bab ii menyederhanakan fungsi

Jamzuri : Teknik Digital

22

BAB II MENYEDERHANAKAN FUNGSI 1. Bentuk Persamaan Aljabar Boole : Bentuk persamaan aljabar boole ditunjukkan pula oleh gerbang logika yang digunakan. Perhatikan gambar 2.1 : Input A,B,C dan D pada untai gerbang AND (1), OR (2) dan AND (3) dengan perilaku output pada gerbang AND (3) ialah L1 dinyatakan dalam bentuk persamaan 2.1. Input A,B,C dan D pada untai gerbang OR (4) , AND (5), OR (6) dengan perilaku output pada gerbang OR (6) ialah L 2 dinyata kan dalam bentuk persamaan 2.2L1 = ( AB + C ). D

2.1

L 2 = ( A + B ).C + D

2.2A B C D 1 2

3L1

40V 5V 5V 0V

5

6L2

Gambar 2.1. Persamaan dan Gerbang Logika Gambar 2.1 sebagai realisasi persamaan 2.1 dan 2.2. Umumnya persamaan menjadi rumit, hingga perlu disederhanakan menjadi persamaan pokok dalam bentuk penjumlahan dari perkalian (sum of product) atau dalam bentuk perkalian dari penjumlahan (product of sum) a. Sum Of Product :


23 Untuk menjelaskan sum of product, perlu dikaji ulang mengenai perkalian dua peubah atau lebih ialah fungsi AND yang berinput dua atau lebih sebanyak satu atau lebih gerbang AND yang dijalin dalam bentuk penjumlah fungsi OR dengan gerbang OR berinput dua atau lebih. Misal :A B C D E F G 75V 5V 0V 0V 0V 5V 5V L3 L4 L5

8 9

1 0L6

Gambar 2.2. Sum Of Product 2.3 Persamaan 2.3 dapat diwujudkan menjadi untai elektronik yang menggunakan gerbang AND (7) dan gerbang AND (8) berinput 2 serta gerbang AND (9) berinput 3 yang dijalin dengan gerbang OR (10) berinput 3. L3 = A.BL 4 = C.D L5 = E.F .G L 6 = L3 + L 4 + L5 L 6 = A.B + C.D + EFG

2.3 b. Product of Sum : Untuk menjelaskan product of Sum, perlu dikaji ulang mengenai penjumlahan dua peubah atau lebih ialah fungsi OR yang berinput dua atau lebih sebanyak satu atau lebih gerbang OR yang dijalin dalam bentuk perkalian fungsi AND dengan gerbang AND berinput dua atau lebih. Misal :


24 Persamaan 2.4 dapat diwujudkan menjadi untai elektronik yang menggunakan gerbang OR (11) dan gerbang OR (12) berinput 2 serta gerbang OR (13) berinput 3 yang dijalin dengan gerbang AND (14) berinput 3.L7 = A + B L8 = C + D L9 = E + F + G L10 = L7 + L8 + L9

L10 = ( A + B )( C + D )( E + F + G )

2.4A B C D E F G 1 15V 5V 0V 0V 0V 5V 5V L7 L8 L9

1 2 1 3

1 4L10

Gambar 2.3. Product Of Sum 2.4 Persamaan 2.4 dapat diwujudkan menjadi untai elektronik yang menggunakan 2 gerbang OR berinput 2 dan gerbang OR berinput 3 yang dijalin dengan gerbang AND berinput 3. Apakah fungsi yang ditulis dalam sum of product dapat diubah menjadi product of sum atau sebaliknya ? Mengingat hukum aljabar boole pada umumnya dan aturan de Morgan khususnya akan dapat menjawab permasalahan tersebut., bahkan dengan memahami soal latihan pada BAB I persoalan akan menjadi lebih mudah untuk diselesaikan. 2. Cara Menyederhanakan Fungsi Aljabar Boole : Keberlakuan hukum aljabar boole dapat digunakan untuk mem-peroleh fungsi yang sederhana, hingga akan menghemat


