Bohrov model atoma

Linijski spektri

• Daćemo malo detaljniji opis linijskih spektara jer ih je Borov model atoma uspio objasniti (za atom hidrogena)

• Užarena čvrsta tijela, tekućine i gasovi pri visokom pritisku i temperaturi emitiraju svjetlost s kontinuiranim valnim duljinama

• Razrjeñeni plinovi (pri nešto nižem pritisku od atmosferskog) i pare metala, ako su na odreñeni način potaknuti (npr. prolaskom struje kroz njih) emitiraju diskretni - linijski spektar

• U cijevi za električno pražnjenje, spektar živine pare (koji smo vidjeli) zbog prisustva intenzivnih linija plave (436 nm) i zelene (546 nm) daje čitavom pražnjenju karakterističan plavo-zeleni sjaj.

• Jaka crvena linija (u spektru neona) je karakteristična za taj gas

Linijski spektri

• Dobivaju se tako što se iz gasnog pražnjenja pomoću procjepa usmjeri snop svjetlosti na prizmu koja vrši razlaganje pa se na zaklonu vide linije koje odgovaraju odreñenim talasnim dužinama.

Ovo je emisioni spektar

Linijski spektri

• Drugi način dobivanja spektra

Apsorpcioni spektar nastaje kad kad se snop bijele svjetlosti propustikroz gas ili paru , a onda pomoću procjepa usmjeri na prizmu. Izvor bijele svjetlosti daje kontinuiran spektar čiji jedan dio prolaskom kroz gas ili paru biva apsorbovantako da se pri izlasku iz prizme pojavljuju tamne linije na mjestima apsorbovanih frekvencija (valnih dužina)

Vrste spektara

kontinuirani

emisioni

apsorpcioni

Vidimo da su tamne linije u apsorpcionom spektru na istom mjestu gdjesu svijetle linije u emisionom spektru za isti element

Linijski spektri

• Svjetlost koju zrači svaki element kad se nañe u gasovitom stanju razložena pomoću prizme (spektrografa) pokazuje svoju sopstvenu, samo tom elementu svojstvenu, raspodjelu frekvencija tj. svoj spektar. To znači da je na osnovu spektra moguće izvršiti identifikaciju (kao otisak prsta).

• Dio fizike koji istražuje apsorpciju ili emisiju EM zračenja zove se spektroskopija.

• Ta mjerna tehnika je veoma zastupljena jer se frekvencija (talasna dužina) može mjeriti sa tačnošću od milijarditog dijela osnovne jedinice

Osnove praktične spektralne analize postavio je Kirhof 1859. godine. U godinama nakon toga urañeni su mnogi eksperimenti i prikupljeno mnoštvo podataka o linijskim spektrima raznih elemenata. Stvorene su čitave „banke podataka“ za razne elemente.

Tako je i helijum prvo otkriven pomoću spektralne analize sunčeve svjetlosti prije nego je izolovan na Zemlji.

Linijski spektri

• Tražila se veza izmeñu atomskih spektara dobijenih iz usijanih gasova i para i moguće strukture atoma jer po klasičnoj elektrodinamici atomi emituju svjetlost, tj. imaju svojstvo električnih oscilatora koji zrače energiju u obliku EM valova

• Prikupljen je veliki broj podataka o linijskim spektrima

• Uočeno je da se linije u linijskim spektrima rasporeñuju u odreñenegrupe. Takve linije su nazvane spektralne serije ili nizovi.

• Kako utvrditi odnose izmeñu linija pojedinih spektralnih grupa i da li se pomoću njih može odrediti valna dužina svjetlosti koja tim linijama odgovara?

Balmerova serija• Prvi je švajcarski fizičar Balmer 1885. godine otkrio da se vodikov spektar

može prikazati jednostavnom matematičkom formulom. Njemu su bile poznate četiri vidljive vodikove linije sa njihovim valnim dužinama.

