54 IV ANALISIS TANGGAPAN PERALIHAN Deskripsi:Babinimemberikangambarantentanganalisistanggapanperalihanuntuk sistem orde satu, orde dua dan orde tinggiObjektif:Memahamibabiniakanmempermudahpembacauntukmemahamiprinsip-prinsip analisis tanggapan peralihan pada sistem kendali. 4.1 PendahuluanDalam prakteknya, sinyal masukan sistem kendali tidak dapat diketahuisebelumnya tetapimempunyaisifatacaksehinggamasukansesaattidakdapatdinyatakansecara analitis. Untuk analisis dan perancangan sistem kendali, harus dipunyai dasar perbandingan kinerjaberbagaisistemkendali.Dasarinidisusununtukmelakukanperbandingan tanggapan berbagai sistem, yaitu dengan memberikan masukan uji. Masukan uji yang biasa digunakanadalahfungsiundak,fungsilaju,fungsipercepatan,fungsiimpulsa,fungsi sinusoidadansebagainya.Dengansinyalujiinidapatdilakukananalisismatematikadan eksperimensecaramudah,karenasinyal-sinyalinimerupakanfungsiwaktuyang sederhana.Jenissinyalmasukanyangakandigunakanuntukmenganalisiskarakteristik sistem diantara sinyal-sinyal masukan khas ini dapat ditentukan dari bentuk masukan yang palingseringdiberikankesistempadaoperasinormal.Jikamasukansistemkendali merupakan fungsi waktu yang berangsur-angsur berubah maka fungsi laju satuan mungkin merupakan sinyal uji yang baik. Demikian pula, jika sistem dikenai gangguan secara tiba-tibamakafungsi undak satuan mungkin merupakan sinyal uji yang baik dan untuk sistem yang dikenai masukan-masukan kejut, sinyal uji yang paling baik mungkin fungsi impulsa. Penggunaansinyalujimemungkinkanuntukmembandingkanperformansisemuasistem dengan basis yang sama.Tanggapanwaktusistemkendaliterdiridariduabagianyaitutanggapanperalihan dan tanggapan dalam keadaan mantap. Tanggapan peralihan adalah tanggapan sistem yang berlangsungdarikeadaanawalsampaikeadaanakhirsedangkantanggapankeadaan mantapadalah tanggapan keluaran sistem jika t mendekati tak terhingga. Selain itu dalam keadaanmantapsuatumasukandianggaptelahterjadicukuplamasehinggapengaruh daripada setiap perubahan yang ada sebelumnya telah hilang. 4.2Sistem Orde Satu Fungsi alih dari suatu sistem orde satu dapat ditulis sebagai berikut( )00b C(s)G s= = R(s) s + a(4.1) 55 Dimana( ) C s :fungsi masukan( ) R s :fungsi keluaranNotasi yang lebih umum dari fungsi alih orde satu adalah( )C(s) KG s= = R(s) s + 1 (4.2) dengan membandingkan persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleho1a = dan oKb = (4.3) Selain itu dapat juga diturunkan persamaan diferensial sistem dari persamaan (4.2) sebagai berikut( )1 Ks +C s=R(s) | | |\ (4.4)Dengan menggunakan transformasi Laplace balik persamaan (4.4)menjadi ( ) ( )1 Kc t+c t = r(t) (4.5)SelanjutnyadenganmenggunakantransformasiLaplacedaripersamaan(4.5)dan memasukkan kondisi awalnyadiperoleh ( ) ( ) ( )1 KsC s c 0 C s=R(s) +(4.6) Penyelesaian untuk persamaan (4.6)sebagai berikut( )( )( )( )( )c 0 K R(s)C s +s + 1 s + 1 =(4.7) Persamaan (4.7) dapat ditampilkan dalam bentuk diagram blok berikut R(s) K/s + /11s +/1C(s)C(s) Gambar 4.1 Sistem Orde Pertama dengan Kondisi Awal