bu kitapta neler var? · ÖnsÖz sevgili Öğrenciler, bu kitap, tecrübeli yazarlarımız...
TRANSCRIPT
ŞİMDİMATEMATİKDÜNYASINAKAPAK AÇMAZAMANI
Her bölümün başında kısa,pratik bilgilerle konuyu kavramanızı hedefleyen>> Hadi Öğrenelim
Yol gösteren, öğretici>> Çözümlü Sorular
Eğlenerek çözeceğiniz pekiştirici etkinlikler>> Antrenman Zamanı
Kazanım odaklı>> Konu Kavrama Testleri
Bilgilerinizi derinlemesine sorgulayan>> Ünite Değerlendirme Testleri
Okul sınavlarına yardımcı>> Yazılıya Hazırlık Soruları
Yeni sisteme uygun yeni tarz sorular>> Artıbir Sınav Özel
Bu kitapta neler var?
AD, SOYAD:
OKUL:
SINIF:
NUMARA:
Yayını HazırlayanArtıbir Yayınları Yayın Kurulu
BaskıOlgun-Çelik Ofset Ltd. Şti.Büsan OSB Fevzi Çakmak Mh. 10670 Sk. No: 26/DKaratay/KONYA • Tel: 0.332 342 32 20Sertifika No: 28237
Baskı Tarihi: Eylül 2019
Yayıncı Sertifikası43937
ISBN978-605-80535-0-2
MATEMATİK DÜNYAM - 8
ATM YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİFevzi Çakmak Mahallesi 10448 Sokak No: 18/1 • Karatay / KONYATel: 0332 342 65 64 • Gsm: 0532 546 12 86www.artibiryayinlari.com // [email protected]
© Bu kitabın tüm yayın hakları; ATM YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ’ne aittir. Kitaptaki özgün metin, soru, şekil ve resimlerin tamamının veya bir kısmının Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu uyarınca yayınevi ve yazarının yazılı izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da başka bir şekilde çoğaltılması, yayımlanması ve dağıtılması yasaktır.
Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak;
Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.
O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;
O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!
Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?
Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl.
Hakkıdır Hakk’a tapan milletimin istiklâl.
Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım.
Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!
Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.
Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.
Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar,
Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.
Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,
Medeniyyet dediğin tek dişi kalmış canavar?
Arkadaş, yurduma alçakları uğratma sakın;
Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.
Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın;
Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın
İSTİKLAL MARŞI
Bastığın yerleri toprak diyerek geçme, tanı:
Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı.
Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:
Verme, dünyaları alsan da bu cennet vatanı.
Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki feda?
Şüheda fışkıracak toprağı sıksan, şüheda!
Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda,
Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüda.
Ruhumun senden İlâhî, şudur ancak emeli:
Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.
Bu ezanlar -ki şehadetleri dinin temeli-
Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım,
Her cerîhamdan İlâhî, boşanıp kanlı yaşım,
Fışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden na’şım;
O zaman yükselerek arşa değer belki başım.
Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!
Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.
Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl;
Hakkıdır hür yaşamış bayrağımın hürriyyet;
Hakkıdır Hakk’a tapan milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif ERSOY
ÖNSÖZSevgili Öğrenciler,
Bu kitap, tecrübeli yazarlarımız tarafından özverili bir şekilde yazılmış, özgün bir dizgi/
tasarım ile yayına hazırlanmıştır. Kitap hazırlanırken Milli Eğitim Bakanlığı tarafından
en son belirlenen Matematik müfredat kazanımları dikkate alınmıştır.
Kitapta, konuya ait önemli noktaların vurgulandığı kısa bir konu anlatımının yanı sıra,
her biri kazanım odaklı pek çok etkinlikle karşılaşacaksınız. Ayrıca zengin test soru-
ları ile test yeteneğinizi geliştirebileceksiniz. Özellikle bursluluk ve özel okul sınav-
larına yönelik hazırladığımız “artıbir özel” testleriyle, sınavlara daha iyi hazırlana-
bileceksiniz. Elbette ki okul başarınızda önemli bir pay sahibi olan yazılılarınızı da
unutmadık. Yıl içinde gireceğiniz her bir yazılı için birer adet yazılı örneğini sizler için
kitabımızın içine yerleştirdik.
Elinizdeki kitapta yer alan her bir ünitede aşağıdaki bölümler bulunmaktadır.
HADİ ÖĞRENELİM: Konunun ana hatlarının kısaca anlatıldığı, konu ile ilgili bir so-
runun çözümü ile birlikte verildiği bölümdür.
ANTRENMAN ZAMANI: Kazanımların kavranması ve konunun daha iyi anlaşılması için
farklı etkinlik örneklerinin bulunduğu bölümlerdir.
KONU KAVRAMA TESTİ: Her bölümden sonra, konuyu kavratmayı ve pekiştirmeyi he-
defleyen, kazanım odaklı, çoktan seçmeli soruların olduğu bölümdür.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ: Her ünitenin sonunda, konuları bir bütün olarak ele
alan, konu kavrama testlerinden daha kapsamlı, çoktan seçmeli soruların olduğu
bölümdür.
ARTIBİR ÖZEL: Milli Eğitim Bakanlığı’nın son dönemde yayınladığı örnek sorulardan
faydalanılarak hazırlanan; yorumlama, karşılaştırma, sonuca varma, tablo ve grafik
okuma gibi becerileri ölçmeyi ön plana çıkartan yayınımıza özel bölümdür.