2 210

2 2 2 23645,6 10

2

m mb m

m n mλ −= = ⋅

− −

7 12 2 2 2

1 4 1 1 1 11,097 10

2 2m

b m mλ− = − = ⋅ −

λ : talasna dužina, b: konstanta (364.56 nm), n = 2 i

m : cijeli broj takav da je (m > n)=3,4,5,...

410.26

434.05

486.14

656.33

λ (nm)m

H-α

Primjer

Naći najveću valnu dužinu u Balmerovoj seriji atoma vodika koja odgovara Hα liniji.

U Balmerovoj seriji cijeli broj n=2, a m=3,4,5,,,,,,Za m=3 dobivamo

7 1 6 12 2 2 2

76 1

1 4 1 1 1 11,097 10 1,525 10

2 2 3

16,56 10 656

1,525 10

m mb m

m nmm

λ

λ

− −

−−

= − = ⋅ − = ⋅

= = ⋅ =⋅

Ova linija je blizu kraja crvenog dijela vidljivog spektra

Uskoro su otkrivene i druge serije linija izvan vidljivog dijela spektra

Njihove talasne dužine se izračunavaju po slijedećim formulama:

Lymanova serija:

Balmerova serija:

Paschenova serija:

Brackettova serija:

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 1, 2, 3, 4

1

1 1 1, 3, 4 , 5

2

1 1 1, 4, 5, 6

3

1 1 1, 5, 6 , 7

4

R mm

R mm

R mm

R mm

λ

λ

λ

λ

= − =

= − =

= − =

= − =

…

…

…

…

2 2

1 1 1R

n mλ = −

Sve se ove formule mogu objediniti u jednu u kojoj će broj n

imati vrijednosti 1, 2, 3, ... za razne serije, a m uzimati cijele

brojeve veće od n.n=1,2,3,...m=n+1,n+2,...

Rydberg’ova Formula

Johannes R. Rydberg je generalizirao Balmer’ovu formulu 1888.g.:

Rydberg’ova formula za vodonik :

Rydberg’ova formula za druge elemente slične vodiku ( He+, Li 2+, Be3+) :

* http://www.wikipedia.org/

( )H2 2 2 2

1 4 1 1 1 1 , 3,4,5,R n m n

b n m n mλ = − = − < =

…

RH : Rydberg’ova konstanta (10973731.57 m−1)

( )2H 2 2

vac

1 1 1 R Z n m

n mλ = − <

λvac : talasna dužina svjetlosi koja se emituje,

Z : atomski broj, m i n : cijeli brojevi

Serije vodikovog spektra (eksperimentalno)

Serija Područje

zračenja Valni broj

ν~ m

Lymanova UV 2 2

1 1

1HRm

−

2,3,4,…

Balmerova Vidljivo 2 2

1 1

2HRm

−

3,4,5,…

Paschenova IR 2 2

1 1

3HRm

−

4,5,6,…

Bracketova IR 2 2

1 1

4HRm

−

5,6,7,…

Pfundova IR 2 2

1 1

5HRm

−

6,7,8,…

…. …. …. …. Radiovalovi 2 2

1 1

166HRm

−

167,168,…

Serije vodikovog spektra(opšta formula)

n odreñuje seriju (n=1 – Lymanova serija; n=2 , Balmerova serija, etc.)

2 2

1 1HR

n mλ = ⋅ −

1, 2, 3,m n n n= + + + …

Linijski spektri

• Ustanovljeno je da atomi emituju iste one frekvencije koje i apsorbuju- vrijedi za vodik i za sve druge atome

• Postojanje pravilnosti u spektrima gasova u kojoj se pojavljuju cijeli brojevi ukazivalo je na izvjesne diskretne osobine atoma kroz šta se može naslutiti kvantiziranost nekih osobina atoma

Borovi model atomaRutherfordov planeterni model atomaNedostaci modela:

• 1. linijski spektri: atom emitira samo odreñene diskretne karakteristične frekvencije elektromegnetskog zračenja

• 2. stabilnost atoma:zakoni klasične elektrodinamike:

Elektron bi zbog ubrzanja (promjene vektora brzine na kružnoj putanji) trebao emitirati EM valove s frekvencijom koju ima elektron kao kružnu frekvenciju na putanji oko jezgre.

