b m aella solucionario - inicio - anaya educación · 6 32.laclaveestáenquehayamásdivertidosenel...
TRANSCRIPT
SOLU
CIONARI
OJ. COLER
A
M.J.OLIV
EIRA
R.GARC
ÍA
E.SA
NTAELLA
Matemátic
asI
Bachille
rato1
ÍNDICE
Resolución de problemas 4
Números reales 7
Sucesiones 13
Álgebra 19
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 24
Resolución de triángulos 25
Funciones y fórmulas trigonométricas 30
Números complejos 37
TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS 50
Vectores 51
Geometría analítica. Problemas afines y métricos 56
Lugares geométricos. Cónicas 62
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 74
Funciones elementales 76
Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 90
Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 102
ANÁLISIS 117
Distribuciones bidimensionales 119
Cálculo de probabilidades 124
Distribuciones de probabilidad 130
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 135
III
9
8
7
II
6
5
4
V
15
14
13
IV
12
11
10
I
3
2
1
4
PÁGINA 11
1. Área = 800 π › 2513 m2
2. 15 estudian solo inglés.
8 estudian solo informática.
7 alumnos estudian las dos cosas.
PÁGINA 12
3. 5 hombres, una mujer y 6 niños
4. El problema tiene dos soluciones:
o bien:
PÁGINA 13
5. El cuento tiene 60 páginas (el lunes leyó 30, elmartes 10, el miércoles 5, el jueves 3 y el vier-nes las que faltan, 12 < 15).
6. x = , y =
PÁGINA 14
7. Las puertas que quedan cerradas al final delproceso, son la 1, 4, 9, 16… Es decir, las quellevan un número que es cuadrado perfecto.
PÁGINA 15
8. Cada loseta tiene un área de 250 cm2.
9. Cada loseta tiene un área de 12,5 cm2.
PÁGINA 17
10. El número máximo de monedas que podemostener para asegurar el éxito de nuestra investi-gación es 9 + 9 + 9 = 27.
11.
12. Lo primero que pasa es la oveja, porque encualquier otro caso habría festín. Más tardevuelve y se lleva la col. Como no puede dejara la oveja con la col, se trae de vuelta a la ove-ja. Deja a la oveja en su lugar de partida y selleva al otro lado del río al lobo, para que hagacompañía a la solitaria col. Vuelve, por últimavez, a por la oveja y, en lo que es el tercer via-je para esta, atraviesa definitivamente el río.
PÁGINA 18
1. 66 segundos tarda en dar las 12.
2. a) El número de monedas es 273.
b) Deberán ser eliminados 4 concursantes.
3. Hay 1400 pendientes.
4. Después de la tercera operación, quedan 2,56litros de agua.
5. La mejor lechera es la vaca blanca.
6. Es el 6 157.
7. Para confirmar las palabras de su amigo, Pedrodebió dar la vuelta al 3 y encontrar una conso-nante.
8. Si solo una de las afirmaciones fuera cierta, elculpable sería Gustavo.
Si solo una de las afirmaciones fuera falsa, elculpable sería David.
PÁGINA 19
9. Las parejas en la alfombra fueron: Alicia-Ra-món, Rocío-Pablo, Carmen-Carlos y Mercedes-Luis.
10. 1.°: Cruza un explorador con un caníbal queno sabe remar y vuelve el explorador.
2.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal,y vuelve el caníbal remero.
� � � �
� �
� �
� �
13
12
1.a ficha: 25 y 202.a ficha: 30 y 16
°¢£
°¢£
1.a ficha: 25 y 112.a ficha: 30 y 25
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
5
3.°: Cruzan dos exploradores y vuelven un ex-plorador y un caníbal.
4.°: Cruzan un explorador y el caníbal remero,y vuelve un explorador con un caníbal queno sabe remar.
5.°: Cruzan los dos exploradores y vuelve elcaníbal remero.
6.°: Cruzan el caníbal remero y otro caníbal, yvuelve el remero.
7.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbalque quedaba.
11. Con la de 24 se llenan la de 5 y la de 11. Que-dan 8 en la de 24. Se vacía la de 5 en la de 13 ycon la de 11 se llega a llenar la de 13. Con la de13 se llena la de 5 y así quedan 8 en la de 13.
Ya tenemos 8 en la de 24, 8 en la de 13 y 8 enlas otras dos.
12. Apagando la lámpara central se divide la dis-posición de lámparas en dos grupos idénticosde tres y tres.
Cada vez que el segundo jugador apague lám-paras, el primero debe replicar apagando elmismo número del otro grupo.
De esta forma, el primer jugador se asegura eléxito.
13. El primer jugador puede ganar siempre si juegaigualando el número de piedras de los dosmontones. Es claro que entonces el otro juga-dor no puede hacer otra cosa que desigualarlos.
14. 1.a pesada: En un plato de la balanza se colo-ca la pesa. En el otro se echa hari-na hasta obtener 50 g.
2.a pesada: En un plato de la balanza se colo-cala pesa y los 50 g de harina ob-tenidos antes. En el otro se echaharina hasta obtener 100 g.
3.a pesada: En un plato de la balanza se colo-ca toda la harina obtenida hastaahora (150 g). En el otro se echaharina hasta obtener 150 g.
Juntando la harina de los dos platos, se obtie-nen los 300 g.
15. Empezamos tostando un lado de la 1.a rebanaday otro de la 2.a. Después, tostamos el otro lado
de la 1.a con un lado de la 3.a. Por último, tosta-ríamos el otro lado de la 2.a con el otro de la 3.a.Así, necesitaríamos un minuto y medio para tos-tar las tres rebanadas de pan por los dos lados.
PÁGINA 20
16. En el edificio hay 120 escalones.
17. Hay tres posibilidades:
• 2 monedas de 50, 1 de 5 y 9 de 20 céntimos.
• 3 monedas de 50, 3 de 5 y 6 de 20 céntimos.
• 4 monedas de 50, 5 de 5 y 3 de 20 céntimos.
18. Con 6 barcos (incluyendo el que sale cuandollega él).
19. Para desperdiciar la menor cantidad posible depapel, conviene utilizar los que tienen un ta-maño de 22 cm Ò 34 cm.
20. a) El ángulo a es de 30° y b es de 60°.
b) Con ello, se construye el triángulo equiláte-ro fácilmente.
21. Existen 36 números con esa propiedad.
22. Deberán arder durante 2 horas y media.
23. Tiene 7 gusanos, 3 escarabajos y 2 lagartijas.
24. La velocidad media del recorrido es de 30 km/h.
25. El dígito 7.
26. Termina en 31 ceros.
27. La expresión 2103 + 3 termina en 1.
28. 59 minutos.
PÁGINA 21
29. El número de cromos de motos que hay entrelos coches de Héctor es el mismo número decromos de coches que hay entre las motos deLeticia.
30. Hay la misma cantidad de zumo en el aguaque de agua en el zumo.
31. Para conseguir que el robot pase por el puntoinicial, ha de dar 22 pasos. Para conseguir quecambie de dirección en el punto de partida,ha de dar 36 pasos.
6
32. La clave está en que haya más divertidos en elgrupo de pijos que en el grupo de macarras, yque haya muy pocos pijos melenudos. Así, sihay un pijo melenudo que sea divertido, supo-ne un porcentaje alto del total de pijos mele-nudos. Por ejemplo:
PÁGINA 22
33. I) largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm
ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm
II) La razón entre los lados del rectángulo(A0, A1, …) es .
La razón entre los lados del rectánguloMNPQ es + 1.
Para probar que MRQS es semejante aMNPQ, bastará ver que:
= + 1
34. Hemos de sacar 3 cazos de la primera vasija y9 de la segunda.
35. Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si conta-mos los 3,5 km del principio).
36. El sello que buscamos es el anterior al central(el que está en la posición 15.a).
37. Por el primero pagó 900 € y por el segundo,1 350 €.
38. a = ; b =
g =
Se observa fácilmenteque a = b + g.
39. a) $ 6765201 = {∫∫“\≠‘} $ = {∫∫∫∞‘}b) n = 104
40. a) 23 = 16 + 4 + 2 + 1
89 = 64 + 16 + 8 + 1
111 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1
Si se añaden las pesas 128 g y 256 g se pue-den realizar, con las nueve, pesadas quevan de 1 g a 511 g.
b) La pesada máxima es 121 g.
60 = 81 – 27 + 9 – 3
100 = 81 + 27 – 9 + 1
314 = 243 + 81 – 9 – 1
AB
C
DO
ìAOC
ìCOD
ìBOD
√2—MQ—MR
√2
√2
1
44√2
4√24
MELENAMACARRAS PELADO
DIVERTIDO
ABURRIDO
5 1
3 1
MELENAPIJOS PELADO
DIVERTIDO
ABURRIDO
1 8
0 1
7
PÁGINA 27
El paso de Z a QSe pueden resolver en Z a), c), d) y f).
Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).
El paso de Q a Áa) x = ±3
b) x = ±
c) x1 = 4, x2 = –1
d) x1 = , x2 =
e) x1 = 0, x2 = 1
f) x1 = 0, x2 = – 3/2
Números irracionales
� Si no es irracional,
= 8 2 = 8 p2 = 2q2
En p2, el factor 2 está un número par de veces.Lo mismo ocurre con q2. Por tanto, en 2q2 elexponente de 2 es un número impar. Contradic-ción.
� F =
PÁGINA 28
1.
2.
PÁGINA 29
3.
4.
PÁGINA 30
1. a) 11 b) π c) d) 0
e) |3 – π| = π – 3
f) |3 – | = 3 –
g) |1 – | = – 1
h) | – | = –
i) |7 – | = – 7
2. a) 5 y –5 b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@)
f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)
PÁGINA 31
1. a) = b) =
c) = y2 d) = =5√y10 6√8 6√23 √2
12√x9 4√x312√x8 3√x2
√50 √50
√2 √3 √3 √2
√2 √2
√2 √2
√5
a)
c)
b)
d)0 1
0 5–2
–2 0 5 7
0 3
a)
c)
b)
d)
–3
3
–1 0
0 96
0
0
4
NATURALES, N 5; √—64
ENTEROS, Z 5; –2; √—64;
3√—–27
RACIONALES, Q 5; –2; 4,5; 7,)3;
3√—–27; √
—64
REALES, Á √—3; 5; –2; 4,5; 7,
)3; –
3√—6; √—64;
3√—–27
NO REALES √—–8
ÁQ
Z N
4,5
–25
7,)3√
—3
√—–8 √
—64 = 8
–3√
—6
3√—–27 = –3
pq
√2
√5 + 12
p2
q2
√2
5 – √—17—
45 + √
—17—
4
√3
1. NÚMEROS REALES
8
e) = = =
f ) = =
2. Es mayor .
3. a) = ; =
b) = ;
4. a) k b) c) x
PÁGINA 32
5. a) b) c) d) 2
6. a) b) c) d)4
7. a) b) c) d) 3
8. a) 10 b) 7
c) 5 d) 5 – 3 e) 2
PÁGINA 33
9. a) b) c)
d) e) f)
g) h) i) j)
10. a) – 1 b)
c) + 1 d)
e) f ) 5 + 2
g) h)
PÁGINA 36
1. a) 4 b) –2 c) 0
d) –1 e) 3 f) 2
g) 4 h) –1/4 i) –2 j) –3
2. a) log2 60 = 5,… b) log5 700 = 4,…
c) log10 43 000 = 4,… d) log10 0,084 = –1,…
e) log9 60 = 1,… f) ln e = 1
3. a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500
b) = 3,29; 53,29 ≈ 200
c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200
d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40
4. a) log53
≈ –0,27
b) log5 = –1,1
5. y =
PÁGINA 38
1. a) |E. A.| < 0,05 m2
|E. R.| < 0,00052 = 0,052%
b) |E. A.| < 0,5 millones de horas =
= 500000 horas
|E. R.| < 0,014 = 1,4%
c) — Si suponemos que los tres ceros finalesse han utilizado para poder expresar lacantidad:
|E.A.| < 0,5 miles de € = 500 €
|E.R.| < < 0,027 = 2,7%
— Si suponemos que es 19 000 € exacta-mente:
|E.A.| < 0,5 €
|E.R.| < 0,000027 = 0,0027%
PÁGINA 39
2. a) 2 · 1021 b) 4,353 · 10–6
3. a) 5,85 · 1012 b) 2,37 · 10–10
0,519
e2x
5
5√A3B2
√A2
25B
log 40log 100
log 200log 100
log 200log 5
log 1500log 2
3√x2
2√—x
x – y
5√—3
2
√62√—3 + √
—5
7
x + y + 2√—x y
x – y√a
x√—x – x√
—y + y√
—x – y√
—y
x – y√2
3√105
3√62
3√2510
23√55
2√23
3√210
√aa2
√213
33√22
5√77
√2a√2√3√2
√2√x
10√83√326√3
√ ab c
1c
6√a–16√a b√x–2
12√258√276√3515√28
9√132650
9√132651
3√51
36√a14
18√a7
36√a15
12√a5
4√31
3√43√229√269√64√38√348√81
9
PÁGINA 41
1.
2. a) 13 é N b) –4 é Zc) 0,43 é Q d) π é Áe) Z å Q f) [3, 4] å Á
3. a) {x é Z / x é (–5, 7)}
b)Á – Qc) {x é Q / 2 < x Ì 3}
d) {x / x = 2•o x = 3
•}
4. a) Números enteros mayores o iguales que –4.
b) Números naturales mayores que 5.
c) Números naturales mayores que 1 y meno-res o iguales que 9.
d) Números enteros mayores o iguales que –2y menores que 7.
5. Todos los irracionales comprendidos en el in-tervalo (0, 1).
PÁGINA 45
1. – – + = –2,6)78
2. 4,0)9 · 1,3
)9 = 5,74
3. a) 1,)3 b) 0,
)6
4. a) b) 0,52)6
c) 4,)89 d) –2,098
5. F representa , pues = =
= = =
H representa , pues = =
= =
6. a = b = c = d = –
7. 0
8. a) b) c) d)
9. a) b) c)
10. a) 2 b) 7 c) 5
d) 0,5 e) 16 f ) 0,1
11. a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2
12. a) b) c) d)
13. a) b) 1
14. a) Falsa. =
b) Verdadera.
c) Verdadera.
d) Verdadera.
15. a) (0,125)1/3 = ( )1/3 = = 2–1
b) (0,25)–1/2 = ( )–1/2 = (22)1/2 = 2
PÁGINA 46
16. a) b) c)
d)33
e) f )3
17. a) 2 b) 8 c) 10
d) 2a e) f )
g) h) 2 i)4a √1
a√a2 + 1 5√a
12
3√a2 5a4 √5
b16
√13
3√2 √2 √10
√ 35
√8 √ 325
3√24 3√16 √ 32x
14
18
12
a2 · b–2
a–2 · b2a4
b4
14√a7
–92
9256
18125
–3400
10√a9 6√x 4√a–3
52
8027
1768
a2 c8
b6
27
47
57
17
√(√—5 )2 + 12 √6√6 OH OG
√—OD2 + —DC 2 √(√—2 )2 + 12 √3
√3 OF OC
√2
1299
519
2190
3110
N
M'
N – M
(M « N) – (M » N)
M – NM » N
M « N
N
N N
UN
M M
M
M
M
M
10
18. a)6
b)8
c)
19. a) 2 b) c) –3
d) · e) f ) 1
20. a) , , ; = <
b) , ; <
c) , ; <
d) , , ;
< <
21. a) 180 b) 6 c)
d) 2 e) 4 f ) 2
22. a) b) c) d)
23. a) b) c) a20
24. a) b) c)
d) e) 8
25. a) 35 b) –20
c) 2 + d) + 2
26. a) 7 b)
c) ( – 2a)27. a) 4 b) 4 + 2
c) –1 d) 38 – 12 e)
28. a) b) 1 + c) –
d) 3 + 6 e) 2 – 3 f )
29. a) + 5 b) –2
PÁGINA 47
30. a) 1,41 · 102 |E. A.| < 0,005 · 102 = 0,5
|E. R.| < 0,00355
b) –1,58 · 105 |E. A.| < 0,005 · 105 = 5 · 102
|E. R.| < 3,16 · 10–3
c) –2,65 · 106 |E. A.| < 0,005 · 106 = 5 · 103
|E. R.| < 1,89 · 10–3
31. a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013
b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9
32. –7,268 · 10–12
33. = 150
34. = 7,93 · 10–3
|E.A.| < 0,005 · 10–3 = 5 · 10–6
|E.R.| < 6,31 · 10–4
35. ( + C ) · D = 2,75 · 106|E.A.| < 0,005 · 106 = 5 · 103
|E.R.| < 1,82 · 10–3
36. a) x < –5; (–@, –5) b) 3 Ì x ; [3, +@)
c) –5 < x < 1; (–5, 1) d) –2 Ì x Ì 0; [–2, 0]
37. a) [–3, 2] b) (5, +@) c) [–2, +@)
d) [–2, ) e) (4; 4,1) f ) [–3, +@)
–3 20a)
b)
c)0–2
5
32
–5a)
b)
c)
d)
0
0 3
–5 0 1
–2 0
AB
B + CA
(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4
104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5
√3 √2 √35
√5 √5 √2
√6 – 13
√66
√3 + √—5
4
√10 √3
√6 √3 √10
1065
3√3a
3√2 –5345 √ 2
5
√5 √6 √3 √2
√5 3√2
3 – √32
√63
3√4 2 – √22
6√2 12√128 20√a
6√108 √a 14
6√3
3√18 √2
√2 √ 12
12
3√9 6√100 4√72
12√373 248 12√6 561 12√10000
20√7 776 20√10000 4√6 5√10
6√216 6√16 3√4 √6
12√64 12√81 12√64 4√4 √2 3√3
√2 4√y 3√24
3√3 √3 3√22
√ 310 √1
5√52
11
38. a) –2 Ì x Ì 7 b) x Ó 13
c) x < 0 d) –3 < x Ì 0
e) Ì x < 6 f ) 0 < x < +@
39. a) [0, 2] b) [2, 10)
40. a) (–@, 3) « [5, +@) b) (0, 4)
c) (–@, –1] « (1, +@) d) [–2, 3)
41. a) (–7, 7) b) [–@, –5] « [5, +@]
c) (–4, 4) d) [–5, 7]
e) (–11, 7) f) (–@, 4] « [6, +@)
42. a) 7 y –3
b) –3 Ì x Ì 11; [–3, 11]
c) x Ì –9 y x Ó 3; (–@, –9] « [3, +@)
43. a) [4, +@) b) [– , +@) c) (–@, 0]
d) (–@, ] e) (–@, –1] f ) [–2, +@)
44. a) |7 – 3| = 4 b) |11 – 5| = 6
c) |–9 – (–3)| = 6 d) |4 – (–3)| = 7
45. a) (1, 6] b) [–1, 3] c) [2, 6] d) (0, 3)
PÁGINA 48
46. a) (–3, 1) b) (0,49; 4,51) c) ( , )47. a) Entorno de centro 1/2 y radio 3/2.
b) Entorno de centro 2,1 y radio 0,8.
c) Entorno de centro –1 y radio 1,2.
d) Entorno de centro –3,4 y radio 0,6.
48. a) Verdadera (siempre que b > 0).
b) Falsa; pues |–a| Ó 0 y –|a| Ì 0. (Solosería cierta para a = 0).
c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienenel mismo signo.
En general, |a + b| Ì |a| + |b|.
d) Verdadera.
49. a) 10 b) –3 c) –6 d) 2
e) 1/2 f) 3/2 g) –1/2 h) 0
50. a) 3/2 b) –8
51. a) x = 5 b) x = 3
52. a) x = 4,19 b) x = 1/10
c) x = 2,438 d) x = –0,683
53. a) 1,085
b) ln (2,3 · 1011) ≈ 26,16 8 e26,161 ≈ 2,3 · 1011
c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 8 e–9,54 ≈ 7,2 · 10–5
d) 3,42 8 33,42 ≈ 42,9
e) 0,41 8 50,41 ≈ 1,95
f) –4,88 8 2–4,88 ≈ 0,034
54. a) x = 1/2 b) x = 4
c) x = 5 d) x = 1/16
55. a) x = 221 b) x = 4 c) x = 125
d) x = 25/3 e) x = 16/5
56. log 30 = 1,477 log 300 = 2,477
log 3000 = 3,477 log 0,3 = –0,523
log 0,03 = –1,523 log 0,003 = –2,523
57. a) 12,4 b) 27,8
c) –4,8 d) 3,79
58. a) –0,55 b) 0,15 c) 1,55
59. a) x = 100,47 = 2,98
b) x = = 0,88
c) x = – 2 = 2,685
60. a) 2 log k = 2x
b) log k – log 100 = x – 2
c) log 10k = (1 + x)12
12
log 172
log 3
70,5
3
53
73
32
12
32
d)
e)
f )
4 4,1 5
–3
–2 0
0
3/2
12
61. = = –
Ha de ser a ? 1 para que log a ? 0 y poda-mos simplificar.
