bhnstatistikyy1.doc

8/18/2019 BhnStatistikyy1.doc

1/63

BAB I

PENDAHULUAN

Apabila orang kebanyakan mendengar kata Statistika, makabayangan yang muncul pada benak mereka adalah angka-angka dalambeintuk daftar atau grafik-grafik dengan keterangan tertentu. Bayanganini muncul karena dalam jangka waktu yang lama Statistikdiidentirikasikan semata-mata dengan tampilan data serta grafik yangberhubungan dengan kondisi ekonomi, demografl, maupun politik darisuatu negara. Kata Statistika itu sendiri sebenarnya berasal dari bahasaLatin 'status’ yang artinya adalah suatu negara,dalam arti kesatuanpolitik. alam jangka waktu yang lama, statistika ini lebih berfungsiuntuk melayani keperluan administrasi negara, misalnya keterangan

tentang pendluduk digunakan untuk memperlancar pajak dan mobilisasipencluduk dalam angkatan perang. !andangan orang kebanyakanseperti di atas tentang pengertian Statistika sebenarnya berkenaandengan bagian dari Statistika yang dikenal dengan Statistika eskriptif "akan dibahas kemudian#.

ewasa ini Statistika merupakan suatu ilmu yang penggunaannyamakin dirasakan kepentingannya. $ampir semua bidang ilmupengetahuan menggunakan Statistika dalam rangka mengembangkanbidang masing-masing, sehingga dikenal Statistika-!ertanian, Statistika

%konomi, Statistika Kedokteran, Statistika !endidikan,Statistika untuk&lmu ilmu sosial dan sebagainya.Statistika dikembangkan dari pengalaman atau secara empiris, akantetapi untuk menemukan kaidah-kaidahnya diperlukan bantuanmatematika, terutama ilmu hitung peluang. engan semakinberkembangnya matematika, maka Statistika juga ikut berkembangsehingga aplikasinya semakin luas.

1.1 DEFINISI STATISTIKA

Statistika secara modern dapat didefinisikan sebagai suatumetode yang digunakan dalam pengumpulan dan analisa data yangberupa angka sehingga dapat diperoleh informasi yang berguna.

Sebagai suatu subyek, Statistika menyediakan prinsip-prinsip danmetodologi untuk merancang proses pengumpulan data, meringkasdata yang diperoleh, melakukan interpretasi, serta mengambilkesimpulan atau generalisasi. 'ntuk menjamin obyekti(itas dalammelakukan penilaian hasil yang diperoleh, dalam setiap tahapankerjanya selalu ditekankan untuk mengikuti kode etik metodologi

ilmiah. Sedangkan data itu sendiri dalam Statistika diartikan sebagaisejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu

Bahan Kuliah Statistika & Probabilitas Oleh : Yunus Yakub

1


2/63

keadaan. &nformasi ini pada umumnya diperoleh melalui obser(asi yangdilakukan terhadap sekumpulan indi(idu.

1.1.1. Klasifikasi Statistika

Berdasarkan akti(itas yang dilakukan, Statistika dapat dibedakanmenjadi Statistika eskriptif dan &nduktif "&nferensia#.

Statistika-Deskriptif merupakan bagian Statistika yangmernbicarakan, cara-cara pengumpulan data dan menyederhanakanangka-angka pengamatan yang diperoleh "mengumpulkan, meringkasdan menyajikan data#, serta melakukan pengukuran pemusatan danpenyebaran. Sebagai contoh, bila kita ingin mengengetahui gambaranrata-rata pendapatan penduduk Kodya Salatiga, tanpa membuatgeneralisasi pada daerah yang lebih luas, maka akti(itas ini berkenaan

dengan problem statistika deskriptif. Selain itu, penyajian data dalambentuk tabel, grafik, distribusi frekuensi, menemukan nilai pemusatandan hilai penyebaran juga termasuk akti(itas yang dijumpai dalamstatistika deskriptif.Statistika Induktif (Inferensia) merupakan bagian Statistika yangmembicarakan cara-cara menganalisa data serta mengambil kesimpulan"yang pada dasarnya berkaitan dengan dua masalah utama yaituestimasi parameter populasi dan pengujian hipotesis#. )alaupundengan menggunakan Statistika &nduktif kita bisa menarik kesimpulan,perlu diingat bahwa pada dasarnya dengan menggunakan Statistika&ndusktif kita tidak membuktikan sesuatu. *eskipun demikian denganpenggunaan metode ini dapat diketahul besarnya peluang untukmemperoleh kesimpulan yang sama bila penelitian tersebut diulang.Selain itu penggunaan metode yang tepat memungkinkan kita untukmengukur besarnya galat "error# dalam, menarik kesirnpulan ataumemberikan taraf kepercayaan tertentu terhadap suatu pernyataan.

Berdasarkan metode yang digunakan, Statistika &nduktif dapatdibedakan menjadi Statistika !arametrik clan Statistika +onparametrik.

Statistika Parametrik

Statistika parametrik adalah bagian dari Statistika &nduktif "&nferensia# yang mempertimbangkan nilai dari satu atau lebihparameter populasi dan sehubungan depgan kebutuhan inferensianya,pada umumnya Statistika parametrik membutuhkan data yang skalapengukuran minima&nya adalah inter(al "selang#. Selain itu penurunandari prosedur dan penetapan teorinya berpijak pada asumsi spesifikmengenai bentuk distribusi populasi yang biasanya diasumaikannormal.


2


3/63

Statistika Nonparametrik

Statistika +onparametrik merupakan bagian dari Statistika&nduktif "&nferensia# yang tidak memperhatikan nilai dari satu ataulebih parameter populasi. !ada umumnya (aliditas pada Statistika +on-

parametrik tidak tergantung pada model peluang yang spesifik daripopulasi. Statistika +onparametrik menyediakan metode Statistikauntuk menganalisa data yang distribusinya tidak dapat diasumsikannormal. alam Statistika +onpametrik, data yang dibutuhkan lebihbanyak berskala ukur nominal atau ordinal.

1.2. POPULASI DAN SAMPEL

alam percakapan,sehari-hari kata populasi dapat diartikan

sebagai sekelompok orang atau penduduk yang menempati suatuwilayah tertentu, misalnya penduduk kota Semarang. +amun dalamStatistika kata populasi mengacu pada sekumpulan indi(idu yangmempunyai karakteristik yang khas yang menjadi perhatian dalamsuatu penelitian. engan demikian dalam Statistika populasimempunyai arti yang lebih luas yaitu tidak terbatas pada sekelompokorang, tetapi juga binatang dan benda apa saja yang menjadi perhatiankita. Sebagai gambaran dicontohkan tentang populasi tanaman yangterdapat di lingkungan kampus &S+, populasi, bank swasta di&ndonesia yang meliputi semua bank swasta yang ada di &ndonesia.

*asing-masing indi(idu dalam populasi seperti orang tanaman, rumah,bank dan sebagainya disebut elemen dari populasi

Banyaknya elemen dalam populasi didefinisikan sebagai ukuranpopulasi. Sebagai contoh, bila bila desa Banjarsari Kecamatan !arakanKabupaten emapggung, awa engah memiliki /0 kepala keluarga.*aka populasi kepala keluarga di desa tersebut berukuran /0. Bila

populasi ditlinjau dari ukurannya maka dapaf dibedakan adanyapopulasi yang terbatas dan populasi yang tidak terbatas. 1ontohpopulasi yang terbatas adalah populasi pegawai di &S+, sedangkancontoh untuk populasi yang tidak terhatas adalah populasi tanamahnpengganggu di seluruh dunia,

alam situasi tertentutidak jarang kita mengalami kesulitanmemperoleh informasi dari seluruh elemen populasi disebabkan karenaterbatasnya biaya, waktu dan tenaga yang tersedia. *isalnya dalamusaha menentukan rata-rata daya larnpu pijar jenis tertentu, yang

dihasilkan suatu perusahaan, adalah tidak mungkin menguji semualampu pijar sementara kita rnasih ingin menjualnya. 2leh karena itu


!opulasi adalah keseluruhan elemen yang menjadi perhatiandalam suatu penelitian

3


4/63

terpaksa han(a diambil sebagian dari populasi lampu piiar untukmembantu menarik kesimpulan tentang daya lampu pijar yangdiproduksi perusahaan tersebut. entu saja dalam melakukanpengambilan sebagian harus menuruti prosedurur tertentu agar indi(iduyang diambil tersebut dapat memberikan informasi mengenai

keseluruhan. Sebagian anggota populasi yang diambil menurutprosedur, tertentu sehinggp dapat mewakili populasinya biasa dikenaldengan Sampel "contoh#. !enggunaan prosedur tertentu dalammelakuklan pengambilan sampel didasarkan atas pertimbangan.

3 . Agar diperoleh data yang rele(an dengan yang dikehendaki/. Sejumlah (ariasi tidak terhindarkan meskipun obser(asi dilakukan

dibawah kondisi yang mirip ataupun sama. 4ariasi yang timbul inidisebabkan karena besar nilai karakteristik indi(idu yang diukurmemang berbeda dan juga karena adanya kesalahan dalam

melakukan, pengukuran. Sealin itu perlu diketahui bahwa umumnyadata hasil pengamat ber(ariasi, karena di alam tidak ada duaindi(idu yang 355 6 homogen.

ari hasil pengambilan sampel, kita mencoba menduga besaranpopulasi yang sebenarnya. Besaran yang kita peroleh dari sampel inidikenal dengan Statistik "bedakan dengan Statistika#.


4


5/63

BAB II

DATA, PENGUMPULAN & PENYAIAN DATA

ata mempunyai kaitan yang erat sekali dengan Statistika, hal ini

dapat dilhat dari definisi statistilka yaitu suatu metode yang bertujuanmengumpulkan, mengplah, menyajikan dan menginterpretasikan data.engan kata lain data merupakan bahan baku atau komponen utamadalam statistika. ata merupakan bentuk jamak dari datum. atummerupakan informasi yang diperoleh dari satu satuan amatan. Bila kitabicara mengenai si Ali adalah 307 cm, berarti kita mendapatkan datum,sedangkan bila informasi tinggi yang ada berasal dari lebib satu orangberarti kita dihadapkan dengan data.

Sebagai bahan baku maka ketepatan suatu data akan sangat

menentukan dalam menghasilkan ketepatan pengambilan suatukeputusan. !ersyaratan data yang baik clan supaya berguna antara lainsebagai berikut 8

data harus obyektif, maksudnya sesuai dengan kenyataan yang

sebenarn(a data harus bisa mewakili "representatif#

(ariasinya kecil

harus tepat waktu

harus rele(an untuk menjawab suatu persoalan yang sedang

menjadi pokok pembahasan.

2.1. ENIS DATA

ata dapat diklasifikasikan menurut jenisnya berdasarkan kriteria

yang disajikan 8

Kriteria enis Keterangan

3. Sifatnya a. Kualitatif

b. Kuantitatif

ata yang bersifat meng-golongkan sajaata yang berbentuk angka

/. Sumbernya a. &nternalb. %ksternal

alam organisasiiluar 2rganisasi

9. 1ara memperolehnya a. !rimerb. Sekunder

ikumpulkan : iolah Sendiriata dalam bentuk jadi

;. )aktu !engumpulan a. 1ross Sectionb. imes Seris

ikumpulkan waktu tertentuikumpulkan Beberapa tahapan


5

ata adalah merupakan keterangan yang bisa memberikan gambarantentang suatu keadaan atau suatu persoalan.


