bÖlÜm xiv frekans seÇİcİ devrelere gİrİŞ sabit …r l hs s rl (7) devrenin ... analiz gibi...
TRANSCRIPT
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
1
BÖLÜM XIV
FREKANS SEÇİCİ DEVRELERE GİRİŞ
Önceki bölümlerde yapılan sinüzoidal devre analizlerimizde kaynak frekansı
sabit tutulmuştu. Bu bölümde ise değişen kaynak frekansının devre akımlarını
ve gerilimleri nasıl etkilediğini analiz edeceğiz. Bu analizin neticesinde, bir
devrenin frekans cevabı elde edilecektir.
Devre elemanlarının ve değerlerinin dikkatli bir şekilde seçimi ve diğer
elemanlarla bağlantıları bize devre çıkışında yalnızca istenen frekans
aralığında kalan giriş sinyallerini geçirme olanağı sağlayacaktır. Bu
devreler frekans seçici devreler olarak adlandırılır. Örneğin, telefon,
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
2
radyo, televizyon ve uydular gibi elektrik sinyalleri ile iletişim kuran
birçok aygıt frekans seçici devreler kullanır.
Frekans seçici devreler belirli giriş sinyallerini süzme özelliğinden dolayı
aynı zamanda filtre olarak da adlandırılırlar.
Filtreler, belirli bir frekans bandı dışında frekans içeriğine sahip her hangi
bir giriş sinyalini zayıflatır (etkisini azaltır veya söndürür).
Şekil 14.1 Filtrenin çıkış sinyali üzerindeki etkisi çıkış sinyaliyle sonuçlanır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
3
Bu bölümde 4 ana filtre devresi incelenecektir. Bunlar, alçak geçiren, yüksek
geçiren, bant geçiren ve bant durduran filtre devreleridir. Ayrıca belirtmek
gerekir ki; Şekil 14.2’de verilen devreye ait giriş ve çıkışın gerilim olduğu
durumlar ele alınacaktır. Böylece analiz edilecek devrelere ait transfer
fonksiyonumuz ( ) ( ) ( )o iH s V s V s olacaktır. Fakat bazı uygulamalarda akımda
istenilen giriş ve çıkış sinyali olabilir.
Şekil 14.2 Giriş ve çıkışın gerilim olduğu bir devre yapısı
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
4
Girişten çıkışa gönderilen sinyaller geçirme bandı olarak isimlendirilen
frekans bandı aralığına düşer. Bu bandın dışında kalan giriş gerilimleri ise
devre tarafından sönümlenir. Böylece devrenin çıkış uçlarına ulaşması
engellenmiş olur. Bir devrenin geçirme bandında olmayan frekanslar devrenin
durdurma bandı kısmında yer alır. Frekans seçici devreler yani filtreler
durdurma bandının bulunduğu yere göre sınıflandırılır.
Şekil 14.3 ideal dört ana filtre devresine ait filtre cevabı yer almaktadır. Bu
grafiklerden biri ( )H jw ’nın frekansa göre değişimi olup genlik cevabıdır.
Diğeri ise ( )jw ’nın frekansa göre değişimidir ve faz cevabıdır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
5
Şekil 14.3 Dört çeşit filtre devresinin ideal filtre cevapları. (a) İdeal alçak geçiren filtre. (b) İdeal yüksek
geçiren filtre. (c) İdeal bant geçiren filtre. (d) İdeal bant durduran filtre
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
6
Şekil 14.4 (a) Seri RL alçak geçiren filtre. (b)
0 ’da devrenin eşdeğeri. (c) ’da devrenin eşdeğeri.
14.1 Alçak Geçiren Filtreler
Burada seri RL ve RC devrelerini
inceleyeceğiz ve bu devrelerin hangi
özelliklerinin kesim frekansını
belirlediğini öğreneceğiz.
14.1.1 Seri RL Devresi
Şekil 14.4’de seri RL devresi yer
almaktadır. Bilindiği üzere bir bobinin
empedansı j L ’dir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
7
Düşük frekanslarda, direncin empedansı
ile karşılaştırıldığında bobinin empedansı
çok düşüktür ve bobin uygulamada kısa
devre özelliği gösterir.
Yüksek frekanslarda, direncin empedansı
ile karşılaştırıldığında bobinin empedansı
çok büyüktür ve bobin uygulamada açık
devre özelliği gösterir.
