X. BestJmrnurbg der ElasticitMtseonstaibtem Unter Benutxung der Bdegunge-

beobachtungen von G . Baumyal*tem; von W. Toigt.

f G r Ealkspath.

(Im Auszug aus den Nachr. v. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Gottingen 1889, Nr. 19 mitgetheilt vom Hm. Verf.)

Der Kalkspath ist zuerst von allen Krystallen auf seine Elasticititsverhaltnisse hin untersucht worden ; die Beob- achtungen der Biegungen prismntischer SVabchen durch G. B a u m g a r t e n l) haben die Abhangigkeit seines Elastici- tatscoefficienten oder, wie wir praciser sagen, seines Dehnungs- widerstandes von der Richtung klargestellt und die uber- raschende Grosse seiner Aenderung gezeigt.

Absolute Werthe filr diese Coefficienten konnten jene Beobachtungen aber besonders deshalb nicht liefern, weil die Stiibchen, welche B a u m g a r t e n damals unter grossen Schwie- rigkeiten selbst anfertigen musste, derjenigen feinen Politur entbehrten , welche allein die sichere Bestimmung ihrer Di- mensionen gestattet. Bei dem enormen Einfluss, den nament- lich die Dicke der Prismen bei der Berechnung des Dehnungs- widerstandes ubt, musste diese Unsicherheit in den absoluten Werthen grosse Fehler verursachen, wbhrend sie das Gesetz ihrer Aenderung mit der Richtung weniger betraf, da hier nicht der absolute Werth des Fehlers in der Dickebestim- mung, sondern nur seine Aenderung von Stabchen zu Stab- chen wirksam ist.

Nachdem in dem optischen Institut von Hrn. Dr. 8 t e e g und R e u t e r in Homburg, das seinerzeit jene erste Arbeit nicht iibernehmen wollte, Vorkehrungen getroffen sind, urn die fur die elrtstischen Beobachtungen nothigen Prismen her- zustellen, bietet die vollstandige Bestimmung der Elasticitilts- constanten und damit der absoluten Werthe der Dehnungs- und Drillungswideratande fur Kalkspath weniger Schwierig- keiten, nls fur die meisten anderen Krystalle, weil von ihm

11 G. Baumgarten , Pogg. Ann. 152. p. 369. 1574.

-xz -3-v

(l) - z z

- y# -2, -xy

“1; Yy 2, Y* 22 xY

GI1 c12 P18 ‘1 4 0 0 cia p i 1 ‘I3 -‘14 0 0 clS ‘13 pa 8 0 0 0 ‘14 -‘14 0 CP4 0 0 0 0 0 0 c44 Cl4

0 0 0 0 ‘14 *(cll-c12)

das nathige Beobachtungsmaterial leicht in hochster Voll- kommenheit zu beschaffen und die genannte Werkstatt fiber- dies in seiner Bearbeitung ganz besonders erfahren ist.

In die Beobachtungen haben wir uns in der Weise getheilt, dass B a u m g a r t e n die Messung der Biegungen, ich diejenige der Dimensionen und der Drillungen iibernahm; bei der Bestimmung der Dimensionen hat mir, wie schon friiher Hr. Dr. D r u d e treulich geholfen.

Schliesslich habe auch icb die, Biegungen eines grossen Theiles der Stabchen gemessen, weil es von Interesse schien, zu constatiren, in wie weit unsere beiden Apparate bei dem- selben Material iibereinstimmende Resultate ergaben.

Formeln fur das rhomboCdrische System.

Die ftir die Berechnung der Beobaahtungen zu benutzen- den Gleichungen sind ausftihrlich an anderen Orten l) ent- wickelt ; es geniigt demnach hier die Zusammenstellung der wichtigsten Resultate.

Des Spaltungsrhomboeder sei so aufgestellt, dass die 2 -Axe in die Hauptaxe, die YZ-Ebene in eine krystallo- graphische Symmetrieebene flllt und die + Y.Axe aus einer der urn die + 2- Axe herumliegenden Rhomboederflgchen austritt.

Das System der Elasticitltsconstanten sei dann bezeich- net durch das Schema:

414 w. voigt.

alle iibrigen Shk sind gleich Null. wir bei :

Als unabhhngig behalten

‘11’ ’33’ ‘447 ‘12, ‘13’ ‘14’

Der DPhnungscov$cent E in einer durch die Richtungs- cosinus a, ,9, y gegen die Coordinatenaxen bestimmten Rich- tung hat dann den Werth:

(4) { E = -51 (1 - Y 2 Y + 4 3 Y 4 + (%1. + 2’13) ya (1 - y 7 + 2 . Y 1 , / 3 Y ( 3 W 2 - p ) . Durch diesen Dehnungwoefficienten I.: bestimmt sich die Biegung 91 eines rechteckigen Prismas von den Dimensionen L, B, D durch ein in seiner Mitte angreifendes Gewicht P nach der Pormel:

1 IF, = E nennen wir den Delinungs- oder Bieequngsmider- stand; 6 ist identisch mit dem sogenannten Elasticitatscogf- ficie n ten.

