Appunti di

Statica delle Strutture

Calcolo Reazioni Vincolari

Procedimento Grafico

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale

Prof.: Ing. Giuseppe Moscariello

Anno Accademico 2012–2013

1 Premessa

Per molte strutture isostatiche il calcolo delle reazioni vincolari con procedimenti pu-ramente grafici puo risultare molto conveniente e spesso di immediata soluzione inspecie se si adopera il Principio di Sovrapposizione degli Effetti (“PSE”)1. Ma, ancheladdove cio non dovesse essere, la conoscenza di questo metodo aiuta a comprendereimmediatamente se il valore di una reazione calcolata con un diverso procedimento eattendibile.Percio questi appunti.

2 Composizioni grafiche di forze

Si riportano alcune delle principali operazioni elementari che vengono normalmenteeseguite con il metodo grafico:

2.1 “Trasporto” di un vettore lungo la propria retta d’azione

Un vettore applicato non puo essere spostato dal proprio punto di applicazione. Puo,pero, essere sostituito con un altro vettore equivalente posto in un altro punto dellapropria retta d’azione.

Figura 1: Trasporto di un vettore sulla propria retta d’azione

E’ quanto mostrato in fig.1, dove al vettore forza F 1 applicato in “A” vieneaggiunta una coppia di braccio nullo (F 2 ed F 3) e, successivamente, eliminata un’altracoppia di braccio nullo (F 1 ed F 2). Dopo le due operazioni rimane il vettore forza F 3

1L’effetto (le reazioni) prodotto da piu cause (le forze applicate) e la somma degli effetti prodottidalle singole cause (agenti una per volta, separatamente). Sulla struttura, percio, con questo metodo,si considera una sola forza per volta.

3

“applicato” nel punto B, uguale ad F ed equivalente al vettore di partenza2.

2.2 “Spostamento” di un vettore su una retta parallela

Consideriamo il vettore (P1, F 1) di fig.2. Sia “r” la retta parallela ad F 1 (su cui sivuole spostare il vettore) distante da esso della quantita “b”; indichiamo con A unpunto qualsiasi di tale retta. Aggiungiamo sulla retta r una coppia di vettori di braccionullo F 2 ed F 3, di modulo uguale ad F1.

Figura 2: Spostamento di un vettore su una retta parallela

Continuando, notiamo che i vettori forza F 1 ed F 3 cosı formati costituiscono unacoppia di vettori uguali ed opposti che possono essere sostituiti con lo pseudovettoremomento MA = Fb (rappresentato in figura nei due diversi modi). Al termine delleoperazioni rimangono sul campo il vettore uguale a quello di partenza “spostato” sullaretta r in A ed il momento MA di valore pari al modulo del vettore per la distanza ditrasporto.

Un vettore, quindi, puo essere sostituito3 con un altro ad esso uguale su unaretta parallela, a patto che si aggiunga un opportuno momento (detto di trasporto).

2.3 Composizione di una forza e di un momento

Si ottiene con l’operazione contraria a quanto appena descritto. Un vettore forzaapplicato in un punto (A in figura 3) ed un momento possono essere composti in unaltro vettore uguale opportunamente traslato (su di una retta parallela al vettore) dallaposizione occupata dal vettore iniziale.

Con riferimento alla figura 3 il vettore MA e stato scomposto nei due vettori F 1

ed F 2, di moduli uguale ad F con uno dei due vettori (F 1) direttamente opposto ad F

2Si dice impropriamente che si e spostato il vettore originario (A,F1) nel punto “B” mentre in

realta si e solo creato un nuovo sistema equivalente formato da un solo vettore uguale a quello dipartenza e diversamente posizionato.

3Nel senso che e equivalente.

4

Figura 3: Composizione di una forza e di un momento

e l’altro spostato parallelamente al primo, dalla parte che fa produrre alla coppia unmomento dello stesso verso di quello MA assegnato e ad una distanza tale da dar luogoad un momento di valore pari ad MA

4.Eliminando i due vettori F ed F1 direttamente opposti rimane il solo vettore F2

(uguale al vettore F ) giacente sulla retta r.

Un vettore forza F ed un momento MA possono, quindi, essere composti nellostesso vettore traslato parallelamente a se stesso, da una parte ben precisa, della quan-tita b = MA/F .

2.4 Composizione di due vettori non paralleli

E’ ben noto che due vettori complanari (P1, F 1) e (P2, F 2) non paralleli possono esserecomposti nell’unico vettore R (il risultante dei vettori) posizionato sull’asse centrale(rappresentato dalla retta parallela ad R e passante per il punto d’incontro Ω dellerette d’azione dei due vettori5).

Figura 4: Composizione di due vettori complanari non paralleli

4Il sistema in questo momento e formato dai tre vettori: F , F1 ed F2 ed e equivalente al sistemadi partenza avendo lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto al polo A.

5Ottenibile graficamente con la regola del parallelogramma, dopo aver “trasportato” i due vettorinel loro punto d’incontro Ω.

5

2.5 Composizione di due vettori paralleli e concordi

Due vettori applicati (P1, F 1) e (P2, F 2) paralleli possono comporsi nell’unico vettorerisultante R posizionato sull’asse centrale rappresentato dalla retta parallela ai vettoripassante per il punto Ω indicato in figura 5.

Figura 5: Composizione di due vettori paralleli e concordi

Esso puo ricavarsi graficamente attraverso, ad esempio, le seguenti operazionielementari (vedi fig.5):

1. Aggiunta di una coppia di vettori F ∗ di braccio nullo, di modulo qualsiasi, suuna retta d’azione, ad esempio, ortogonale ai vettori.

2. Composizione delle due coppie di vettori: [F1, F∗] ed [F2, F

∗] nei due vettoririsultanti: R1 ed R2 “applicati” alle proprie rette d’azione.

3. Trasporto delle due risultanti lungo le loro rette d’azione nel punto Ω d’inter-sezione.

4. Composizione delle due risultanti nel vettore R posizionato sull’asse centrale A.

2.6 Composizione di due vettori paralleli e discordi

I vettori oggetto della composizione sono (P1, F 1) e (P2, F 2). Graficamente si possonocomporre eseguendo le seguenti operazioni elementari (vedi fig.6):

1. Aggiunta di una coppia di vettori direttamente opposti (in figura F3 ed F4) divalore F1 sulla retta d’azione r2 del vettore F2.

2. Composizione dei due vettori discordi F2 ed F4 giacenti sulla retta r2 nel vettorerisultante R.

3. Composizione dei due vettori uguali ed opposti F1 ed F3 nel vettore momentoMA.

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Figura 6: Composizione di due vettori paralleli e discordi

4. Scomposizione del vettore momento MA nei due vettori uguali ed opposti di valoreR distanti b2 = MA/R (vettori in figura colorati di rosso).

5. Eliminazione della coppia di vettori R di braccio nullo giacente su r2

Sul campo rimane il vettore R posizionato sull’asse centrale A indicato in figura.