PÁGINA 49
62. a) V b) F c) V
d) F e) V f) F
63. a) a = 10b b) a = b
64. a) Falso.
log m + log n = log (m · n) ≠ log (m + n)
b) Falso. log m – log n = log ( ) ?
c) Verdadero. Por una propiedad de los loga-ritmos.
d) Verdadero.
log x2 = log (x · x) = log x + log x
e) Verdadero.
log (a2 – b2) = log [(a + b ) · (a – b )] =
= log (a + b ) + log (a – b )
65. a) n par.
b) n = 1 o n = 3.
c) n cualquier natural.
d) Ninguno.
e) n cuadrado perfecto.
66. a) log 348 = 2,…
b) log2 58 = 5,…
c) log 0,03 = –1,…
67. a) m < 0, n < 0
b) m > 0, n < 0
c) m < 0, n > 0
68. – < < < < x
69. Si a > 1 8 < < a < a2
Si 0 < a < 1 8 a2 < a < <
AUTOEVALUACIÓN
1. a) N: Z: ;
Q: ; ; – ; 1,0)7
Á: ; ; – ; 1,0)7; ;
b) < – < < 1,0)7 < <
c) – ; ; 1,0)7
2.
3. a) (–@, –8] « [8, +@) b) (–1, 9)
4. 3a
5. 2
6. a–
7.
8. a) x = 0,76 b) x = 3 · e –1 = 1,10 c) x = 5
9. A = 9/4
10. a) x = = –5,18
b) x = –ln 425 = –6,05
log 0,0087log 2,5
2√—3 + 3√
—2 – 6
6
1130
3√2
6√2ab4
–3 0 1a)
0 4b)
–1 0 5d)
–1 0 4 10c)
π3
5845
5117
5√23π3
5845
3√–8
5√23π3
5845
3√–85117
5845
3√–85117
3√–85117
5117
1a
√a
√a1a
1x
1x + 1
–1x + 1
1x
log mlog n
mn
16
–1/2 log a
3 log a
– log a + 1/2 log a
3 log a
13
PÁGINA 51
¿Cuántas parejas de conejos?El número total de parejas al final del año es de144 (la que había al principio y otras 143 nuevas).
La sucesión de Fibonacciy el número F
= 1,61764…; = 1,61818…;
= 1,61797…
Se aproximan al número áureo
f = = 1,61803…
Una representación gráficaEl lado del 8.º cuadrado es 21 y el lado del 9.º cua-drado es 34.
= 1,625 = 1,615
= 1,619… = 1,617…
Se aproximan al número áureo
f = = 1,61803…
PÁGINA 52
1. a) Cada término, a partir del segundo, se obtienesumándole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33.
b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa:b6 = 216, b7 = 343.
c) Cada término, a partir del segundo, se obtienemultiplicando por 10 el anterior:c6 = 100 000, c7 = 1 000 000.
d) Cada término, a partir del segundo, se obtienemultiplicando por 1/2 (dividiendo entre 2) elanterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125.
e) Cada término, a partir del tercero, se obtienesumando los dos anteriores: e7 = 29, e8 = 47.
f) Cada término, a partir del tercero, se obtienerestando los dos anteriores:f7 = 16, f8 = –25.
g) Cada término es el número del lugar que ocu-pa, con signo positivo si es impar, y negativosi es par: g7 = 7, g8 = –8.
h) Cada término, a partir del segundo, se obtienerestándole 7 al anterior: h6 = –15, h7 = –22.
PÁGINA 53
2. 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
3. a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18
b1 = 3, b2 = , b3 = , b4 =
c1 = –2, c2 = 4, c3 = –8, c4 = 16
d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6
e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32
4. Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entoncesquedaría:
a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6, a4 = 6 + 4 = 10
a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21
a7 = 21 + 7 = 28, …
5. a) an = 3 + (n – 1) · 5 b) bn = n3
c) cn = 10n – 1 d) dn = 8 · ( ) n – 1
e) Es recurrente. f) Es recurrente.
g) gn = (–1)n – 1 · n h) hn = 20 – 7 · (n – 1)
PÁGINA 54
1. a) Es una progresión aritmética con d = 4;a6 = 23, a7 = 27.
b) No es una progresión aritmética.
c) No es una progresión aritmética.
d) Es una progresión aritmética con d = –3;d6 = –5, d7 = –8.
e) Es una progresión aritmética con d = –1,6;e6 = 9,4; e7 = 7,8.
f) Es una progresión aritmética con d = 14,9;f6 = 56,5; f7 = 71,4.
12
32
34
38
1 + √52
5534
3421
2113
138
1 + √52
14489
8955
5534
2. SUCESIONES
14
2. a20 = 79; S20 = 820
3. d40 = –107; S40 = –1 940
4. e100 = –141; S100 = –6 180
5. f8 = 86,3; f17 = 220,4
f8 + f9 + ... + f16 + f17 = 1 533,5
PÁGINA 55
6. a) Es una progresión geométrica con r = 3;
a6 = 243, a7 = 729.
b) Es una progresión geométrica con r = ;
b5 = 6,25, b6 = 3,125.
c) Es una progresión geométrica con r = 1;
c6 = 12, c7 = 12.
d) Es una progresión geométrica con r = –1;
d7 = 5, d8 = –5.
e) Es una progresión geométrica con r = – ;
e6 = – , e7 = .
7. a) S10 = 29 524
b) S10 ≈ 199,805
c) S10 = 120
d) S10 = 0
e) S10 ≈ 67,499
8. Podemos calcular la suma de sus infinitos tér-minos en las progresiones geométricas con|r|< 1:
b) S@ = 200
e) S@ = 67,5
PÁGINA 56
9. 9455
10. 33385
11. 14400
12. 24200
PÁGINA 57
1.
lím an = 2
2.
lím bn = +@
PÁGINA 59
3. a) a10 ≈ 2,83; a100 ≈ 32,83;a1000 ≈ 332,83,… lím an = +@
b) b10 ≈ 1,133; b100 ≈ 1,876;
b1000 ≈ 1,987,… lím bn = 2
c) c10 = –1 021; c100 ≈ –1,27 · 103,…
lím cn = –@
d) d10 = 4,999; d100 = 4,999999,…
lím dn = 5
4. a) a10 = –0,02; a100 = –0,0002;a1000 = –0,000002,… lím an = 0.
b) Los términos pares tienden a 1; los términosimpares tienden a –1. La sucesión no tienelímite.
c) Los términos impares tienden a –@; los tér-minos pares tienden a +@. La sucesión notiene límite.
d) lím dn = 0.
52
10–2
4
6
8
5
2
10 15
4
6
8
10
12
14
1027
1081
13
12
15
PÁGINA 61
1. a) a1 = 125, a2 = 50, a3 = 20, a4 = 8, a5 = 3,2;a6 = 1,28; a7 = 0,512; a8 = 0,2048
S1 = 125; S2 = 175; S3 = 195; S4 = 203;S5 = 206,2; S6 = 207,48; S7 = 207,992;S8 = 208,1968.
lím Sn = 208,)3
b) b1 = 125; b2 = –50; b3 = 20; b4 = –8;b5 = 3,2; b6 = –1,28; b7 = 0,512; b8 = –0,2048.
S1 = 125; S2 = 75; S3 = 95; S4 = 87;S5 = 90,2; S6 = 88,92; S7 = 89,432;S8 = 89,2272.
lím Sn ≈ 89,286
c) c1 = 17; c2 = –17; c3 = 17; c4 = –17;c5 = 17; c6 = –17; c7 = 17; c8 = –17.
S1 = 17; S2 = 0; S3 = 17; S4 = 0; S5 = 17;S6 = 0; S7 = 17; S8 = 0.
Sn no tiene límite.
d) d1 = 17; d2 = 17; d3 = 17; d4 = 17;d5 = 17; d6 = 17; d7 = 17; d8 = 17.
S1 = 17; S2 = 34; S3 = 51; S4 = 68;S5 = 85; S6 = 102; S7 = 119; S8 = 136.
lím Sn = +@.
e) e1 = 10; e2 = 12; e3 = 14,4; e4 = 17,28;e5 = 20,736; e6 = 24,8832; e7 = 29,85984;e8 = 35,831808.
S1 = 10; S2 = 22; S3 = 36,4; S4 = 53,68;S5 = 74,416; S6 = 99,2992; S7 = 129,15904;S8 = 164,99084.
lím Sn = +@.
f) f1 = 10; f2 = –12; f3 = 14,4; f4 = –17,28;f5 = 20,736; f6 = –24,8832; f7 = 29,85984;
f8 = –35,831808.
S1 = 10; S2 = –2; S3 = 12,4; S4 = –4,88;S5 = 15,856; S6 = –9,0272; S7 = 20,83264;S8 = –14,999168.
Sn no tiene límite.
PÁGINA 64
1. a) Cada término lo obtenemos dividiendo 1entre el lugar que ocupa el término:
a6 = , a7 = , a8 =
b) Cada término es la raíz cuadrada del lugarque ocupa: a6 = , a7 = , a8 =
c) Cada término es el cuadrado del lugar queocupa más 1 unidad: a6 = 37, a7 = 50,a8 = 65
d) Cada término es el cuadrado del lugar queocupa menos 1 unidad: a6 = 35, a7 = 48,a8 = 63
e) Cada término, a partir del segundo, se obtie-ne sumándole al lugar que ocupa el términoanterior: a6 = 21, a7 = 28, a8 = 36
2. a) a1 = 3,2; a2 = 3,02; a3 = 3,002; a4 = 3,0002;a5 = 3,00002
b) b1 = 0; b2 = ; b3 = ; b4 = ; b5 =
c) c1 = 1; c2 = ; c3 = 2; c4 = ; c5 =
d) d1 = ; d2 = ; d3 = ; d4 = ; d5 =
e) e1 = 1; e2 = 2; e3 = 6; e4 = 24; e5 = 120
f) f1 = –1; f2 = 0; f3 = –3; f4 = 0; f5 = –5
3. a) an = b) bn = ( )n – 1
c) cn = d) dn = 5 +
4. a) 0, 2, 1, , , , , , …
b) 1, 2, 1, 1, , , , , …
5. a) a1 = 4, a2 = 7, an = an – 1 – an – 2 para n > 2
b) b1 = 2, b2 = 3, bn = para n > 2
6. a) Es una progresión aritmética con a1 = 1,2 yd = 1,2.
an = 1,2n.
bn – 1bn – 2
12
14
116
1128
32
54
118
2116
4332
n2 – 1n2 + 1
110n
nn – 1
13
12
14
18
116
132
53
115
73
32
83
154
245
√6 √7 √8
16
17
18
16
b) Es una progresión aritmética con b1 = 5 yd = –0,4.
bn = –0,4n + 5,4.
c) y d) no son progresiones aritméticas.
7. a) Es una progresión aritmética con d = 3.
b) Es una progresión aritmética con d = 5.
c) No es una progresión aritmética.
d) Es una progresión aritmética con d = –3/4.
e) Es una progresión aritmética con d = 1/2.
f) No es una progresión aritmética.
8. a) a10 = 14; a100 = 194
b) a10 = – 43; a100 = – 493
c) a10 = 3; a100 = 51/2
9. a) S25 = 975 b) S25 = 95
c) S25 = 1 250 d) S25 = –312,5
10. a) Es una progresión geométrica con a1 = 32y r = 1/2.
a6 = 1, a7 = 1/2, a8 = 1/4; an = 26 – n
b) No es una progresión geométrica; b6 = 36,b7 = 49, b8 = 64, bn = n2.
c) Es una progresión geométrica con c1 = 1 yr = 0,1.
c6 = 0,00001; c7 = 0,000001; c8 = 0,0000001;cn = 0,1n – 1
d) Es una progresión geométrica con d1 =
y r = .
d6 = 8; d7 = 8 ; d8 = 16; dn = ( )n
11. a) S25 ≈ 64; S@ = 64
b) S25 ≈ 100/9; S@ = 11,1
c) S25 ≈ 32768. No se puede calcular S@ por-que |r|> 1.
d) S25 ≈ –4; S@ = –4
PÁGINA 65
12. a) 22 + 42 + 62 + 82 + 102 =
= (2 · 1)2 + (2 · 2)2 + (2 · 3)2 + (2 · 4)2 + (2 · 5)2 =
= 22(12 + 22 + 32 + 42 + 52)
b) 171700
c) 166 650
13. 628300
14. a) a10 = 0,)1; a100 = 0,
)01; a1000 = 0,
)001
lím an = 0
b) a10 = 2,5; a100 = 2,05; a1000 = 2,005
lím an = 2
c) a10 = –0,5; a100 = –0,95; a1000 = –0,995
lím an = –1
d) a10 = –6,7; a100 = –697; a1000 = –6 997
lím an = –@
15. a) a10 = 40; a100 = 490; a1000 = 4 990
lím an = +@
b) b10 = 90; b100 = 0; b1000 = –900
lím bn = –@
c) c10 = 0,63; c100 ≈ 0,9603; c1000 ≈ 0,996
lím cn = 1
d) d10 ≈ 0,476; d100 ≈ 0,498; d1000 ≈ 0,4998
lím dn = 0,5 =
16. a) a10 = 290; a100 = 29 990; a1000 = 2 999 990
lím an = +@
b) b10 = –70; b100 = –9 700; b1000 = –997 000
lím bn = –@
c) c10 = 60; c100 = 9 510; c1000 = 995 010
lím cn = +@
d) d10 = 361; d100 = 39 601; d1000 = 3 996 001
lím dn = +@
e) e10 = –216; e100 = –884 736;
e1000 = –988 047 936
lím en = –@
f) f10 = –143; f100 = –10 403; f1000 = –1 004 003
lím fn = –@
12
√2 √2
√2√2
17
17. a) a10 = 0,0)3; a100 = 0,00
)3; a1000 = 0,000
)3
lím an = 0
b) b10 = 0,15625; b100 = 0,01656;
b1000 = 0,00167
lím bn = 0
c) c10 = 0,)27; c100 = 0,
)0297; c1000 = 0,
)002997
lím cn = 0
d) d10 = 0,297; d100 = 0,029997;
d1000 = 0,002999997
lím dn = 0
e) e10 = 0,01; e100 = 0,0001; e1000 = 0,000001
lím en = 0
f) f10 = –1; f100 = –0,01; f1000 = –0,0001
lím fn = 0
g) g10 = 1; g101 = –1; g1000 = 1; g10001 = –1
La sucesión no tiene límite.
h) h10 = 0,0909; h100 = 0,0099;
h1000 = 0,000999; h1001 = –0,000999
lím hn = 0
18. a15 = –1,2
19. a4 = 52
20. S = 247500
21. 35350
22. n = 19; a1 = –20
23. Los lados del hexágono miden 3 cm, 5 cm,7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.
24. Debe sentarse en la fila 17, que está a 28 me-tros.
25. a1 = –3, a2 = – , a3 = , a4 = 4, a5 = ,
a6 = , a7 = 11, a8 = , a9 = , a10 = 18.
26. a4 = 11; a5 = 14
27. Hay dos soluciones para la razón:
r = ± 0,25 = ±
r = 1/4 8 a5 = 1/32 = 0,03125; an =
r = –1/4 8 a5 = 0,03125; an = 8 · (– )n – 128. a1 = 4; a4 = 108
29. Al cabo de 10 años valdrá 429 496,73 €, apro-ximadamente.
30. Al cabo de 12 meses tendremos 5308,39 €,aproximadamente.
PÁGINA 66
31. r = 1/2; a1 = 2
32. a) a10 = 2,238; a100 = 2,473; a1000 = 2,497
lím an = 2,5 =
b) b10 = –1,970; b100 = –1,9997;b1000 = –1,999997
lím bn = –2
c) c10 = 1,000977; c20 = 1,000000954
lím cn = 1
d) d10 = 0,195; d100 = 0,019995;d1000 = 0,001999995
lím dn = 0
33. a) lím an = 1 b) lím bn = 0,5 = 1/2
c) lím cn = +@ d) lím dn = 2
e) lím en = +@ f) lím fn = 1
34. a) Los términos pares tienden a 2 y los imparesa –2. an no tiene límite.
b) Los términos impares son 0 y los pares son 2.bn no tiene límite.
c) lím cn = 0.
d) lím dn = 1.
35. a) lím (an + bn) = +@ b) lím (an · bn) = 1
c) lím ( ) = +@anbn
52
14
122n – 5
14
263
403
473
23
53
193
18
36. a) – Los primeros 2 000 € se convierten en2000 · 1,045 ≈ 2433,31 €
– Los segundos 2 000 € se convierten en2000 · 1,044 ≈ 2339,72 €
– Los terceros 2 000 € se convierten en2000 · 1,043 ≈ 2249,73 €
– Los cuartos 2 000 € se convierten en2000 · 1,042 = 2 163,20 €
– Los quintos 2 000 € se convierten en2000 · 1,04 = 2080 €
b) 11 265,95 €
37. a1 = 700 € a2 = 650 €
a3 = 600 € a4 = 550 €
38. an = = 21/n; lím an = 1
39. a) lím (an + bn) = 5 b) lím (an – bn) = +@
c) lím (an · bn) = –@ d) lím = –1
40. Sí es una progresión aritmética con
a1 = x2 – x + 1
y diferencia d = x.
a5 = x2 + 3x + 1; S5 = 5x2 + 5x + 5
41. 165528
42. lím an = +@
43. lím an = 0
44. Es una progresión aritmética con d = 0.
También es una progresión geométrica conr = 1.
45. a1 · a6 = a2 · a5 = a3 · a4 = a2 · r5
a3 · a7 = a4 · a6 = a2 · r8
Propiedad: Si an es una progresión geomé-trica, se verifica que ap · aq = am · an siempreque p + q = m + n.
46. 3 + + + + … = 3,)9
La suma de los infinitos términos de la progre-
sión geométrica , , , … es 1.
3 + ( + + + …) = 447. Por ejemplo: an = 2n; bn = n + 1
lím an = +@; lím bn = +@
lím = lím = 2
PÁGINA 67
48. a) Pn = 8; lím Pn = 8
b) An = 2 + 2 · ( )n – 1; lím An = 2
49. a10 = 55; an =
50. an = ; a6 = 51; a10 = 145
51. a) an = ; lím an = 0,5 =
b) bn = n + 1; lím bn = +@
AUTOEVALUACIÓN
1. a47 = 30
2. a8 = 133
3. a) an = 4n – 1 b) an = n2 – 2n + 2
4. a) a1 = 7; a2 = 8; an = an – 1 + an – 2
b) a1 = 1; a2 = 1; a3 = 1;
an = an – 1 + an – 2 + an – 3
c) a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2;
an = an – 1 + an – 2 + an – 3
5. a) S = 253 b) S = 31772,48
c) S = 160 d) S = 586140 e) S = 14391
6. a) a1 + a100 = 128,6
b) a220 = 166
7. a) lím = 0 b) lím = 3
c) lím = +@n2 + 15n
5 + 3nn + 1
5n
12
n2 + n2n2
(3n – 1) · n2
(1 + n) · n2
12
2nn + 1
anbn
91000
9100
910
91000
9100
910
91000
9100
910
anbn
n√2
19
PÁGINA 69
Puñado de almendras• Antonio se lleva 9 puñados y José, 6.
• Juan coge 23 puñados y Julio, 22.
• Pablo se lleva 7 puñados y Luis, 2.
• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio yel de Pablo es Luis.
Entre todos se llevaron 1183 almendras.
Sin necesidad del álgebra
Hasta el momento de la captura el galgo da 180saltos y la liebre, 270.
PÁGINA 71
1. a) x3(x – 2)2 (x – 5)
b) x (x – 1) (x + 1) (x – 4) (x2 + x + 2)
c) (x + 3)2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
2. a) El polinomio dado no tiene raíces enteras(de hecho, no tiene raíces reales).
b) (x2 + x + 1) (x2 + 3x + 4)
3. (2x + 1) (3x – 1) (x2 + x + 1)
PÁGINA 73
1.
2.
