Prof. dr. sc. Maja Biljan-August Prof. dr. sc. Snjeana Pivac Doc. dr. sc. Ana tambuk

UUPPOORRAABBAA SSTTAATTIISSTTIIKKEE UU

EEKKOONNOOMMIIJJII 2. IZDANJE

Poglavlje 3.

AANNAALLIIZZAA VVRREEMMEENNSSKKIIHH

SSEERRIIJJAA

Ekonomski fakultet Sveuilita u Rijeci Rijeka, 2009.

97

3. ANALIZA VREMENSKIH SERIJA 3.1. Definicija vremenskog niza

Praenje razliitih ekonomskih pojava u vremenu veoma je vano za poslovnu i gospodarsku politiku, stoga u poslovnoj i makroekonomskoj statistici obrada vremenskih nizova zauzima vano mjesto.

Vremenski niz je skup kronoloki ureenih vrijednosti pojave. Vrijednosti promatrane varijable vremenskog niza oznaavaju se:

{ } NtYt ...,,2,1, = ,1 (3.1.1) i zovu se frekvencije.

3.2. Vrste nizova

S obzirom na vrijeme opaanja vrijednosti pojave postoje dvije vrste vremenskog niza:

1. intervalni vremenski niz 2. trenutani vremenski niz.

Kod intervalnog vremenskog niza vrijednost pojave mjeri se u vremenskom intervalu.

Kod trenutanog vremenskog niza vrijednost pojave mjeri se u trenutku vremena.

3.3. Grafiko prikazivanje i usporeivanje vremenskih nizova

Grafikim prikazom vremenskih nizova postie se jasnija i preglednija slika kretanja vrijednosti promatrane pojave kroz vrijeme.

Slika grafikona, kao i svi prikazi u statistici, mora biti jasna i potpuna. Kod vremenskih nizova vrijeme se uvijek nanosi na apscisu dok se na ordinatu nanose vrijednosti pojave Yt. Grafiki prikaz treba imati sve potrebne oznake:

1 Indeks "t" ovdje znai: time (eng.) - vrijeme.

98

naslov grafikona, izvor grafikona, oznake na ordinati, oznake na apscisi i kazalo ako se na istom grafikonu prikazuje vie razliitih vremenskih nizova.

Na jednom grafikom prikazu moe se usporeivati vie vremenskih nizova s istom jedinicom mjere. Broj vremenskih nizova na jednom grafikonu ogranien je samo zbog tehnikih mogunosti jer kod velikog broja nizova usporeivanje postaje nepregledno. To su grafikoni s aritmetikim mjerilom na osi ordinata.

Postoje grafikoni s logaritamskim mjerilom na osi ordinata. Oni omoguuju prikazivanje i usporeivanje vremenskih nizova s razliitom jedinicom mjere na istom grafikonu. Ovim grafikonom mogu se prikazivati i usporeivati i vremenski nizovi s istom mjernom jedinicom, ali koji imaju velike razlike meu vrijednostima pojave.

Njihova konstrukcija danas je olakana u raznim statistikim paketima za raunalo (Statistica, SPSS i slino).

Ako je omjer najvee i najmanje frekvencije vremenskog niza:

10min

max YY , dovoljan je 1 logaritamski ciklus

10010min

max 1 0

L

A1 0

L

A>0, B

135

Ocjena parametara modificiranog eksponencijalnog trenda:

1. metodom parcijalnih suma

3

,12

23 NrSSSSB r =

= , (3.7.57)

212 )1(1)(

= rBBSSA , (3.7.58)

+=

231

2231

21

SSSSSS

rL , (3.7.59)

gdje su:

1S - parcijalna suma prve treine vrijednosti vremenskog niza

2S - parcijalna suma druge treine vrijednosti vremenskog niza

3S - parcijalna suma tree treine vrijednosti vremenskog niza.

2. metodom triju odabranih toaka

2

1, == Nr

YYYYB r

III

IIIII , (3.7.60)

1

= r IIIBYYA , (3.7.61)

AYL I = , (3.7.62) gdje su:

IY - vrijednost pojave na poetku vremenskog niza

IIY - vrijednost pojave u sredini vremenskog niza

IIIY - vrijednost pojave na kraju vremenskog niza.