6/63

2.2. METODE PENGUMPULAN DATA

*etode pengumpulan data menunjukan cara-cara yang dapatditempuh untuk memperoleh data yang dibutuhkan. alam

kenyataannya data dapat diperoleh secara langsung "data primer# atautidak langsung "data sekunder#. alam memperoleh data tersebutumumnya dilakukan obser(asi pada unit terkecil dari satuanpengamatan. Sebelum melakukan obser(asi perlu ditentukan karakterapa yang akan diobser(asi. Sifat atau karakter yang akan diobser(asitersebut disebut (ariable "peubah#.

Beberapa contoh (ariable 8 pada perusahaan 8 upah pegawai

pada tanaman 8 tinggi tanaman, panjang daun, berat buah dsb

pada ikan 8 berat badan, panjang ikan dsb.

Berdasarkan bulat atau tidaknya nilai diperoleh, (ariable dapat dibagimenjadi 8 !a"ia#l$ k%ti' (a (isk"it.

4aribael kontinu adalah (ariable yang besarannya dapat menempatinilai yang ada dua titik. !ada umumnya (ariabel kontinu merupakanhasil pengukuran. 1ontoh (ariable kontinu adalah 8 jumlah bunga daritabungan seseorang, diameter buah pepaya, dsb Sedangkan (ariablediskrit merupakan (ariable yang besarannya tidak menempati semuanilai. +ilai (aribael diskrit selalu berupa bilangan bulat. 1ontoh (ariablediskrit adalah 8 jumlah keluarga petani disuatu desa, jumlah tanamancengkeh yang terkena serangan penyakit disuatu desa, dsb.

/.9.3 *etode !engumpulan ata !rimer

!engumpulan data dengan cara langsung untuk memperoleh dataprimer dapat dilakukan dengan / cara 8

3. Sur(ai/. !ercobaan

!engumpulan data dengan cara sur(ai dilakukan bila data yang dicarisebenarntya sudah ada dilapangan atau sasaran penelitian yanglainnya. Sebagai contoh bila ingin diketahui pendapatan rata-ratapendapatan petani didaerah Kopeng, maka dapat dilakukan sur(ai,

dengan mengambil beberapa petani yang dapat mewakili keseluruhanpetani di daerah itu.


6

4ariabel adalah sifat yang dimiliki oleh indi(idu contoh yang berbedaantara satu "kelompok# indi(idu dengan indi(idu lain.


7/63

!engumpulan data pada suatu percobaan data yang ingin diperolehbelum tersedia, dengan demikian (ariable yang akan diukur harusdibangkitkan dahulu dengan percobaan. Setelah percobaan selesaibarulah obser(asi dilakukan. Sebagai contoh, ingin diketahui apakahperlakuan kenaikan gaji dengan berbagai tingkat kenaikan

mempengaruhi produkti(itas dari karyawan yang semula mempunyaitingkat pendapatan yang sama A+

Sebelum melakukan obser(asi terhadap peubah, yang,akan diukurterlebih dahulu perlu ditentukan skala pengukuran yang akan digunakankarena macam skala pengukuran ini akan mempengaruhi metodestatistika yang digunakan. iantara bermacam-macam skalapengukuran yang dapat dipergunakan untuk mengukur suatu ciri atau

karakteristik obyek amatan, dalam statistika dapat dilakukan klasifikasiterhadap skala pengukuran yang mungkin dihasilkan menjadi 8


7


8/63

3. Skala +ominal/. Skala 2rdinal9. Skala &nter(al atau Selang

;. Skala +isbah atau >asio

Skala pengukuran +ominal dan 2rdinal. seringkali digebut sebagaiskala pengukuran kualitatif sedangkan skala pengukuran &nter(al dan>asio,sering dinamakan sebagai skala pengukuran kuantitatif.

/.;.3 Skala +ominal

+ominal berasal dari kata name. Skala pengukuran nominalmerupakan skala pengukuran yang paling sederhana. Skala pengukuranini, digunakan untuk mengklasifikasikan "menggolongkan#obyek-obyek amatan atau kejadian-kejadian, dalam kelompok"kategori# yang terpisah untuk menunjukkan kesamaan atau perbedaanciri-ciri tertentu dari obyek. Kategori-kategori "kelompok# yang adasudah didefinisikan sebelumnya dan dilambangkan dengan kata-kata,huruf simboL atau angka. Karena fungsi angka disini hanya sebagailambang menunjukkan kedalam kelompok mana suatu pengamatanharus dimasukkan, maka nilai- nilai yang ada sama sekali tidakmenunjukkan besarnya sesuatu yang diukur tadi dan tidak pulamengungkapkan perbandingan besar tertentu. engan demikian padaskala pengukuran nominal tidak dapat dilakukan pengolahan

matematika, seperti penambahan, penguranoan, perkalian ataupembagian.engan skala pengukuran nominal setiap obser(asi harus dimasukkanhanya ada satu kategori saja tidak boleh lebih atau dengan kata lainantara kategori satu dengan lainnya, harus saling bebas "tidaktumpang tindih#. Kategori-kategori atau kelompok- kelompok yang adaharus dibuat lengkap sehingga dapat menampung semua kemungkinanyang rele(an bagi obyek-obyek atau keiadian yang mungkin.


8


9/63

53.53 63.14 49.03 55.15 67.79 54.09

63.49 58.63 50.84 51.77 41.22 51.13

73.55 50.74 56.00 46.28 46.33 90.07

62.66 66.60 59.16 50.37 44.82 51.74

52.49 53.35 61.61 55.54 50.94 60.3633.88 52.26 47.92 64.00 58.94 35.54

34.88 58.87 59.84 56.23 42.59 54.51

45.77 63.28 48.75 69.79 56.71 38.87

70.51 56.72 66.12 59.06 44.54 52.43

48.10 47.83 56.31 51.54 44.88 27.43

58.21 44.14 67.48 58.17 53.94 26.87

61.50 50.91 34.38 63.85 36.41

57.07 45.41 71.16 55.78 56.57

65.41 69.65 54.96 52.26 45.01

51.61 47.76 29.10 53.02 73.53

44.06 47.54 50.09 39.19 48.97

60.48 74.63 54.31 55.27 44.48

63.48 43.01 52.94 50.75 51.31

40.48 48.67 66.19 57.29 55.05

56.34 32.61 62.98 45.09 37.57

20,00 - 29,99 4

30,00 - 39,99 9

40,00 - 49,99 25

50,00 - 59,99 48

60,00 - 69,99 2070,00 - 79,99 5

Jumlah 111

NILAI UJIANJUMLAH

MAHASISWA

BAB III

DIST)IBUSI F)EKUENSI

Sebelum dibahas distribusi frekuensi, di bawah ini dipaparkan

data-data hasil ujian statistik &&& *ahasiswa..

ika data-data di atas disusun secara berurutan disebut %rci.

Selisih antara nilai tertinggi dan terendah dinamakan jarak ">ange# ?

rentang.ata-data di atas dapat disusun lagi secara berkelompok yang disebut

distribusi frekuensi.


9


10/63

20,00 - 27,49 3

27,50 - 34,99 5

35,00 - 42,49 7

42,50 - 49,99 23

50,00 - 57,49 40

57,50 - 64,99 20

65,00 - 72,49 10

72,50 - 79,99 3

Jumlah 111

NILAI UJIAN

JUMLAH

MAHASISWA

ari hasil tersebut tampak pendistribusian ke kelas-kelas

"terdapat 0 kelas# tiap kelas memiliki / batas kelas 8 batas kelas bawah

dan batas kelas atas. i samping itu terdapat T$*i K$las. itik tengah

"*idpoint# 8 rata-rata hitung dari kedua batas kelas atau tepi kelasnya.

!%*B%+'KA+ &S>&B'S& @>%K'%+S&

3. umlah kelas hendaknya jangan terlalu besar tetapi juga jangan

terlalu kecil. engan adanya pembagian kelas, seharusnya dapat

diperoleh gambaran yang sederhana, jelas dan sistematis.

!engelompokkan data ke dalam jumlah kelas yang lebih kecil dari

lima atau lebih dari /5 kelas jarang sekali terjadi. *enggunakan

kriterium Sturges.

data.dalamterdapatyangangka jumlahn

kelas. jumlahk

nlog3,3221k

=

=

+=

!erkiraan besarnya inter(al kelas . rumus 8

kelasinternalnlog3,3221

jarak i =

+= i

ari contoh yang lalu 8

7,58

60i

8atau7,79455

111log3,3221k

==

=

+=

istribusi frekuensi nilai ujian statistik &&& mahasiswa menjadi 8


10


11/63

4

9

25

48

20

5

30

40

0

/. Besarnya inter(al kelas untuk tiap-tiap kelas distribusi sebaiknya

diusahakan agar sama semua serta dalam bilangan praktis.

9. !enentuan batas kelas diusahakan agar tidak ada 3 angkapun dari

data asal yang tidak dapat dimasukkan kedalam kelas tertentu.

HAL+HAL YANG HA)US DIPE)HATIKAN OLEH SETIAP PENGOLAH

DATA

3. !erhitungan jarak guna menentukan jumlah kelas dan besarnya

inter(al kelas sebaiknya dilakukan atas dasar perbedaan angka

terendah yang telah mengalami pembulatan kebawah dan angka

tertinggi yang telah mengalami pembulatan keatas./. !engulangan penggunaan batas kelas atas bagi batas kelas bawah

dari kelas berikutnya sebaiknya dihindari.

Setelah pembagian data kedalam beberapa kelas selesai, lalu dengan

memasukkan angkah-angkah kedalam kelas-kelas yang sesuai.

PENGUIAN G)AFIK F)EKUENSI

=rafik frekuensi yang banyak digunakan 8

3. $istrogram

/. !oligon frekuensi

9. Kur(a frekuensi yang diratakan.

1. HIST)OG)AM

@ungsi 8 mengambarkan bedah antara kelas-kelas dalam sebuah

distribusi dari contoh yang lalu 8


11


12/63

21 - 30 5

31 - 40 10

41 - 50 5

51 - 60 7

61 - 70 15

71 - 90 8

Jumlah 50

HASIL UJIANJUMLAH

MAHASISWA

&nter(al kelas selau dihitung dari beda antara dua tepi kelaskarena itu angkah-angkah pada skala menyatakan tepi kelas,bukan batas kelas.

Ut'k it$"!al k$las -a ti(ak sa/a

$arus disesuaikan dalam ukuran luas. adi pengambaran

histrogram frekuensi memberi tekanan pada luas empat persegi

panjang dan bukan pada tinggi persegi panjang.

0ONTOH

istribusi frekuensi hasil ujian matematika dari suatu kelas.


12

X= HASIL UJIAN20,5 90,570,560,550,540,5

7

8

15

5

10

5

15

0

5

30,5

0

Y = J U

L A H M A H A S I S


13/63

1. POLIGON F)EKUENSI

'ntuk membandingkan antara dua atau beberapa distribusi

frekuensi, dengan menghubungkan titik tengah tiap-tiap persegi

panjang lalu menghubungkanya dengan sebuah garis.

KU)A F)EKUENSI YANG DIMASUKKAN.

'ntuk menghilangkan bentuk yang tidak beraturan.

