m i c o f

m o v e m e n t i s m o r e s o p h i s t i c a t e d .

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

time

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

F i g . 2 5 . j j u

e x

? u

n u m

j j

2

4 . 2 . R o l e o f t h e i n i t i a l d a t u m a n d p a r a m e t e r s

N o w t h a t w e h a v e t e s t e d o u r s c h e m e w i t h e x a c t s o l u t i o n s , w e c a n e x a m i n e t h e

a c t i o n o f D S o n o t h e r i n i t i a l d a t a . F o r t h a t , w e p u t t h e g a u s s i a n d a t u m u

0

=

4 e x p ? ( x

2

+ y

2

) ] i n D S I w i t h '

1

= '

2

= 0 . L i k e i t i s s t a t e d i n F o k a s - S a n t i n i

8

, a l l

i n i t i a l d a t a w i t h '

1

= '

2

= 0 s h o u l d d i s p e r s e a t i n n i t y a n d t h i s i s e x a c t l y w h a t

w e g e t ( g ( 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 3 0 ) ) .

1 6



−10

−5

0

5

10 −10−5

05

10

0

1

2

3

4

F i g . 2 6 . G a u s s i a n d a t u m a t t = 0

−10

−5

0

5

10 −10−5

05

10

0

1

2

3

4

F i g . 2 7 . G a u s s i a n d a t u m a t t = 0 . 3 2 1

−10

−5

0

5

10 −10−5

05

10

0

1

2

3

4


−10

−5

0

5

10 −10−5

05

10

0

1

2

3

4


W e s e e t h e e e c t o f d i s p e r s i o n o n t h e L

1

- n o r m w h i c h d e c r e a s e s w i t h t i m e

( g ( 3 1 ) .

1 7



−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=0.

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=0.321

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=0.642

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=0.963

F i g . 3 0 . C o n t o u r o f g a u s s i a n d a t u m

0.0 0.3 0.5 0.8 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

F i g . 3 1 . L

1

n o r m o f g a u s s i a n d a t u m

T h e n , w e g o o n b y c h a n g i n g s o m e c o e c i e n t s w h i l e k e e p i n g t h e o t h e r s t o t h e

v a l u e s t a k e n f o r D S I . T h e i n i t i a l d a t u m a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t h e s a m e

t h a n t h o s e o f d r o m i o n 1 - 1 t e s t . I t i s d i c u l t t o m a k e a n e x h a u s t i v e r e v i e w o f

t h e e e c t s o f e a c h p a r a m e t e r d u e t o t h e i r n u m b e r . H o w e v e r , w e c a n i m a g i n e t h e

i n u e n c e o f s o m e c o e c i e n t s . F o r e x a m p l e , a n d s h o u l d m a n a g e t h e d i s p e r s i o n .

S o m e t e s t s s h o w t h a t a n d d o n o t h a v e t h e s a m e i n u e n c e . a c t s d i r e c t l y o n

t h e x - d i r e c t i o n , w h e r e a s a c t s o n t h e y - d i r e c t i o n , b u t w i t h o u t t h e s a m e s t r e n g t h .

I n d e e d , x a n d y d o n o t h a v e t h e s a m e r o l e i n D S . F o r e x a m p l e , w e p r e s e n t h e r e t h e

t e s t f o r = = 1 . T h e n , t h e e q u a t i o n s b e c o m e

i u

t

+ u = j u j

2

u + u '

x

;

'

x x

? '

y y

= ? 2 ( j u j

2

)

x

:

W e s e e t h a t t h e i n i t i a l l u m p d i s p e r s e s a w a y m u c h f a s t e r i n t h e x - d i r e c t i o n t h a n i n

t h e y - d i r e c t i o n g ( 3 2 , 3 3 ) .