136

Primjer 3.7.5.

Tablica 3.9.

Izvoz podruja Z u razdoblju od 2000. do 2008. god. Godina Izvoz u milijunima

USD (Yt) Varijabla vrijeme (Xt) t

Y)

2000. 100 0 98 2001. 102 1 103 2002. 109 2 110 2003. 119 3 119 2004. 130 4 130 2005. 145 5 145 2006. 168 6 165 2007. 191 7 191 2008. 222 8 225

Ukupno 1286 36 1286 Izvor: Statistika podruja Z, 2009. god.

Zadatak je ocijeniti model modificiranog eksponencijalnog trenda i trend vrijednosti.

Model modificiranog eksponencijalnog trenda glasi: XBALY +=)

Ocjena parametara modificiranog eksponencijalnog trenda metodom parcijalnih suma je sljedea:

31,1311394394581

3

12

23 ==

= rSSSSB 3

39

3=== nr

44,16)131,1(

131,1)311394()1(

1)( 23212 ==

= rBBSSA

59,813942581311

39458131131

21 2

231

2231 =

+=

+=

SSSSSS

rL

3111091021001 =++=S 3941451301192 =++=S 5812221911683 =++=S

137

Ocijenjeni model modificiranog eksponencijalnog trenda glasi: XY 31,144,1659,81 +=)

X=0, 2000. godine Jedinica za X je jedna godina Jedinica za Y je 1 milijun USD-a

Trend vrijednosti prikazane su u posljednjem stupcu tablice 3.9.

3.7.4.2. Logistiki trend

Logistiki trend je oblika:

xBALY +=

1 (3.7.63)

Oblik modela logistikog trenda prikazan je na slici 3.2.:

Slika 3.2.

U ekonomiji se krivulja logistikog trenda upotrebljava kod opisivanja ivotnog vijeka nekog proizvoda (faza uhodavanja, faza ekspanzije i faza stagnantnog razvoja).

Logistiki trend model upotrebljava se za prikaz trend komponente vremenskog niza kojemu su omjeri prvih diferencija recipronih vrijednosti vremenskog niza priblino konstantne:

.)1(

)1(

1const

YY

t

t

(3.7.64)

xt 0

yt

138

Ocjena parametara logistikog trenda:

1. metodom parcijalnih suma

3

,12

23 NrSSSSB r =

= (3.7.65)

212 )1(1)(

= rBBSSA (3.7.66)

+=

231

2231

21

SSSSSS

rL (3.7.67)

gdje su:

1S - parcijalna suma prve treine recipronih vrijednosti vremenskog niza

2S - parcijalna suma druge treine recipronih vrijednosti vremenskog niza 3S - parcijalna suma tree treine recipronih vrijednosti vremenskog niza.

2. metodom triju odabranih toaka

2

1,)1()1(

)1()1( =

= NrYY

YYB rIII

IIIII (3.7.68)

1

)1()1(

= r IIIBYYA (3.7.69)

AYL I= )1( (3.7.70)

gdje su:

)1(IY

- reciprona vrijednost pojave na poetku vremenskog niza

)1(IIY

- reciprona vrijednost pojave u sredini vremenskog niza

)1(IIIY

- reciprona vrijednost pojave na kraju vremenskog niza.

139

Primjer 3.7.6.

Tablica 3.10.

Prodaja proizvoda Z u razdoblju od 2000. do 2008. god. Godina Prodano tisua t

(Yt) Varijabla vrijeme (Xt)

tY/1 tY)

2000. 56 0 0,017857 45,5 2001. 65 1 0,015384 74,1 2002. 88 2 0,011364 109,5 2003. 133 3 0,007519 145,1 2004. 186 4 0,005376 174,0 2005. 204 5 0,004902 193,9 2006. 210 6 0,004762 206,0 2007. 211 7 0,004739 212,8 2008. 214 8 0,004673 216,5

Ukupno 1367 36 0,076576 1377,4 Izvor: Podaci su simulirani.