3 Rappresentazione grafica delle reazioni

Riportiamo l’elenco delle reazioni esplicabili dai vincoli, nel piano, da un punto di vistapuramente grafico.

Vincoli semplici6. Essi sono, com’e noto:

Carrello o Pendolo7 Esso puo reagire con una sola forza avente una rettad’azione ortogonale al piano di scorrimento e passante per il punto di contattocon la struttura8.

Doppio doppio pendolo: puo reagire con un solo momento materialmenteesercitato nel punto di contatto con la struttura.

Vincoli doppi9. Essi sono (si faccia riferimento alla figura (7)):

6Essi eliminano un solo grado di liberta.7Nella statica dei corpi rigidi tra loro non vi e alcuna differenza. I loro effetti sono diversi nella

Scienza e Tecnica delle Costruzioni in quanto il pendolo puo essere deformabile mentre il carrello efisso (se non e “cedevole”).

8Il vincolo si suppone sempre bilaterale per cui la reazione puo avere un qualsiasi verso. Per controun vincolo si dira “unilaterale” se esso e capace di reagire secondo un unico verso.

9Essi eliminano due gradi di liberta.

7

Cerniera: immaginato il vincolo composto da due carrelli con piani di scorrimen-to non paralleli, esso puo reagire con due forze tra loro, ad esempio, ortogonali lacui composizione grafica da luogo, a seconda dei valori (e versi) dei due “vettoricomponenti”, ad una sola forza risultante passante per il punto di contatto conla struttura ed avente una qualsiasi direzione.

Doppio pendolo: essendo costituito da due pendoli paralleli, puo reagire condue forze parallele la cui composizione grafica da luogo ad una sola forza

risultante parallela ai pendoli e dovunque10 posizionata.

Figura 7: Rappresentazione “grafica” di vincoli doppi

Esso si puo anche pensare composto da uno solo dei due pendoli e da un doppiodoppio pendolo (vedi figura (7). La sua reazione, in tal modo, si puo pensarecostituita da una forza “R” parallela ai pendoli e da un momento “M” che, secomposti graficamente, danno luogo, ancora una volta, ad una forza parallela aipendoli traslata (di una quantita e = M/R che puo risultare comunque grandeal tendere di R a zero).

Non viene esclusa, naturalmente, la possibilita che una delle due componenti (oentrambe) sia nulla, ossia che possa reagire soltanto con una forza (passante peril punto di contatto con la struttura) oppure con un solo momento (agente, an-ch’esso, nello stesso punto).

10Si ricorda, infatti, che ogni sistema di vettori piano ed in particolare due forze parallele aventirisultante non nulla (che non formino, cioe, una coppia di vettori uguali ed opposti che, come sappiamo,e equivalente ad un momento) sono equivalenti al proprio risultante posto sull’asse centrale dei vettori.Tale asse, inoltre, quando i vettori sono discordi, e posizionato parallelamente ai vettori ed all’esternodi essi ad una distanza dal vettore piu grande pari ad e = M/R (dove si e indicato con M il momentodei due vettori rispetto al punto di applicazione del vettore piu grande). Fissato il valore del vettorepiu piccolo, al diminuire del valore di R (al tendere di essi, cioe, ad una coppia di vettori uguali edopposti) cresce la distanza “e” tendendo all’infinito al tendere di R a zero. Un momento, quindi, sipuo pensare (con un certo abuso di linguaggio ma siamo ingegneri...), come una forza infinitesima (larisultante dei due vettori) posta a distanza infinita (laddove si trova, appunto, l’asse centrale). Tuttocio per giustificare il “dovunque” posizionata

8

E’ bene chiarire una volta per tutte che la reazione che il vincolo esercita (formatadall’insieme delle forze elementari trasmesse nella zona di contatto11) e material-mente prodotta nel “punto” di contatto ma la risultante di tutte queste azioni(che viene, poi, rappresentata in figura dal vettore ΦA) giace su una retta, l’assecentrale, che puo non passare per tale punto, com’e mostrato in figura. Un contoe il “punto” (o la zona nel caso di corpi deformabili) in cui si espleta la reazionedel vincolo altro e, invece, il vettore che rappresenta la risultante di tutte questeazioni.

E’ buona abitudine evidenziare quale sia il tratto su cui la reazione si espleta,collegando, con una sottile linea, il vettore col punto in cui materialmente siesercita la reazione com’e evidenziato in figura (7) cosı come nelle altre figure.

Vincolo triplo: l’incastro

Si puo pensare composto da una cerniera A e da un doppio doppio pendolo percui la sua reazione, da un punto di vista grafico, puo pensarsi formata da una forza ΦA

passante per A avente una qualsiasi direzione e da un momento MA che, se composti,danno luogo alla stessa forza spostata di una quantita pari ad e = MA / ΦA che, aseconda dei valori (e versi) di tali grandezze puo trovarsi in una qualsiasi regione delpiano della struttura e con qualsiasi direzione.

Quindi possiamo sintetizzare dicendo che l’incastro reagisce con una sola forza

qualsiasi sia la direzione e dovunque essa sia posizionata.Naturalmente, una volta determinata tale reazione12 si puo sempre “trasportar-

la” nel punto di contatto (aggiungendo il momento di trasporto) e, se si vuole, scom-porre ulteriormente il vettore nei due vettori componenti, lungo, ad esempio, due assiortogonali.

Figura 8: Rappresentazione “grafica” della reazione dell’incastro

Vincoli multipli

11Essa viene sempre indicata come “punto” di contatto, essendo i corpi, ma anche i vincoli, suppostirigidi.

12Con almeno due condizioni di equilibrio che consentano di determinare due punti attraverso iquali essa passa o un punto ed una direzione.

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Le reazioni esercitate da tali vincoli non necessitano di particolari descrizioni. Infigura (9) e stata riportata una cerniera interna multipla (collegante piu di due tratti)vincolata, rispettivamente, ad una cerniera esterna e ad un carrello. Le reazioni Φ1, Φ2

e Φ3 della cerniera interna sui rispettivi tratti passano tutte per la cerniera e possonoavere una qualsiasi direzione, mentre la reazione esterna ΦA della cerniera esterna (odel carrello) agisce sul nodo.

Figura 9: Rappresentazione “grafica” di vincoli multipli

4 Le “ECS” interpretate graficamente

4.1 Premessa

Le considerazioni che qui di seguito verranno sviluppate riguarderanno strutture ef-fettivamente isostatiche per le quali si e certi dell’equilibrio (qualunque siano i carichiapplicati su di esse)13.

Dato che una struttura isostatica e in equilibrio essa verifica le Equazioni Car-dinali della Statica14 che, in forma vettoriale si scrivono:

Re = 0M e

O = 0(1)

dove si sono indicati, rispettivamente, con Re ed M eO il risultante ed il momento

risultante (rispetto al polo O) delle forze esterne agente sul sistema considerato (siaesso un tratto, un nodo, un gruppo di tratti o l’intera struttura).