Dimanakondisi-kondisiawalbiasanyatidakditunjukkansebagaimasukanpadadiagram bloksistem.Perludiperhatikanbahwakondisiawalsebagaisuatumasukanmemiliki transformasiLaplace( ) c 0 yangmerupakansuatukonstanta.TransformasiLaplacebalik darisuatukonstantamerupakansuatufungsiimpulsa.Dengandemikian,kondisiawal sebagaisuatumasukanmunculsebagaifungsiimpulsa( )( ) c 0 t .Disinidapatdilihat 56 bahwafungsiimpulsamemilikiartipraktis,meskipunfungsiimpulsabukansinyalfisik yang dapat direalisasikan sehingga kondisi awal ini biasanya diabaikan pada diagram blok. Dengan demikian diagram blok pada Gambar 4.1 disederhanakan menjadi R(s) K/s +/1C(s) Gambar 4.2 Sistem Orde Pertama Tanpa Kondisi Awal Pada persamaan (4.7)kondisi awal berperan pada keluaran sistem. Misalkan kondisi awal pada persamaan (4.7) bernilai nol dan masukan( ) r tadalah undak satuan maka( ) R ssama dengan 1ssehingga persamaan (4.7) menjadi( )( )( ) ( )K K -KC ss s + 1 s s + 1 = = + ( (4.8) Transformasi Laplace balik persamaan (4.8) menghasilkan( ) ( )-t c t =K 1 - e(4.9) Daripersamaan(4.9)terlihatbahwasukupertamapadatanggapan( ) c t berasaldaripole masukan( ) R sdan disebut tanggapan paksa. Selain itu suku pertama ini tidak menuju nol denganbertambahnyawaktusehinggadisebutjugadengantanggapantunak.Sukukedua daripersamaan(4.9)berasaldaripolefungsialih( ) G s yangdisebuttanggapanalami, karenasukukeduainimenujunoldenganbertambahnyawaktudisebutjugadengan tanggapan peralihan. Perhatikanbahwasukuyangmenujunolsecaraeksponensialmemilikikemiringan awal yaitu( ) ( )-t -t t = 0t = 0d K Kc t = - Ke edt = =(4.10) Secaramatematis,sukueksponensialtidakmenujunolpadaintervalwaktuterbatas. Namun demikian jika suku ini diteruskan pada kecepatan awalnya akan mencapai nilai nol dalamdetik. Parameter disebut konstanta waktu dan memiliki satuan detik. Penurunan nilai menuju nol dari fungsi eksponensial diperlihatkan pada Tabel 4.1 berikut Tabel 4.1 Penurunan Nilai Fungsi Eksponensial Sebagai Fungsi dari Konstanta Waktu t e0 1.0000 0.3679 20.1353 30.0498 40.0183 50.0067 57 PadaTabel4.1terlihatbahwafungsieksponensialtelahberkurangsebesar2persendari nilai awal dalam empat konstanta waktu dan berkurang 1 persen dari nilai awal dalam lima konstanta waktu. Pada perhitungan selanjutnya diasumsikan suku eksponensial menjadi nol setelah empat konstanta waktu. Tanggapan sistem pada persamaan (4.9) adalah ( )tlim c t K= (4.11) Limitpadapersamaan(4.11)disebutnilaiakhirataunilaikeadaantunaktunakdari tanggapan.Dengan demikian bentuk umum fungsi alih orde pertama adalah( )KG s= s + 1(4.12) Dimana :konstanta waktu sistem (detik) K :tanggapan keadaan tunak terhadap masukan undak satuan Contoh 4.1 : Tentukantanggapansistemuntukmasukanundaksatuandenganfungsialihlingkar terbuka sebagai berikut ( )( ) 20 35G s= 0.75s + 0.75 s + 1=(4.13) Jawab :( ) ( ) ( )( )( )20 31 20 3 20 3C s = G s R s = s + 1 s s s +1= (4.14) dan( ) ( )-t20c t = 1 e3 (4.15) Poledarifungsialihpadas = -1memberikankonstantawaktu = 0.75detik.Nilai keadaantunaktanggapanadalah 203.Dengankonstantawaktusistemsebesar0.75maka keluaran