0a"a-a

3. gambarkan polygon frekuensi serta titik tengah tiap-tiap kelas

yang bersangkutan berikan tanda a, b, c, d, e, f, g, h,.. dsb

pada titik-titik tengah tersebut.

/. gambarkan garis linier yang menghubungkan ac, ce, eg, gi, bd,

bf, ph, . st.

9. menarik garis tegak lurus melalui titik tengah sedemikian rupa

agar memotong garis ac, ce, eg, gi, bd, bf, ph, . st.

;. menentukan titik tengah jarak antara titik tengah inter(al tengah

dan garis ae, ce, eg, ..

7. mengambarkan secara bebas kur(a yang kita inginkan dengan

jalan menghubungkan semua titik tengah jarak diatas.


13


14/63

!u"a#$ %a"& 19,995 0

!u"a#$ %a"& 27,495 3

!u"a#$ %a"& 34,995 8

!u"a#$ %a"& 42,495 15

!u"a#$ %a"& 49,995 38!u"a#$ %a"& 57,495 78

!u"a#$ %a"& 64,995 98

!u"a#$ %a"& 72,495 108

!u"a#$ %a"& 79,995 111

JUMLAH

MAHASISWANILAI UJIAN

P"isi*-a 8 luas yang terdapat di bawah kur(a tersebut

seharusnya kurang lebih sama dengan seluruh luas histogramnya.

&S>&B'S& K'*'LA&@ A>& K'>4A 2=&4%

Kadang-kadang distribusi kumulatif lebih banyak dipakai dari

pada distribusi frekuensi biasa.

0ONTOH ari contoh yang lalu "nilai statistik &&& mahasiswa# dapat dibuat

distribusi kumulatif sbb8

!enggolongan dapat dilakukan dengan menggunakan batas kelas

maupun tepi kelas.istribusi di atas dinamakan distribusi kumulatif

Ckurang dariD "Less han istribution#.


14

0

30

20

25

5

0

5

(A)I (A*A LAIN+

37

-

%

.

/

$

h

a13211710287725742


15/63

79,995 aau l&h 0

72,495 aau l&h 3

64,995 aau l&h 8

57,495 aau l&h 15

49,995 aau l&h 38

42,495 aau l&h 78

34,995 aau l&h 98

27,495 aau l&h 108

19,995 aau l&h 111

NILAI UJIANJUMLAH

MAHASISWA

108

98

78

38

158

30

0

20

40

60

80

100

20

1

NILAI

M L A H

M A H A S I

1

istribusi kumulatif Catau lebihD "*ore hen istribution# dapat

dibuat sbb.

!enyajian secara grafis dari distribusi kumulatif Ckurang dari C

atau Catau lebihD dapat dilakukan dengan gambarkan polygon

frekuensinya

!olygon distribusi

frekuensi kumulatif di atas disebut juga 2gi( penggambarannya


15


16/63

MAHASISA 15 15

SA)JANA 10 10

I)ASAS*A 20 20

LAJA) 55 55

JUMLAH

MU(A)SN*AS)JAAN

, , . ,

10,01 10,00 9.98 10,01

10,02 9,98 9.97 10,029,98 9,93 10.02 10,09

9,92 9,97 10.03 10,11

,00 10,20 10.04 10,

10,00 10,21 10,05 10,00

10,00 10,22 10,06 10,01

9,48 10,00 10,01 10,04

,90 10,04 10,02 10,

dilakukan dengan menghubungkan semua titik-titik ordinat dari tepi

kelas.

DIST)IBUSI F)EKUENSI )ELATIF

Kadang-kadang analisa data statistik berhubungan erat dengan

soal-soal yang bersangkutpaut dengan perbandingan secara persentasi.

alam hal demikian, frekuensi distribusi dinyatakan dalam bentuk

persentasi. istribusi yang berfrekuensi sedemikian ini dinamakan

distribusi frekuensi relatif atau distribusi persentasi.

0ONTOH

ari suatu desa terdapat 355 pemuda, 37 diantaranyamahasiswa, 35 sarjana, /5 wiraswasta sisanya pelajar.

TUGAS I

Suatu perusahaan memproduksi baut dengan ukuran "dalam

mm#, sebagai berikut 8

PE)TANYAAN


16


17/63

3. Buat distribusi frekuensi.

/. entukan tepi kelas setiap kelas.

9. =ambarkan histogram.

;. =ambarkan poligon frekuensi.

7. Buat distribusi frekuensi relatif.

0. Buat distribusi frekuensi kumulatif.

. Buat distribusi frekuensi presentase kumulatif,

E. Buat 2gi(e "CkurangD dan ClebihD#.

F. Buat kur(a yang diratakan.

BAB IVBahan Kuliah Statistika & Probabilitas Oleh : Yunus Yakub

17


18/63

UKURAN NILAI PUSAT

.1. PENDAHULUAN

alam rangka.menyajikan kumpulan data kuantitati agar lebihmudah dipahami, statistika telah menyediakan metode penyusun datayang sederhana, yaitu dalam bentuk C istribusi @rekuensi D. etapi daripihak pemakai data, distribusi ftekuensi tersebut masih dirasa-kurangpraktis, sebab masih menyajikan banyak data. Agar penyajian lebihpraktis, dapat diucapkan secara singkat, mudah diingat dan yang lebihpenting lagi dapat digunakan untuk membandingkan keadaan berbagaikumpulan data, maka statistika perlu menyediakan nilai tunggal yangcukup representatif bagi keseluruhan nilai yang terdapat dalarn datatersebut.

isebut sebagai nilai pusat karena pada umumnya nilai tersebutberlokasi di bagilan tengah atau pusat dari suatu distribusi. 'ntukmemperoleh gambaran tentang pemusatan data, perlu dicari suatu nilaiyang dapat mewakili semua nilai yang ada pada gugus data. alam

statistika dikenal ada beberapa macam ukuran nilai pusat, antara lainrata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik, median danmodus.

.2 )ATA+)ATA HITUNG 3A)ITHMETI0 MEAN4 >ata-rata $itung "Arithmetic *ean# dari suatu populasi biasanyadisimbolkan dengan µ "miyu#, sedangkan untuk sampel siimbolkandengan X .>umus mean populasi untuk data yang tidak dikelompokkan adalah 8

X "

1

i∑== i dimana + 8 banyaknya data

>umus mean sampel untuk data yang tidak dikelompokkan adalah 8

n

X

X

n

1

i∑== i

dimana n 8 banyaknya data

'ntuk. memperoleh gambaran mengenai mean contoh akan diberikan

ilustrasi berikut8


18

Suatu kumpulan data biasanya mempunyai kecenderungan untukmemusat pada nilai tertentu. +ilal tertentu tersebut berupa nilaitunggal atau nilai tendensi pusat yang sering disingkat +ilai!usat.


19/63

ari suatu obser(asi diperoleh informasi rata-rata jam kerja E karyawan! !ambayun adalah 0 jam perhari. Bila keseluruhan karyawan !!ambayun tersebut hanya terdiri dari E personil, maka rata- rata jam

kerja tersebut 0 jam disebut sebagai mean populasi "µ#, tetapi jika jumlah karyawan ! !ambayun ada 37 personil, maka rata-rata 0 jam

tersebut disebut sebagai mean sample " X #.

3. 1ontoh soal rata-rata hitung populasi "mean population# 8Sebuah perusahaan menerima lamaran 7 orang sarjana berasal dari 7!erguruan inggi. Setelah diukur &G mereka didapat hasil 335, 337,339, 33;, dan 33/. *aka dengan demikian rata-rata &G pelamar adalah

112,85

464

5

112114113115110

X

"

1

i

==++++

==

∑=i

/. 1ontoh soal rata-rata hitung sampel "mean sample# 8Sebuah perusahaan pembuat lampu telah berhasil memproduksisebanyak 75.555 buah. 'ntuk kepentingan pemasaran, perusahaan ituharus memberikan informasi kepada konsumen tetntang rata-ratamasa pakai lampu tersebut. !engujian dilakukan untuk 7 buah lampuyang dianggap mewakili seluruhnya. Setelah diuji didapat hasil masapakainya adalah 8 F0, F;F, F;5, F7/ dan F// jam. *aka dengandemikian rata-rata sample adalah

9465

922952940949967

X

X

1

i

=++++

==

∑=i

ata yang dikelompokkan

>umusrata-ratasampeluntuk

data yang dikelompokkan adalah 8

n

.X#

X

k

1

ii∑== i

dimana 8 X ? rata-rata sample f i ? frekuensi kelas ke H i i ? nilai tengah kelas ke H i n ? banyaknya sample k ? banyaknya kelas

1ontoh soal 8 ari distribusi frekuensi dibawah ini carilah nilai rata-ratanya <


19

ata yang dikelompokan adalah data yang telah mengalamipenyederhanaan, yaitu dalam bentuk distribusi frekuensi.ata demikian itu telah berubah sifat aslinya,dan yangnampak sifat kelompoknya.


20/63

+ilai 'jian @rekuensi "f i# +ilai engah "i# f i . i

93-;5

;3-75

73-0503-5

3-E5

E3-F5

F3-355

3

/

737

/7

/5

3/

97,7

;7,7

77,707,7

7,7

E7,7

F7,7

97,7

F3,5

/,7FE/,7

3.EE,7

3.35,5

3.3;0,5

umlah E5 0.395

X ? 63,7680

130.6=

.5 )ATA+)ATA UKU) 3GEOMET)I0 MEAN4

ika perbandingan tiap-tiap dua data berurutan tetap atau hampertetap, rata-rata ukur lebih baik daripada rata-rata hitung. 'ntukdata bernilai 3, /, 9 , ; . n maka rata-rata ukurnyadihitung dengan rumus 8

n n321 .X..........X.X.X$ =

1ontoh soal. 83. >ata-rata ukur untuk 3 ? /I / ? ; I 9 ? E adalah 8

48.4.2$ 3 ==

/. Bila tingkat suku bunga 6, E6, 356, 3/6 dan 3E6 makafactor pertumbuhan rata-rata adalah 8

11,11093,11,18.1,12.1,10.1,08.%1,07$ 5 ===

. )ATA+)ATA HA)MONIK 3HA)MONI0 MEAN4

'ntuk data 3, /, 9 , ; . n dalam sebuah sample berukurann maka rata-rata harmoniknya dihitung dengan rumus 8

∑=

&X

1%

n '

i

1ontoh 8 >ata-rata harmonic untuk kumpulan data 9, 7, 0, 0, ,

35, 3/ adalah 8


20


21/63

87,5

12

1

10

1

7

1

6

1

6

1

5

1

3

1

7 ' =

++++++=

'ntuk data dalam distribusi frekuensi, maka rata-rata

harmoniknya dihitung dengan rumus 8

∑∑=

&X

# %

# '

i

i

i

1ontoh soal 8 ari distribusi frekuensi dibawah ini carilah nilai rata-rataharmoniknya <

+ilai 'jian @rekuensi "f i# +ilai engah "i# f i Ji

93-;5

;3-75

73-05

03-5

3-E5

E3-F5

F3-355

3

/

7

37

/7

/5

3/

97,7

;7,7

77,7

07,7

7,7

E7,7

F7,7

5,5/E/

5,5;;5

5,5F53

5,//F5

5,9933

5,/99F

5,3/70

umlah E5 3,5E3F

94,730819,1

80 ' ==

.6 MEDIAN

*edian merupakan ukuran nilai pusat yang dapat digunakan baikuntuk data yang dikelompokkan maupun data yang tidakdikelompokkan. +ilai median sangat dipengaruhi oleh letak urutan

dari nilai kumpulan data sehingga median sering disebut sebagairata-rata letak (positionan average).


