Universida VigodeDepartamento deEstatstica e IO Estatstica. Curso 2012-2013 1

Boletn 2. Probabilidad

Ejercicio 1 De cuantas maneras se pueden escoger tres cartas una a una, de una baraja de 52 cartas, a) conreposicion, b) sin reposicion?. Rtdos: a) 140608; b) 132600

Ejercicio 2 a) Determinar el numero de subconjuntos de tamanos 1, 2, 3 y 4 de un conjunto de 4 elementos.b) Repetir el punto anterior para un conjunto de 10 elementos. c) Determinar el numero de subconjuntos deun conjunto de n elementos y aplicar el resultado al conjunto {a, b, c, d}. Rtdos: a) 4, 6, 4 y 1; b) 10, 45, 120y 210; c) 2n y 16

Ejercicio 3 Sean A, B, C, tres sucesos cualesquiera. Formar los siguientes sucesos: a) no ocurre A, b) ocurreA u ocurre B, c) ocurren A y B, d) ocurren A y B, pero no C. e) ocurre al menos uno de los tres, f) ocurren almenos dos, g) no ocurre ninguno, h) ocurre uno solo de los tres. Determinar la relacion entre los sucesos A y Bsi siempre que ocurre A, ocurre B.

Ejercicio 4 Sean A,B, y C tres sucesos tales que P (A) = 0.4, P (B) = 0.2, P (C) = 0.3, P (A B) = 0.1y (A B) C = . Apoyandose en un diagrama de Venn de los sucesos, calcular las probabilidades de lossiguientes sucesos: a) solamente ocurre A, b) los tres sucesos ocurren, c) ocurren A y B, pero no C, d) ocurrendos y no mas, e) por lo menos dos ocurren, f) no ocurren mas de dos, g) Ocurre por lo menos uno, h) Ocurresolo uno, i) No ocurre ninguno. Rtdos: a) 0.3; b) 0; c) 0.1; d) 0.1; e) 0.1; f) 1; g) 0.8; h) 0.7; i) 0.2

Ejercicio 5 Sea espacio muestral y dos sucesos A,B, tales que P (A) = 14 , P (B) =25 y P (A B) = 320 . a)

Averiguar si A B = . b) Calcular: P (A B), P (A B), P (A4 B), P (A4 B). Rtdos: a) no; b) 0.1, 0.75,0.35, 0.65

Ejercicio 6 Cual es la probabilidad de que un mecanismo no presente avera alguna en un perodo de tresanos si la probabilidad de que en un ano se avere es 0.20? (se supone independencia en los anos: p. ej. si elmecanismo se avera es reparado perfectamente). Rtdo: 0.512

Ejercicio 7 Si el nacimiento en cualquier da del ano (no bisiesto) constituye un conjunto equiprobable desucesos, a) cual es la probabilidad de que entre 5 personas no haya coincidencias en el da del cumpleanos?; b)realizar un grafico en Excel de la curva que relaciona el numero de personas (desde 1 a 50) y la probabilidad deque dos o mas personas cumplan anos el mismo da del ano. Rtdo: a) 0.9729

Ejercicio 8 Un test detecta la presencia de un error milimetrico en una maquina con probabilidad 0.9 en casode tenerlo. Si no hay error el test detecta la ausencia con probabilidad 0.8. Sabiendo que la probabilidad deque una maquina tenga error es 0.2. Calcula las siguientes probabilidades: a) La maquina tenga error cuando eltest ha dado positivo. b) La maquina tenga error cuando el test ha dado negativo. c) La maquina tenga errory el test sea positivo. d) La maquina tenga error o el test sea positivo. Rtdos: a) 0.5294; b) 0.0303; c) 0.36

Ejercicio 9 Un sistema se compone de tres componentes a, b y c, y se sabe que: 1) si a falla, entonces fallab, 2) si b falla, nunca falla c y 3) el sistema falla cuando falla alguno de sus componentes. Si las probabilidadesde fallo de a, b y c son 2%, 5% y 3% respectivamente, determinar: a) la probabilidad de que falle el sistema,representando graficamente los sucesos involucrados, b) la probabilidad de que falle el sistema si se consigueque no falle a. Rtdos: a) 0.08; b) 0.0612

Ejercicio 10 Una fabrica de neumaticos tiene tres lneas de produccion A, B, C. Cada una de estas lneasproduce el 20, 30 y 50 por 100 de la produccion total de un da. Se conoce, por experiencia de diversasinspecciones que el porcentaje de neumaticos defectuosos fabricados por cada una de las tres lneas es del 2,1.5 y 1 por 100. Si se elige un neumatico al azar, a) calcular la probabilidad de que sea defectuoso; b) si elneumatico elegido es defectuoso, en que lnea se habra producido con mayor probabilidad; c) si el neumaticoelegido no es defectuoso, calcular la probabilidad de que haya sido fabricado por una de las dos primeras lneas.Rtdos: a) 0.0135; b) lnea C (0.3704); c) 0.4982