YAZILIYA HAZIRLIK SORULARI: Okuldaki yazılı sınavlarında başarınızı artırmayı he-
defleyen, bu sınavlarda çıkabilecek sorulara benzer soruların olduğu bölümdür.
Her bir aşaması ile sizlere artı bir değer katmayı hedefleyen kitabımızı tamamladığınız-
da başarılı olacağınızı umuyoruz.
Öğrenim için ayırdığınız zamanların kalıcı ve eğlenceli olması temennisiyle...
Matematik Yayın Kurulu
1. ÜNİTE•ÇARPANLARVEKATLAR-ÜSLÜİFADELER .......................................... 10 ÇARPANLARVEASALÇARPAN ...................................................................... 12 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 13 BİRDOĞALSAYIYIASALÇARPANLARINAAYIRMA .......................................... 14 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 15 KONUKAVRAMATESTİ-1 ......................................................................... 16 ENBÜYÜKORTAKBÖLEN(EBOB)VEPROBLEMLERİ ....................................... 18 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 19 KONUKAVRAMATESTİ-2 ....................................................................... 22 ENKÜÇÜKORTAKKAT(EKOK)VEPROBLEMLERİ ............................................ 24 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 25 KONUKAVRAMATESTİ-3 ....................................................................... 28 ARALARINDA ASAL SAYILAR ....................................................................... 30 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 31 EBOBVEEKOK'UNÖZELLİKLERİ .................................................................... 32 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 33 KONUKAVRAMATESTİ-4 ....................................................................... 34 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-1 ............................................................. 36 TAMSAYILARINKUVVETLERİ ....................................................................... 38 ANTRENMANZAMANI ............................................................................ 39 ONDALIKKESİRLERİ10'UNKUVVETLERİNİKULLANARAKÇÖZÜMLEME ........... 42 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 43 KONUKAVRAMATESTİ-5 ....................................................................... 44 ÜSSÜNÜSSÜ,ÜSLÜİFADELERDESIRALAMAVEÜSLÜDENKLEMLER .............. 46 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 47 KONUKAVRAMATESTİ-6 ....................................................................... 48 ÜSLÜİFADELERDEÇARPMAİŞLEMİ .............................................................. 50 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 51 KONUKAVRAMATESTİ-7 ........................................................................ 52 ÜSLÜİFADELERDEBÖLMEİŞLEMİ ................................................................. 54 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 55 KONUKAVRAMATESTİ-8 ........................................................................ 56 ÇOKKÜÇÜKVEÇOKBÜYÜKSAYILAR(BİLİMSELGÖSTERİM) .......................... 58 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 59
İÇİNDEKİLER
İçindekiler KONUKAVRAMATESTİ-9 ....................................................................... 60
KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-2 ............................................................. 62 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-3 ............................................................. 64 ÜNİTEDEĞERLENDİRMETESTİ-1 ................................................................... 66 ARTIBİRYENİNESİLSORULAR-1 ................................................................... 68
2. ÜNİTE•KAREKÖKLÜİFADELER-VERİANALİZİ ............................................... 74 KAREKÖKLÜSAYIKAVRAMI ......................................................................... 76 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 77 KONUKAVRAMATESTİ-10 ....................................................................... 78 KAREKÖKİÇİNDEKİBİRSAYIYIa bBİÇİMİNDEYAZMA ................................. 80 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 81 KAREKÖKLÜSAYILARDASIRALAMA ............................................................ 82 ANTRENMANZAMANI ............................................................................ 83 KONUKAVRAMATESTİ-11 ...................................................................... 84 KAREKÖKLÜSAYILARDAÇARPMAİŞLEMİ .................................................... 86 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 87 KONUKAVRAMATESTİ-12 ...................................................................... 88 YAZILIYAHAZIRLIKSORULARI ................................................................ 90 KAREKÖKLÜSAYILARDABÖLMEİŞLEMİ ....................................................... 92 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 93 KONUKAVRAMATESTİ-13 ...................................................................... 94 KAREKÖKLÜSAYILARDATOPLAMAVEÇIKARMAİŞLEMİ .............................. 96 ANTRENMANZAMANI ............................................................................. 97 KONUKAVRAMATESTİ-14 ...................................................................... 98 GERÇEK(REEL)SAYILAR ............................................................................ 100 ANTRENMANZAMANI ............................................................................ 101 KONUKAVRAMATESTİ-15 ..................................................................... 102 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-4 ............................................................ 104 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-5 ............................................................ 106 VERİANALİZİ ............................................................................................. 108 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 109 KONUKAVRAMATESTİ-16 ...................................................................... 110 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-6 ............................................................. 112 ÜNİTEDEĞERLENDİRMETESTİ-2 .................................................................. 114 ARTIBİRYENİNESİLSORULAR-2 .................................................................. 116
İçindekiler3. ÜNİTE•BASİTOLAYLARINOLASILIĞI-CEBİRSELİFADELERVEÖZDEŞLİKLER 120
OLASILIK KAVRAMI .................................................................................... 122 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 123 KONUKAVRAMATESTİ-17 ..................................................................... 124 OLASILIKNASILHESAPLANIR-DAHAAZ-EŞİT-DAHAFAZLAOLASILIK ......... 126 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 127 KONUKAVRAMATESTİ-18 ..................................................................... 130 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-7 ............................................................ 132 YAZILIYAHAZIRLIKSORULARI ............................................................... 134 CEBİRSELİFADEKAVRAMI .......................................................................... 136 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 137 DENKLEMVEÖZDEŞLİKFARKI .................................................................... 138 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 139 KONUKAVRAMATESTİ-19 ..................................................................... 140 İKİKAREFARKIÖZDEŞLİĞİ ......................................................................... 142 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 143 İKİTERİMİNTOPLAMIVEFARKININKARESİÖZDEŞLİĞİ................................. 144 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 145 KONUKAVRAMATESTİ-20 .................................................................... 146 ORTAKÇARPANPARANTEZİNEALARAKÇARPANLARAAYIRMA ...................... 148 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 149 İKİKAREFARKIVETAMKAREİFADELERİÇARPANLARINAAYIRMA .................. 150 ANTRENMANZAMANI ............................................................................ 151 KONUKAVRAMATESTİ-21 ..................................................................... 152 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-8 ............................................................ 154 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-9 ............................................................ 156 ÜNİTEDEĞERLENDİRMETESTİ-3 ................................................................. 158 ARTIBİRYENİNESİLSORULAR-3 ................................................................. 160