1 8



−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−1.5

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−1.072

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−0.640

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−0.216

F i g . 3 2 . = = 1

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−0.216

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−0.640

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−1.072

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−1.5

F i g . 3 3 . = = 1

1 9



T h e n , w e c h o o s e t o s t u d y t h e e e c t s o f t h e b p a r a m e t e r o n t h e b e h a v i o r o f

d r o m i o n 1 - 1 . W e p l u g i n t o ( D S I ) r e s p e c t i v e l y b = 0 : 5 a n d b = 1 : 5 . W e n o t e

( g ( 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 ) ) t h a t d r o m i o n 1 - 1 i s n o t s t a b l e a t a l l w i t h r e s p e c t t o b .

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=1.5

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=0.640

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−0.430

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−1.5

F i g . 3 4 . b = 0 5

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−1.5

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−0.430

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=0.640

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=1.5

F i g . 3 5 . b = 0 5

2 0



−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−1.5

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=−0.430

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=0.640

−100

10

−10

0

100

0.5

1

t=1.5

F i g . 3 6 . b = 1 5

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=1.5

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=0.640

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−0.430

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

t=−1.5

F i g . 3 7 . b = 1 5

2 1



O t h e r t e s t s s h o w t h a t t h e r e s u l t s a r e a b o u t t h e s a m e w h e n m o d i f y i n g t h e v a l u e

o f a n d . S o , d r o m i o n 1 - 1 i s n o t s t a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e c o e c i e n t s o f ( D S I ) .

5 . B l o w - u p o f D S ( E - H )

I t i s w e l l k n o w n t h a t ( N L S ) a d m i t s b l o w - u p s o l u t i o n s ( s e e G i n i b r e - V e l o

2 0

, K a t o

2 1

o r G l a s s e y

2 2

f o r i n s t a n c e ) . N o w , t h e d y n a m i c o f e x p l o s i o n i s b e t t e r u n d e r s t o o d

(

1 7

,

2 3

) . M o r e o v e r , a s p r e d i c t e d b y G h i d a g l i a a n d S a u t

3

, P a p a n i c o l a o u - S u l e m - S u l e m

a n d W a n g

2 4

s h o w n u m e r i c a l l y t h a t t h e b l o w - u p o c c u r s i n t h e e l l i p t i c - e l l i p t i c c a s e

o f ( D S ) . U n f o r t u n a t e l y , n o r e s u l t s a r e k n o w n t o v a l i d a t e o r n o t t h e b l o w - u p i n t h e

( E - H ) m o d e .

F r o m n o w o n , w e s e t = = 1 = 2 , c = 1 a n d '

1

( ; t ) = '

2

( ; t ) = 0 ; 8 t . T h e n ,

i n t h e ( ; ) p l a n e , D S ( E - H ) b e c o m e s

(

i u

t

+ u = j u j

2

u + b u '

+

; ( a )

'

=

4

( j u j

2

+ j u j

2

) : ( b )

( 5 . 1 4 )

I f w e a s s u m e t h a t = ? 1 , b l o w - u p s h o u l d a r i s e w h e n b g o e s t o z e r o , a s t h e r s t

e q u a t i o n t e n d s t o t h e f o c u s i n g ( N L S ) e q u a t i o n . I n t h e s a m e w a y , a s ! 0 , ( 5 . 1 4 b )

g i v e s ' ( ; ; t ) =

1

( ; t ) +

2

( ; t ) . U s i n g t h e h y p o t h e s i s '

1

( ; t ) = '

2

( ; t ) = 0 ; 8 t ,

w e g e t ' ( ; ; t ) = r , r 2 R . P u t t i n g i t o n ( 5 . 1 4 a ) , w e g e t e x a c t l y ( N L S ) . T h e r e f o r e ,

w e w i l l w o r k n a l l y o n t h e s y s t e m

(

i u

t

+ u = ? j u j

2

u + b u '

+

;

'

=

4

( j u j

2

+ j u j

2

) :

( 5 . 1 5 )

I n o r d e r t o v e r i f y o u r s t a t e m e n t , w e t a k e a s i n i t i a l c o n d i t i o n t h e o n e u s e d i n