PÁGINA 74
3. a) b)
4. a) b) x2 – 1
PÁGINA 75
1. a) x1 = 2; x2 = –2 b) x1 = 3; x2 = –3
2. a) No tiene solución. b) x1 = – ; x2 =
PÁGINA 76
3. a) No tiene solución.
b) x = 114 (x = 2 no vale)
c) x = 4 (x = 1 no vale)
d) x = 1 (x = 4 no vale)
e) x = 2 (x = 0,08 no vale)
4. La distancia de B a P es de 4 km.
PÁGINA 77
5. a) x1 = 5,489; x2 = –1,822
b) x1 = 3; x2 = 4/5
c) x1 = 2; x2 = –2/3
6. a) x = 3
b) x1 = 3; x2 = –4
c) x1 = 6; x2 =
PÁGINA 79
7. a) x = –1/3
b) x1 = ; x2 = –
c) x = 4 + = 11,54
d) x = 6
8. a) x = 1
b) x = 0
c) x = 12 (x = –4 no vale)
d) x1 = 2; x2 = –2
PÁGINA 81
1. a) x1 = 4, y1 = 7; x2 = –2, y2 = –5
b) x1 = 2, y1 = 3; x2 = 3, y2 = 2
c) x = 17; y = 8 (y = 0 no vale)
2. a) x1 = –4, y1 = 5; x2 = 5, y2 = –4
b) x = 30; y = 3
c) x1 = 3, y1 = 1; x2 = , y2 =–72
–94
log 186log 2
√6 √6
–813
√2√2
6x2 + 15x + 6x3 – x2
x3 + 3x2 – 7x + 152x2 – x – 6
2x3 – x2 + 9x2 + 3x – 10
x2 – 3x + 1x2 – 1
–x2 + 8x + 5x2 + x
3. ÁLGEBRA
20
PÁGINA 82
1. a) x = 7, y = 2, z = 11
b) x = 4, y = –3, z = 0
c) x = –1, y = 4, z = 4
d) x = 8, y = 4, z = –3
2. a) x = 1, y = –5, z = 4
b) x = –1, y = –2, z = –2
c) x = 15, y = 2, z = 1
d) x = 3, y = 4, z = 9
PÁGINA 83
3. a) x = 1, y = –2, z = 3
b) x = 4, y = 2, z = –3
4. a) x = 1, y = –1, z = 0
b) x = 2, y = 1/5, z = –1
PÁGINA 84
5. a) El sistema es incompatible, no tiene solu-ción.
b) Las soluciones, en función de x, son:
c) El sistema es incompatible, no tiene solu-ción.
d) Las soluciones, en función de z, son:
PÁGINA 85
1. a) {x / x Ì 4} = (–@, 4]
b) {x / x > 3} = (3, +@)
c) x / x Ó = , +@
d) x / x Ì = –@,
2. a) {x / 3 < x Ì 4} = (3, 4]
b) x / Ì x Ì = ,
PÁGINA 86
3. a) Puntos del intervalo (–1, 4)
b) Puntos del intervalo (–@ , –1] « [4, +@)
c) No tiene solución.
d) Puntos del intervalo [–2, 2].
4. a) Puntos del intervalo (6, +@).
b) El sistema no tiene solución.
PÁGINA 87
1. Son identidades a), c) y d).
2. (x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 36
x4 – 6x3 + 9x2 = x4 – 6x3 + 36
En el primer miembro se ha efectuado la multi-plicación. Ha convenido ponerlo en forma poli-nómica para poder simplificar en el segundomiembro.
9x2 = 36. Esta ecuación es equivalente a la an-terior porque se han simplificado algunos tér-minos de ambos miembros.
x2 = 36 : 9 = 4. Ecuación equivalente, por ha-ber dividido los dos miembros por 9.
x = ±2
PÁGINA 92
1. a) Raíces: –1, 1, 2 b) Raíces: 1, –1, 2, –2
c) Raíces: 1, –2, 10/4 d) Raíces: 1, 2, 5
e) Raíces: –2, 2, 1/2, 1/3 f) Raíces: 0, 2, –2
g) Raíces: 5/2, –5/2 h) Raíz: –1/2
2. a) máx.c.d. = (x – 3)
mín.c.m. = x (x – 3) (x + 3) (x + 4)
b) máx.c.d. = (x – 1) (x + 1)
mín.c.m. = x (x – 1) (x + 1)2
c) máx.c.d. = (x – 1) (x2 + 1)
mín.c.m. = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
3. a) x1 = –1; x2 = –2; x3 = 3
b) x1 = 1; x2 = –2; x3 = 5/2
c) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 3
d) x1 = 1; x2 = 2; x3 = 1/3°¢£
12
143
°¢£ [ 12 14
3 ]
°¢£
143
°¢£ ( 14
3 ]
°¢£
12
°¢£ [ 12 )
°¢£
x = 3 – z
y = –2 + 2z
°¢£
y = 2x – 1
z = –3x – 1
21
e) x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2
f) x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2
g) x = 1
4. a) b)
5. a) b)
c) 0 d) e)
6. Se demuestran operando.
7. a) No tiene solución.
b) Infinitas soluciones.
c) Infinitas soluciones.
d) x = –3
e) No tiene solución.
f) x = 29/12
8. a) x1 = 4; x2 = 4/5
b) x1 = –3; x2 = 5
c) x1 = 2; x2 = –14/3
d) x1 = 4; x2 = 11/3
e) No tiene solución.
f) x1 = 4, x2 = –1
PÁGINA 93
9. a) x1 = –2; x2 = 2
b) x1 = 0; x2 = 13
c) x1 = 0; x2 = 4/9
d) x1 = 2b; x2 = –2b
10. a) x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1
b) x1 = 1; x2 = –1
c) No tiene solución
d) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 ; x4 = –2
11. a) x1 = ; x2 = – ; x3 = 1; x4 = –1
b) x1 = 0; x2 = 1/2; x3 = –1/2
12. a) x1 = –1; x2 = –3/4
b) x = –3 (x = 2 no vale)
c) x = –2 (x = 1/3 no vale)
d) No tiene solución.
13. a) x = 2 (x = 242/9 no vale)
b) x = 5 (x = 8/25 no vale)
c) x = 3
14. a) x = 2
b) x1 = 10; x2 = –3
c) x = –3 (x = 1 no vale)
d) x1 = –3; x2 = 18
e) x1 = 1; x2 = –1
f) x1 = ; x2 = –
15. a) x = 2/3 b) x = 1 c) x = –1
d) x = –4 e) x = –4 f) x = 1/4
g) x = 9/2 h) x = 3 i) x = –1
PÁGINA 94
16. a) x = – ln 27 ≈ –3,296
b) x = 9 + ≈ 11,145
c) x = ≈ 2,453
d) x = ≈ –2,710
17. a) x1 = 1; x2 = 0 b) x = 0
c) x = –1 d) x1 = 0; x2 = 2
e) x = 1 (3x = –2 no vale)
f) x1 = –1; x2 = 1
18. a) x1 = –5; x2 = 5
b) x = 5 (x = 0 no vale)
c) x = 4 (x = 9/4 no vale)
d) x = 7
19. a) x = 1/11
b) x = 5 (x = –40/6 no vale)
c) x1 = 10, x2 = 10–9/2 d) x1 = 2; x2 = 5
e) x1 = 1; x2 = 6 f) x = e/2
log 3log 2 – log 3
log 81log 6
ln 732
√2 √2
√3 √3
√2 √2
3x + 22x (x + 1)
1x + 2
14
x + 3(x – 2) (x + 1)
– (3 + x)x
3x2 + 4x + 1x2 + 2x
22
20. a) x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3
b) No tiene solución.
c) x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2,y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1
d) x1 = 4, y1 = 3; x2 = –4, y2 = –3
21. a) x = 4; y = 3
b) x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5
c) x = 6; y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)
d) x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1
22. a) x = 2; y = 3 b) x = 1, y = –1
23. a) x = 10; y = 100
b) x = 4; y = 2
c) x = 100; y = 1/100
d)x = 10/3; y = 1/3 (y = –1/3 no vale)
e) x = 250/9; y = 25/9
f) x = e3; y = e
24. a) x = 0, y = 1, z = 9
b) x = 1, y = 1, z = 1
c) x = 0, y = 1, z = 9
25. a) x = 9, y = 6, z = 3
b) x = 1, y = –2, z = 3
PÁGINA 95
26. a) x = 6, y = –2, z = –5/2
b) x = 0, y = 0, z = 0
27. a) x = 3/2, y = 1/2, z = 2
b) El sistema es incompatible, no tiene solución.
c) Las soluciones, en función de z, son:x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z
d) x = 2, y = 1/2, z = 3/2
e) El sistema es incompatible, no tiene solución.
f) Las soluciones, en función de y, son:x = 1 – 3y, z = 3 – 7y
28. a) Puntos del intervalo (–1, +@)
b) Puntos del intervalo (–@, 1)
c) Puntos del intervalo (–5, 0)
d) Puntos del intervalo (–@, – ) « ( , +@)e) Puntos del intervalo (–@, –4] « [–2, +@)
f) Puntos del intervalo [–3, 5]
29. a) Puntos del intervalo (–4, 1)
b) Puntos del intervalo (4, +@)
c) Puntos del intervalo (17, +@)
d) No tiene solución.
30. a) Puntos del intervalo [1, 6]
b) Puntos del intervalo (–@, 1) « (6, +@)
c) Puntos del intervalo (–@, –1) « (3, +@)
d) Puntos del intervalo (–@, 0)
31. a) Puntos del intervalo (3, +@)
b) Puntos del intervalo [– , +@)c) Puntos del intervalo (–@, –4)
d) Puntos del intervalo (–2, 3)
32. Colocó 13428,57 € al 8% y 14571,43 € al 6%.
33. El primero tardaría 3 horas, y el segundo, 2 ho-ras.
34. Tenía 20 docenas.
35. Compró 125 kg.
36. Son 5 amigos.
37. Base: 18 m; Altura: 6 m
38. 2 500 personas
PÁGINA 96
39. l = 10,75 m
40. La superficie es de 2 400 dm2 = 24 m2
41. El número es el 93.
42. Vale entre 2,34 y 2,50 €.
43. a) x1 = 0; x2 = 5; x3 = –5
b) x1 = 1; x2 = –1
c) x1 = 6; x2 = 14
d) x1 = 3; x2 = –4
53
23
23
23
e) x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 1/2
f) x1 = 3; x2 = –3
g) x1 = 0; x2 = 4 (x = 1 no vale)
44. a) x1 = 11; x2 = –5 b) x1 = 2; x2 = –2
45. a) x = –5/3
b) x1 = 2/3; x2 = –2/3
c) x =
d) x1 = ; x2 =
e) x1 = 0, x2 = –1, x3 = 2
46. a) x1 = 8, y1 = 0; x2 = 4, y2 = 4
b) x = –12; y = 7
c) x1 = –3, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 5
47. a) x = 3/2 (x = –2 no vale)
b) x = 2
c) x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3
d) x1 = –1/2; x2 = 1
48. a) x ≈ 1,37 b) x ≈ 0,57
49. a) x ≈ 1,52 b) x ≈ 0,90
50. La primera recibe 120 €, la segunda, 100 € y latercera, 110 €.
51. El número es el 142.
PÁGINA 97
52. k > 9
53. m = 20
54. Por ejemplo:
P (x) = x3 (x – 1); Q (x ) = x2 (x – 1)
55. La primera y la tercera ecuación son contradic-torias.
56. a) x4 – 16x2 + 63
b) x3 – 3,3x2 – 9,1x + 3
c) x3 – 1,2x2 + 0,35x
d) x4 – x3 – x2 + x
57. a) x1 = ; x2 =
b) x1 = –a; x2 = –3a
c) x1 = –1; x2 =
d) x1 = –1; x2 =
58. a) Puntos del intervalo (–2, 0) « (0, 2)
b) Puntos del intervalo (–2, 0) « (0, 2)
c) Puntos del intervalo (1, +@)
59. Hemos de sacar 3 cazos de la primera y 9 de lasegunda.
AUTOEVALUACIÓN
1. x1 = 0; x2 = –1; x3 = – ; x4 = 2
2.
3. a) x1 = ; x2 = – ; x3 = 1; x4 = –1
b) x = –2 (x = –7/2 no vale)
c) x1 = 1; x2 = –16
d) x = 1/2
e) x1 = 1; x2 = 2
f) x = 1
g) x1 = –2; x2 = 1/2
4. a) x = 1; y = 2
b) x = 1; y = 2; z = –1
5. a) x é (–1, +@)
b) x é (–3, +@)
6. El número buscado es el 142.
√2 √2
13(x + 1)
13
aa + b
a – ba
1a
1b
13
13
–√105
√105
3√2
PÁGINA 98
1. a) No tienen solución en Q:2x2 – 4 = 0; x2 + x – 1 = 0; 9x2 + 4 = 0
b) Todas tienen solución en Á salvo 9x2 + 4 = 0.
2. >
3. a) a
b) 30
c) + 2
d)
4. |E. A.| < 0,005 · 1011 = 5 · 108
|E. R| < = 1,35 · 10–3
5. a) –3,9
b) 1,3
c) –3,3
6. a) x1 = 5/3; x2 = 3
b) x1 = 2; x2 = –2; x3 = ; x4 = –
7. x = 1,71
8. S12 = 246
9. El capital disponible al final del 5.º año es2 816,49 €.
10. a100 = 0,0003; a1000 = 0,000003
lím = 0
b100 = 4,99; b1000 = 4,999
lím 5 – = 5
c100 = 100,01; c1000 = 1 000,01
lím = +@
d100 = 1,965; d1000 = 1,997
lím = 2
11. an = 8 lím an =
12. a) x (x + 3)(x – 3)
b) x2(x + 1)(x – 2)(3x – 1)
13.
14. a) x1 = 0, x2 = –2
b) x1 = , x2 = –
c) x = 3 (x = 11/9 no vale)
d) x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 1/3
15. a) x1 = 0, y1 = 3; x2 = 4, y2 = –1
b) x é (2, 5]
16. x2 – 3x + 2 – x2 + 3x = 2
17. a) x = 1
b) x1 = 1, x2 = –1
c) x = 1
d) x = 1/9
18. a) x = 9, y = 1
b) x = 1, y = –1, z = 2
19. Puntos del intervalo (–@, –3] « [–1, +@)
20. B tarda 3 horas y A tarda 6 horas.
√2√2
x + 2x – 1
12
n + n2
2n2
4n – 52n + 1
n2 + 1n
1n
3n2
√2√2
5 · 108
3,70 · 1011
3√—2 – 4√
—6
6
√2√3
√a
3√874√386
BLOQUE I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
24
25
PÁGINA 103
1. La altura del árbol es de 864,65 cm.
2. BC––= 42 m
3. CA––= 1470 m
4. a) x = b) y =
PÁGINA 104
1. tg a = 0,42
Con calculadora:
sß 0,39 =t={≠…¢“«∞«|£‘≠‘°}2. cos a = 0,62
Con calculadora:
st 1,28=©={≠…\‘∞\¢¢≠¢‘£|}
PÁGINA 105
1. cos a = –0,78 tg a = –0,79
2. sen a = –0,56 tg a = 0,67
3. sen a = –0,68 cos a = 0,74
4.
PÁGINA 106
1. a) 2 397° = 6 í 360° + 237°
b) 2 397° = 7 í 360° – 123°
sen 2397° = –0,84
cos 2397° = –0,54
tg 2397° = 1,54
2. a) 396° = 396° – 360° = 36°
b) 492° = 492° – 360° = 132°
c) 645° = 645° – 360° = 285° =
= 285° – 360° = –75°
d) 3 895° = 3895° – 10 í 360° = 295° =
= 295° – 360° = –65°
e) 7 612° = 7612° – 21 í 360° = 52°
f) 1 980° = 1980° – 5 í 360° = 180°
PÁGINA 107
1. a) –sen 30° = –1/2 b) cos 120° = –1/2
c) –tg 135° = 1 d) cos 45° =
2. Es un ángulo que difiere de 90° una cantidadtan pequeña que, a pesar de las muchas cifrasque la calculadora maneja, al redondearlo da90°.
PÁGINA 109
1.
2. • sen 358° = –sen 2° = –0,0349
cos 358° = cos 2° = 0,9994
tg 358° = –tg 2° = –0,03492
• sen 156° = sen 24° = 0,4067
cos 156° = –cos 24° = –0,9135
tg 156° = –tg 24° = –0,4452
sen cos tg55º 90º – 35º 0,82 0,57 1,43125º 90º + 35º 0,82 –0,57 –1,43145º 180º – 35º 0,57 –0,82 –0,70215º 180º + 35º –0,57 –0,82 0,70235º 270º – 35º –0,82 –0,57 1,43305º 270º + 35º –0,82 0,57 –1,43325° 360° – 35° –0,57 0,82 –0,70
√22
270° 300° 315° 330° 360°
sen –1 –√—3/2 –√
—2/2 –1/2 0
cos 0 1/2 √—2/2 √
—3/2 1
tg — –√—3 –1 –√
—3/3 0
135° 150° 180° 210° 225° 240°
sen √—2/2 1/2 0 –1/2 –√
—2/2 –√
—3/2
cos –√—2/2 –√
—3/2 –1 –√
—3/2 –√
—2/2 –1/2
tg –1 –√—3/3 0 √
—3/3 1 √
—3
0° 30° 45° 60° 90° 120°
sen 0 1/2 √—2/2 √
—3/2 1 √
—3/2
cos 1 √—3/2 √
—2/2 1/2 0 –1/2
tg 0 √—3/3 1 √
—3 — –√
—3
√32
√22
4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
26
• sen 342° = –sen 18° = –0,3090
cos 342° = cos 18° = 0,9511
tg 342° = –tg 18° = –0,3249
3. a) cos a ≈ –0,86; tg a ≈ 0,58
b) sen a ≈ –0,66; tg a ≈ –0,88
c) sen b ≈ 0,7; cos b ≈ –0,7
d) sen a ≈ –0,9; cos a ≈ –0,45
PÁGINA 111
1. a) a = 17,43 cm b) b = 26,84 cm
c) c = 396,69 m; A^
= 39° 3' 57"
d) b = 56,01 cm e) c = 66,05 cm
2. El poste mide 5,87 m.
3. Área = 14122,80 m2
PÁGINA 113
1. c = 154,18 m
2. MP—
= 60,49 m
3. b = 26,35 cm
4. Altura del edificio = 125,97 m
Distancia al edificio = 139,9 + 40 = 179,90 m
PÁGINA 114
1. sen^
A = ò h = b sen^
A
sen^
B = sen (180° –^
B ) = ò h = a sen^
B
b sen^
A = a sen^
B ò =
2.
sen^
A = ò h = c sen^
A
sen^
C = ò h = a sen^
C
c sen^
A = a sen^
C 8 =
PÁGINA 115
3. • b = 1,5 cm. No tiene solución.
• b = 2 cm;^
A = 90º
• b = 3 cm;^
A1 = 41° 48' 37,1"^
A2 = 138° 11' 22,9"
• b = 4 cm;^
A1 = 30º. La solución^
A2 = 150°no es válida.
PÁGINA 117
4. a) A^
= 48° 30' 33"
B^
= 92° 51' 57,5"
C^
= 38° 37' 29,5"
b) c = 17,24 cm
A^
1 = 15° 7' 44,3"
A^
2 = 164° 52' 15,7" 8 No es válida.
B^
= 124° 52' 15,7"
c) A^
= 92° 51' 57,5"
B^
= 48° 30' 33"
C^
= 38° 37' 29,5"
d) a = 5,59 cm
B^
1 = 43° 43' 25,3"
B^
2 = 136° 16' 34,7" 8 No es válida.
C^
= 31° 16' 34,7"
e) A^
= 75° b = 2,93 m c = 3,59 m
f) B^
= 110° a = 3,05 m c = 3,05 m
5. a) El otro lado mide 11,872 cm.
Área = 84,93 cm2
6. 36,4 km y 40,4 km
7. GA–– = 25,2 m; GB–– = 26,9 m; Altura = 24,3 m
PÁGINA 122
1. a) cos a = 1/2 tg a = √—3
b) sen a = √—2/2 tg a = 1
c) sen a = √—21/7 cos a = 2√
—7/7
d) cos a = √—55/8 tg a = 3√
—55/55
e) sen a = 0,69 tg a = 0,96
f) sen a = 3√—10/10 cos a = √
—10/10
2.sen a 0,92 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96
cos a –0,39 –0,8 – 0,12 – 0,8 –0,87 –0,24
tg a –2,36 –0,75 –8,25 –0,75 –0,57 –4c
sen^
Ca
sen^
A
ha
hc
b
c
a
B
C
H
h
A
b
sen^
B
a
sen^
A
ha
hb
27
3. a) cos a = – 3/5; tg a = 4/3
b) sen a = – /3; tg a = – /2
c) cos a = – /10; sen a = 3 /10
4. a) sen 150º = sen 30º b) cos 135º = –cos 45º
c) tg 210º = tg 30º d) cos 255º = –sen 15º
e) sen 315º = –sen 45º
f) tg 120º = –tg 60º
También tg 120º = –
g) tg 340º = –tg 20º
h) cos 200º = –cos 20º
i) sen 290º = –cos 20º
También sen 290º = –sen 70º
5. a) 0,35 b) 0,94 c) –0,35
d) –0,35 e) 0,94 f) 0,35
6. a) 2 /13 b) 3 /13
c) 3/2 d) 2 /13
e) –3 /13 f) –2/3
7. a) 228º 35' 25'' b) 248º 17' 3,7''
c) 234º 4' 17,4'' d) 283º 17' 49,6''
8. a) c = 13 cm
A^
= 22º 37' 11,5º; B^
= 67º 22' 48,5º
b) B^
= 90º – 37º = 53ºc = 71,45 m; b = 57,06 m
c) A^
= 32º; c = 13,2 m; b = 11,2 m
d) B^
= 19º; a = 5,48 m; b = 1,89 m
9. A^
= 36° 52' 11,6''
10. Llega a una altura de 1,53 m.
Está separada 1,29 m de la pared.