Zadatak je ocijeniti model logistikog trenda i trend vrijednosti.

Model logistikog trenda glasi:

XABLY +=

1)

Ocjena parametara logistikog trenda metodom parcijalnih suma je sljedea:

513174,0044605,0017797,0017797,0014174,0

3

12

23 ==

= rSSSSB 3

39

3=== nr

017448,0)1513174,0(

1513174,0)044605,0017797,0()1(

1)( 23212 ==

= rBBSSA

004536,0017797,02014174,0044605,0

017797,0014174,0044605,031

21 2

231

2231 =

+=

+=

SSSSSS

rL

044605,0011364,0015384,0017857,01 =++=S 017797,0004902,0005376,0007519,02 =++=S 014174,0004673,0004739,0004762,03 =++=S

140

Ocijenjeni model logistikog trenda glasi:

XY 513174,0017448,0004536,01

+=)

X=0, 2000. godine Jedinica za X je jedna godina Jedinica za Y je 1 tisua t

Trend vrijednosti prikazane su u posljednjem stupcu tablice 3.10.

3.7.4.3. Gompertzov trend

Gompertzov trend je oblika: xBALY = (3.7.71)

Mogui oblici modela Gompertzovog trenda u ovisnosti o parametrima A, B i L prikazani su na slici 3.3.:

Slika 3.3.

U ekonomiji se krivulja Gompertzovog trenda upotrebljava kod opisivanja ekonomskih pojava (faza uhodavanja, faza ekspanzije, faza regresivnog rasta i faza stagnantnog razvoja)

logA>0, B>1 0

L

logA1 0

L

logA>0, B

141

Gompertzov trend model upotrebljava se za prikaz trend komponente vremenskog niza kojemu su omjeri prvih diferencija logaritama vrijednosti vremenskog niza priblino konstantne:

.loglog

1const

YY

t

t

(3.7.72)

Ocjena parametara Gompertzovog trenda:

1. metodom parcijalnih suma

3

,12

23 NrSSSSB r =

= , (3.7.73)

212 )1(

1)(log =

rBBSSA , (3.7.74)

+=

231

2231

21log

SSSSSS

rL , (3.7.75)

gdje su:

1S - parcijalna suma prve treine logaritamskih vrijednosti vremenskog niza

2S - parcijalna suma druge treine logaritamskih vrijednosti vremenskog niza

3S - parcijalna suma tree treine logaritamskih vrijednosti vremenskog niza.

2. metodom triju odabranih toaka

2

1,loglogloglog =

= NrYYYYB r

III

IIIII , (3.7.76)

1logloglog

= r IIIBYYA , (3.7.77)

AYL I = loglog , (3.7.78) gdje su:

IYlog - logaritam vrijednosti pojave na poetku vremenskog niza

IIYlog - logaritam vrijednosti pojave u sredini vremenskog niza

IIIYlog - logaritam vrijednosti pojave na kraju vremenskog niza.

142

Primjer 3.7.7.

Tablica 3.11.

Pretplatnici Interneta na podruju Z u razdoblju od 2000. do 2008. god.

Godina Broj pretplatnika Interneta (Yt)

Varijabla vrijeme (Xt)

tYlog

2000. 4 0 0,852060 2001. 7 1 0,987955 2002. 8 2 1,028090 2003. 12 3 1,162515 2004. 20 4 1,351030 2005. 32 5 1,536400 2006. 68 6 1,847215 2007. 151 7 2,185599 2008. 393 8 2,596937

Ukupno 695 36 13,547801 Izvor: Statistika podruja Z, 2009. god.

Zadatak je ocijeniti Gompertzov trend.