21

M$(ia a(ala7 ilai -a t$"l$tak (it$a7 #ila ilai+ilai*$a/ata (is's' s$8a"a t$"at'" /$'"'t '"'ta-a,(a"i k$8il k$ #$sa" ata' (a"i #$sa" k$ k$8il.


22/63

a. ata yang tidak dikelompokkan'ntuk data yang tidak dikelompokkan nilai median dapatdiperoleh dengan terlebih dahulu mengurutkan nilai-nilaipengamatan dari kecil ke besar atau sebaliknya.

!osisi median "untuk data ganjil# dapat ditentukan melaluirumus berikut 8

P%sisi /$(ia 92

1&%n+

imana n menunjukkan jumlah pengamatan secara keseluruhan'ntuk data genap maka nilai median ada dua, maka nilai median

Adalah ilai /$(ia 2

(it$&.a74-a&.(ata('a3:'/la7

b. ata yang dikelompokkan'ntuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi,median dihitung dengan rumus 8

imana 8 Bb ? bata bawah kelas median "median terletak# ! ? panjang kelas median n ? banyak data @ ? frekuensi kumulatif dibawah kelas median f ? frekuensi kelas median

1ontoh soal .entukan median dari distribusi frekuensi berikut ini 8

Kelas +ilai 'jian @rekuensi "f i# @rekuensi kumulatif

3/

9

;

7

0

93-;5;3-75

73-05

03-5

3-E5

E3-F5

F3-355

3/

7

37

/7

/5

3/

39

E

/9

;E

0E

E5

umlah E5


22

4f

F+&;,63*B#M$ +=


23/63

*edian terletak di ? 402

80= , maka median terletak dikelas

inter(al ke- 7I dengan b ? 5,7I p ? 75-;5?35I f ? /7I @?/9

,9#/7

/9-5,7.E5"355,7*e =+=

.< MODUS

*odus "mode# sangat berguna untuk mengetahui tingkatkeseringan terjadinya peristiwa. Aplikasi dalam keseharian,modus dapat digunakan untuk mengetahui jenis produk yangsering diminta oleh konsumen.

a. ata yang tidak dikelompokkan'ntuk data yang tidak dikelompokkan nilai modus dapat

diperoleh dengan menghitung frekuensi dari nilai-nilaipengamatan dan menentukan nilai pengamatan denganfrekuensi terbesar.

1ontoh 8 ari data dibawah ini tentukanlah modusnya < 3 / 9 ; ; 0 E

*odus ? ; karena ada /

b. ata yang dikelompokkan

'ntuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi,modus dihitung dengan rumus 8

imana 8 b ? bata bawah kelas modus "modus terletak# ! ? panjang kelas modus

b3? frekuensi kelas modus dikurangi kelas inter(al

terdekat sebelumnya


23

M%('s a(ala7 ilai (ata -a /$/*'-ai f"$k'$sit$"#$sa" (ala/ s'at' k'/*'la (ata.

4##

#3*B#M%

21

1

++=


24/63

b/? frekuensi kelas modus dikurangi kelas inter(alterdekat berikutnya.

1ontoh soal .entukan modus dari distribusi frekuensi berikut ini 8

Kelas +ilai 'jian @rekuensi "f i# @rekuensi kumulatif

3

/

9

;

7

0

93-;5

;3-75

73-05

03-5

3-E5

E3-F5

F3-355

3

/

7

37

/7

/5

3/

3

9

E

/9

;E

0E

E5

umlah E5

*odus terletak dikelas inter(al ke- 7I dengan b ? 5,7Ip ? 75-;5?35I b3 ? /7-37?35I b/ ?/7-/5?7

,3#735

35"355,7*o =

++=

.= KUA)TIL, DESIL DAN PE)SENTIL

j&ka sekumpulan data dibagi menjadi ; bagian yang sarnabanyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilanganpernbaginya disebut kuartiL Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama,kuartil kedua dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat dengan

K3, K/ , dan K9. !emberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil.'ntuk menentukan nilai kuartil 8

3# susun data menurut urutan nilainya/# tentukan letak kuartil9# tentukan nilai kuartil.

Letak kuartil ditentukan oleh rumus8


24

Letak Ki ? data ke 4

&1% +ni

dengan i ? 3, /, 9.


25/63

1ontoh 8Sampel dengan data 7, E/, 00, 7, 0;, 70, F/, F;, E0, 7/, 05, 5setelah disusun menjadi8 7/, 70, 7, 05, 0;, 00, 5, 7, E/, E0, F/,F;.

Letak Ki , data ke-4

112 + ? data ke-

4

13 , yaitu antara data ke-9 dan

data ke-; seperempat jauh dari data ke-9.

+ilai K3 , ? data ke-9 4

1 "data ke-; - data ke-9#

K3 , ? 7 4

1

"05 - 7# ? 7 4

3

.

Letak K/ ? data ke4

&112%2 + ? data ke-0

2

1 . engan cara seperti di

atas, nilai K/ dapat ditentukan ialah8

K/ ? data ke-0 2

1 "data ke- - data ke-0#.

K/ ? 00 2

1

"5 - 00# ? 0E.

Letak K9 ? data ke4

&112%3 + ? data ke-F

4

3 . engan cara seperti di

atas, nilai K9 dapat ditentukan ialah8

K9 ? data ke-F 4

3 "data ke-35 - data ke-F#.

K9 ? E/ 43 "E0 - E/# ? E7.

'ntuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartilK3 "i ? 3, /, 9# dihitung dengan rumus8


25

Ki = Bb + p &% 4

f

F in − dengn i = 1! 2! 3"


26/63

dengan b ? batas bawah kelas K i , ialah kelas inter(al di mana Ki akanterletak,

p ? paniang kelas Ki

@ ? jumlah frekuensi sebelum kelas K i f ? frekuensi kelas Ki .

1ontoh8 Kembali pada hasil ujian E5 mahasiswa seperti dalam tabeldi bawah iniI maka untuk menentukan kuartil ketiga K9,diperlukan 9J; E5 ? 05 data.

+&LA&'&A+

f i fk engan demikian K9 terletak dalam kelasinter(al ke- enam, dan kelas ini merupakankelas K9 . ari kelas K9 ini didapatlah b ?

E5,7I p ? 75 H ;5 ?35I f ? /5 dan @ ? 3 / 7 37 /7 ? ;E. engan i ? 9 dann ? E5. *aka K9 diperoleh8

K9 ? E5,7 35 5,86&20

48% 4

803

=− x

Le#$ %3=3&10'(80+1)=24!3 di $e*in#e,-* $e.5 dg Bb=/0!5 p=10!=23 =25

9 ? 5,7 35 9,70&25

23% 10803 =− x

93 - ;5

;3 H 75

73 H 05

03 H 5

3 H E5

E3 H F5

F3 H 355

3

/

7

37

/7

/5

3/

3

9

E

/9

;E

0E

E5

umlah E5

&ni berarti ada 76 mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling tinggiE0,7 sedanglcan /76 lagi mendapat nilai paling rendah E0,7.

ika kumpulan data itu dibagi menjadi 35 bagian yang sarna, makadidapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan D$sil.Karenanya ada sembilan buah desil, ialah desil pertama, desil kedua, . .. , desil kesembilan yang disingkat dengan 3 , / , . . . , F .esil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan8

3# susun data menurut urutan nilainya/# tentukan letak desil9# tentukan nilai desil.

Letak desil ditentukan oleh rumus8


26

Letak i ? data ke10

&1% +ni dengan i ? 3, /, .,F.


27/63

1ontoh8 'ntuk data yang telah disusun dalam contoh terdahulu, ialah 87/, 70,7, 05, 0;, 00, 5, 7, E/, E0, F/, F;,

*aka letak ? data ke =+

10

&112%7 data ke-F,3.

+ilai ? data ke-F "5,3# "data ke-35 - data ke-F#atau ? E/ 5,3"E0 - E/# ? E/,;.

'ntuk data dalam daftar distribusi frekuensi, nilai i " i? 3,/, . . . , F#dihitung dengan rumus8

dengan Bb ? batas bawah kelas i , ialah kelas inter(al di mana i akanterletak,

p ? paniang kelas i @ ? jumlah frekuensi sebelum kelas i f ? frekuensi kelas i .

1ontoh8 ika diminta 9 untuk E5 nilai ujian statistika, maka kitaperlu 956 E5 ? /; data. apat dilihat bahwa kelas 9 berimpitdengan kelas inter(al ke-;.

Karenanya b ? 05,7I p ? 35I f ? 37 dan @ ? 3 / 7 ? E, engani? 9 dan n ? E5, maka didapat 8

9 ? 05,7 35 2,71&15

8% 10

803

=− x

Ada 56 dari mahasiswa paling sedikit mendapat nilai ujian 3,/ dan956 lagi mendapat nilai paling benar 3,/.

Akhirnya, sekurnpulan data yang dibagi menjadi 355 bagian yang samaakan menghasilkan FF pembagi yang berturut-turut dinamakanP$"s$til pertama, persentil kedua, . . . , persentil ke-FF. Simbul yangdigunakan berturut-turut !3, !/ , . . . , !FF . Karena cara perhitungannya sama seperti perhitungan desil, maka di

sini hanya diberikan rumus-rumusnya saja. Letak persentil ! i "i ? 3,/,..,FF# untuk sekumpulan data ditentukan oleh rumus 8


27

%i = Bb + p &%10

f

F in − dengn i = 1! 2!!9"


28/63

sedangkan nilai !i untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitungdengan8

dengan Bb ? batas bawah kelas !i , ialah kelas inter(al di mana ! i akan

terletak,p ? paniang kelas !i @ ? jumlah frekuensi sebelum kelas !i f ? frekuensi kelas !i .

*udah dilihat bahwa untuk i ? 35, /5, 95, ., F5, maka jelas bahwauntuk i ? 75, akan didapat rumus median.


28

Letak !i ? data ke100

&1% +ni dengan i ? 3, /, .,FF.

Pi = Bb + p &%100

f

F in − dengn i = 1! 2!!9"


29/63

BAB VUKURAN VARIASI

6.1. PENDAHULUAN

'kuran pemusatan dapat digunakan untuk menampilkan ringkasan datadalam suatu nilai tunggal yang menunjukkan Crata-rata distribusiD.*eskipun demikian bila nilai pusat tersebut ditampilkan dalam suatunilai tunggal akan diperoleh gambaran yang tidak lengkap tentanggugus data yang dihadapi sehingga dapat menyebabkan kesalahaninterprestasi. $al ini disebabkan karena dua distribusi data atau lebihmungkin memiliki nilai pusat yang sama, tetapi (ariasinya berbeda.Sebagai gambaran perhatikan tiga gugus data berikut 8

/5 /5 /5 /5 /5 >ata-rata hitung ? /5/5 35 5 95 ;5 >ata-rata hitung ? /55 35 75 -35 -/5 >ata-rata hitung ? /5

)alaupun ketiga gugus data diatas mempunyai nilai pusat yang sama,tetapi pada gugus data yang pertama, nilai pusat dapat mewakili gugusdata secara tepat, sedangkan pada gugus data kedua nilai pusat tidakdapat mewakili secara tepat karena datanya ber(ariasi, dan pada gugusdata ketiga datanya paling ber(ariasi dibandingkan gugus data pertama

dan kedua. Bila digambarkan dalam bentuk kur(a, maka dapat dilihattiga macam kur(a yang mempunyai nilai pusat "mean# yang samatetapi mempunyai penyebaran "(ariasi# yang berbeda.

