Buon Compleanno Eulero! Nonostante i tuoiNonostante i tuoi

3 x 103 x 102 2 anni anni sei sempresei sempre

il più interessante. Auguri! il più interessante. Auguri!

Leonhard Euler

A 300 anni dalla nascita,A 300 anni dalla nascita,

il mondo intero lo ricorda !il mondo intero lo ricorda !

« Eulero calcolava senza sforzo apparente, così come gli uomini respirano o le aquile si sostengono nel vento »

Le opere Leonhard EulerLeonhard Euler conosciuto in Italia conosciuto in Italia

come come Eulero, Eulero, nasce a Basilea il 15 nasce a Basilea il 15 Aprile del 1707 ; si interessa di Aprile del 1707 ; si interessa di Matematica e di Fisica e per questo è Matematica e di Fisica e per questo è considerato il più importante considerato il più importante Matematico dell'Illuminismo. Allievo Matematico dell'Illuminismo. Allievo di di Johann BernoulliJohann Bernoulli, è noto per , è noto per essere” tra i matematici più prolifici di essere” tra i matematici più prolifici di tutti i tempi” e per aver regalato alla tutti i tempi” e per aver regalato alla storia della Matematica pagine di storia della Matematica pagine di notevole interesse scientifico in notevole interesse scientifico in diverse aree del sapere: diverse aree del sapere: analisi analisi infinitesimale, funzioni speciali, infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi.grafi.

Eulero ha dato il suo Eulero ha dato il suo nome a una quantità nome a una quantità “impressionante” di “impressionante” di formule, teoremi, formule, teoremi, metodi, criteri, metodi, criteri, relazioni, equazioni.relazioni, equazioni.

In geometriaIn geometria: : il il cerchiocerchio, , la la rettaretta e i e i punti di Euleropunti di Eulero relativi ai triangoli, relativi ai triangoli, più la più la relazionerelazione di di EuleroEulero, che , che riguardava il cerchio riguardava il cerchio circoscritto a un circoscritto a un triangolo.triangolo.

Teoria dei numeri e meccanica

Nella teoria dei Nella teoria dei numerinumeri: : il il criterio di criterio di EuleroEulero, l' , l' indicatore di indicatore di EuleroEulero, , l' l' identità di identità di EuleroEulero, la , la congettura congettura di Eulerodi Eulero; ; nella nella meccanicameccanica: gli : gli angoli angoli di Eulerodi Eulero, il , il carico carico critico di Eulerocritico di Eulero (per (per instabilità)instabilità)

Angoli di Eulero

Analisi,teoria dei grafi,algebra,calcolo differenziale

Nell'analisiNell'analisi: : la la costante di costante di Eulero-MascheroniEulero-Mascheroni; ; in in logicalogica: : il il diagramma di diagramma di Eulero-VennEulero-Venn; ; nella teoria nella teoria dei grafidei grafi: (di nuovo) : (di nuovo) la la relazione di Eulerorelazione di Eulero; ; nell'algebranell'algebra: : il il metodo di metodo di EuleroEulero (relativo alla (relativo alla soluzione delle equazioni soluzione delle equazioni di quarto grado); nel di quarto grado); nel calcolo differenzialecalcolo differenziale: il : il metodo di Eulerometodo di Eulero (riguardante le equazioni (riguardante le equazioni differenziali).differenziali).

Eulero e la Fisica

Anche se il nome di Eulero è legato Anche se il nome di Eulero è legato prevalentemente alla Matematica ,come scienziato prevalentemente alla Matematica ,come scienziato fornì importanti contributi anche alla fornì importanti contributi anche alla FisicaFisica e in e in particolare alla particolare alla meccanica classica e celestemeccanica classica e celeste. Per . Per esempio sviluppò esempio sviluppò l'equazione di fascio di l'equazione di fascio di Eulero-BernoulliEulero-Bernoulli e le equazioni di e le equazioni di Eulero-Eulero-LagrangeLagrange. Inoltre determinò le orbite di molte . Inoltre determinò le orbite di molte comete.comete.

Identità di Eulero

““La prima volta che ci si La prima volta che ci si imbatte nella formula di imbatte nella formula di Eulero non si può fare a Eulero non si può fare a meno di rimanere scioccati, meno di rimanere scioccati, oltre che un po' increduli, di oltre che un po' increduli, di fronte al mistero che la sua fronte al mistero che la sua semplicità racchiude in così semplicità racchiude in così pochi simboli. Numeri che pochi simboli. Numeri che provengono da contesti della provengono da contesti della matematica completamente matematica completamente diversi incrociano i loro diversi incrociano i loro destini in una uguaglianza destini in una uguaglianza che più semplice non si che più semplice non si poteva:”poteva:”

eiπ + 1 = 0

La Formula di Eulero per i Poliedri

La La caratteristica di Eulerocaratteristica di Eulero χχ fu definita inizialmente per i fu definita inizialmente per i poliedri, con la formulapoliedri, con la formula

χ = χ = VV − − SS + + FF,,

dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici, dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro. La spigoli e facce del poliedro. La formula di Euleroformula di Eulero asserisce cheasserisce che

χ = χ = VV − − SS + + FF = 2 = 2

per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessisemplicemente connessi..

