bahan ajar diklat guru matematika · pdf filebahan ajar ini disusun dengan tujuan untuk...
TRANSCRIPT
BAHAN AJAR
DIKLAT GURU MATEMATIKA
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 2005
ii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ……………………………………………………….. i
Daftar Isi ………………………………………………………... ii
Kompetensi ………………………………………………………... iii
Apersepsi ………………………………………………………... iv
Skenario Pembelajaran ………………………………………... v
Bab I Pendahuluan ………………………………………... 1
A. Latar Belakang ………………………………………… 1
B. Tujuan ………………………………………… 2
C. Ruang Lingkup ………………………………………… 2
Bab II Notasi Sigma, Barisan dan Deret ………………………… 3
A. Notasi Sigma ………………………………………… 3
B. Barisan dan Deret Bilangan ………………………… 8
C. Barisan dan Deret Aritmetika ………………………… 15
D. Barisan dan Deret Geometri ………………………… 21
Bab III Kesimpulan Penutup ………………………………… 28
Daftar Pustaka ………………………………………………………... 30
Lampiran Kunci Jawaban ………………………………………… 31
iii
Peta Kompetensi
1. Kompetensi:
Mengembangkan ketrampilan siswa dalam merumuskan model dan
menerapkan notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan suatu
masalah.
2. Indikator :
- Petatar mampu menjelaskan notasi sigma, memberikan contohnya
dan mengembangkannya dalam kehidupan nyata sehari-hari.
- Petatar mampu menjelaskan barisan dan deret, memberikan
contohnya dan mengembangkannya dalam kehidupan nyata
sehari-hari.
- Petatar mampu menjelaskan deret geometri, memberikan
contohnya dan mengembangkannya dalam kehidupan nyata
sehari-hari
3. Materi :
- Notasi Sigma
- Barisan dan Deret Aritmetika
- Barisan dan Deret Geometri
iv
Apersepsi
- Bilangan Asli
- Bilangan Genap
- Bilangan Ganjil
- Bentuk Pangkat
v
Skenario Pembelajaran
Salah satu skenario pembelajaran yang dapat dilakukan:
10 menit 15 menit 3 × 45 menit
Pendahuluan Apersepsi Penyampaian Materi
• Tujuan • Ruang Lingkup
• Bilangan Asli • Bilangan Genap • Bilangan Ganjil
• Bab II
2 × 45 menit
Diskusi
Soal latihan
10 menit
Penutup
Kesimpulan
1
BAGIAN I
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Penggunaan notasi sigma sebagai penyederhanaan bentuk penjumlahan
yang panjang sangat menghemat waktu dan tenaga. Sebagai dasar untuk
penulisan deret maka penggunaan notasi sigma beserta sifat-sifatnya
menjadi sangat penting untuk dipelajari.
Barisan dan deret yang disajikan meliputi pengertian tentang barisan dan
deret, barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri.
Perhitungan bunga bank, penyusutan nilai barang, merupakan salah satu
contoh penerapan dari barisan dan deret dalam bidang ekonomi.
Tidak ketinggalan pula dibahas tentang konsep awal notasi sigma, barisan
dan deret untuk mengingatkan kembali bahwa matematika berkembang
dari hal-hal sederhana yang kemudian berlanjut ke hal-hal yang lebih
kompleks.
B. Tujuan
Bahan ajar ini disusun dengan tujuan untuk mengingatkan kembali guru
tentang materi dasar dalam pembelajaran Notasi Sigma, Barisan dan
Deret Bilangan. Bahan ajar ini nmerupakan bahan acuan dalam diklat
berjenjang tingkat dasar untuk guru-guru SMK NON TEKNIK.
2
C. Ruang Lingkup
Ruang lingkup materi yang dibahas dalam bahan ajar ini adalah:
1. Notasi Sigma dan sifat!sifatnya.
a. Konsep Notasi Sigma
b. Sifat!sifat Notasi Sigma
2. Barisan dan Deret
a. Pengertian Barisan dan Deret
b. Barisan dan Deret Aritmetika
c. Barisan dan Deret Geometri
3
BAGIAN II
Notasi Sigma, Barisan dan Deret
A. Notasi Sigma
1. Konsep Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ………………………………….. (1)
Pada bentuk (1) 1 disebut suku pertama, 3 disebut suku ke-2, 5
disebut suku ke-3 dan seterusnya. Perhatikan juga suku-suku bentuk
(1) tersebut membentuk pola.