4. ÜNİTE•DOĞRUSALDENKLEMLER-EŞİTSİZLİKLER ...................................... 164 BİRBİLİNMEYENLİRASYONELDENKLEMLERVEPROBLEMLER .................... 166 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 167 KONUKAVRAMATESTİ-22 .................................................................... 170 DİKKOORDİNATSİSTEMİVEDOĞRUSALİLİŞKİLER ..................................... 172 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 173 KONUKAVRAMATESTİ-23 .................................................................... 176
İçindekiler KONUKAVRAMATESTİ-24 .................................................................... 178
DOĞRUGRAFİKLERİ .................................................................................. 180 ANTRENMANZAMANI ............................................................................ 181 KONUKAVRAMATESTİ-25 .................................................................... 182 EĞİMVEDOĞRUNUNEĞİMİ ....................................................................... 184 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 185 KONUKAVRAMATESTİ-26 .................................................................... 186 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-10 .......................................................... 190 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-11 ........................................................... 192 EŞİTSİZLİKLERVEEŞİTSİZLİKLERLEİŞLEMLER ........................................... 194 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 195 KONUKAVRAMATESTİ-27 .................................................................... 198 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-12 ......................................................... 200 YAZILIYAHAZIRLIKSORULARI .............................................................. 202 ÜNİTEDEĞERLENDİRMETESTİ-4 ................................................................ 204 ARTIBİRYENİNESİLSORULAR-4 ................................................................ 206
5. ÜNİTE•ÜÇGENLERVEPİSAGORBAĞINTISI-EŞLİKVEBENZERLİK ................ 210 ÜÇGENLER ................................................................................................ 212 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 213 ÜÇGENİNKENARLARIARASINDAKİİLİŞKİLER .............................................. 214 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 215 ÜÇGENDEAÇI-KENARİLİŞKİLERİ ............................................................... 216 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 217 KONUKAVRAMATESTİ-28 .................................................................... 218 ÜÇGENÇİZİMLERİ ..................................................................................... 220 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 221 KONUKAVRAMATESTİ-29 ................................................................... 222 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-13 .......................................................... 224 PİSAGORBAĞINTISI ................................................................................. 226 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 227 KENARLARIORANTILIÖZELDİKÜÇGENLER ................................................. 230 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 231 KONUKAVRAMATESTİ-30 .................................................................... 232 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-14 .......................................................... 234
İçindekiler EŞLİKVEBENZERLİKKAVRAMI ................................................................... 236
ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 237 KONUKAVRAMATESTİ-31 .................................................................... 238 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-15 .......................................................... 240 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-16 .......................................................... 242 ÜNİTEDEĞERLENDİRMETESTİ-5 ................................................................. 244 ARTIBİRYENİNESİLSORULAR-5 ................................................................. 246
6. ÜNİTE•DÖNÜŞÜMGEOMETRİSİ -GEOMETRİKCİSİMLER ............................. 250 DİKKOORDİNATSİSTEMİNDEYANSIMAHAREKETİ ...................................... 252 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 253 DİKKOORDİNATSİSTEMİNDEÖTELEMEHAREKETİ ...................................... 254 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 255 KONUKAVRAMATESTİ-32 .................................................................... 256 DİKPRİZMALAR ........................................................................................ 258 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 259 KONUKAVRAMATESTİ-33 ................................................................... 260 DİKDAİRESELSİLİNDİRİNELEMANLARIVEAÇINIMI .................................... 262 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 263 DİKDAİRESELSİLİNDİRİNYÜZEYALANI ..................................................... 264 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 265 DİKDAİRESELSİLİNDİRİNHACMİ .............................................................. 266 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 267 KONUKAVRAMATESTİ-34 ................................................................... 268 DİKPİRAMİTLER ........................................................................................ 270 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 271 DİKDAİRESELKONİ .................................................................................... 272 ANTRENMANZAMANI ........................................................................... 273 KONUKAVRAMATESTİ-35 .................................................................... 274 YAZILIYAHAZIRLIKSORULARI ............................................................... 276 KONUDEĞERLENDİRMETESTİ-17 .......................................................... 278 ÜNİTEDEĞERLENDİRMETESTİ-6 ................................................................ 280 ARTIBİRYENİNESİLSORULAR-6 ................................................................ 282
CEVAPANAHTARI ....................................................................................... 287
ÇARPANLARVE KATLAR
ÜSLÜ İFADELER
1.ÜNİTE
ÇARPANLAR VE KATLAR
• Çarpanlar ve Asal Çarpanlar
• EBOB - EKOK (En Büyük Ortak Bölen ve
(En Küçük Ortak Kat)
• Aralarında Asal Sayılar
ÜSLÜ İFADELER
• Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri
• Ondalık Kesirlerin ve Rasyonel Sayıların Kuvvetleri
• Sayıların Ondalık Gösterimlerini Üslü Sayılarla Çözümleme
• Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi
• Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi
• Bilimsel Gösterim (Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar)
SIRA SENDEHADi ÖĞRENELİM
12 13
ÇARPANLAR VE ASAL ÇARPANBir doğal sayıyı tam bölebilen sayılara o sayının çarpanları (Bölenleri) denir.
Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına o doğal sayının asal çarpanları denir.
1'e ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısına bölünmeyen 1'den bü-yük doğal sayılara Asal Sayılar denir.
Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ........
1'den 200'e kadar olan sayılar arasında 25 tane asal sayı vardır.
En küçük asal sayı 2'dir.
2'den başka çift olan asal sayı yoktur.
Örnek 24'ün çarpanlarını bulalım.
24 sayısının bölenleri (çarpanları)
1 . 24 2 . 12 3 . 8 4 . 6
24'ün çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Örnek 4m iki basamaklı sayısı asal sayı olduğuna göre
I. m'nin en küçük değeri 1 dir. II. m yerine iki farklı rakam yazılabilir. III. m yerine yazılan rakamları toplamı 11 dir.ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III
Çözüm 4m asal sayı olduğuna göre m rakamı kesinlikle tek sayıdır. 41, 43, 45, 47, 49 sayılarından asal olanlar 41, 43, 47 olduğundan m = 1, 3, 7 olabilir. Cevap: D
Aşağıda verilen boşluklara uygun ifadeleri yazınız.
1 sayısı asal sayı .............
En küçük asal sayı ............. dir.
İki hariç bütün asal sayılar ............. .
32 nin doğal sayı bölenleri ............. dir.
1 ve kendisinden başka hiç bir sa-yıya bölünemeyen sayılara ............. denir.
Aşağıda verilen bilgileri doğru yanlış olarak işaret-leyiniz.
............. 30 un çarpanları 1, 2, 3,
5, 6, 10, 15, 30'dur.
............. iki basamaklı en büyük
asal sayı 91 dir
............. 18 sayısının asal çar-
panları 2 ve 3'tür.
............. iki asal sayının çarpımı
asal sayıdır.
............. 27 nin dört tane doğal
sayı böleni vardır.
Bilgi
Bilgi
Bilgi
değildir.
tektir
6 tane
asal
D
Y
D
Y
D
2
13
ANTRENMAN ZAMANI
12 13
Aşağıda verilen doğal sayıların çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulalım.
20’nin çarpanları;..................20’nin asal çarpanları;...................
...............................
...............................
...............................
2 0
18’in çarpanları;...........................18’in asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
...............................
1 8
32’nin çarpanları;...........................32’nin asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
...............................
3 2
50’nin çarpanları;...........................50’nin asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
...............................
5 0
36’nın çarpanları;...........................36’nın asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
...............................
...............................
...............................
3 6
48’in çarpanları;...........................48’in asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
...............................
...............................
...............................
4 8
72’nin çarpanları;...........................72’nin asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
...............................
...............................
...............................
7 2
25’in çarpanları;...........................25’in asal çarpanları;...........................
...............................
...............................
2 5
1.
52’nin farklı asal çarpanlarının toplamını bulalım.
4.
Aşağıda verilen sayıların yanların-daki kutucuklara çarpan ve asal çarpan sayılarının kaç tane oldu-ğunu yazalım.
2.
Çarpan sayısı
Asal çarpan sayısı
80
12
16
42
27
Aşağıda verilen sayılardan 2 farklı asal çarpanı olanları içine ala-lım.
12 21 27 42 50 72
3.
!UNUTMA• 2’den başka çift asal
sayı yoktur.• 1 asal sayı değildir.
ÇARPANLAR VE ASAL ÇARPAN
124
12346
12346
123468
15
123
124
125
1, 2, 4, 5, 10, 20
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
1, 5, 25
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
2 ve 3
5
2 ve 3
2 ve 3
10 2
6 2
5 1
8 3
4
2 + 13 = 15
1
1, 2, 3, 6, 9, 18
1, 2, 4, 8, 16, 32
1, 2, 5, 10, 25, 50
2 ve 5
2
2 ve 3
2 ve 5
20105
36181296
482416128
72362418129
255
1896
32168
502510
SIRA SENDEHADi ÖĞRENELİM
14 15
BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA1 den büyük tam sayıların hepsi asal sayıların (çarpanlarının) çarpımı şeklinde yazılabilirler. Asal çarpanları bulmak için sayıyı tam bölebilen en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemi yapılır.Yapılan bu işleme Asal Çarpanlara Ayırma denir.
İki yöntem ile bir doğal sayı asal çarpanlarına ayırılabilir.
Bölen Listesi Yöntemi (Asal Çarpan Algoritması Yöntemi)3 En küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçe-rek bölme işleminin sonucu 1 oluncaya kadar devam edilir.