11. d = 5,2 cm; D = 15,2 cm
12. a) A'B'—
= 4,64 cm
b) A'B'—
= 9,64 cm
c) A'B'—
= 14,49 cm
d) A'B'—
= 0 cm
13. a) h = 7,98 cm
h = 13,25 cm
h = 8,18 cm
b) A = 87,78 cm2
A = 99,38 cm2
A = 114,52 cm2
14. A^
= 112° 43' 35''
B^
= 41° 48' 37''
C^
= 25° 27' 48''
15. Distancia = 27,47 cm
PÁGINA 123
16. a = 12,33 m b = 9,68 m
17. C^
= 36° 50' 6'' b = 29,98 m
18. a) B^
= 103° a = 10 m c = 11,67 m
b) A^
= 35° 25' 9'' C^
= 39° 34' 51''
c = 19,79 m
19. Distancia de A a la iglesia 8 411,14 m
Distancia de B a la iglesia 8 322,62 m
20. a = 20,42 m
21. A^
= 15° 34' 41''
B^
= 43° 7' 28''
C^
= 121° 17' 51''
22. a) c = 21,9 cm
A^
= 29º 56' 8''; B^
= 110º 3' 52''
b) b = 79,87 cm
C^
= 40° 18' 5''; A^
= 74° 41' 55''
c) A^
= 30° 10' 29''
B^
= 17° 48' 56''
C^
= 133° 0' 35''
23. La distancia es de 77,44 m.
24. a) A^
= 70°; b = 77,83 m; c = 94,82 m
III
II
I
III
II
I
√13√13√13√13
1tg 30°
√10√10√5√5
28
b) B^
= 75°; a = 16,54 m; c = 10,09 m
c) c = 75,3 m
A^
= 62° 43' 49,4''; B^
= 44° 16' 10,6''
d) b = 281,6 m
A^
= 22° 1' 54,45''; C^
= 37° 58' 55,5''
e) A^
= 38° 37' 29,4''; B^
= 48° 30' 33''
C^
= 92° 51' 57,6''
f) A^
= 32° 39' 34,4''; B^
= 93° 17' 46,7''
C^
= 54° 2' 38,9''
g) B^
= 27° 21' 46,8''; C^
= 22° 38' 13,2''
c = 7,54 m
h) B^
= 38° 58' 35,7''; A^
= 84° 1' 24,3''
a = 9,5 m
25. 0,58 m
26. 27,8 km
27. Octógono inscrito: l = 3,82 cm
Octógono circunscrito: l' = 4,14 cm
28.^
B = 99° 3' 1" b = 9 cm
C^
= 30° 56' 59" c = 4,7 cm
29. 120°
30.—EA = 9,38 km
—EB = 6,65 km
31. 60°
PÁGINA 124
32.—
AB =—CD = 6,6 m;
—
BC =—AD = 14,7 m
—BD = 13,9 m; Área = 91 m2
33. A las 3 de la tarde los barcos distarán más de168350 m. No podrán ponerse en contacto.
34. 5,6 cm
35. 79,82 m
36. 74,97 m
37. 1) Verdadera 2) Verdadera 3) Falsa
4) Falsa 5) Verdadera 6) Verdadera
7) Verdadera 8) Verdadera 9) Falsa
10) Verdadera 11) Falsa 12) Verdadera
38. En 8 = =
En 8 =
—
BC = a;^
A' =^
A;—A'C = 2R; = 90°
La igualdad queda:
= 8 = = 2R
Sustituyendo en la primera expresión:
2R = = =
39. • a2 = b2 + c2 – 2bc cos^
A
1,52 = ( )2 + c2 – 2 c cos 60°
c2 – c + 0,75 = 0
c = = m
La ecuación de segundo grado solo tieneuna raíz. Solo hay una solución.
• Podemos resolverlo con el teorema del se-no:
^
B = 90°.
Pero:^
C +^
B = 135° + 90° > 180° ¡Imposible!No hay ningún triángulo con esos datos.
PÁGINA 125
40. 2,18 m
41. 156,96 m
42. 301,04 cm2
43. 45° 14' 23"
√32
√—3 ± √—3 – 32
√3
√3√3
c
sen^
C
b
sen^
B
a
sen^
A
2R1
a
sen^
A
2Rsen 90°
a
sen^
A
ìA'BC
—A'C
senìA'BC
—BC
sen^
A'
�A'BC
c
sen^
C
b
sen^
B
a
sen^
A
�ABC
29
AUTOEVALUACIÓN
1. C^
= 35° 41' 7''
B^
= 54° 18' 53''
2. • sen 154° = sen 26°
cos 154° = –cos 26°
tg 154° = – tg 26°
• sen 207° = –sen 27°
cos 207° = –cos 27°
tg 207° = tg 27°
• sen 318° = –sen 42°
cos 318° = cos 42°
tg 318° = –tg 42°
• sen 2456° = –sen 64°
cos 2456° = cos 64°
tg 2456° = –tg 64°
3. a) cos a = –3/5
b) tg a = –4/3
c) sen (180° + a) = –4/5
d) cos (90° + a) = –4/5
e) tg (180° – a) = 4/3
f) sen (90° + a) = –3/5
4. a = st 3,5 ±= {–|¢…≠∞¢\≠¢}Hay dos soluciones:
a1 = 285° 56' 43'' a2 = 105° 56' 43''
sen a1 = –0,96 sen a2 = 0,96
cos a1 = 0,27 cos a2 = –0,27
30
PÁGINA 128
1. a) 2π; b) 57° 17' 44,8"; c) 90°; d) 3π/2
PÁGINA 129
2. a) rad ≈ 0,52 rad b) rad ≈ 1,26 rad
c) rad ≈ 1,57 rad d) rad ≈ 2,22 rad
e) rad ≈ 3,49 rad f) rad ≈ 5,24 rad
3. a) 114° 35' 29,6" b) 47° 33' 19,8" c) 36°
d) 150° e) 200° 32' 6,8" f) 180°
4. La tabla completa está en el siguiente apartado(página 130) del libro de texto. Tan solo faltala última columna, que es igual que la primera.
PÁGINA 133
1. cos (a – b) = cos (a + (–b)) =
= cos a cos (–b) – sen a sen (–b) =
= cos a cos b – sen a (–sen b) =
= cos a cos b + sen a sen b
2. tg (a – b) = tg (a + (–b)) =
=(*)= =
=
(*) Como ò tg (–a) = – tg a
3. tg (a – b) = =
=(*)=
= =
(*) Dividimos por cos a cos b el numerador yel denominador.
4. cos 12° = 0,98; tg 12° = 0,2
cos 37° = 0,8; tg 37° = 0,75
49° = 12° + 37°
sen 49° = 0,748; cos 49° = 0,664; tg 49° = 1,12
25° = 37° – 12°
sen 25° = 0,428; cos 25° = 0,904; tg 25° = 0,478
5. = =
= =
6. sen 2a = sen (a + a) =
= sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a
cos 2a = cos (a + a) =
= cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a
tg 2a = tg (a + a) = =
7. sen 60° = sen (2 · 30°) = /2
cos 60° = cos (2 · 30°) = 1/2
tg 60° = tg (2 · 30°) =
8. sen 90° = sen (2 · 45°) = 1
cos 90° = cos (2 · 45°) = 0
tg 90° = tg (2 · 45°) = 8 No existe.
9. = =
= =
PÁGINA 134
10. cos a = cos (2 · ) = cos2 – sen2
1 = cos2 + sen2
a) Sumando ambas igualdades:
1 + cos a = 2 cos2 ò cos = ±a2
a2 √1 + cos a
2
a2
a2
a2
a2
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
2 · 11 – 1
√3
√3
2 tg a1 – tg2 a
tg a + tg a1 – tg a tg a
1tg a
cos asen a
2 cos a cos b2 sen a cos b
cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)
tg a – tg b1 + tg a tg b
sena cosb cosa senb—————— – ——————cosa cosb cosa cosbcosa cosb sena senb—————— + ——————cosa cosb cosa cosb
sen a cos b – cos a sen bcos a cos b + sen a sen b
sen (a – b)cos (a – b)
sen (–a) = –sen acos (–a) = cos aØ∞±
tg a – tg b1 + tg a tg b
tg a + (– tg b)1 – tg a (– tg b)
tg a + tg (–b)1 – tg a tg (–b)
5π3
10π9
127π180
π2
2π5
π6
5. FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS
31
b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):
1 – cos a = 2 sen2 ò sen = ±
c) tg = =
11. sen 78° = 0,98; tg 78° = 4,9
sen 39° = 0,63; cos 39° = 0,77; tg 39° = 0,82
12. sen 30° = sen (60°/2) = 0,5
cos 30° = cos (60°/2) = 0,866
tg 30° = tg (60°/2) = 0,577
13. sen 45° = sen (90°/2) =
cos 45° = cos (90°/2) =
tg 45° = tg (90°/2) = 1
14. 2 tg a · sen2 + sen a =
= 2 tg a · + sen a =
= (1 – cos a) + sen a =
= sen a ( + 1) == sen a ( ) == sen a · = = tg a
15. = =
= = = tg2
PÁGINA 135
16. Sumando 8 cos (a + b) + cos (a – b) =
= 2 cos a cos b (1)
Restando 8 cos (a + b) – cos (a – b) == –2 sen a sen b (2)
Sustituyendo a = , b = en (1) y
(2), se obtiene:
(1) 8 cos A + cos B = 2 cos cos
(2)8 cos A – cos B = –2 sen sen
17. a) /2; b) /2; c) – /2
18. tg 3a
PÁGINA 137
1. a) x1 = 60°; x2 = 300°; x3 = 180°
b) x1 = 45°; x2 = 135°; x3 = –45° = 315°; x4 = 225°
c) x1 = 0°; x2 = 180°; x3 = 45°; x4 = 225°
d) x1 = 0°; x2 = 60°; x3 = –60° = 300°
2. a) x1 = 51° 19' 4,13"; x2 = –51° 19' 4,13";x3 = 180°
b) x1 = 90°; x2 = 270°; x3 = 210°; x4 = 330° = –30°
c) x1 = 90°; x2 = 180°
d) x1 = 0°; x2 = 180°; x3 = 30°; x4 = 150°;
x5 = 210°; x6 = 330°
3. x1 = 45°; x2 = 135°; x3 = 225°; x4 = 315°;
x5 = 0°; x6 = 180°
4. a) x1 = rad, x2 = rad
b) La ecuación no tiene solución.
5. a) x = 120° + k · 180° = + k π rad,
k éZ
b) x = + k π rad, k éZ
c) x = + k π rad, k éZ
d) x = k π rad, k éZ
PÁGINA 142
1. a) 30° b) 120° c) 240°
d) 225° e) 210° f) 810°
2. a) 85° 56' 37" b) 183° 20' 47"
c) 286° 28' 44" d) 157° 33' 48"
π2
π4
2π3
7π6
11π6
√2 √6 √6
A + B2
A – B2
A + B2
A – B2
A – B2
A + B2
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
sen acos a
1cos a
1 – cos a + cos acos a
1 – cos acos a
sen acos a
1 – cos a2
a2
√22
√22
√1 – cos a1 + cos a
sen a/2cos a/2
a2
√1 – cos a2
a2
a2
32
3. a) 2π/9 ≈ 0,7 rad b) 3π/5 ≈ 1,88 rad
c) 3π/4 ≈ 2,36 rad d) 4π/3 ≈ 4,19 rad
e) 3π/2 ≈ 4,71 rad f) 7π/10 ≈ 2,2 rad
4. a) –2 b) –1 c) 3
5. a) 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2
b) 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3
6. a) b) –2 c)
7. a) – b) + c) –2
8. a) a1 = 0,33 a2 = 2,82
b) a1 = 0,95 a2 = 5,33c) a1 = –0,98 a2 = 2,16d) a1 = –0,68 a2 = 3,82
9. a) 2.º cuadranteb) 3.er cuadrantec) 4.º cuadrante
10. sen 75° = ( + )/4; cos 75° = ( – )/4
tg 75° = 2 +
11. a) –24/25 b) 3 c) (3 – 4)/10
d) (3 – 4)/10 e) /10 f ) 1/7
PÁGINA 143
12. sen 15° = 0,258819; cos 15° = 0,965926;
tg 15° = 0,267949
13. a) 4 /9 b) c) (3 + 5)/15
14. a) –3/5 b) – /5
15. a) – /4 b) 3/4 c) 1/8
d) e) –3/4 f) /8
16. sen 41° = 0,664; cos 41° = 0,748; tg 41° = 0,8877
17. tg 2b = –84/13
18. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
19. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 135° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
d) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ7π6
π6
11π6
7π6
π2
7π4
5π4
3π4
π4
3π2
π2
11π6
π6
3π2
π2
π2
3π2
π2
√8√7√7
√5
√15√9 – 4√—5√5
√10√3
√3
√3
√2√6√6√2
2√33
12
√22
5√33
√2 + 22
12
√32
√3
√22
√212
33
20. a) x1 = + 2k π = 60° + k · 360°, k éZ
x2 = + 2k π = 300° + k · 360°, k éZ
b) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
d) x1 = + 2k π = 45° + k · 360°, k éZ
x2 = + 2k π = 225° + k · 360°, k éZ
21. a) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x5 = 135° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x6 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈
≈ (π/5) + 2k π, k éZx2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈
≈ (6π/5) + 2k π, k éZx3 = 135° + k · 360° = (3π/5) + 2k π, k éZx4 = 315° + k · 360° = (7π/5) + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = (π/2) + 2k π, k éZx2 = 270° + k · 360° = (3π/2) + 2k π, k éZ
d) x = k · 360° = 2k π, k éZ
e) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 60° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 300° + k · 360° = + 2k π, k éZ
22. = =
= =
23. 2 tg x cos2 – sen x =
= 2 · – sen x =
= =
= = = tg x
24. cos (x + ) – cos (x + ) == [cos x cos – sen x sen ] –– [cos x cos – sen x sen ] == [(cos x) – (sen x) ] –– [(cos x) (– ) – (sen x) ] = cos x –
– sen x + cos x + sen x = cos x
25. cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) =
= cos a (cos a cos b + sen a sen b) +
+ sen a (sen a cos b – cos a sen b) =
= cos2 a cos b + cos a sen a sen b +
+ sen2 a cos b – sen a cos a sen b =
= cos2 a cos b + sen2 a cos b =
= cos b (cos2 a + sen2 a) = cos b · 1 = cos b
√32
12
√32
12
√32
12
12
√32
2π3
2π3
π3
π3
π3
2π3
sen x [1 + cos x – cos x]cos x
sen xcos x
sen x (1 + cos x) – sen x cos xcos x
sen xcos x
1 + cos x2
x2
sen a cos b cos a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bsen a cos b cos a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b
tg a + tg btg a – tg b
sen (a + b)sen (a – b)
sen a cos b + cos a sen bsen a cos b – cos a sen b
5π3
π3
3π2
π2
7π4
3π4
5π4
π4
5π4
π4
5π6
π6
5π4
π4
3π2
π2
5π3
π3
34
PÁGINA 144
26. 1,25 rad = 71° 37' 11"
27. R = 4,8 cm
28. 3π/4
29. = =
= =
=
30. =
Si a = ò = 2
31. = =
= = = tg2
32. 1
33. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = (π/2) + 2k π, k éZx2 = 270° + k · 360° = (3π/2) + 2k π, k éZx3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π,
k éZx4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π,
k éZ
d) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 120° + k · 360° = + 2k π, k éZ
e) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 120° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π, k éZ
f) x1 = k · 180° = k π, k éZ
x2 = 30° + k · 90° = + k · , k éZ
g) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZx3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ (2π/5) + 2k π,
k éZx4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ (7π/5) + 2k π,
k éZ
34. a) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 15° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 75° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 195° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 255° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
d) x1 = 157,5° + k · 360°, k éZ
x2 = 67,5° + k · 360°, k éZ
x3 = 337,5° + k · 360°, k éZ
x4 = 247,5° + k · 360°, k éZ
11π6
5π6
17π12
13π12
5π12
π12
5π6
π6
π6
π2
4π3
2π3
2π3
4π3
11π6
5π6
7π6
π6
5π6
π6
π2
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
sen 2a1 – cos2 a
π4
2 cos asen a
sen 2a1 – cos2 a
1 + tg a tg b1 – tg a tg b
cos a cos b sen a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b
cos a cos b + sen a sen bcos a cos b – sen a sen b
cos (a – b)cos (a + b)
35
35. a) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácti-cos).
b) x1 = k · 180° = k π, k éZ
x2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k π, k éZ
x3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k π, k éZ
36. a) cos (a + b) cos (a – b) = (cos a cos b –
– sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) =
= cos2 a cos2 b – sen2 a sen2 b =
= cos2 a (1 – sen2 b) – (1 – cos2 a) ·
· sen2 b = cos2 a – cos2 a sen2 b – sen2 b +
+ cos2 a sen2 b = cos2 a – sen2 b
b) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácti-cos).
c) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácticos).
37. sen a · cos 2a – cos a · sen 2a = –sen a
38. a) (90°, 30°); b) (0°, 0°); c) (30°, 60°)
39. Se justifica (ver CD de Recursos Didácticos).
40. sen 4a = 4 (sen a cos3 a – sen3 a cos a)
cos 4a = cos4 a + sen4 a – 6 sen2 a cos2 a
PÁGINA 145
41. sen = sen ; cos = –cos ;
tg = – tg
42. a) ò tg (π – a) = – tg a
b) ò tg (π + a) = tg a
c) ò
ò tg (2π – a) = – tg a
43. a) A (x) = –2 sen x b) A (x) = 0
c) A (x) = –sen x + cos x
44.
45.
46. a) (60°, 60°); b) (30°, 45°); c) (45°, 15°)
47. a), b) y c) Se demuestran (ver CD de RecursosDidácticos).
AUTOEVALUACIÓN
1. rad = 135°
rad = 450°
2 rad = 144° 35' 30''
2. a) 60° = rad = 1,05 rad
b) 225° = rad = 3,93 rad
c) 330° = rad = 5,76 rad
3. l = 24 cm
4. La gráfica corresponde a b) y = cos 2x.
Su periodo es π.
11π6
5π4
π3
5π2
3π4
–—
a) 1
0
–1
π–π π2—π
2–— π
4—π
4–— —3π
4–—3π
4
b) 1
0
–1
π–π π2—π
2π4—π
4–— —3π
4–—3π
4
d) 1
0
–1
π–π π2—π
2π4—π
4–— —3π
4–—3π
4
c) 1
0
–1
π–π
π2—π
2–— π
4—π
4–— —3π
4–—3π
4
1
0
–1
ππ2—π
4— —3π
2—7π4
—5π4
—3π4
sen (2π – a) = –sen acos (2π – a) = cos aØ
∞±
sen (π + a) = –sen acos (π + a) = –cos aØ
∞±
sen (π – a) = sen acos (π – a) = –cos aØ
∞±
4π5
π5
4π5
π5
4π5
π5
36
( , ), ( , – ), (– , 0)5. a) sen 2a = –
b) cos (π + a) =
c) tg =
d) sen ( – a) =
6. a) y b) Se demuestran (ver CD de Recursos Di-dácticos).
7. a) x1 = 360° · k, k éZ
x2 = 180° + 360° · k, k éZ
x3 = 30° + 360° · k, k éZ
x4 = 150° + 360° · k, k éZ
b) x1 = 45° + 360° · k, k éZ
x2 = 225° + 360° · k, k éZ
8. a) 1 b) 2
–1 – 3√58
π6
√5/3a2
14
√158
π4
12
4π3
12
5π6
37
PÁGINA 147
Extraer fuera de la raíz
� a) 4 b) 10
Potencias de
� a) – b) 1 c)
¿Cómo se maneja k · ?
� a) 0 b) 0 c)
Expresiones del tipo a + b ·
� a) –1 – 5 b) –3 –
� a) –18 – 54 b) 28 – 16
Multiplicaciones
� a) 3 + 4 b) –16 + 40
c) 41 – d) 29
Ecuaciones de segundo grado
� a) x1 = –5 + 2√—–1, x2 = –5 – 2√
—–1
b) x1 = 3√—–1, x2 = –3√
—–1
PÁGINA 149
1. • Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i,
–1 – i, 4i
Imaginarios puros: –5i, i, 4i
2. a) z1 = 2i, z2 = –2i
b) z1 = –3 – i, z2 = –3 + i
c) z1 = –3i, z2 = 3i
d) z1 = –3, z2 = 3
3. a) Opuesto: –3 + 5i
Conjugado: 3 + 5i
–3 + 5i 3 + 5i
3 – 5i
–3 3
3i
–3i
–3 + i
–3 – i
2i
–2i
i— + — i12
54
5 – 3i
4i
–5i
7–7–1 – i
√—3i
1
√3
√354
12
√–1
√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1
√–1
√–1385
√–1
√–1√–1
√–1
√–1√–1
6. NÚMEROS COMPLEJOS
38
b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i
c) Opuesto: 1 + 2i
Conjugado: –1 + 2i
d) Opuesto: 2 – 3i
Conjugado: –2 – 3i
e) Opuesto: –5
Conjugado: 5
f) Opuesto: 0
Conjugado: 0
g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i
h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i
4. i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1
i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i
CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y loescribimos como sigue:
in = i4c + r = i4c · i r = (i4)c · i r =
= 1c · i r = 1 · i r = i r
Por tanto, in = i r, donde r es el resto de di-vidir n entre 4.