Zbog emisije elektromagnetskog zračenja energija elektrona bi se trebala smanjivati, te bi elektron trebao smanjiti radijus putanje i na kraju pasti najezgru. To se ne dogaña u prirodi! Zaključujemo: Na atom se ne mogu primijeniti zakoni klasične fizike.

Borov model atoma

N. Bohr – Poznavao eksperimentalne rezultate o linijskim spektrima, fotoelektričnom efektu, raspršenju elektrona i alfa čestica na metalnim

folijama, i dr., te ideju kvanta energije i fotona svjetlosti, kao i poteškoće u njihovoj interpretaciji.

Proveo nekoliko mjeseci u Rutherfordovoj laboratoriji 1912. godine.

Radeći tu Bohr se uvjerio da Rutherford-ov model ima osnovu da bude opšte-prihvaćen. Samo je trebalo na neki način prevazići manjkavosti koje je stvarala klasična teorija elektromagnetizma kada se primjenjivala u kontekstu ovog modela.

Bohrovi postulati• Zato Bor uvodi neka pravila suprotna zakonima klasične fizike.

•Od Radeforda preuzima da se elektron u atomu vodonika kreće po kružnoj putanji jednoliko pod

uticajem Kulonove privlačne sile izmeñu jezgra naboja

+e i elektrona, čiji je naboj –e

Sam dodaje dva postulata

Borovi postulati

Prvi Borov postulat (govori o kvantiziranju staza)Elektron ne može kružiti oko jezgre po bilo kojim već samo pod tačno

odreñenim kvanitziranim stanjima (orbitama). To su tzv. dopuštene ili stacionarne staze. Krećući se po njima elektron se nalazi u stacionarnom

stanju i ne emituje energiju. Za te orbite važi da je moment količine

kretanja jednak cijelom broju konstante h/2π, tj. dozvoljene su samo one putanje za koje je

mvr = n x h/2π=n , n=1,2,3,...

Drugi Borov postulatKada se elektron nalazi na nekoj od ovih putanja, on ne emituje energiju. On

emituje (apsorbuje) energiju kada preskače sa jedne orbite na drugu

ℏ

ℏ

Emisija i apsorbcija fotonaAko se elektronu dovede energija, može doći do apsorpcije kvanta

energije i elektron prelazi u više, pobuñeno energijsko stanje ili na dalju kvantiziranu stazu (s obzirom na jezgru).

Pri spontanom povratku u niže energijsko stanje elektron odašilje kvant energije elektromagnetskog zračenja hν ili foton; energija je fotona jednaka razlici energija dviju staza, ili dviju energijskih nivoa, tj.

m, n = cijeli brojevi; označavaju redni broj kvantne staze.m > n => Emisija kvanta energije hν =Em-En

m < n => Apsorpcija kvanta energije hν =Em-En

Frekvencija emitiranog svijetla iz atoma odreñena je razlikom energetskih nivoa pripadnog "skoka" elektrona; emitirane

frekvencije imaju diskretan spektar

Bohr-ov model: emisija i apsorpcija kvantaelektro-magnetnog zračenja

• Preskakanje elektrona sa jedne putanje na drugu je praćeno apsorpcijom ili emeisijom kvanta elektro-magnetnog zračenja zavisno od toga sa koje na koju

orbitu u atomu elektron preskače

• Primjena Bohrovih postulata: Opravdanje za diskretnu strukturu atomskih linijskih spektara. Mogu se izračunati frekvencije ili valne dužine pojedinih serija za atom vodika

Linijski spektri i Bohr’ov model atoma

1913. Niels Bohr je rekao: “Čim sam vidio Balmerovu formulu, sve mi je bilo jasno”

* http://www.bigs.de/en/shop/htm/termsch01.html

Lyman’ova serija(1906)

Ultra violetna

Balmer’ova serija(1885)

Vidljiva serija

Brackett’ova ser(1922)

Bliska infracrv.

