bab 1 peluang dan ekspektasi...

BAB 1

Peluang dan EkspektasiBersyarat

1.1 EKSPEKTASI

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ek-spektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah

E(X) =∑

x

x pX(x)

dan

E(X) =

∫ ∞

−∞x fX(x) dx

dimana pX dan fX adalah fungsi peluang dari X.Catatan:1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yangmungkin dari X2. Ekspektasi = mean = momen pertama3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run averagevalue) dari percobaan bebas yang berulang3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!)

Contoh/Latihan:

1. Pengurus dan Anggota HIMATIKA sebanyak 120 orang akan berangkatke Jakarta dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1,40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampaitujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan

1

banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. HitungE(X). (Solusi: 40.2667)

2. Jika X ∼ Pois(λ), tentukan E(X). (Solusi: λ)

3. Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin −1, 0, 1 danpeluang:

p(−1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3

Hitung E(X2). (Solusi: 0.5)

SIFAT-SIFAT EKSPEKTASI

1. E(g(X)) =∫∞−∞ g(x) fX(x) dx

2. E(aX + b Y ) = aE(X) + b E(Y )

3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas.

4. E(X) =∫∞0

P (X > x) dx, untuk X > 0 (*)

5. E(Xr) =∫∞−∞ xr fX(x) dx (momen ke-r)

6. E((X − µX)r) =∫∞−∞ (x− µX)r fX(x) dx (momen pusat ke-r)

7. E((X − µX)2) = V ar(X) = E(X2)− (E(X))2

Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X.

8. E(etX) =∫∞−∞ etx fX(x) dx = MX(t) (fungsi pembangkit momen)

9. M ′X(0) = E(X), M ′′

X(0) = E(X2)

Contoh/Latihan:

1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorangpemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak:

y 0 1 2 3 4 5 6p(y) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05

Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemainsepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilihacak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain men-ciptakan 3 atau lebih gol?

MA4081 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

Solusi:

P (Y ≥ 3) = 0.4 = P (’sukses’) = p

E(W ) = n p = 4 (0.4) = 1.6

2. Misalkan X peubah acak dengan MX(t) sebagai fungsi pembangkit mo-men. Didefinisikan f(t) = ln MX(t). Tunjukkan bahwa f ′′(0) = V ar(X)

Solusi:

f ′(t) = M ′X(t)/MX(t)

f ′′(t) =M ′′

X(t) MX(t)− (M ′X(t))2

(MX(t))2

saat t = 0,

f ′′(0) =M ′′

X(0) MX(0)− (M ′X(0))2

(MX(0))2= E(X2)− (E(X))2 = V ar(X)

dimana MX(0) = 1,M ′X(0) = E(X),M ′′

X(0) = E(X2).

3. Diketahui fungsi peluang:

f(x) = c (4x− 2x2), 0 < x < 2

Hitung E(X) dan P (1/2 < X < 3/2)

Solusi:∫ 2

0

f(x) dx =

∫ 2

0

c(4x− 2x2) dx = 1

Diperoleh c = 3/8.

E(X) =

∫x 3/8 (4x− 2x2) dx = 1

P (1/2 < X < 3/2) =

∫ 3/2

1/2

3/8 (4x− 2x2) dx = 11/16

4. Diketahui X ∼ B(n, p). Buktikan:

E

(1

X + 1

)=

p + q(1− qn)

(n + 1)p


Bukti:

E

(1

X + 1

)=

n∑i=0

1

i + 1n!(n− i)! i! pi qn−i

=n∑

i=0

n!(n− i)! (i + 1)! pi qn−i

=1

(n + 1)p

n∑i=0

Cn+1i+1 pi+1 qn−i

=1

(n + 1)p

n+1∑j=1

Cn+1j pj qn+1−j

=1

(n + 1)p

[1− Cn+1

0 p0 qn+1−0]

=1

(n + 1)p

(1− qn+1

)

=p + q − qn+1

(n + 1)p

=p + q(1− qn)

(n + 1)p

5. Diketahui:

f(x) =1

Γ(r)(λx)r−1 λ exp(−λx)

Tentukan E(Xk), k = 2, 3

Solusi:

X ∼ Gamma(r, λ)

dengan MX(t) = (1− λ t)−r.