Gompertzov trend ima oblik: XBALY =)

Ocjena parametara Gompertzovog trenda metodom parcijalnih suma je sljedea:

297208,1868105,2049945,4040045,4629751,6

3

12

23 ==

= rSSSSB 3

39

3=== nr

251039,0)1297208,1(

1297208,1)868105,2049945,4()1(

1)(log 23212 ==

= rBBSSA

622993,0049945,42629751,6868105,2

049945,4629751,6868105,231

21log

2

231

2231 =

+=

+=

SSSSSS

rL

868105,2028090,1987955,0852060,01 =++=S 049945,4536400,1351030,1162515,12 =++=S 629751,6596937,2185599,2847215,13 =++=S

Transformacijom:

782540,11010 251039,0loglog === AA 197526,41010 622993,0loglog === LL

143

dobiju se vrijednosti parametara modela, stoga ocijenjeni model Gompertzovog trenda glasi:

X

Y 297208,1782540,1197526,4 =) X=0, 2000. godine Jedinica za X je jedna godina Jedinica za Y je 1 pretplatnik Internata

3.8. Procjene parametara Intervalna procjena parametra j trend modela ocijenjenog metodom najmanjih kvadrata uz odgovarajui nivo pouzdanosti procjene )1( je: { } =+

144

Pomini prosjeci su aritmetike sredine M uzastopnih frekvencija vremenskog niza (pri emu je M

145

Pri izraunavanju vaganih pominih prosjeka uzima se neparan broj frekvencija vremenskog niza (M=2m+1), ponderi su simetrini u odnosu na sredinji, a njihov zbroj je jednak nuli.

Primjer 3.9.1.

Tablica 3.12.

Instalirana raunala u poslovnici Z u razdoblju od 1997. do 2005. god.

Godina Broj instaliranih raunala (Yt)

Pomini prosjek M=3

Pomini prosjek M=4

1996. 45 * * 1997. 64 49 * 1998. 37 43 47 1999. 29 45 49 2000. 69 52 48 2001. 58 53 53 2002. 33 54 56 2003. 72 52 52 2004. 50 56 * 2005. 46 * *

Izvor: Podaci poslovnice Z, 2006. god.

Zadatak je izraunati trogodinje i etverogodinje pomine prosjeke i grafiki ih prikazati.

Izraz za jednostavne pomine prosjeke glasi:

=

+=m

msstt YM

Y 1*)

t=m+1, m+2,,(n-m)

Trogodinji pomini prosjeci (M=3, m=1) iznose:

=

+=1

1

*

31

sstt YY

) t=2,3,9

pa su vrijednosti sljedee:

[ ] [ ] 4937644531

31

321*

2 =++=++= YYYY)

[ ] [ ] 5646507231

31

1098*

9 =++=++= YYYY)

etverogodinji centrirani pomini prosjeci (M=4, m=2) iznose:

146

++= =

++1

122

*

21

21

41

ststtt YYYY

) t=3,4,8

vrijednosti su sljedee:

47692129376445

21

41

21

21

41

54321*

3 =

++++=

++++= YYYYYY)

52462150723358

21

41

217

21

41

109896*

8 =

++++=

++++= YYYYYY)

Grafikon 15.

Instalirana raunala u poslovnici Z, trogodinji i etverogodinji pomini prosjeci

0

20

40

60

80

100

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

M=3 M=4 Yt

Izvor: Tablica 3.12.

3.10. Standardna dekompozicija vremenske serije Svaka pojava ije je kretanje predstavljeno u obliku vremenskog niza sastoji se od vie komponenata, koje su ponekad vidljive na prvi pogled (na primjer iz grafikog prikaza), a ponekad je potrebna sloenija statistika analiza da bi se te komponente utvrdile i analizirale. Najea dekompozicija vremenskog niza je:

147

a) trend komponenta b) sezonska komponenta c) ciklika komponenta d) sluajna komponenta.

Vrijedi da je vremenski niz:

eCSTYt +++= , (3.10.1) gdje je: T -trend komponenta, S -sezonska komponenta, C -ciklika komponenta i e -sluajna komponenta. Ovdje se pretpostavlja da je djelovanje svih komponenti na vremenski niz aditivno, tj. njihovo djelovanje na pojavu u apsolutnom iznosu je isto bez obzira na tijek vremena.

Svaki vremenski niz ne mora sadravati sve ove komponente. S obzirom na sloenost vremenskog niza nije uvijek mogue strogo razluiti pojedine komponente vremenskog niza jer se moe dogoditi da jedna komponenta priguuje drugu.