PÁGINA 151
1. a) 18 – 18i b) –9i c) 16 + 2i
d) 28 + 3i e) 16 – 2i f ) i
g) – i h) – i i) + i
j) + i k) –2 – 4i l) –9 + i
m) + i274
94
65
1125
2325
35
–115
1617
417
1310
–110
5i
–5i
2i
–2i
0
5–5
–2 + 3i
–2 – 3i 2 – 3i
–1 – 2i
–1 + 2i 1 + 2i
–5 – 2i
5 + 2i
5 – 2i
39
2. a) x2 – 4x + 7
b) x2 + 9
c) x2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )
3. Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25
4. z1 + z2 = 5 + 7i
PÁGINA 153
1. a) 1 + i = 260° b) + i = 230°
c) –1 + i = 135° d) 5 – 12i = 13292° 37'
e) 3i = 390° f) –5 = 5180º
2. a) + i b) – + i
c) – + i d) – – i
e) –5 f) 4i
3. Opuesto: –z = r180° + a
Conjugado: –z = r360° – a
4. z = 830° = 4 + 4i
5. a) z1 = 2 + 2 i; z2 = – – i
b) z1 · z2 = –12i = 12270°
= = ( )150°c) z1 · z2 = 12270°
= = ( )150°
PÁGINA 155
1. a) 5180° = –5
b) 230° = + i
c) 6120° = –3 + 3 i
d) 560° = + i
e) 3260° = 16 + 16 i
f) 4i = 490º
2. a) (230º)3 = 890º = (2150º)3 = (2270º)3
b) (260º)4 = 16240º = (2150º)4 = (2330º)4
(2270º)4 = 161080º = 160º
3. a) 1060° b) ( )15° c) ( )300° d) 10
4. cos 3a = cos3 a – 3 cos a sen2 a
sen 3a = 3 cos2 a sen a – sen3 a
PÁGINA 157
1. Las seis raíces son:
10° = 1 160° = + i
1120° = – + i 1180° = –1
1240° = – – i 1300° = – i
2. z1 = 360° = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3240° = – – i32
3√32
32
3√32
1
12
√32
12
√32
12
√32
12
√32
54
12532
√3
52
5√32
√3
√3
34
3210°460°
z2z1
34
–6√—3 + 6i16
z2z1
32
3√32
√3
√3
3√32
32
√2√2
√2√252
5√32
√2
√3√3
7i
i
5i
z1 + z2
z1
z2
1 2 3 4 5
40
3. a) Las tres raíces son: 190° = i,
1210° = – – i, 1330° = + i
b) Las cuatro raíces son:
230° = + i, 2120° = –1 + i,
2210° = –1 – i, 2300° = – i
c) Las dos raíces son: 590° = 5i ; 5270° = –5i
d) Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°
4. a) Las cuatro raíces son:
145° = + i ; 1135° = – + i ;
1225° = – – i ; 1315° = – i
b) Las seis raíces son:
230° = 2 ( + i ) = + 1
290° = 2i
2150° = 2 (– + i ) = – + i
2210° = 2 (– – i ) = – – i
2270° = –2i
2330° = 2 ( – i ) = – i
5. z y w raíces sextas de 1 8 z6 = 1, w6 = 1
(z · w )6 = z6 · w6 = 1
( )6 = = = 1
z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1
z3 = (z3)6 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1
6. 536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i
536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i
536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i
7. a) Las dos raíces son: 390° = 3i ; 3270° = –3i
b) Las tres raíces son:
z1 = 360° = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3300° = – i
c) Las tres raíces son:
z1 = 105° = –0,37 + 1,37i
z2 = 225° = –1 – i
z3 = 345° = 1,37 – 0,37i
z1
z2
i
–i
z3
–1
1
√2
√2
√2
z1
z2
z3
–3
32
3√32
32
3√32
–3i
3i
11
z6
w6zw
√312
√32
√312
√32
√312
√32
√312
√32
√22
√22
√22
√22
√22
√22
√22
√22
6√26√26√2
√3√3√3√3
12
√32
12
√32
z1
z2
z3
–3
41
d) Las tres raíces son:
190° = i
1210° = – – i
1330° = – i
e) Las cinco raíces son:
z1 = 218° = 1,9 + 0,6i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i
z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i
z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i
f) Las tres raíces son:
z1 = 230º
z2 = 2150º
z3 = 2270º
PÁGINA 158
1. a) Re z = 3
b) –1 Ì Im z < 3
c) |z| = 3
d) |z| > 2
e) Arg z = 90°
2. a)
b)
c)
d)
z1z2
z3
z1
z2
z3
z4 z5
1210° 1330°
i
12
√32
12
√32
42
e)
PÁGINA 162
1. a) 9 + 6i b) –4 + 2i
c) –5 – 22i d) 18 + 24i
2. a) 3 + 6i b) – i
c) + i d) = + i
3. a) 22 – 6i b) –13 – 19i
c) – + i d) – – i
e) 1 + i f) –10 + i
4. a) i b) –1 c) i d) 1 e) 1
5. a) z2 = – – i; 1 + z + z2 = 0
b) = – – i = z2
6. m = –7; n = 5
7. k = 3
8. Hay dos soluciones:
a1 = –2, b1 = –1; a2 = 2, b2 = 1
9. Hay dos soluciones:
a1 = 2/3, b1 = –3; a2 = –2, b2 = 1
10. a = 11/5; b = –108/5
11. a) b = –2 b) b = 8
12. a1 = –2, a2 = 2
13. x1 = –1, x2 = 2
14. a) 1 – i = 315°
Opuesto: –1 + i = 135°
Conjugado: 1 + i = 45°
b) –1 + i = 135°
Opuesto: 1 – i = 315°
Conjugado: –1 – i = 225°
c) + i = 230°
Opuesto: – – i = 2210°
Conjugado: – i = 2330°
d) – – i = 2210°
Opuesto: + i = 230°
Conjugado: – + i = 2150°
e) –4 = 4180°
Opuesto: 4 = 40°
Conjugado: –4 = 4180°
4–4
√—3 + i
√—3 – i–
√—3 + i–
√3
√3
√3
√—3 + i
√—3 – i√
—3 – i–
√3
√3
√3
–1 – i
–1 + i
1 – i
√2
√2
√2
1 – i
–1 + i 1 + i
√2
√2
√2
√32
12
1z
√32
12
373
413
613
95
75
1310
–710
2313
1513
720
920
43
f ) 2i = 290°
Opuesto: –2i = 2270°
Conjugado: –2i = 2270°
g) – i = ( )270°Opuesto: i = ( )90°Conjugado: i = ( )90°
h) 2 + 2 i = 60°
Opuesto: –2 – 2 i = 240°
Conjugado: 2 – 2 i = 300°
15. a) + i b) + i c) –
d) 17 e) i f ) –5i
g) – + i h) –0,69 + 3,94i
16. a) 830º b) 1275º c) 6225º
d) 1,545º e) 2210º f) 1,5105º
g) 4180º h) 640º i) 81180º
17. a) (–1 – i )5 = ( 225°)5 = 4 + 4ib) =
Las cuatro raíces son:
75°, 165°, 255°, 345°
c) =
Las cuatro raíces son: 2 0° = 2 ,
2 90° = 2 i, 2 180° = –2 ,
2 270° = –2 i
d) =
Las tres raíces son:
230° = + i, 2150° = – + i, 2270° = –2i
e) (–2 + 2i )6 = 4 096180° = –4 096f) (3 – 4i )3 = 125200° 36'
18. a) + i
b) Las tres raíces son:
6
23° 51'= 0,785 + 0,347i
6
143° 51'= –0,693 + 0,56i
6
263° 51'= –0,092 – 0,853i
1
i
√ 25
√ 25
√ 25
–1
–— + —i14
14
–14
14
√3
√3 √3
3√8i 3√890°
√2 √2
√2 √2 √2 √2
√2 √2
4√64 4√640°
4√2 4√2 4√2 4√2
4√1 – √—3 i
4√2300°
√2
12
√32
√232
3√32
√2√2
2 + 2 3i√—
–2 – 2 3i√—
2 – 2 3i√—
√14√3
√14√3
√14√3
3i/4
–3i/4
34
34
34
34
34
34
2i
–2i
44
19. a)Las tres raíces son:
2100° = –0,35 + 1,97i
2220° = –1,53 – 1,26i
2340° = 1,88 – 0,68i
b) Las cuatro raíces son:
245° = + i
2135° = – + i
2225° = – – i
2315° = – i
c) Las tres raíces son:
230° = + i
2150° = – + i
2270° = –2i
PÁGINA 163
20. a) (1 + i )5 =16 – 16 i
b) (–1 – i )6 ( – i ) = 128330° =64 – 64i
c) =
Las cuatro raíces son:
30° = + i
120° = – + i
210° = – – i
300° = – i
d) = 225° = –1 – i
e) =
Las seis raíces son:
230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i
2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i
f ) =
Las dos raíces son:
112° 30' = –0,46 + 1,1i
292° 30' = 0,46 – 1,1i
g) =
Las tres raíces son: 190° = i
1210° = – – i 1330° = – i
h) = ( )180°Las dos raíces son:
( )90°= i
( )270°
= – i
21. a) z = 2300°; –z = 2120°;–z = 260°
b) z = 2 225°; –z = 2 45°;–z = 2 135°
c) z = 4150°; –z = 4330°;–z = 4210°
22. a) Las cinco raíces son:
118°, 190°, 1162°, 1234°, 1306°
b) Las seis raíces son: 130°, 190° , 1150° , 1210°,1270° , 1330°
1
1
√2√2√2
√ 23√ 2
3
√ 23√ 2
3
23√ 2 – 2i
–3 + 3i
12
√32
12
√32
3√1270°3√–i
4√2
4√2
√√—2225°√–1 – i
√3√3
√3√3
6√64180°6√–64
√28(1 – i )5
√62
√22
√2
√22
√62
√2
√62
√22
√2
√22
√62
√2
4√4120°4√–2 + 2√—3 i
√3√3√3
√3√3
2 2
2√3
√3
2 2
2 2√2√2
√2√2
√2√2
√2√2
2
2 2
45
c) Las cuatro raíces son:
7° 30, 97° 30, 187° 30, 277° 30'
23. a) z1 = –2i; z2 = 2i
b) z1 = – – i; z2 = – + i
c) z1 = – – i; z2 = – + i
d) z1 = – i; z2 = + i
24. a) Las cinco raíces son:
236°; 2108°; 2180°; 2252°; 2324°
b) Las tres raíces son: 390°; 3210°; 3330°
c) Las tres raíces son:
290° = 2i; 2210° = – – i; 2330° = – i
d) Las cuatro raíces son:
22° 30' = 1,3 + 0,5i
112° 30' = –0,5 + 1,3i
202° 30' = –1,3 – 0,5i
292° 30' = 0,5 – 1,3i
25. a) z1 = 2135°; z2 = 2315°
b) z1 = 1 – 2i; z2 = 1 + 2i
c) z1 = – i; z2 = i
d) z1 = 2i = 290º; z2 = –2i = 2270º;
z3 = 3i = 390º; z4 = –3i = 3270º
26. a) Las cuatro raíces son:
10° = 1; 190° = i; 1180° = –1; 1270° = –i
b) Las cuatro raíces son: 245° = + i;
2135° = – + i; 2225° = – – i;
2315° = – i
c) Las cuatro raíces son:
0; 20° = 2; 2120° = –1 + i; 2240° = –1 – i
27. a) z = –2 + 3i; w = 1 – i
b) z = 2 – 5i; w = 3i
28. Hay dos soluciones: m = –4 y m = 4
29. Los números son: 6π/6 y 2π/6
30. Hay cuatro soluciones:
z1 = 122° 30; w1 = 267° 30'
z2 = 1112° 30; w2 = 2337° 30'
z3 = 1202° 30; w3 = 2247° 30'
z4 = 1292° 30; w4 = 2157° 30'
31. Hay tres soluciones:
w1 = 260°; z1 = 4120°
w2 = 2180°; z2 = 4
w3 = 2300°; z3 = 4240°
32. Los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien111π/12 y 223π /12
33. cos 75° = sen 75° =
34. cos 15° = sen 15° =
35. x1 = 2; x2 = –2
36. |z| = = 1
37. x = 14
PÁGINA 164
38. Hay dos soluciones:
z1 = 4 + 3i 8 –z1 = 4 – 3i
z2 = 4 – 3i 8 –z2 = 4 + 3i
39. Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i
40. Las tres raíces son:
z1 = 75°; z2 = 195°; z3 = 315°√2√2√2
√1 + x2
√1 + x2
√—6 – √
—2
4√—6 + √
—2
4
√—6 + √
—2
4√—6 – √
—2
4
√3√3
√2√2
√2√2√2√2
√2√2
√5√5
√2√2√2√2
√3√3
√32
12
√32
12
√192
32
√192
32
√152
12
√152
12
√—2
√2√2√2√2
46
La longitud del lado del triángulo es l = .
41. • Las tres raíces cúbicas de 8i son:
z1 = 230°; z2 = 2150°; z3 = 2270°
• Las tres raíces cúbicas de –8i son:
z1 = 290°; z2 = 2210°; z3 = 2330°
• Las tres raíces cúbicas de 8 son:
z1 = 20°; z2 = 2120°; z3 = 2240°
• Las tres raíces cúbicas de –8 son:
z1 = 260°; z2 = 2180°; z3 = 2300°
42. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de unnúmero complejo, formarían entre cada dos deellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman elmismo ángulo, como vemos en la representa-ción gráfica:
43. • 1.er hexágono:
z1 = 20° = 2
z2 = 260° = 1 + i
z3 = 2120° = –1 + i
z4 = 2180° = –2
z5 = 2240° = –1 – i
z6 = 2300° = 1 – i
• 2.° hexágono:
z1 = 230° = + i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2150° = – + i
z4 = 2210° = – – i
z5 = 2270° = –2i
z6 = 2330° = – i
44. Sí son las raíces quintas de un número complejo.z = (228°)5 = 32140°
45. Los otros vértices son: 3112°; 3184°; 3256°; 3328°
El número es z = (340°)5 = 243.
46. 1 + i = 45°
Las otras raíces cúbicas son:
45° + 120° = 165°; 165° + 120° = 285°
z = –2 + 2i
47. x2 – 2x + 2 = 0
48. a) x2 + 25 = 0
b) x2 – 4x + 13 = 0
49. a) z = 0; w = –1 + 2i
b) z = 2 – i; w = –3 + 2i
√2√2√2√2
√2
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
1
i
3√–83√8
z1
z2
z3
z1
z2
z3
3√–8i3√8i
z1z2
z3
z1
z2 z3
√6
√—2
120°
z1
l
z2
z3
47
50. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
51.
52. a)
b)
c)2
–2
1 2–1–2
x = —32x = – —3
2
1–1x = 0
1–1–2
x = – —32
45°
3
3
–2 5
3
–1
3
0
1
2
48
53. a) Re z = –3 b) Im z = 2
c) –1 Ì Re z ≤ 1 d) 0 Ì Im z < 2
e) f) |z| = 3
PÁGINA 165
54. No, también son reales los números con argu-mento 180° (los negativos).
55. ra + 180° = –z (opuesto de z)
r360° – a =–z (conjugado de z)
56. z = a + bi = ra 8 –z = a – bi = r360° – a
w = c + di = r'b 8 –w = c – di = r'360° – b
a) –z + –w = (a + c) – (b + d ) i = —z + w
b) –z · –w = (r · r')360° – a + 360° – b =
= (r · r')360° – (a + b) =—z · w
c) k –z = ka – kbi =—kz
57. = = ( )–a = ( )360° – a8
8 | | = =
58. Sí. Por ejemplo:
z = i, w = i
z · w = i · i = i2 = –1 é Á
59. iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i
60. Se diferencian en 180°.
61. Ha de tener módulo 1.
62. La longitud del lado es l = 2,6 unidades.
63. z = 245°, w = 4135°
64. a) = ( )5π/3
b) = ( )270°
c) = – – i
Si z = ra, entonces = ( )360° – a
65. a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.
b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.
66. |z – (1 + i )| = 3
1z
1r
–1 + i
1–1 + i———
1–1 + i
12
12
2i
–1/2i
12i
12
π/3
3π/3
(1/3–π/3) –π/3
13π/3
13
90°
4 – 3i
3 + 4i
1
|z|
1r
1z
1r
1r
10°ra
1z
–3 < Re z < 2–2 < Im z < 3
°¢£
49
AUTOEVALUACIÓN
1. – + i
2. z = 4240° = –2 – 2 i
3. b = –7, a = –4
4. z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i
5. Hay dos soluciones:
x1 = 2, x2 = –2
6. l = 2 u
7. a)
b)
c) a + bi + a – bi = –4 8
8 2a = –4 8 a = –2
8. Los números son 6120° y 3330° o bien 6300° y3150°.
9. z · z– = a2 + b2 = |z|2
10. cos 120° = – ; sen 120° =
11. z = + i
√3
3710
1910
2 + 3√32
2√3 – 32
√32
12
1–2
3
3
5
1
√3
50
PÁGINA 166
1. c = 4 cm
a = 2 cm
B^
= 56° 18' 36''
C^
= 33° 41' 24''
2. Perímetro = 33,3 cm
3. El mástil mide 7,32 m y el cable, 24,99 m.
4. sen a = ; cos a =
sen2 a + cos2 a ? 1.
Por tanto, no existe ningún ángulo que verifi-que las dos condiciones a la vez.
5. Perímetro = 61,48 cm
Área = 83,23 cm2
6. a) cos 297° = cos 63°
a) cos 297° = cos 63°
b) sen 1252° = sen 8°
c) tg (–100°) = tg 80°
d) sen = sen
7. a) cos 2a = –3/5
b) sen ( – a =
c) sen =
d) tg ( + a = –3
8. a) 8 IV
b) 8 III
c) 8 I
d) 8 II
9. cos4 x – sen4 x =
= (cos2 x + sen2 x)(cos2 x – sen2 x) =
= cos2 x – sen2 x =
= cos2 x – (1 – cos2 x) =
= 2cos2 x – 1
10. a) x1 = 0° + 360° k, k é Z 8 Vale
x2 = 126° 52' 12'' + 360° k, k é Z
x3 = 233° 7' 48'' 8 No vale
b) x1 = 30°, y1 = 30°
x2 = 50°, y2 = 90°
x3 = 130°, y3 = –270°
x4 = 150°, y4 = –210°
11. z– = 3300°
–z = 3240°
=300°
12. = i
13. x2 + 2x + 4 = 0
14. Los números son 5 + i y 5 – i.
15. A = 1 + i = 260°; B = 2150°;
C = 2240°; D = 2330°; l = 2 u√2
√3
√15√15
i10 – 2i7
2 + i33
)13(1z
)π4
5 – √—5√ 10
a2
√55)π
2
2π5
13π5
34
12
√13
BLOQUE II. TRIGONOMETRÍAY NÚMEROS COMPLEJOS
51
PÁGINA 171
Multiplica vectores por números
�
•8a (2, 3);
8b(–2, –2);
8c (3, 0);
8d (5, 5)
•8d = –2,5
8b =
8b
• 28a = (4, 6)
58b = (–10, –10)
8c = (1, 0)
Suma vectores
� a) + = (5, 3)
b) + = (1, –2)
c) + = (0, 1)
d) + + = (3, 1)
Combina operaciones
� a) 2 + 3 = (12, –4)
b) – + 5 = (13, –3)
c) 2 + 3 – 4 = (0, 0). Vector nulo:80
PÁGINA 175
1. a) (–3, 6)
b) (–3, 9)
c) ( , )d) (–1, )11
2
–173
413
2u8
3v8
–4w8
c)
–v8
5w8
–v + 5w8 8
a b)
2u8
2u + 3v8 8
3v8
a)
8u
8v
8w
8v
8w
8u
8v
8u
8w
8v
a8 a
8
c8
b8
b8
b + a8 8
a + b + c8 88
c) d)
8a
8b
8c
8b
8a
a + c
a8
8
c8
c8
b8
8
b + c8 8a) b) c) d)
8b
8c
8a
8c
13
–52
2a
1/3 c
8
8
d = –5/2 b8 8
5b8
7. VECTORES
52
PÁGINA 176
1. a) 3 b) 3 c) –3
d) –45 e) 16 f) – 9/4
2. 97° 39' 44''
3.8u · (
8v +
8u) = 3/2
8v · (
8v –
8u) =
8v ·
8v –
8v ·
8u = 65/2
PÁGINA 178
4. a) · = –15
· = –15
b) | | = 5
| | =
( ) = 161° 33' 54''
c) k = 4/3
d) Hay dos soluciones: , y – , – .
PÁGINA 182
1. a) | | = | |. Tienen distinta dirección.
b) Los dos vectores tienen la misma dirección,el mismo sentido y el mismo módulo, luego:
=
c) | | = .
Tienen la misma dirección y el mismo senti-do. Luego:
=
d) | | < | |.
Sus direcciones son perpendiculares:
2
2. = = =
= = =
3. a) = 2 b) =
c) = – d) = –
4. a) + = b) + =
c) + = d) + =
5. a) b) =
c) – d) =
e) f) 2
6.
7. = – –
= + –
= – +
8.