Kur(a A

Kur(a B

Kur(a 1

X

=ambar 7.3 iga kur(a dengan nilai mean yang sama tetapimempunyai (ariasi yang berbeda


29


30/63

iga kur(a diatas mempunyai mean yang sama yaitu /5, tetapipenyebaran data "(ariasi# pada kur(a A lebih kecil dari kur(a B.emikian pula penyebaran data pada kur(a B lebih kecil dari kur(a 1,sehingga jika melihat gugus data hanya dari nilai pusatnya saja, dalamhal ini mean, akan diperoleh penafsiran yang keliru.

engan demikian untuk memberikan gambaran yang lengkap tentanggugus data yang dihadapi, setelah menentukan nilai pusat dari suatudistribusi data perlu ditentukan juga suatu besaran yang dapatmenggambarkan (ariasi.

6.2. KEGUNAAN UKU)AN A)IASI

4ariasi adalah suatu ciri yang sangat penting dari suatu data. Berikut inidiberikan suatu ilustrasi mengenai kegunaan ukuran (ariasi. *isalnya jika suatu perusahaan memproduksi baut, (ariasi yang berlebihan daridiameter baut yang dihasilkan mengindikasikan akurasi mesin yangdipergunakan rendah. Kondisi yang demikian ini tentunya tidakdikehendaki. Sebaliknya jika menggunakan nilai ujian untuk menyeleksicalon karyawan yang akan diterima, tentu tidak dikehendaki adanya(ariasi yang kecil karena akan menyulitkan dalam menentukan calonkaryawan yang lebih baik dibandingkan dengan calon yang lain. arei

liustrasi yang diberikan, dapat difahami mengapa (ariasi penting untukdiketahui dan diukur.

6.5. TIPE UKU)AN A)IASI 'kuran penyebaran terhadap suatu niali pusat disebut sebagai 'k'"a(is*$"si, ukuran (ariasi " ukuran penyebaran# atau ukuranpenyimpangan. 'kuran (ariasi dibedakan menjadi dua macam, yaituukuran !a"iasi a#s%l't dan ukuran !a"iasi "$latif .'kuran (ariasi absolut digunakan untuk membandingkan suatu ukuran

(ariasi dengan ukuran (ariasi yang laindalam suatu populasi yang sama.Biasanya ukuran (ariasi absolut ini dinyatakan dalam suatu ukuran yangsama "seperti rupiah, kg, ton#. Sedangkan ukuran (ariasi relatif padaumumnya digunakan untuk membandingkan beberapa ukuran (ariasidari beberapa populasi dengan unit pengukuran yang berbeda. *acamukuran (ariasi antara lain, range "jangkauan#, de(iasii rata-rata,(ariansi dan standard de(iasi, koefisien (ariasi dan sebagainya.

6.. )ANGE 3ANGKAUAN4


30

Uk'"a a"iasi (Measure of Variation) a(ala7 'k'"a-a /$-ataka s$#$"a*a :a'7 ilai *$a/ata -as$#$a"-a /$-i/*a ata' #$"#$(a ($a ilai*'sat-a.


31/63

>ange adalah ukuran (ariasi yang paling mudah diperoleh dan palingsederhana. *eskipun demikian ukuran ini merupakan ukuranpenyebaran data yang paling rendah kecermatannya. ari nilai yangdiperoleh dapat diketahui ukuran keragaman dari suatu distribusi secarakasar. Bila nilai range yang diperoleh kecil, berarti tingkat keragaman

data rendah., nilai-nilai obser(asi banyak terkosentrasi disekitar nilaipusat. Sebaliknya bila nilai range yang diperoleh besar, maka tingkatkeragaman data besar, nilai-nilai obser(asi yang diperoleh salingberjauhan. Karena tingkat kecermatannya rendah, maka padaumumnya rang dipergunakan pada tahap penjajagan.

'ntuk memperoleh nilai range, terlebih dahulu kita perlu menentukan

nilai minimum dan nilai maksimum dari gugus data yang dihadapi.'ntuk data yang dikelompokkan, range dihitung melalui batas kelas dannilai tengah.

3. >ange ? batas kelas tertinggi H batas kelas terendah/. >ange ? nilai tengah tertinggi H nilai tengah terendah

6.6. DEIASI )ATA+)ATA (MEAN DEVIATION)

e(iasi rata-rata adalah jumlah harga mutlak penyimpangan setiap nilaipengamatan terhadap mean diabagi banyaknya pengamatan. e(iasi

rata-rata mencerminkan rara-rata selisih mutlak nilai data terhadapmeannya.1ara memperoleh nilai de(iasi rata-rata bagi data dikelompokkan dandata yang tidak dikelompokkan adalah sebagai berikut 8

3. 'ntuk data yang tidak dikelompokkan, de(iasi rata-rata dihitungdengan rumus 8

* ?

N

X N

i

i∑=

−1

µ untuk populasi

* ?

n

X X N

i

i∑=

−1 untuk sampel

imana * 8 de(iasi rata-rata i 8 nilai data ke H i µ 8 rata-rata populasi

X 8 rata-rata sampel+ 8 banyak data populasin 8 banyak data sampel

1ontoh 8 abel 7.3. !erhitungan de(iasi rata-rata bagi banyaknyapesawat terbang yang mendarat di Bandara 'dara Adi


31

)a$ a(ala7 s$lisi7 ata"a ilai /aksi/'/ ($ailai /ii/'/ (ala/ s'at' ''s (ata.


32/63

Sumarmo Surakarta selama 3/ bulan seperti pada tabledibawah ini

Bulanumlah

"i#

e(iasii - µ

e(iasi absolut| i - µ |

anuary F7 / /

@ebruary E -0 0

*arch F9 5 5

April F/ -3 3

*ay 35; 33 33

une F5 -9 9

uly F; 3 3

August F;3 3

September F5 -9 9

2ctober F9 5 5

+o(ember F3 -/ /

ecember FE 7 7

∑=

12

1

iXi

3.3/3 ∑=

−12

1

iXi

µ 97

+ilai rata-rata "µ# ?93

12

1121

12

X12

1

i

==∑=i

e(iasi rata-rata "*# ?92,2

12

351 ==

−∑=

N

X

N

i

i µ

/. 'ntuk data yang dikelompokkan, de(iasi rata-rata dihitung

dengan rumus 8


32


33/63

* ?

N

f X k

i

ii∑=

−1

. µ untuk populasi

* ?

n

f X X k

i

ii∑=

−1

. untuk sampel

imana * 8 de(iasi rata-rata i 8 nilai tengah kelas ke H i µ 8 rata-rata populasi

f i 8 frekuensi kelas ke - i


1ontoh 3. ari data tabel dibawah ini, carilah de(iasi rata-rata untukpopulasi

abel 7./ !erhitungan e(iasi >ata-rata untuk !opulasi

Kelas f i iX f i . iX "X i − "X i − . i#

95 H 9F;5 H ;F75 H 7F05 H 0F5 H FE5 H EFF5 H FF

;0E3/F;

9;,7;;,77;,70;,7;,7E;,7F;,7

39E/0;90;

05,77F3,79E

95,0/5,035,05,0F,;3F,;/F,;

3//,;3/9,0E;,E,/E;,0397,E33,0

umlah 75 9/77 00

+ilai rata-rata "µ# ?1,65

50

3255

50

.X# 12

1

ii

==∑=i


50

676# .

1

i

==−∑

=

N

X N

i

i µ

1ontoh /. ari data tabel dibawah ini, carilah de(iasi rata-rata untuksampel

abel 7.9 !erhitungan e(iasi >ata-rata untuk Sampel


33


34/63

Kelas f i iX f i . iX XX i − XX i − . i#

/ H ;7 H E H 3533 H 393; H 303 - 3F

/;79/3

90F3/373E

0/;;7909539

0,979,975,97/,077,07E,07

3/,339,;33,0,F;33,/FE,07

umlah 3 37F 77,0

+ilai rata-rata "X # ?35,9

17

159

17

.X# 7

1

ii

==∑=i


17

76,55

# .XX1

ii

==−∑

=

N

i

6.


35/63

e(iasi standar untuk populasi disimbolkan dengan σ dan untuk sampledisimbolkan S

>umus untuk (ariansi adalah 8

3. 'ntuk data yang tidak dikelompokkan, (ariansi dihitung denganrumus 8

σ

/

?

&X%

1

2

i∑=

− N

i

µ

untuk populasi

S/ ?

1(n

&XX%1

2

i∑=

− N

i untuk sampel

imana σ/ 8 (ariansi utk populasi S/ 8 (ariansi utk sampel i 8 nilai data ke H i " 8 rata-rata populasi


/. 'ntuk data yang dikelompokkan, (ariansi dihitung denganrumus 8

'ntuk populasi

σ/ ?

&X%# 1

2

i.i∑=

− N

i

µ

'ntuk sampel

S/ ?

1(n

&XX%# 1

2

i.i∑=

− N

i

imana f i 8 frekuensi kelas ke - i

>umus untuk de(iasi standar adalah 8

3. 'ntuk data yang tidak dikelompokkan, de(iasi standar dihitungdengan rumus 8

σ ?

&X%1

2

i∑=

− N

i

µ untuk populasi


35

D$!iasi sta(a" a(ala7 aka" (a"i !a"iasi


36/63

S ?

1(n

&XX%1

2

i∑=

− N

i untuk sampel

/. 'ntuk data yang dikelompokkan, de(iasi standar dihitung denganrumus 8

σ ?

&X%# 1

2

i.i∑=

− N

i

µ untuk populasi

S ?

1(n

&XX%# 1

2

i.i∑=

− N

i untuk sampel

imana f i 8 frekuensi kelas ke - i

'ntuk mempermudah perhitungan maka rumus diatas dapat diseder-hanakan sebagai berikut ini 8

σ ?

&X# %

X# 1

2

1

i.i2

i.i∑

∑

=

=

−

N

i

N

i

untuk populasi

S ?