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 5 = 2.5 – 1
Suku ke-6 = 7 = 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam
bentuk 2k – 1 dengan k 0 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Cara untuk menuliskan secara singkat bentuk jumlahan (1) adalah
dengan tanda Σ (dibaca “sigma”) yang disebut dengan notasi sigma.
Notasi sigma berasal dari huruf Yunani untuk abjad S dari perkataan
“sum” yang berarti jumlah. Notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh
4
6 suku
Leonhard Euler pada tahun 1755 dalam buku “Institutiones Calculi
Differentialis”.
Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :
∑=
+=+++++6
1k)1k2(1197531
Bentuk ∑=
+6
1k)1k2( dibaca “sigma k=1 sampai 6 dari 2k – 1” atau
“jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sampai k = 6”. Pada notasi sigma di atas
1 dan 6 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas, lambang
k dinamakan indeks (ada pula yang menyebut k sebagai variable).
Sebarang huruf kecil dapat digunakan sebagai indeks.
Secara umum n1n32
n
1k1k aa...aaaa +++++= −
=∑
Contoh :
1. 5343332313k35
1k⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑
=
1512963 ++++=
2. )142)132()122()112()1n2(4
1k+⋅++⋅++⋅++⋅=+∑
=
9753 +++=
3. )12(...)12()12()12()12()12( 1043215
1k
1k −++−+−+−+−=−∑=
1023...15731 +++++=
5
Latihan 1
1. Nyatakan dengan menggunakan notasi sigma!
a. 3 + 5 + 7 + … + 51
b. 321
161
81
41
21 ++++
c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
d. 2 − 4 + 8 − 16 + 32 − 64
e. 9 + 27 + 81 + 243
f. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … + 10000
g. (2 × 3) + (3 × 4) + (4 × 5) + (5 × 6) + … + (16 × 17)
h. 2n
24
23
22
21 a ... aaaa +++++
i. ab + a2b2 + a3b3 + a4b4 + … + anbn
j. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
2. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk lengkap
a. )1k(5
1k
2 +∑=
c. i
6
1i
ia)1(∑=
−
b. ∑=
−5
1n)1n3( d. ∑
=
+n
1r 2)1r(r
3. Sebuah tumpukan pipa disusun membentuk
segitiga sama sisi dengan n buah pipa pada
tiap sisinya. Nyatakan banyaknya pipa
dalam notasi sigma jika terdiri atas n
tumpukan.
6
2. Sifat-sifat Notasi Sigma
Berikut ini adalah beberapa sifat notasi sigma.
a. ∑ ∑= =
=n
1i
n
1jji aa
b. ∑=
=n
1kncc , c konstanta.
c. ∑∑==
=n
1kk
n
1kk aca.c , c konstanta.
d. ∑ ∑∑==
+=+n
1k
n
kkk
n
1kk ba)ba(
e. ∑ ∑ ∑= = +=
+=n
1k
m
1k
n
1mkkkk aaa dengan 1 < m < n
f. ∑∑+
+=−
=
=pn
pmipi
n
mii xa
Contoh soal:
1. Buktikan dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma.
cn xb xa )cbxax(n
1x
n
1x
2n
1x
2 ++=++ ∑∑∑===
Jawab:
∑∑∑∑====
++=++n
1x
n
1x
n
1x
2n
1x
2 cbxax)cbxax(
nc xb xan
1x
n
1x
2 ++= ∑∑==
7
2. Nyatakan ∑= +
20
8k 1kk2 dalam notasi sigma dengan 1 sebagai batas
bawah.
Jawab:
Dengan menggunakan sifat ∑∑+
+=−
=
=pn
pmipi
n
mii xa diperoleh:
∑∑∑=
−
−== ++=
+−−−−=
+
13
1k
720
78k
20
8k 8k)7k(2
1))7(k())7(k(2
1kk2
Latihan 2
1. Buktikan sifat-sifat notasi sigma di atas!
2. Buktikan bahwa n k2 k)1k(n
1k
n
1k
n
1k
22 ++=+ ∑∑ ∑== =
Bentuk ruas kanan pada soal nomor 2 di atas disebut “Jumlah
Monomial”
3. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk jumlah monomial
a. ∑=
+n
1kkk )b3a4( c. ∑
=
+−10
1j
2j )j2j()1(
b. ∑=
−n
1k
2 )k4k3( d. ∑=
+k
1n
3)1n(
4. Ubahlah notasi sigma berikut dengan bilangan 1 sebagai batas
bawah.
a. ∑=
15
5kk b. ∑
=
+10
0p)1p2(
c. ∑−= −
+5
5a baba d. )1k3(
30
8k
2 +∑=
8
B. Barisan dan Deret Bilangan
1. Pengertian Barisan
Perhatikan gambar dan urutan bilangan di bawah,
• Banyak lingkaran pada pola di bawah.