– + = (–1, 1) – = (1, –1)
+ = (1, 1) – – = (–1, –1)
– + 2 = (–1, 2) – 2 = (1, –2)8u
8v
8u
8v
8u
8v
8u
8v
8u
8v
8u
8v
u8
–u8
–u8
–u8
–v8
–v8
–2v8
2v8
–u + v8 8
–u – v8 8
u – v8 8
u – 2v8 8
–u + 2v8 8u + v
8 8
v8
v8
u8
u8
v8
u8
8c
8x
8y
8z
8b
8x
8y
8z
8a
8y
8z
8x
u8
u8
u8
u8
v8
v8
v8
v8
w8
w8
w8
w8
a)
d)
b)
c)
8AC
8DC
8BA
8CD
8AA
80
8AC
8AB
8DC
8OP
8SO
8FD
8AM
8AM
8AB
8AF
8BC
8AE
8AS
8CC
8SF
8OP
8OS
8NB
12
8BC
8CD CP
8 8MN
12
8AC
8AS
8SF
8CP
8PD
8NC
8BN
8FR
8RE
8OS
8OE
8OS
8OE
8BM
12
8DE
8BM
12
8DE
8FE
8BC
8AB
8BC
( 45 35 ) ( 4
535 )
ì8u,
8v
8v √10
8u
8v
8u
8u
8v
√3
√3 √3 √3
53
9. = (– , ); = ( , 1); = ( , 1)PÁGINA 183
10. = (2, 2); = (0, –3); = (–1, 0); = (–1, 3)
11. Las coordenadas de en la nueva base son(2, 3).
12. a) (–7, ) b) ( , ) c) ( , 2)13. (–20, 22)
14. m = , n =
15. = 5 – 4
16. a) Sí forman una base, pues tienen distinta di-rección ( ? k para cualquier k).
b) No forman una base, pues tienen la mismadirección ( = 3 ).
17. a) · = 2 b) · = –2
c) · = 4 d) · = –4
18. a) –6 b) –13 c) 12
19. a) k = 2 b) k = 30 c) k = –15/2
20. a) 22 b) 29 c) (–15, –6) d) (20, 30)
21. | | = | | =
| | = 10 | | = 1
| | = 5 | | =
22. m1= 4/5; m2= –4/5
23. x = 17/3; a = 78° 28' 34,6''
24. a) ( ) = 112° 22' 48"
b) ( ) = 90°
c) ( ) = 135°
25. a) k = –10 b) k = ±3
26. a) 1 = , – ; 2 = – ,
b) 1 = (8, 6); 2 = (–8, –6)
c) 1 = ( , ); 2 ( , )PÁGINA 184
27. 1 (–8, 6); 2 (8, –6)
28. ( , )29. a1 = 3, b1 = =
a2 = –3, b2 = =
30. k1 = –4/3; k2 = –8/3
31. k = ± (dos soluciones)
32. k1 = 8, h1 = 4; k2 = –8, h2 = –4
33. 1(0, 1) y 2 , –
34.8a = –
8x + 2
8y
8b =
8x + 2
8y
8c =
8x –
8y
35. |8a –
8b| = 7
36. |8v| =
37. |8u +
8v| = ; |8
u –8v| =
38. |8x +
8y| = ; |
8x –
8y| =
39. ( ) = 90°
40. x1 = 4/3; x2 = –3/4
41. x1 = –2,36; x2 = 20,82
42.8x1 = (4,46; 0,27);
8x2 = (–2,46; 3,73)
43.8a1 ( – , –3 + ) o
8a2 = ( + , –3 – )
44. (proy. de8v sobre
8u) = 9√10
5
–32
√3 √32
–32
√3 √32
ì8u,
8v
√2 √2
√34 √34
√20
12
12
12
8u
8u ( 45 3
5 )
10
√73
5a2
–152
5a2
152
8v –1
434
8v
8v
8v 4
535
8v –4
5–35
8v
8v
8v ( 35 4
5 ) 8v ( 3
545 )
ì8a,
8b
ì8m,
8n
ì8u,
8v
8t
8r √2
8w
8z
8u √13 8
v √13
8AB
8ED
8BC
8EF
8OA
8OB
8OA
8OC
8u
8v
8u
8v
8a
8b
8c
–54
–154
8b
212
–95
725
–176
8v
8a
8b
8c
8d
8u 1
212
8v 3
48w 3
2
54
45. proy. de8b sobre
8a =
proy. de8a sobre
8b =
46.8x ·
8y = 1
47. Los vectores pedidos son8x(3, 6) e
8y(2, –1).
48. ( ) = 120°
49.8a (a1, a2),
8b (b1, b2),
8c (c1, c2)
(8b · 8c) 8a – (8a · 8c) 8b =
= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1)
[(8b ·8c)
8a – (
8a ·
8c )
8b] ·
8c =
= a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0
PÁGINA 185
50. a) Número b) Vector
c) Número d) Número
51. a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que3
8a tiene la dirección de
8a y –2
8b tiene la
dirección de8b (que, por ser B (
8a,
8b) base,
no es la misma).
b) No, pues –8a –
8b = –1 (
8a +
8b), luego los dos
vectores tienen la misma dirección (y senti-dos opuestos).
c) Sí, pues tienen distinta dirección.
d) No, pues tienen la misma dirección al ser8a –
8b = –1 (
8b –
8a).
52. a) ( ) = 0°
b) ( ) = 90°
c) ( ) = 180°
d) ( ) = 60°
53. a)8v = ( , ), –
8v = ( , – )
b)8v ( , ), –
8v ( , )
54. a)8AC =
8a +
8b
8BD = –
8a +
8b
b) AC ·8BD = |
8b|
2– |8
a|2
Como |8b| = |8
a|, AC ·8BD = 0
55.8a ·
8b = |8
a| · proy. de8b sobre
8a
8a ·
8c = |8
a| · proy. de8c sobre
8a
Como ambas pro-yecciones coinciden:
8a ·
8b =
8a ·
8c
Y, sin embargo:8b ? 8
c
56.8a 2
8b 8 8
a ·8b = 0
8a 2 8
c 8 8a ·
8c = 0
8a · (m
8b + n
8c ) = m (
8a ·
8b) + n (
8a ·
8c) =
= m · 0 + n · 0 = 0
57.8
8
8 8a ·
8c = 0 8 8
a 2 8c
8a ·
8b = 0
8a · (
8b +
8c ) =
8a ·
8b +
8a ·
8c = 0
°¢£
Si8a 2
8b
Si8a 2 (
8b +
8c )
°¢£
a8
c8
b8
4013
813
–4013
–813
5√2626
√2626
–5√2626
√2626
ì8a,
8b
ì8a,
8b
ì8a,
8b
ì8a,
8b
a8
b8a – b
8 8a + b8 8
ì8a,
8b
145
14√2929
55
AUTOEVALUACIÓN
1.
8u + 2
8v = (0, 2)
8u – 3
8v = (–4, 9)
2. a)8u ·
8v = 1/2
b) 3 · (–2 ) = –3
c) proy ( + ) = 3/2
3. = 2 – 3
4. a) · = 2
b) | | = 2; | | = 2
c) ( ) = 30°
5. a) k = –2
b) k = ±4
6.8a1(–1, √
—3 ); 8
a2(–1, –√—3 )
7. (–3, 4); (3, –4)
8. proy = –3
9. | + | = 1; | – | = √38b
8a
8b
8a
8v8
u
8u2
8u1
ì8u,
8v
8v
8u
√38v
8u
8v
8u
8a
8v
8u8
u
8v
8u
12
8u
8 8u + 2v
82v
8 8(1/2)u – 3v
8(1/2)u
8–3v
56
PÁGINA 187
Punto medio de un segmento
� M (6, 4)
� a) M' (7, 4); b) M'' (5, 3)
Observamos que las coordenadas del punto mediode cada segmento son la semisuma de las coorde-nadas de sus extremos.
Ecuaciones de la recta
�
y = x +
Distancias en el plano
� d (P, r) = 1; d (P, s) = 8; d (Q, r) = 5; d (Q, s) = 5
� d (P, Q ) = 5
� a) d (P', Q' ) = 13
b) d (P", Q" ) = 5
d (A, B ) = , donde
A (a1, a2) y B (b1, b2).
d (A, B ) = | |
PÁGINA 189
1. = (–9, –6); = (9, 6)
2. P, Q y R están alineados.
3. k = –5/3
PÁGINA 190
4. a) M ( , 4) b) P' (13, –11)
c) Q' (–2, 19) d) A (5, 5) e) B (4, 7)
PÁGINA 193
1. a) Paramétricas:
Continua: =
Implícita: x – y = 0
Explícita: y = x
b) Paramétricas:
Continua: =
Implícita: –4x – 6y + 24 = 0
Explícita: y = x + 4
c) Paramétricas:
Continua: =
Implícita: y – 5 = 0
Explícita: y = 5
y – 50
x – 3–4
x = 3 – 4ly = 5
°¢£
–46
y – 4–4
x6
x = 6ly = 4 – 4l
°¢£
y – 34
x – 34
x = 3 + 4ly = 3 + 4l
°¢£
112
8NM
8MN
8AB
√(b1 – a1)2 + (b2 – a2)2
143
–13
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)(11, 1)
Y
Xr
t –2
(x, y ) (–4, 6)
–1
(–1, 5)
0
(2, 4)
1
(5, 3)
2
(8, 2)
3
(11, 1)
P (2, 5)
Q (10, 3)
Q'
Q"
P"P'
M" M'
M
8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
57
d) Paramétricas:
Continua: =
Implícita: x – 3 = 0
Explícita: No existe, pues se trata de unarecta vertical de ecuación x = 3.
2. • Implícita: 2x – y + 3 = 0
• Paramétricas:
• Continua: =
3. a) Por ejemplo, P (0, 2), Q (–3, 0)
b) = (–3, –2)
· (2, –3) = 0
c) r :
d) Explícita: y = x + 2
m = 8 (1, m ) = 1,
El vector 1, es paralelo a si sus
coordenadas son proporcionales:
(–3, –2) = l 1, 8 l = –3
Los vectores (–3, –2) y 1, son propor-
cionales y, por tanto, paralelos.
PÁGINA 194
1. r : =
2. r : =
3. 32x – 8y + 7 = 0
PÁGINA 187
1. • Recta paralela a r que pasa por P:
s :
• Recta perpendicular a r que pasa por P:
l :
2. a) Por ejemplo, = (5, 3).
b) m = –5/3
c) Por ejemplo, = (–3, 5).
3. a) r1: =
b) r2: 3x + y – 4 = 0
c) r3: y = x + 1
4. • Recta s paralela a r que pasa por P(–3, 4):
s : 5x – 2y + 23 = 0
• Recta l perpendicular a r que pasa porP (–3, 4):
l : 2x + 5y – 14 = 0
PÁGINA 199
1. a) Las dos rectas son paralelas.
b) Las dos rectas se cortan.
c) Las dos rectas se cortan.
d) Las rectas son paralelas.
PÁGINA 200
1. a) a = 10° 18' 17,45''
b) a = 57° 31' 43,71''
c) a = 2° 43' 34,72''
PÁGINA 201
1. dist (P, Q ) = 17 dist (P, r ) = 3/5
dist (P, s ) = 3 dist (Q, r ) = 16/5
dist (Q, s ) = 12
13
y + 31
x – 53
8w
8v
x = 4 + 2t
y = –3 + 5t°¢£
x = 4 – 5t
y = –3 + 2t°¢£
y – 04
x – 4–10
y – 5–1
x + 311
)23(
)23(
8PQ)2
3()2
3(23
23
x = –3ly = 2 – 2l
°¢£
8PQ
8PQ
y – 32
x – 01
x = ly = 3 + 2l
°¢£
y – 5–3
x – 30
x = 3
y = 5 – 3l°¢£
58
2. a) S =
a = 8, b = 10, c = 6, p = 12
S = 24 u2
b) b = | | = 10, hb = 24/5, S = 24 u2
Habría sido más sencillo si hubiéramos di-bujado el triángulo, que es rectángulo:
S = = = 24 u2
PÁGINA 206
1. a) A, B y C están alineados.
b) A, B y C no están alineados.
c) Los puntos están alineados.
2. k = –11/5
3. B = (8, –7)
4. P' (5, 2)
5. P (2, 2)
6. D (2, 6)
7. a) Ecuación vectorial:
(x, y) = (–3, 7) + k (4, –1)
Ecuaciones paramétricas:
Puntos: (1, 6); (5, 5); (9, 4); (13, 3); (17, 2).
b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 0) + k (0, 2)
Ecuaciones paramétricas:
Puntos: (–1, 2); (–1, 4); (–1, 6); (–1, 8);(–1, 10).
8. a) Ec. vectorial: (x, y) = (6, –2) + t (–6, 7)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita: 7x + 6y – 30 = 0
Ec. explícita: y = – x + 5
b) Ec. vectorial: (x, y) = (3, 2) + t (0, 4)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita: x – 3 = 0
c) Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t (8, 0)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita y explícita: y = 0
9. a) r : b)
c) d)
e) f)
10. a) = b) =
c) = d) =
11. a) x + 2y – 1 = 0. Vector normal:8n(1, 2)
b) 5x + y – 3 = 0. Vector normal:8n(5, 1)
c) y – 2 = 0. Vector normal:8n(0, 1)
d) 15x + 10y – 4 = 0. Vector normal:8n(15, 10)
12. Eje X : 8 y = 0
Eje Y : 8 x = 0
13. a) Vector dirección: = (2, 5)
Vector normal: = (–5, 2)
Pendiente: m =52
8n
8v
x = 0y = t
°¢£
x = ty = 0
°¢£
y + 11
x – 22
y + 1–3
x1
y3
x – 20
y–3
x + 12
x = –1 + 2ty = 1 – t
°¢£
x = 1 + 3ty = –1 + 2t
°¢£
x = –3ty = t
°¢£
x = ty = 6/3 = 2
°¢£
x = 7y = t
°¢£
x = ty = 2t
°¢£
y – 00
x – 08
x = 8t
y = 0
°¢£
y – 24
x – 30
x = 3
y = 2 + 4t
°¢£
76
y + 27
x – 6–6
x = 6 – 6t
y = –2 + 7t
°¢£
x = –1 + 0 · k
y = 2k
°¢£
x = –3 + 4k
y = 7 – k
°¢£
6 · 82
—AB ·
—BC2
8AC
√p (p – a)(p – b )(p – c )
59
b) Vector dirección: = (2, 4)
Vector normal: = (–4, 2)
Pendiente: m = = 2
c) Vector dirección: = (0, 1)
Vector normal: = (1, 0)
Pendiente: No tiene, es una recta vertical.
d) Vector dirección: = (3, 1)
Vector normal: = (–1, 3)
Pendiente: m =
14. P è r1; P è r2; P é r3; P é r4
15. a) k = –1 b) k = 0 c) k = 5/2
PÁGINA 207
16. a) s : y = – x – b) s : y = 5x + 15
17. a) r : b) r : =
c) r : y = –3 d) r : y = –3
18. y = x – 2 8 2x – 3y – 6 = 0
19. 3x – 4y + 8 = 0
20. a) b)
c) d)
21. a) s : y = x b) s : y = x +
22. a) a (x – 3) + b (y + 2) = 0;
o bien y = –2 + m (x – 3)
b) 7x + 4y – 13 = 0
c) 2x + y – 4 = 0 d) 5x – 12y – 39 = 0
23. El centro del haz es el punto (1, –2).
24. y = –2x + 7
25. a) P (–3, –1) b) P (2, –1) c) P 2, –
26. k = 2; t = –1
27. k = 4
28. k = –11/2
PÁGINA 208
29. a) Las rectas son paralelas.
b) Las rectas son secantes.
c) Las rectas son secantes.
30. a) a = 45° b) a = 90°
c) a = 45° d) a = 63° 26' 5,82"
31. a = 56° 18' 35,8"
32. a = 26° 33' 54,2"
33. n = –
34. m = 3, n1 = 30, n2 = – 6/5
35. a) 4 b) 5 c) 4
36. k = –2
37. a1 = –5, a2 = –1
38. A (0, ), B (5, 0), AB =
39. a) b) 21/4 c) 9/2
40. a) 12/5 b) 9/2 c) 3 d) 0
41. c1 = 10, c2 = –10
42. dist (r, r ' ) =
43. a) | | = 2
b) Distancia de A a OB =
c) Área = 10 u2
44. |8AB| = 5, |
8AC| = 50, |
8BC| = 5
52 + 52 = ( )2 8 El triángulo es rectángulo.
Área = 12,5 u2
√50
10
√10
8OB √10
9√510
4√55
52
52 √5
√2 √2 √10
√3
( 12 )
72
–32
23
x = –3 + 4ty = 2 – 6t
°¢£
x = 1 + 2ty = 3 – 3t
°¢£
x = 5 – ty = –2 + 2t
°¢£
x = –3 + 2ty = 1
°¢£
23
y + 31
x – 11
x = 3 + t
y = 2 – 3t
°¢£
165
15
13
8n
8v
8n
8v
42
8n
8v
60
45. Área = 25 u2
PÁGINA 209
46. p : 7x – 4y + 9 = 0
r : y = – s : t : x + 2y – 1 = 0
47. k = –3
48. a) hB: 5x – 7y – 18 = 0
b) mB : 6x – 18y – 12 = 0
c) z : 5x – 7y – 6 = 0
49. mAB : 6x – 4y – 5 = 0
50. P ( , 2), Q ( , 3)51. P ( , 0)52. Los puntos medios son:
P (4, 5); Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7)
= = (–1, –4) = = (3, –2)
53. P' ( , )54. AABCD = u2
55. r » s = A (3, 0) r » t = B (3, –4)
s » t = C ( , )| |= 4, hC = 23/5 Área = u2
56. La longitud de la mediana es: | | =
hB ≈ 3,528
57. P (8, 8)
58. P1 (3√—10 – 8, 6√
—10 – 16)
P2 (–3√—10 – 8, –6√
—10 – 16)
59.
60. c1 = 9, c2 = –21
61. C ( , 3), Área ≈ 14,17 u2
62. t1: y = x + , t2: y = x –
63. k1 = 24 + 15√—3, k2 = 9√
—3 – 12
64. ( ) = 60° 15' 18,4"
( ) = 34° 30' 30,7"
( ) = 85° 14' 11"
65.^A = 29° 44' 41,6"^B = 46° 13' 7,9"^C = 104° 2' 10,5"
PÁGINA 210
66. r1: y = x + 2 r2: y = – x + 2
67. r : y = 3x + r ' : y = x +
68. P1 (–6, –6), P2 (2, –2)
69. r1: y – 2 = (x + 2)
r2: y – 2 = (x + 2)
70. r : x – y + 1 = 0; s1: x – y + 7 = 0; s2: x – 5 = 0
71. P' = (3, –3)
72. A (0, 4), C (–6, –2), Área = 24 u2
73. Ortocentro: R ( , )Circuncentro: S ( , )
74. A ( , )75. a) R (2, –4), S (–6, 0)
b)^P = 108° 26' 5,8" =
^R
^S = 71° 33' 54" =
^Q
76. A (0, 2), B ( , ), C (6, 0), D ( , )103
–43
83
103
165
85
–3722
122
10311
2111
1 + √3–√3 + 1
1 – √3√3 + 1
56
–13
52
√3√3
ìs, t
ìr, t
ìr, s
63
23
92
–32
–53
1 15P1 (—, —)8 8
5 3P2 (—, —)4 4
√652
8BM
465
8AB
–85
275
712
85
–45
8RQ
8SP
8SR
8PQ
173
83
13
x = 2y = t
°¢£
32
61
77. P1 (–15, 0), P2 ( , 0)78. Q1 ( , 3), Q2 ( , –3)79. = (2, 1); = (1, –1)];
= (–1, –2); = (–2, 2)8DA = –2
8BC 8
8BC //
8DA
| | = = | |
Efectivamente, ABCD es un trapecio isóscelesde bases BC y DA.
Área = 9/2 u2
80. Área = 21/2 u2
81. P1 ( , –9); P2 ( , 3)82. m = 3/4
83. r: 18x + y + 13 = 0 s: 15x + 11y – 40 = 0
84. r': 2x + 3y + 5 = 0
PÁGINA 211
85. • El vector (a, b) es perpendicular a la rectaax + by + c = 0.
• El vector (a', b' ) es perpendicular a la rectaa' x + b' y + c' = 0.
• Si las dos rectas son perpendiculares, enton-ces:
(a, b) · (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0.
86. • Si A (x1, y1) pertenece a la recta,
ax1 + by1 + c = 0
• Si B (x2, y2) pertenece a la recta,
ax2 + by2 + c = 0
• Restando las dos igualdades,
a (x1 – x2) + b (y1 – y2) = 0
Esta última igualdad significa que:
(a, b) · (x1 – x2, y1 – y2) = 0
Es decir, que el vector (a, b) es perpendicu-
lar al vector , siendo A y B dos pun-
tos cualesquiera de la recta.
87. a) La recta pasa por (0, 0).
b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX).
c) Es una recta vertical (paralela al eje OY).
88. Un vector dirección de la recta es:
= (x2 – x1, y2 – y1)
Y un punto de ella es P (x1, y1). Las ecuacio-nes paramétricas de la recta serán:
x = x1 + (x2 – x1) t y = y1 + (y2 – y1) t
Despejando t en ambas ecuaciones, igualan-do y operando, se llega a la expresión pedida.
89. C (–1, 4), B (1, 1), D (–4, 2)
La longitud de la diagonal es .