Con il metodo grafico non si fara piu distinzione tra forze attive e reazionivincolari15. Tutte le osservazioni riguarderanno, infatti, il numero delle forze agenti sulsistema volta per volta considerato, senza distinguerle tra attive e vincolari.

13Per le strutture libere oppure labili si dovra preventivamente verificarsi l’equilibrio (per particolaricondizioni di carico) prima di procedere al calcolo delle reazioni.

14Tali equazioni, infatti, costituiscono condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio di un corporigido, quale considerata, appunto, la nostra struttura.

15I cui valori, direzioni e versi rimangono l’obiettivo che ci si prefigge di calcolare con questo metodo.

10

4.2 Le ECS applicate ad una forza e ad un momento

L’equazione (1) esplicitata ad una sola forza e ad un solo momento (oppure, ovviamente,ad uno solo dei due) e verificata solo se entrambe le grandezze hanno valore nullo.

Questa ovvia deduzione e vera non solo quando sul corpo agisce materialmenteuna sola forza16, ma anche quando il sistema di forze che si sta esaminando puo ri-condursi ad essa. L’esempio riportato in figura (10) (anche se fa riferimento ad unastruttura labile, ma in equilibrio per particolari condizioni di carico) puo chiarire quantodetto.

Figura 10: ECS applicate ad “una” forza

Sul corpo 1 agisce una forza (φ1) ed un momento (M1); entrambe le grandezze,

per l’equilibrio di quel corpo, debbono essere nulle. Tenuto conto di cio, sul corpo2 rimangono due forze (F e φ

2) aventi la stessa retta d’azione ed un solo momento

(M2). Le due forze agenti sulla stessa retta d’azione sono equivalenti ad una sola (larisultante) agente sulla stessa retta. L’equilibrio grafico comporta che questa forza (larisultante delle due) ed il momento M2 debbono essere nulli; cioe le due forze φ

2ed F

dovranno essere direttamente opposte, come si dira a breve sull’equilibrio di due forze.

4.3 Le ECS relative a due forze

Consideriamo un corpo rigido (la nostra “asta” AB) su cui sono applicati due solivettori: (A, φ

A) e (B, φ

B).

Esplicitiamo l’equazione (1) per questo caso. Essa si scrive:

φA

+ φB

= 0

(B − A) × φB

= 0(2)

Dalla prima equazione si ricava φB

= - φA, cioe i due vettori debbono essere

uguali ed opposti (rappresentati al centro della figura (11)), mentre la seconda afferma

16O un solo momento.

11

Figura 11: ECS applicate a due forze

che i vettori (B − A) e φB

debbono essere paralleli, se non nulli; cioe φB, se l’asta e

rettilinea, deve giacere sul segmento AB.Le due equazioni insieme saranno verificate allorquando i due vettori risulteran-

no uguali, opposti e giacenti sulla stessa retta d’azione (quella dell’asta, se rettilinea);cioe quando saranno “direttamente opposti”, com’e illustrato, con i due possibili versi,in figura (11).

E’ conseguenziale che, se due possibili vettori reazione non possono farsi equi-librio, non potendo la struttura perdere l’equilibrio (perche isostatica o perche si everificato l’equilibrio in partenza Per Particolari Condizioni di Carico), entrambe leforze debbano essere nulle.

Nel caso particolare che sul corpo agiscano due momenti, questi, nell’equazione(2) debbono essere, ovviamente, uguali ed opposti.

In figura (12) e stata riportata una struttura una volta libera e in equilib-rio “PPCC”17. Vengono ora calcolate le reazioni con il metodo grafico, utilizzandoprevalentemente i dati acquisiti relative all’equilibrio di due “forze” (siano esse forze omomenti).

Figura 12: ECS applicate a due forze

17Basta osservare che HL e “fermo” per la presenza di due centri d’istantanea rotazione distinti cosıcome pure il tratto DEG, per la presenza della cerniera e del carrello (ora a terra). La parte liberadella struttura e quella rimanente ABCD che, come si puo vedere, puo traslare in direzione orizzontale.L’equilibrio di questa parte e assicurato dal fatto che su di essa non agiscono forze orizzontali.

12

Cominciamo con il tratto AB su cui agiscono due forze (la reazione φA delcarrello e quella φB della cerniera) che non possono essere direttamente opposte (lacerniera B non e capace di reagire con una forza verticale passante per A, che possaessere, cioe, direttamente opposta a quella del carrello) percio esse debbono essereentrambe nulle. Sul tratto BCD, ora, agiscono la forza φD del pendolo ed il momentoMC del doppio doppio pendolo. Non potendo una forza farsi equilibrio con un momento,anche queste due reazioni debbono essere nulle. Sul tratto EFG, ora, sono rimaste treforze, due delle quali (la forza attiva F e quella φG del carrello) agiscono sulla stessaretta d’azione e danno luogo, percio, ad una sola forza risultante “FG”, posta sullastessa retta. Con questa riduzione il numero di forze su questo tratto si riduce a due(la reazione φE della cerniera e la risultante FG) che, non potendo essere direttamenteopposte, debbono essere entrambe nulle. La reazione della cerniera deve essere nullamentre quella del carrello sul tratto DEG deve essere direttamente opposta alla forzaF. Naturalmente, il carrello reagira con una forza verticale direttamente opposta18 sultratto HL, sul quale vi sono tre forze: la reazione nota del carrello, quella del doppiopendolo (anch’essa verticale e dovunque posizionata) e la reazione inclinata (ortogonaleal piano di scorrimento) del carrello. La composizione delle due forze parallele da luogoad un’altra forza (una sola, la risultante, posta sull’asse centrale) anch’essa verticale edovunque posizionata “HG”. L’asta HL, con questa composizione, risulta ora soggettaa due sole forze che non possono essere direttamente opposte (infatti, dovunque andra aposizionarsi la risultante HG (verticale) non potra mai avere la direzione della reazionedel carrello e percio non potra mai essere ad essa direttamente opposta). Entrambequeste forze, percio, debbono essere nulle. Il carrello, quindi, avra una reazione nulla,mentre il doppio pendolo reagira con una forza direttamente opposta a quella esercitatadal carrello (pari proprio ad F).

Si noti come si e esaurito il calcolo delle reazioni senza che si sia impostataalcuna equazione ne tantomeno risolto alcun sistema algebrico19.

4.4 Le ECS relative a tre forze

Consideriamo un corpo rigido piano nel proprio piano20, soggetto complessivamentea tre forze: (A, φ

A), (B, φ

B) e (C, φ

C) (che supporremo non tutte parallele) ed anal-

izziamo le condizioni che debbono verificare (in direzione ma anche in valore e verso)tenuto conto che il sistema e in equilibrio (si faccia riferimento alla figura (13)).