Yandaki şekilde bir seri RL devresine ait genlik ve faz cevabı yer
almaktadır. Burada c filtre kesim frekansıdır. Bu frekansın tanımlanması
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
8
gerekmektedir. Kesim frekansı bilindiği üzere transfer fonksiyonun
maksimum genliğinin 1 2 katı olduğu frekanstır.
max1( )2cH j H (1)
Daha önceden bildiğimiz üzere bir devreden yüke aktarılan ortalama güç, 2
YV ile orantılıdır, burada YV yük üzerindeki gerilim düşümüdür: 21
2YVPR
(2)
Yük geriliminin genliğinin maksimum olduğu durumda ise 2max1
2YVPR
(3)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
9
Sinüzoidal gerilim kaynağı ( )iV j ’nın frekansını değiştirerek çıkış
geriliminin maksimum olduğu anda devrenin transfer fonksiyonun genliği
de maksimumdur.
max maxY iV H V (4)
Kesim frekansında ise:
max max
( ) ( )1 12 2
Y c c i
i Y
V j H j V
H V V
(5)
Denklem (5) kullanılarak kesim frekansındaki ortalama güç:
max( )2c
PP j . (6)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
10
Denklem (6), kesim frekansında devre tarafından aktarılan ortalama gücün
maksimum ortalama gücün yarısı olduğunu gösterir. Bu yüzden c , yarı
güç frekansı olarak da adlandırılır.
Kesim frekansı tanımladığına göre artık RL devresini analiz edebiliriz.
Öncelikle seri RL devresini, başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek
aşağıdaki gibi s-düzleminde eşdeğerini oluşturmamız gerekir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
11
Ardından oluşturulan bu devre için transfer fonksiyonu ise aşağıdaki gibi
elde edilir.
( ) R LH ss R L
(7)
Devrenin frekans tepkisini bulabilmek için s j değişimi yaparız:
( ) R LH jj R L
(8)
Böylece transfer fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi tanımlanır.
22( ) R LH j
R L
(9)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
12
1( ) tan LjR
(10)
Denklem (9)’da, 0 olduğunda ( 0) 1H j ’dır. Buda giriş geriliminin
çıkış uçlarına gerilim genliğinde bir değişim olmadan doğrudan
aktardığı anlamına gelir. Faz açısı 0 derecedir ve frekans arttıkça
negatiftir.
Denklem (9)’da, frekans arttığında ( )H j azalır. Hatta
olduğunda ( ) 0H j ’dır. Bu durumda giriş gerilimi, çıkış uçlarına
genliği sönümlenerek aktarıldığı anlamına gelir. Faz açısı -90 derece
sınırına ulaşır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
13
Ayrıca Denklem (9)’u kullanarak kesim frekansı c ’yi hesaplayabiliriz.
22
1( ) 12c
c
R LH jR L
(11)
Denklem (11)’den c ’yi aşağıdaki gibi elde ederiz.
cRL
(12)
Denklem (12) sayesinde kesim frekansı c değeri, R ve L değerlerinin
uygun bir şekilde seçimiyle ayarlanabilir. Böylece gerek duyulan her hangi
bir kesim frekansında alçak geçiren bir filtre tasarımı gerçekleştirebiliriz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
14
Örnek 14.1 (Alçak Geçiren Filtre Tasarımı): Elektrokardiyoloji kalp
tarafından üretilen elektrik sinyallerinin incelendiği bir alandır. Bu sinyaller
kalbin ritmik atışının devamlılığını sağlar ve elektrokardiyograf denen cihaz
vasıtasıyla ölçülür. Bu cihazın, frekansları 1 Hz civarında olan periyodik
sinyalleri (normal kalp hızı dakikada 72 atımdır) tespit etme kabiliyetine sahip
olması gerekir.
Elektrokardiyograf cihazı, etraftaki elektrik ortamından oluşan ve temel
frekansı elektriksel gücün sağlandığı frekans olan 60 Hz’deki sinüzoidal
gürültü varlığında çalışmaktadır.
a) Öyle bir seri RL devresi tasarlayınız ki sonuçta tasarlanan devre
elektrokardiyograf cihazında 10 Hz üzerindeki her gürültüyü
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
15
filtrelemekte ve kalpten 1 Hz veya yakınındaki elektrik sinyallerini
geçirmekte kullanılabilsin.
b) Filtrenin çıkışı ne kadar iyileştirdiğini görmek için çıkış genliğini 1, 10
ve 60 Hz’de hesaplayınız.