M ′′X(t) = · · · , M ′′′

X (t) = · · ·

6. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Tun-jukkan bahwa:

E(Xn

)= θ E

((X + 1)n−1

)


Bukti:

E(Xn

)=

∞∑i=0

in e−λ λi / i!

=∞∑i=1

in e−λ λi / i!

=∞∑i=1

in−1 e−λ λi / (i− 1)!

=∞∑

j=0

(j + 1)n−1 e−λ λj+1 / j!

= λ

∞∑j=0

(j + 1)n−1 e−λ λj / j!

= λE((X + 1)n−1

)

7. Misalkan X menyatakan lama (jam) mhs belajar TP dan fungsi peluangX adalah sbb:

f(x) =

{x− 2, 2 ≤ x < 314, 4 < x < 6

(a) Berapa persen mhs menghabiskan waktu lebih dari 150 menit utkbelajar TP ?

(b) Berapa rata-rata lama waktu mhs belajar TP ?

(c) Jika seorang mhs menghabiskan waktu lebih dari 130 menit, berapapeluang mhs itu selesai belajar kurang dari 4.5 jam ?

(d) Hitung P (X = 2), P (X = 3), P (X = E(X)), P (X < E(X))

Solusi:

(a) P (X > 2.5) =∫ 3

2.5(x− 2) dx +

∫ 6

41/4 dx

(b) E(X) = 10/3

(c) P (X < 4.5|X > 13/6) = P (13/6 < X < 4.5)/P (X > 13/6)

(d) P (X = E(X)) = 0, P (X < E(X)) = P (X < 10/3) = 1/2


8. Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi

F (x) =

0, x < −20.2, −2 ≤ x < 00.5, 0 ≤ x < 2.20.6, 2.2. ≤ x < 30.6 + q, 3 ≤ x < 40.6 + 2q, 4 ≤ x < 5.51, x ≥ 5.5

dan diketahui P (X > 3.3) = 0.25.a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X atau MX(t)b. Gunakan MX(t) untuk menentukan Var(X).

Solusi:

p(−2) = 0.2, p(0) = 0.3, p(2.2) = 0.1, p(3) = q, p(4) = q, p(5.5) = 0.4−2q

P (X > 3.3) = p(4) + p(5.5) = q + 0.4− 2q = 0.25 ⇔ q = 0.15

a.

MX(t) = E(etX) =∑

etx p(x)

= e−2t p(−2) + e0t p(0) + e2.2t p(2.2) + e3t p(3) + e4t p(4) + e5.5t p(5.5)

= 0.2 e−2t + 0.3 + 0.1 e2.2t + 0.15 e3t + 0.15 e4t + 0.1 e5.5t

b.

M ′X(t) = 0.2 e−2t + 0.3 + 0.1 e2.2t + 0.15 e3t + 0.15 e4t + 0.1 e5.5t

= −0.4 e−2t + 0.22 e2.2t + 0.45 e3t + 0.6 e4t + 0.55 e5.5t

M ′X(0) = −0.4 + 0.22 + 0.45 + 0.6 + 0.55 = 1.42


1.2 FUNGSI PELUANG BERSAMA

Ilustrasi. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akanmengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan padaseseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaanjuga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaanyang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jikaseorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, kitadapat menentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Selainitu, kita juga dapat menentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) padatahun berikutnya.

Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi diruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama (joint pmf) dari X dan Yadalah

pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y)

Catatan:1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran(outcome) dari percobaan yang sama

2. {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadiandimana X bernilai x dan Y bernilai y

ProposisiFungsi peluang bersama pX,Y memenuhi sifat-sifat berikut:

1. pX,Y (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y)

2. (x, y) ∈ R2 : pX,Y (x, y) 6= 0 terhitung

3.∑∑

x,y pX,Y (x, y) = 1

ProposisiMisalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan padaruang sampel yang sama. Maka,

pX(x) =∑

y

pX,Y (x, y), x ∈ R


dan

pY (y) =∑

x

pX,Y (x, y), y ∈ R

adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y .

