bande di energia in un conduttore

La banda di energia più alta è parzialmente vuota livello di Fermi

g(E) va a zero sia al bordo inferiore che a quello superiore della banda

Overlap di bande di energia in un conduttore

bande di energia nel sodio

la banda 3s è parzialmente vuota; l’overlap con la banda 3p estende la banda permessa in cui già cade EF

bande di energia nel magnesio

EF

la banda 3s è totalmente occupata, ma l’overlap con la banda 3p fa sì che EF cada in una zona di energie permesse

bande di energia in un isolante

EF

bande di energia in un semiconduttore

energy gap

Energy gap

diamante 5,3 eV isolante

silicio 1,1 eV semiconduttore

germanio 0,7 eV semiconduttore

EF

conduzione elettrica nei metalli

Modello classico: Drude e Lorentz, 1905il problema: la legge di Ohm

V=RI suggerisce una proporzionalità tra forza (campo elettrico) e velocità (intensità di corrente)

il modello:• gli elettroni in un conduttore si comportano come un “gas” di particelle

quasi libere che si muovono con velocità disordinata di agitazione termica in tutte le direzioni, secondo la distribuzione di Boltzmann (velocità termica vt )

• in presenza di un campo elettrico gli elettroni vengono accelerati in direzione opposta al campo, acquistando una velocità media ordinata in questa direzione (velocità di deriva vd )

• negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo perdono l’energia in più acquistata nell’accelerazione e ripartono con l’energia termica media (il che spiega l’effetto Joule)

• la velocità media di deriva è quindi la velocità media acquistata sotto l’azione del campo elettrico nel tempo medio fra un urto e il successivo (tempo di rilassamento)

moto “viscoso”

lSI

V

conduzione elettrica nei metalli

legge di Ohm V=RI

lSI

VE

mneanevneJ

JSS

llEJS

S

llE

d

2

;

resistività

2

2;

1

ne

m

m

ne

quanto vale ?m

Tk

m

Ev

v

l Btt

t

urti 32;

urti

B

lne

Tmk2

3

inoltre: EEm

evd

m

e

mobilità ne

cammino libero medio fra urti successivi

Nell’urto si ristabilisce l’equilibrio energetico, quindi in media l’elettrone cede all’atomo l’energia acquistata a spese del campo elettrico (effetto Joule)

Il modello di Drude

spiega perché si genera il moto viscoso e quindi la velocità limite di deriva• spiega perché la resistività aumenta con la temperatura• fornisce valori ragionevoli della resistività a temperatura ambiente

però:• non spiega l’effetto forte della presenza di impurezze (regola di Mathiessen)• non riproduce la corretta dipendenza dalla temperatura (ad alta temperatura è lineare in T e non in T, a bassa temperatura è lineare in T5) • non è compatibile con il comportamento quantistico dell’elettrone nel solido

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30temperatura

100*

R/R

(290

)

R/R290

secondo il modello di

Drude

dati di misura

un calcolo di resistività secondo il modello di Drude

lurti 1 nm ; n 1029 m-3

m104mVA104

105

102,0

10310106,110

03,0105,03

3

818

119

3

18919329

6

2

2

seCm

eV

msmCem

eVeV

clne

Tkmc

urti

B

il modello quantistico di Sommerfeld

L’elettrone è descritto da un “pacchetto di onde di Bloch” che si muove sotto l’azione del campo elettrico esterno secondo l’equazione classica del moto:

che, risolta rispetto a vd, fornisce la soluzione: EEm

evd

Eedt

vdm d

ottenuta con il modello di Drude.