18Per il terzo principio della dinamica19Naturalmente le equazioni di equilibrio della statica non sono state “materialmente” scritte in

forma analitica, ma di fatto sono state applicate nella forma grafica, esattamente allo stesso identicomodo di quelle analitiche. Cambia la forma di interpretazione, non la sostanza.

20Costituito da una semplice asta, da un gruppo di aste rigide “compatte” (cioe vincolate in mododa non avere spostamenti relativi) o da una intera struttura isostatica.

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Figura 13: Tre forze non parallele

Consideriamo, quindi, le equazioni (1) della statica esplicitate in questo casospecifico. Con riferimento al polo D d’intersezione di due delle rette d’azione dei vettorisi scrivono:

φA

+ φB

+ φC

= 0

(A − D) × φA

+ (B − D) × φB

+ (C − D) × φC

= 0(3)

la seconda, in particolare, per l’annullamento dei prodotti vettoriali si riduce a:

(B − D) × φB

= 0 (4)

e puo essere verificata solo se il vettore non nullo φB

passa per lo stesso puntod’incontro degli altri due.

Possiamo, quindi, affermare che da un punto di vista grafico tre vettori non

nulli si possono fare equilibrio solo se21 le loro rette d’azione incidono uno

stesso punto22.Tale condizione, pero, non basta, in quanto, perche il corpo sia in equilibrio, le

forze devono verificare anche la prima delle equazioni della statica (cioe che la risultantedelle tre forze deve essere nulla) che, interpretata graficamente, si traduce nel dire cheil poligono dei vettori deve essere chiuso23.

In conclusione si puo, quindi, affermare che: tre forze per farsi equilibrio e nec-

essario che si incontrino in uno stesso punto (nel senso che, se esse non verificano cio,il corpo sicuramente non e in equilibrio); per essere, poi, certi dell’equilibrio e suffi-

ciente accertarsi della chiusura del poligono dei tre vettori (che traduce il fatto che larisultante delle tre forze e nulla).

Come conseguenza diretta di cio possiamo affermare:

21Percio e una condizione solo necessaria.22Proprio o improprio (cioe all’infinito sulla direzione dei vettori).23Le forze, riportate una di seguito all’altra, debbono partire ed arrivare allo stesso punto.

14

In un corpo in equilibrio soggetto a tre vettori (incidenti uno stesso punto A) larisultante di due di essi e direttamente opposta al terzo vettore24

Se i tre vettori non possono incidere uno stesso punto (proprio o improprio), essidebbono essere tutti nulli, dato che l’equilibrio del corpo non puo essere messo indiscussione (la struttura, infatti, e in partenza isostatica o in equilibrio PPCC.)

Se due dei tre vettori giacciono sulla stessa retta d’azione, essi debbono esseredirettamente opposti, mentre il terzo vettore deve avere valore nullo25.

Tre vettori aventi tutti la stessa retta d’azione26 possono avere un qualsiasi valoreed un qualsiasi verso; l’unica condizione che debbono rispettare e che la sommadelle loro componenti sulla propria retta d’azione (orientata) sia nulla27.

Ed ancora, se almeno uno dei tre vettori agenti sulla struttura e un momento,si puo aggiungere:

Per farsi equilibrio due forze ed un momento e necessario che le due forze sianoparallele28.

Per farsi equilibrio due forze sulla stessa retta d’azione ed un momento e neces-sario che si annulli il momento; conseguentemente, le due forze debbono risultaredirettamente opposte.

Per l’equilibrio di una forza e due momenti e necessario che la forza sia nulla edi momenti uguali ed opposti.

Affinche tre momenti si possano fare equilibrio e sufficiente che verifichi la con-dizione che la somma delle loro componenti sia nulla29.

In figura (14) e stato riportato un esempio di calcolo grafico di reazioni vincolaridi una struttura isostatica multitratto in cui si e cercato di evidenziare le problematicheappena descritte, relative all’equilibrio di tre vettori (siano essi forze o momenti).

24Infatti, se immaginiamo di comporre due dei tre vettori incidenti il punto A, si otterra un solovettore (il risultante) che passera per tale punto e che, con il terzo vettore, sara ad esso direttamenteopposto.

25Infatti la risultante di due vettori giacenti su una stessa retta d’azione e, a sua volta, un vettoreavente la stessa retta d’azione. I tre vettori, con questa composizione, si riducono a due che, perl’equilibrio, debbono essere direttamente opposti e, non potendo esserlo, debbono avere valore nullo.

26Da non confondere con la stessa direzione!27Per un problema del genere due dei tre vettori debbono essere determinati attraverso condizioni

di equilibrio imposte ad altri corpi, in genere quelli a contatto con il corpo che si sta analizzando.28Va da se che, se non potessero esserlo, dovrebbero essere nulli tutti e tre i vettori: non solo le

forze, ma anche il momento.29Anche qui, quando cio dovesse capitare, due dei tre momenti dovrebbero essere calcolati attraverso

condizioni di equilibrio relative ai corpi confinanti con quello che si sta analizzando.

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Figura 14: Struttura con prevalenza di tre vettori sui tratti

Incominciamo dal tratto 5 su cui agiscono due forze ed un momento. Dato chele forze non possono essere parallele, le reazioni dei tre vincoli L, H e G debbono esseretutte nulle.

Proseguiamo con il tratto 4, che risulta, ora, sollecitato da un momento noto eda due forze di cui una (quella del pendolo F) di direzione nota r5. Cio comporta chela reazione della cerniera N dovra essere parallela al pendolo e passare per il punto N.

Nota la reazione del pendolo F sul tratto 3 (direttamente opposta a quella primatrovata sul tratto 4), si puo passare all’equilibrio del tronco 3, dove agiscono tre forze,due delle quali (pendolo F e carrello E) incidenti il punto W. Si puo conoscere cosı lareazione della cerniera D, che dovra necessariamente passare anch’essa per tale punto.

Ora sul tratto n.2 e nota la reazione di D (direttamente opposta a quella primatrovata sul tratto 3) per cui anche la reazione di B deve essere ad essa parallela perpoter equilibrare il momento.

Sul tratto n.1 vi sono, poi, due sole forze e l’incastro dovra avere una reazionedirettamente opposta a quella di B su tale tratto.

Ancora, osservando il tratto n.8, le due reazioni debbono essere direttamenteopposte. Si conosce, cosı, la retta d’azione della cerniera T (oltre a quella di U). Osser-vando, pero, il tratto 7, si rileva che le tre forze agenti su di esso non possono passareper uno stesso punto: quindi sono tutte nulle. Anche la cerniera U, di conseguenza hareazione nulla.

Infine sul tratto 6 la reazione della cerniera N e quella del carrello Q si trovanosulla stessa retta d’azione, per cui, per quanto detto, queste due reazioni sarannodirettamente opposte e quella della cerniera P risultera nulla.