Der D r i l f i i n g . ~ c o ~ ~ ~ ~ ~ i e n f T fur ein durch die Richtungs- cosinus a. p, y seiner Langsaxe, gl, PI, y1 seiner grosseren, aZ, Bz, yz seiner kleineren Querdimension nach seiner Orien- tirung geg-?henes rechtwinkliges Prisma hat den Werth:

(6) { T = s $ 4 + ( 2 ( s 1 1 - s l ~ ) ~ ‘ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ 4 ~ s ~ l + s ~ ~ ~ s ~ ~ ~ 2 c ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ *

4’14 PI f p7’ii (3 ““1 - bpi) - P~?’21*

Mit diesem Coefficienten ist der Drillungswinkel t des Prismas aber allgemein nur dann proportional, wenn die kleinere Querdimension neben der grosseren vernachlassigt werden kann; im anderen Falle ist nur das massgebende Glied in dem dafur geltenden Ausdruck in ihn multiplicirt. Eine Vereinfachung tritt ein , wenn die Langsaxe des Prismas eine geradzahlige krystallographische Syrnmetrieaxe und da- her normal zu einer elastischen Symmetrieebene ist. Dann gilt:

worin N das ausgeubte Moment um die Liingssxe bezeichnet und f eine Function der Orientirung des Prismas ist, fur welche sich ein angeniiherter Werth leicht erhalten lilsst. Es gilt namlich :

Elasticitiitsconstanten fur K ~ ~ l k s p a t ? ~ 415

falls gesetzt wird: s*;= S44f ( 2 h I -*%) - S 4 4 ) Y I 2 - - 4 f i l 1 . Y 1 P I 1

(9) 1 s55/ = + (2(s,, - sIB) - si4) yZ2 - 4 * 5 4 ~ 2 P 2 7 S 4 s f = s 4 4 ( Y 1 Y 2 + P I P d + 2 * 3 4 ( Y , P z + Y2P1b

In dem Ausdruck (4) fur E komrnen vier Aggregate der sechs Sh) vor, man kann diese also durch die Beobachtung der Biegung von vier Gattungen von Stabchen bestimmen. Deren Orientirungen werden passend so gewahlt, dass fur sie E ein Maximum oder Minimum wird; denn dann sind die unvermeidlichen kleinen Fehler in der Orientirung ohne Einfluss. Man findet nun leicht, dass die Werthe:

u = p = o , y = l und u = l , / i = y = O

d E zu Null werden lassen; stets wird sich also die X- und die Z-Axe als Langsrichtung fur je eine Gattung von Pris- men empfehlen. Weitere Maximal- und Minimalrichtungen liegen in der YZ-Ebene; diese sind aber zahlenmassig erst angebbar, wenn die Shk bestimmt sind. eNach den friiheren Baamgarten’schen Beobachtungen war ein Minimum in ca. + 70°, ein Maximum in ca. - 50° Neigung gegen die Hauptaxe zu erwarten, wenn die Winkel in der Richtung hazh der + Y-Axe hin positiv gerechnet werden. Demgemass hatte ich auch bei Dr. S t e e g und R e u t e r Stabchen unter den Winkeln +70°, resp. -50° gegen die Hauptaxe in Arbeit gegeben. Indessen ist in der Werkstatt ein Versehen vor- gekommen und die gelieferten Stabchen entsprachen ungefahr den Winkeln - 7 O O und +50°.

Hiermit ist naturlich der gewiinschte Zweck vereitelt und es musste die Orientirung der beiden Gattungen Stab- chen genau nachgemessen werden ; indessen ist gerade bei Kalkspath der Schaden verhaltnissmassig gering, da die deutlichen Spaltungsflachen jene Messungen leicht und ziem- lich genau mit dem Reflexionsgoniometer auszufuhren ge- statten.

Im ubrigen sind die Stabchen yon Dr. S t e e g und Reu- t e r ausserordentlich schon gearbeitet und hochpolirt. Tor

416 w. Voigt. der Messung der Dimensionen wurden sie mehrere Tage in Benzol aufbewahrt und dann tiichtig mit Leinen abgerieben. urn die fest anhgngenden Reste der Kitt- u i d Polirmasse zu entfernen.

Durch Drillungsbeobachtungen sind nur zwei Aggregate der shk zu bestimmen, und hierzu also nur zwei Gattungen von Stabchen nothig. Ich habe sie beide mit ihrer Langs- axe in die X-Richtung, d. h. die Normale zur krystallogra- phischen Symmetrieebene, gelegt und bei der einen die klei- nere Querdimension, bei der andern die gr6ssere in die Z- Hauptaxe fallen lassen.

Die Bezeichnung der verschiedenen Gattungen Stibchen wollen wir folgendermassen wlhlen.

Ein Stgbchen, dessen Lbgsaxe in der Symmetrieebene des Krystalles (I. Hauptschnitt) liegt., soll die Ziffer I, eines, dessen Llingsase in der dazu normalen Ebene (11. Haupt- schnitt) liegt, die Ziffer I1 beige!egt erhalten wenn gleich- zeitig die grossere Querdimension (Breite B) normal zur Z-Axe steht, hingegen die Ziffern I' und II", wenn die klei- nere Querdimension (Dicke D ) normal zur Z -Axe steht; ausserdem soll eine hinzugefiigte Zahl abgerundet die Anzahl Grade des Winkels zwischen Langsrichtung des Sttlbchens und 2 - A x e angeben.

Es entsprechen sich also folgende Bezeichnungen und Richtungscosinua :

I(+ 700) I (- 50')

I(O0) u. II(O0) u = p = 0, y = 1, y1 = y2 = 0,

I1 (900) u = 1 , p = y = o , y l = o , y z = l , 1 I ' (900) u = 1 , p = y = o , y z = 0 , y 1 = 1 .

u = 0, /? = + sin (70°), y = + cos (70°), y1 = 0, u = 0, /? = - sin (50°), y = + cos (50°), y1 = 0,

Bei den Dehnungscoefficienten E genugt in den vor- stehenden funf Fallen zur Unterscheidung die Angabe des Neigungswinkels, fdls man nur die Bezeichnung als auf den ersten Hauptschnitt bezogen denkt; denn E oder E hat fur die Gattungen I1 ( g o o ) , 11' (goo) und I ( g o o ) den gleichen W erth.