25 pemakaian gerbang logika, mengurangi kesulitan merangkai dan kesalahan sambung antar gerbang. Misal : suatu penelitian mengenai perilaku siswa di sekolah L11 dengan ubahan kehadiran guru kelas A , guru jaga B dan kepala sekolah C . Perilaku yang diamati bernilai 1 jika siswa giat belar dan bernilai 0 jika ramai, sedang kehadiran guru di sekolah bernilai 1 jika hadir dan bernilai 0 jika izin tidak ngantor di sekolah; Hasil penelitian ditabelkan : Semua persamaan L11 pada tabel 2.1 dapat ditulis menjadi persamaan 2.5 yang bila diwujudkan dalam untai elektronik gambar 3.4. Tetapi bila disederhanakan menggunakan hukum aljabar boole menjadi persamaan yang sangat sederhana ialah : L11 = A yang berarti menjadi untai berupa satu kabel yang menghubungkan output dengan input A Tabel 2.1. Perilaku Siswa No A B C L11 Persamaan L11 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 0 L1 = A.B.C 1 4 1 0 0 1 L1 = A.B.C 1 5 1 0 1 1 L1 = A.B.C 1 6 1 1 0 1 L11 = A.B.C 7 1 1 1 1

Jamzuri : Teknik DigitalA B C 1 5 1 6 1 8 2 1 1 9 2 05V 0V 0V 5V L11 L11

26A 1 7

Gambar 2.4.Untai panjang L11 = AL1 = A.B.C +A.B.C +A.B.C +A.B.C 1

2.5L1 = A[ B.(C +C )] +A[ B.( C +C )] 1

(Distributif)L1 =A[ B.(1) +A[ B.( 1) 1 ] ]

(Komplemen)L1 = A[ B ] +A[ B ] 1

(Konjungsi)L1 = A[ B +B ] 1

3.

(Distributif) L11 = A (Komplemen) Peta Karnaugh Dengan hukum aljabar boole untuk menyederhanakan suatu fungsi, tetapi selalu menjadi pertanyaan, Apakah fungsi telah paling sederhana ? Peta karnaugh merupakan salah satu model cepat untuk menyederhanakan suatu fungsi, berdasarkan peraturan penggunaan sebagai berikut : a. Tiap sel bermakna sebagai kombinasi peubah. b. Untuk n jumlah peubah diperlukan 2n sel. c. Perbedaan antar sel selalu simetris.


27 d. Semua kombinasi peubah yang ditulis dalam bentuk Sum of Product masing-masing fungsi AND dimasukkan dalam sel yang sesuai dengan cara memberi tanda 1. e. Sesuai hukum komplemen bersebelahan yang diberi tanda 1 dapat dihilangkan hingga hanya peubah yang sama boleh muncul. f. Pengelompokan 2 sel akan menghilangkan satu peubah, atau mungkin dapat terjadi suatu suku hilang karena hukum penyerapan. g. Jika satu suku peubah telah disederhanakan, persamaan akhir diperoleh dengan menulis semua suku dan menjalin kembali secara disjungsi. h. Peta karnaugh disingkat dengan sebutan peta K.

4.

Peta Karnaugh 3 Ubahan AA.B.C

C 5 4 A.B.C

A.B.C A.B.C A.B.C

7 6A.B.C

3 2 A.B.C

1 0A.B.C

B Gambar 2.5 Peta K 3 Ubahan Gambar 2.5 peta K 3 ubahan A , B dan C mempunyai sel sejumlah 23 = 8 yang bernilai desimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dengan A = 2 2 sebagai MSB most significant bit B = 21 dan C = 2 0 sebagai LSB low significant bit 5. Contoh Penggunaan Peta Karnaugh 3 Ubahan Contoh 1 :Y = A.B.C +A.B.C +A.B.C +A.B.C