Trend komponenta pretpostavlja da vrijednosti promatranog vremenskog niza imaju dugoronu tendenciju rasta ili pada kroz vrijeme. Takvo kretanje se u statistikoj obradi vremenskih nizova moe izraziti trend-modelima koji mogu biti rastui ili padajui i linearni ili nelinearni, ovisno o tendenciji kretanja vremenskog niza.

Sezonska komponenta pretpostavlja sistematsko kretanje vrijednosti pojave unutar jedne godine, koje se onda ponavlja u svakoj narednoj godini. Takvo kretanje je u praksi najee uzrokovano neekonomskim faktorima, kao to su, na primjer klimatske prilike i dravni praznici. Sezonska komponenta moe biti prisutna kod vremenskih nizova ije su frekvencije, odnosno vrijednosti pojave, mjerene mjeseno ili kvartalno. Na primjer ako je vremenski niz broj turista na nekom podruju, on e biti vei u ljetnim i zimskim mjesecima zbog praznika i godinjih odmora. Ta kretanja imaju sezonski karakter i ponavljaju se u svakoj godini.

Ciklika komponenta pretpostavlja period obnavljanja sistematskog kretanja vrijednosti pojave koji je dui od jedne godine. U praksi je ponekad teko pratiti cikliku komponentu jer se esto ne raspolae s dovoljno dugim vremenskim serijama. Ciklika kretanja su u praksi izraena u raznim granama privrede, kao to su graevinarstvo, stoarstvo i slino, a uzroci takvih kretanja su ciklike gospodarske aktivnosti. Ponekad ciklusi kretanja pojave nisu jasno izraeni, ve su prigueni trend komponentom odnosno dugoronom tendencijom kretanja. Po nekim autorima trend komponenta je ciklika komponenta vremenske serije s veoma dugim periodom obnavljanja.

Sluajna (ili nesistematska) komponenta predstavlja sve ostale utjecaje na vrijednosti promatrane pojave iji uinak nije sistematski, ve se ti

148

utjecaji javljaju s nepredvidivim djelovanjem u nekim vremenskim razdobljima. Na primjer mogu se javiti zbog nepredvidivosti prirode poslovnih i gospodarskih pojava, zbog iznenadne vremenske nepogode i slino.

Primjer 3.10.1.

Tablica 3.13.

Prevezeni putnici pomorskim prometom na podruju Z, 2001.-2005. god.

Prevezeni putnici Godina I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal 2001. 642 2369 3856 913 2002. 688 2174 4211 1052 2003. 579 2422 4196 863 2004. 727 2519 4327 986 2005. 825 2631 4528 1094

Izvor: Statistika podruja Z, oujak 2006. god.

Zadatak je izraunati etverogodinje pomine prosjeke, sezonske faktore, rezidualne faktore (trend i cikliku komponentu) i seriju desezonirati te grafiki prikazati zadani niz i desezoniranu pojavu.

Rjeenje:

Model glasi: tSttt ITY = pri emu je: Tt trend komponenta, odnosno pomini prosjeci ISt sezonska komponenta

t rezidualna komponenta

149

Godina, kvartal

Broj putnika

(Yt)

Pomini prosjeci

M=4

Prve procjenesezonskih

faktora Sezonski faktori

Desezonirana serija

Rezidualni faktori

2001.: I. 642 * * 0,3387364 1895,28 * II. 2369 * * 1,1570488 2047,45 * III. 3856 1950,75 1,976676 2,0382841 1891,79 0,969774 IV. 913 1932,13 0,472537 0,4659307 1959,52 1,014178

2002.: I. 688 1952,13 0,352436 0,3387364 2031,08 1,040445 II. 2174 2013,88 1,079511 1,1570488 1878,92 0,932987 III. 4211 2017,63 2,087107 2,0382841 2065,95 1,023953 IV. 1052 2035,00 0,516953 0,4659307 2257,85 1,109507