Wir erhalten sonach folgendes Tableau:

Elasticitatsconstunten fur Kalkspath. 417

Eo = s33 7 EQO = 811 7

E-VO = sll sin4(700) + s,3cos4(700) + (sg4 + 2sls)sinZ(700jcos~(700) + 2sl4'sinS(7O0) cos (700),

E+SO = sI1 sin4(500) + ~3sC0~4(50") + ( s * ~ + 2s,,)sin2(500)cos2(500) + 2s,, sins(500) cos (509;

hierin sind statt der abgerundeten Zahlen 50° und 70n die weiter unten angegebenen genauen Werthe einzusetzen.

Die Drillungscoefficienten fur die Gattungen I1 (goo) und 1I'(9O0) wollen wir mit T W und T W bezeichnen, analog die in Formel (7) auftretende Function f, resp. mit f,, und &'.

Fur die Oattung I1(9O0) gilt nach (6), (8) und (9):

fur die Gattung II'(90O) ist:

also : (12) lo; = s44 und

s4; = 2 (s, 1 - 81 3) , sss' = s4g s4a' = 2 s1 4 7

Ausser diesen beiden Gattungen Stabchen habe ich auch

Da bei derselben die grbssere Querdimension der X-Axe die Gattung I ( O O ) gedrillt.

parallel liegt, wird fur sie:

die Formel (7) fur z bleibt auch hier bestehen, aber f ist nicht mehr durch Rechnung bestimmbar. Bei Bergkrystall hatte die Combination gewisser Beobachtungen den Werth:

ergeben, der auft3llig mit dem theoretisch bei unkrystallini- schen Medien gefundenen f = - 0,636 ubereinstimmt. Es war daher von Interesse zu untersuchen, ob bei Kalkspath die Benutzung dieses Werthes To wirklich zur Uebereinstim- mung mit T,; bringt.

Sind die sechs Constanten sM gefunden, so berechnet sich aus ihnen ausser den allgemeinen Werthen von E und T

(13) To = s44;

fo = - 0,635

Ann. d. Phys. e Chem. N. P. X X U . 27

418 W. Voigt.

auch der Werth des Drillungscoefficienten T o fur einen Kreis- cylinder, der nur von den Richtungscosinus a, /?, y seiner Langsaxe gegen die Coordinatenaxen abhlngt und der des- halb fur die Discussion der Resultate besonders bequem ist; man erhalt:

(14’ + 4 ( ~ 1 , + ~ 3 3 - ~ 4 , - 2SI3)y3(l -7’)- 8 ~ , , p y ( 3 a ~ - p ~ ) . Ein beliebig gestaltetes Stuck eines rhomboedrischen

Krystalles wird bei allseitig gleichem Druck so deformirt, dass die ihm entsprechenden linearen Compressionscoeffi- cienten A, und A, parallel und normal der Hauptaxe die W erthe haben:

hieraus folgt der cubische Compressionscoefficient : (16)

chem Druck ist:

To=s ,*+2( .~ l l - - s , , )+ (S4*-2 ( s l l -S1s))Y2

(15) A, = 511 + sl2 + ~ 1 3 7 A, = 2s13 + ~ 3 3 ;

= 333 + 2(~11 + 512) + 4513.

Der Coefficient B der Winkelanderung bei allseitig glei-

B = s13 + fis3 - sll - sl2.

Bus den Grossen shk folgen unter Benutzung der ther- mischen linearen Ausdehnungscoefficienten a3 und a, parallel und normal zur Hauptaxe auch die Coefficienten q3 und q1 der Wtlrmeabstossung in diesen Richtungen; es gilt namlich:

Sind die Shk aus den Beobachtungen berechnet, so be- stimmen sich aus ihnen die Elasticitatsconstanten Chk gemass folgenden Formeln:

(18) 4 3 = 2a1c ,3 -k %%37 41 = a l ( c l l f ‘12) + a3c13’

Diese Constanten chit wie auch ihre mit 8hk bezeichneten Aggregate heissen isothermische Elasticitatsconstanten, da sie elastische Deformationen messen, welche durch gegebene aussere Einwirkung bei constanter Temperatur hervorgebracht werden. Ihnen treten die adiabatischen Yhk und bhk gegen-

~[asticitatsconstatitm j i i r Kalkspath. 419

uber , welche die Aenderungen bei verhinderter Warme- bewegung bestimmen. Zwischen ihnen gelten die Beziehungen:

in denen 0 die absolute Temperatur, A das mechanische Warmeaquivalent, E die Dichte des Krystalls, c seine gewohn- liche specifische Warme bezeichnet.

Endlich sei noch der Werth der Differenz der beiden specifischen Warmen cp und ca bei constanten Spannungen und constanten Deformationen angegeben; es gilt:

B i e g u n g e n . Die folgenden Tafeln enthalten nach der Angabe des

Beobachters und neben der Bezeichnung jedes Stabchens zu- niichst seine Dimensionen, die LBngen in Millimetern, die Breiten und Dicken in Trommeltheilen des Spbiirometers (= 1/992,6 mm). Da Breite und Dicke von Querschnitt zu Querschnitt wechselten, so sind ihre in Rechnung zu ziehen- den Werthe je nach der Lange, in welcher das S&bchen benutzt ist, verschieden; die Ar t ihrer Berechnung habe ich friiher l) auseinandergesetzt.

Es folgen dann die bei den in Grammen angegebenen Belastungen P gemeasenen Biegungen 7 in Scalentheilen der Beobachtungsapparate, welche bei den Baumgar ten’schen Beobachtnngen 0,001 340 mm, bei den meinen 0,O 002954 mm entsprachen; die angegebenen Zahlen sind bereits wegen der Eindruckung der Lagerschneide corrigirt, deren Betrag durch zwei Beobachtungen derselben Stabchen in sehr kleinen Lan- gen ermittelt ist.

