Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Energia2) Lavoro3) Energia Cinetica4) Energia Potenziale5) Principio di Conservazione dell’Energia6) Applicazioni: urti

Parte IV: Dinamica del Punto 2a parte

L’Energia è una grandezza fondamentale in tutti i campi della Fisica (e non solo!)

Un corpo deve possedere energia per poter esercitare delle forze su di un altro

L’Energia può essere in generale pensata come le risorse a disposizione di un sistemafisico

L’Energia può essere trasferita da un sistema fisico ad un altro, da un sottosistema adun altro, da un corpo ad un altro

Normalmente i trasferimenti di energia avvengono tramite l’azione di forze

AA BBBB

AA

BB

AA

BBAA AA

BB

AA

BB

AA BBAA

BB

AA

BB

AA BBBB

AA

BB

AA

BBAA BBAA BB

EnergiaEnergia

Vogliamo studiare gli effetti dell’applicazione delle forze

Si definisce lavoro di una forza il seguente integrale curvilineo: B

AAB rdFW

rd

F

rd

F

A B

L’integrale curvilineo va esteso solo alla traiettoria e, in generale, non è possibile calcolarloanaliticamente

Si noti che la forza può variare punto per punto e che non necessariamente è l’unicaforza agente sul corpo, perché potrebbero esserci forze vincolari, di attrito e/o altre forzeesterne

LavoroLavoro

Le unità fisiche del lavoro si chiamano Joule (MKS) o erg (CGS)

22 tmllFW ergcmgmKg

mNewtonJoule 72

243

2

2

10sec1

1010

sec1

11111

Solo in casi particolari il lavoro è facilmente calcolabile, di solito casi monodimensionaliin cui forza e spostamento hanno la stessa direzione

In un caso monodimensionale supponiamo che un corpo si sposti dalla posizione x=0alla posizione x=X0, sotto l’azione di una forza F(x)=-kx

x=0

F=-kx=0

x=X0

F(x)=-kx=-kX0

x=0

Si ha: 2

00

0

2

1kXdxkxW

X

Siccome il risultato è minore di zero si parla diLAVORO RESISTENTE

Se la forza fosse stata concorde con lo spostamento avremmo avuto un LAVORO MOTORE

Si può compiere lavoro solo possedendo energia, anzi il lavoro è l’energia che si trasferisceda un sistema fisico (sottosistema, corpo, particella, etc.) ad un altro per mezzo delle forze

Questo fatto è messo in evidenza dal seguente teorema:Il lavoro compiuto dalla risultante di tutte le forze agenti su di un corpo è SEMPRE parialla variazione di Energia Cinetica del corpo

ABAB

v

v

v

v

v

v

B

A

B

A

B

ARis

KKmvmvvdm

vvdmvdvm

rddt

vdmrdamrdFW

B

A

B

A

B

A

222

2

1

2

1

2

1

2

1

Nell’ultimo passaggio si è introdotta la definizione di Energia Cinetica

2

2

1mvK

Il Teorema del Lavoro e dell’ Energia CineticaIl Teorema del Lavoro e dell’ Energia Cinetica

L’Energia Cinetica è evidentemente una proprietà del corpo: essa esiste per il solo fattoche il corpo è dotato di una massa m e si muove con velocità v

L’Energia Cinetica è definita positiva, e può essere nulla solo se è nulla la velocità

Lo “zero” dell’Energia è quindi arbitrario almeno quanto la scelta di un sistema di riferimento inerziale (l’energia cinetica è nulla se il corpo è in quiete)

Le dimensioni e le unità di misura (Joule o erg) dell’energia sono le stesse del lavoro,ma lavoro ed energia sono concetti completamente diversi

Il lavoro è la quantità di energia che a causa dell’azione di forze passa da un sistemafisico ad un altro, mentre l’energia può essere posseduta da un corpo indipendentementedall’essere sottoposto a forze

