Volumen de cilindros y conos30Bim

estr

e 5 Secuencia

506

Planeación

Inicio

Las formas cilíndricas y cónicas se aprovechan en el diseño de

muchos objetos de uso cotidiano.

experimento. Se-cuencia de procedi-mientos destinados a descubrir, comprobar o demostrar deter-minados fenómenos, fórmulas o principios científicos.

Cilindros y conos 1. Lee el texto y contesta las preguntas en tus hojas de cuaderno. Luego, compara

tus respuestas con las de otros compañeros.

Seguramente has observado recipientes, objetos e incluso edificaciones con forma cónica o cilíndrica. ¿Crees que sus características los hacen mejores que otras formas geométricas? Sin duda, alguna ventaja deben tener para que tantos diseñadores in-dustriales y arquitectos los elijan en diversos tipos de proyectos.

�� ¿Existirá alguna relación entre los volúmenes del cilindro y del cono? Argumen-ta tu respuesta. �� ¿Y entre el volumen de los conos y cilindros con el de otros prismas y pirámi-

des? Explica.

En esta secuencia, harás ejercicios que te permitirán verificar las respuestas de esta actividad. Por ahora, forma un equipo de tres o cuatro integrantes y lean la informa-ción sobre el proyecto.

Contenido

Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.

En equipo, diseñarán un experimento para comprobar si existe alguna relación entre los volúmenes de prismas, pirámides, cilindros y conos, y elaborarán un informe con sus resultados.

Como primer paso, construirán un cilindro y cinco prismas: triangular (con triángulo equilátero de base), cuadrangular, pentagonal, hexagonal y heptagonal; así como un cono y cinco pirámides: triangular (con triángulo equilátero de base), cuadrangular, pentagonal, hexagonal y heptagonal. Todos los sólidos deben tener la misma altura, y su base quedará inscrita en un círculo de igual tamaño (como se muestra); la base del cilindro y del cono será un círculo igual a aquel en el que inscribirán las figuras.

Les sugerimos que comiencen trazando los desarrollos planos en papel, para después hacerlos en material resistente (cartón o cartoncillo). Realizarán su pro-yecto a lo largo de esta secuencia; en la sección “¿Cómo vamos?” encontrarán más detalles.

Nuestro trabajo

507

Desa

rrollo

El área de los polígonos y el volumen de los prismas

2. Efectúa la siguiente actividad individualmente.

�� Observa los polígonos y el círculo, escribe la fórmula para encontrar el área de cada uno y calcúlala. Después, contesta las preguntas.

Fórmula:

Área:

Fórmula:

Área:

�� Si los polígonos anteriores se inscriben en un círculo, ¿cómo será el área del polígono cada vez que aumenta su número de lados, en comparación con el

área del círculo?

�� ¿Qué relación hay entre el apotema de los polígonos y el radio del círculo?

�� Una vez que has recordado las fórmulas para encontrar el área de algunos polígo-nos y del círculo, escribe las fórmulas para hallar el volumen de los prismas que se muestran a continuación y calcúlalo.

Fórmula:

Volumen:

A B C D E

0.75 cm

2.59 cm

1.06 cm

2.12 cm

1.21 cm

1.77 cm

1.32 cm

1.53 cm

1.5 cm1.35 cm

1.30 cm

508

3. Reúnete con un compañero, hagan lo que se solicita y respondan.

�� Revisen los volúmenes que obtuvieron en la actividad anterior y compárenlos así: volumen del prisma triangular (A) con el cuadrangular (B), volumen del prisma cuadrangular (B) con el pentagonal (C ) y volumen del pentagonal (C )

con el hexagonal (D). Anoten cómo son entre sí y sus observaciones.

�� Observen el prisma heptagonal (E ). Consideren que se tiene un cilindro con la misma altura que este, y cuya base es un círculo en el que puede inscribirse el heptágono base de dicho prisma. ¿Cómo será el volumen del cilindro si se

compara con el volumen del prisma heptagonal?