1, 3, 6, 10, 15, … ………………. (2)
• Urutan bilangan pada kolom ke-3 kalender.
2
,
2
2, 9, 16, 23, 30 ………………. (3)
• Banyak bujursangkar satuan pada urutan gambar berikut.
1, 4, 9, 16, 25, … ………..………(4)
Urutan bilangan-bilangan pada (2), (3) dan (4) masing-masing
mempunyai aturan tertentu. Urutan bilangan yang mempunyai aturan
tertentu disebut barisan bilangan. Setiap bilangan pembentuk barisan
disebut suku barisan. Dalam barisan secara umum suku pertama
dinyatakan dengan U1, suku ke-2 dinyatakan dengan U2, suku ke-3
dinyatakan dengan U3 dan seterusnya sehingga suku ke-n dinyatakan
9
dengan Un. Sebagai contoh pada barisan (2), U1 = 1, U2 = 3, U3 = 6,
U4 = 10, dan seterusnya.
Barisan biasanya didefinisikan sebagai suatu fungsi yang mempunyai
domain (daerah asal) bilangan asli. Pada barisan (2), fungsi untuk
menyatakan suku ke-n barisan tersebut adalah 2
)1n(nUn+=
dengan n ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, … }. Pendefinisian seperti ini dinamakan
dengan definisi eksplisit.
Cara lain untuk mendefinisikan barisan bilangan adalah dengan
definisi rekursif. Contoh: diberikan barisan bilangan dengan definisi
rekursif sebagai berikut,
U1 = 3
Un = 2Un-1 + 1, n > 1
Suku-suku berikutnya dapat dicari dengan cara :
U2 = 2.U1 + 1 = 2.3 + 1 = 7
U3 = 2.U2 + 1 = 2.7 + 1 = 15
U4 = 2.U3 + 1 = 2.15 + 1 = 31
dan seterusnya.
Sebuah definisi rekursif memuat dua bagian, pertama adalah kondisi
awal untuk memulai barisan dan yang kedua adalah sebuah
persamaan rekursif (rumus rekursif) untuk menentukan hubungan
antara setiap suku barisan dengan suku berikutnya. Definisi rekursif
ini banyak dipakai dalam aplikasi-aplikasi komputer.
10
2. Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan
Jika suatu barisan diberikan beberapa suku pertama, kadang-kadang
bisa ditentukan rumus untuk suku ke-n.
Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n barisan berikut
a. 1, 3, 5, 7, …
b. 3, 9, 27, 81, …
Jawab :
a. U1 = 1 = 2.1 − 1 b. U1 = 3 = 31
U2 = 3 = 2.2 − 1 U2 = 9 = 32
U3 = 5 = 2.3 − 1 U3 = 27 = 33
U4 = 7 = 2.4 − 1 U4 = 81 = 34
….. …..
Un = 2.n − 1 Un = 3n
Perlu diperhatikan juga bahwa jawaban rumus suku ke-n tidak selalu
tunggal, sebagai contoh barisan berikut.
2, 4, 8, …
Terlihat sekilas bahwa rumus suku ke-n barisan di atas adalah Un = 2n.
Akan tetapi ternyata rumus Un = n2 – n + 2, juga sesuai untuk
barisan diatas.
Tidak semua barisan dapat ditentukan rumus untuk suku ke-n.
Sebagai contoh adalah barisan bilangan prima. Bilangan prima ke 100
11
bisa dicari, tetapi tidak ada rumus umum untuk menghasilkan bilangan
prima ke-n.
Latihan 3
1. Carilah 4 suku pertama dan suku ke sepuluh dari barisan bilangan
dengan rumus umum berikut.
a. Un = 3n + 1 d. 1n
nUn +=
b. n)1(U
n
n−= e. ( ) 1n
21
nU −−=
c. Un = (n – 1)(n – 2)(n – 3)
2. Untuk setiap barisan bilangan berikut tentukan rumus untuk suku
ke−n.