È lecito il calcolo classico purché: - si usi per m la “massa efficace”,

- si verifichi che la larghezza del “pacchetto” in posizione e quantità di moto sia sufficientemente piccola, in modo che il moto possa essere trattato classicamente nel tratto fra due collisioni successive, sufficientemente grande, in modo che le interazioni fra elettrone e reticolo siano ben descritte dalla massa efficace

2

2

211

dk

Ed

m

il modello quantistico di Sommerfeld

k k

in assenza di campo elettrico esterno in presenza di campo elettrico esterno

Eevm

k d

*

nello spazio k, la velocità di drift vd legata alla corrente elettrica genera uno spostamento k dell’intera distribuzione degli elettroni nel senso contrario alla direzione del campo elettrico:

il modello quantistico di Sommerfeld

meccanismi di urto:

- riguardano solo gli elettroni vicino al livello di Fermi, perché sono gli unici ad avere disponibili livelli energetici non occupati

- preferenzialmente lo scattering è all’indietro dove ci sono più stati liberi a energia minore

- l’urto non è contro gli ioni del reticolo, perché la funzione d’onda di Bloch tiene già conto del potenziale periodico

- gli urti possibili sono con ciò che non è periodico:

- urti con le impurità

- urti con i fononi (vibrazioni reticolari)

collisioni nel modello quantistico

probabilità di collisione nell’unità di tempo:

fon

F

imp

F

fonimpfonimpcoll l

v

l

vPPP

11

cammino libero medio per urti con le impurità

cammino libero medio per urti con i fononi

velocità dell’elettrone di energia prossima a quella del livello di Fermi

(rispetto al calcolo di Drude, vF> vt però anche limp e lfon sono maggiori di lurti!)

fonimp

Ffonimp llne

vm 112

*

collisioni con le impurezzeLa probabilità di collisione con le impurezze, 1/limp -è direttamente proporzionale alla densità di impurità, nimp , (la costante di proporzionalità Simp è chiamata “sezione d’urto”):

Simp

limp

nimp

- è praticamente indipendente dalla temperatura

- quindi anche il contributo delle collisioni con le impurezze è indipendente dalla temperatura (nei metalli, vF , m*

, e la densità elettronica n sono praticamente costanti)

1/limp = Simp nimp

m1010103106,110

106105,01 11141819329

36

2

*

m

msCem

eV

lcne

cvm

imp

Fimp

ceV

eVc

mc

EcvmmmSn

lF

Fimpimpimp

362

142203295 106105,0

202;10101010

1

Es.: supponiamo una frazione di impurità dell’ordine di qualche parte su un milione e una sezione d’urto “geometrica” ( 10-20 m2)

il contributo alla resistività delle impurità è dell’ordine del permille RRR = T=300K / T

impimpF

imp

Fimp Sn

ne

vm

lne

vm2

*

2

*

collisioni coi fononiprobabilità di collisione con i fononi:

-1/lfon è direttamente proporzionale alla densità di fononi, nfon,con costante di

proporzionalità Sfon pari alla “sezione d’urto elettrone-fonone”: 1/lfon = Sfon nfon

'elk

elk

fonk

urto elettrone-fonone

conservazione dell’energia

fonelel EE '

fonelel kkk

'

conservazione della quantità di moto

- nfon dipende dalla temperatura: la distribuzione in

energia dei fononi a una data T si ottiene da quella

dei fotoni (spettro di corpo nero) sostituendo “vfon” a

“c” e tenendo conto che l’ max è limitato a Debye:

Debye

B

Debye

B

Debye

B TkTkfon

Tkfone

dC

e

d

ve

dgn

0/

2

0/

2

30

/ 1

)(

1

)(

)(

12

1

)(

Tke BTkB /1/

TTk

CdTkCn DebyeBBfon

Debye

2

2

0

ad alta temperatura:

quindi la densità numerica di fononi è proporzionale a T

collisioni con i fononi

Si può determinare la costante di proporzionalità tenendo conto che, a differenza di ciò che avviene per i fotoni, il numero di oscillazioni possibili è fisso, pari a 3nat, cioè a 3 oscillazioni per atomo (due trasversali e 1 longitudinale)

a bassa temperatura (T < D ), nfon T 3

quindi nfon, ad alta temperatura, è

- direttamente proporzionale a T

- direttamente proporzionale alla densità atomica nat

- inversamente proporzionale alla temperatura di Debye D , che è caratteristica del cristallo (legata alla massima frequenza delle oscillazioni fononiche)