1 7

a n d

2 3

f o r b l o w - u p o f ( N L S ) . S o , u

0

= 4 e x p ? ( x

2

+ y

2

) ] . I n t h e l a s t r e f e r e n c e

1 7

, t h e p r e s u m e d b l o w - u p t i m e f o r t h i s i n i t i a l d a t u m i s c o m p u t e n u m e r i c a l l y a n d

i s t

= 0 : 1 4 2 5 . T h i s r e f e r e n c e t i m e a l l o w s u s t o v a l i d a t e o u r s u p p o s i t i o n s . F o r

t h e n u m e r i c a l t e s t s , w e t a k e a 2 5 6 2 5 6 m e s h , t = 1 0

? 4

a n d t h e d o m a i n i s

? 4 ; 4 ] ? 4 ; 4 ] .

W e b e g i n b y t h e ? t e s t c o n s i s t i n g t o c o m p u t e t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s o f

e q u a t i o n s ( 5 . 1 5 ) , w i t h t h e g a u s s i a n i n i t i a l d a t u m , f o r ! 0 a n d b = 1 . W e p l o t o n

g ( 3 8 ) s u p

;

j u ( ; ; t ) j f o r d i e r e n t v a l u e s o f .

2 2



0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.160.0

25.0

50.0

75.0

100.0 −0.10.01

0.1 0.2

σ= −0.3

σ=

t*

−0.2σ=

σ=σ=

σ=

F i g . 3 8 . E v o l u t i o n o f b l o w - u p t i m e f o r b = 1 a n d d i e r e n t v a l u e s o f

W e s e e c l e a r l y t h a t b l o w - u p s e e m s t o a r i s e a n d t h a t t h e s i g n o f c h a n g e s t h e

r e l a t i v e p o s i t i o n o f t h e b l o w - u p t i m e f o r ( 5 . 1 5 ) c o m p a r e d t o t

.

N e x t , w e g o o n w i t h b ! 0 , s e t t i n g = ? 2 . N o w , w e p l o t t h e r e s u l t s o n g ( 3 9 )

f o r a w i d e r r a n g e o f v a l u e s o f b .

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.240.0

25.0

50.0

75.0

100.0

b=2

b=1

b=0.5

b=0.3

b=0.1

b=−0.1 b=−0.15

b=−0.25

b=−0.3

t*

F i g . 3 9 . E v o l u t i o n o f b l o w - u p t i m e f o r = ? 2 a n d d i e r e n t v a l u e s o f b

I f b i s s m a l l e n o u g h , t h e r e s u l t s a r e t h e s a m e t h a n f o r t h e ? t e s t . B u t w e s e e

i n a d d i t i o n t h a t a s t r o n g c o n c e n t r a t i o n a n d m a y b e a b l o w - u p o c c u r s f o r v a l u e s o f

b i n O ( 1 ) w h e n b i s p o s i t i v e . T h e r e f o r e , t h i s f a c t s e e m s t o i n d i c a t e t h a t D S ( E - H )

s y s t e m h a s a n i n n e r b l o w - u p m e c h a n i s m . F o r n e g a t i v e v a l u e s o f b , a s t a b i l i z a t i o n

2 3



a p p e a r s . T h e r s t v a l u e o f b l e a d i n g t o t h i s s t a b i l i z a t i o n i s h a r d t o c o m p u t e b e c a u s e

o f r e l a t i v e i n s t a b i l i t y . W e p l o t o n g ( 4 0 ) a m o r e c o m p l e t e s t u d y o n a 5 1 2 5 1 2

n e r m e s h f o r t h o s e v a l u e s l e a d i n g t o s t a b i l i z a t i o n .

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0

50.0

100.0

150.0

200.0

b=−0.18

b=−0.19

b=−0.20

b=−0.21

b−0.22

b=−0.25

F i g . 4 0 . S t a b i l i z a t i o n o f b l o w - u p f o r = ? 2

W e s h o w n o w t h a t t h e s i g n o f h a s a n i n u e n c e o n t h e p o s i t i o n o f t h e s u p p o s e d

b l o w - u p t i m e o f D S w i t h r e s p e c t t o t h e b l o w - u p t i m e o f ( N L S ) . T h e g ( 3 9 ) a n d

g ( 4 1 ) i l l u s t r a t e t h i s f a c t w i t h =

? 2 a n d = + 2 .