Çözüm:
a) Buradaki problem, 10 Hz’lik kesim frekansına sahip bir seri RL alçak
geçiren filtre tasarlamaktır.
Kesim frekansı denklemi cRL
’den R ve L’nin c ’yi oluşturmak için
bağımsız olarak seçilemeyeceğini biliyoruz. Bundan dolayı L için
genelde pratikte bulanabilir bir değer olan 100 mH’yi seçelim. İstenen
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
16
kesim frekansını elde etmede gerekli olan R değerini hesaplamak için
önce kesim frekansını Hertz’den radyan/saniye’ye çevirmemiz gerekir:
2 (10) 20 /c rad s .
Daha sonra gerekli olan R değeri bulunacak olur ise: 3(20 )(100 10 ) 6.28cR L olarak buluruz.
b) Çıkış gerilimi oV ’ın genliği ( )o iV H j V eşitliğini kullanarak
hesaplayabiliriz:
2 2 2 2
20( )( ) 400
o i iR LV V V
R L
.
Yukarıdaki çıkış gerilimi oV ; 1, 10 ve 60 Hz için aşağıdaki tabloda
hesaplanmıştır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
17
Frekans (Hz) iV (Volt) oV (Volt) 1 1.0 0.995
10 1.0 0707 60 1.0 0.164
Yukarıdaki tablodan görüldüğü üzere, tasarlanan filtre kesim
frekansında, çıkış geriliminin genliğini geçiş bandının birim genliğinden
1 2 oranında azaltılmıştır. 60 Hz’de ise çıkış geriliminin büyüklüğü
yaklaşık 6 kat azaltılarak elektrokardiyograf cihazının etkilendiği frekans
bileşenleri yok edilmiştir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
18
Şekil 14.5 Seri RC alçak geçiren filtre
14.1.2 Seri RC Devresi
Şekil 14.5’de verilen seri RC
devresi aynı zamanda alçak geçiren
bir filtre özelliği gösterir. Bir
önceki yaptığımız analizler gibi bu
devreyi de kolaylıkla analiz
edebiliriz. Burada devrenin
çıkışının kapasitör üzerinden tanımlandığına dikkat edelim. Önceki yaptığımız
analiz gibi RC devresinin davranışını tanımlamak için 3 frekans bölgesi
kullanırız:
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
19
1) Sıfır frekansı ( 0 ): Kapasitörün empedansı sonsuzdur ve kapasitör
açık devre davranışı sergiler. Böylece giriş ve çıkış gerilimleri eşittir.
2) Sıfırdan artan frekanslar: Kapasitörün empedansı direncinkine göre
azalır, çıkış gerilimi de direnç ve kapasitör empedansları arasında
paylaşılır. Böylece çıkış gerilimi kaynak geriliminden daha düşüktür.
3) Sonsuz frekans ( ): Kapasitörün empedansı sıfırdır ve kapasitör kısa
devre davranışı sergiler. Böylece çıkış gerilimi sıfır olur.
Çıkış geriliminin frekansın bir fonksiyonu olarak nasıl değiştiğinin analizi
yapıldığında, seri RC devresi bir alçak geçiren filtre işlevi görür. Örnek
14.2’de bu devrenin nicel analizi yapılacaktır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
20
Örnek 14.2 (Alçak Geçiren Seri RC Filtre Tasarımı): Şekildeki seri RC
devresi için:
a) Kaynak gerilimi ile çıkış gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu ifade
ediniz.
b) Seri RC devrede kesim frekansı için bir eşitlik belirleyiniz.
c) Devre 3 kHz kesim frekansına sahip olabilmesi için R ve C değerlerini
belirleyiniz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
21
Çözüm:
a) Öncelikle devre yandaki şekilde
sunulduğu gibi s-düzleminde ifade
edilir. Böylece devrenin transfer
fonksiyonu:
1( )1RCH s
s RC
olarak elde edilir.
Ardından s j ’yı yerine yazarak transfer fonksiyonun genliğini
aşağıdaki gibi buluruz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
22
22
1
( )1
RCH j
RC
.
b) Bildiğimiz üzere c ’de max1( )2
H j H ’dır. Alçak geçiren filtre için
max ( 0) 1H H j ’dir. Böylece R, C ve c arasındaki ilişki aşağıdaki gibi
tanımlanır.
22
11( ) (1)2 1
c
c
RCH j
RC
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
23
Yukarıdaki eşitlikten c elde edilir ise:
1c RC
olarak bulunur.
c) Yukarıda elde edilen kesim frekansı denkleminden R ve C’nin
birbirinden bağımsız hesaplanamayacağını görmekteyiz. 1C F
seçelim. Böylece R’yi aşağıdaki gibi kolaylıkla bulabiliriz.