90. C1 (8, 4), C2 (0, 6), D1 (7, 0), D2 (–1, 2)
91. Perímetro = 4 | | = 16
B (–1 – 2 , 2 ), C (–1 + 2 , –2 )
92. r1: y = –2x + 18 y r2: y = –2x – 18
93. C1 (5, 6), C2 ( , ), D1 (1, 2), D2 ( , )AUTOEVALUACIÓN
1. a) P(1, 3) b) k = –7
2. a) Ecuaciones paramétricas
Ecuación implícita: x – 5y + 7 = 0
b) Ecuación continua: =
Ecuación explícita: y = –
3. a) 5x – 2y – 16 = 0 b) 2x + 3y – 6 = 0.
4. Haz de rectas: a (x – 5) + b (y – 1) = 0
Recta del haz que pasa por (0, 1): y = 1
5. r y s son perpendiculares.
r y t son secantes.
6. k = √—3
7. a) k1 = 11, k2 = –1 b) k1 = 1, k2 = –3/2
x3
x3
y–1
°¢£
x = 3 + 5t
y = 2 + t
52
72
12
32
√3 √3 √3 √3
8AC √2
√26
8PQ
8AB
–32
–92
8CD√5
8AB
8DA
8CD
8BC
8AB
–112
132
37
62
PÁGINA 213
Cónicas abiertas:parábolas e hipérbolas
�
PÁGINA 215
1. a) y = –3x + 2
• El punto medio de AB es M (1, –1) que,efectivamente, está en la recta (pues veri-fica la ecuación).
mr = –3; mAB = 1/3
mr · mAB = –1 8 AB 2 r
b) x2 + y2 + 3x – 8y = 0. Pasa por O (0, 0).
c) b1: (5 – ) x + ( + 2 ) y +
+ 3 – 16 = 0
b2: (5 + ) x + ( – 2 ) y +
+ 3 + 16 = 0
mb1 =
mb2 =
m1 · m2 = –1 8 b1 2 b2
r1 » r2 = (–2, 7) = s1 » s2
PÁGINA 217
1. x2 + y2 + 10x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, es-ta se verifica.
2. Es la circunferencia de centro (–3, 0) y radio 3:x2 + y2 + 6x = 0
PÁGINA 218
3. C y s1 son tangentes en (6, –2).
s2 es exterior a la circunferencia C.
C y s3 son secantes en (7, 5) y (–1, –1).
C y s4 se cortan en (5, 2 + ) y (5, 2 – ).
4. b = ± 3
5. r1 es exterior a C.
r2 y C se cortan en dos puntos.
r3 y C son tangentes.
r4 y C se cortan en dos puntos.
PÁGINA 219
1. P (P a C1) = 135 > 0 8 P es exterior a C1.
P (P a C2) = –230 < 0 8 P es interior a C2.
2. Ecuación del eje radical: 4x – 18y + 11 = 0 88 m = 2/9
La pendiente de la recta que une O1 y O2 esm' = –9/2
Como m ·m' = –1, el eje radical y la recta queune O1 y O2 son perpendiculares.
PÁGINA 221
1. + = 10
Operando como se indica se llega a la ecua-ción 9x2 + 25y2 = 225.
2. – = ±6
Operando se llega a la ecuación:
16x2 – 9y2 = 144.
3. = |x – 1|
Operando se llega a la ecuación y2 = –4x.
PÁGINA 223
1. Semieje mayor: a = 13
Semidistancia focal: c = 5
Semieje menor: b = 12
exc ≈ 0,38
9. LUGARES GEOMÉTRICOS.CÓNICAS
√(x + 1)2 + y2
√(x + 5)2 + y2√(x – 5)2 + y2
√(x + 4)2 + y2√(x – 4)2 + y2
√2
√21√21
– (5√—5 + √—26 )
√—5 – 2√
—26
– (5√—5 – √—26 )
√—5 + 2√
—26
√26√5
√26√5√26√5
√26√5
√26√5√26√5
b = 90°
π PASA POREL VÉRTICE
π NO PASAPOR ELVÉRTICE
b > a b = a b < a
punto
circunferencia
punto
elipse
recta
parábola
dos rectas quese cortan en V
V
hipérbola
63
Ecuación reducida: + = 1
PÁGINA 224
2. exc ≈ 0,87
3. exc ≈ 0,87
PÁGINA 226
1. Semieje: a = 3
Semidistancia focal: c = 5
b = 4
exc ≈ 1,67
Asíntotas: y = x; y = – x
Ecuación reducida: – = 1
PÁGINA 227
2.
3.
PÁGINA 228
1. y2 = 6x
2. x2 = 8y
7
3
2
–5
4
–4
3–3F1 F2
y2
16x2
9
43
43
7
3
–5
2
F' F
–12
–13 13
12
y2
144x2
169
64
PÁGINA 235
1. a) Mediatriz de AB: –x + y + 5 = 0
b) 2x + 1 = 0
c) y – 3 = 0
2. r : 2x + y – 10 = 0
La recta obtenida es perpendicular al segmen-to AB.
3. r1: 4x – 3y – 19 = 0 r2: 4x – 3y + 41 = 0
Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, asu vez, a la recta dada.
4. r : 3x – 5y + 7 = 0
Es una recta paralela a las dos rectas dadasque, a su vez, son paralelas entre sí.
5. 8x + 64y – 139 = 0 112x – 14y + 69 = 0
6. Es una circunferencia de centro P (–3, 2) y ra-dio 5.
x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0
7. a) x2 + y2 = 5
b) 4x2 + 4y2 – 16x – 9 = 0
c) x2 + y2 + 4x + 3y + 6 = 0
8. a) Es una circunferencia de centro (4, –1) y ra-dio .
b) No es una circunferencia.
c) No es una circunferencia.
d) Es una circunferencia de centro (4, 0) y ra-dio = 2.
e) Es una circunferencia de centro (–3, –5) yradio 2.
9. a) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 29
b) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5
c) (x + 1)2 + (y + 5)2 = 25
d) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25
10. La recta es exterior a la circunferencia.
11. r1 es secante a la circunferencia.
r2 es exterior a la circunferencia.
r3 es tangente a la circunferencia.
12. b1 = , b2 = –
13. dist (C, r) = ≈ 0,89
La circunferencia y la recta son secantes.
14. P (5, 2) 8 P = 0. P pertenece a C.
Q(2, 1) 8 P = –2 < 0. Q es interior a C.
R (–1, 0) 8 P = 16 > 0. R es exterior a C.
PÁGINA 236
15. a) –6y – 6 = 0 8 y = –1
b) x =
c) 5x + y – 3 = 0
C5
C6
5x + y – 3 = 0(–4, –3)
(6, –1)
37x = —
8
(2, 3)
C3
C4
(6, 3)
378
y = –1
(–4, 1)
C1
C2
(–4, –2)
2
√5
√2√2
√4
√7
65
16. a) Vértices: (10, 0); (–10, 0); (0, 6) y (0, –6)
Focos: F (8, 0) y F ' (–8, 0)
exc = 0,8
b) Vértices: (8, 0); (–8, 0); (0, 10) y (0, –10)
Focos: F (0, 6) y F ' (0, –6)
exc = = 0,6
c) Vértices: ( , 0); (– , 0); (0, 1) y (0, –1)
Focos: F ( , 0) y F ' (– , 0)exc = = = 0,8
d) Vértices: ( , 0); (– , 0); (0, ) y (0, – )Focos: F (0, ) y F ' (0, – )exc ≈ 0,74
17. a) + = 1
b) + = 1
c) + = 1, o bien, + = 1
d) + = 1, o bien, + y2 = 1
18. + = 1
19. + = 1
20. + = 1
21. a) Vértices: (10, 0) y (–10, 0)
Focos: F (2 , 0) y F'(–2 , 0)
Asíntotas: y = x; y = – x
exc ≈ 1,17
6
–10 10 FF'
–6
35
35
√34√34
y2
2x2
18
y2
4x2
3
y2
9x2
25
4x2
3y2
1x2
3/4
16y2
225x2
25y2
225/16x2
25
y2
27x2
36
y2
21x2
25
F
F'
1—3
–1—3
1—2
–1—2
√56
√56
12
12
13
13
1
–1
5—3
–5—3
FF'
45
4/35/3
43
43
53
53
10
–10
–8 8
F
F'
610
6
–6
–10 10FF'
66
b) Vértices: ( , 0) y (– , 0)Focos: F ( , 0) y F' (– , 0)Asíntotas: y = x; y = – x
exc = 1,25
c) Vértices: (1, 0) y (–1, 0)
Focos: F ( , 0) y F' (– , 0)Asíntotas: y = x; y = – x
exc = 1,12
d) Vértices: (2, 0) y (–2, 0)
Focos: F( , 0) y F'(– , 0)
Asíntotas: y = x; y = – x
exc ≈ 1,12
e) Vértices: (0, 2) y (0, –2)
Focos: F(0, ) y F'(0, – )
Asíntotas: y = x; y = – x
exc ≈ 3,16
f) Vértices: (0, 4) y (0, – 4)
Focos: F(0, ) y F'(0, – )
exc ≈ 1,03
Asíntotas: y = 4x; y = –4x
g) Vértices: (2, 0) y (–2, 0)
Focos: F ( , 0) y F'(– , 0)
Asíntotas: y = x; y = – x
exc ≈ 1,80
2–2
–3
3
FF'
32
32
√13√13
1–1
–4
4F
F'
√17√17
6–6–2
2
F
F'
13
13
√40√40
2
1
–1
–2 FF'
12
12
√5√5
1–1 FF'
1—2
–1—2
12
12
√52
√52
1
FF'
–1
4—3
–4—3
34
34
53
53
43
43
67
h) Vértices: (0, 4) y (0, –4)
Focos: F ( , 0) y F'(– , 0)
Asíntotas: y = 2x; y = –2x
exc ≈ 1,12
22. a) – = 1
b) – = 1, o bien, – = 1
c) – = 1, o bien, – = 1
d) – = 1
23. Es una hipérbola de focos F y F' y constan-te 2a = 6.
– = 1
24. – = 1
25. a) Vértice: (0, 0) Foco: ( , 0)Directriz: x = –
b) Vértice: (0, 0) Foco: (– , 0)Directriz: x =
c) Vértice: (0, 0) Foco: (0, )Directriz: y = –
d) Vértice: (0, 0) Foco: (0, 1)
Directriz: y = –1
e) Vértice: (1, 0) Foco: (2, 0)
Directriz: x = 0
1
1
F
1
1F
1
1
F
14
14
1
1
F
32
32
1
1
F
32
32
y2
5x2
4
y2
7x2
9
y2
8x2
1
y2
359x2
35y2
35x2
35/9
25y2
4x2
4y2
4/25x2
4
y2
12x2
4
2–2
–4
4F
F'
√20√20
68
f) Vértice: (0, 2)
Foco: (2, 2)
Directriz: x = –2
g) Vértice: (0, –1)
Foco: (0, 0)
Directriz: y = –2
h) Vértice: (2, 0)
Foco: (2, – )Directriz: y =
26. a) y2 = 20x
b) x2 = –12y
c) Hay dos posibilidades:
I) Eje horizontal: y2 = x
II) Eje vertical: x2 = y
27. Es una parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyadirectriz es d: y + 3 = 0.
y = – x, o bien, (x – 3)2 = 6(y + )28. (x – 2)2 = 8(y + 1)
PÁGINA 237
29. a) Es una elipse: a = 3, b = 2, c =
exc ≈ 0,75
b) Es una hipérbola:
c) Es una circunferencia de centro (0, 0) y ra-dio 5/3.
5/3
–5/3
–5/3 5/3
3–3
–4
4
FF'
5a = 3, b = 4, c = 5; exc = — ≈ 1,67
34 4
Asíntotas: y = — x ; y = –— x3 3
°§¢§£
2
–2
–3 3FF'
√5
32
x2
6
43
92
2
F
3—2
–3—2
32
32
–1
F
2
2 F
69
d) Es una hipérbola:
exc = = ≈ 1,12
e) Es una parábola.
Vértice: (0, 0)
Foco: ( , 0)Directriz: x = –
f) Es una elipse 8 a = 6, b = , c =
exc = ≈ 0,91
30. + = 1
31. – = 1, es decir: – = 1
32. – = 1, o bien, x2 – y2 =
33. – = 1, o bien, – = 1
34. a) x2 = 4(y + 1) b) y2 = 6 (x – )c) (x – 1)2 = 2 (y – )
35. • MÉTODO I. Se calcula la distancia del centrode la circunferencia, O (6, 3), a la recta r :dist (O, r ) = 5. Como coincide con el radiode la circunferencia, son tangentes.
• MÉTODO II. Se resuelve el sistema formadopor las dos ecuaciones. Hay una única solu-ción. Por tanto, hay un único punto de corteentre la circunferencia y la recta, P(2, 0); esdecir, son tangentes.
36. a) Las circunferencias se cortan en el punto(–2, 0). Las circunferencias son tangentes in-teriores.
b) Las circunferencias se cortan en el punto(3, 0). Las circunferencias son tangentes ex-teriores.
37. a) Es una elipse de centro P (3, –2).
a = 5, b = 3
c = 4
Los focos son F (7, –2) y F ' (–1, –2).
exc = 0,8
–11 3 5
FPF'
12
12
17y2
1817x2
50y2
18/17x2
50/17
252
y2
25/2x2
25/2
y2
94x2
9y2
9x2
9/4
y2
25x2
100
5/2
6–6
–5/2
FF'
√11912
√11912
52
1
1
F
72
72
4
2
–2
–4 FF'
√52
2√54
a = 4, b = 2, c = 2√—5
1 1Asíntotas: y = — x ; y = – — x
2 2
°§¢§£
70
b) Es una elipse de centro P (3, –2).
a = 5, b = 3, c = 4
F (3, 2) y F ' (3, –6).
exc = 0,8
c) Es una hipérbola de centro P (3, –2).
a = 4, b = 2, c = 2
F(3 + 2 , –2) y F ' (3 – 2 , –2)
exc ≈ 1,12
Las asíntotas son:
y + 2 = (x – 3)
y + 2 = – (x – 3)
d) Es una hipérbola de centro P (3, –2).
b = 2, a = 4, c = 2
F(3, –2 + 2 ) y F ' (3, –2 – 2 )
exc =
Las asíntotas son:
y + 2 = (x – 3)
y + 2 = – (x – 3)
38. a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4, o bien:
x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
b) Hay dos rectas:
39. (x – 3)2 + (y – 2)2 = , o bien:
25x2 + 25y2 – 150x – 100y – 324 = 0
El punto es exterior a la circunferencia.
40. a) 2x – y – 3 = 0
La recta es la mediatriz del segmento PQ.
b) Hay dos soluciones:
C1(0, –3) y C2 ( , )41. a) (x + 2)2 + y –
2= 8
8 x2 + y2 + 4x – 5y + 4 = 0
b) (x – 2)2 + (y – )2 = , o bien:
x2 + y2 – 4x – 3y = 0
c) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 25, o bien:
x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0
d) (x – 9)2 + (y – 3)2 = 64
254
32
254)5
2(
95
125
1
1 P
Q
x
y
125
y = x + 2 + 2√2y = x + 2 – 2√2
°¢£
F
3
–2
F'
12
12
√5
√5√5
√5
F
3
–2F'
12
12
√5√5
√5
–2
1 3
F
P
F'
71
PÁGINA 238
42. + = 1
43. x = –3.
44. – = 1
Es una hipérbola centrada en (0, 0). Los focosson F (4, 0) y F (–4, 0).
45. + = 1. Es una elipse.
a = 8 y b ≈ 6,93.
F (4, 0) y F '(–4, 0).
exc = 0,5
46. – = 1
Es una hipérbola, en la que a = b = yc = .
F ( , 0) y F (– , 0).
Las asíntotas son: y = x e y = – x
exc ≈ 1,41
47. a) x2 + y2 = 25, que es la ecuación de una cir-cunferencia de centro P (0, 0) y radio r = 5.
b) x2 + y2 = – a2.
Es la ecuación de una circunferencia de cen-
tro (0, 0) y radio r = .
Para que sea una circunferencia, debe serk > 2a2.
48. a) VI b) V c) IV
d) I e) VIII f) XI
g) XII h) III i) II
j) VII k) IX l) X
PÁGINA 239
49. Q describe una circunferencia con el mismocentro que la dada, (2, –3), y radio .
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 13; o bien:
x2 + y2 – 4x + 6y = 0
50. =
Es una parábola.
La ecuación es y2 = 8x respecto a los nuevosejes.
51. x = 0.
52. (x – )2 + (y – )2 =
O bien 4x2 + 4y2 – 60x – 20y + 225 = 0
53. Hay dos soluciones:
1.a) Centro (21, 145) y radio 145:
(x – 21)2 + (y – 145)2 = 21 025; o bien:
x2 + y2 – 42x – 290y + 441 = 0
254
52
152
–1 F
r
NUEVOEJE Y
NUEVOEJE X
|3x – 4y – 2|5
√(x – 6)2 + (y + 1)2
√13
k√— – a2
2
k2
FF'
√—3
√—3
–√—3
–√—3
√6√6
√6√3
y2
3x2
3
–8 8FF'
√—48
–√—48
y2
48x2
64
y2
12x2
4
(y – 2)2
32(x – 1)2
36
72
2.a) Centro (1, 5) y radio 5:
(x – 1)2 + (y – 5)2 = 25; o bien:
x2 + y2 – 2x – 10y + 1 = 0
54. Hay dos soluciones:
1.a) Centro (13, –6) y radio 10:
(x – 13)2 + (y + 6)2 = 100 8
8 x2 + y2 – 26x + 12y + 105 = 0
2.a) Centro (1, 10) y radio 10:
(x – 1)2 + (y – 10)2 = 100 8
8 x2 + y2 – 2x – 20y + 1 = 0
55. Hay dos posibilidades:
1) (y – 3)2 = 2(x – 2)
2) (x – 2)2 = 2(y – 3)
56. a)Es una elipse de centro (2, –3).
a = 4, b = 3, c =
Vértices: (6, –3); (–2, –3); (2, 0) y (2, –6)
Focos: (2 + , –3) y (2 – , –3)
exc ≈ 0,66
b) Es una hipérbola de centro (1, 0).
a = 2, b = 1, c =
Vértices: (3, 0) y (–1, 0)
Focos: ( + 1, 0) y (– + 1, 0)
exc ≈ 1,12
c) Es una elipse con a = 3, b = 1, c = .
Vértices: (–3, 0), (3, 0), (0, –1), (0, 1)
Focos: (– , 0), ( , 0)
exc ≈ 0,94
AUTOEVALUACIÓN
1. Dos bisectrices: x + 2y – 8 = 0, 4x – 2y – 7 = 0
2. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25, o bien:
x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0
3. Para que r sea interior a la circunferencia, hade ser k é (–8, 2).
Para que r sea tangente a la circunferencia,ha de ser k = 2, k = –8.
Para que r sea exterior a la circunferencia, hade ser k é (–@, –8) « (2, +@).
4. a) + = 1
b) – = 1
c) y = 4 x
5. a) Es una hipérbola.
a = 3, b = 4, c = 5
Asíntotas: y = x, y = – x
F (5, 0) y F ' (–5, 0)
V (3, 0) y V' (–3, 0)
b) Es una hipérbola igual a la del apartado an-terior, pero centrada en el punto (5, –1).
• a = 3, b = 4, c = 5
Asíntotas: y = x – ; y = – x +
Focos: F (10, –1), F ' (0, –1)
Vértices: V (8, –1), V' (2, –1)
OX
Y
F' F
43
233
43
173
O X
Y
F' F
43
43
√2
x2
1y2
4
x2
9y2
4
√10√10
√8
√5√5
√5
√7√7
√7
73
6. + = 1.
7. F (5, 0) y F ' (–5, 0). exc = 5/4
Asíntotas: y = x e y = – x
8. y2 = –12x.
9. El eje radical de las circunferencias es y = .
X
Y
y = 5/4C1
C2
54
O X
Y
F' F
34
34
y2
9x2
25
74
PÁGINA 240
1. a)
b) (–1, –4)
c) –8
2. k = –2
3. a) = – + 3
b) proy = –1
c) ( ) = 116° 33' 54''
4. y = –8
5. Ecuaciones paramétricas:
Ecuación implícita: 2x – y + 3 = 0
6. a) k = –2 b) k = –4
7. Expresión analítica del haz:
k (2x + y – 3) + t (x + y – 2) = 0
Recta del haz que pasa por el punto (2, 3):
2x – y – 1 = 0
8. C1 es una circunferencia de centro (1, –3) yradio 2.
9. + = 1
10. Son tangentes.
11. Dos soluciones: , y ' , –
12. = (–2, 6) + (–3, –1)
13. A' (2, 2)
14. Hay dos soluciones:
15. P (5, 0) y P' (–5, 0).
16. a) Ortocentro: R = 1, –
b) Área del triángulo ABC = 6 u2
17. a)Es una parábola.
F , 0 ; Recta directriz 8 r : x = –
Vértice 8 (0, 0)
b) Es una circunferencia.