a. 2, 4, 6, 8, 10, …
b. 1, 2, 3, 4, 5, …
c. −2, 1, 4, 7, 10, …
d. ... ,4x ,
3x ,
2x x,
432
e. −15, −5, 5, 15, …
f. 1, 2, 4, 8, 16, …
g. ... 1, ,2 2, ,22 ,4
h. 2, −4, 8, −16, …
i. 2, 6, 12, 20, …
12
3. Carilah lima suku pertama dari barisan dengan definisi rekursif
berikut.
a. U1 = 2
Un = 3(Un-1 – 1), untuk n > 1
b. U1 = −3
)2U2()1(U 1nn
n +⋅−= − , untuk n > 1
4. Carilah definisi rekursif untuk barisan bilangan berikut.
a. 9, 13, 17, 21, …
b. 1, 3, 7, 15, 31, …
c. 81, 27, 9, 3, …
d. 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
3. Deret Bilangan
Konsep tentang deret bilangan telah dikenal sejak abad ke-5 sebelum
Masehi yang dikenal dengan nama paradoks Zeno. Dalam paradoks
tersebut dikisahkan Achilles berpacu dengan kura-kura. Karena
kecepatan Achilles 12 kali kecepatan kura-kura maka waktu start kura-
kura diletakkan di depan Achilles sejauh 1 stadion (suatu ukuran jarak
pada masa itu, kira-kira 200 yard). Untuk dapat melampaui kura-kura
maka Achilles harus menempuh jarak 1 stadion terlebih dahulu (tempat
kura-kura semula). Pada saat yang bersamaan kura-kura telah
merangkak maju sejauh 121 stadion. Saat Achilles menempuh jarak
121 stadion, kura-kura telah bergerak maju 212
1 stadion. Berikutnya
13
saat Achilles menempuh jarak 2121 stadion, kura-kura telah bergerak
maju sejauh 3121 stadion. Begitu seterusnya proses ini berulang-ulang
sampai tak hingga sehingga disimpulkan bahwa Achilles tidak mungkin
melampaui kura-kura.
Kalau dituliskan maka jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah
1 + 121 + 212
1 + 3121 + … …………………… (5)
Tanda titik-titik ini menunjukkan bahwa pola tersebut berulang untuk
setiap bentuk k121 selalu diikuti oleh bentuk 1k12
1+ .
Bentuk penjumlahan pada (5) dalam matematika dikenal sebagai deret
bilangan atau dengan kata lain deret bilangan adalah penjumlahan
dari barisan bilangan.
Jika Sn melambangkan jumlah dari n suku pertama suatu barisan
bilangan maka Sn dapat dinyatakan dalam dua cara yaitu :
- Definisi eksplisit untuk Sn : Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
- Definisi rekursif untuk Sn S1 = U1
Sn = Sn-1 + Un untuk n > 1
Dari sini diperoleh hubungan Un = Sn − Sn−1 untuk n > 1
Contoh:
1. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn = 2n − 1, tentukan
U1, U2, U3, U4 dan U5.
14
Jawab:
U1 = S1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1
U2 = S2−S1 = (22 − 1) − (21 − 1) = 3 − 1 = 2
U3 = S3 − S2 = (23 − 1) − (22 − 1) = 7 − 3 = 4
U4 = S4 − S3 = (24 − 1) − (23 − 1) = 15 − 7 = 8
U5 = S5 − S4 = (25 − 1) − (24 − 1) = 31 − 15 = 16
2. Hitung jumlah 5 suku pertama dari setiap deret bilangan jika
diketahui rumus suku ke−n berikut.
a. Un = 2n + 3
b. Un = n2 + 2
c. Un = log 10n
Jawab:
a. S5 = (2.1 + 3) + (2.2 + 3) + (2.3 + 3) + (2.4 + 3) + (2.5 + 3)
= 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45
b. S5 = (12 + 2) + (22 + 2) + (32 + 2) + (42 + 2) + (52 + 2)
= 3 + 6 + 11 + 18 + 27 = 65
c. S5 = log 101 + log 102 + log 103 + log 104 + log 105
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Cara lain untuk menentukan jumlah n suku pertama deret adalah
dengan mencari pola dari barisan S1, S2, S3, S4, …, Sn. Sebagai
contoh pada contoh 2a di atas,
15
S1 = 5 = 5 = 1.5 = 1.(1 + 4)
S2 = 5 + 7 = 12 = 2.6 = 2.(2 + 4)
S3 = 5 + 7 + 9 = 21 = 3.7 = 3.(3 + 4)
S4 = 5 + 7 + 9 + 11 = 32 = 4.8 = 4.(4 + 4)
….