Sonuç 1 olun-caya kadar devam ettik.
• 36 = 2.2.3.3 = 22.32
• 36’nın asal çarpanları 2 ve 3’tür
• 40’ın asal çarpanları 2 ve 5’tir
Çarpan Ağacı Yöntemi40
20
10
2
2
2 5
36 218 29 33 31
Örnek:
Örnek Aşağıda verilen sayılardan hangisinin asal çarpan sayısı farklıdır?
A) 80 B) 120 C) 140 D) 180
Çözüm • 80 = 24 . 51
2 tane• 120 = 23 . 31 . 51
3 tane
• 140 = 22 . 51 . 71
3 tane• 180 = 22 . 32 . 51
3 tane
80 240 220 210 25 51
120 260 230 215 35 51
140 270 235 57 71
180 290 245 315 35 51
Aşağıda asal çarpanların çar-pımı şeklinde yazılan sayıları bulunuz.
a) 22 . 33
a) 24 . 31 . 51
b) 33 . 51 . 71
c) 22 . 32 . 52
Çarpan ağacında boş bırakı-lan yerleri doldurunuz.
3
2
35
7
840 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali 2a . 3b . 5c . 7d
ise a + b + c + d yi bulunuz.
Bilgi
Cevap A
108
240
945
900
210
105
5
6
15
ANTRENMAN ZAMANI
14 15
BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA
36
48
54
68
75
Aşağıda verilen sayıları çarpan ağacı yöntemi ile asal çarpanları-na ayıralım.
2. Aşağıda verilen sayıları asal çar-panların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazalım.
4.
180
180= ...................
240
240= ..................
216
216= ...................
Aşağıdaki harflere karşılık gelen sa-yıları bulalım.
5.
192= 2x.3y x=y=
168= 2x.3y.7z x=y=z=
Aşağıda verilen sayıları asal çar-pan algoritması (Bölen listesi) yöntemi ile asal çarpanlarına ayı-ralım.
1.
30 70
120 144
135 300
42 72
200 98
!UNUTMA• Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması) Yönteminde en
küçük asal sayıdan başlıyoruz.
1551
235
60301551
22235
100502551
22255
451551
3335
2171
237
3571
257
723618931
222233
90451551
22335
12060301551
222235
1085427931
222333
4971
277
150752551
22355
3618931
22233
2
2
3 3
9
18
2
3
3 3
9
27
3
5 5
25
2
2
2
2
6
3
12
24
2
2 17
34
22.32.51
24.31.51
23.33
61
311
16 17
KONU KAVRAMA TESTİ 1Aşağıdakilerden hangisi 96 sayı-sının çarpanlarından biri değildir?
A) 2 B) 12C) 18 D) 24
Aşağıdakilerden hangisi 150’nin asal çarpanlarından değildir?
A) 2 B) 3C) 5 D) 7
60’ın çarpanlarından kaç tanesi asaldır?
A) 4 B) 3C) 2 D) 1
İki basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sa-yının toplamı kaçtır?
A) 111 B) 109C) 108 D) 105
180 sayısının kaç tane çarpanı var-dır?
A) 18 B) 16C) 14 D) 12
45 sayısının çarpanları aşağıdaki-lerden hangisinde verilmiştir?
A) 1, 3, 5, 9, 15, 45B) 1, 3, 5, 9, 20, 45C) 1, 3, 6, 8, 15, 45D) 1, 3, 5, 8, 25, 45
1.
6.
7.
8.
2.
3.
4.
5.
180= 2a.3b.5c
Yukarıda verilen eşitliğe görea . b . c çarpımı kaçtır?
A) 8 B) 5C) 4 D) 3
240 2A 260 B30 CD 35 51Yukarıda verilen asal çarpan algo-ritmasına göre A+B+C+D toplamı kaçtır?
A) 141 B) 139C) 135 D) 131
135 sayısının en büyük asal böleni kaçtır?
A) 3 B) 5C) 7 D) 11
9.
16 17
10.
11.
12.
Aşağıda verilen sayılardan hangi-sinin asal çarpan sayısı diğerlerin-den daha fazladır?
A) 108 B) 180C) 630 D) 960
Aşağıda asal çarpanlarına ayrılmış biçimi verilen sayılardan hangisi-nin işlemi yanlış yapılmıştır?
A) 80= 24.5B) 140= 22.5.7C) 200= 23.52
D) 220= 21.51.111
2.32.52 şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış sayı aşağıdakilerden han-gisidir?
A) 450 B) 360C) 280 D) 240
A 2B 2C 3D 3E 3F 51Bölen Listesi Yöntemi ile asal çar-panlarına ayrılmış olan A sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 620 B) 540C) 460 D) 420
2 A
150
3 B
5 CYukarıda verilen çarpan ağacına göre A+B+C toplamı kaçtır?
A) 125 B) 115C) 105 D) 95
1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21Yukarıda verilen sayılardan kaç ta-nesi asal sayıdır?
A) 11 B) 10C) 9 D) 8
80’in kaç tane doğal sayı çapanı vardır?
A) 10 B) 9C) 8 D) 7
Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpan sayısı en azdır?
A) 120 B) 500C) 720 D) 1024
42 nin 120 den büyük 400 den kü-çük kaç tane tam katı vardır?
A) 7 B) 6C) 5 D) 4
13.