2.6 Cara lain untuk menulis persamaan 2.6 adalah :

Jamzuri : Teknik Digitalm Y ( A, B, C ) = (4,5,6,7)

28

2.7 Gambar 2.6 adalah ubahan persamaan 2.5 yang sama dengan persamaan 2.6 juga sama dengan persamaan 2.7 kemudian dimasukkan dalam sel peta Karnaugh 3 ubahan. Persamaan 2.7 lebih memudahkan memasukkan ubahan dalam sel Peta K dengan melihat nilai desimal sel yang ada masuk dalam peta K kemudian diberi tanda 1. Perhatikan gambar 2.5 pada sel bilangan desimal 4,5,6 dan 7, yang tidak lain merupakan ubahan persamaan 2.6. Bila ke empat ubahan yang diberi tanda 1 sesuai sel yang tertulis dalam persamaan 2.6 maka secara keseluruhan diberi warna hijau yang tidak lain merupakan daerah A Maka persamaan 2.6 menjadi : Y =A 2.8 A C 1 1 1 1 B Gambar 2.6 Peta K 3 Ubahan Y = A Contoh 2 :Y = A.B.C +A.B.C +A.B.C +A.B.C

2.9 Cara lain untuk menulis persamaan 2.9 adalah : 2.10 Perhatikan gambar 2.5 pada sel bilangan desimal 2, 3, 6 dan 7, yang tidak lain merupakan ubahan persamaan 2.9. Gambar 2.6. ke empat ubahan yang diberi tanda 1 sesuai sel yang tertulis dalamm Y ( A, B, C ) = (2,3,6,7)


persamaan 2.9 (warna hijau) merupakan daerah persamaan 2.9 menjadi : Y =B 2.11 A C 1 1 B Gambar 2.6 Peta K 3 Ubahan Y = B Contoh 3 :Y = A.C +A.C +( A +B ).C +A.B.C +( A +B ). C

B

29 Maka

1 1

2.12


30

A B C 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 9 3 0 3 10V 5V 5V L12

3 3

2 7

2 8

3 4

3 2

Gambar

2.7.

Untai

Y = A.C +A.C +( A +B ).C +A.B.C +( A +B ). C

Langkah untuk menyederhanakan persamaan 2.12 yang menggunakan 13 gerbang (22 sampai 34) menjadi persamaan 2.14 fungsi NAND dan NOR harus diubah menjadi bentuk AND dan OR dengan hukum de Morgan, kemudian ubahan yang diperoleh dimasukkan ke dalam sel peta K yang sesuai (gambar 2.8). Sebagai keuntungan penyederhanaan persamaan 2.13 menjadi persamaan 2.14 diperoleh penghematan jumlah gerbang dari 13 menjadi hanya 2 gerbang, ialah AND (35) dan OR (36) dirangkai menjadi untai gambar 2.9.Y = A.C + A.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

A.C = ( A C ) = (5,7) B M

2.13

A.B.C = ( A C ) = (7) B M

A.C = ( A C ) = (1,3) B M

A.B.C = ( A C ) = (6) B M


31

Y = C + A.B

A.B.C = ( A C ) = (1) B M

2.14 A C 5 7 6 B Gambar 2.8. Y = C + A.BA B C

3

1

3 50V 5V 5V

3 6L13

Gambar 2.9. Untai Y = C + A.B 6. Peta Karnaugh 4 Ubahan Gambar 2.10 peta K 4 ubahan A , B , C dan D mempunyai sel sejumlah 23 = 8 yang bernilai desimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dengan A = 2 3 sebagai MSB most significant bit B = 2 2 , C = 21 dan D = 2 0 sebagai LSB low significant bit. Bila sel dilipat pada sumbu semitris bujur sangkar kedelapan sel, maka selisih nilai biner atau nilai desimal tiap sel yang semetris akan semitris pula, sehingga dapat merupakan indikator bahwa pemodelan peta K telah benar.