Il calcolo e cosı terminato. In figura sono stati appena accennati i versi dellereazioni dei vari vincoli, ma negli esempi che seguiranno saranno calcolati, graficamente,anche i valori delle reazioni dei vincoli.

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4.5 Le ECS per quattro forze tutte note in rette d’azione

L’analisi e stata fatta su un semplice monotratto30 (rappresentato in figura (15))soggetto a quattro forze tutte note in rette d’azione.

Prima di iniziare, va precisato che le dimensioni degli elementi della strutturavanno riportate in scala e cosı pure i vettori forza. Occorre, quindi, indicare la scaladelle lunghezze (SL) e quella delle forze (SF ). In figura sono stati indicati due modi dirappresentarle. Il primo: SL : 1cmg = 3m indica che 1 cmg (il pedice “g” sta per “grafi-co” indica 1 cm letto sul disegno) e pari a 3 m cosı pure SF : 1cmg = 2kN indica che 1cm letto sul disegno corrisponde a 2 kN. Questo modo di indicare la scala, pero, non e

da preferire, in quanto la lunghezza di 1 cm letto sul foglio e una quantita invariabile(sempre 1 cm, appunto) mentre la lunghezza (o la forza) che esso rappresenta dipendedalla scala in cui viene stampato o fotocopiato il disegno31. La rappresentazione piuconveniente e quella riportata nei riquadri, dove viene indicato un segmento di lunghez-za 1 cm senza pero riportare la sua misura. Al variare della scala del foglio varia anchela lunghezza del segmento e la scala si adegua automaticamente.

Figura 15: Equilibrio di quattro forze

Per quanto riguarda il calcolo grafico delle reazioni, consideriamo due qualsiasidelle quattro forze (in figura sono state prese in considerazione le forze A e B) e im-maginiamo di comporle nella propria risultante posta sull’asse centrale che, in figura,e la retta passante per il punto H d’intersezione delle rette d’azione dei due vettori.Con questa composizione ora, sulla struttura, agiscono tre forze: la forza F nota, lareazione del carrello C e la risultante AB delle reazioni di A e di B.

30Semplificato al massimo, in modo da evidenziare solo le problematiche in corso, senza ulterioricomplicazioni.

31Insomma una stampa (o una fotocopia) con le dimensioni dimezzate del foglio fanno sı che 1 cmletto sulla stampa ridotta rappresenti il doppio del valore di prima.

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L’equilibrio di tre forze sappiamo che e possibile solo se esse passano per unostesso punto (il punto K d’intersezione della forza F con quella del carrello C). Quindila risultante AB dovra necessariamente passare per K (oltre che per H). E’ nota, cosı,la retta d’azione di AB: e la retta HK.

Note le rette d’azione delle tre forze, si puo passare all’equilibrio grafico deltratto (che costituisce anche l’intera struttura), che e certificato dalla chiusura delpoligono dei vettori F, AB e C, che vede il “rincorrersi” dei tre vettori32 e che assicurache la risultante delle forze sul tratto sia nulla33.

Trovata la risultante AB delle reazioni dei vincoli A e B occorre poi riportaretale vettore nel loro punto d’incontro (H) e scomporlo nei due vettori componenti A eB cercati, con la regola del parallelogramma (com’e stato indicato in figura).

Misurando la lunghezza del vettore A, si legge 3,60 cmg che, nella scala adoper-ata, corrisponde ad un valore reale: A = 3, 60cmg · SF = 3, 60cmg · 3 kN

cmg= 10, 80 kN.

Analogamente si ha per B e C che misurano, rispettivamente, 2 e 4,24 cmg e valgonoB = 6 kN e C = 12,72 kN.

Risolviamo ora lo stesso problema componendo le forze A e C . Esse darannoluogo ad una risultante AC passante per H (vedi figura 16).

Figura 16: Equilibrio di quattro forze

32Infatti, una volta “trasportata” la forza F in K, si riporta da un suo estremo la parallela ad ABe dall’altro estremo la parallela alla direzione c. Il triangolo cosı trovato individua l’entita ed i versidei vettori che, per farsi equilibrio, debbono rincorrersi.

33I tre vettori (F, AB e C) passano per uno stesso punto (condizione necessaria) ed hanno risultantenulla (condizione sufficiente). Cio basta per essere certi che il tratto e in equilibrio e le reazioni sonoquelle che si leggono sul disegno nella scala adottata.

18

Questa composizione riduce a tre il numero di vettori agenti sulla struttura che,per l’equilibrio, debbono passare per uno stesso punto. Dato che il punto d’incontrodei vettori F e B e all’infinito sulla direzione verticale anche il vettore AC deve averela stessa direzione. Esso, oltre a passare per H, quindi, deve avere anche direzioneverticale.

Per completare il calcolo, basta, allora, chiudere il poligono dei tre vettori F,AC e B tutti paralleli. A tale scopo si suggerisce la costruzione riportata in figura,che comincia proiettando F sulla retta AC individuando, cosı, il punto E; si prolunga ilsegmento DE fino a trovare il punto G sulla retta d’azione di F. La reazione del carrelloB coincide con il vettore G-L, mentre la risultante AC e pari al vettore F + B rivoltoverso l’alto34

Ovviamente i valori trovati per tutte le reazioni debbono risultare perfettamenteuguali a quelli prima trovati col diverso raggruppamento.

4.6 Alcuni casi particolari

4.6.1 Tre delle 4 forze incidono uno stesso punto proprio

Figura 17: Tre forze concorrono in un punto proprio

In figura (17) le tre forze incidenti in H, se composte, darebbero luogo ad unaunica forza risultante passante per tale punto. A composizione effettuata, sulla strut-tura graverebbero due sole forze, che per l’equilibrio e necessario che siano direttamenteopposte. Non potendo esserlo (la risultante delle tre forze non puo essere direttamenteopposta alla reazione del carrello C) debbono avere necessariamente valore nullo. Sidovra annullare, percio, la reazione del carrello C, cosı come dovra esserlo la risultantedei tre vettori F, A e B. La chiusura del poligono dei vettori per la determinazionegrafica dei valori delle reazioni completa il calcolo.

34Per la dimostrazione della semplice costruzione che permette di equilibrare un vettore con altridue ad esso paralleli, si sfogli, in questi appunti, l’appendice.

19

4.6.2 Tre delle 4 forze sono parallele

In figura (18) la forza nota F e le reazioni dei due carrelli B e C costituiscono unsistema di vettori paralleli che, se la loro risultante FBC non dovesse essere nulla,potrebbe essere “ridotto” ad un solo vettore (alla risultante, appunto), parallelo aivettori e posizionato sull’asse centrale. Tale vettore, poi, per l’equilibrio del sistema(ora ridotto a due soli vettori: A e FBC) dovrebbe essere direttamente opposto allareazione del pendolo A. Dato che cio non puo accadere, (i due vettori, infatti, nonhanno la stessa direzione) e necessario che siano nulli. Quindi la reazione del pendoloA e nulla e i tre vettori F, B e C debbono farsi equilibrio tra loro. La determinazionegrafica dei valori delle reazioni, che completa il calcolo, si puo dedurre dalla costruzioneindicata in figura35: si proietta il vettore F sulla retta d’azione di C (DE), quindi siunisce con il punto M; i segmenti GH ed HL rappresentano, rispettivamente, i valoridelle reazioni dei carrelli C e B (con i versi opposti a quello di F).