3 6
1 1 53.05(2 )(3 10 )(1 10 )c
RC
.
Not: Unutmayalım ki C değerinin seçilmesinin temel sebebi mevcut
kapasitör değerleri direnç veya bobin değerlerinden daha azdır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
24
14.1.3 Frekans Bölgesini Zaman Bölgesiyle İlişkilendirmek
Ayrıca birinci dereceden RL ve RC devreleri için önemli bir değişken zaman
tepkisini analiz etmemizi sağlayan zaman sabiti ’dur.
RL devresi için zaman sabiti L R iken, RC devresi için zaman sabiti R C
değerine sahiptir.
Böylece hem RC hem de RL devresi için zaman sabiti aslında kesim
frekansı ile ilişkilendirilebilir. Bu ilişki:
1
c
(10)
olarak tanımlanır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
25
Özet (Alçak Geçiren Filtreler)
( ) c
c
H ss
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
26
14.2 Yüksek Geçiren Filtreler
Bu bölümde yüksek geçiren filtre davranışı gösteren iki adet devreyi
inceleyeceğiz. Bunlar sırasıyla seri RC ve RL devreleridir. Böylece çıkış
geriliminin tanımlandığı yere göre aynı devrenin hem alçak hem de yüksek
geçiren bir filtre gibi davrandığını analiz etmiş olacağız. Ayrıca bir önceki
analizlerimizde gibi benzer çözüm yolları kullanacağız.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
27
Şekil 14.6 (a) Seri RC yüksek geçiren filtre.
(b) 0 ’da devrenin eşdeğeri. (c) ’da devrenin eşdeğeri.
14.2.1 Seri RC Devresi
Şekil 14.6’da seri RC devresi yer
almaktadır. Alçak geçirenin aksine çıkış
gerilimi kapasitör üzerinden değil direnç
üzerinden alınmıştır.
1) Sıfır frekansı ( 0 ):
Kapasitörün empedansı sonsuzdur
ve kapasitör açık devre davranışı
sergiler. Böylece direnç üzerinden
akım geçmez. Bu yüzden direnç
üzerinde gerilim yoktur ve devre
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
28
alçak frekanslı kaynak gerilimini çıkışa ulaştırmadan filtreler.
2) Sıfırdan artan frekanslar: Kapasitörün empedansı direcinkine göre
azalır, çıkış gerilimi de direnç ve kapasitör empedansları arasında
paylaşılır. Böylece çıkış gerilimin genliği artmaya başlar.
3) Sonsuz frekans ( ): Kapasitörün empedansı sıfırdır ve kapasitör kısa
devre davranışı sergiler. Böylece kapasitör üzerinde gerilim yoktur.
Bütün gerilim direnç üzerinde görünür ve faz farkı sıfırdır.
4) Frekans azaldıkça ve kapasitörün empedansı arttıkça, kapasitörde gerilim
ve akım arasında faz farkı meydana gelir. Çıkış geriliminin faz açısı
kaynak geriliminin önündedir. Hatta 0 ’da bu faz açısı 90 ’ye
ulaşır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
29
Sonuç olarak seri RC devresi alacak geçiren filtre davranışı sergiler. Şimdi ise
bu devrenin nicel analizini yapacağız. Öncelikle RC devresi s-düzleminde
aşağıdaki gibi elde edilir.
Böylece devreye ait transfer fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi
bulunur.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
30
( )1sH s
s RC
(11)
( )1
jH jj RC
(12)
22( )
1H j
RC
, 1( ) 90 tanj RC . (13)
Bir önceki tanımlanan c ’de max1( )2
H j H ve ( ) 1H j eşitlikleri
kullanılarak, kesim frekansı c :
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
31
22
12 1
c
c RC
(14)
1c RC
(15)
olarak elde edilir.
Görüldüğü üzere hem alçak hem de
yüksek geçiren seri RC devrelerinin kesim
frekansları aynıdır.
Şimdi ise yüksek geçiren seri RL filtresini
bir örnek üzerinde tasarlayalım.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
32
Örnek 14.3 (Yüksek Geçiren Seri RL Filtre Tasarımı): Şekilde yer alan seri
RL devresinin bir yüksek geçiren filtre gibi davrandığını inceleyiniz.
a) Transfer fonksiyonunu tanımlayınız.
b) Transfer fonksiyonunu kullanarak seri RL
devresinin kesim frekansını belirleyiniz.
c) Devrenin 15 kHz kesim frekansına sahip
olabilmesi için R ve L değerlerini
belirleyiniz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
33
Çözüm:
a) Öncelikle devre, aşağıdaki gibi s-düzleminde elde edilir.