Ejercicio 11 Un sistema se compone de tres componentes a, b y c, y se sabe que: 1) Una de cada cincoveces que falla a, falla tambien b; 2) Dos de cada tres veces que falla c, falla tambien a; 3) Si fallan a y bsimultaneamente, entonces tambien falla c; 4) La probabilidad de que fallen los tres componentes a la vez es 0.1.Por ultimo, el sistema falla si falla a y alguno de los otros dos componentes. Se pide determinar representando

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graficamente los sucesos: a) la probabilidad de que falle a cuando falla c y de que falle b cuando falla a; b)la probabilidad de que falle a, c) probabilidad de que el sistema falle si la probabilidad de que falle c es 0.25.Rtdos: a) 0.6667 y 0.2; b) 0.5; c) 0.1667

Ejercicio 12 Las posibles causas de avera en un ordenador son el procesador, el disco duro o la fuente dealimentacion. Cuando se avera la fuente de alimentacion el procesador siempre se avera y el disco duro lo hacecon probabilidad 0.5. Si se averan simultaneamente el procesador y el disco, entonces siempre falla la fuentede alimentacion. Si la probabilidad de que se avere el procesador es 0.1, la de que se avere el disco es 0.2 y laprobabilidad de que se avere el procesador pero no la fuente de alimentacion es 0.04, determinar representandograficamente los sucesos: a) la probabilidad de que se avere el disco duro cuando no se avera la fuente dealimentacion, b) la probabilidad de que se avere el ordenador. Rtdos: a) 0.181; b) 0.27

Ejercicio 13 En una fabrica de componentes electronicas, cuando el proceso de fabricacion esta bajo controlse producen el 1% de unidades defectuosas. Por otra parte, si el proceso de fabricacion se encuentra fuera decontrol, entonces se producen un 5% de unidades defectuosas. Por experiencia se sabe que el 95% de las veces elproceso esta bajo control. a) Si se escoge una unidad y es defectuosa, cual es la probabilidad de que el procesoeste bajo control? b) Se han escogido 10 unidades y una de ellas es defectuosa. Suponiendo que el proceso defabricacion no tuvo un cambio de estado (control/no control) durante la fabricacion de estas 10 piezas, cual esla probabilidad de que el proceso este bajo control? Rtdos: a) 0.7916; b) 0.8463

Ejercicio 14 La probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1; si este se produce, la probabilidad de queuna alarma funcione es 0.95; ademas, la probabilidad de que funcione la alarma cuando no hay peligro es 0.03.

1. Con esta informacion, calcular ayudandose de Excel todas las posibles probabilidades condicionadas quese pueden plantear con los sucesos Peligro (D) y Alarma (A) y sus complementarios, entendiendo sussignificados. Para ello, utilizar formulas relativas a celdas y disponer los resultados en una tabla colocandoa la derecha los sucesos complementarios de los de la izquierda:

Probabilidad Valor Probabilidad Valor

P (A) P (A)P (D) P (D)P (A|D) etc.

......

2. Comparar los valores de P (A|D) y P (D|A) (entendiendo su significado) cuando la probabilidad de peligroes 0.01, 0.05, 0.5, 0.9 y 1.0.

Ejercicio 15 Simulacion de un Sistema. Un sistema se compone de cinco componentes A,B,C,D y Edispuestos como se indica en el siguiente grafico. El sistema funciona si una senal que entra al sistema (por laizquierda) llega al final del mismo (derecha). Los componentes mencionados funcionan de manera independienteentre s, con las probabilidades que se indican:

P(A)=0.9

P(B)=0.8

P(C)=0.8

P(D)=0.9

P(E)=0.95

1. Calcular las siguientes probabilidades:

(a) Probabilidad de que al menos uno de los componentes A y B funcione.

(b) Probabilidad de que el sistema funcione.

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(c) Probabilidad de que funcione el sistema sabiendo que C funciona.

2. Antes de continuar, en la ficha Formulas de Excel poner Opciones para el Calculo en modo Manual. Cadavez que queramos realizar los calculos pulsaremos F9.

Ahora vamos a simular el funcionamiento del sistema de la siguiente forma:

(a) En una fila de ttulos escribir en distintas celdas los nombres de los diferentes componentes: A,B,C,Dy E. (Cada columna simulara el comportamiento de cada componente de la siguiente manera: un 1indicara que el componente funciona y un 0 indicara lo contrario).

(b) La funcion ALEATORIO de Excel devuelve un numero al azar entre 0 y 1. Utilizando esta funciony la funcion SI, generar para cada componente del sistema 100 numeros (0 o 1) de acuerdo conlas probabilidades de funcionamiento de cada componente, y disponiendo los numeros en columnadebajo del ttulo correspondiente.

(c) En nuevas columnas contiguas a las anteriores con ttulos A o B, A o B y C y sistema simularel funcionamiento de dichas partes del sistema apoyandose en las simulaciones del punto anterior.Utilizar para ello las funciones logicas de Excel.

Por ejemplo, A o B debera tomar valor 0 si A y B toman simultaneamente valor 0, y 1 en casocontrario.

3. Calcular las frecuencias relativas de funcionamiento de A o B, del sistema y del sistema cuando Cfunciona, comparandolas con las probabilidades calculadas en el apartado (1) de este ejercicio.