Figura 18: Tre forze sono parallele

4.6.3 Le quattro forze sono a due a due parallele

Figura 19: Due coppie di vettori paralleli

35Per maggiore chiarimenti in merito a tale costruzione in appendice vi e la giustificazione di talecostruzione

20

La risultante di due forze parallele, come lo sono le reazioni A e B di figura (19)(ma anche le F e C) e una forza parallela ai vettori. Le coppie di vettori paralleli A eB, ma anche F e C sono riducibili, percio, a due vettori di direzioni diverse (il primoparallelo ad A e B il secondo af F e C); percio, per l’equilibrio del corpo, debbono esserenulli dato che non possono essere direttamente opposti (infatti esse non possono averela stessa direzione). Dire che la risultante di due vettori paralleli e nulla, significa che idue vettori debbono essere uguali ed opposti36 risultando equivalenti ad un momento.La composizione dei vettori porta ad avere due coppie di forze uguali ed opposte, cioedue momenti uguali e contrari. La reazione del carrello C deve, quindi, valere F ed ilmomento prodotto da esse (pari a M = F · d2) deve essere equilibrato dalle altre duereazioni che, per l’appunto, varranno A = B = M

d1

avendo indicato con di la minimadistanza tra le coppie di vettori uguali.

4.6.4 Due delle quattro forze sono direttamente opposte

Figura 20: Due vettori sono direttamente opposti

In figura (20) le forze F e B giacciono sulla stessa retta d’azione. La loro com-posizione permette di sostituirle con una sola forza (la loro risultante FB) posta sullastessa retta. Con questa composizione rimangono solo i tre vettori: C, FB ed A che,per l’equilibrio del corpo, non potendo passare per uno stesso punto debbono esserenulli. Le reazioni A e C quindi (cosı come pure la risultante FB) debbono avere valorenullo e cio comporta che la reazione del carrello B deve essere direttamente oppostaalla forza F.

4.6.5 Uno dei quattro vettori e un momento

Consideriamo ora un monotratto soggetto a tre forze ed un momento, com’e statorappresentato in figura (21). La composizione delle reazioni A e B determina un vettoreAB passante per H (punto d’incontro delle rette d’azione dei due vettori) avente unaqualsiasi direzione che sostituisce i due vettori di partenza. Con questa composizionesul tratto rimangono due vettori ed un momento. Per poter equilibrare il momento enecessario che i due vettori C ed AB siano tra loro paralleli ed abbiano un valore (e

36Il che non esclude che possano essere direttamente opposti e quindi nulli.

21

Figura 21: Tre forze ed un momento

verso) tale da produrre un momento uguale e contrario a quello applicato. Indicatacon d la distanza (braccio) tra i due vettori, si ha: C = AB = M

d. La scomposizione

del vettore AB con la regola del parallelogramma, secondo le direzioni a e b indicatein figura, permette di calcolare i valori grafici ed i versi delle reazioni A e B rimanenti.

4.6.6 Due dei tre vettori sono paralleli ed il quarto e un momento

Figura 22: Tre forze di cui due parallele ed un momento

Il caso rappresentato in figura (22) contiene le reazioni dei carrelli B e C che sonoparallele e percio componibili in un unico vettore BC, ancora parallelo a tale direzione.Con questa composizione sul nostro sistema di lavoro vi sono ora due vettori (A e BC)ed un momento. Non potendo tali vettori essere paralleli, debbono necessariamenteavere valore nullo. La reazione, quindi, del pendolo A deve essere nulla, cosı come laforza risultante BC37. Quindi le reazioni dei due carrelli B e C debbono essere ugualied opposte, di valore B = C = M

d, e con versi tali da formare un momento opposto a

quello applicato, cosı com’e stato indicato in figura.

37Si ribadisce che dire che la risultante di due vettori paralleli e nulla significa che i due vettoridebbono essere uguali ed opposti, il che non esclude che possano essere direttamente opposti e quindinulli.

22

4.6.7 Struttura caricata con due forze non parallele e due momenti

Figura 23: Struttura soggetta a due forze non parallele e due momenti

Infine, in figura (23) le due forze, composte, daranno luogo ad una risultantepassante per il punto d’incontro delle loro rette d’azione, mentre i due momenti daran-no luogo ad un terzo momento risultante. Sulla struttura si trovano ad agire, quindi,una forza risultante ed un momento risultante che non possono farsi equilibrio, a menoche abbiano valore nullo. Il risultante nullo dei due momenti comporta che essi deb-bano essere uguali ed opposti. La risultante nulla, invece, di due vettori non parallelicomporta l’annullamento di entrambi i vettori. Conclusione: le reazioni dei due vin-coli carrello e pendolo risultano nulle ed il momento del doppio doppio pendolo risultauguale ed opposto a quello applicato.

4.7 Le ECS per piu di quattro forze

In figura (24) si e riportato un esempio di struttura isostatica in cui un tratto (indicatocon il n.(2)) e soggetto a piu di quattro forze (esse sono state indicate con A, F, B1,C2, E2 e G2)

38. L’equilibrio grafico di un tratto cosı caricato si verifica raggruppandoalcune delle forze agenti su di esso con le loro risultanti ricavate dagli equilibri di altricorpi che normalmente stanno a contatto con esso.

Vediamo nell’esempio come si procede.Cominciamo con il tratto n.3. Le reazioni E3, G3 ed H debbono farsi equilibrio,

percio la reazione H dovra passare per il punto L, avra un valore pari alla somma dellereazioni E3 e G3 e il verso opposto. Simbolicamente si puo scrivere: H = −(E3 + G3).

Ma le stesse reazioni le troviamo ad agire sul tratto 2 con i versi opposti39. CioeE3 + G3 = -(E2 + G2). Quindi le due reazioni E e G sul tratto 2 sono equivalenti allareazione H; in formule: E2 + G2 = H.

In altre parole si puo pensare di sostituire le due reazioni E2 e G2 (agenti sultratto 2) con la sola forza H. Sul tratto 2 ora agiscono 5 forze anziche 6.

38Si e indicata con “P ′′

ila reazione del vincolo P sull’elemento i-esimo. Le lettere senza pedice sono

relative ai vincoli che agiscono su un unico tratto; per essi, percio, non c’e bisogno di precisare suquale tratto agiscono.

39Per il terzo principio della dinamica.