Ardından devreye ait transfer fonksiyonu:
( ) sH ss R L
olarak bulunur.
Bu transfer fonksiyonu, frekans düzleminde ise:
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
34
( ) jH jj R L
olarak ifade edilir.
b) Kesim frekansı denklemini bulabilmek için öncelikle yukarıda elde edile
transfer fonksiyonun genliği aşağıdaki gibi hesaplanır.
22( )H j
R L
Bilindiği üzere c ’de max1( )2
H j H ve ( ) 1H j ’dir. Böylece,
kesim frekansı c :
22
12
c
c R L
, c
RL
.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
35
c) R ve L seçimi bir birinden bağımsız değildir. R için keyfi 500 seçilir ise L aşağıdaki gibi bulunmuş olur.
3500 5.31
(2 )(15 10 )c
RL mH
.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
36
Özet (Yüksek Geçiren Filtreler)
( )c
sH ss
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
37
14.3 Bant Geçiren Filtreler
Bant geçiren filtreler bir frekans bandındaki gerilimleri çıkışa aktarırken, bu
frekans bandı dışındaki gerilimleri sönümleyen filtrelerdir. Bu filtreler önceki
kısımlardaki alçak ve yüksek geçiren filtrelerden daha karmaşıktır. Bu filtre
tasarımlarına geçmeden önce merkez frekansı, bant genişliği ve kalite faktörü
gibi bazı önemli parametrelerin tanımlanması gerekir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
38
14.3.1 Merkez Frekansı, Bant Genişliği ve Kalite Faktörü
Merkez frekansı ( 0 ): Merkez frekansının diğer adı rezonans frekansıdır. Bir
devre rezonans frekansında çalıştırıldığında, devre rezonanstadır denir. Çünkü
transfer fonksiyonunun frekansı devrenin doğal frekansıyla aynıdır. Bant
geçiren filtreler için transfer fonksiyonunun genliği merkez frekansında
en yüksektir ( max 0( )H H j ).
Bant Genişliği ( ): Alt kesim ve üst kesim frekansının arasında kalan
frekanslardır.
Kalite faktörü: Merkez frekansının bant genişliğine oranıdır. Kalite faktörü,
geçirme bandının genişliğinin frekans eksenindeki yerinden bağımsız olarak
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
39
bir ölçütünü verir. Ayrıca, frekanstan bağımsız olarak genlik grafiğinin şeklini
tanımlar.
Bant geçiren filtreyi tanımlayan beş tane özellik olmasına rağmen (
1 2 0, , ,c c ve Q) beş taneden sadece ikisi bağımsız olarak tanımlanabilir.
Yani, bu özelliklerden iki tanesi için çözüm yapabildiğimizde, diğer üçü
aralarındaki bağımlı ilişkilerden hesaplanabilmektedir. Sonraki bölümde bant
geçiren filtre gibi işlev gören seri RLC devresini inceleyeceğiz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
40
14.3.2 Seri RLC Devresi
Şekil 14.7(a) bir seri RLC devresini
göstermektedir. Burada kaynak
frekansının değişmesinin çıkış
gerilimi üzerindeki etkisini
inceleyeceğiz.
0 ’da, kapasitör açık devre
ve bobin kısa devre gibi
davranır. Kapasitörün
empedansı, devre akımın dirence
Şekil 14.7 (a) Bant geçiren seri RLC filtre (b)
0 için eşdeğer devre (c) için eşdeğer
devre
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
41
ulaşmasını engeller ve sonuçta çıkış gerilimi sıfırdır.
’da, kapasitör kısa devre ve bobin açık devre gibi davranır. İndüktör
akımın dirence ulaşmasını engeller ve sonuçta çıkış gerilimi sıfırdır.
0 ve arasındaki frekans bölgesinde ne olur? Bu iki uç nokta
arasında, kapasitör ve bobinin ikisi de sonlu empedanslara sahiptirler.