1(n

n

&X.# %

X# 1

22

ii

2

i.i∑∑

=

− N

i

N

i untuk sampel

1ontoh-contoh Soal1ontoh 3. 8 abel 7.; !erhitungan 4ariansi dan de(iasi standar bagi

banyaknya pesawat terbang yang mendarat di Bandara'dara Adi Sumarmo Surakarta selama 3/ bulan sepertipada table dibawah ini

Bulanumlah

"i#"i#

/ e(iasii - µ

e(iasi absolut"i - µ#/

anuary F7 9"025 / 4@ebruary E /"569 -0 36


36


37/63

*arch F9 8"649 5 0

April F/ 8"464 -3 1

*ay 35; 10"816 33 121

une F5 8"100 -9 9

uly F; 8"836 3 1

August F; 8"836 3 1

September F5 8"100 -9 9

2ctober F9 8"649 5 0

+o(ember F3 8"281 -/ 4

ecember FE 9"604 7 25

∑=12

1 i

Xi

3.3/3

104"929

∑=−

12

1

2

&%i i X

µ

211

+ilai rata-rata "µ# ?41,93

12

1121

12

X12

1

i

==∑=i

4ariansi "σ/# ? 58,1712

211&%12

1

2

==−

∑=i

i

N

X µ

e(iasi Standar "σ# ? 19,458,172 ==σ

1ontoh /. ari data tabel 7.7 dibawah ini, carilah de(iasi rata-rata

untuk sampelabel 7.7 !erhitungan e(iasi >ata-rata untuk !opulasi dan Sampel

Kelas f i iX f i . iX "i#/ "i#

/. i#

/ H ;7 H E H 3533 H 393; H 303 - 3F

/;79/3

90F3/373E

0/;;7909539

F90E33;;//79/;

3E3;;;57;9/;759/;


37


38/63

umlah 3 37F∑=

7

1

2

ii &X.%# i

39

+ilai 4ariansi !opulasi "σ/# ? 82,1617

)17*&159+%1773 2=

−

e(iasi Standar "σ# ? 10,482,16 ==σ

+ilai 4ariansi Sampel "S/# ? 86,17

16

)17*&159+%1773 2=

−

e(iasi Standar "S# ? 23,486,17 ==

e(iasi Standar dapat digunakan untuk menentukan letak nilaidistribusi frekuensi terhadap nilai rata-rata "mean#. *enurut teori yangdirumuskan oleh ahli matematika >usia !.L. 1hebyshe( "3E/3-3EF;#,apapun bentuk distribusi dari gugus data, paling tidak 76 nilai dataakan jatuh kurang lebih / de(iasi standar di sekitar nillai mean danpaling tidak EF6 nilai data akan jatuh kurang lebih de(iasi standar disekitar mean.

Secara lebih tepat persentasi nilai data yang jatuh di sekitar nilai meandapat dilihat dalam gambar distribusi normal dibawah ini 8

=ambar 7.3 !resentase istribusi +ormal

ari distribusi normal tersebut dapat diperoleh gambaran

- 0E,/06 nilai data akan terletak dalam inter(al µ ± σ- F7,;06,nilai data akan terletak dalam inter(al µ ± /σ


38


39/63

- FF,/6 nilai data akan terletak dalam inter(al µ ± 9σ

Sebagai contoh rata-rata pesawat terbang yang datang di Bandara AdiSumarmo - Surakarta adalah F9 dan mempunyai de(iasi standar ;maka kemungkinan 0E6 nilai data yang sebenarnya akan terletak

dalam inter(al 8 µ ± σ atau F9 ± ; atau EF hingga Fari tabel 7.;, terlihat ada F nilai data yang terletak antara EF hinggaF sedangkan banyaknya data seluruhnya 3/ maka nilai data yang

terletak diantara µ ± σ adalah sebesar 75,012

9= atau 76 .

e(iasi standar mempunyai peranan yang besar dalam distribusi normalsehingga merupakan ukuran (ariasi yang paling sering digunakan untukmengetahui apakah nilai mean dapat mencerminkan nilai data yangsebenarnya. e(iasi standar tak terlepas adanya kelemahandibandingkan dengan ukuran (ariasi yang lain, yaitu dari segi

perhitungan lebih sulit dan sangat tergantung pada nilai mean.ari kur(a distribusi normal di atas dapat terlihat bahwa 0 σ mencakuphampir keseluruhan data dari suatu distribusi "dari nilai terendahhingga nilai tertinggi#. engan demikian secara estimasi diperolehhubungan antara de(iasi standar denMan >ange sebagai berikut 8

>ange "># ? 0 σ, maka σ 6

1= >

$ubungan tersebut dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran suatudeskripsi, sebagai contoh bila diperoleh nilai range ? 35 dan de(iasistandar 3/, maka hasil yang diperoleh jelas salah, karena nilai de(iasi

standar tidak mungkin lebih besar dari nilai range.

BAB I.UKU)AN KEMEN0ENGAN DAN KE)UN0INGAN


40/63

Karena bentuk suatu kur(a merupakan pencerminan dari macamdistribusi suatu gugus data, maka kemencengan suatu kur(a dapatdilihat dari perbedaan letak antara *ean, *edian dan *odus.

Sebagai ilustrasi berikut akan diberikan contoh suatu gugus data yangmempunyai distribusi data yang simetris.

abel 0.3. &lustrasi =ugus ata Nang *empunyai istribusi Simetris

Kelas@rekuensi

"f i#

@rekuensikumulatif

"f k#

+ilai engah"i#

f i.i

95-9F 7 7 9;,7 3/,7

;5-;F 35 37 ;;,7 ;;7,5

75-7F /5 97 7;,7 35F5,5

05-0F 35 ;7 0;,7 0;7,5

5-F 7 75 ;,7 9/,7n 75 i x X f .∑ //7

engan menggunakan formula perhitungan yang telah dijelaskan padabab ukuran pemusatan, dapat diperoleh nilai mean, median dan modussebagai berikut8

+ilai rata-rata "X # ?5,54

50

2725

17

.X# 7

1

ii

==∑=i

4f

F+&;,63*B#M$ += 7;,7#

/5

37-5,7.75"35;F,7 =+=

7;,7#3535

35"35;F,7 =

++=

++= 4

##

#3*B#M%

21

1

Berdasarkan hasil perhitungan yang diperoleh berdasarkan gugus datapada table 0. 3. di atas dapat diketahui bahwa distribusi data dari

kumpulan data yang ada akan membentuk kur(a simetris karena mean,median dan modus mempunyal nilai yang Sama yaitu sebesar 7;,7.


40

'kuran Kemencengan digunakan untuk menunjukan simetris tidak-nyabentuk kur(a yang dihasilkan dari distribusi suatu gugus data.

istribusi darl kumpulan data dikatakan simetris bila *ean, *edian dan*odus terletak dalam suatu titik atau dengan kata lain ketiga ukurannilai pusat tersebut mempunyal nilai yang sama.


41/63

=ambar 0.3 istribusi Simetris

Sedangkan bila suatu distribusi mempunyai nilai mean, median danmodus yang tidak terletak pada satu titik yang sama maka akandiperoleh distribusi yang tidak simetris. !ada distribusi yang tidaksimetris, data akan terkonsentrasi pada salah satu sisi kur(a sehingga

bentuk kur(a yang diperoleh akan menceng.

=ambar 0./ =ambar *ean, *edian dan *odus *enceng Kekiri dan Kekanan

!ada distribusi yang menceng ke kanan data cenderung terkonsentrasipada nilai yang rendah, sebaliknya pada distribusi yang menceng kekiri, data cenderung terkonsentrasi pada nilai yang tinggi.'ntuk mengetahui apakah bentuk kur(a dari suatu distribusi, simetris,menceng ke kiri atau menceng ke kanan ada dua jenis pengukuran

yang dapat digunakan yaitu koefisien !earson dan Alpa tiga "α 9#.

$ss4

Sk 9

&-X%o

−

imana 8 Sk ? koefisien kemencengan !earson

X ? mean*o? *odus.S ? de(iasi standar

Secara empiris dapat ditunjukan bahwa dalam suatu gugus dataterdapat hubungan antara ketiga nilai pusat sebagai berikut8

X - *o ? 9 "X - *d#. engan adanya hubungan tersebut makaformula di atas, akan berubah menjadi 8


41


42/63

Sk 95

&-X%d

−

Ada tiga kemungkinan yang dapat dihasilkan dari perhitungan koefisienkemencengan !earson yaitu 8

3# Sk ? 5, berarti distribusinya simetris/# Sk O 5, berarti distribusinya tidak simetris9# SK P 5, berarti distribusinya tidak simetris

abel 0./. &lustrasi ari Kumpulan ata Nang *empunyai istribusi*enceng Ke Kanan

Kelas f i f k i "i#

/

f i.i f i."i#

/

95-9F 7 7 9;,7 33F5,/7 3/,7 7F73,/7

;5-;F /5 /7 ;;,7 3FE5,/7 ;F5,5 9F057,55

75-7F 37 ;5 7;,7 /F5,/7 E3,7 ;;779,7

05-0F ; 0;,7 ;305,/7 ;73,7 /F3/3,7

5-F 9 75 ;,7 7775,/7 //9,7 30075,7

n 75 i x X f .∑ /777 397.EE/,7

*ean ? 1,5150

2555=

*edian ? 5,4915

&2550.5,0%.105,49 =

−+

*odus ? 0,47515

15.105,39 =

++


42

Sk O 5 atau positif maka distribusi akan menceng ke kanan, datacenderung menumpuk pada nilai rendah

Sk P 5 atau negatif maka distribusi akan menceng ke kiri, datacenderung menumpuk pada nilai tinggi.


43/63

ari nilai mean, median dan modus diatas, nampak bahwa ketiganyamempunyai nilai yang berbeda-beda sehingga dapat dikatakan bahwadistribusi data tidak simetris "menceng#, dalam hal ini distribusimenceng kekanan seperti yang ditunjukkan oleh hasil Sk O 5

e(iasi Standar 8

S ?

32,1049

5,882.135

1(n

n

&X.# %

X# 50

&2555%

1

22

ii2

i.i 2

=−

=−∑∑

=

N

i

N

i

Sk 9 4,032,10

0,471,51

&-X%o =

−=

−

=ambar 0.9 istribusi *enceng Kekanan

abel 0.9. &lustrasi ari Kumpulan ata Nang *empunyai istribusi*enceng Ke Kiri

Kelas f i f k i "i#/ f i.i f i."i#/

95-9F 9 9 9;,7 33F5,/7 359,7 975,7

;5-;F 35 ;;,7 3FE5,/7 933,7 39E03,7

75-7F 37 /7 7;,7 /F5,/7 E3,7 ;;779,7

05-0F /5 ;7 0;,7 ;305,/7 3/F5 E9/57

5-F 7 75 ;,7 7775,/7 9/,7 /73,/7

n 75 i x X f .∑ /EF7 3/.F;/,75


43


44/63

*ean ? 9,5750

2895=

*edian ? 5,59

20

&2550.5,0%.105,59 =

−+

*odus ? 0,62155

5.105,59 =

++

Sk 9 4,032,10

0,629,57

&-X%o −=

−=

−

+ilai koefisien kemencengan "Sk# negati(e sehingga kur(a mencengkekiri.

=ambar 0.; istribusi *enceng Kekiri

$ss4

!ada dasarnya ukuran kemencengan alpha 9 ini merupakanpenyederhanaan dari koefisien !earson.

+

−= ∑∑∑∑

323

3

3 .2

.&.%3

&.%3

n

d f

n

d f

n

d f

n

d f

s

i iiiiiiiiα

dimana 8 α9 ? ukuran kemencengan Alpha 9 i ? inter(al kelas

S ? de(iasi standarf i ? frekuensi kelas ke H idi ? de(iasi kelas ke H & terhadap titik asal asumsin ? jumlah data sampel

abel 0.;. &nput !erhitungan 'kuran Kemencengan *enggunakan Alpha 9.