Contoh/Latihan:

1. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumahyang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi):

X\Y 2 3 4 5 Total2 3 0 0 03 14 12 2 0 284 2 11 5 1

Total 23 50

a. Hitung pX,Y (3, 2)b. Tentukan fungsi peluang bersama dari X dan Y

Solusi:

X\Y 2 3 4 5 Total2 0.06 0.00 0.00 0.00 0.063 0.28 0.24 0.04 0.00 0.564 0.04 0.22 0.10 0.02 0.38

Total 0.38 0.46 0.14 0.02 1.00

2. Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan jugaX dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluangbersama dari X dan Y adalah

pX,Y (x, y) = p2 (1− p)x+y−2, x, y ∈ N

dimana 0 < p < 1. Tentukan dan identifikasikan fungsi peluang marginaldari X dan Y .

Solusi:

pX(x) =∑

y

pX,Y (x, y) =∞∑

y=1

p2 (1− p)x+y−2

= p2 (1− p)x−2

∞∑y=1

(1− p)y = p (1− p)x−1


3. Diantara 8 orang politisi: 2 Golkar, 2 Demokrat, 4 PDIP. Tiga dari 8politisi ini dipilih secara acak dengan pengembalian. Misalkan X adalahbanyaknya Golkar, Y banyaknya Demokrat. Tentukan fungsi peluangbersama X dan Y . Hitung P (X = Y )

Solusi:

pX,Y (x, y) = C3x,y,3−x−y (1/4)x (1/4)y (1/2)3−x−y, x, y = 0, 1, 2, 3

X\Y 0 1 2 3 Total0 1/8 3/16 3/32 1/64 27/641 3/16 3/16 3/64 0 27/642 3/32 3/64 0 0 9/643 1/64 0 0 0 1/64

Total 27/64 27/64 9/64 1/64 1

4. Pandang keadaan pada soal 2. Tentukan peluang bahwa (a) kedua kom-ponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam? (b) salah satu komponenbertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain?

Solusi:

∑x>4

∑y>4

pX,Y (x, y) =∞∑

x=5

∞∑y=5

p2 (1− p)x+y−2

= · · · = (1− p)8

P (X ≥ 2Y ) + P (Y ≥ 2X) = 2 P (X ≥ 2Y )

= 2∞∑

y=1

∞∑x=2y

p2 (1− p)x+y−2

= · · · = 2(1− p)

3− 3p + p2

Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisidi ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y , FX,Y

adalah

FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y), x, y ∈ R

Contoh:


Misalkan sebuah titik diambil secara acak dari

{(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1}

Misalkan X dan Y menyatakan koordinat x dan y dari titik yang terpilih.Tentukan fungsi distribusi bersama dari X dan Y .Jawab:Kasus 1: x < 0, y < 0Kasus 2: 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1Kasus 3: 0 ≤ x < 1, y ≥ 1Kasus 4: x ≥ 1, 0 ≤ y < 1Kasus 5: x ≥ 1, y ≥ 1

Proposisi.Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yangsama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d,

P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = FX,Y (b, d)−FX,Y (b, c)−FX,Y (a, d)+FX,Y (a, c)

Definisi.Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang didefinisikan padaruang sampel yang sama. Fungsi non-negatif fX,Y adalah fungsi peluangbersama dari X dan Y untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b danc < d,

P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =

∫ b

a

∫ d

c

fX,Y (x, y) dxdy

Catatan:

fX,Y (x, y) =∂2

∂x ∂yFX,Y (x, y) =

∂2

∂y ∂xFX,Y (x, y)

Proposisi.Suatu fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi2 sifat berikut1. fX,Y (x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y) ∈ R2

2.∫∞−∞

∫∞−∞ fX,Y (x, y) dxdy = 1

ProposisiMisalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi


peluang bersama fX,Y (x, y). Maka

fX(x) =

∫ ∞

∞fX,Y (x, y)dy, x ∈ R

dan

fY (y) =

∫ ∞

∞fX,Y (x, y)dx, y ∈ R

adalah fungsi peluang marginal dari X dan Y .