Paschen’ova serija(1908)

Infracrvena

Pfund’ova serija(1924)

Daleka infracrvena

Humphrey’eva serija(1953)

Daleka infracrvena

…5,4,3,1

2

1122

=

−= nn

Rλ

•Po Bohrovom modelu atoma elektron ne može kružiti oko jezgre po bilo kojim već samo po odreñenim kvantiziranim stazama.

•To su stacionarne staze/putanje; krećući se po njima elektron ne gubi energiju i ne emituje elektromagnetne talase.

• Emisija svjetlosti se dogaña samo pri skoku elektrona s više na nižu stacionarnu stazu. Dopuštene su samo one staze kojima je orbitalni moment količine kretanja cjelobrojni višekratnik reducirane Planckovekonstante.

ℏ

ℏ

nvmrL

h

nen ==

=π2

Bohr je kvantizirao kretanje elektrona; n=1,2,3... naziva se glavni kvantni broj.

h

EEEEh nm

nm

−=⇒−= νν

Poluprečnici stacionarnih orbita se računaju na slijedeći način:

2 2

20

2

20

2 2 22

2 20

2 2 20

22 0

2

1

4

24

4/ :

4

1,2

e n

n n

n n e ne n

n en n

e

n e

ne

m v e

r r

e hr r m v n

m v

r mer r

m n h

n h e r m

hr n n

m e

πε

ππε

ππε

ε πε

π

=

= =

=

=

= = …

ց

2ne n

hv n

m rπ=

տ

n-redni broj stazeZa n=1 gornja jednačina daje vrijednost radijusa prve staze vodikovog atoma (tzv. Borovog radijusa atoma) r1=5,3·10-11 m (često se označava sa a0)

• Radijusi viših staza takoñe su kvantizirani

tako je r2=4r1,r3=9r1 itd.

21nr n r=

Energetska stanja vodikovog atoma2

2

20

2

0

22 0

2

4

2 2 2

2 2

200

4

2 2 20

1

2

4

1

2 4

8

44

4

k p

k e n

ne n

k ee n

ne

ek

o

pnr r

ep

E E E

E m v

er

m v

eE m

m r

hr n

m e

m eE

n h

e eE F dr dr

rr

m eE

n h

πε

π εε

π

ε

πεπε

ε

∞ ∞

= +

=

=

=

=

=

= = − = −

= −

∫ ∫

Energetska stanja vodikovog atoma

4

2 2 20

181

2

3

1

8

1,2

2.173 10 13.6

3.4

1.5

k p

en

E E E

m eE ukupna energija elektrona u atomu vodika

n h

n

E J eV

E eV

E eV

ε

−

= +

= −

=

= − ⋅ = −= −= −

…

⋮

Energetski nivoi u atomu su kvantizirani: ukupna energija elektrona u atomu je negativna (elektron je vezan za atom) i poprima vrijednost nula za n=∞

Elektron izvan atoma ima pozitivnu kinetičku energiju koju on može kontinuirano (bilo kako) mijenjati

12n

EE

n=

Grafički prikaz energetskih nivoa

Kako n raste, energetski nivoi su sve bliži;

Vezani elektron u atomu može imati samo diskretne, negativne energije;

Energetski spektar za vodikov atomL označava skokove elektrona za Lymanovu serijuB za Balmerovu itd.

n=1- osnovno stanje (nepobuñeno ilineekscitovano stanje), najniža energija

U višim stanjima elektron je pobuñenDa bi prešao u više stanje, elektronu treba dovesti energiju ekscitacije

Najveća energija ekscitacije je kad se elektron odvodi na energetski nivo u beskonačnosti i zove se energija jonizacijeZa atom vodika Ejonizacije= 13,6 eV

• Ekscitovana energetska stanja su kratkotrajna za razliku od osnovnog (traju 10-6 s nakon čega se elektron vraća u osnovno stanje bilo direktno bilo kroz neko drugo niže energetsko stanje)

Takvi skokovi rezultiraju u emisiji kvanta EM zračenja karakteristične frekvencije

Tako nastaju linije u linijskom spektru atoma

Kolika je energija fotona koji se emituje pri prelasku iz višeg energetskog stanja n u niže k?