Kelas f i i di f i.di f i."di#/ f i."di#

9


44


45/63

95-9F 7 9;,7 -/ -35 /5 -;5

;5-;F /5 ;;,7 -3 -/5 /5 -/5

75-7F 37 7;,7 5 5 5 5

05-0F 0;,7 3

5-F 9 ;,7 / 0 3/ /;

n 75 3 7F /F

Keterangan 8 di ? 5 didasarkan pada kelas yang terletak paling tengah

e(iasi standar diketahui ? 35,9/ maka kemencengan suatu kur(adengan menggunakan alpha 9 dapat dihitung sebagai berikut 8

+

−= ∑∑∑∑

323

3

3 .2

.&.%3

&.%3

n

d f

n

d f

n

d f

n

d f

S

i iiiiiiiiα

496,050

172

50

17

50

593

50

29

32,10

103

3

3

3

=

−+

−

−

−=α

ari hasil perhitungan diperoleh nilai alpha 9 besar dari nol, makakumpulan data mempunyai distribusi menceng ke kanan.


46/63

=ambar 0.7. Bentuk Keruncingan

a. istribusi Leptokurtik, distribusi ini menunjukan frekuensi menum-puk pada inter(al tertentu sekitar *ean sedikit yang tersebar lebih jauh dari mean

b. istribusi *esokurtik, distribusi ini menunjukan distribusinya adalahsimetris sehingga dianggap menggambarkan distribusi normal

c. istribusi !latikurtik, distribusi ini menunjukan frekuensi tersebar

keseluruh daerah kur(a.'kuran keruncingan yang biasa digunakan adalah Alpha ; yang disebutM%/$t 0%$ffi8i$t %f K'"t%sis atau sering disebut Koefisien Kurtosissaja.Koefisien Kurtosis dapat diperoleh dengan menggunakan rumus sebagaiberikut 8a. 'ntuk data yang tidak dikelompokan.

α; ?4

4

in1

&XX%∑ −

dimana 8 α; ? koefisien kurtosis n ? jumlah dta i ? nilai data obser(asi X ? mean S ? de(iasi standar

b. 'ntuk data yang dikelompokan.

−+−= ∑∑∑∑∑∑

n

d f

n

d f

n

d f

n

d f

n

d

n

d f

S

i iiiiiiiiiii4223

i

4

4

4 &.%3

&.%&.%6

.&.%# 4

&.%4α

dimana 8 α; ? koefisien kurtosis n ? jumlah dta di ? de(iasi kelas ke H & terhadap titik asal asumsi # i ? frkuensi kelas - i S ? de(iasi standar

Ada tiga kemungkinan hasil ukuran keruncingan yang diperoleh melaluiperhitungan koefisien kurtosis, yaitu 83. +ilai α; P 9 maka distribusinya dapat digolongkan pada platikurtik/. +ilai α; ? 9 maka distribusinya dapat digolongkan pada mesokurtik9. +ilai α; O 9 maka distribusinya dapat digolongkan pada leptokurtik


46


47/63

abel 0.7. &nput !erhitungan 'kuran Keruncingan *enggunakan KoefisienKurtosis.

Kelas f i i di f i.di f i."di#/ f i."di#

9 f i."di#;

95-9F 7 9;,7 -/ -35 /5 -;5 E5;5-;F /5 ;;,7 -3 -/5 /5 -/5 /5

75-7F 37 7;,7 5 5 5 5 5

05-0F 0;,7 3

5-F 9 ;,7 / 0 3/ /; ;E

n 75 3 7F /F 377

ika diketahui de(iasi standar ? 35,9/ maka nilai dari koefisien kurtosis

dapat dihitung sebagai berikut 8

72,250

&17%3

50

&17%

50

596

50

&17%

50

&29% 4

50

155

32,10

104

42

4

4

=

−−

−+

−−−=α

Karena nilai α; P 9 maka distribusinya dapat digolongkan padaplatikurtik. Kur(a mempunyai bentuk yang tidak runcing atau mendatar.ata terdistribusi keseluruh daerah dibawah kur(a. ika digunakan nilairata-rata untuk mewakili kumpulan akan tidak mencerminkan nilai datayang sebenarnya.


47


48/63

BAB I.

TEO)I PELUANG

1. PENDAHULUAN

Salah satu tujuan dari Statistika adalah menarik kesimpulanmengenai populasi berdasarkan informasi yang didapat dari sampel.*engingat sampel hanya menyediakan sebagian informasi tentangpopulasi maka untuk itu dibutuhkan suatu metode yang dapatdigunakan untuk menarik kesimpulan yang berlaku pada populasiberdasarkan informasi yang ada pada sampel dengan memanfaatkan

sifat-sifat peluang.acob Bernoullie "307; - 357#, Abraham de *oi(re "3F00-37;#,

homas Bayes "35/-303# dan Noseph Lagrange "390-3E0# adalahorang yang menemukan eknik dan @ormula peluang. !ada abad 3F,!ierre Simon, *arQuis de Laplace "3;F-3E/#, menyatakan ide awaltersebut dan menyusunnya dalam eori peluang. Adapun penerapanteori ini dipelopori oleh usaha asuransi semenjak abad 3F dengantujuan mengetahui resiko kerugian yang ditanggungnya sehingga dapatmenentukan premi asuransinya. eori ini semakin berkembang denganpesat sejalan dengan perkembangan dunia perjudian saat itu.

engan dipergunakannya teori peluang sebagai dasar penerapanstatistika, dewasa ini semakin banyak orang mempelajari teori peluangsebagai alat untuk mengerti phenomena sosial dan memecahkanpermasalahan dari berbagai disiplin ilmu. Selain itu semakin disadaribahwa sesungguhnya peluang merupakan bagian yang tak terpisahkandari kehidupan kita setiap hari karena dalam kehidupan setiap orangakan berhadapan dengan masalah-masalah ketidak pastian. Sebagaicontoh seorang pengusaha akan dihadapkan pada masalah berhasiltidaknya usaha yang dikelolanya, seorang mahasiswa akan dihadapkanmasalah berhasil tidaknya ujian yan sedang ditempuh, dan sebagainya.emikian banyaknya masalah-masalah ketidak pastian yang kita hadapi


48


49/63

dalam kehidupan sehari-hari dan masalah ketidak pastian ini dicobauntuk diukur atau dikuantifikasi dengan konsep peluang.

alam realita kondisi ekstrim dengan peluang 5 atau 3 jarang sekalididapati, yang sering terjadi adalah peluang munculnya, peristiwaantara 5 dan 3. *isalnya ! ? 5,5, berarti peluang munculnya suatuperistiwa adalah 56. Konsep peluang ini diharapkan dapat digunakanuntuk mendekati masalah-masalah yang menganduQ ketidakpastian.Ada beberapa konsep menyangkut peluang yang perlu dijelaskan antara

lain konsep peristiwa dan ruang sampel.

Sebagai contoh bila ada suatu kejadian melemparkan sebuah uanglogam "koin rupiah# maka kemungkinan akan didapatkan sisi gambaratau sisi angka. Kemungkinan mendapatkan sisi gambar adalahmerupakan suatu peristiwa, sedangkan peristiwa yang lain adalahmunculnya sisi angka dari koin rupiah. $impunan dari seluruhterjadinya peristiwa atau jumlah seluruh frekuensi disebut sebagai"'a sa/*l$.

=.2. PENDEKATAN PELUANG

Ada tiga cara dasar untuk mengkasifikasikan peluang. !erbedaanketiganya terletak pada pendekatan konseptual dalam mempelajariteori peluang. alam praktek para ahli banyak yang tidak menyetujuiadanya perbedaan tersebut karena penggunaan dari ketiga pendekatantersebut sebenarnya sama.!endekatan dalam teori peluang meliputi 8 !endekatan Klasik

!endekatan frekuensi relatif

!endekatan subyektif

=.2.1. P$($kata Klasik

eori peluang berkembang di !erancis pada abad 3F. Bersamadengandunia perjudian, teori ini mengalami perkembangan yangpesat,,sehingga tidak mengherankan bila dalam menjelaskan teoripeluang banyak mengambil contoh alat-alat judi misalnya kartu, dadudan sebagainya.


49

+ilai peluang dari suatu kejadian "!# berkisar antara 5 dan 3. ! ? 5menunjukkan suatu peristiwa yang tidak mungkin terjadi

sedangkan ! ? 3 menunjukkan suatu peristiwa yang pastiterjadi.

!eristiwa adalah satu atau lebih hasil yang mungkin dari suatu kegiatan.


50/63

! "A# ?n

imana !"A# 8 peluang terjadi peristiwa A 8 !eristiwa yang menguntungkan

n 8 jumlah seluruh peristiwa

Sebagai contoh kita dapat mengetahui peluang keluarnya Rbiji satuR darisuatu dadu yang dikocok karena kita telah mengetahui semuakemungkinan yang dapat muncul. Kita tahu bahwa dadu dalam duniaperjudian adalah alat perjudian yang berbentuk kubus dan bersisi 0,

masing-masing sisi mempunyai nilai 3, /, 9, ;, 7 dan 0.

Keluarnya biji satu " ? 3# merupakan salah satu kemungkinan yangdapat terjadi dari ke enam kemungkinan yang dapat muncul "n ? 0,dengan demikian peluang munculnya biji satu dalam satu lemparandadu adalah 3J0.

=.2.2.P$($kata F"$k'$si )$latif

!endekatan @rekuensi relatif didasarkan pada8

"3# !engamatan @rekuensi relatif dari suatu peristiwa dalampercobaan yang dilakukan berulang kali.

"/# !roporsi waktu dari suatu peristiwa dalam jangka panjang bilakondisi stabil.

!endekatan frekuensi relatif ini menunjukan seringnya sesuatuterjadi pada masa lalu dan digunakan untuk prediksikan peluangbahwa sesuatu tersebut akan terjadi lagi masa datang.

1ontoh 8

Seandainya !erusahaan Asuransi mengetahui dari data masa lalubahwa angka kematian adalah 355.555 orang per tahun, dan 05 orangdiantaranya adalah laki-laki yang berusia ;5 tahun.

engan menggunakan pendekatan ini, maka perusahaanmeramalkan peluang kematian laki-laki dari kelompok umur tersebutadalah 8

/06,00006,0100.000

60 ===

1ontoh / 8

*enurut catatan Kepolisian Bagian Lalu Lintas, selama 3 tahuntelah terjadi kecelakaan lalu lintas sebanyak 375 kali. ari catatan


50

*enurut pendekatan klasik terjadinya suatu peristiwa "!# adalah ratioantara peristiwa yang menguntungkan dengan seluluh yangmungkin dimana semua peristiwa mempunyai kesempatan yangsama.


51/63

diperoleh informasi bahwa 7 diantara peristiwa kecelakaan disebabkankarena pengemudi belum mempunyai S&*. *aka dapat disimpulkanbahwa peluang terjadinya peristiwa kecelakaan akibat pengemudi tidakmempunyai S&* adalah 8

/5050,0

150

75 ===

=.2.5. P$($kata S'#-$ktif

Kepercayaan indi(idu tersebut bisa berasaldari pengalaman terjadinyasuatu peristiwa pada masa lalu atau hanya terkaan saja.

ingkat kepercayaan indi(idu dalam membuat dugaan peluangsuatu peristiwa dapat clikelompokan menjadi dua 8"3# !andangan yang optimis bahwa periswa itu akan terjadi sehingga

peluangnya mendekati 3, misal ! ? 5,F5."/# !andangan yang pesimis bahwa peristiwa itu akan terjadi

sehingga peluangnya mendekati 5, misal ! ? 5,/5.