�� A partir de lo que han visto hasta ahora, describan cómo se calcula el volumen

del cilindro.

�� Comparen sus respuestas con las de otras parejas y arguméntenlas.

El volumen del cilindro

5. Efectúen la siguiente actividad en equipo.

�� En diferentes hojas, tracen a escala los desarrollos planos que se muestran, midan las dimensiones de los rectángulos y sus correspondientes círculos y determinen si con esas medidas puede construirse un cilindro.

�� Para calcular el volumen de un prisma, hay que multiplicar el área de la base por la altura. Teniendo en cuenta esto, respondan en sus hojas de cuaderno:

�� ¿Qué forma tiene la base del cilindro y cómo se calcula su área?

�� Escriban la fórmula para calcular el volumen de un cilindro, y calculen el volumen del cilindro que determinaron en la actividad anterior.

�� ¿Qué pasa con el volumen si el área de la base crece, pero la altura se mantiene constante? ¿Qué sucede si la altura aumenta o disminuye, pero el área de la base se mantiene constante?

A

B

C

¿Cómo vamos?

4. Reúnete con tu equipo y trabajen en su proyecto.

�� Anoten las medidas que asignen a los desarrollos planos; luego, armen los cuerpos, pero sin pegarlos, y revisen de nuevo las medidas.

�� Discutan si hay alguna relación entre el volumen de los prismas y el de las pirámides de igual base, así como entre el volumen del cono y del cilindro, y cómo pueden usar los cuerpos para verificarlo. Establezcan una serie de pasos para seguir en su experimento y escríbanlos, pues los incluirán en su informe.

509

El volumen de las pirámides y del cono

6. Resuelve de forma individual.

�� Al igual que trabajaste con los prismas, ahora escribe las fórmulas para encontrar el volumen de las pirámides y calcúlalo.

7. En pareja, revisen sus respuestas de la actividad anterior y hagan lo siguiente.

�� Comparen el volumen de las pirámides así: el de la pirámide triangular (A) con el volumen de la cuadrangular (B), el de la pirámide cuadrangular (B) con el volumen de la pentagonal (C), y el de la pentagonal (C) con el volumen de la hexagonal (D). ¿Cómo son los volúmenes entre sí? Anoten sus observaciones.

�� Observen la pirámide heptagonal (E). Si se tiene un cono con la misma altura que esta, y cuya base es un círculo en el que puede inscribirse el heptágono de dicha pirámide, ¿cómo creen que será el volumen del cono, si se compara

con el de la pirámide?

�� Según lo que han visto, describan cómo se calcula el volumen de un cono.

8. Trabajen esta actividad en equipo.

�� Tracen en diferentes hojas los desarrollos planos indicados al lado derecho, determinen con cuál puede construirse un cono y ármenlo.

�� Escriban la fórmula para calcular el volumen de un cono y calculen el volumen

del que armaron.

9. En grupo, comparen lo que plantearon para calcular el volumen de un cono, tanto en esta actividad como en la anterior. Para concluir, contesten:

�� ¿Qué ocurrirá con el volumen del cono si el área de su base crece pero la altura se mantiene constante? ¿Y si la altura del cono aumenta o disminuye pero el área de la base se mantiene constante?

A

B

C

Fórmula:

Volumen:

A B C D E

http://tinyurl.com/m4bkvrj

510

¿Cómo vamos?

11. Reúnete con tu equipo para trabajar en su proyecto.

�� Según lo que han visto, ¿cómo es el volumen de los prismas, comparado con el del cilindro? ¿Qué han observado en cuanto al volumen de las pirá-mides comparado con el del cono? ¿Qué materiales usarían para rellenar sus figuras y comparar los volúmenes?