A=h/2π

=RH

Primjena Borove teorije na atome slične vodiku

• Važi samo za vodik i njemu slične

jone kao He+, Li++ koji sadrže jedan elektron

• Ovde treba napomenuti da za ove

jone vrijede svi izrazi kao i za

atom vodika, samo što u izrazima za r, v i E treba staviti za naboj

jezgre Ze umjesto e, gdje je Z

atomski broj

22 0

2

2

0

1

2

ne

n

hr n

Z m e

Zev

h n

επ

ε

=

=

2 4

2 2 20

1

8e

n

m Z eE

n hε= −

Princip korespondencije• Kako bi našao vezu izmeñu zračenja zbog prelaza izmeñu stacionarnih

stanja i elektrodinamike, Bor je postavio teorme poznat pod nazivom princip korespondecije:

• Kvantna teorija mora se slagati sa klasičnom teorijom u limitu velikih kvantnih brojeva

• Klasična frekvencija zračenja emitiranog iz atoma vodika data je sa:

30

2 20

2

41

2 3 3 30

( )( )

2 2 2 4

22

8

n

v brzina efrekvencija

r mr

n hr

me

Eme

h n hn

ωνπ π π πε

επ

νε

= = =

=

= = −

Princip korespondencije

• Prema Borovoj teoriji frekvencija zračenja zbog prelaza iz kvantnog stanja n u stanje n-1 je data sa:

( )( )

( )

2 21 1 1

2 2 22

11 1

1 1n n

n nE E E E

h h hn n n nν −

− −− = = − = − −

( )1 1 1

2 4 32

22 1 2

1

E E En n

h h n hnn nν − += ≈ − ≈ −

−

Dobili smo isti rezultat kao ranije koji dakle vrijedi za velike brojeve n

n>>1

Klasično ponašanje Borovog atoma?

• Kad bi se atom ponašao klasično?

• Kad bi elektronska orbita bila tako velika da bismo je mogli direktno izmjeriti mogli bismo zanemariti kvantne efekte (npr. za orbitu 0,01 mm). Tada bi kvantni broj bio n=435 (izračunati za vježbu!!!).

• Ovakvo stanje se nikad ne pojavljuje u prirodi iako je teoretskimoguće

Značaj Borove teorije

1. Riješena stabilnost atoma

2. Objašnjeni linijski spektri na atomu vodika

3. Tačno je proračunata energija jonizacije

Nedostaci Bohr-ove teorije atoma

• Bohr-ov model atoma nam je dao izvjesnu sliku o izgledu atoma. Ali Bohr-ova teorija je imala bitna ograničenja.

• 1. Ne daje metod za proračun intenziteta spektralnih linija

• 2. Ne daje objašnjenje za spektre atoma sa više od jednog elektrona (važi samo za vodik i njemu slične jone kao He+, Li++)

• 3. Ne može da objasni zašto se atomi spajaju u molekule, tečnosti ili čvrsta tijela

• 4. Ne može da objasni tzv. “finu strikturu linijskog spektra” tj. pojavu više linija u linijskom spektru

Nedostaci Borove teorije

• 5. Kvatnizacija momenta količine kretanja je jako pojednostavljena što ne odgovara stvarnom stanju u atomu

• Bohrov model je takoñe bio neodrživ sa teoretskog stanovišta : on je, naime, bio čudna mješavina klasičnog i kvantnog pristupa, a talasno-čestična dualnost u to doba još uvijek nije bila razriješena.

• Ranih 20-tih godina postalo je jasno da je za objašnjenje atoma potrebna nova, kompletnija teorija koja će uvažiti čestično-talasnu dualnost materije.