mencapai keadaan tunak kira-kira dalam 3 detik. Listing program Matlabclc clear all close all % Contoh Soal 4-1 num = [ 05]; den = [ 0.75 0.75]; % [r,p,k] = residue(num,den) % step(num,den)grid on 58 title('Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan ') ylabel('Keluaran') xlabel('t detik') Hasil program r = 6.6667 p = -1 k = [] Hasil plot tanggapan terhadap masukanundak satuan0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10010203040506070Tanggapan Terhadap Input Undak Satuan t detik (sec)Keluaran Gambar 4.3 Tanggapan Sistem Terhadap Masukan Undak Satuan Selanjutnyajikamasukan( ) r t t = adalahlajusatuan,maka( ) R s samadengan 21s

sehingga persamaan (4.7) menjadi( )( )( ) ( )2 2K K -K KC ss s s + 1 s s + 1 = = + + ( (4.16) Transformasi Laplace balik persamaan (4.16) menghasilkan( )-t c t =Kt - K + Ke(4.17) daripersamaan(4.17)terlihatbahwatanggapanlajuterbentukatastigasuku.Suku konstantadansukueksponensial.Pertama,sukueksponensialmemilikikonstantawaktu yang sama dengan tanggapan undak. Amplitudo dari eksponensial berbeda pada tanggapan laju dibanding tanggapan undak. Amplitudo berbeda dengan faktor. Jika lebih besar darisatumakaeksponensialmemilikiefekmenonjolpadatanggapansistem.Tanggapan keadaan tunak diberikan oleh ( )ssc t =Kt - K(4.18) 59 dengan( )ssc t adalahnilaikeadaantunakdari( ) c t .Disiniakandidefinisikantanggapan keadaantunakdibentukdarisuku-sukutersebutyangtidakmenujunolbilawaktu bertambah. Contoh 4.2 : Tentukan tanggapan sistem untuk laju satuan dengan fungsi alih( )( ) 20 35G s= 0.75s + 0.75 s + 1=(4.19) Jawab :( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 220 31 20 3 20 3 20 3C s = G s R s =+s + 1 s s s s + 1= (4.20) dan( ) ( )-t20c t = t - 1 + e3(4.21) Poledarifungsialihpadas = -1memberikankonstantawaktu = 0.75detik.Nilai keadaantunaktanggapanadalah 20 20t - 3 3.Dengankonstantawaktusistem sebesar0.75 maka keluaran mencapai keadaan tunak kira-kira dalam 3 detik. Listing program Matlabclc clear all close all %Cobtoh Soal 4-2 num = [ 05]; den = [ 0.75 0.75]; % [r,p,k] = residue(num,den) % t = 0:0.1:10;r = t;y = lsim(num,den,r,t); plot(t,y) grid on title('Tanggapan Terhadap Masukan Laju Satuan ') ylabel('Keluaran') xlabel('t detik') Hasil programr = 6.6667 60 p = -1 k = [] Hasil plot tanggapan terhadap masukanlaju satuan0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10010203040506070Tanggapan Terhadap MasukanLaju Satuan Keluarant detik Gambar 4.4 Tanggapan Sistem Terhadap MasukanLaju Satuan 4.3Sistem Orde DuaBentuk standard dari fungsi alih orde kedua adalah ( )2n2 2n nG s= s + 2 + (4.22) Dimana :rasio redamann :frekuensi tidak teredam atau frekuensi natural Terlihatbahwasemuakarakteristiksistemdarisistemordekeduastandardmerupakan fungsi daridan n . Pertama-tama perhatikan tanggapan terhadap masukan undak satuan dari sistem orde kedua adalah 61 ( ) ( ) ( )( )2n2 2n nC s = G s R s= s s + 2 + (4.23)Transformasi balik dari persamaan (4.23) tidak diturunkan pada persamaan (4.23). Namun dengan mengasumsikan saat ini bahwa pole-pole