�� Usen el cilindro y el cono y comprueben lo aprendido en la actividad anterior.�� Definan los pasos de su experimento y llévenlo a cabo. Luego, redacten su

informe; deben incluir el objetivo del experimento, los pasos que siguieron, los resultados y las conclusiones que pueden obtenerse a partir de ellos. En clase, repetirán su experimento, así que lleven todos los materiales.

12. Resuelve las actividades y responde en tus hojas de cuaderno.

�� Construye un cono cuyo desarrollo plano sea un sector circular de radio de 5 cm y con ángulo central de 180°; luego, construye un cilindro con igual base y altura que el cono.

�� Construye un cono cuyo desarrollo plano sea un sector circular de radio de 5 cm y con ángulo central de 120°; luego, construye un cilindro con igual base y altura que el cono.

�� Obtén el volumen de los conos y cilindros y compáralos. ¿Cuál es tu conclusión?

El volumen del cilindro y del cono

Al igual que trabajaste con los prismas y las pirámides de las páginas anteriores, ahora escribe las fórmulas para calcular el volumen del cono y del cilindro que se muestran a continuación y calcúlalos.

Fórmula: Fórmula:

Volumen: Volumen:

10. Trabajen esta actividad en pareja; comparen los datos que obtuvieron para el volumen del cono y del cilindro y contesten.

�� ¿Qué relación observan entre la fórmula del cilindro y la del cono, si su base y

altura son iguales?

�� ¿Es correcta esta afirmación? Si el cilindro y el cono tienen igual base e igual altura, el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro. Argumenten

su respuesta.

�� Revisen la actividad 1 de la página 506, y corrijan sus respuestas, de ser necesario.

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

511

¿Cómo nos fue?

�� ¿Cuál fue la mayor dificultad a la que te enfrentaste al resolver las actividades propuestas? ¿Cómo la resolviste?�� ¿Comprendiste la relación que hay entre el volumen de un cono y el de un

cilindro que tienen la misma altura y la misma base?�� ¿Qué aplicaciones tienen en la vida diaria los conceptos aprendidos?

La luz del cono

13. Lee la situación y contesta.

En el techo hay una lámpara con forma de cono que ilumina la mesa circular. Esta tiene un diámetro de 1.20 m cuya orilla forma un ángulo de 60º con la lámpara.

�� ¿A qué altura sobre la mesa debe colocarse la lámpara para que la ilu-

mine por completo?

14. Ahora, hagan en grupo esta actividad.

Con la supervisión del profesor, construyan un cono con cartulina, de manera que sirva de pantalla para un foco que ilumine la superficie del escritorio, como se muestra en la figura. En cartoncillo, tracen un círculo de 1.20 m de diámetro y pónganlo sobre el escritorio para simular la mesa de la imagen. Deberán construir un mecanismo, que puede ser con armellas clavadas en el techo y un lazo, para poder subir o bajar la lámpara y medir su altura sobre la mesa. Modifiquen la altura de la lámpara y midan el diámetro del círculo iluminado que se forma, repitiendo el procedimiento hasta llegar a la respuesta. Hagan una tabla que muestre los resultados de sus diferentes intentos.

�� Observen el dibujo. Si el ángulo A mide 60º y los lados AB y AC son iguales,

¿qué tipo de triángulo es el triángulo ABC?

�� Tracen la altura del cono. ¿Cuánto mide el radio de la mesa?

Presentación de nuestro trabajo

15. Entreguen al profesor su informe y sigan las indicaciones para presentar su experimento ante el grupo.

�� Hagan las demostraciones de sus experimentos: llenen los cuerpos geométricos con azúcar o arena para demostrar cuántas veces cabe el contenido del cono en el cilindro de igual altura y base. Expliquen también cómo dedujeron las fórmulas de volumen de cilindros y conos a partir de las fórmulas de volumen de prismas y pirámides.

�� Discutan en clase las conclusiones de todos los equipos.�� Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

A

B C

Cierre

512

Cilindros y conos1 Analiza las situaciones y contesta.