Contoh/Latihan:

1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama

(i) f(x, y) = c (y2 − x2) e−y, −y ≤ x ≤ y, 0 < y < ∞

(ii) f(x, y) = c x y2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

a. Tentukan cb. Tentukan fungsi peluang marginal X dan Yc. Hitung P (Y > 2X)d. Apakah X dan Y saling bebas?

Solusi:a. Untuk menentukan c:

1 =

∫ ∞

0

∫ y

−y

c (y2 − x2) e−y dx dy = 8c

Jadi c = 1/8.

b. Fungsi peluang marginal:

fX(x) = 1/4 e−|x| (1 + |x|)fY (y) = 1/6 y3 e−y, y ≥ 0

c.

P (Y > 2X) =

∫ ∞

0

∫ y/2

−y

c (y2 − x2) e−y dx dy = · · ·

d. X dan Y tidak saling bebas.


Catatan: X dan Y saling bebas jika

f(x, y) = fX(x) fY (y)

2. Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y .Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah

fX,Y (x, y) = λµ exp(−λx + µy), x, y > 0

dimana λ > 0, µ > 0a. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat tb. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang per-tama kali rusakc. Tentukan peluang bahwa komponen B adalah komponen yang per-tama kali rusak

Solusi:

a. P (X > t, Y > t) =

∫ ∞

t

∫ ∞

t

λµ e−(λ x+µ y) dy dx

= · · · = e−(λ+µ)t

b. P (X < Y ) =

∫ ∞

0

∫ ∞

x

λµ e−(λ x+µ y) dy dx

= · · · = λ

λ + µ

3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusa-haan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besarnilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap,perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y . Perusahaanmenentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama

fX,Y (x, y) =2

x2(x− 1)y−(2x−1)/(x−1), x > 1, y > 1

a. Tentukan fX(x)b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluangbahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3.


Solusi:

a. fX(x) =

∫ ∞

1

2

x2(x− 1)y−(2x−1)/(x−1) dy

= · · ·

b. P (1 < Y < 3|X = 2) =

∫ 3

1

(fX,Y (x, y)

fX(x)

∣∣∣X=2

)dy

= · · · = 8/9


1.3 EKSPEKTASI BERSYARAT

Ilustrasi 1. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu disuatu pabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cederasetiap kecelakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua.Asumsikan bahwa banyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan salingbebas dengan banyaknya kecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang ter-luka rata-rata per minggu?

Ilustrasi 2. Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yangmemiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowon-gan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akanmembawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masing-masingempat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2,dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expectednumber of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat?

Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. JikapX(x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi:pY |X(y|x)), adalah

pY |X(y|x) =pX,Y (x, y)

pX(x), ∀y ∈ R

Jika pX(x) = 0, kita definiskan pY |X(y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagaifungsi peluang bersyarat.Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang!

Proposisi.Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubahacak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika

pX,Y (x, y) = pX(x) pY (y) ∀x, y ∈ R

Contoh/Latihan:

1. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan men-galami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan padaseseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Pe-rusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki pa-rameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma denganparameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami nkecelakan di tahun pertama, tentukan peluang bersyarat dari parame-ter kecelakaannya. Tentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada


tahun berikutnya.