2 4



0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.200.0

25.0

50.0

75.0

100.0b=−0.1

b=0.1

b=0.2

t

*

F i g . 4 1 . E v o l u t i o n o f b l o w - u p t i m e f o r = + 2 a n d v a r y i n g b

F i n a l l y , a l t h o u g h w e d o n o t h a v e a r e n e m e n t p r o c e d u r e , w e s h o w o n v a r i o u s

m e s h e s t h e v a l i d i t y o f t h e t e s t s a b o v e a s t h e L

1

- n o r m i n c r e a s e s t w o f o l d e a c h t i m e

t h e m e s h s i z e i s d i v i d e d b y t w o . S o , w e t h i n k t h a t b l o w - u p f o r D S ( E - H ) r e a l l y

e x i s t s . W e p l o t o n ( g ( 4 2 ) ) s u p

;

j u ( ; ; t ) j f o r d i e r e n t m e s h a n d j u j ( g ( 4 3 , 4 4 ) ) a t

t = 0 : 1 7 0 4 f o r = ? 2 a n d b = ? 0 : 1 5 .

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

50.0

100.0

150.0

200.0

Mesh=128x128

Mesh=256x256

Mesh=512x512

F i g . 4 2 . E v o l u t i o n o f b l o w - u p t i m e f o r b = ? 0 1 5 a n d d i e r e n t g r i d m e s h

2 5



−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

20

5

10

15

20

25

F i g . 4 3 . j u j a t t = 0

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

20

5

10

15

20

25

F i g . 4 4 . j u j a t t = 0 . 1 7 0 4

6 . C o n c l u s i o n

W e d e v e l o p a n e w s c h e m e i n o r d e r t o s o l v e D S ( E - H ) s y s t e m s . T h i s t o o l a l l o w s t o

s h o w t h a t d r o m i o n s 1 - 1 a r e n o t s t a b l e w i t h r e s p e c t t o c o e c i e n t s a n d t h a t b l o w - u p

m e c h a n i s m c a n e x i s t f o r D S ( E - H ) . W e c o n r m t h a t f r o m a n i n i t i a l d a t u m w i t h

'

1

= '

2

= 0 , t h e s o l u t i o n d i s p e r s e s a w a y f o r ( D S I ) . I n a d d i t i o n , w e p r o v e t h a t

C r a n k - N i c o l s o n t y p e s c h e m e s c r e a t e a p e r i o d i c p h a s e e r r o r t h a t c a n b e q u i t e b i g

f o r s o m e v a l u e s o f t . U n f o r t u n a t e l y , w e c a n n o t p r o v e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n a n d t h e

c o n v e r g e n c e o f o u r s e m i - d i s c r e t e s c h e m e . H o w e v e r , t h e p r i n c i p l e o f r e l a x a t i o n i s

a p p l i c a b l e t o a w i d e r a n g e o f s y s t e m s , a n d , i n p a r t i c u l a r , o u r s c h e m e i s r e l a t i v e l y

e a s y t o t r a n s p o s e t o o t h e r v e r s i o n s o f D S .

A c k n o w l e d g m e n t

T h e a u t h o r s t h a n k T . C o l i n f o r v a l u a b l e d i s c u s s i o n s a n d f r u i t f u l s u g g e s t i o n s . T h e y

a l s o t h a n k P . F a b r i e f o r h e l p i n g t h e m t o u n d e r s t a n d b e t t e r t h e p h a s e e r r o r c r e a t e d

b y C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e . I n a d d i t i o n , t h e r s t a u t h o r i s v e r y g r e a t f u l t o P . D e -

g o n d w h o k i n d l y w e l c o m e h i m a t t h e M a t h e m a t i q u e s p o u r l ' I n d u s t r i e e t l a P h y s i q u e

l a b o r a t o r y i n T o u l o u s e .

1 . D a v e y A . a n d S t e w a r t s o n K . O n t h r e e - d i m e n s i o n a l p a c k e t s o f s u r f a c e w a v e s , P r o c . R .