Sn = n(n+4)
Latihan 4
1. Tentukan bentuk umum jumlah n suku pertama dari setiap deret
bilangan berikut.
a. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …
b. 4 + 8 + 16 + 32 + …
c. – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + …
d. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …
e. 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + …
2. Tulislah tiga suku pertama dan suku ke sepuluh dari setiap deret
bilangan berikut.
a. Sn = n2 + 2n
b. Sn = n3 – 2
C. Barisan dan Deret Aritmetika
1. Barisan Aritmetika
Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu
disebut barisan aritmetika jika Un − Un−1 selalu tetap untuk setiap n.
16
Un − Un−1 yang selalu tetap ini dinamakan beda dan dilambangkan
dengan b.
Jadi :
Contoh :
2, 6, 10, 14, … beda = 6 − 2 = 10 − 6 = 14 – 10 = 4
10, 3, -4, -11, … beda = 3 – 10 = −4 − 3 = −11 − (−4) = −7
2. Suku ke-n Barisan Aritmetika
Misalkan a adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda
dan Un adalah suku ke-n,
Un − Un−1 = b ⇒ Un = Un−1 + b
U2 = U1 + b = a + b = a + 1b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b
………
sehingga Un = a + (n−1)b
Nama barisan aritmetika diberikan karena setiap suku (kecuali suku
pertama) dari barisan ini merupakan rata-rata aritmetik dari suku
sebelum dan sesudahnya. Dengan kata lain untuk setiap Uk, dengan k
≥ 2 berlaku 2
UUU 1k1kk
+− += .
b = Un − Un-1
17
3. Deret Aritmetika
Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika
dibuat berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl
Friedrich Gauss (1777−1855) ketika ia masih kecil. Dikisahkan suatu
ketika salah satu guru Gauss menyuruh murid−muridnya untuk
menghitung jumlah 100 bilangan asli yang pertama, atau 1 + 2 + 3 + 4
+ … + 100.
Murid−murid yang lain di kelas memulai dengan menjumlah bilangan
satu per satu, tetapi Gauss menemukan metode yang sangat cepat. Ia
menuliskan jumlahan dua kali, salah satunya dengan urutan yang
dibalik kemudian dijumlahkan secara vertikal.
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … + 2 + 1
101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
Dari jumlahan ini diperoleh 100 suku yang masing−masing bernilai
101, sehingga 1 + 2 + 3 + … + 100 = 2
101100 × = 5050.
Jika a adalah suku pertama deret aritmetika, Un suku ke-n, Sn jumlah n
suku pertama dan b = beda maka rumus untuk jumlah n suku pertama
deret aritmetika bisa dicari dengan cara sebagai berikut.
Sn = a + (a+b) + (a+2b) + …. + (Un-2b) + (Un-b) + Un
Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + ….. + (a+2b) + (a+b) + a
2Sn = (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) +… + (a+Un) + (a+Un)
n suku
+
18
2Sn = n(a + Un)
2
)Un(aS nn
+=
karena Un = a + (n – 1)b maka [ ]2
1)b-(n2anSn+=
Contoh:
1. Tentukan suku ke−20 barisan bilangan berikut :
a. 2, 5, 8, 11, …
b. 9, 6, 3, 0, …
Jawab :
a. b = 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3
a = 2
Un = a + (n−1)b
U20 = 2 + (20−1)3 = 2 + 19.3 = 63
b. b = 6 − 9 = 3 − 6 = 0 − 3 = −3
a = 9
Un = a + (n−1)b
U20 = 9 + (20−1).-3 = 9 + 19(−3) = 9 − 57 = −48
2. Suku ke −10 suatu barisan aritmetika adalah 24, sedangkan suku
pertamanya 6. Tentukan :
a. beda
b. rumus suku ke−n
Jawab :
19
a. U10 = 24, a = 6
Un = a + (n−1)b
24 = 6 + (10−1)b
24 − 6 = 9b
18 = 9b
b = 2
b. Un = a + (n−1)b
Un = 6 + (n−1)2
Un = 4 + 2n
3. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U2 = 6 dan U11 = 24
a. Carilah suku pertama dan beda
b. Tentukan U40
c. Hitung jumlah 40 suku pertama dari deret aritmetika yang
bersesuaian
Jawab:
a. U2 = 6 U11 = 24
a + b = 6 ….. (1) a + 10b = 24 ….. (2)
(2) dan (1) a + 10b = 24
a + b = 6
9b = 18
b = 2
a + b = 6
20
a + 2 = 6
a = 4
Suku pertama 4, beda 2
b. Suku ke-40 dicari dengan rumus Un = a + (n−1)b
U40 = 4 + (40−1).2 = 4 + 39.2 = 82
c. 2
)Un(aS nn
+=
1720)86(202
)824(402
)U40(4S 40
40 ==+=+
=
Latihan 5
1. Tentukan rumus umum setiap barisan aritmetika berikut dan
tentukan suku ke-25.