dari( ) G skompleks diperoleh( ) ( )n- tn1c t = 1 -e sin t + (4.24)Dengan 2 =1 - dan -1 = tan| | |\ Padatanggapanini, n = 1 adalahkonstantawaktudarisinusoidadalamdetikserta frekuensi dari sinusoida teredam. Sekarang akan ditunjukkan tanggapan undak yang umum pada sistem orde kedua. Tanggapan undak pada persamaan (4.24) adalah fungsi daridan n .Jikaditentukannilai sajamakauntukmemplot( ) c t belumbisadilakukantanpa menentukan n juga.Untukmenyederhanakanplotgrafik( ) c t akandipergunakansuatu nilaiyang telah ditentukan sebagai fungsi dari n t . Keluarga kurva dari berbagai nilaisangat berguna dan diperlihatkan pada Gambar 4.5dengan nilaiantara0 2 . Untuk 0 1 tanggapanmerupakansinusoidateredam.Untuk = 0 tanggapanmerupakan sinusoida tidak teredamdan untuk 1 osilasi sudah tidak ada. Pada persamaan (4.24) terlihatbahwauntuk < 0 tanggapanbertambahtanpabatas.ProgramMatlabuntuk menghitung beberapa tanggapan terhadap masukan undak dengan beberapa nilai berikut Listing program Matlabclc clear all close all %zeta = [0.1 0.2 0.4 0.7 1 2] for k = 1 : 6 Gnum = [ 001] Gden = [ 1 2*zeta(k) 1] step(Gnum,Gden)hold on grid onend

62 Hasil plot tanggapan terhadap masukan undak satuan terhadap berbagai nilaiberikut0 10 20 30 40 50 6000.20.40.60.811.21.41.61.8Step ResponseTime (sec)Amplitude Gambar 4.5 Tanggapan Sistem Terhadap Masukan Undak Satuan Dengan Berbagai Nilai Untuk > 1 sistem bersifat teredam lebihdantanggapan terhadap masukan undak satuan adalah ( ) ( )2n2 2n nC s=R ss + 2 s+ (4.25)dengan masukan( )1R ss=sehingga persamaan (4.25) menjadi( )( )2n2 2n nC s= s s + 2 s + (4.26)( )( )( )2n2 2n n n nC s= s + + - 1s + - - 1 (4.27)dengan menggunakan transformasi Laplace balik persamaan (4.27) berubah menjadi( )( )( )( )( )2 2n n+ - 1 t + - 1 t2 2 2 21 1c t= 1 +e -e2 - 1 +- 12 - 1 -- 1 (4.28) ( )1 2-s t -s tn21 1 e ec t= 1 + s s2 - 1 | | |\ untuk t 0(4.29) Dengan( )21 ns + - 1 = dan( )22 ns - - 1 =.63 Untuk = 1 sistem bersifat teredam kritis dantanggapan terhadap masukan undak satuan adalah( ) ( )2n2 2n nC s=R ss + 2 s+ (4.30)dengan masukan( )1R ss=sehingga persamaan (4.31) menjadi ( )( ) ( )2 2n n22 2n n n C s= s s + 2 s+ s s + = (4.31)dengan menggunakan transformasi Laplace balik persamaan (4.31) berubah menjadi( ) ( )n- tnc t= 1 - e 1 + tuntuk t 0(4.32) Untuk ( ) 0 < < 1sistem bersifat teredam kurang dantanggapan terhadap masukan undak satuan adalah( ) ( )2n2 2n nC s=R ss + 2 s+ (4.33)dengan masukan ( )1R ss=sehingga persamaan (4.33) menjadi( )( )2n2 2n nC s= s s + 2 s + (4.34)( )( )( )2nn d n dC s= s + + j s + - j(4.35) dimana2d n 1 - =Dengan menggunakan transformasi Laplace balik persamaan (4.35) menjadi( )n- td d2c t= 1 - e cos t+sin t 1 - | | | |\ (4.36) atau ( )n- t-1d2 2ec t= 1 - t+ tan1 -1 - | | | |\ (4.37) Contoh4.3 :Tentukan n ,sertatanggapan undak satuan dari sistemlingkar tertutup berikut( )( )2C s130=R ss 15s 130 + + (4.38) 64 Jawab :Berdasarkan persamaan (4.22)diperoleh2n n 130 11.4018 = =(4.39) ( )n2 15 2 11.4018 15 = 0.6578 = = (4.40) ( ) ( )22d n 1 - 11.4018 1 0.6578 8.5878 = = =(4.41) Untuk tanggapan undak dari sistem lingkar tertutup diperoleh ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2130 1 1 -0.500 - j0.4367 -0.500 + j0.4367C s = G s R s =+s s s + 7.5000 + j8.5879 s + 7.500 - j8.5879 s 15s 130= ++ + (4.42) Dengan menggunakan transformasi Laplace balik diperoleh ( )n- td d2c t= 1 - e cos t+sin t 1 - | | | |\ (4.43) ( )( )-11.4018t20.6578c t 1 e cos 8.5878t +sin 8.5878t1- 0.6578| | |= | |\ (4.44) ( ) ( )-11.4018tc t 1 e cos 8.5878t + 0.8733 sin 8.5878t = (4.45) Listing program Matlabclc clear all close all % Contoh Soal 4-3 num = [ 00130]; den = [ 1 15130]; %omega_n = sqrt(den(3)) zeta = den(2)/(2 * omega_n) % num1 = [ 000 130]; den1 = [ 1 15 130 0 ]; % [z,p,k] = residue(num1,den1) step(num,den)grid on title('Tanggapan Terhadap MasukanUndak Satuan ') ylabel('Keluaran') xlabel('t detik') 65 Hasil programomega_n = 11.40175425099138 zeta = 0.65779351448027 z = -0.50000000000000 + 0.43666688230469i -0.50000000000000 - 0.43666688230469i 1.00000000000000 p = -7.50000000000000 + 8.58778201865883i -7.50000000000000 - 8.58778201865883i 0 k = [] Hasil plot tanggapan terhadap masukanundak satuan0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.800.20.40.60.811.21.4Tanggapan Terhadap Input Undak Satuan t detik (sec)Keluaran Gambar 4.6 Tanggapan Sistem Orde KeduaTerhadap MasukanUndak Satuan Dalambeberapakasuspraktis,karakteristikperformansisistemkendaliyang diinginkandinyatakandalambentukbesaranwawasanwaktu.Sistemyangmempuyai elemenpenyimpanenergitidakdapatmeresponsecaraseketikadanakanmenunjukkan tanggapanperalihanjikadikenaimasukanataugangguan.Seringkalikarakteristik performansisistemkendalidinyatakandalambentuktanggapanperalihanterhadap masukanundaksatuankarenamudahdibangkitkandanjikatanggapanterhadapmasukan undak diketahui maka secara matematis dapat dihitung tanggapan terhadap setiap masukan66 Tanggapanperalihansistemterhadap masukan undak satuan bergantung pada syarat awal.Untukmemudahkanperbandingantanggapanperalihanberbagaimacamsistem,hal yangbiasadilakukanadalahmenggunakansyaratawalstandardyaitusistemmula-mula keadaandiamsehinggakeluarandansemuaturunanwaktunyapadaawaltanggapan sama dengannol,selanjutnyakarakteristiktanggapansecaramudahdapatdibandingkan. Tanggapanperalihantsistemkendalipraktisseringmenunjukkanosilasiteredamsebelum mencapaikeadaantunak.Dalammenentukankarakteristiktanggapanperalihansistem kendali terhadap masukan undak satuan biasanya ditentukan parameter sebagai berikutoWaktu tunda (delay time)( )dtWaktutundaadalahwaktuyangdiperlukantanggapanuntukmencapaisetengahharga akhir yang pertama kali.oWaktu naik (rise time),( )rtWaktu naik adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk naik dari 10 % sampai 90 %, 5 %sampai95%atau0sampai100%darihargaakhirnya.Untuksistemordekedua redaman kurang biasanya digunakan waktu naik 0 sampai 100 % dan untuk sistem redaman lebih biasanya digunakan waktu naik 10 % sampai 90 %oWaktu puncak (time overshoot)( )ptWaktupuncakadalahwaktuyangdiperlukantanggapanuntukmencapaipuncaklewatan pertama kalio