32 Ubahan A, B, C dan D dapat dipertukarkan dengan selisih nilai biner atau desimal yang masih tetap simetris terhadap sumbu simetris bujur sangkar kedelapan sel. Jika kesimetrisan tidak terpenuhi pasti ada kesalahan memasukkan nilai biner atau desimalnya, Sehingga dapat menjadi sumber kesalahan dalam menyederhanakan fungsi. AA.B.C .D A.B.C .D A.B.C .D A.B.C .D

10 C 11 9 8

14 15 13

6 7 5

2 3 D 1

A.B.C .D A.B.C .D A.B.C .D A.B.C .D



12 4 0 B Gambar 2.10. Peta K 4 Ubahan

7.

Contoh Penggunaan Peta Karnaugh 4 UbahanY1 = A.B.C .D + A.B.C .D + A.B.C .D + A.B.C.D

2.15Y2 = A.B.C.D +A.B.C .D +A.B.C .D +A.B.C .D

Y = Y1 + Y2

2.16 2.17

Untuk menyelesaikan persamaan 2.17 dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan sel peta K yang berdekatan, hingga memungkin kan untuk disederhanakan.D Y ( ABC ) = (8,9,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) M 0 1 2 3 4 5

Y1 = ( A C B D ) = (10 ,11 ,14 ,15 ) M

2.18


33

Y1 = A.C

Y2 = ( ABC ) = (8,9,12 ,13 ) D M Y2 = A.C

Y = Y1 + Y2Y = A(C +C )

Y = A.(1)

Y =A 2.17A 10 C 11 9 8 15 D 13 12 B Gambar 2.11. Peta K 4 Ubahan Y = A Persamaan 2.15 adalah persamaan 2.6 dikalikan D , sedang persamaan 2.16 adalah persamaan 2.6 dikalikan D jika persamaan 2.15 dijumlahkan dengan persamaan 2.16 menjadi persamaan 2.17 yang dapat ditulis dengan cara lain ialah persamaan 2.18. Dengan cara seperti gambar 2.11 persamaan 2.18 lebih memudahkan memasukkan ubahan dalam sel Peta K dengan melihat nilai desimal sel yang ada masuk dalam peta K kemudian diberi tanda 1. Perhatikan gambar 2.11 pada sel 8,9,10,11,12,13,14,15 bilangan desimalnya, yang tidak lain merupakan ubahan 14


34 persamaan 2.17. Bila ke delapan ubahan yang diberi tanda 1 sesuai sel yang tertulis dalam persamaan 2.18 maka secara keseluruhan diberi warna hijau yang tidak lain merupakan daerah A Maka persamaan 2.17 menjadi : Y =AA B C D 3 7 4 0 4 1 3 8 4 2 3 9 4 3L14

4 8

4 9

4 4 4 5 4 6 4 75V 0V 0V 0V

L15

Gambar

Y ( ABCD

) = (8,9,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) M 0 1 2 3 4 5

2.12

Untai

direalisasikan dalam untai elektronik seperti gambar 2.12 merupakan untai panjang yang terdiri dari gerbang 37 sampai 49. Tetapi dengan penyederhanaan dapat dipersingkat hanya dengan sebuah kabel saja yang dihubungkan dengan sakelar L15 = A . Bukti lain dapat dilakukan dengan mengisi tabel kebanaran seperti pengujian pada bab sebelumnya.

L1 = Y ( A C 4 B D ) = (8,9,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) jika M 0 1 2 3 4 5

Persamaan


35

Contoh lain

Y =B

m Y ( A, B, C , D) = ( 4,5,6,7,12 ,13 ,14 ,15 )

adalah

Y =D

m Y ( A, B, C , D) = (2,3,6,7,8,9,13 ,14 ,15 ) adalah Y = C m adalah Y ( A, B, C , D) = (1,3,5,7,9,11 ,13 ,15 )

bab ii menyederhanakan fungsi

Documents