Hatırlanacağı üzere, kapasitör negatif bobin pozitif empedansa sahip
olduğunda, 0 ’da bu empedanslar birbirini yok ederek çıkış geriliminin
kaynak gerilimine eşit olmasını sağlar. 0 ’ın iki yanında da çıkış gerilimi
kaynak geriliminden küçüktür.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
42
Şekil 14.8’de dikkat edilirse, ideal bant
geçiren filtrenin gerilim cevabı ile seri RLC
devresinin transfer fonksiyonunun gerilim
cevabı üst üste gösterilmiştir. Kaynak ve çıkış
geriliminin aynı olduğu frekansta faz açıları
da aynıdır. Frekans azaldıkça, kapasitörün faz
açısına katkısı bobininkinden daha fazla olur.
Düşük frekanslarda, kapasitör pozitif faz
açısına sahip olduğundan çıkıştaki toplam faz
açısı pozitiftir.
Şekil 14.8 Yukarıdaki bant geçiren seri RLC
filtre için frekans tepkisi grafiği
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
43
Şimdi ise bant geçiren seri RLC
devresinin nicel analizini
gerçekleştireceğiz.
Şekildeki devre için transfer
fonksiyonu aşağıdaki gibi
tanımlanır:
2
( / )( )( / ) (1/ )
R L sH ss R L s LC
(16)
Yukarıdaki eşitlikte s j koyarsak;
2 22
( / )( )(1/ ) ( / )
R LH jLC R L
(17)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
44
12
( / )( ) 90 tan(1/ )
R LjLC
(18)
Şimdi bant geçiren RLC filtreyi niteleyen beş özelliği hesaplayalım. Seri RLC
devresinde, kaynak gerilimi merkez yani rezonans frekansına ulaştığında
kapasitör ve bobin empedanslarının toplamı sıfırdır. Bu durum kullanarak
öncelikle merkez frekansı aşağıdaki gibi hesaplanır.
0 00
1 10j Lj C LC
(Merkez frekansı) (19)
Daha sonra ise kesim frekansları 1c ve 2c ’yi hesaplanır. Kesim
frekanslarında, transfer fonksiyonun genliğinin, max 0(1 / 2) (1 / 2) ( )H H j
olduğu unutulmamalıdır. Böylece transfer fonksiyonun maksimum genliği:
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
45
0max 0 2 22
0 0
22
( / )( )(1/ ) /
1/ ( / ) 1(1/ ) 1/ 1/ /
R LH H jLC R L
LC R L
LC LC LCR L
(20)
Yukarıdaki denklemin, sol tarafı max(1 / 2)H ’a yani 1 / 2 ’ye eşitlenir ve
kesim frekansı c için çözüm yapılır ise:
2 222
( / )1 12 ( / ) (1 / ) 1(1 / ) /
c
c cc c
R L
L R RCLC R L
(22)
Yukarıdaki denklemin her iki tarafının paydalarını eşitler ve düzenlersek
aşağıdaki ikinci dereceden eşitlik elde edilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
46
211 1/ 0c c cc
L L R CR RC
(23)
Denklem (23) çözülürse alt ve üst kesim frekansları aşağıdaki gibi elde edilir: 2
11
2 2cR RL L LC
(24)
2
21
2 2cR RL L LC
(25)
Bant genişliği iki kesim frekansı arasındaki fark olarak tanımlandığından; 2 2
2 11 1
2 2 2 2c cR R R R RL L LC L L LC L
(26)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
47
Kalite faktörü, merkez frekansının bant genişliğine oranı olarak
tanımlandığından;
0 2
1 ///LC LQ
R L CR (27)
Önceden belirtildiği gibi, bir tasarımda bu özelliklerden sadece ikisi
birbirinden bağımsız olarak belirlenebilir. Kalite faktörü, merkez frekansı ve
bant genişliği cinsinden belirlendiğini görmüş olduk.
Ayrıca kesim frekansları denklemlerini, merkez frekansı ve bant genişliği
cinsinden ifade edebiliriz. 2
21 02 2c
(28)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
48
22
2 02 2c
(29)
Ayrıca aynı denklemler, kalite faktörü ve merkez frekansı cinsinden de elde
edilebilir. 2
1 01 11
2 2c Q Q
(30)
2
2 01 11
2 2c Q Q
(31)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
49
Örnek 14.4 (Paralel RLC Band Durduran Filtre Tasarımı): Şekildeki RLC devresi için
a) Transfer fonksiyonu ( )H s ’i bulunuz.