Solusi:Misalkan N menyatakan banyak kecelakaan per tahun yang berdistribusiPoisson dengan mean λ, dimana Λ berdistribusi Gamma dengan param-eter s dan α (Catatan: Λ adalah huruf besar dari λ).

fΛ|N(λ|n) =P (Λ = λ,N = n)

P (N = n)

=1

P (N = n)P (N = n|Λ = λ) fΛ(λ)

=1

P (N = n)

e−λ λn

n!

sα

Γ(α)λα−1 e−s λ

= C λn+α−1 e−(s+1)λ,

dengan C konstanta. Fungsi peluang fΛ|N haruslah berdistribusi Gammadengan parameter s + 1 dan n + α. Jadi,

fΛ|N(λ|n) =(s + 1)n+α

Γ(n + α)λn+α−1 e−(s+1)λ

Banyak kecelakaan yang diharapkan (expected number of accidents),E(Λ|N = n), adalah nilai harapapan (expected value) dari distribusiGamma dengan parameter s + 1 dan n + α yaitu (n + α)/(s + 1).

2. Banyaknya orang Z yang datang ke ruang UGD selama sejam memi-liki distribusi Poisson dengan parameter λ. Peluang orang yang datangadalah laki-laki adalah p dan peluang perempuan datang adalah q. Mis-alkan X dan Y berturut-turut adalah banyaknya laki-laki dan perem-puan yang datang ke UGD selama sejam.a. Tunjukan bahwa X ∼ POI(pλ) dan Y ∼ POI(qλ)b. Apakah X dan Y saling bebas?

Solusi:Peubah acak Z berdistribusi Poisson:

fZ(z) =e−λ λz

z!, z = 0, 1, 2, . . .

Untuk Z = z, maka kedatangan pasien laki-laki adalah peubah acakBinomial dengan parameter (z, p):

fX|Z(x|z) = Czx px (1− p)z−x, x = 0, 1, . . . , z


dan untuk pasien perempuan:

fY |Z(y|z) = Czy qx (1− q)z−y, y = 0, 1, . . . , z

Sehingga fungsi peluang bersama X dan Y diberikan Z = z:

fX,Y |Z(x, y|z) = Czx,y px qy, x + y = z

Untuk mendapatkan fungsi peluang marginal dari X, kita hitung

fX(x) =∑

z

fX,Z(x, z) =∑

z

fX|Z(x|z) fZ(z)

= · · · = e−pλ (pλ)x

x!

Jadi, X ∼ POI(pλ). Dengan cara sama, kita peroleh Y ∼ POI(qλ).Selanjutnya, untuk menentukan apakah X dan Y saling bebas kita tun-jukkan bahwa

fX,Y (x, y) =∑

z

fX,Y,Z(x, y, z) =∑

z

fX,Y |Z(x, y|z) fZ(z) = fX(x) fY (y)

Misalkan X berdistribusi Uniform pada selang (0, 1). Misalkan Y = Xn. Maka

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (Xn ≤ y)

= P (X ≤ y1/n)

= FX(y1/n) = y1/n

dan fungsi peluang dari Y adalah

fY (y) = (1/n) y1/n−1, 0 ≤ y ≤ 1

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang fX . Misalkan Y = X2,

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X2 ≤ y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= FX(√

y)− FX(−√y)

dan fungsi peluangnya adalah

fY (y) =1

2√

y

(fX(

√y)− fX(−√y)

)


Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak positif saling bebas. Misalkan(i) Z = X/Y (ii) Z = XY , maka

FZ(z) = P (Z ≤ z) = P (X/Y ≤ z)

= P (X ≤ zY )

=

∫ ∞

0

∫ zy

0

fX(x) fY (y) dx dy

=

∫ ∞

0

fY (y)

∫ zy

0

fX(x) dx dy

=

∫ ∞

0

fY (y) FX(zy) dy

dan fungsi peluangnya:

fX/Y (z) = · · · =∫ ∞

0

y fY (y) fX(zy) dy

Misalkan X dan Y saling bebas dan kita ingin menentukan fungsi distribusidan fungsi peluang X + Y ,

FZ(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z)

= P (X ≤ zY )

=

∫ ∞

−∞

∫ z−y

−∞fX(x) fY (y) dx dy

=

∫ ∞

−∞

∫ z−y

−∞fX(x) dx fY (y) dy

=

∫ ∞

−∞FX(z − y) fY (y) dy,

dimana fungsi distribusi FX+Y ini disebut “konvolusi” dari distribusi FX danFY . Fungsi peluangnya adalah

fX+Y (z) =d

dz

∫ ∞

−∞FX(z − y) fY (y) dy

=

∫ ∞

−∞

d

dzFX(z − y) fY (y) dy

=

∫ ∞

−∞fX(z − y) fY (y) dy

Tentukan distribusi dari X +Y jika X dan Y peubah acak-peubah acak salingbebas berdistribusi (i) Uniform(0, 1) (ii) Poisson dengan parameter λi.


Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu denganfungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX(x) > 0 maka ekspektasi bersyaratdari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusibersyarat Y diberikan X = x,

E(Y |X = x) =

∫ ∞

−∞y

fX,Y (x, y)

fX(x)dy =

∫ ∞

−∞y fY |X(y|x) dy

Proposisi.Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsipeluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka

E(Y ) =

∫ ∞

−∞E(Y |X = x) fX(x) dx

atau

E(Y ) = E(E(Y |X = x))

Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu denganfungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX(x) > 0 maka variansi bersyaratdari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusibersyarat Y diberikan X = x,

V ar(Y |X = x) = E((

Y − E(Y |X = x))2

∣∣∣X = x)

Proposisi.Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsipeluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka

V ar(Y ) = E(V ar(Y |X = x)) + V ar(E(Y |X))

Latihan:

1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi eluang bersama

f(x, y) = e−x(y+1), 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e− 1

a. Tentukan fY (y)b. Hitung P (X > 1|Y = 1

2)

c. Hitung E(X|Y = 12)


Solusi:

P (X > 1|Y =1

2) =

∫ ∞

1

e−x(y+1)

1/(y + 1)dx

=

∫ ∞

1

3

2e−

32

x dx

= e−3/2

2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jikadia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumahadalah peubah acak berdistribusi Seragam pada selang (20, 20+ (2t)/3).Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menituntuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah?

Solusi:

Y ∼ U(0, 60), X|Y = y ∼ U(20, 20 + (2y)/3).

E(X) =

∫ 60

0

E(X|Y = y) fY (y) dy = 30

3. Jika Xi ∼ Bin(ni, p), tentukan E(X1 + X2|X1)

4. Jika X dan Y peubah acak-peubah acak Poisson saling bebas denganparameter λx dan λy, tentukan E(X|X + Y = n). Bagaimana jika Xdan Y berdistribusi Geometrik identik dengan parameter p?

Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka

fX,Y (x, y) = fX(x) gY (y),

Akibatnya,

E(XY ) = E(X) E(Y )

Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h,

E(g(X)h(Y )

)= E

(g(X)

)E

(h(Y )

)

Definisi:Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah

Cov(X, Y ) = E((

X − E(X)) (

Y − E(Y )))


Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi).

Sifat-sifat kovariansi

• Cov(X, Y ) = Cov(Y,X)

• Cov(X, X) = V ar(X)

• Cov(a X, Y ) = aCov(X,Y )

• Cov(∑n

i=1 Xi,∑m

j=1 Yj

)=

∑ni=1

∑mj=1 Cov(Xi, Yj)

Perhatikan bahwa:

V ar

(n∑

i=1

Xi

)= Cov

(n∑

i=1

Xi,

n∑j=1

Xj

)

=n∑

i=1

n∑j=1

Cov(Xi, Xj)

=n∑

i=1

V ar(Xi) +∑∑

i6=j

Cov(Xi, Xj)

Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X,Y ), didefinisikan se-bagai

ρ(X,Y ) =Cov(X,Y√

V ar(X) V ar(Y ),

asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa

−1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ 1

Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilaiρ(X,Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yangtinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membe-sar apabila X membesar. Jika ρ(X,Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidakberkorelasi.

Latihan:

1. Tunjukkan bahwa

Cov(X, E(Y |X)) = Cov(X, Y )


2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh

P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2.

Didefinisikan

Y = X, jika I = 1; Y = −X, jika I = 0

Tunjukkan bahwa

Cov(X, Y ) = 0


bab 1 peluang dan ekspektasi...

Documents