S o c . L o n d . A , v o l 3 3 8 , p a g e s 1 0 1 { 1 1 0 , 1 9 7 4 .

2 . D j o r d j e v i c V . D . a n d R e d e k o p p L . G . O n t w o - d i m e n s i o n a l p a c k e t s o f c a p i l l a r y - g r a v i t y

w a v e s , J . F l u i d M e c h . , v o l 7 9 , p a g e s 7 0 3 { 7 1 4 , 1 9 7 7 .

3 . G h i d a g l i a J - M . a n d S a u t J - C . O n t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m f o r t h e D a v e y - S t e w a r t s o n

s y s t e m s , N o n l i n e a r i t y 3 , p a g e s 4 7 5 { 5 0 6 , 1 9 9 0 .

4 . A b l o w i t z M . J . a n d S e g u r H . O n t h e e v o l u t i o n o f p a c k e t s o f w a t e r w a v e s , J . F l u i d M e c h . ,

v o l 9 2 , n

0

( 4 ) , p a g e s 6 9 1 { 7 1 5 , 1 9 7 9 .

5 . H a y a s h i N . a n d H i r a t a H . G l o b a l e x i s t e n c e a n d a s y m p t o t i c b e h a v i o r i n t i m e o f s m a l l

2 6



s o l u t i o n s t o t h e e l l i p t i c - h y p e r b o l i c D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m , N o n l i n e a r i t y 9 , p a g e s

1 3 8 7 { 1 4 0 9 , 1 9 9 6 .

6 . H a y a s h i N . L o c a l e x i s t e n c e i n t i m e o f s m a l l s o l u t i o n s t o t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m s ,

A n n . I n s t . H e n r i P o i n c a r e , v o l 6 5 , n

0

4 , p a g e s 3 1 3 { 3 6 6 , 1 9 9 6 .

7 . B o i t i M . , L e o n J . J . - P . a n d P e m p i n e l l i F . A n e w s p e c t r a l t r a n s f o r m f o r t h e D a v e y -

S t e w a r t s o n I e q u a t i o n , P h y s . L e t t . A , v o l 1 4 1 , n

0

( 3 - 4 ) , p a g e s 1 0 1 { 1 0 7 , 1 9 8 9 .

8 . F o k a s A . S . a n d S a n t i n i P . M . D r o m i o n s a n d a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o r t h e D a v e y -

S t e w a r t s o n I e q u a t i o n , P h y s i c a D , v o l 4 4 , p a g e s 9 9 { 1 3 0 , 1 9 9 0 .

9 . F o k a s A . S a n d S u n g L . - Y . O n t h e s o l v a b i l i t y o f t h e n - w a v e , D a v e y - S t e w a r t s o n a n d

K a d o m t s e v - P e t v i a s h v i l i e q u a t i o n s , I n v e r s e P r o b l e m s 8 , v o l 5 , p a g e s 6 7 3 { 7 0 8 , 1 9 9 2 .

1 0 . S a n t i n i P . M . E n e r g y e x c h a n g e o f i n t e r a c t i n g c o h e r e n t s t r u c t u r e s i n m u l t i d i m e n s i o n s ,

P h y s i c a D , v o l 4 1 , p a g e s 2 6 { 5 4 , 1 9 9 0 .

1 1 . W h i t e P . W . a n d W e i d e m a n J . A . C . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f s o l i t o n s a n d d r o m i o n s i n

t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m , M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r s i n S i m u l a t i o n , v o l 3 7 ,

p a g e s 4 6 9 { 4 7 9 , 1 9 9 4 .

1 2 . H i e t a r i n t a J . a n d H i r o t a R . M u l t i d r o m i o n s o l u t i o n s t o t h e D a v e y - S t e w a r t s o n e q u a t i o n ,

P h y s . L e t t . A , v o l 1 4 5 , n

0

( 5 ) , p a g e s 2 3 7 { 2 4 4 , 1 9 9 0 .