14.
18.
17.
15.
16.
Nasıl Hissediyorsun?
MükemmelİyiyimDaha iyi olmalıyımİyi olacağım
SIRA SENDEHADi ÖĞRENELİM
18 19
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) ve PROBLEMLERİİki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyük olanına o sa-yının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir.
Kısaca EBOB (A, B) veya A,B ebob^ h şeklinde gösterilir.
Örnek 12 ve 16 sayılarının EBOB'unu bulalım.
I. Yöntem12’nin bölenleri Ü 1, 2, 3, 4, 6, 1216’nın bölenleri Ü 1, 2, 4, 8, 16
12 ve 16’nın ortak bölenleri: 1, 2, 4’tür.En büyük ortak böleni: 4’tür.
II. Yöntem12 16 2*6 8 2*3 4 23 2 23 1 31
Sadece hem 12 hem de 16’yı birlikte bölen sayılar işaretlenip çarpılır.
EBOB (12, 16)= 2.2= 4’tür.
Büyük parçalar parçalanarak küçük parçalar elde ediliyorsa, parçala-ma varsa yani büyükten küçüğe doğru gidiliyorsa çoğunlukla EBOB kullanılır.
Bilgi
Bilgi
36 metre ve 48 metre uzunluğundaki iki farklı kumaş parçası eş parçalara ayrılmak isteniyor.Buna göre parçalar en çok kaç metre olur?A) 3 B) 6 C) 8 D) 12
361899931
482412631
2 32 3223 33
EBOB (36, 48) = 12 olduğun-dan
Cevap D
Örnek Çözüm
Bidonlardaki ürünlerin kavanozlara bölünmesinde,
Dikdörtgenin eş karelere bölün-mesinde,
Bir tarlanın etrafına eşit aralık-larla ağaç dikilmesinde,
zeytinyağı ayçiçek yağı
Kumaşların ve çubukların eş parçalara bölünmesinde,
Aşağıda verilen bilgileri Doğ-ru - Yanlış olarak işaretleyi-niz.
....... 24 ve 36 sayılarının EBOB'u 12'ye eşittir.
.......EBOB(30,45) = 5 tir.
....... 36 ve 48 sayılarının 4 tane ortak böleni vardır.
....... 25 ile 12 sayılarının EBOB'u 1 dir.
EBOB (36, x) = 12 ise 100'den küçük olan x değerini bulunuz.
18, 24, 36 sayılarının EBOB'unu bulunuz.
Genellikle EBOB kullanılır.
D
Y
Y
D
18 24 36 2*9 12 18 29 6 9 29 3 9 3*3 1 3 31 1
EBOB(18, 24, 36) = 6
12, 24, 48, 60, 84, 96
19
ANTRENMAN ZAMANI
18 19
Aşağıda verilen sayıların en büyük ortak bölenlerini (EBOB) bulalım.
8 12
16 24
30 45
60 80
25 30
36 48
60 72
120 100
20 30 50
40 30 50
1. Aşağıda A ve B sayılarının asal çarpanlar algoritması (ortak bölen listesi) ile asal çarpanları bulun-muştur.
Buna göre, A ve B sayılarının EBOB’unu bulalım.
2.
A B 2C D 2E D 2F D 3G H 3G K 3G 1 51
EBOB (A, B)=
A B 2A C 2A D 3E F 3G H 5K L 5M 1 71
EBOB (A, B)=
A B 2C D 2E F 3G F 3H F 5K L 51 L 7 1
EBOB (A, B)=
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) ve PROBLEMLERİ
!UNUTMA • Birbirinin katı olan iki doğal sayının EBOB'u bu sayılardan küçük
olanına eşittir.
24 6 22 3 21 3 3 1
218 24 29 12 29 6 29 3 33 1 31
230 36 215 18 215 9 35 3 35 1 51
210 15 25 25 15 25 35 5 25 51 1 5 5 1
220 15 25 210 15 25 25 15 25 35 5 25 51 1 5 5 1
260 50 230 25 215 25 35 25 51 5 5 1
28 12 24 6 22 3 21 3 3 1
215 45 35 15 35 5 51 1
230 40 215 20 215 10 215 5 35 5 51 1
225 15 325 5 55 1 51
EBOB(8, 12) = 4EBOB(36, 48) = 12
EBOB(60, 72) = 12
EBOB(10, 15, 25) = 10
EBOB(40, 30, 50) = 10
EBOB(120, 100) = 20
EBOB(16, 24) = 8
EBOB(30, 45) = 15
EBOB(60, 80) = 20
EBOB(25, 30) = 5
6
225
20
20 21
Eni 16 m, boyu 20 m olan bir bah-çenin etrafına köşelere de dikil-mek şartıyla eşit aralıklarla çiçek dikilecektir. Buna göre, iki çiçek arası mesafe en fazla kaç metre olabilir, bulalım.
5.
Eni 8 m, boyu 12 m olan dikdört-gen şeklindeki bir salonun tabanı eş kare fayanslar ile kaplanacaktır. Fayanslar hiç parçalanmadan ya-pılacak bu iş için kare fayansların bir kenarının uzunluğu en fazla kaç metre olabilir, bulalım.
6.
18 litre zeytinyağı ile 15 litre ayçi-çek yağı birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit ha-cimli şişelere doldurulacak. Bu iş için gerekli şişe sayısının en az kaç olduğunu bulalım.
