b solenoidale ^ legge di faraday neumann lenz ^ legge di gauss ^ equazioni di maxwell nel vuoto i...
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B solenoidale 0 '
chiusaS
dSnB ^
Legge di Faraday Neumann Lenz
^ )'(
S
dSdt
ddfem nBlE
Legge di Gauss
Q
' S interna
ochiusaS
dS
nE ^
Equazioni di Maxwell nel vuotoEquazioni di Maxwell nel vuoto
oρ/ε E oρ/ε E
I eq. Maxwell
t
B
Et
BE II eq. Maxwell
0 B 0 B III eq. Maxwell
JB o JB o
equaz. Maxwell magnetostaica
^ '
S
o dSd nJlB
tεoo
Et
εoo
E
^ )' (
ΓS
oo dSεt
μ nE
IV equazione di Maxwell ? IV equazione di Maxwell ?
+ nuovo termine
Legge di Ampère - Maxwell
Hanno validità più generale rispetto a quelle per la magnetostatica
Hanno validità più generale rispetto a quelle per la magnetostatica
IV eq. Maxwell
0 J 0 '
chiusaS
dSnJ ^
valida solo con correnti stazionarie
JB oequazione Maxwell magnetostaica
JB o0
corrente di spostamentoattraverso superficie S
S
dSt
'
n
D ^
tt
εo
oo
)(
DE ; densità di corrente di spostamentot
D
Corrente di SpostamentoCorrente di Spostamento
IV eq. Maxwell vale nel caso generale IV eq. Maxwell vale nel caso generale
JB ot
εoo
EIV eq.Maxwell
JB o0t
εoo
)( E
Eo Jt
Nuovo termine continuità della caricaNuovo termine continuità della carica
t
ρ
J
In generale: eq. continuità della carica
t
QdS erno S
chiusaS
)(
' int
nJ ^
I
B Filo: corrente stazionaria
0 J
0
tfiloE
ΓRArea S
Condensatore pianoCondensatore piano
I=dQ/dt , Q carica condensatoreI=dQ/dt , Q carica condensatore
^ '
S
o dSd nJlB ^ ) (
ΓS
filooo dS
tεμ n
E
SoIRB 2R
IB o
2
attraverso S
attraverso SLegge di Ampère- Maxwell
Se calcolo B nella stessa posizione con
dovrei avere stesso risultato (Stokes)
Se calcolo B nella stessa posizione con
dovrei avere stesso risultato (Stokes) attraverso S’legge di Ampère - Maxwell
ΓRArea S
I
B
Superficie S’
^
'
S
o dSd nJlB ^ ) )(('
S
oo dSεt
μ nE
attraverso S’ attraverso S’legge di Ampère- Maxwell
Flusso attraverso S’ : senza corrente di spostamento
Flusso attraverso S’ : senza corrente di spostamento 0
lB d B=0
t
Q
t
AtRB oo
))((2
R
IB o
2
+ + + +
-E
I
ΓS
S’- - -
Area A
- +B B
00
)()()(
A
tQttE
I=dQ/dt
Equazioni di Maxwell nello spazio libero (=J=0):onde elettromagnetiche
Equazioni di Maxwell nello spazio libero (=J=0):onde elettromagnetiche
) II ( t
BE
)(
t
B
E
)( 2 EEE
1
2
2
22
tc
E
EEq. di D’Alambert (delle onde)
10x31 8 m/s με/c oo vel. luce nel vuoto
) II ( ) I ( 0t
BEE
(IV) (III) 0t
εoo
E
BB
)(
2
2
tt oo
EB IV eq. di
Maxwell
1
2
2
22
tc
E
E 2
2
22 1
t
E
cE x
x
2
2
22 1
t
E
cE y
y
2
2
22 1
t
E
cE z
z
Analogamente dalle (IV), (III) e (II)Analogamente dalle (IV), (III) e (II)
1
2
2
22
tc
B
B 2
2
22 1
t
B
cB x
x
2
2
22 1
t
B
cB y
y
2
2
22 1
t
B
cB z
z
6 equazioni delle onde (scalari) Ei , Bi i=x,y,x
6 equazioni delle onde (scalari) Ei , Bi i=x,y,x
Soluzioni : caso “unidimensionale” g= f ( x ± ct )
Soluzioni : caso “unidimensionale” g= f ( x ± ct )
qualsiasi funzione matematica
Componenti di E e di B si propaganonello spazio (onde elettromagnetiche)
Componenti di E e di B si propaganonello spazio (onde elettromagnetiche)
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
g
cz
g
y
g
x
g
g= Ei , Bi
i=x,y,x
6 equazioni delle onde (scalari) Ei , Bi i=x,y,x
6 equazioni delle onde (scalari) Ei , Bi i=x,y,x
Caso “unidimensionale”:
2
2
22
2 1
t
g
cx
g
combinazione lineare spazio tempo (termine di propagazione)
g= Ei , Bi
i=x,y,x
Soluzioni generali del caso ”unidimensionale”
Ei =E+ f( x -ct )+E- f( x +ct ) Bi =B+ f( x -ct )+B- f( x +ct )
Soluzioni generali del caso ”unidimensionale”
Ei =E+ f( x -ct )+E- f( x +ct ) Bi =B+ f( x -ct )+B- f( x +ct )
f (x - ct): propagazione +x f (x + ct): propagazione -x
f
x
f (0) a t=0 (x=0) f (0) a t?