I I poliedri convessipoliedri convessi rientrano in questa categoria. rientrano in questa categoria.

Esempi di poliedri convessi La formula di Eulero può essere usata per La formula di Eulero può essere usata per

dimostrare che ci sono solo 5 dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonicisolidi platonici::

Tetraedro Cubo Ottaedro

Dodecaedro Icosaedro

Leonardo Eulero e i ponti di Königsberg

A Königsberg in Prussia c’è un'isola A, chiamata der Kneiphof, e il

fiume che la circonda si divide in due rami, come si può vedere in figura;i rami di questo fiume sono muniti di sette ponti a, b, c, d, e, f, g.

Circa questi ponti veniva posta questa domanda, si chiedeva se fosse

possibile costruire un percorso in modo da transitare attraverso ciascun ponte una e una sola volta. E mi fu detto che alcuni negavano ed altri dubitavano che ciò si potesse fare, ma nessuno lo dava per certo.

Da ciò io ho tratto questo problema generale: qualunque sia la configurazione e la distribuzione in rami del fiume e qualunque sia il numero dei ponti, si può scoprire se è possibile passare per ogni ponte una ed una sola volta?

La funzione di Eulero

La funzione di Eulero associa a un numero intero La funzione di Eulero associa a un numero intero nn il numero dei il numero dei numeri interi primi con numeri interi primi con nn e minori di e minori di nn (compreso l'uno); è una (compreso l'uno); è una funzione basilare della teoria dei numeri ed interviene in molti funzione basilare della teoria dei numeri ed interviene in molti teoremi come quello di Fermat-Eulero. Per esempio per teoremi come quello di Fermat-Eulero. Per esempio per n = 6n = 6 la la funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6 funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6 sono solo 1 e 5; per sono solo 1 e 5; per n = 7n = 7 la funzione vale 6 perché essendo 7 primo la funzione vale 6 perché essendo 7 primo tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di Eulero di un numero Eulero di un numero nn si indica di solito con si indica di solito con Φ(n)Φ(n). Si dimostra che . Si dimostra che Φ(n) = n(1 - 1/nΦ(n) = n(1 - 1/n11)(1 - 1/n)(1 - 1/n22)...(1 - 1/n)...(1 - 1/nmm))

dove ndove n11, n, n22 ... n ... nmm sono i fattori primi distinti di sono i fattori primi distinti di nn. Se . Se nn è primo allora è primo allora

ovviamente ovviamente Φ(n) = n - 1Φ(n) = n - 1 Se Se nn è il prodotto di due numeri primi p e q, è il prodotto di due numeri primi p e q, è facile verificare che è facile verificare che Φ(n) = (p - 1)(q - 1)Φ(n) = (p - 1)(q - 1). Infatti Φ(n) = pq(1 - 1/p). Infatti Φ(n) = pq(1 - 1/p)(1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la (1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la formula data. formula data.

Metodo di Eulero

Se abbiamo l’equazione Se abbiamo l’equazione ax ax + + by by = = c c ha sempre una e una ha sempre una e una sola soluzione sola soluzione xx11 e e yy11 con 0 ≤ con 0 ≤ xx11 ≤∣ ≤∣bb e una con ∣ e una con ∣ xx22 e e yy22 con con

0 ≤ 0 ≤ yy22 ≤∣ ≤∣aa ∣ ∣

Le due soluzioni possono coincidere. Le due soluzioni possono coincidere.

ponendo ponendo x x = 0= 0,,11,…,,…,∣∣b b - 1 ∣- 1 ∣

Questo metodo è conveniente per coefficienti piccoliQuesto metodo è conveniente per coefficienti piccoli

Interpretazione grafica del metodo di

Eulero

I quadrati greco – latini di Eulero

In figura, a sinistra il quadrato latino, al centro il quadrato con le lettere

greche e a destra il quadrato greco/ latino, ottenuto semplicemente dalla

sovrapposizione dei due precedenti.

Anche Eulero come molti altri matematici suoi colleghi, si è occupato dello studio dei quadrati magici battezzandone una “nuova specie” con il nome di quadrati greco-latini. Oggi, dopo due secoli tornano di moda ,con il nome di “Sudoku”: un gioco che mette alla prova le qualità di ragionamento e di intuizione caratteristiche del vero matematico.