B

DebyeD

Datfon k

Tnn

;2

9

320

2

0

23

0

9;3)()(

)(

12)(

Debye

atat

fon

nCndCd

vdg

DebyeDebyeDebye

da cui si ottiene, ad alta temperatura:

dipendenza della resistività

dalla temperatura

A bassa temperatura (T < D ), nfon T 3, inoltre Sfon diminuisce come T2, quindi

fon diminuisce come T5

Introducendo 1/lfon nell’espressione della resistività, si ottiene (nei metalli, vF , m*

, e la densità elettronica n sono praticamente costanti)

)()()(2

*

2

*

TSTnne

vm

lne

vmT fonfon

F

fon

Ffon

Ad alta temperatura, Sfon è costante, perché i fononi hanno praticamente la frequenza max, Debye, nfon è proporzionale a T, quindi

d /dT = dfon /dT Sfon

la variazione di con la temperatura misura l’accoppiamento elettrone-fonone

accoppiamento debole buon conduttore

un accoppiamento sufficientemente forte può indurre comportamenti superconduttivi

le due componenti della resistività

“temperatura di Debye”B

DebyeD k

superconduttori

Esperimento storico di Kamerlingh Omnes (1911): transizione superconduttiva di Hg a 4,2 K

Figura 21. Grafico della resistenza in funzione della temperatura

Bor86_ann700

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 50 100 150 200 250 300

T (K)

R (

)I = -500 A

Tc,onset = 34,5 K

Tc,zero = 31,1 K

RRR = 1,25

transizione superconduttiva di Mg B2 (HTCS: High Critical Temperature Superconductor )

temperatura critica

semiconduttoriCaratteristiche a 0K:- banda di valenza completamente occupata - banda di conduzione completamente vuota- piccolo gap di energie proibite Eg= 1,1 eV (Si); 0,7 eV (Ge); 1,4 eV (GaAs)

a T>0K:- un elettrone può essere eccitato dalla banda di valenza a quella di conduzione- ogni elettrone che passa in banda di conduzione lascia un posto vuoto (buca) in banda di valenza- anche la buca in banda di valenza è “mobile”, perché può essere occupata da un elettrone che lascia a sua volta una buca e così via - sotto l’azione di un campo elettrico esterno il moto di deriva avviene sia in banda di conduzione che in banda di valenza- l’elettrone in banda di valenza è in una zona “di massa efficace negativa” e il suo moto può essere equiparato a quello di una particella con massa positiva e carica elettrica positiva

Egap

Ec

Ev

buca

conducibilità elettrica nei semiconduttori

due contributi alla conducibilità:

pn pene

contributo degli elettroni in banda di conduzione

contributo delle buche in banda di valenza

masse efficaci molto piccole

heavy hole

light hole

conducibilità elettrica nei semiconduttori

semiconduttore intrinseco: n=p

Calcolo di n e di p:

TkEEBe BFcTkm

n /)(2/3

2e

22

TkEEBh BvF

Tkmp /)(

2/3

2e

22

TkEBhe BgapTkmmnp

/3

2e

24

legge dell’azione di massa

0

/2/33

3//

3

3

/)(3

3

ee)(28

)(ee28

1e

)(28),()(

dxxTkh

mdEEE

h

m

dEEE

h

mdETEfEgn

xTkEB

e

E

cTkETkEe

E ETkEE

ceF

BF

c

BBF

c c

BF

Livello di Fermi

Calcolo del livello di Fermi per il

semiconduttore intrinseco - ni = pi

- si assume me mh=m*

TkEB BgapTkmn

2/2/3

2

*e

22

TkEEBe BFcTkm

n /)(2/3

2e

22

Stima di ni a 300K:

EFEgap

- da confrontarsi con 1029m-3 per i conduttori- inoltre dipendenza esponenziale dalla temperatura

316182/3216

1032/1.12/3

27

2262/

2/3

2

2*

1010

)102(6

)(103105,02,02e

)(22

2

mem

eeVm

eV

c

Tkcmn

TkEBi

Bgap

dal rapporto: Ec-EF = Egap/2 EF = Ec - Egap/2

“drogaggio”

drogaggio tipo “n” con un atomo pentavalente (fosforo)

EF

livello del donatore

donatore

livello dell’accettore

EF

drogaggio tipo “p” con un atomo trivalente (Al)

accettore

conducibilità elettrica in semiconduttori drogati

“n”

EF

livello del donatore

livello dell’accettore

EF

“p”

edn en

con un drogaggio di tipo “n”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità nd dei donatori (portatori di maggioranza)

con un drogaggio di tipo “p”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità na degli accettori (portatori di minoranza)

hap en

resistenza elettrica in semiconduttori debolmente drogati

zona “estrinseca”: tutti i portatori di maggioranza sono in banda di conduzione, la resistenza elettrica cresce linearmente con T perché cala la mobilità

zona “intrinseca”: i portatori “intriseci” cominciano a passare con crescente probabilità in banda di conduzione, la resistenza elettrica diminuisce esponenzialmente con T perché cresce la densità n di portatori

la giunzione diodo

V=0

- i livelli di Fermi si allineano

- la densità di elettroni con E>Ecp è la

stessa nei due lati della giunzione essendo

proporzionale a exp-(Ecp-EF)/kBT

- il flusso di cariche (pn) dal lato “p”

verso il lato “n” è uguale al flusso (np)

in senso opposto

- la densità di corrente è nulla

zona di “svuotamento”

(pn)

(np)

Ecn

Ecp

Evp

Evn

il diodoV>0 (bias positivo)

- si riduce la differenza (Ecp - Ecn) fra i due

livelli base della banda di conduzione; i livelli di Fermi non sono più allineati, il livello EFn dal lato n è più alto

- la densità di elettroni con E>Ecp è

maggiore nel lato n della giunzione che nel lato p: infatti nel lato n è proporzionale a exp-(Ecp-EFn)/kBT, mentre

nel lato p è rimasta allo stesso valore che aveva in assenza di bias, proporzionale a exp-(Ecp-EFp)/kBT

- il flusso di cariche (np) dal lato “n” verso il lato “p” è maggiore del flusso (pn) in senso opposto

- c’è una densità netta di corrente da p a nzona di “svuotamento”

(pn)

(np)

Ecn

Ecp

Evp

Evn

EFn EFp

il diodo V<0 (bias negativo)

- cresce la differenza (Ecp - Ecn) fra i due

livelli base della banda di conduzione; i livelli di Fermi non sono più allineati, il

livello EFn dal lato n è più basso

- la densità di elettroni con E>Ecp è

minore nel lato n della giunzione che nel lato p: infatti nel lato n è proporzionale a

exp-(Ecp-EFn)/kBT, mentre nel

lato p è rimasta allo stesso valore che aveva in assenza di bias, cioè

proporzionale a exp-(Ecp-EFp)/kBT

- il flusso di cariche (np) dal lato “n” verso il lato “p” è minore del flusso (pn) in senso opposto

- c’è una debole densità di corrente da n verso p

zona di “svuotamento”

(pn)

(np)

Ecn

Ecp

Evp

Evn

EFn

EFp

La caratteristica del diodoCalcolo del flusso di elettroni:

TkEEo

BFpcpAenp/)(

)(

TkeVo

TkeVEETkEE BBFpcpBFncp eAeAepn //)(/)()(

)1()( / TkeVoo

BeCCJ

Calcolo della densità di corrente:

Caratteristica del diodo:

)1( / TkeVo

BeJJ