Non si può compiere lavoro se non si possiede energia

L’energia cinetica è solo una possibile forma di energia. In generale quest’ultima può essereanche negativa

Commenti su Lavoro ed EnergiaCommenti su Lavoro ed Energia

Un corpo può possedere energia per il solo fatto di stare in una certa posizione

Supponiamo che un corpo cada da una quota h1 ad una quota h2 per effetto della forza peso

h1

h2

Il lavoro della forza peso è facile da calcolare, poiché forza e spostamento giaccionosulla stessa direzione

012

2

1

hhmghdFWh

hp

Energia PotenzialeEnergia Potenziale

Posso ora definire la funzione del punto dello spazio (quota): mghhU

Le proprietà di questa funzione (tecnicamente si chiama campo scalare) sono le seguenti

mgdh

dUF

dUmgdhW

UWhU

UhUhUhUhUW

p

h

ABBAAB

4

3

002

1

0

Quindi, dato che in tutti i punti esiste la forza peso, e per tutti i punti dello spazio èdefinibile la quota h, la funzione U riassume la seguente proprietà fisica:una massa m libera di cadere ad altezza h possiede energia per il solo fatto di trovarsialla quota h. Tale energia va sotto il nome di Energia Potenziale (della forza peso).

Il concetto di energia potenziale è, evidentemente, completamente differente da quello dienergia cinetica (e.g un corpo fermo può possedere energia potenziale ma non cinetica)

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza peso quando un corpo scivola lungo un pianoinclinato senza attrito ma passa sempre dalla quota h1 ad h2.

y

x

h1

h2

dl

Fp=-mg

I vettori Fp e dl possono essere decomposti lungo gli assi cartesiani

dyydxxld

FymgyFxFF pxpypxp

0

Ora il prodotto scalare ed il lavoro possono essere calcolati

UhUhUmgdyW

mgdydyFdxFldFh

h

pypxp

21

2

1

È interessante notare che la variazione di energia potenziale nel caso del piano inclinatoè la stessa di quella della traiettoria verticale. Siccome l’energia potenziale dipende SOLOdalla quota il risultato non può cambiare se cambia la traiettoria.

Abbiamo dunque scoperto che il lavoro della forza peso non dipende dalla traiettoriama solo dalle quote iniziali e finali

Ciò è principalmente dovuto al fatto che la forza peso è costante, e ciò fa sì che valesserole quattro proprietà della Energia Potenziale. In particolare la terza dice che il lavoroinfinitesimo della forza peso è pari (a parte il segno) al differenziale esatto dell’energiapotenziale.

dUW

Le quattro proprietà possono valere anche per forze non uniformi, ma variabili neidiversi punti dello spazio (campi di forze). Se tali forze esistono si dicono conservative.

Per le forze conservative è sempre possibile definire una energia potenziale tale che

Ugradz

Uz

y

Uy

x

UxzyxF

ˆˆˆ,,

Il principio di conservazione dell’EnergiaIl principio di conservazione dell’Energia

Per un corpo che cade l’energia potenziale della forza peso diminuisce proporzionalmenteall’altezza. Tuttavia siccome aumenta la sua velocità aumenta l’energia cinetica.

L’azione della forza peso quindi trasforma continuamente l’energia potenziale in energiacinetica. Se il grave fosse scagliato verso l’alto l’azione della forza peso sarebbe quella difrenare il corpo fino a fermarlo, e ciò trasforma la sua energia cinetica in potenziale(aumenta la quota)

Se il sistema fosse isolato, ovvero la forza peso fosse pari alla risultante di tutte le forzeesterne (no attrito, no reazioni vincolari, etc.), e per tutte quelle forze che godono dellaproprietà 3 potremmo applicare il teorema del lavoro e della energia cinetica

fUKiUKfUiUKK

fUiUdUWldFW;KKldFW

fiif

f

i

f

i

f

ipifif

f

ipif

Interessantemente l’ultimo passaggio ci dice che la somma della energia cinetica e dellaenergia potenziale, che è detta Energia Meccanica Totale, E=K+U, è la stessa in tutti ipunti della traiettoria e a tutti i tempi, cioè si conserva