a. 10, 15, 20, 25, …
b. 2, –1, –4, –7, …
c. 8, 14, 20, …
2. Tentukan n (banyak suku) dari barisan aritmetika berikut.
a. 6, 3, 0, … , 81
b. 20, 18, 16, … , -98
c. 5, 10, 15, 20, …, 205
3. Tentukan beda, suku pertama dan rumus umum suku ke-n barisan
aritmetika berikut ini jika diketahui:
a. U4 = 17 dan U7 = 29
b. U2 = 11 dan U9 = 32
21
c. U3 + U5 = 60 dan U4 + U7 = 81
4. Tentukan banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5
antara 21 dan 99
5. Hitunglah deret aritmetika berikut ini:
a. 3 + 7 + 11 + 15 + … (sampai 12 suku)
b. 20 + 23 + 26 + 29 + … (sampai 15 suku)
c. 100 + 95 + 90 + 85 = … (sampai 16 suku)
6. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 12 dan
suku ke-6 adalah 27. Tentukan jumlah 20 suku pertama.
7. Tentukan jumlah 25 bilangan asli pertama yang habis dibagi 4.
8. Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 yang tidak
habis dibagi 5.
9. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika, jumlah ketiga bilangan
itu 30, hasil kalinya 840. Tentukan bilangan-bilangan itu.
10. Suatu perusahaan, pada bulan pertama berdiri memproduksi
sebanyak 1000 unit barang. Kenaikan produksi pada bulan-bulan
berikutnya adalah 51 kali produksi pada bulan pertama. Tentukan
jumlah produksi selama satu tahun.
D. Barisan dan Deret Geometri
1. Barisan Geometri
Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu
disebut barisan geometri jika Un : Un−1 selalu tetap untuk setiap n. Un :
Un−1 yang selalu tetap ini dinamakan rasio dan dilambangkan dengan r.
22
Sehingga rUU
1-n
n =
Contoh :
1, 3, 9, 27, … rasio = 3 : 1 = 9 : 3 = 27 : 9 = 3
16, −8, 4, −2, … rasio = −8 : 16 = 4 : −8 = −2 : 4 = −1/2
2. Suku ke-n barisan geometri
Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio
dan Un adalah suku ke-n,
rUU
1-n
n = ⇒ rUU 1n-n =
U2 = U1.r = ar = ar1
U3 = U2.r = (ar)r = ar2
U4 = U3.r = (ar2)r = ar3
U5 = U4.r = (ar3)r = ar4
…….
Sehingga Un = arn-1
Barisan dengan sifat ini disebut barisan geometri karena untuk setiap
Uk dengan k ≥ 2 merupakan rata-rata geometrik dari suku sebelum
dan sesudahnya. Dengan kata lain untuk k ≥ 2 berlaku
1k1kk U.UU +−= .
3. Deret geometri
Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio dan a adalah
suku pertama suatu deret geometri, maka :
23
Sn = a + ar + ar2 + … + arn−2 + arn−1
rSn = ar + ar2 + … + arn−2 + arn−1 + arn (semua ruas dikali r)
Sn − rSn = a + 0 + 0 + … + 0 + 0 − arn
(1 − r)Sn = a − arn
r1
)ra(1Sn
n −−=
4. Deret Geometri Tak Hingga
Contoh deret geometri tak hingga:
a. ... 81
41
211 ++++ r =
21
b. ... 31139 +−+− r =
31−
Perhatikan kembali rumus jumlah n suku pertama deret geometri
r1)ra(1S
n
n −−= . Untuk nilai -1 < r < 1, jika n mendekati tak hingga (n →
∞) maka rn mendekati nol, sehingga
r1
)ra(1limSn
n −−=
1. Pada paradoks Zeno, tentang Achilles dan kura-kura yang
dibicarakan di depan, tentukan jawaban yang benar setelah
menempuh jarak berapa Achilles melampaui kura-kura ?
Jawab : Jarak yang ditempuh Achilles ...12
112
11211 32 ++++
stadion.
a = 1
−
24
r = 121
121:
121
121:
1211:
121
232 ===
11121
11
r1aS
1211
121n ==
−=
−= stadion.