Eulero e i “Colleghi” Eulero tenne contatti con numerosi matematici Eulero tenne contatti con numerosi matematici

del suo tempo; in particolare intrattenne una del suo tempo; in particolare intrattenne una lunga corrispondenza con lunga corrispondenza con Christian GoldbachChristian Goldbach confrontando con lui alcuni dei propri confrontando con lui alcuni dei propri risultati.La cosa fu scambievole infatti anche risultati.La cosa fu scambievole infatti anche Goldbach interpellò Eulero a proposito della sua Goldbach interpellò Eulero a proposito della sua famosa e ancor oggi irrisolta “congettura.famosa e ancor oggi irrisolta “congettura.

Lettera di Goldbach ad Eulero, 1742

Il Teorema di Fermat-Eulero

EnunciatoEnunciato

Dati due qualsiasi numeri m ed N primi tra di loro Dati due qualsiasi numeri m ed N primi tra di loro allora è:allora è:

mmΦ(N)Φ(N) = 1 (mod N) = 1 (mod N)

o anche o anche

mmΦ(N)Φ(N) - 1 = 0 (mod N) - 1 = 0 (mod N)

Se poi N è primo allora Se poi N è primo allora

Φ(N) = N - 1Φ(N) = N - 1

I Francobolli Commemorativi

Le Banconote

Questa banconota

da 10 franchi in uso

dal 1976 al 1995,

rende omaggio al

grande Eulero.

Le Lettere di Eulero (1787)

“Per esprimere sensibilmente la

natura di queste quattro spezie di

proposizioni, possiam

rappresentarle per mezzo di

figure, le quali son di un gran

soccorso per ispiegare con somma

distinzione qual sia l’esattezza di

un raziocinio. E poiché una

nozione generale contiene

un’infinità di oggetti individuali, si

può supporre a guisa di uno

spazio, in cui questi oggetti son

racchiusi: per esempio si forma

uno spazio per la nozione di uomo

(Tav. 1. fig. 1.) in cui si suppone

che tutti gli uomini sien radunati.”

Tav. 1. fig. 1.

A

E ancora….

Per la nozione di mortale se ne

forma un altro (Tav. 1. fig. 2.) dove

si suppone che sia compreso quanto

vi è di mortale.

E quando io pronunzio che

tutti gli uomini son mortali,

intendo che la prima figura sia

contenuta nella seconda.

Dunque la rappresentazione di una proposizione universale affermativa

sarà quella della Tav. 1. fig. 3., in cui lo spazio A che dinota il soggetto

della proposizione vien tutto intero racchiuso nello spazio B che è il

predicato” (lettera CII, 14 febbraio 1761, II, pp. 111-112).

Tav. 1. fig. 2.

Tav. 1. fig. 3

B

A

B

“

Questi cerchj o sien questi spazj (imperciocché è indifferente qualunque

figura lor si dia) son molto a portata per facilitare le nostre riflessioni

sopra questa materia, e per metterci in chiaro quanti misteri la logica si

vanta di avere, i quali somma pena han costata per poterli dimostrare,

mentre coll’ajuto di tai segni in un istante tutto salta agli occhi... Quanto

sin qui si è detto può essere sufficiente a far capire a Vostra Altezza , che

tutte le proposizioni possono essere rappresentate con figure; ma il

massimo vantaggio si manifesta ne’ raziocinj, i quali qualora si esprimon

con parole chiamansi sillogismi, in cui si tratta di tirare una conclusione

esatta da alcune date proposizioni. Con tale invenzione noi potremo

subito scandagliare le giuste forme di tutti i sillogismi.

Cominciamo da una proposizione affermativa universale ogni A è B... Se

la nozione C è contenuta interamente nella nozione A, sarà contenuta

anche interamente nello spazio B (Tav. 1. fig. 8.), donde risulta questa

forma di sillogismo

Ogni A è B Ma Ogni C è A Dunque Ogni C è

B

e quest’ultima è la conclusione

Tav. 1. fig. 8.

B

A

C

Per esempio. Disegni la nozione A tutti gli alberi, la nozione B tutto

ciò che ha radici, e la nozione C tutti i ciriegi, in tale caso il nostro

sillogismo sarà il seguente

Ogni arbore ha radici

Ma Ogni ciriegio è un arbore

Dunque Ogni ciriegio ha radici”

(lettera CIII, 17 febbraio 1761, II, pp. 113 e 115-116

Bibliografia

•Wikipedia, l'enciclopedia libera.

•E. Castelnuovo,La matematica, Ed. La Nuova Italia

•Courant,Robins,Che cos’è la matematica,Ed.

Boringhieri

•Lucio Lombardo Radice,Istituzioni di Algebra

Astratta, Ed Feltrinelli