23

Figura 24: Struttura soggetta a piu di quattro forze

In modo analogo si puo procedere col tratto n.1. Simbolicamente possiamoscrivere: B1 + C1 + D = 0 (equilibrio del tronco 1), B2 + C2 = -(B1 + C1) (terzoprincipio della dinamica), quindi, B2 + C2 = D. Possiamo pensare, anche qui, disostituire le reazioni dei due vincoli B e C sul secondo tratto con il momento deldoppio doppio pendolo D. Ora il numero di forze agenti su questo tratto si e ridottoa 4 (segnate in rosso in figura) tutte note in rette d’azione che possono, percio, essereequilibrate graficamente40.

Osservando le forze in rosso, si puo rilevare come la forza F viene equilibratadai soli vincoli legati al suolo (i vincoli “esterni”). La forza, cioe, dal punto in cui essae applicata, si trasmette attraverso i vari elementi della struttura e questi, prima o poi,dovranno “scaricare” al suolo quanto sopportato. Cio vuol dire che la forza F dovraessere anche equilibrata dai soli vincoli esterni41.

Sono state calcolate tutte le reazioni vincolari. I due pendoli C e G sono deitiranti mentre quello E e un puntone. Il calcolo e terminato.

4.8 Come si opera con il metodo grafico

Su una struttura effettivamente isostatica non sempre e possibile, con il metodo grafico,calcolare le reazioni dei vincoli. A volte, se proprio si insiste nel voler risolvere lastruttura con questo metodo, e necessario utilizzare tecniche di approssimazioni grafichesuccessive (procedimento per tentativi) che ne rendono poco agevole l’applicazione.

40La forza F si equilibra con la risultante HD dei due vincoli (H e D) e la reazione del carrello A.La forza HD si “trasporta” in H aggiungendo il momento di trasporto D. Una volta noto il momentoD si possono determinare le reazioni B1 e C1 (pari ad M/d e con i versi accennati in figura) cosı purepossono, infine, ricavarsi le reazioni E3 e G3 dalla chiusura del poligono dei vettori riportato in L.

41Tale equilibrio, infatti, viene denominato equilibrio dell’intera struttura o “per vincoli esterni”.

24

In quest’ultima parte di questi appunti si vogliono mettere in evidenza i passida seguire per l’applicazione di questo metodo a strutture isostatiche complesse alloscopo di ottenere, laddove possibile, il risultato cercato.

E’ consigliabile cominciare dagli equilibri grafici dei singoli tratti42, con-tinuando con gli equilibri dell’intera struttura (o, come suol dirsi, “per vincoliesterni”) e, qualora mancassero all’appello ancora delle reazioni, passare agli equilibri

di “opportuni raggruppamenti di tratti”43, infine, se necessario, occorrera pro-cedere per tentativi44.

I calcoli che finora sono stati eseguiti sulle varie strutture indicate su questiappunti, sono stati portati a termine facendo uso esclusivo degli equilibri dei soli tratti.In queste ultime battute vengono riportati esempi schematici di strutture in cui questisoli equilibri sono insufficienti ed il calcolo grafico si puo portare a termine solo grazieagli altri equilibri prima indicati.

4.8.1 Equilibrio “per vincoli esterni”

Figura 25: L’equilibrio dei tratti non basta

Nell’esempio di figura (25) gli equilibri dei tratti non permettono di ricavare lerette d’azione di nessun vincolo45. Insomma l’equilibrio dei soli tratti non permette ditrovare alcuna delle reazioni.

42Qualora si riscontrasse su qualcuno di essi la presenza di due forze esse dovrebbero esseredirettamente opposte; se tre dovrebbero incontrarsi in uno stesso punto, etc.

43“Opportuni” per sottolineare che il raggruppamento non e scelto a caso, ma deriva dall’analisidell’isostaticita della struttura, laddove si sono riscontrati gruppi di tratti tra loro solidali.

44Prima di procedere per tentativi, forse potra risultare piu conveniente cambiare metodo di calcolopreferendo le ECS (Equazioni Cardinali della Statica) o il PLV (Principio dei Lavori Virtuali).

45Sul tratto AC, infatti, agiscono 5 forze, su quelli CE ed EG tre forze ma, su ognuno dei tratti,due di esse non sono note in rette d’azione percio non puo imporsi la condizione che passino per unostesso punto.

25

L’equilibrio, invece, dell’intera struttura fa sı che la forza F dovra essere equili-brata con le due reazioni dei vincoli esterni costituiti dal carrello A e dalla cerniera G.Si trova, cosı, la reazione di G, che permettera, poi, dall’equilibrio dei tratti di ritrovarele altre reazioni mancanti.

Il calcolo e potuto partire con l’equilibrio dell’intera struttura (“equilibrio pervincoli esterni”), per poi proseguire ed essere completato con quello dei singoli tratti.

4.8.2 Equilibrio di “opportuni raggruppamenti di tratti”

Figura 26: L’equilibrio dei tratti e dell’intera struttura non basta

Nell’esempio di figura (26) ne gli equilibri dei singoli tratti ne quello dell’interastruttura permettono l’individuazione di alcuna reazione. Infatti, in ogni equilibrio visono tre forze in gioco e due di esse sono sempre incognite nelle rette d’azione. Non epossibile, percio, imporre il passaggio delle tre forze per uno stesso punto.

Si tenga presente che durante lo studio dell’isostaticita effettiva della struttura,si e potuto osservare che i tratti 1 e 2 indicati in figura erano solidali tra loro, avendoriscontrato la presenza di due distinti centri relativi di istantanea rotazione46. Essi,percio, si comportavano come un unico corpo. Ebbene questa considerazione puo essereutile per raggruppare “opportunamente” i tratti. Considerando, percio, l’insieme deidue tratti, vediamo che le foze esterne a tale gruppo sono soltanto due: la reazione dellacerniera A e quella di D sul gruppo, evidenziate in rosso. Per due forze la condizionedi equilibrio e che siano direttamente opposte e cio permette di individuare le retted’azione di A e di D e, con esse, dall’equilibrio dei tratti o da quello per vincoli esterni,tutte le altre.

4.8.3 Elaborazione “per tentativi”

Per ultimo in figura (27) si e riportato una delle tante strutture che non si riesce a ri-solvere agevolmente con le nozioni fornite fin qui in questi appunti. L’equilibrio, infatti

46Uno coincidente con il punto C l’altro sulla retta d’azione del pendolo.

26

Figura 27: Elaborazione per tentativi

sia dei singoli tronchi che dell’intera struttura trova sempre tre forze da equilibrare,due delle quali non note. Non e possibile, percio, imporre il passaggio delle tre forzeper uno stesso punto, ne tantomeno si riconoscono gruppi di tratti che costituiscono ununico corpo indeformabile. Non rimane, quindi, che procedere per tentativi, assegnan-do ad una reazione, ad esempio, a quella della cerniera A, la retta d’azione indicata infigura con r1. Con questa retta d’azione si possono ora trovare tutte le altre reazionidei vincoli dall’equilibrio dei tratti.