2. Ubah bentuk decimal berulang berikut ke dalam pecahan
a. 0,33333…
b. 0,353535…
Jawab :
a. 0,33333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …
a = 0,3
r = 0,03 : 0,3 = 0,003 : 0,03 = 0,0003 : 0,003 = 0,1
0,33333… = 31
9,03,0
1,013,0
r1a ==
−=
−
b. 0,35353535… = 0,35 + 0,0035 + 0,000035 + …
a = 0,35
r = 0,0035 : 0,35 = 0,000035 : 0,0035 = 0,01
0,35353535… = 9935
99,035,0
01,0135,0
r1a ==
−=
−
Latihan 6
1. Tentukan bentuk umum dari barisan berikut:
a. 64, 16, 4, …
b. 3, 9, 27, 81, …
c. 1, −3, 9, −27, 81, …
d. ... ,20 ,13 9, 6, 4
121
25
e. 1000, −100, 10, −1, …
2. Tentukan lima suku pertama dari setiap barisan geometri berikut
jika diketahui:
a. a = 4 dan r = 2
b. U3 = 27 dan U7 = 2187
c. U2 = 512 dan U8 = 8
d. U6 = −4 dan U8 = −1
e. 18U dan 32a 4 ==
3. Tentukan x jika 2, 8, 3x + 5 membentuk barisan geometri
4. Hitunglah jumlah setiap deret geometri berikut:
a. 1 + 2 + 4 + 8 + … (sampai 12 suku)
b. ... 1 271
91
31 ++++ (sampai 6 suku)
c. 1 − 3 + 9 − 27 + … (sampai 8 suku)
d. 64...2222 ++++
5. Untuk derat ...5551 2 33 23 ++++ , buktikan bahwa 15
3124S3115
−=
6. Rumus suku ke−n suatu deret geometri adalah )1n(n
21
4.2U −= ,
hitunglah:
a. Suku pertama dan rasio deret geometri tersebut.
b. Rumus jumlah n−suku pertama.
7. Tiap tanggal 1 Januari, mulai 1 Januari 2000 Amir menabung uang
di bank sebesar Rp 100.000,00. Jika bank memberikan bunga 10%
26
per tahun, tentukan besar uang Amir di bank pada tanggal 31
Desember 2003.
8. Suatu deret geometri tak hingga mempunyai suku pertama 12 dan
jumlah tak hingganya 8. Tentukan rasionya.
9. Populasi penduduk sebuah kota pada tahun 1960 adalah 30.000
jiwa. Populasi ini meningkat dua kali lipat tiap 10 tahun. Berapa
perkiraan populasi kota tersebut pada tahun 2010.
27
BAGIAN III
KESIMPULAN
1. Notasi sigma (Σ) digunakan untuk menyingkat bentuk jumlahan yang
suku-sukunya mempunyai pola. Beberapa sifat dari notasi sigma
diberikan di halaman 6.
2. Suatu barisan adalah fungsi yang mempunyai daerah asal himpunan
bilangan bulat positif. Sebuah barisan bisa didefinisikan dengan cara
eksplisit atau rekursif.
3. Suatu barisan disebut barisan aritmetik jika selisih dari setiap dua
suku yang berurutan bernilai tetap, selisih ini dinamakan beda (b).
Suatu barisan disebut barisan geometri jika rasio (r) dari setiap dua
suku yang berurutan bernilai tetap.
4. Suku ke-n barisan aritmetik dirumuskan sebagai: b)1n(aUn −+=
sedangkan untuk barisan geometri suku ke-n dirumuskan sebagai
1nn arU −=
5. Deret merupakan jumlahan dari suku-suku suatu barisan. Rumus
jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah 2
)b)1n(a2(nSn−+=
atau 2
)Ua(nS nn
+= . Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
adalah 1r
)1r(aSn
n −−= atau
r1)r1(aS
n
n −−= untuk r ≠ 1.
28
6. Suku ke-n barisan aritmetik dirumuskan sebagai: b)1n(aUn −+=
Suku ke-n barisan aritmetik dirumuskan sebagai: b)1n(aUn −+=
Deret geometri tak hingga mempunyai limit jumlah jika -1 < r < 1.
Rumus jumlah sampai tak hingga deret geometri adalah r1
aS−
=∞ .
29
DAFTAR PUSTAKA
Brown, Richard G.. (1994). Advanced Mathematics. Boston: Houghton Mifflin Company.