Lewatan maksimum (maximum overshoot) ( )pMLewatanmaksimumadalahhargapuncakmaksimumdarikurvatanggapanyangdiukur darisatu.Jikahargakeadaantunaktanggapantidaksamadengansatumakabiasa digunakan persentase lewatan maksimum dengan rumusan berikut Lewatan maksimum (maximum overshoot) ( )( )( )c t ccp 100%(4.46) oWaktu penetapan (settling time)( )stWaktupenetapanadalahwaktuyangdiperlukankurvatanggapanuntukmencapaidan menetap dalam daerah disekitar harga akhir yang ukurannya ditentukan dengan persentase mutlakdarihargaakhirbiasanya5%atau2%.Waktupenetapaninidikaitkandengan konstanta waktu terbesar dari sistem kendali.Jika harga-harga dt ,rt ,pt ,pMdan sttelah ditetapkan maka bentuk kurva tanggapan peralihan dapat ditentukan berikut67 MpIdtrtptsc(t)or0.050.02batas toleransit0.51 Gambar 4.7Spefisikasi Tanggapan Peralihan Untuktanggapanperalihanpadasistemordekedua,jikadiinginkanpadasistem tersebutadanyatanggapanyangcepatdenganredamanyangcukupmakarasioredaman harusterletakantara0.4sampaidengan0.8.Jikahargarasioredamankecildari0.4 ( ) 0.4 maka dihasilkan tanggapan peralihan yang lambat. Untuk sistem orde keduaperhitungan harga-harga dt , rt , pt , pMdan stberdasarkan persamaan (4.31) dan sistem dianggap mengalami redaman kurang. Diperoleh oWaktu naik (rise time),( )rt( )rc t 1 = (4.47) ( )n r- tr d r d r2c t= 1 - e cos t +sin t=11 - | | | |\ (4.48) Karena n- te 0 persamaan (4.48) berubah menjadid r d r2cos t +sin t=01 - (4.49)atau2dd r1 -tan t = - = - (4.50) -1 drd d 1 - t =tan - = | | |\ (4.51) 68 Untuk nilaididefinisikan berdasarkan Gambar 4.8 berikut nj d-j0n Gambar 4.8Definisi Nilai o Waktu puncak (time overshoot)( )ptWaktupuncak ( )pt diperolehdenganmendiferensiasikan( ) c t padapersamaan(4.31) terhadap waktu dan menyatakan turunan ini sama dengan nol serta diperoleh( )( )n ppp - tnd p2t = tdc t=sin te 0dt1 -=(4.52)Akan menghasilkan persamaan d p d psin t 0 t 0, , 2, 3, = =(4.53)karena waktu puncak berkaitan dengan lewatan puncak pertama makad p pd t t= = (4.54)oLewatan maksimum (maximum overshoot) ( )pMLewatanmaksimum(maximumovershoot) ( )pM terjadipadawaktupuncakataupada pdt = t= . Dengan menggunakan persamaan (4.46) diperoleh ( )p pM = c t - 1(4.55)nd-p2M=- e cos +sin 1 - | | |\ | | | |\ (4.56)2d- - 1 -pM=e e| || | | | |\ \ = (4.57)Persen lewatan maksimum adalah d- e x 100 % | | |\ (4.58) 69 oWaktu penetapan (settling time)( )stWaktu penetapan(settling time)( )stuntuk pita toleransi 2 % dan 5 % dapat diukur dalambentuk sn1t= .Untuk0 0.9 < < digunakankriteria 2 %makawaktu penetapan( )stmendekati empat kali konstanta waktu dengan rumusansn4t (4.59)Untuk0 0.9 < < dandigunakankriteria 5 %makawaktupenetapan( )st mendekati tigakali konstanta waktuatausn3t (4.60) Contoh 4.4 :Untuk sistem dibawah iniR(s)E(s) C(s) Gambar 4.9 Diagram Blok Sistem Kendali Lingkar Tertutup Dimana = 0.65 dan n= 10rad det .Tentukan rt , pt , pM dan st jikasistemdikenai masukan undak satuan Jawab :( )22dn = 1 - = 101 -0.65 7.5993 =(4.61)( )( )n = 0.65 10 6.5 = =(4.62) -1 -1 d 7.5993 = tantan0.8632 6.5| | | |= = ||\ \ (4.63) Waktu naik( )rt rd - 3.14 0.8632t 0.2998 7.5993= = = (4.64) Waktu puncak (time overshoot)( )pt pd 3.14t 0.4134 7.5993= = =(4.65) 70 Lewatan maksimum (maximum overshoot) ( )pMd6.5- - 7.5993pM=e e0.0681 | || | | |\ \ = =(4.66) Persentase lewatan maksimum:6.8077 %(4.67) Waktu penetapan( )st Untukkriteria 2 % waktu penetapannya adalah sn4 4t 0.61546.5 = =detik (4.68) Untukkriteria 5 % waktu penetapannya adalah sn3 3t 0.46156.5 = = detik (4.69) 4.4Sistem Orde TinggiTinjausistemyangditunjukkanpadaGambar4.10denganfungsialihlingkar tertutupnya Gambar 4.10Diagram Blok Sistem Kendali ( )( )( )( ) ( )C s G s=R s 1 + G s H s (4.70) Pada umumnya( ) G sdan( ) H sdiberikan sebagai rasio polinomial dalam s atau( )( )( )p sG sq s=(4.71)( )( )( )n sH s =d s(4.72) Dimana( ) p s ,( ) q s ,( ) n s dan( ) d s adalahpolinomialdalams.Fungsialihlingkar tertutup yang diberikan oleh persamaan (4.70) selanjutnya dapat ditulis( )( )( )( )( )( ) ( )( )C s p s d s=R s q s d s+ p s n s (4.73) 71 ( )( )m m-1o 1 m-1 mn n-1o 1 n-1 nC sb s + b s ++ b s + b=R s a s + a s ++ a s + a(4.74) Untukmenentukantanggapanperalihansistempadapersamaan(4.73)ataupersamaan (4.74)terhadapsetiapmasukanyangdiberikanperludiuraikanpersamaanpolinomial tersebutatasfaktor-faktornya.Setelahpersamaanpolinomialdiuraikanatasfaktor-faktornya maka persamaan( ) ( ) C s R sdapat ditulis ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )1 2 m1 2 nC s k s + z s + z s + z=R s s + p s + p s + p(4.75)Selanjutnyaakandiujiperilakutanggapansisteminiterhadapmasukanundaksatuan. Diasumsikanbahwapole-polelingkartertutupberbedasatusamalain.Untukmasukan undak satuan persamaan (4.75) dapat ditulis menjadi ( )nii=1ia aC ss s + p= + (4.76)Dimana iaadalah residu dari pole di is = -pJika semua pole lingkar tertutup terletak disebelah kiri sumbu khayal bidang s maka besarrelatifdariresidumenentukankepentinganrelatifdarikomponen-komponen( ) C sdalambentukuraiantersebut.Jikaadasuatuzerolingkartertutupmempuyaihargayang hampir sama dengan suatu pole lingkar tertutup maka residu pada pole ini adalah kecil dan koefesiensukutanggapanperalihanyangberkaitandenganpoleinimenjadikecil. Sepasangpoledanzeroyangletaknyaberdekatansecaraefektifakansaling menghilangkan. Jika suatu pole terletak sangat jauh dari titik asal maka residu pada pole ini mungkin kecil. Tanggapan peralihan yang ditimbulkan oleh pole yang jauh ini adalah kecil danberlangsungdalamwaktuyangsingkat.Suku-suku( ) C s dalambentukuraianyang mempuyai residu sangat kecil memberikan kontribusi yang kecil pada tanggapan peralihan sehinggasuku-sukuinidapatdiabaikan.Jikainidilakukanmakasistemordetinggidapat didekati dengan sistem berorde rendahPole-poledari( ) C s terdiridaripole-polenyatadanpasangan-pasanganpole konjugasikompleks.Sepasangpolekonjugasikompleksmenghasilkan bentuk orde kedua dalams.Bentukuraianfaktordaripersamaankarakteristikordetinggiterdiridaribentuk orde pertama dan orde kedua maka persamaan (4.76) dapatditulis kembali( )( )( )( ) ( )mii=1q r2 2j k k kj=1 k=1K s + zC s=R ss s + p s+ 2 s + (4.77)Dimanaq + 2r = n .Jikapole-polelingkartertutupmempuyaihargayangberbeda-beda satusamalainmakapersamaan(4.77)dapatdiuraikanmenjadipecahanparsialsebagai berikut72 ( )( )2n rj k k k k k k2 2j=1 k=1j k k ka b s + c 1 aC s=s s + p s+ 2 s + + + + (4.78) Daripersamaan(4.78)dapatdilihatbahwatanggapansistemordetinggitersusundari beberapabentukyangmelibatkanfungsi-fungsisederhanayangdijumpaipadatanggapan sistemordepertamadankedua.Selanjutyatanggapansistemterhadapundaksatuan ( ) c t didapatkan dengan menggunakan transformasi Laplace balik dari ( ) C sadalah( )jk k k kn r r-p t- t - t 2 2j k k k k k kj=1 k=1 k=1c t= a a e b e cos 1 t b e sin 1 t + + + untukt 0 (4.79) Jikasemuapole-polelingkartertutupberadadisebelahkirisumbukhayalbidangsmaka suku-sukuekspoensialdansuku-sukueksponensialteredampadapersamaan(4.79) mendekatinoldenganmembesarnyawaktut.Selanjutnyakeluarankeadaanmantapnya adalah( ) c= a Contoh4.5 :Tentukantanggapanmasukanundakdarisistemberumpanbaliksatuyangmempuyai fungsi alih lingkar terbuka ( )( )( )( )25 s + 20G s =s s + 4.59 s +3.41s+16.35 (4.80) Jawab :Fungsi alih lingkar tertutup sistem adalah ( )( )( )( ) ( ) ( )2C s 5 s + 20=R s s s + 4.59 s +3.41s+16.35 5 s + 20 +(4.81) ( )( )( )4 3 2C s 5 s + 20=R s s+ 8s+ 32s+ 80s + 100 (4.82) ( )( )( )( )( )2 2C s 5 s + 20=R s s+ 2s + 10 s+ 6s + 10 (4.83) Tanggapan terhadap masukan undak satuan adalah ( )( )( ) ( )2 25 s + 20C s =s+ 2s + 10 s+ 6s + 10 s(4.84) Difaktorkan menjadi( )( )( )( )( )2 22 23 17 11 13s +1 s +318 8 8 8C s =ss + 1 3 s + 3 1 + ++ +(4.85) 73 Dengan menggunakan transformasi Laplace balik diperoleh( ) c t dengan nilai sebagai berikut( )-t -t -3t -3t3 17 11 13c t= 1 +e cos 3t -e sin 3t -e cos t -e cos t8 24 8 8 untuk t 0 (4.86) Listing program Matlabclc clear all close all % Contoh Soal 4-5 num = [ 0005 100]; den = [ 18 3280 100]; %% Fungsi alihsys1 = tf(num,den) %t = 0:0.02:30;[y,x,t] = step(num,den,t); plot(t,y); grid ontitle('Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan ') ylabel('Keluaran') xlabel('t detik')

Hasil program0 5 10 15 20 25 3000.20.40.60.811.21.4Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan Keluarant detik Gambar 4.11Tanggapan Sistem Orde Empat (Orde Tinggi)Terhadap Masukan Undak Satuan 4.5Rangkuman Dalampraktek,sinyalmasukansistemkendalitidakdapatdiketahuisebelumnya tetapi mempuyai sifat acak sehingga masukan sesaat tidak dapat dinyatakan secara analitis. Hanyapadabeberapakasuskhusussinyalmasukandapatdiketahuiterlebihdahulu 74 sehinggadapatdinyatakansecaraanalitisataudengankurva.Dalammenganalisisdan mendisain sistem kendali harus ditentukan suatu dasar perbandingan performansi berbagai sistemkendali.Dasarinidapatdisusundenganmenetapkansinyal-sinyalujitertentudan membandingkantanggapanberbagaisistemterhadapsinyal-sinyalmasukanini.Sinyal masukanujiyangbiasadigunakanadalahfungsiundaksatuan,lajusatuan,parabolik satuandansebagainya.Dengansinyalujiinidapatdilakukananalisismatematisdan eksperimentalsistemkendalisecaramudahkarenasinyal-sinyalinimerupakanfungsi waktu yang sangat sederhana.