x=ct
Consideriamo f (x - ct): sia f (0)
( i=x,y,x)
argomento nullox-ct=0
Es: in una zona dello spazio: J( t )
Nello spazio libero si propagano onde elettromagnetiche: chi le genera?
Nello spazio libero si propagano onde elettromagnetiche: chi le genera?
E( t )
B( t )
nelle zone circostantinelle zone circostanti
ecc. ecc. ecc. ecc.
nelle zone circostanti
B( t )
E (0,Ey,Ez) ; B (0,By,Bz) perpendicolari direzione propagazione
( onde trasversali)
E (0,Ey,Ez) ; B (0,By,Bz) perpendicolari direzione propagazione
( onde trasversali)
Caso “unidimensionale”: Ei , Bi
solo funzione x (propagano lungo x)(costanti nel piano zy) onde piane
Caso “unidimensionale”: Ei , Bi
solo funzione x (propagano lungo x)(costanti nel piano zy) onde piane
da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell
da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell
onda e.m. piana è trasversale ed ha E B
onda e.m. piana è trasversale ed ha E B
kversore propagazione ^
E
Bx
y
z
da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell : B : (0 , 0,Bz)
da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell : B : (0 , 0,Bz)
E e B direzione propagazione (asse x)
E e B direzione propagazione (asse x)
E B | | k̂
E : (0 , Ey , 0) B : (0 , 0,Bz) E : (0 , Ey , 0) B : (0 , 0,Bz)
Consideriamo E (0 , Ey , 0) (polarizzato linearmente)
Consideriamo E (0 , Ey , 0) (polarizzato linearmente)
Perturbazione J (t) periodica :
λ= cT
f(x-ct) = A sin (kx- ω t)
k = k k vettore d’onda; k = 2π / λ ^
λ = lunghezza d’onda ( distanza percorsa durante periodo T)
k direzione propagazione (| | asse x) ^
f.ne d’onda: f(x-ct) = A sin (k[x-ct])
ampiezza argomento adimensionale
c=λ /T = 2π λ / (2π T)= ω / kω=2π / T pulsazione angolare
Onde piane monocromatiche Onde piane monocromatiche
Onde piane monocromatiche Onde piane monocromatiche
f = A sin (kx-ωt) monocromatica monocromatica piana
onda piana si propaga lungo asse x fronte d’onda | | piano yz
x coordinata del punto in cui si considera il valore della grandezzache si propaga (E, B)
x coordinata del punto in cui si considera il valore della grandezzache si propaga (E, B)
Ey= Eo sin (kx- ω t) Bz= Bo sin (kx- ω t)
Bo= Eo k/ω Bo = Eo /c
z)( Ey
E
x
Exy
t
Bz
k̂x
y
zE B | | k̂
E
B
II eq. Maxwellt
BE
t
B
E
Onda e.m. piana monocromatica polarizzata linearmente
Onda e.m. piana monocromatica polarizzata linearmente
Eo k Cos(kx- ω t) = Bo ω Cos (kx- ω t)
S energia per unità di tempo attraverso superficie unitaria
(intensità istantanea dell’onda)
S energia per unità di tempo attraverso superficie unitaria
(intensità istantanea dell’onda)
(
chiusa
dwddt
dnS
V
V)^
+ lavoro del campo sulla materia
vuoto
o
22
o
B
2
1E
2
1
Vd
dUw
BES 1
o
S vettore di Poynting;
Superficie chiusa Σ
V S n
dΣ
^
Energia del campo elettromagneticoEnergia del campo elettromagnetico
Intensità media dell’onda
E2Z
1 )(
1 2
o
0
T
dttT
I S
oo
1
c
o
o
Zimpedenza
caratteristica vuoto
Bo = Eo /cBES 1
o
Per un’onda monocromatica piana:
)in )( 2 2
ωt(kxScμ
Et
o
o S )in 2 2
ωt(kxSZ
Eo
S energia per unità di tempo attraverso superficie unitaria
(intensità istantanea dell’onda)
S energia per unità di tempo attraverso superficie unitaria
(intensità istantanea dell’onda)