b) Merkez frekansı 0 ’ı hesaplayınız. c) Alt kesim ve üst kesim frekansları 1c ve 2c , bant genişliği , kalite
faktörü Q’yı hesaplayınız. d) 5 F ’lık kondansatörü kullanarak, 5 kHz merkez frekansı ve 200 Hz’lik
bant genişliğine sahip bant geçiren filtre için R ve L değerlerini hesaplayınız.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
50
Çözüm:
a) Verilen devrenin s domenindeki karşılığı yandaki gibidir. Burada,
( ) 1eq
LCZ s
sLsC
(32)
hesaplandıktan sonra devreye ait transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
2( ) 1
sRCH s ss
RC LC
(33)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
51
b) Merkez frekansını bulmak için, transfer fonksiyonun maksimum olduğu nokta hesaplanmalıdır. ( )H s ’te s j koyulursa;
2 2 22
1( )1
11
RCH j
LC RC RC LR
(34)
Bu transfer fonksiyonunun genliği aşağıdaki terim sıfır olduğunda maksimumdur:
221 0
LC
(35)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
52
Böylece,
01
LC (36)
ve
max 0( ) 1H H j (37)
c) Kesim frekanslarında transfer fonksiyonun genliği max1 2 1 2H
’dir. Genlik denkleminin sol tarafına bu sabit koyularak ve daha sonra sadeleştirmelerden sonra
1 1c
c
RC LR
(38)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
53
bulunur. Bu eşitliğin sol tarafının bir daha karesi alınırsa, kesim frekansları için dört çözümlü iki adet ikinci dereceden eşitlik elde ederiz. Köklerin sadece iki tanesi pozitiftir ve fiziksel olarak anlamlıdır:
2
11 1 1
2 2c RC RC LC
(39)
2
21 1 1
2 2c RC RC LC
(40)
Bant genişliği alt ve üst kesim frekansları kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
2 1 1 ( )c c RC . (41)
Son olarak, kalite çarpanı
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
54
2
0R CQ
L (42)
bulunur. Bant geçiren filtre için kesim frekanslarını merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden aşağıdaki gibi bulunur:
22
2 02 2c
(43)
22
1 02 2c
(44)
d) R değeri 5 F ’lık kapasitör ve c şıkkındaki bant genişliği ifadesi kullanarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
55
6
1 1 159.152 200 5 10
RC
. (45)
c şıkkındaki kapasitör değeri ve merkez frekansı eşitliğini kullanarak indüktör değeri hesaplanabilir.
22 60
1 1 202.642 5000 5 10
L HC
(46)
bulunur.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
56
Özet (Bant Geçiren Filtre)
2 2( )o
sH ss s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
57
14.3.3 Bant Durduran Filtreler
Bant durduran filtreler, iki kesim frekansı arasındaki bandın dışında olan
(geçirme bandı) kaynak gerilimlerini geçirir ve iki kesim frekansı arasındaki
frekanslarda olan (durdurma bandı) kaynak gerilimlerini çıkışa ulaşmadan
zayıflatır.
Bant durduran filtreler, bant geçiren filtrelerle aynı değişkenler ile nitelenirler.
Bunlar, iki adet kesim frekansı, merkez frekansı, bant genişliği ve kalite
faktörüdür.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
58
14.3.4 Seri RLC Devresi
Şekil 14.10 (a)’da seri RLC yer
almaktadır. Devre elemanları ve
bağlantıları her ne kadar bant geçiren
seri RLC filtreninkiyle aynı olsa da, bu
devre önemli bir farka sahiptir.
Görüldüğü üzere, devrenin çıkış
gerilimi bobin ve kapasitör üzerinde
tanımlanmıştır.
0 ’da, bobinin kısa devre,
kapasitörün ise açık devre gibi
Şekil 14.10 (a) Bant durduran seri RLC filtre (b) 0 için eşdeğer devre (c) için
eşdeğer devre
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
59
davrandığını biliyoruz. Fakat ’da bu davranışlar değişir.
Hem 0 hem de için devrenin çıkış gerilimi açık devredir. Bu
yüzden çıkış ve giriş gerilimleri aynı genliğe sahiptir.
Bu bant durduran seri RLC devre, biri düşük kesim frekansının altında,
diğeri de yüksek kesim frekansının üstünde olmak üzere iki geçirme
bandına sahiptir.
İki geçirme bandının arasında, kapasitör ve bobinin sonlu değerde fakat
zıt işaretli empedansları vardır. Frekans sıfırdan arttırıldığında bobinin
empedansı artar ve kapasitörünki ise azalır. Böylece girişle çıkış
arasındaki faz farkı 1/ C L ’ye yaklaşırken 90 ’ye yaklaşır. L , 1/ C
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
60
’yi aştığında, faz kayması 90 ’ye zıplar, sonra da arttırılmaya devam
ederse sıfıra yaklaşır.