In un sistema isolato, quindi, nel quale agiscono solo forze conservative (interne) l’energia meccanica non si crea e non si distrugge

Per effetto delle forze (conservative) l’energia si trasforma continuamente da cineticaa potenziale o viceversa, ma l’energia totale del sistema non cambia

Sembrerebbe, poiché abbiamo trovato questo risultato per le forze conservative, cheil principio di conservazione dell’energia valga solo per queste forze. Vedremo che conun opportuno ampliamento del concetto di energia che travalichi gli angusti limitidella Meccanica, che questo principio è molto più generale (I Principio dellaTermodinamica).

In realtà si può dimostrare (Teorema di Noether) che esso è una diretta conseguenzadel Postulato di Omogeneità del Tempo (e.g. se non si cambiano le condizioni esterneun fenomeno fisico avviene sempre e sempre alla stessa maniera). Analogamente ilPrincipio di Conservazione della Quantità di Moto è una diretta conseguenza del Postulatodi Omogeneità dello Spazio (e.g. se non si cambiano le condizioni esterne un fenomenofisico avviene dovunque e dovunque alla stessa maniera).

All’atto della collisione di due corpi si stabiliscono delle forze di contatto che agisconosolo per il breve intervallo di tempo in cui i corpi si “toccano”

F

t

Tali forze sono dette impulsive e si definisce impulso la quantità 2

1

t

t

dtFJ

Per la seconda legge ptptpdtdt

pdJ

t

t

12

2

1

cioè l’impulso è pari alla variazione delle quantità di moto

UrtiUrti

Dunque a causa dell’urto, se non vi sono altre forze esterne, l’impulso ceduto dal primocorpo è pari alla variazione della quantità di moto del secondo

Se i due corpi possono essere considerati un sistema isolato la quantità di moto totale sideve conservare. Pertanto, nell’urto i due corpi si scambiano quantità di moto

Ma anche l’energia meccanica si potrà conservare. Ciò non accadrà se per effetto diforze non conservative parte dell’energia viene trasferita a gradi di libertà microscopici.

Ciò di solito avviene perché le superfici di contatto si deformano nell’urto, e magarigli atomi di cui esse sono costituite cominciano a vibrare come tante piccole molle(questo è il meccanismo che fa propagare il suono nei solidi)

Nei casi in cui si potranno trascurare gli effetti di queste piccole dissipazioni (si pensia palle di biliardo) si parlerà di urti elastici. Se le variazioni di energia totale sonoinvece significative si parlerà di urti anelastici

Molte cose possono accadere dopo un urto:

m1

v1 m2v2

m1

v1 m2v2

1) La velocità di uno dei corpi si inverte 2) Ci può essere un trasferimento di massa

m3

v3 m4

v4

3) I corpi si spezzano i vari pezzi

m3

v3

m4

v4m2

v2 m1+m2

v

4) Le due masse coalescono

5) etc.

Una massa m urta contro una parete e rimbalza. Trascurando tutti i possibili attritie dissipazioni, calcolare la velocità della massa dopo l’urto (la parete resta immobile) .

Bisogna realizzare che nel caso unidimensionale la parete esercita una forza dicontratto immensa sulla massa. La conservazione dell’energia sostiene che

22

2

1

2

1fi mvmv

La soluzione è banale in tal caso: la particella rimbalza e va via dalla parete convelocità uguale ed opposta a quella iniziale. L’impulso sarà dunque

ifi mvmvmvtFJ 2

Siccome il tempo dell’interazione è estremamente breve, F deve essere molto grandeaffinché il suo prodotto con t sia finito

Il caso più interessante è quello in cui il corpo incide sulla parete con un angolo acuto