1 3 . J a u l e n t M . , M a n n a M . A . a n d M a r t i n e z A l o n s o L . F e r m i o n i c a n a l y s i s o f D a v e y -

S t e w a r t s o n d r o m i o n s , P h y s . L e t t . A , v o l 1 5 1 , n

0

( 6 - 7 ) , p a g e s 3 0 3 { 3 0 7 , 1 9 9 0 .

1 4 . G i l s o n R . a n d N i m m o J . C . A d i r e c t m e t h o d f o r d r o m i o n s o l u t i o n s o f t h e D a v e y -

S t e w a r t s o n e q u a t i o n s a n d t h e i r a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s , P r o c . R . S o c . L o n d . A , v o l

4 3 5 , p a g e s 3 3 9 { 3 5 7 , 1 9 9 1 .

1 5 . D e l f o u r M . , F o r t i n M . a n d P a y r e G . F i n i t e - d i e r e n c e s o l u t i o n s o f a n o n - l i n e a r

S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , J o u r n a l o f c o m p u t a t i o n a l p h y s i c s , v o l 4 4 , p a g e s 2 7 7 { 2 8 8 , 1 9 8 1 .

1 6 . B i d e g a r a y , B . I n v a r i a n t m e a s u r e s f o r s o m e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , P h y s i c a D ,

v o l 8 2 , p a g e s 3 4 0 { 3 6 4 , 1 9 9 5 .

1 7 . B r u n e a u C . H . , D i M e n z a L . a n d L e h n e r T . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f n o n l i n e a r p l a s m a s ,

R a p p o r t I n t e r n e n

0

9 6 0 2 3 , M a t h e m a t i q u e s A p p l i q u e e s d e B o r d e a u x .

1 8 . C o l i n T . a n d F a b r i e P . S e m i d i s c r e t i z a t i o n i n t i m e f o r n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r - w a v e s e q u a -

t i o n s , R a p p o r t I n t e r n e n

0

9 6 0 2 8 , M a t h e m a t i q u e s A p p l i q u e e s d e B o r d e a u x .

1 9 . B e s s e C . R e l a x a t i o n s c h e m e s f o r N o n l i n e a r S c h r o d i n g e r E q u a t i o n s a n d D a v e y -

S t e w a r t s o n S y s t e m s , T o b e p u b l i s h e d .

2 0 . G i n i b r e J . a n d V e l o G . O n a c l a s s o f n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n s p a r t I , I I , J .

F u n c t . A n a l . , v o l 3 2 , p a g e s 1 { 3 2 , 3 3 { 7 1 , 1 9 7 9 .

2 1 . K a t o T . N o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n s , L e c t u r e s N o t e s i n P h y s i c s , 3 4 5 , 1 9 8 8 .

2 2 . G l a s s e y R . T . O n t h e b l o w i n g - u p s o l u t i o n s t o t h e C a u c h y p r o b l e m f o r n o n l i n e a r

S c h r o d i n g e r e q u a t i o n s , J . M a t h . P h y s , v o l 1 8 , n

0

( 9 ) , p a g e s 1 7 9 4 { 1 7 9 7 , 1 9 7 7 .

2 3 . S u l e m P . L . , S u l e m C . a n d P a t e r a A . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f s i n g u l a r s o l u t i o n s t o t h e

t w o - d i m e n s i o n a l c u b i c S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , C o m m . o n P u r e a n d A p p l . M a t h . , v o l

3 7 , p a g e s 7 5 5 { 7 7 8 , 1 9 8 4 .

2 4 . P a p a n i c o l a o u G . C . , S u l e m C . , S u l e m P . - L . a n d W a n g X . P . T h e f o c u s i n g s i n g u l a r i t y

o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n e q u a t i o n s f o r g r a v i t y - c a p i l l a r y s u r f a c e w a v e s , P h y s . D , v o l 7 2 ,

n

0

( 1 - 2 ) , p a g e s 6 1 { 8 6 , 1 9 9 4 .

2 7

c. besse and c.h. bruneau- numerical study of elliptic-hyperbolic davey-stewartson system: dromions...

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