Terminato il calcolo delle reazioni, occorre andare a verificare anche l’equilibriodell’intera struttura che ci dira se la direzione assegnata alla reazione di A e stataindovinata oppure no. Come si puo rilevare dalla cornice indicata in figura, le tre retted’azione r1, r5 ed r4 delle tre forze esterne (attive e vincolari) agenti sulla struttura nonpassano per uno stesso punto; pertanto l’intera struttura non e in equilibrio. Variandola direzione della reazione di A, si ritroveranno le nuove reazioni dei vincoli e, soltantoquando le tre rette suddette si incontreranno in uno stesso punto, si potra affermare diaver individuato la soluzione grafica per le reazioni.

27

5 Appendice

5.1 Equilibrio di un vettore secondo due rette ad esso parallele

5.1.1 Forza interna alle rette

Figura 28: Equilibrio di un vettore interno alle due rette

I vettori equilibranti la F (indicati in figura 28 con le lettere A e B in colorerosso) coincidono con gli opposti dei vettori componenti sulle stesse rette d’azione,(indicati in figura con le lettere A e B di colore blu).

I vettori componenti sono equivalenti al vettore dato quindi la risultante dei duevettori componenti ed il momento risultante rispetto ad un polo debbono essere ugualialle rispettive grandezze del vettore dato.

In formule si scrive, scegliendo il polo P di figura:

R1 = R2⇒ A + B = F ⇒ A + B = F (5)

MP1 = MP

2⇒ A · d1 − B · d2 = 0 (6)

In figura 28 e stata riportata una delle costruzioni grafiche atte a determinare idue vettori cercati. Si proietta F sulla r2 (ottenendo il segmento DE). L’intersezione Qdella semiretta M-E col vettore F individua il segmento PQ che rappresenta il vettoreB e quello QG che rappresenta il vettore A.

Per giustificare tale costruzione notiamo che la somma dei due vettori coincidecon F (PQ+QG = F ) e, dalla similitudine dei triangoli QPM e QGE si ha: QP

PM= QG

GE

cioe Bd1

= Ad2

ossia B ·d2 = A ·d1. Quest’ultima relazione assicura che anche il momentorisultante rispetto al polo P dei due vettori e uguale (nullo) a quello del vettore Frispetto allo stesso polo (anch’esso nullo). I due sistemi, percio, sono equivalenti.

28

Figura 29: Equilibrio di un vettore esterno alle due rette

5.1.2 Vettore esterno alle rette

La dimostrazione (e la costruzione grafica) e del tutto simile. Si proietta la F sullaretta r2 (si ottiene il segmento LQ = F ). L’intersezione del prolungamento di PQsulla retta d’azione della forza F individua il punto T e con esso i vettori A = S − T eB = T − R (i vettori riportati in colore blu).

Si verifica agevolmente che B+A = F (ossia, tenuto conto dei versi, B−A = F )ed il momento rispetto al polo R dei due vettoti e nullo. Infatti, dalla similitudine deitriangoli TRP e QLP si ha: B

(d1+d2)= F

d1

. Tenuto conto che B = A + F , semplificando,si ha: A · d1 = F · d2 c.v.d.

Indice

1 Premessa 3

2 Composizioni grafiche di forze 3

2.1 “Trasporto” di un vettore lungo la propria retta d’azione . . . . . . . . 32.2 “Spostamento” di un vettore su una retta parallela . . . . . . . . . . . 42.3 Composizione di una forza e di un momento . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Composizione di due vettori non paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Composizione di due vettori paralleli e concordi . . . . . . . . . . . . . 62.6 Composizione di due vettori paralleli e discordi . . . . . . . . . . . . . 6

3 Rappresentazione grafica delle reazioni 7

4 Le “ECS” interpretate graficamente 10

4.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Le ECS applicate ad una forza e ad un momento . . . . . . . . . . . . . 114.3 Le ECS relative a due forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Le ECS relative a tre forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Le ECS per quattro forze tutte note in rette d’azione . . . . . . . . . . 174.6 Alcuni casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.6.1 Tre delle 4 forze incidono uno stesso punto proprio . . . . . . . 194.6.2 Tre delle 4 forze sono parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.6.3 Le quattro forze sono a due a due parallele . . . . . . . . . . . . 204.6.4 Due delle quattro forze sono direttamente opposte . . . . . . . . 214.6.5 Uno dei quattro vettori e un momento . . . . . . . . . . . . . . 214.6.6 Due dei tre vettori sono paralleli ed il quarto e un momento . . 224.6.7 Struttura caricata con due forze non parallele e due momenti . . 23

4.7 Le ECS per piu di quattro forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.8 Come si opera con il metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.8.1 Equilibrio “per vincoli esterni” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8.2 Equilibrio di “opportuni raggruppamenti di tratti” . . . . . . . 264.8.3 Elaborazione “per tentativi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Appendice 28

5.1 Equilibrio di un vettore secondo due rette ad esso parallele . . . . . . . 285.1.1 Forza interna alle rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.2 Vettore esterno alle rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

30

Elenco delle figure

1 Trasporto di un vettore sulla propria retta d’azione . . . . . . . . . . . 32 Spostamento di un vettore su una retta parallela . . . . . . . . . . . . . 43 Composizione di una forza e di un momento . . . . . . . . . . . . . . . 54 Composizione di due vettori complanari non paralleli . . . . . . . . . . 55 Composizione di due vettori paralleli e concordi . . . . . . . . . . . . . 66 Composizione di due vettori paralleli e discordi . . . . . . . . . . . . . 77 Rappresentazione “grafica” di vincoli doppi . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Rappresentazione “grafica” della reazione dell’incastro . . . . . . . . . . 99 Rappresentazione “grafica” di vincoli multipli . . . . . . . . . . . . . . 1010 ECS applicate ad “una” forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 ECS applicate a due forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212 ECS applicate a due forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213 Tre forze non parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414 Struttura con prevalenza di tre vettori sui tratti . . . . . . . . . . . . . 1615 Equilibrio di quattro forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 Equilibrio di quattro forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817 Tre forze concorrono in un punto proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918 Tre forze sono parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019 Due coppie di vettori paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020 Due vettori sono direttamente opposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121 Tre forze ed un momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222 Tre forze di cui due parallele ed un momento . . . . . . . . . . . . . . . 2223 Struttura soggetta a due forze non parallele e due momenti . . . . . . . 2324 Struttura soggetta a piu di quattro forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425 L’equilibrio dei tratti non basta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526 L’equilibrio dei tratti e dell’intera struttura non basta . . . . . . . . . . 2627 Elaborazione per tentativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728 Equilibrio di un vettore interno alle due rette . . . . . . . . . . . . . . . 2829 Equilibrio di un vettore esterno alle due rette . . . . . . . . . . . . . . 29