Der Werth von 7 ist in einzelnen Fallen, wo die Be- obachtung bei erheblich von 20 O C. abweichender Temperatur stattfand , noch um einen durch directe Beobachtung ermit- telten Betrag dr zu corrigiren.

Aus den so erhaltenen reducirten Biegungen sind die

1) W. V o i g t , 1. c. p. 100. 27 *

420 W. Voigt.

Werthe von El) berechnet, die am Ende jedes Systemes mitgetheilt sind. Die Vergleichung der so aus B a u m g a r - ten 's und meinen Beobachtungen erhaltenen Zahlen gibt eine gute Uebereinstimmung. In der That ist ja auch bei beiden Berechnungen dasselbe System von Dimensionen B una D benutzt, Abweichungen kannen also nur durch Fehler in der Bestimmung von L und 7 bewirkt werden.

Eierbei ist aber zu bemerken, dass q ausser durch directe Ablesungsfehler auch dureh ein etwas unrichtiges Auf legen des Stibchens auf die Lager einen falschen Werth erhalten kann; da die Stilbchen ntmlich alle etwas unregelmiissige Form haben, z. B. auch an dem einen Ende dicker als an dem anderen sind, so wird, je nachdem das eine oder das andere Ende etwas weiter iiber das Lager hinausreicht, die Biegung grosser oder kleiner erscheinen. Bei ungunstigen Umstiinden kann schon eine kleine Abweichung von der zu den Schneiden symmetrischen Lage merkliche Differenzen verursachen.

Bus den fur die einzelnen Stilbchen erhaltenen Resul- taten fiir E sind die Qesammtmittel in der Weise berechnet, dass allen Stilbchen der gleiche Einfluss gegeben ist, z. B. also wo derselbe Beobachter ein Stabchen in verschiedenen L'ingen benutzt hat, das Mittel uus den gefundenen Werthen das einfache Bewicht erhalten hat.

B i e g u n g e n. Beobachter B.

I ( O 0 ) Nr. 1. L = 50,0, B = 5595, D = 813,9,

1(0°) Nr. 2. L = 50,0, B = 5596, D = 817,3,

1(0°) Nr. 3. L = 50,0, B = 5611, D = 820,1,

1 (OO) Nr. 4. Z = 50,0, B = 5808, D = 805,4,

I (OV) Nr. 5. L = 50,0, B = 5609, D = 818,2,

r j = 128,6,

7 = 126,7,

r j = 125,6,

'1 = 127,6,

'1 = 126,2,

B = 100,

P = 100,

P = 100,

P= 100,

P = 100,

E = 6 841 000.

E = 6 848 008.

E = 6 826 000.

E = 6 836 000.

E = 6 837 000.

1) Ich habe diese Gr6asen und nicht die reciproken E = 1 / E ange- geben, weil sie in Lehrbuchern uberall bevorzugt sind; fiir die eigent- lichen Berechnungen hat man fieilich immer von den E auaeugehen.

Elasticitatscoastantell j Z r Kalkapath 42 1

Beobachter V. I(0") Nr. 1. L = 50,07,') B = 5595, D = 813,9, P = 60,

I@,) Nr. 2. L = 52,07, B = 5596, D = 517,3, P = 60, 7 = 350,6, e = 6 833 000.

7 = 390,0, L = 50,07, 7 = 342,7, E = 5860000.

G = 6 817 000. I(0"j Nr. 3. L = 14,07, B = 5608, D = 821,8, P = 60,

I(0") Nr. 5. L = 50,07, B = 5609, D 3 818,2, P = 60, 7 = 232,0,

'I = 343,3, Gesammtmittel E, = 5 837 000, E, = 17,13.10-* Wahrscheinlicher Fehler f 2400,

E = 6 842 000.

-i: 0,007.

Beobachter B. I(-7Oo) Nr. 1. L = 50,0,

1(-70") Nr. 2. L = 50,O.

L = 60,1,

I !-W'I Nr. 3. L = 50,0,

L = 60.1.

I (.-70°,) Nf. 4. I; = 50.0,

L = 60,1,

I ( - T O o ) Nr. 5. L = 50.0,

B = 5589, 7 = 124,1, B = 5597,

D = 828,2,

D = 831,8, 4 = 122,2, B = 5594,

= 214,0, B = 5601,

D = 831,6,

D = 836,4, '1 = 120,1,

'I = 210,0, B = 5598, D = 835,9,

B = 5592, 7 = 120,3, B = 5589, 7 = 210,3, B = 5604,

D = 835,9,

D = 835,5,

D = 833,5, '7 = 121,2,

Beobachter V. I 1-70,) Nr. 1. I, = 55,07, B = 5589, D = 828,'2,

I(-70q) Nr. 2. L = 60,07, B = 5594, D = 831,1,

I(-70°) Nr. 3. L = 60,07, B = 5598, D = 835,9,

I (-7OO) Nr. 4. L = 58,O7, B = 5589, B = 835,5,

7 = 448,7, drj = 1,0,

11 = 571,6, b~ = 1,3,

7 = 563,8, dq = 1,3,

7 = 512,3, drj = 1,2,

P = 100, E = 5 749 000. P = 100, E = 5 764 000. P = 100, E = 6 719 OOO. P = 100,

P = 100,

P = 100,

P = 100,

P = 100,

E = 6 752 000.

E = 5 729 000.

E = 6 761 000.

E = 5 736 000.

E = 6 767 000.

P = 60, $ = 16, E = 5 770 000. P = 60, 4 = 16 , E = 6 778 000. P= 60, 4 = 16, E = 5 789 000. P = 60, 4 = 1 6 , E = 5 569 000.

1 1 0,07 ist die Correction der direct abgelesenen L h g e an meinem Biegungsapparate.