Eni 30 m, boyu 36 m olan dikdört-gen şeklindeki bir bahçenin etra-fına köşelere de dikilmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaç gerek-lidir, bulalım.
32 m ve 48 m uzunluğundaki iki demir çubuk eş parçalara ayrıla-caktır. Buna göre, en az kaç parça elde edilir, bulalım.
Boyu 42 cm, eni 28 cm olan bir karton eş karelere bölünecektir. Buna göre en az kaç kare elde edi-lir, bulalım.
Kenar uzunlukları 27 m, 54 m ve 36 m olan üçgen şeklindeki bir arsa-nın etrafına köşelerine de dikilmek şartıyla eşit aralıklarla direkler di-kilecektir. Direkler arası mesafe-nin en çok olması istendiğine göre en az kaç direk gereklidir, bulalım.
54 ve 79 sayılarını böldüğünde 4 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır, bulalım.
7. 10.
11.
12.
8.
9.
EBOB (12, 24) + EBOB (50, 25) işle-minin sonucunu bulalım.
3.
EBOB (100, 200) EBOB (10, 20)
4. işleminin sonu-cunu bulalım.
EBOB(12, 24) = 12EBOB(50, 25) = 2525 + 12 = 37
EBOB(100, 200) = 100EBOB(10, 20) = 10
EBOB(16, 20) = 4 metre
EBOB(8, 12) = 4 metre
2036 m
1630 m
= 1010010
= = 22 taneÇevreEBOB(30, 36)
ÇevreEBOB(27, 54, 36)
1326
= = 131179
EBOB(18, 15) = 318 : 3 = 615 : 3 = 55 + 6 = 11 tane
EBOB(42, 28) = 14
EBOB(27, 54, 36) = 9
54 – 4 = 5079 – 4 = 75EBOB(50, 75) = 25
EBOB(30, 36) = 6iki ağaç arasındaki mesafe
EBOB(32, 48) = 1632 : 16 = 248 : 16 = 32 + 3 = 5 tane
Kare sayısı =
=
= 3 . 2 = 6
AlanEBOB(42, 28)
42 . 2814 . 14
20 21
30 metre uzunluğunda bir kumaş ile 40 metre uzunluğundaki başka bir kumaş eş parçalara ayrılacak-tır. Buna göre, parçalardan birinin uzunluğu en fazla kaç metre olabi-lir, bulalım.
19.
24 kg bulgur ve 30 kg pirinç birbi-rine karıştırılmadan ve hiç artma-yacak şekilde eş torbalara konu-lacaktır. Buna göre, torbalardan birinin kütlesi en fazla kaç kg ola-bilir, bulalım.
20.
18x
, 54x
, 27x
kesirlerini doğal sayı
yapan x’in en büyük değeri kaçtır,
bulalım.
12 m, 8 m ve 24 m uzunluğundaki üç farklı kumaş eşit ve en büyük parçalara ayrılacaktır.Buna göre, toplam kaç parça ku-maş elde edilir, bulalım.
A = 23.32.52
B = 22.31.51.72
Yukarıda üslü biçimde ifade edilen A ve B sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
13.
17.
16.
18.
14.
15.
Bir turist kafilesinde 25 Alman, 40 Rus turist vardır. Aynı milletten olan turistler aynı ve eşit kapasite-li odalarda kalacaklardır.Buna göre, bu kafileyi konuk et-mek için en az kaç odaya ihtiyaç vardır, bulalım.
60 ve 80 sayılarını tam bölebilen en büyük doğal sayı kaçtır, bula-lım.
40 ve n sayısının en büyük ortak böleni 8 olduğuna göre en büyük iki basamaklı n sayısını bulalım. !UNUTMA
UNUTMA!• Birbirinin katı olan iki
doğal sayının EBOB’u bu sayılardan küçük olanına
eşittir.
Oda sayısı =
= 5 + 8
= 13
+255
405
EBOB(18, 54, 27) = 9x = 9
EBOB(25, 40) = 5Odada kalacak kişi sayısı
EBOB(60, 80) = 20
EBOB(30, 40) = 10
EBOB(24, 30) = 6
96
EBOB(12, 8, 24) = 4
EBOB(A, B) = 22.31.51
12 : 4 = 38 : 4 = 224 : 4 = 6Toplam 11 tane
22 23
KONU KAVRAMA TESTİ 232 ve 48 sayılarının en büyük or-tak böleni kaçtır?
A) 12 B) 16C) 18 D) 32
27 ve 45 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?
A) 3 B) 6C) 9 D) 15
İki sayının EBOB’u 12’dir. Buna göre, bu sayılardan biri aşağıdaki-lerden hangisi olamaz?
A) 24 B) 36C) 64 D) 72
85 ve 53 sayılarını en büyük hangi sayı ile bölersek kalan hep 5 olur?
A) 24 B) 16C) 12 D) 8
120 ve 150 sayılarını bölen en bü-yük doğal sayı kaçtır?
A) 30 B) 25C) 20 D) 15
EBOB (42, 14) + EBOB (25, 50) işle-minin sonucu kaçtır?
A) 20 B) 25C) 35 D) 39
1.
6.
7.
8.
9.
2.
3.
4.
5.
I. EBOB (8, 12)=4II. EBOB (16, 24)=8III. EBOB (21, 49)= 14IV. EBOB (25, 26)=1Yukarıda verilen ifadelerin kaç ta-nesinde sayıların EBOB’u doğru bulunmuştur?