2003.: I. 579 2064,13 0,280506 0,3387364 1709,29 0,828096 II. 2422 2038,63 1,188056 1,1570488 2093,26 1,026798 III. 4196 2033,50 2,063437 2,0382841 2058,59 1,012340 IV. 863 2064,13 0,418095 0,4659307 1852,21 0,897333

2004.: I. 727 2092,63 0,347411 0,3387364 2146,21 1,025607 II. 2519 2124,38 1,185761 1,1570488 2177,09 1,024815 III. 4327 2152,00 2,010688 2,0382841 2122,86 0,986461 IV. 986 2178,25 0,452657 0,4659307 2116,19 0,971511

2005.: I. 825 2217,38 0,372062 0,3387364 2435,52 1,098381 II. 2631 2256,00 1,166223 1,1570488 2273,89 1,007929 III. 4528 * * 2,0382841 2221,48 * IV. 1094 * * 0,4659307 2347,99 *

etverogodinji centrirani pomini prosjeci (M=4, m=2) iznose:

++= =

++1

122

*

21

21

41

ststtt YYYY

) t=3,4,18

i prikazani su u treem stupcu tablice.

U etvrtom stupcu tablice dane su prve procjene sezonskih faktora kao omjer odgovarajuih vrijednosti vremenskog niza i pominih prosjeka. S obzirom da procjene sezonskih faktora za iste kvartale variraju treba izraunati prosjek za iste kvartale, a to je uinjeno u sljedeoj tablici:

150

Prve procjene sezonskih faktora Godina I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal 2001. * * 1,9766756 0,4725367 2002. 0,3524364 1,0795109 2,0871074 0,5169533 2003. 0,2805063 1,1880557 2,0634374 0,4180948 2004. 0,3474105 1,1857605 2,0106877 0,4526569 2005. 0,3720616 1,1662234 * *

Prosjek 0,3381037 1,1548876 2,0344770 0,4650605 Sezonski faktori 0,3387364 1,1570488 2,0382841 0,4659307 Sezonski indeksi 33,873640 115,70488 203,82841 46,593072 Prosjek je raunan kao jednostavna aritmetika sredina prvih procjena sezonskih faktora istih kvartala. S obzirom da zbroj sezonskih faktora mora biti jednak sezonskom periodu (podaci su kvartalni, pa je to 4), a zbroj prosjeka iznosi: 3,9925288=0,3381037+1,1548876+2,0344770+0,4650605, stoga prosjeke treba korigirati tako da njihov zbroj bude 4. U tu svrhu rabi se korektivni faktor: 1,001871=4/3,9925288 kojim se mnoi svaki izraunati prosjek te pomnoi sa 100. Na taj su se nain dobili sezonski indeksi po kvartalima koji su prikazani u posljednjem retku gornje tablice. Tako npr. sezonski indeks 203,82841 pokazuje da je razina pojave u III. kvartalu svake godine u prosjeku za 103,82841% via zbog sezonskih utjecaja.

Desezonirana serija, odnosno vrijednosti oiene od sezonskih utjecaja dobivene su dijeljenjem vrijednosti vremenskog niza sa sezonskim faktorima.

Rezidualni faktori dobiju se dijeljenjem desezoniranih vrijednosti s pominim prosjecima kao procjenama trenda. Indeks rezidualnih odstupanja jednak je umnoku rezidualnog faktora i 100, npr. indeks rezidualnih odstupanja u III. kvartalu 2001. godine iznosi 96,9774 a to znai da je razina pojave u tom kvartalu bila nia za 3,026% zbog rezidualnih utjecaja.

Analizirani vremenski niz moe se ralaniti na komponente, tako npr. vrijednost frekvencije vremenskog niza u III. kvartalu 2001. godine iznosi 3856 (trea u nizu), a rastavljena na faktore glasi:

3856969774,00382841,219513333 === ITY

151

Grafikon 16.

Prevezeni putnici i desezonirana pojava

0500

100015002000250030003500400045005000

2001.:I

II III

IV

2002.:I

II III

IV

2003.:I

II III

IV

2004.:I

II III

IV

2005.:I

II III

IV

Prevezeni putnici Desezonirana pojava

Izvor: Tablica 3.13.