422 w. Voigt.

I(-70") Nr. 5. L = 55,07, B = 3604, D = 833,5, P = 60, 9 = 16,

7 = 440.6, 87 = 1,0, E = 5 748 000. Gesammt.mitte1 f L 7 0 = 5 766 000, E. 7,, = 17,37 . Wahrscheinlicher Fehler f 4600, f 0,014.

Beobachter B. I ( +5O0] Nr. 1. L = 50,0, B = 5614, D = 820,0,

I (+SO0) Nr. 2. L =; 50,0, B = 5613, D = 824,7,

I f+50°:) Nr.3. L = 50,0, B = 5612, B = 819,9,

I (+50°) Nr. 4. L = 50,0, B = 5612, D = 819,3,

I (+506) Nr. 5. L = 50,0, B = 5598, D = 821,0,

'1 = 65,68,

11 = 64,62,

q = 65,56,

7 = 65,46,

'I = 65,20,

P = 100,

P = 100,

P = 100, E = 11 170 000. P = 100, E = 11 200000. P = 100, E = 11 220 000.

E = 11 130 000.

E = 11 130 000.

Beobachter V. I (+50°) Nr. I. L = 48,07, B = 5614, D = 820,0, P = 80,

I (+5Ooj Nr. 2. L = 48,07, B = 5613, D = 824,7, P = 80,

I ( + 5 0 ° ) Nr. 3. L s 48,07, B = 5612, D = 819,9, P = 80,

I (+5Ooj Nr. 4. L = 48,07, B = 5612, D = 819,3, P = 80,

7 = 211,0,

7 = 208,4,

11 = 211,5,

q = 211,3,

E = 11 180000.

E = 11 13000U.

E = 11 160 UOO.

E = 11 180 000. G: eaammtmittel Efao = 11 167 000, E+S0 = 8,9bb . lo-'. Wahrscheinlicher Fehler f 7000 f 0,005.

Beobaohter B. XI (goo) Nr. 1. L = 50,0, B = 5607, D = 836,2, P= 100,

L F 60,1, B = 6604, D = 836,O. P = 100,

I1 (goo) Nr. 2. L I: 50,0, B = 5607, D = 838,5, P = 100,

'1 = 76,96,

7 = 134,14,

E = 8 974 000.

E = 8 964 000.

23 = 8 980 000.

E = 8 917 000.

7 = 76,28, L I 60,1, B = 5605, D = 838,3, P= 100,

7 = 133,6,

q = 73,12,

7 = 303,2,

I1 (goo) Nr. 3. L I 50,0, B = 5601, D = 848,8, P = 100, E = 9 041 000.

L 80,0, B = 5593, D = 848.1, P = 100, E = 8 966 000.

Elasticitatsconstanten fur Kulkspnth. 423

II(90O) Nr. 4. L = 50,0, B = 5610, D = 855,9, q = 71,44,

L = 80,0, R = 5601, D = 855,3, 11 = 294,4,

q = 72,88, L = 80,0, B = 5599, D = 851,3,

q = 298,2,

I1 (goo) Nr. 5. J; = 50,0, B = 5608, D = 552,2,

P = 100, E = 9 010 000. P = 100, E: = 8 987 000. P = 100, E' = 9 061 000. P = 100, E = 9 005 000.

Beobachter V. I1 (goo) Nr. 1. L = 58,07, B = 5604, D = 536,0, P = 30,

I1 (90") Nr. 2. L = 64,07, B = 5605, D = 835,3, P = 30,

I1 (903 Nr. 3. L = 84,07, B = 5593, D = 848,1, P = 30,

JI (901 Nr. 4. 1; = 88,07, B = 5601, D = 855,3, P = 30,

I1 (903 Nr. 5. L = 88,07, B = 5599, D = 851,3, P = 30,

q = 165,1, E = 8 930 000.

11 = 220,5,

q = 476,8,

q = 531,5,

q = 540,1,

E = S 913 000.

I3 = 9 024 000.

E = 9 036 000.

E = 9 026 000.

11'(90°J Nr. 1. L = 50,0,

L = 65,0,

II'(90O) Nr. 2. L = 50,0,

L = 65,0,

II(90O) Nr. 3. L = 50,0,

L = 80,0,

II(90O) Nr. 4. L = 50,0,

L = 80,0,

Beobachter B. B = 5612, D = 845,6, P= 100, 11 = 74,2, B = 5609, D = 845,4, P = 100, q = 163,3, B = 5604, D = 861,8, P = 100,

B = 5600, D = 861,6, P = 100, q = 154,6, B = 5613, D = 851,4, P= 100, q = 73,44, B = 5605, D = 851,0, P = 100,

I / = 301,5, B = 5602, D = 857,7, P = 100, q = 71,28,

q = 293,3,

E = 8 993 000.

l3 = 8 987 000.

E = 8 993 000.

E' = 8 987 000.

q = 70,2,

E = 8 900 000.

E = S 904 000.

E' = 8 987 000.

E = 8 960 000. B = 5595, D = 557,5, P = 100,

Beobachter V. 11(9Oo) Nr. 1. L = 68,07, B = 5609, D = 845,4, P = 30,

11'(90°) Nr. 2. L = 66,07, B = 5600, D = 861,6, P = 80, q = 256,5, E = 8 937 000.