Urto con una pareteUrto con una parete

Visto dall’alto:

pi

pf

La forza di contatto alla parete sarà sempre perpendicolare alla parete stessa. Pertantola seconda legge darà:

0dt

dp

Fdt

dp

y

cx

La prima equazione è l’analogo del caso unidimensionale: la forza di contatto fa cambiareil verso alla componente perpendicolare (alla parete) della quantità di moto

y

x

cospcosp if

sinpsinp if

La seconda dice invece che la componente tangenziale della quantità di moto si deveconservare

Dalla conservazione dell’energia

ififif ppvvmvmv 2222

2

1

2

1

Sostituendo si trova

2

,sinsin

Il risultato trovato è noto ai giocatori di biliardo:l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione

y

x

pi

Una massa m trasla con velocità v su un piano senza attrito che presenta uno piccoloscalino arrotondato di altezza h. La massa incide sullo scalino lungo una retta che faun angolo con la perpendicolare al gradino e lo scavalca. Sul piano superiore latraiettoria è una linea retta che forma un angolo con la perpendicolare al piano.Calcolare e dire se è maggiore o minore di .

Anche in questo caso la forza di contatto sarà perpendicolare al gradino e saràl’unica forza esterna.

pf

In presenza della forza peso, però, l’energia potenziale della massa dopo aver salitoil gradino sarà aumentata di mgh

Urto con uno scalinoUrto con uno scalino

Il principio di conservazione dell’energia dà:

iiffi vghvvmghmvmv 22

1

2

1 222

Siccome la componente tangenziale della quantità di moto si deve conservare, comenel problema precedente:

221

12

2

2

i

i

i

i

fif

v

gh

sinarcsin

v

ghv

v

v

sin

sinsinpsinp

Queste ultime formule rispondono ai quesiti del problema. Si noti però che:

1) Se la massa si fosse mossa dal piano superiore verso l’inferiore si sarebbe ottenutoesattamente il contrario;

2) L’attrito può alterare sensibilmente questo scenario;3) Se h è molto grande, l’argomento della radice può diventare negativo: ciò

corrisponde al caso della parete, ovvero la massa non sale sul piano superiore.

Un tir di massa M ed una automobile di massa m hanno una collisione frontale.Le velocità dei veicoli subito prima dello scontro sono Vi (in direzione x) e vi (in direzione –x).Una frazione P dell’energia cinetica Ki dei veicoli è dissipata nel danno ai veicoli stessi.Calcolare le velocità Vf e vf dei veicoli dopo l’urto.

Imponendo la conservazione della quantità di moto e dell’energia si avrà un sistemadi equazioni di secondo grado nelle incognite Vf e vf:

iiiiff

iiiff

KKPmvMVPmvMV

pmvMVmvMV

12

1

2

11

2

1

2

1 2222

Risolvendo:

022

02

1

2

1

222

22

iifif

iffifi

f

KMpmvpvMmm

;KmvM

mvpM;

M

mvpV

Collisione frontaleCollisione frontale

MmM

KmpMmMMpMpV

Mmm

KMpMmmmpmpv

iiiif

iiiif

2

222

2

222

2

2422

2

2422Si ottiene:

Si pone ora il problema di quali segni delle radici vadano scelti

Bisogna realizzare che “velocità positiva” indica che il veicolo viaggia verso destramentre “velocità negativa” indica il contrario. Se dopo l’urto Vf>0 e vf<0, significache entrambi i veicoli continuano a muoversi nella stessa direzione, ovvero chepassano l’uno attraverso l’altro. Benchè tale caso sia possibile per particelle quantistichenon è certo il caso di un tir ed una automobile, quindi vanno scelti i segni che rendonoVf<0 e vf>0, ovvero “+” nella prima e “-” nella seconda.

Si noti che il segno “-” nella prima lascia vf>0, tuttavia non sarebbe verificata ladisequazione

0

M

mvpV fi

f