Geçirme bantları arasındaki bir frekansta, bobin ve kapasitörün
empedansları eşit fakat zıt işaretlidir. Bu frekansta, kapasitör ve bobinin
seri eşdeğeri kısa devredir, o halde çıkış geriliminin genliği sıfır
olmalıdır. Bu frekans, bant durduran seri RLC filtrenin merkez
frekansıdır.
Şekil 14.10, bant durduran seri RLC filtrenin frekans tepkisini göstermektedir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
61
Şekil 14.10 Bant durduran seri RLC devrenin frekans tepkisi grafiği
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
62
Şekil 14.11 Bant durduran seri RLC devrenin s bölgesi eşdeğeri
Şekil 14.11’den görüldüğü gibi s-düzlemine dönüşüm yapıldıktan sonra
transfer fonksiyonu eşitliğini oluşturmak için
gerilim bölücü kullanırız:
2
2
1 1
( ) 1 1
sL ssC LCH s RR sL s s
sC L LC
(47)
burada s yerine j koyup transfer
fonksiyonunun genliğini ve faz açısı için
aşağıdaki eşitlikler elde edilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
63
2
2 22
1
( )1
LCH jR
LC L
(48)
1
2( ) tan 1
RLj
LC
(49)
Bant durduran filtre için merkez frekansı, kapasitör ve bobinin
empedanslarının toplamının sıfır olduğu frekanstır. Bant geçiren filtrede
merkez frekansındaki genlik en yüksekti fakat bant durduran filtrede bu genlik
en düşüktür.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
64
01
LC (50)
Denklem (35)’i, (33)’de yerine koyarsak, 0( ) 0H j olur.
Bant geçiren seri RLC devresinde olduğu gibi kesim frekansları, bant genişliği
ve kalite faktörü ifadeleri bant durduran filtreler için de elde edilebilir. Bant
durduran filtreler için max ( 0) ( )H H j H j ve bant geçiren seri RLC filtre
için max 1H ’dir. Böylece kesim frekansları aşağıdaki gibi ifade edilir.
2
11
2 2cR RL L LC
(51)
2
21
2 2cR RL L LC
(52)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
65
Bant genişliği ifadesini tanımlamak için kesim frekanslarını kullanırız.
/R L (53)
Merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden kalite faktörü Q aşağıdaki gibi
tanımlanır.
2
LQR C
(54)
Kesim frekansları bant genişliği ve merkez frekansı cinsinden
tanımlanabilir. 2
21 02 2c
(55)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
66
22
2 02 2c
(56)
Kesim frekanslarını, kalite faktörü ve merkez frekansı cinsinden ifade
edebiliriz. 2
1 01 11
2 2c Q Q
(57)
2
2 01 11
2 2c Q Q
(58)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
67
Örnek 14.4: 14.10’daki seri RLC devresini kullanarak 250 Hz bant genişliğine
ve 750 Hz merkez frekansına sahip olacak bant durduran filtre için devre
elemanlarının değerlerini hesaplayınız. 100 nF’lık bir kondansatör kullanarak
1 2, , ,c cR L ve Q değerlerini hesaplayınız.
Çözüm: Öncelikle kalite faktörü aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
0 3Q
Eşitlik 50 kullanılarak L ’yi hesaplamak için, öncelikle 0 rad/s’ye
çevrilmelidir.
2 2 90
1 1 450(2 750) (100 10 )
L mHC
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
68
Daha sonra, bant genişliği denkleminden R hesaplanabilir. 32 (750)(450 10 ) 707R L
Kesim frekansları bant genişliği ve merkez frekansı kullanılarak aşağıdaki gibi
hesaplanabilir: 2
21 0 3992.0
2 2c
rad/s
22
2 0 5562.82 2c
rad/s
Buradan, kesim frekansları 635.3 Hz ve 885.3 Hz bulunur.
Farkları 885.3 635.3 250 Hz istenen bant genişliğini sağlar.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
69
Alt kesim ve üst kesim frekanslarının geometrik ortalamaları
(635.3)(885.3) 750 Hz değeri de istenen merkez frekansını sağlar.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
70
Özet (Bant Durduran Filtre)
2 2
2 2( ) o
o
sH ss s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
71
Kaynak
J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.