E = 8 94s 000. 7 = 221,8,

424 W. Voigt.

II'(900) Nr. 3. L = 82,07, B = 5603, D = 851,0, P = 25,

II'(90O) Nr. 4. L = 82,07, B = 5595, D = 857,5, P = 25, q = 368,2,

q = 358,@,

E = 8 930 000

E = 8 986 000. Ego = 11,14 . lops. Geeammtmittel

Wahrscheinlicher Fehler k 6500, f0,008. EBo = 8 977 000,

Um die vorstehenden Resultate zur Berechnung der Coefficienten in dem Ausdruck fur E zu benutzen, waren zunachst die genauen Orientirungen der StiLbchen I (- 70°) und I (+ 507 zu bestimmen. Die Abweichungen ihrar Langs- richtungen aus dem ersten Hauptschnitt sind ohne Einfluss auf die Berechnung, es genugte also, mit dem Reflexions- goniometer die Winkel zu bestimmen, welche ihre Breitseiten mit der Spaltungsflache normal zu dem betreffenden Etaupt- schnitte einschlossen. Diese Winkel fanden sich bei den genannten beiden Gattungen resp. gleich 24O 0 und 83O 59'. Da nun die. Spaltungsflachen den Winkel 45' 23,5' mit der Hauptaxe einschliessen, so finden sich die gesuchten Winkel zwischen der Hauptaxe und den Langsrichtungen dieser bei- den Stabchengattungen resp.

gleich - 69O23' und + 50°38'

E - y O = (17,37 f. 0,014) lo-', 1 II:RO = (11,14 & 0,008) 10-8. berechnen sich nunmehr nach (10) zuniichst folgende vier Aggregate der s h k :

Aus den erhaltenen vier Werthen for E: Eo = (17,13 & 0,007) lo-'. E+jo = (8,955 & 0,005) lo-',

sI1 = (11,14 & 0,008) lo-*, s~~ = (17,13 0,007) lo-',

s14 = (8:983 0,017) 10-8. Der allgemeine Werth fur E nimmt dadurch folgende

(22) { s~~ + 2sl, = (31,05 f 0,030)

Gestalt an :

(23) E = 11,14p + 17,13p + 31,05pya + 17,97,By ( 3 ~ 2 - iq'). In dem ersten Hauptschnitt, fur welchen tr=O ist, finden

Maxima und Minima statt in den vier Richtiingen, welche folgenden Winkeln gegen die Hauptaxe entsprechen:

TI = - 50" 5 2 , qrr = - 7'7': Y I ~ I = Oo, rpiv = + 66'46.

Elasticitatsconstnnte~i fur Kalkspath. 425

Mit diesen Werthen stimmen befriedigend die aus B a um - gar t en s friiheren Beohachtungen folgenden: tp{= - 49*30', TI;= - 2*35', cp11;= Oo, r p l / = + 6S0 16';

die Factoren in der Gleichung fur E , namlich 15,06, 23,65, 45,70, 24,10, weichen stark in dem Sinne ab, der daraus folgt, dass bei jenen Beobachtungen nicht polirte, sondern matt geschliffene Stabchen benutzt sind. Ihr Verhhltniss zu den richtigen Werthen ist ziemlich constant, namlich 1,35, 1,38, 1,47, 1,34, was die Uebereinstimmung in der Lage der Maxima und Minima zur Folge hat und darauf hinweist, dass die verschiedenen Stabchen infolge des Schliffes nahe gleiche oberflachliche Poren besessen haben.

Die Maximal- und Minimalwerthe von E haben folgende Grassen:

EI = 19,49. lo-', E I ~ = 17,12. lo-', E I ~ = 6,94. lo-'.

EIII = 17,13.10-8,

Das Minimum EII und das Maximum E I , ~ sind so nahe gleich, dass ihre gegenseitige Lage nur ungenau bestimmbar ist. Man mochte zunachst vermuthen, dass sie in Wirklich- keit zusammenfallen. Dann miisste nach der Formel fur E :

2s3, = s44 + ZS,, sein; da diese Grossen aber urn ein Zehntel ihres Werthes verschieden gefunden sind , so ist diese Mijglichkeit auszu- schliessen.

Fu r den zweiten Hauptschnitt (p = 0) kommt in Formel (23) nur das letzte Glied in Wegfall, wodurch E eine gerade Function der Winkel gegen die X- und 2-Axe wird. Maxima und Minima finden nur in diesen Axenrichtungen statt; sie sind die direct beobachteten Werthe.

E, = 17,13. lo-', E,, = 11,14.IO-s. Fig. 1 stellt die Curven dar , welche man erhalt. wenn

man im I. und 11. Hauptschnitt die Grosse von E, durch eine Lange reprasentirt, auf der zugehorigen Richtung auf- tragt.

D r i l l u n gen . Die Drillungsbeobachtungen sind mit dem auch friiher

von mir benutzten Spiegelapparat angestellt ; der Abstand A awischen Spiegel und 6cala betrug 5173 mm, die Milli-

426 w. voiyt. meter der letzteren waren um 0,00374 zu gross. Die in den folgenden Tafeln angegebenen u sind die an der Scala be- obachteten, bereits von der Tnngente auf den Bogen redu- cirten LLngen fur die Belastungen G + P, wobei G das

'2

Gewicht der Wagsehale bezeichnet, das bei der Elimination der Axenreibung aus der Rechnung herausfallt. IR und rR deuten an, dass die Beobachtungen an der linken oder

Elusticitiifsconstunten fur Kalkspath. 427

rechten Rolle des Apparates angestellt sind; das Mittel von deren Radien R betrug 36,SO mm; p gibt die GrBsse, der Axenreibung in Theilen der Scala an.

Aus siimmtlichen Beobachtungen ist die dem Moment R P entsprechende Drehung up berechnet und unter jede Beobachtungsreihe gesetzt; crp/ A ist die doppelte Drehung 2 t p in Theilen des Radius, welche R P entspricht.