A) 4 B) 3C) 2 D) 1
A B 2C D 2E F 3G H 3G K 5L M 5N 1 71
Yukarıda A ve B sayılarının asal çarpan logaritması verilmiştir.Buna göre,EBOB (A, B) kaçtır?
A) 300 B) 150C) 60 D) 30
120 ve 216 sayılarını kalansız bö-lebilen en büyük doğal sayı kaçtır?
A) 12 B) 16C) 22 D) 24
22 23
56 kg ceviz ve 98 kg fındık birbi-rine karıştırılmadan ve hiç artma-yacak şekilde eşit kütleli torbalara doldurulacaktır.Buna göre, torbalardan birinin küt-lesi en fazla kaç kg’lık olabilir?
A) 11 B) 13C) 14 D) 18
80 kg acı biber ile 112 kg tatlı biber birbirine karıştırılmadan eşit küt-leli çuvallara konulacaktır.Buna göre, en az kaç çuval gerek-lidir?
A) 12 B) 14C) 16 D) 18
30 m ve 42 m uzunluğundaki iki çubuk eşit parçalara ayrılacaktır.Buna göre, en az kaç çubuk elde edilir?
A) 6 B) 8C) 10 D) 12
Kenar uzunlukları 84 m ve 144 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tar-lanın etrafına mümkün olan en ge-niş aralıkla köşelere de dikilmek şartıyla ağaç dikilecektir.Bu iş için en az kaç ağaç gerekli-dir?
A) 38 B) 32C) 24 D) 12
Boyutları 88 cm ve 121 cm olan bir karton eşit alanlı karelere bölüne-cektir.Buna göre, en az kaç kare elde edi-lir?
A) 11 B) 44C) 66 D) 88
75A
, 135A
kesirlerini doğal sayı ya-pan en büyük A doğal sayısı kaç-tır?
A) 5 B) 12C) 15 D) 25
90 kg fındık ile 54 kg fıstık, bir-birine karıştırılmadan ve hiç art-mayacak şekilde en büyük ve eşit hacimli paketlere konulacaktır. Fındığın bir poşeti 125 TL’den, fıs-tığın bir poşeti ise 75 TL’den satı-lacağına göre, tüm ürün satıldığın-da en az kaç TL gelir elde edilir?
A) 900 B) 850C) 800 D) 725
K = 25. 33. 51
L = 24. 31
olduğuna göre K ve L sayılarının EBOB'u kaçtır?
A) 24 . 31 . 51 B) 33. 51
C) 24. 31 D) 23. 33. 51
32 ile K sayısının en büyük ortak böleni 16 olduğuna göre K sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 16 B) 48C) 64 D) 80
14.
16.
17.
18.
10.
11.
13.
12.15. Nasıl Hissediyorsun?
MükemmelİyiyimDaha iyi olmalıyımİyi olacağım
SIRA SENDEHADi ÖĞRENELİM
24 25
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) ve PROBLEMLERİİki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük olanına en küçük ortak kat (EKOK) denir.
A ve B nin EKOK'u EKOK (A, B) ve A,B ekok^ h şeklinde gösterilir.
8 ve 12'nin en küçük ortak katını bulalım.
I. Yöntem8’in katları Ü 8, 16, 24, 32, 40, 48...12’nin katları Ü 12, 24, 36, 48...
8 ve 12’nin ortak katları: 24, 48...En küçük ortak katı: 24’tür.
II. Yöntem8 12 24 6 22 3 21 3 3 1
Bölen listesindeki asal sayıların tamamı çarpılır.
EKOK (8, 12)= 2.2.2.3=23.3=24’tür.Parçalardan bütün oluşturuluyorsa, birleştirme varsa yani küçükten büyüğe gidiliyorsa genellikle EKOK kullanılır.
Küçük grup ceviz, bilye sayılıp bü-tüne gidiliyorsa,
Belli turlarla hareket eden araçların tekrar aynı anda hareketleri soruluyorsa,
Belli aralıklarla nöbet tutanların tekrar aynı anda nöbet tutacakları zaman soru-luyorsa,
Küçük tuğlalar, kağıtlar birleşti-rilip daha büyük yapılar oluştu-ruluyorsa,
Genellikle EKOK kullanılır.
Bilgi
Bilgi
Örnek Çözüm
421
5551
225
(4, 5) ekok = 20Her defasında 2 bilye artıyor-sa 20 + 2 = 22
Aydın bilyelerini dörder dörder ve beşer beşer grupladığında her de-fasında 2 bilyesi artıyor. Buna göre Aydın'ın en az kaç bilye-si vardır?
Aşağıda verilen bilgileri Doğru - Yanlış olarak işaretleyiniz.
....... 24 ve 36 sayılarının EKOK'u 72 dir.
.......EKOK (30, 45)= 180 dir.
....... 36 ve 48 sayılarının 300 den küçük ortak katı yoktur.
....... 25 ile 12 sayılarının EKOK'u 25x12 dir.
18, 24, 36 sayılarının EKOK'u-nu bulunuz.
12 ile 20 sayılarının
En Küçük Ortak Katı
Üç basamaklı en küçük ortak katı
Üç basamaklı en büyük ortak katı kaçtır?
D
Y
Y
D
EKOK(18, 24, 36) = 72
EKOK(12, 20) = 60
120
960