Gellert, W.. (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New
York: Van Nostrand Reinhold Company. Haryadi, Muh.. (2002). Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG
Matematika. Keedy, Mervin Laverne. (1983). Algebra and Trigonometry. California:
Addison-Wesley Publishing Company. Miller, Charles David. (1978). Mathematical Ideas. Glenview Illinois: Scott
Foresman and Company. Prawiro, Justine Yudho. (2000). Matematika IPA. Jakarta: Widya Utama. Raharjo, Marsudi. (2001). Notasi Sigma dan Induksi Matematika.
Yogyakarta: PPPG Matematika.
30
Kunci Jawaban:
Latihan 1
1. a. ∑=
+25
1n)1n2( b. ∑
=
5
1k
k21 )( c. ∑
=
6
1j
j2
d. ∑=
−−6
1p
p)2( e. ∑=
+4
1n
1n3 f. ∑=
100
1n
2n
g. ∑=
++15
1n)2n)(1n( h. ∑
=
n
1j
2ja i. ∑
=
n
1p
ppba
j. ∑=
−10
1n
1nnba
2. a. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 b. !1 + 2 + 5 + 8 + 11 + 14
c. !a1 + a2 ! a3 + a4 !a5 + a6 d. 2)1n(n
25.4
24.3
23.2
22.1 ... ++++++
3. ∑=
n
1pp
Latihan 2
3. a. ∑∑==
+n
1kk
n
1kk b3a4 b. ∑∑
==
−n
1k
n
1k
2 k4k3
c. ∑ ∑∑= ==
−+−+−10
1j
10
1j
jj10
1j
2j )1(4j)1(2j)1(
d. kn3n3nk
1n
k
1n
2k
1n
3 +
++ ∑∑∑===
4. a. ∑=
+11
1k)4k( b. ∑
= −−+−11
1a b6ab6a
c. ∑=
−11
1p)1p2( d. ∑
=
+−23
1k
2 )1)7k(3(
31
Latihan 3
1. a. 4, 7, 10, 13 ; U10 = 31
b. 41
31
21 , , , 1 −− ; U10 = 10
1
c. 0, 0, 0, 6 ; U10 = 504
d. 54
43
32
21 , , , U10 = 11
10
e. 81
41
21 , , 1, −− U10 = 512
1−
2. a. Un = 2n b. Un = n c. Un = 3n!5
d. Un = nxn
e. Un = 10n ! 25 f. Un = 2n!1
g. Un = 4 )2(2 2n− h. Un = !(!1)n2n i. Un = n2 + n
j. Un = n2 ! 1
3. a. 2, 3, 6, 15, 42 b. !3, !4, 6, 14, !30
4. a. U1 = 9, Un = Un!1 + 4
b. U1 = 1, Un = Un!1 + 2n!1
c. U1 = 81, Un = 3
U 1n−
d. U1 = 1, Un = Un!1 + n
Latihan 4
1. a. Sn = )13( n21 − b. Sn = 4(2n ! 1) c. Sn = n(n!4)
d. Sn = 3n ! 1 e. Sn = 2n(n + 2)
2. a. 3, 5, 7, U10 = 21 b. !1, 7, 19, U10 = 271
Latihan 5
1. a. Un = 5n + 5 b. Un = 5 ! 3n c. Un = 6n+2
2. a. n = 30 b. n = 60 c. n = 41
3. a. a = 5, Un = 4n + 1 b. a = 8, Un = 5 + 3n
c. a = 9, Un = 2 + 7n
4. 15
32
5. a. S12 = 300 b. S15 = 615 c. S16 = 1000
6. 990 7. 1300
8. 4000 9. 6, 10, 14
10. 25.200
Latihan 6
1. a. nn 4256U = b. Un = 3n c. Un =
3)3( n
−−
d. Un = n23 )(4 e. Un = n)10(
000.10−
−
2. a. 4, 8, 16, 32, 64
b. 3, 9, 27, 81, 243 atau 3, !9, 27, !81, 243
c. 1024, 512, 256, 128, !64 atau !1024, 512, !256, 128, !64
d. !8 2 , !8, !4 2 , !4, !2 2 atau 8 2 , !8, 4 2 , !4, 2 2
e. 2 3 , 6, 6 3 , 18, 18 3
3. x = 9
4. a. S12 = 4095 b. S6 = 243364 c. S8 = !1640
d. n = 12, S12 = 126 + 63 2
6. a. a = 2, r = 2
b. Sn = 2(2n ! 1)
7. Rp 510.510
8. r = !1/2
9. 480.000