Bus diesem Werthe t und den angegebenen Dimensio- nen eind nach den Formeln (7), (11) ynd (12) unter Benutzung des oben erhaltenen Werthes.s,, = 8,98.10-* durch succes- sive Annbherung die Drillungswider8t'ande Tgo und FgO be- rechnet und aus ihnen die Gesammtmittel i n gewBhnlicher Weise gebildet. 11 (903 Nr. 1. X = 44,41, B = 5607, D = 835,7, P = 20,

u = 99,65,

u = 114,4,

3'= 3 365 000.

T = 3 396 000. I1 (90') Nr. 2. L = 51,27, B = 5607, D = 837,7, P = 20,

I1 (90,) Nr. 3. L = 64,22, B = 5599, D = 649,9, P = 20, D = 139,3, 2' = 3 384 000.

Wiederholt bei anderer Einstellung u = 139,2, T' = 3 386 000.

Gesammtmittel T,, = 3 388 000, T = 29,516 . Wahrscheinlicher Fehler f 2500 f0,022.

11' (goo) Nr. 1. L = 52,42, B = 5603, D = 845,1, P = 20,

I1 (90,) Nr. 2. L = 52,17, B = 5605, D = 661,1, P = 20,

11' (goo] Nr. 3. L = 65,74, B = 5609, D = Y48,4, P = 20,

11' (goo) Nr. 4 L = 65,01, B = 5599, D = 857,1, P = 20,

u = 147,5,

u = 139,9,

T = 2 628 000.

T = 2 623 000.

u = 183,6, T = 2 622 000.

u = 176,8, T = 2 624 000. Gesammtmittel Tso' = 2 624 000, T,, = 39,62 . lo-*. Wahrscheinlicher Fehler f 900, f 0,014.

Die Berechnung der Tgo und T o o ist irn Vorstehenden so ausgefuhrt, als wiire die Orientirung der Stabchen abso- lut genau; wir wollen nun nachtriiglich an den Resultaten die kleinen Correctionen anbringen, welche infolge der Fehler der Orientirung nothig sind. Dies geht an, weil dieselben auf den Werth der bei der Berechnung benutzten Functionen f keinen merklichen Einfluss uben.

428 w. vozgt. Die Abweichung der Langsrichtung der benutzten Stab-

chen .von der Normalen zur krgstallographischen Symmetrie- ebene, d. h. der X-Axe, ubt keinen merklichen EinBuss, da diese eine Maximalrichtung fur den Drillungscoefficienten darstellt. Dagegen ist die Abweichung der Breiten- und Dickenrichtung yon der Y- und Z Axe von Wichtigkeit.

Um diese Abweichungen zu bestimmen, wurden von zwei Stabchen Stucken abgeschnitten und an diesen je eine Spal- tungsflilche angebrochen; deren Winkel gegen die Breitseiten liessen sich mit dem Refiexionsgoniometer leicht bestimmen.

Aus den fur die Gattung I1 (goo) und 11' (goo) erhalte- nen Werthen 44O 45 und 45O 32,5' fand sich unter Benutzung des Werthes 45O 23,5' fur den Winkel der Hauptaxe mit der Spaltungsflache fur die Gattung:

I1 (90') < (B , Y) = < (0, 2) = - 8,5' 11' (900) < ( D , Y ) = < (13, 2) = - 9,O';

beide Winkel ergaben sich also merklich gleich, entsprechend dem Umstande, dass die Stlibchert aus derselben Platte, welche der XZ-Ebene nahe parallel gewesen war, herge- stellt sind.

Nehmen wir abgerundet 9 ' als die Grosse der Abwei- chung an und beriicksichtigen, dass nach Formel (9):

Too um 4s,, sin (9) cos (9') zu vergrossern. T,, urn ebensoviel zu verkleinern

ist, urn die Werthe 2 (sI1 - sIz) , resp. sg, zu liefern, so findet man :

2 (sI1 - sI2) = (29,61 & 0,022) lo-', s~~ = (39,52,& 0,014)

als definitive Werthe. Wie ich schon in der Einleitung angegeben, will ich

nun auch die Resultate der Drillung der Stabchen I ( O O )

mittheilen und sie unter der Annahme berechnen, dass fur sie f denselben Werth -0,630 hat, der nach der Theorie fur unkrystallinische Medien gilt, was die plausible Hypo- these enthalt , dass hinsichtlich der resultirenden Drehung fir ein Stlbchen parallel der Hauptaxe die Lage der Quer- dimensionen ohne Einfluss ist. I (0") Nr. 1. L = 35.04. B = 5598, D = Yt1,2, = 23. P = 20.

fi = 113,O. ( 2' = f 500 000).

Elasticitatsconutanten fiir Kalhspath. 429

Diese Beobachtung schliesse ich wegen der haheren Temperatur, auf welche sie sich bezieht, von der Berech- nung aus: I (03 Nr. 2. L = 39,16, B = 5599,

I (Oo) Nr. 3 zerbrach beim Torquiren. I (OO) Nr. 4. L = 39,15, B = 5611,

I (0") Nr. 5. L = 38,31, B = 5612,

u = 123,2,

u = 124,2,

u = 119,7.

D = 817,5, P = 20, T = 2 632 000.

B = 815,7,

D = 818,7,

P = 20,

P = 20,

T = 2 622 000.

T = 2 632 000. Gesammtmittel To = 2 628 000, To = 39,66, 10WE Wahrseheinlicher Fehler f 2200, f 0,34.

Auch dies Resultat ist wegen des Pehlers in der Orien- tirung zu corrigiren, denn fur den Drillungscoefficienten eines rechteckigen Prismas ist die Z-Hauptaxe keine Maximal- oder Minimalrichtung.