!ada hakekatnya semua pendekatan tidak bisa melepaskanadanya unsur subyekti(itas. Banyak peristiwa yang menuntut adanyapertimbangan pribadi dalam menentukan peluangnya. 1ara pendekatan

demikian telah dikembangkan dan dipadukan dengan hasil statistikyang disebut RStatistical ecision Analysis.

=.5. ASSAS+ASSAS PE)ISTI?A=.5.1. P$"isti>a M't'all- E@8l'si!$

*isalkan peristiwa A adalah mandi dan peristiwa B adalah makan.!eristiwa A clan B tidak dapat terjadi bersama-sama artinya kalau Aterjadi, yaitu mandi maka pada saat yang bersamaan tidak mungkinterjadi peristiwa B yaitu makan.!eluang terjadinya peristiwa A atau B dapat dihitung melalui rumusberikut 8

!"A atau B# ? !"A# !"B#


51

!endekatan subyektif adalah pendekatan yang didasarkan pada tingkatkepercayaan indi(idu yang membuat dugaan terhadap suatu peluang.

ua atau lebih peristiwa dikatakan R*utually. %clusi(eR apabila keduaatau lebih peristiwa itu tidak dapat teijadi bersama-sama . $al iniberarti terjadinya peristiwa yang satu sekaligus menghapuskankemungkinan terjadinya peristiwa yang lain.


52/63

atau!"A ∪ B# ? !"A# !"B#

engan menggunakan diagram 4enn peristiwa mutually eclusi(edapat dilukiskan sebagai berikut 8

iagram 4enn

1ontoh 8

Ada 7 calon yang mempunyai kemampuan relatif sama yaitu Ali, Kobil,Silia, ali dan Ani, melamar untuk menjadi staf salah satu perusahaanmultinasional, padahal perusahaan tersebut hanya membutuhkan satustaf saja. Bila perusahaan tersebut memutuskan untuk menerima salahsatu dari ke lima calon tersebut, maka"a# Berapa peluang Ali akan diterima menjadi staf <"b# Berapa peluang Silia atau Ani terpilih menjadi staf <

P$/$8a7a

a# !"Ali# ? 5

1

b# !"Silia atau Ani# ? !"Silia# !"Ani# ?5

1

5

1 ?

5

2 ? 5,;

=.5.2. P$"isti>a N% E@8l'si!$

=ambar iagram 4enn !eristiwa +on %clusi(e


52

ua atau lebih peristiwa dikatakan R+on eclusi(eR apabila kedua atau

lebih peristiwa itu dapat terjadi secara bersama-sama. Akan tetapiperlu dicatat bahwa kedua peristiwa itu tidak harus selalu munculbersama-sama.


53/63

>umus untuk peristiwa non eclusi(e adalah 8

P3A ata' B4 9 P3A4 P3B4 P3AB4

atau

P3A B4 9 P3A4 P3B4 P3A B4

imana 8 !"A# 8 !eluang terjadinya A!"B# 8 !eluang terjadinya B

!"AB# 8 !eluang A dan B bersama-sama

1ontoh 8 ari satu set kartu bridge diambil secara acak sebuah kartu,berapa peluang yang terambil adalah kartu AS atau kartu jantung.

!eristiwa A adalah terambilnya kartu AS, jadi !"A#?;J7/!eristiwa B adalah terambilnya kartu jantung, adi ! "B# ? 39J7/.

Sedangkan peristiwa A dan B adalah terambil kartu AS dan jantung,

jadi 8

!"A ∩ B# ? 3J7/

engan demikian

! "A ' B# ? ;J7/ 39J7/ - 3J7/ ? 30J7/ ? 5,99


53


54/63

BAB II

DIST)IBUSI PELUANG

1. PENDAHULUAN

istribusi peluang mempunyai hubungan yang erat dengandistribusi frekuensi. @rekuensidalam distribusi frekuensi diperolehberdasarkan hasil percobaan atau hasil obser(asi, sedangkan dalamdistribusi peluang merupakan hasil yang diharapkan jika percobaanatau pengamatan dilakukan, sehingga distribusi peluang ini sering kalidisebut sebagai distribusi teoritis.

Berikut akan diberikan oontoh yang dapat memperjelaspemahaman tentang konsep distribusi peluang. Suatu tindakanmelemparkan satu keping mata uang logam bersisi dua "angka dangambar# akan menghasilkan salah satu dari dua macam kejadian yangmungkin, yaitu munculnya sisi angka atau gambar. Bila bobot kedua sisi

mata uang sama, maka dlharapkan baik sisi gambar maupun sisiangka mempunyai kesempatan yang sama. Bila dilakukan percobaanpelemparan uang sebanyak dua kah secara adil, maka hasil yangmungkin dari percobaan dua kali pelemparan mata uang logam tersebutdapat disajikan dalam table berikut 8


54


55/63

DIST)IBUSI BINOMINAL

!ada umumnya suatu eksperimen "percobaan# dikatakan

eksperimen binominal bila mempunyai ; syarat sebagai berikut 8

3. Banyak eksperimen merupakan bilangan tetap.

/. Setiap eksperimen mempunyai / hasil yang dikategorikan menjadi

sukses dan gagal. alam aplikasinya harus dijelaskan apa yang

disebut sukses.

*isalkan 8 senang "sukses# → tidak senang "gagal#.

9. !robabilitas sukses sama pada setiap eksperimen.;. %ksperimen tersebut harus bebas "independent # satu sama lain,

artinya eksperimen yang satu tidak mempengaruhi lainnya.

0ONTOH

Satu mata uang dilemparkan 35 kali, maka n ? 35, yang disebut sukses

misalnya hasil muka dan yang disebut gagal hasil belakang.

2

1%muka&%sukses& ===

! dan Q tetap pada setiap lemparan serta hasil setiap lemparan bebas

satu sama lain.

*isalnya banyaknya sukses dalam n percobaan binominal

{ }n R X .,..........,2,1,0= kita akan menghitung


55


56/63

( ) n,..........3,2,1,0,k ,k X == banyaknya titik sampel dalam

kejadian ( )k X = sama dengan

k

n

jadi ( )( ) 1knk1

kn2k01nkn2k0

knkX0

−

−=−

==

"distribusi binominal b "n, !##, nk .........,,2,1,0=

0ONTOH

3. ika /5 6 baut yamg diproduksi oleh mesin adalah rusak.

entukan probabilitas bahwa dari ; baut yang dipilih secara acak 8

a. 3.

b. 5.

c. !aling banyak / baut akan rusak.

A?AB

!robabilitas baut rusak 8 2,0= P tak rusak 8 8,01 =−= P q

a. 0,40963%0,3&1%0,2&1

4%1& ==

b. 0,40964%0,8&0%0,2&

04%0& ==

c. 0,15362%0,8&2%0,2&24%2& ==

0,9728

0,15360,40960,4096%2&%1&%0&2& anyak %paling

=

++=++=


56


57/63

/. Kemungkinan seorang calon mahasiswa dapat diterima di

perguruan tinggi, nilainya 5,;. tentukan nilai kemungkinan bahwa

dari 7 calon mahasiswa 8

a. ak ada.

b. 3.

c. !aling sedikit 3 diterima.

A?AB

0,08atau0,077765%0,6&0%0,4&0

5%0&a. ==

0,26atau0,25924%0,6&1%0,4&1

5%1& . ==

0,92%0&11&sedikit%paling. =−=

SOAL SOAL

3. ari /555 keluarga dengan ; anak masing-masing, berapa

banyak yang dapat diharafkan bahwa 8

a. !aling sedikit terdapat anak laki-laki


58/63

>uas terakhir dapat ditulis 8

( )k 1

n

1k 1

n

21

n

11n

n

n1

k

k &%n

−

−−−−−−−−−

−

−

−

ika ! kecil sekali dan n besar sehingga n → "λ ialah bilangan

terhingga O 5# maka 8 n

n

71

k

k7

k8

−→ dan jika n besar

maka

e

n

n

1nim −=

−=∞→ jadi untuk ! kecil sekali dan n besar,

sehingga n → maka 8 n.........,2,1,0,k ,

ek

k k

=−

= "disebut

distribusi poisson# k menuju tak terhingga. umlah k π untuk semua

...........1,0,k =

1

e

e0k k

k

e0k k =×−=∑

∞

=−=∑

∞

−

istribusi !oisson dapat digunakan untuk menghitung

probabilitas dari CsuksesD dalam eksperimen, jika misalnya dalam

satuan luas tertentu, satuai isi tertentu, internal, waktu tertentu, satuan

panjang tertentu, misalnya 8

a. Banyaknya bakteri dalam satu tetes air atau satu liter air.

b. Banyaknya rumah terbakar dari 35.555 rumah yang

diasuransikan selama bulan esember.

c. Banyaknya kecelakaan mobil di *onas selama minggu

pertama pada tahun baru.d. Banyaknya penggunaan telepon permenit.

e. Banyaknya ketik perhalaman laporan tahunan.

f. Banyaknya pesanan yang masuk perminggu.

istribusi !oisson dipakai, di mana banyaknya percobaan yang

bebas n adalah besar dan dimana nilai kemungkinan untuk sukses !

kecil sekali. *issal kita ambil suatu sampel kecil dari suatu cairan yang

berisi bakteri untuk setiap bakteri yang berada dalam cairan tersebut,


58


59/63

bila kita mengadakan suatu eksperimen acak dengan hasil bakteri akan

CtermasukD atauDtidak termasukD dalam sampel dan ! "termasuk dalam

sampel# adalah kecil sekali. adi banyaknya bakteri dalam sampel

tersebut memenuhi distribusi poisson.

0ONTOH

*enurut pengalaman karyawan suatu yayasan penerbit, sebuah

mesin stensil merk setiap menstensil 3555 lembar kertas akan

membuat kerusakan 3 lembar kertas. !ada suatu waktu kita akan

menstensilkan sebanyak /75 lembar. Berapa nilai kemungkinan akan

terdapat kerusakan sebanyak


60/63

− ∞ ∞X

µX1(3 320(2 (1

µ−σ µ ;3 σµ−σ µ ;2 σµ (3 σ µ (2 σ

68,26/

68,46/

99,74/

2:"

21

e2:

1%X

−=

imana 8 σ ? Simpangan Baku.

µ ? >ata- rata .

e ? /,3E/E..

1d

2:"

21

e2:

1

&X%&X%

=

−−∫ ∞

∞−

∞


61/63

-2,17 0

-1,61 0 1,61

ika (ariable dinyatakan dalam standar unit, :

"X

<

−

= , maka

bentuk standar persamaan distribusi normal 82<

21

e2

1=

−= luas di

bawah kur(a normal standar dari 5 sampai dapat dibuat tabel.

0ONTOH

3. engan menggunakan table distribusi normal, hitunglah 8

a. ! "- /,3 P P 5#.

b. ! "- 3,03 P P 3,03#.

c. ! " O 3,03#.

d. ! "5,75 P P /,37#.

e. ! "- 5,75 P P 3,55#

A?AB

0,4850&2,17%&2,170%&0


62/63

-0,5 0 1,0

0,50 2,15

0,10740,05372&4463,05,0%2&1,61 x

0,29270,19150,4842&%0,50&2,15%&2,15


63/63

0-

2,6585<

0,49600,00400,5000&

bhnstatistikyy1.doc

Documents