�� Imagina que tienes muchos triángulos rectángulos iguales hechos de papel y los juntas para formar un cono que tendrá como altura uno de los catetos de los triángulos. ¿Cómo estimarías de manera sencilla el volumen del cono?

�� ¿Cuál consideras que sería la circunstancia más importante por la que tu estimación no resultará cercana al valor exacto del volumen del cono?

�� Si en lugar de triángulos de papel tuvieras rectángulos, ¿podrías estimar el volumen del cilindro resultante como hiciste con el cono? Explica qué sucedería respecto de lo que analizaste en el cono.

2 Observa la ilustración y dibuja dos propuestas para aproximar el volumen limitado por el cilindro que está acotado por los dos discos azules.

Usando solo cilindros Usando solo conos

513

El área de los polígonos y el volumen de los prismas3 Observa y compara las fórmulas y datos que permiten calcular el área de los

polígonos regulares propuestos.

�� Ahora, describe cada fórmula aplicada a un polígono regular cualquiera.

Área

P a2

Datos adicionales

P L n

Área

n a 2 tan ()

Datos adicionales

= pn

Área

n r 2 sen (2)2

Datos adicionales

= pn

Área

n4

L 2 tan ()

Datos adicionales

p  2  

2

p (n  2 )

2 n      

A =n r 2 sen (2)

2

A = n4

L 2 tan ()

A = n a 2 tan ()

A = P a2

a

L

a

r2

L

514

2c

a

b

2c

a

b

2c

a

b

2c

a

b

2c

a

b

2c

a

b

El volumen del cilindro4 Completa los dos pasos del desarrollo para formar un triángulo. Observa

que a la primera circunferencia de radio v se le dibujaron circunferencias concéntricas y sus coronas se pintaron de colores.

�� ¿Cómo se calcula el área de la circunferencia?

El volumen de las pirámides y del cono5 Completa los dibujos de las seis pirámides que pueden trazarse dentro del

prisma rectangular; luego, anota el volumen. Fíjate en los ejemplos y responde.

�� En un prisma como los anteriores, ¿cuántas pirámides como las que dibujaste pueden caber? Usa el porcentaje de volumen de cada cuerpo geométrico para argumentar.

Volumen: Volumen: Volumen:

Volumen: 13

abc Volumen: 13

abc Volumen:

515

El volumen del cilindro y del cono6 Revisa los datos y desarrolla lo que se solicita empleando cilindros y conos.

�� En el recuadro, dibuja un esquema que te permita aproximar el volumen, si sabes que la longitud de la parte cónica es de 12 cm, toda la ilustración mide 40 cm de largo y el diámetro del cilindro es de 4 cm.

�� ¿Cuál es el volumen aproximado que tendrían esas piezas de los arpones de Philae?

�� ¿Qué cambios mejorarían la aproximación del volumen de tu esquema?

Un viaje a 67P/Churyumov-Gerasimenko

El 12 de noviembre de 2014, la sonda espacial Rosetta lanzó un robot, llamado Philae, hacia el cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko para que efectuara diversos experimentos y mediciones. La maniobra fue un éxito, pero un mecanismo de dos arpones que utilizaría el robot para sujetarse al cometa falló. Debido a ello, Philae rebotó y se alejó más de un kilómetro del lugar previsto para su descenso.

La ilustración simplificada de la derecha es el interior del arpón, donde se muestra el proyectil y su aditamento posterior.

Portafolio 3Las cabezas parlantesAunque cada estructura ósea es diferente (como cada parte del cuerpo), las diferencias no tienden a ser tan radicales, ya que todos nos desarrollamos de forma similar.

Una buena manera de calcular tamaños y formas concretas en el cuerpo es abstrayendo su contorno como cuerpos tridimensionales básicos.

Escribe qué se puede calcular en el modelo de tu cabeza mediante líneas cónicas.