Die Beobachtung am Reflexionsgoniometer ergab, dass die Lsngsaxe um 4' nach der Seite der + Y- zu von der + 2-Axe abwich. Nach Formel (6) ist daher 4sI4 sin(4) cos(4') von To in Abzug zu bringen, um s44 zu erhalten. Man findet so:

Die Uebereinstimmung dieses Resultates mit dem durch die Beobachtung von Oattung 11' (goo) erhaltenen ist ganz iiberraschend ; die benutzte Hypothese ist also vollstandig bestatigt und der wahrscheinliche Werth des Fehlers von s41 wird durch Combination beider Resultate noch erheblich herabgedruckt.

sd4 = (39,515 f 0,034)

Wir schreiben das Endresultat: 2 (sll - sla) = (29,61 2 0,022). lo-',

(24) sg4 = (39,52 & 0,002) , lo-'. Der allgemeine Werth des Drillungscoefficienten fur ein

rechteckiges Prisma, dessen Lllngsaxe in die X-Axe fAllt und dessen Queraxen beliebig liegen, wird hiernach :

Er besitzt ein Maximum T,,, = 53,2. lo-'. wenn die kleinere Querdimension D zwischen der + Y- und ---Axe liegt und mit der Y-Axe den Winkel 37O17,5 einschliesst, ein Mini- mum Tdn = 15,93.10-8, wenn dieselbe zwisehen der + Y- und +%Axe liegt und unter 37O 17,5' gegen letztere geneigt

(25) T = (39,52 - 9,91 .y2' - 35,93. ya rB,) lo-'.

430 w. Vo(9t.

ist. Der Einfluss der Lage der Querdimensionen ist also ganz enorm; Fig. 2 (p. 426) stellt T als Function der Rich- tung von D dar.

Der Drillungscoefficient T o eines Kreiscylinders besitzt nach (14) den Werth: (26) T o = (69,13 - 1,21 y 2 + 11,127'- 7 1 , 8 6 ~ ~ ( 3 0 l ' - ~ P ~ ) ) l O - ~ .

I n dem ersten Hauptschnitt, fir welchen a! = 0 ist, fin- den Maxima und Minima statt in den vier Richtungen, die folgenden Winkeln gegen die Z-Hauptaxe entsprechen :

sie haben die Werthe: = - 60°53', ~ I I = 0 , YITI = + 1 loo', rfilv = + 58'35';

TIo= 46,15. TI,''= 79,04. 10-8, 'rIII' '= 78,7i. 10-8, TlvO = 92,90. lo-'.

Ffir den zweiten Hauptschnitt ist p = O und man erhalt nur ein Maximum und ein Minimum entsprechend:

mit den Werthen: = 0 , f p [ I = 90

Too = 79,04, lo-', T,,O = 69,13. Fig. 3 (p. 426) stellt den Verlauf von T o far beide

Hauptschnitte anschaulich dar.

R e s u l t a te. Wir bilden nunmehr die Werthe aller der einzelnen shk,

welche aus (22) und (24) folgen. Es findet sich: sll = (11,14 f 0,008) lo-', sle = - (3,67 & 0,013)10-*, sg3 = (17,13 I: 0,007) lo-', sI3 = - (4,24 & 0,015)10-*, s~~ = (39,52 2 0,002)

Dilatation bei allseitigem Druck: (28) A, = A, = 3,23. lo-', Kalkspath verkurzt sich also parallel der Hauptaxe bei all- seitig gleichem Druck sehr vie1 starker als normal dazu. Der cubische Compressionscoefficient findet sich : (28') M = 15 , l l . Diese Werthe sind erheblich kleiner als fur Bergkrystall.

Druck ist:

slC = + (8,98 & 0;017) (27) {

Hieraus folgen zunlchst die Coefficienten der linelren

A3 = 8,65. lod3;

Der Coefficient der Winkelanderung bei allseitigern

Elasticitatsconstunten fur Knlksputh. 431

(28 ) B = 5,42. nahe doppelt so gross und dabei von entgegengesetztem Vor- zeichen als fiir Bergkrystall.

Die Elasticitlltsconstanten Chk erhalten folgende Werthe : cl l = 13,97. lo6, c,$ = + 4,66. lo6,

(29)

sie beziehen sich, wie auch die Shk . auf das ganz bestimmt fixirte Coordinatensystem und eine Temperatur von circa 200 c.

Aus den chk folgen in Verbindung mit den von F i z e a u gefundenen Werthen der thermischen linearen Ausdehnungs- co8fficienten:

{ c33 = 8,12. lo6, c13 = + 4,60. lo6: c4* = 3,49.106, cl* = - 2,12. 106;

= U, = - 5,40. lo-', a3 = + 26,21.10-6

die Griissen der thermischen Drucke nach (18) zu:

(30) c/j = + 163,l. q, = 92 = + 20,1,

Die Unterschiede der isothermischen und adiabatischen Elasticitatsconstanten bestimmen sich bei Einfbhrung des Werthes der absoluten Temperatur Q = 293, des mechani- schen Warmeaquivalentes 426 000, der Dichte des Kalk- spathes 2,715. seiner gewiihnlichen specifischen Wiirme 0,207 nach (20) folgendermassen:

yll - Cl1 = yl2 - Cla = + 0,0,5.106, (31) y13 - cI9 = + 0,0040 I lo6, y33 - ~ 3 ~ - + 0.0326.10'. i Y44 - c44= Y14- c14= 0 ; die analogen Werthe fiir die Shk werden:

sll - gI1 = s12 - ~ , a = + 0,0036. lo-', (32) - Cl3 = - 0,0173 lo-', S33 - GQ3 = + 0,084.

s4* - fJ44 = s,* - B14 = 0. Endlich findet sich die Differenz der specifischen Wiir-

men bei constanter ISpannung und bei constanter Deforma- tion nach (21):

und hieraus ihr Verhaltniss: cp- cd = 0,00103.

x = cP I c , ~ = 1,005.