Centro 8 (0, 0)
Radio 8 r = 2
c) Es una elipse con los focos en el eje Y.
a = 5; b = 2; c =
Constante: k = 2a = 10
F (0, ) y F ' (0, – )
exc ≈ 0,92
F
F'
√21√21
√21
F
32)3
2(
)32(
1t: y – 3 = —(x – 1)
3t': y – 3 = –3(x – 1)
8a
)√32
12(8
a)√32
12(8
a
y2
36x2
100
x = t
y = 2t + 3°¢£
ì8u,
8v
8v8
u
8v
8u
8w
√52
BLOQUE III. GEOMETRÍAANALÍTICA PLANA
75
d) Es una hipérbola.
Centro: (1, –1)
Semiejes: a = 4, b = 3, c = 5
exc = 1,25
Asíntotas:
F (6, –1), F ' (–4, –1)
18. (y + 1)2 = 8(x + 1)
19. 3x2 + 3y2 + 4x – 6 = 0
O X
Y
F' F
3r : y = — (x – 1) – 1
43
r': y = –— (x – 1) – 14
°§¢§£
76
PÁGINA 245
� A 8 L4 B 8 R3
C 8 L2 D 8 C4
E 8 P.I.2 F 8 E3
G 8 C1 H 8 E1
I 8 L1 J 8 P.I.4
K 8 P.I.3 L 8 R2
� 1. D
2. E
3. F
4. H
5. A
6. J
PÁGINA 248
1. a) Á b) [1, +@)
c) (–@. 1] d) [–2, 2]
e) (–@, –2] « [2, +@)
f) (–@, –1) « (1, +@) g) Áh) Á – {0} i) Á – {0}
j ) Á – {–2, 2} k) l > 0
PÁGINA 249
1.
2.
PÁGINA 250
1. a) y = Ent (x) + 2
b) y = Ent (x + 0,5)
c) y = Ent
d) y = Ent (3x)
2. a) y = Mant (x) – 0,5
X
Y
1–1–2–3
1
–1
2 3
2
2
1–1–2
4
–4
–2
Y
X
8
4
4
–4–8
8
–8
–4
Y
X
( x4 )
4
2
2
–2–4
4
–4
–2
Y
X
4
2
2
–2–4
4
–4
–2
Y
X
4
2
2–2–4–6
–4
–2
Y
X
4
2
2 6–2–4
–4
–2
Y
X
10. FUNCIONES ELEMENTALES
7777
b) y = |Mant (x) – 0,5|
c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|
PÁGINA 251
1.
2.
PÁGINA 252
1.
2.
PÁGINA 253
3.
4.
PÁGINA 254
5.
a)b)
X
Y4–4
–8
–6
–4
–2
2–2
x2y = –—
2
X
Y
1
1
a)
b)
c)
1y = —x
X
Y
2 4
y = x2
–2–4
2
–2
–4
–6
–8
4
6
8
a)
c)
b)
–2 2
2
–24–4
–4
–6
–8
X
Y
a)
b)
–2 2
2
4
6
4–4
8
10a)Y
X
b)
y=
—x 2
14
4
2
4
Y
X
2 6 8 10
6
4
2
4
2 6–2
6
8
Y
X
X
Y
1–1–2–3
1
2 3
X
Y
1–1–2–3
1
2 3
78
6.
PÁGINA 255
7. y = f (x) – 6 8 (3, 2)
y = f (x + 4) 8 (–1, 8)
y = f (x) 8 (3, 4)
y = 2f (x) 8 (3, 16)
y = –f (x) 8 (3, –8)
y = f (–x) 8 (–3, 8)
y = –2f (–x) + 3 8 (–3, –13)
8. a) y = – – 3
b) y = 3
PÁGINA 256
1. f [g (x)] = x4 – 5x2 + 3
g [ f (x)] = (x2 – 5x + 3)2
f [g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1
2. f ° g (x) = sen (x2 + 5)
f ° g (0) = –0,96
f ° g (2) = 0,41
g ° f (x) = sen2 x + 5
g ° f (0) = 5
g ° f (2) = 5,83
f ° f (x) = sen (sen x)
f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79
g ° g (x) = (x2 + 5)2 + 5
g ° g (0) = 30
g ° g (2) = 86
PÁGINA 257
1.
2. a) y = x2 – 1 si x ≥ 0
y–1 =
b) y = x2 – 1 si x < 0
y–1 = –
y = xy = x2 – 1
y = –√x + 1
Y
X
√x + 1
y = x2 – 1
y = √x + 1
y = x
Y
X
√x + 1
y = 2xy = x
y = x/2
Y
X
y = 3√—–x + 10
X
Y
1 9 106
3
6
9
√–x + 10
4y = –— – 3
x + 8
Y
–2–1
–5
–7
–4
1
X–6 –4–10 –7–12
–9
4x + 8
12
b)X
Y4
–9–6–3
1 9
a)d)
c)
79
3. f [g (x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x
Son funciones inversas.
PÁGINA 259
1. a) Cuando pasen 3,27 · 100 = 327 años, se ha-brá triplicado la masa de madera. Esto es,en el año 1800 + 327 = 2127.
Hace 3,27 · 100 = 327 años, había la terceraparte de masa de madera. Esto es, en el año1800 – 327 = 1473.
b) 1900 8 M = 1,4
1990 8 M = ≈ 1,90
2000 8 M = 1,96
1600 8 M ≈ 0,51
1550 8 M ≈ 0,43
2. M = m · 0,76t
Si t = 0 8 M = m
Si t = 0,25 8 M = m/2
La cantidad inicial se ha reducido (aproxima-damente) a la mitad en 2500 años.
PÁGINA 267
1. a) Á – {–1, 0} b) Á – {2}
c) Á – {–1/2} d) Á
e) Á – {0, 5} f ) Á – {– , }
2. a) (–@, 3] b) [1/2, +@)
c) (–@, –2] d) (–@, 0]
3. a) (+@, –3] « [3, +@) b) Á
c) [0, 6] d) (–@, –1] « [5, +@)
e) (–@, 4) f ) (–@, 0) « (3, +@)
4. Los dominios son, por orden:
[–2, 2]; (–@, 2) « (2, +@) y [–1, +@)
Los recorridos son, por orden:
[0, 2], (0, +@) y [0, +@)
5. a) A (x) = 16 – 2x2
b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)
6. a) V (x) = x3
b) Dominio: (0, 10). Recorrido: (0, 1 000)
7. a) III b) II c) I d) IV
8. a) II b) III c) IV d) I
PÁGINA 268
9. a) Vértice: (–1, 0)
Cortes con los ejes: (–1, 0), (0, 1)
b) Vértice: –3, –
Cortes con los ejes:(0, 1); (–3 – ; 0); (–3 + , 0)
c) Vértice: ,
Cortes con los ejes: (–5, 0)
2 4–4 –2
–4
–6
–2
YX
( 32 –114 )
2
2–4 –2
–4
–6–2
Y
X
√7 √7
( 32 )
2
2 4–4 –2
4
Y
X
√2√2
y = x + 1
y = x – 1
Y
X
80
d) Vértice: – ,
Cortes con los ejes: (0, 6); (–6, 0); (–3, 0)
10. a) y = 2x2 – 4, [0, 2]
b) y = – , x Ó –1
11.
12.
13.a)
2
4
2 4
–4
–2–2–4
b)
2
4
2 4
–4
–2–2–4
c)
2
2 4
–4
–2–2–4
4
d)
2
4
2
–4
–2–2–4
a)
2
2 4–2
–4 –2
Y
X
b)
2 4
–4
–2–4 –2
Y
X
a)
2
2 4
–4
–2–4 –2
Y
X
b)
2 4
–4
–2
–6
–4 –2
Y
X
X
Y
2–1
3x2
2
X
Y
2
2
4
–2
–4
2
4
6
–4–6–8 –2
Y
X
)–34
92(
81
14.
15.
16. a)
b)
17. a) b) c) x d)
18. a) cos
b)
c)
19. a) f –1(x) =
b) f –1(x) = x – 7
c) f –1(x) =
20.
y = log1/3 x
1
2
2
y = (—)x13
Y
X
–1
3
4
1 3 4–1
x + 23
x3
4√x
√cos x
√x
54
110
1 + x2
x2
1
2
2
f(x) = 1,2x
Y
X–2
3
1 3–1–3
1
2
2
y = 0,6xY
X–2
3
4
1 3 4–1–3
2
4
2
(1, 0)
(0, 1)
y = 3x
y = log3 x
Y
X–2
–2
6
4
x 1/9
log3x –2
1/3
–1
1
0
3
1
9
2
x –2
3x 1/9
–1
1/3
0
1
1
3
2
9
c)
2
4
2 4
6
6 8
d)
–2
–6
–4
2 4–2
6
a)
2
4
2 4
6
6 8
b)
–2
–6
–4
2 4–2
6
82
21.
22.
23.
24.
j(x) = |f (x)|
d)
X2 3 41–1–2–3
c) Y
1
2
–1
i (x) = – f (x)
X1–1
b) Y
h(x) = f (x – 3)
X2 4
2
–1
a) Y
–1
–2
g (x) = f (x) – 2
X2–1
2
2
4
–4 –2
Y
X
a)
4
b)
2
2
4
–4 –2
Y
X
2
f (x) = 4 – x2
2 4X
Y
4
–4
–2–4 –2
a)
b)
2
4
4
Y
X
6
8
2–2–4
(0, 1)
y = 3xy = (—)x13
83
25.
PÁGINA 269
26.
27.
c)y = 1
4
Y
X
–5
–6
–4
–3
–2
–1
1
2–2–4
4
Y
X
6
8
10
12
14
2–2–4 4
2
d)
(0, 1)
(0, —)18
b)
1
2
4
Y
X
3
4
62–2–4
(0, —)12 2
4
4
Y
X
6
8
10
12
14
16
2–2–4
a)
a)
y = 1
y = 2x
y = 2x + 1
2
4
4
Y
X
6
8
10
62–2–4
b)
y = –3
y = 2x
y = 2x – 3
Y
2
4
4
X
6
8
62–2–4
–2
g (x) = √—x + 1
b)
a)
X
Y
–1 1 2
1
–1
–2
–3
84
28. a) y = 1 + log2 x
b) y = log2 (x – 1)
c) y = – log2 x
d) y = log2 (–x)
29. a = 2, b = 1
30.
31. a) y =
b) y =
32. a) y =
b) y =
2
4
2
6
–2–4–6
°¢£–3x – 6 si x < –23x + 6 si x Ó –2
2
4
2 4
6
6–2–4
°§§¢§§£
x – 3–— si x < 3
2x – 3— si x Ó 32
2
4
2 4 6
6
8 10 12
°¢£–x + 3 si x < 3x – 3 si x Ó 3
2
4
2 4 6
6
8 10 12
°¢£4 – x si x < 4–4 + x si x Ó 4
2
4
2 4 6
6
8 10 12
2
Y
X3 4 51 2
x = 1y = log2 xy = log2 (–x)
–1–2–3–4–5
–4
–2
y = – log2 x
y = log2 x1
2
Y
X
1
2
3
4
2
3
3 4 5 61
2
Y
X
–2
–4
3 4 5 61 2
x = 1 y = log2 x
y = log2 (x – 1)
(—, 0)12
y = 1 + log2 x
y = log2 x1
2
Y
X
1
2
3
4
2
3
3 4 5 61
85
c) y =
d) y =
33.
Sí. y = –|2x – 4|
34.
35.
b)
2
2 4–2
–4
–4 –2
Y
X
a)
2
4
2 4–2
–4 –2
Y
X
c)
2
2 4–2
–4 –2
Y
X
b)
X1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
d)
X1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
c)
X1
Y
2–1–2–3–4
1
2
3
4
a)
X1
Y
2 3–1–2–3
1
2
3
4
–4
2 4 6
–2
8 10 12
2
4
2
6
–2–4–6
–x – 1 si x < –1x + 1 si x Ó –1
°¢£
2
4
2
6
4–2–4
–2x + 1 1—si x < —
3 22x + 1 1—si x Ó —3 2
°§§¢§§£
86
36. y =
y = 2 +
37. a) y = = 3 +
b) y = = 1 +
c) y = = 3 +
d) y = = 1 +
2
–2–2
–4
–6
4
6
–4–6 2 4 6
Y
X
x + 1x – 1
2x – 1
2
2–2
–4
4
6
8
–2–4–6 4 6
Y
X
3x + 2x + 1
–1x + 1
2
2–2
–4
–6
4
6
8
–2–4 4 6 8 10
Y
X
x – 2x – 4
2x – 4
3
1
Y
X
3x – 1
3xx – 1
1
1
2
3
4
–12–2 –1–3–4–5
Y
X
1x + 1
1
1
2
–3
–2
–12 3–2 –1–3–4
Y
X
1x
87
38. p = g ° f , q = f ° g, r = h ° g
39. a) k = 0,5; a = 3,4
b) La función es y = 0,5 · (3,4)x
40. a) f –1 (x) = 1 + log2
b) f –1 (x) = log3 (x – 1)
PÁGINA 270
41. a) f (x) =
b) f (x) =
42. a) 0,93 rad 8 53° 7' 48"
b) –1,12 rad 8 –64° 9' 29"
c) 1,20 rad 8 68° 53' 59"
d) 2,42 rad 8 138° 35' 25"
e) 1,29 rad 8 74° 3' 17"
f ) –1,43 rad 8 –81° 52' 11"
43. a) 60° b) 60° c) 45°
d) –90° e) 120° f ) 60°
44. a) y = 24,82 + 0,633 (x – 12)
b) y (28) = 34,94 euros
45. T (h) = 10 – ; T (800) = 5,56 °C
46. a)
b) 80 metros
c) 2 segundos
47.
y =
48. a) B (x) = – + 15x – 25
b) Deben venderse 15 unidades.
49. a) Los ingresos serían de 40 500 euros.
b) I (x) = –20x2 + 200x + 40 000
(x en decenas de euros)
c) La subida debe ser de 50 euros.
x2
2
°¢£0,25x 0 < x < 6015 x Ó 60
DOSIS (g)
PESO (kg)
5
10
20 40
15
60 80 100
60
80
100
40
20
1 2 3 4 5 TIEMPO (s)
ALTURA (m)
120
140
6
8
10
4
2
200 400 600 800 1000 ALTURA (m)
TEMPERATURA (°C)
h180
10
20
10 20
30
40
50
30 40 50
IMPORTE (euros)
CONSUMO (m3)
x2 si x Ì 24 si x > 2
°¢£
–x – 1 si x Ì 32 si x > 3
°¢£
x3
2
4
42–4 –2
88
50. a)
b) f (x) =
51. k = 100, a ≈ 1,05
La función es y = 100 · 1,05x.
Tardará 80 minutos, aproximadamente, en lle-gar a 5 000 bacterias.
52. y = 10000 · 0,96x
El capital se reducirá a la mitad en 17 meses,aproximadamente.
PÁGINA 271
53. ( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x
54. f –1(x) = (x – 1)2, x Ó 1
55. a) La y no puede ser negativa, la x sí.
b) a > 1
c) (0, 1)
d) Para x < 0.
56. a) b) c) –3,078
d) 0,966 e) f ) 14,101
57. y = 4x2 – 16x + 12
58. a) (–@, –3] « (2, +@)
b) (–@, 0) « [9, +@)
59. a) y =
b) y =
1
–11 2 3–1–2–3
1 si x Ì 01 – 2x si 0 < x < 1–1 si x Ó 1
°§¢§£
2
2–2
4 6–2–4–6
1 – x si x Ó 01 + x si x < 0
°¢£
12
√32
√22
y = (x – 1)2, x ≥ 1Y
X
y = 1 + √x
y = x
2
4
6
8
2 4 6 8
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
TIEMPO (meses)
CAPITAL (€)
2 000
6 000
10 000
10 20 30 40 50
TIEMPO (min)
N.º BACTERIAS
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
(1/20)x si 0 Ì x Ì 201 si 20 < x Ì 50–1/20 (x – 70) si 50 < x Ì 70
°§¢§£
DISTANCIA A SU CASA (km)
TIEMPO (min)20
1
50 70
89
60. a)
b) f (x) =
AUTOEVALUACIÓN
1. a) (–@, 0] « [2, +@)
b) Á – {0, 1}
2. a)
b)
3. = –2 +
4. a)
Expresión analítica:
f (x) =
b)Dom f = [0, 35]
Recorrido de f = [10, 100]
5. a) Ingresos = 350000 €
b)
c) Deben fabricar 600 artículos para obtenerunos ingresos máximos (360 000 euros).
6. a) C = 5000 (1,06)t
Es una función exponencial creciente, porser a > 1.
b) El capital se duplicará en 12 años.
7. a) f [g (2)] = 0
b) g [f (15)] = 1
c) f ° g (x)
d) g ° f (x) =1
√x + 1 – 3
x – 2√ x – 3
1000
2000
3000
4000
100 600N.º DE ARTÍCULOS
INGRESOS
1200
I(x) = p · x = 12x – 0,01x2
18x + 10 si 0 Ì x < 5100 si 5 Ì x Ì 35
°¢£
25
40302010
50
75
100TEMPERATURA (°C)
TIEMPO(min)
X
Y 1y = —x
1 X
Y
1
1y = –2 + —x – 2
1x – 2
–2x + 5x – 2
X
Y
1
X
Y
1
y = 2x + 3
40x si 0 Ì x Ì 2060x – x2 si 20 < x Ì 30
°¢£
10
200
400
600
800
1000
INGRESOS
CARGA (t)20 30
90
PÁGINA 273
Aproximaciones sucesivas
� f (4,999) = 6,9995
f (4,9999) = 6,99995
f (4,99999) = 6,999995
f (x) = 7
� f (2) = 5,5
f (2,9) = 5,95
f (2,99) = 5,995
f (2,999) = 5,9995
f (2,9999) = 5,99995
f (x) = 6
PÁGINA 275
1. a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le faltaese punto).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 4.
2. a) Está definida y es continua en todo Á.
b) Está definida y es continua en (–@, 5].
c) Está definida en todo Á. Las dos ramas em-palman en el punto (3, 5). La función escontinua en todo Á.
d) Las dos ramas empalman en el punto (2, 2).La función es continua en el intervalo en elque está definida: [0, 5).
PÁGINA 278
1. a) – b) 0
2. a) b) –1
PÁGINA 279
3. k = –14
PÁGINA 281
4. a) f (x) = –@; f (x) = +@
No existe f (x)
f (x) = 0
f (x) = –@; f (x) = +@
No existe f (x)
b) f (x) = –@
f (x) = –3
f (x) = 0
c) f (x) = 0
f (x) = +@; f (x) = –@
No existe f (x)
d) f (x) = 0
f (x) = –@; f (x) = +@
No existe f (x)
PÁGINA 282
1. f1(x) = –@; f2(x) = –3
f3(x) = +@; f4(x) no existe
PÁGINA 283
1. a) –@ b) +@ c) –@
d) 0 e) 0 f ) –@
2. Por ejemplo, para x = 1000:
f (x) = 800 000 000
3. Por ejemplo, para x = 1000:
f (x) = 0,0000)01.
límx 8 +@
límx 8 +@
límx 8 +@
límx 8 +@
límx 8 –3
límx 8 –3–
límx 8 –3+
límx 8 0
límx 8 –3
límx 8 –3–
límx 8 –3+
límx 8 1
límx 8 3
límx 8 0
límx 8 2
límx 8 2
límx 8 2–
límx 8 2+
límx 8 0
límx 8 –2
límx 8 –2–
límx 8 –2+
√3
32
límx 8 3
límx 8 5
11. LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDADY RAMAS INFINITAS
91
PÁGINA 284
4.
5.
PÁGINA 285
1. a) f (x) = –@; f (x) = +@
x = –1 es asíntota vertical.
b) f (x) = +@; f (x) = –@
x = –1 es asíntota vertical.
2. a) f (x) = +@; f (x) = –@
x = 0 es asíntota vertical.
f (x) = –@; f (x) = +@
x = 2 es asíntota vertical.
b) f (x) = +@; f (x) = +@
x = 1 es asíntota vertical.
PÁGINA 287
3. a) y = 0 es asíntota horizontal.
b) y = x es asíntota oblicua.
4. a) y = 1 es asíntota horizontal.
b) f (x) = +@
Rama parabólica hacia arriba.
límx 8 +@
1
1
1
1
límx 8 1–
límx 8 1+
2
límx 8 2+
límx 8 2–
límx 8 0+
límx 8 0–
–1
límx 8 –1+
límx 8 –1–
–1
límx 8 –1+
límx 8 –1–
a) –@ b) 0
c) +@ d ) –1
–1
a) 0
c) 0
b) 0
d) +∞
92
PÁGINA 288
1. f (x) = +@
2. a) f (x) = 0
b) f (x) = +@
PÁGINA 289
3. a) y = 0 es asíntota horizontal.
b) y = 0 es asíntota horizontal.
c) y = 1 es asíntota horizontal.
d) y = x es asíntota oblicua.
4. a) f (x) = +@ 8 rama parabólica.
b) y = 1 es asíntota horizontal.
c) y = x + 2 es asíntota oblicua.
d) f (x) = +@
PÁGINA 295
1. a) Solo la a).
b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 2.
e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4;f (x) = 2.
f ) No está definida en x = 2.
2. a) Continua b) 2 c) –
d) Continua e) 0 y 5 f ) Continua
3. a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2.
b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2.
c) No es continua en x = 0, sí en x = –2.
d) Continua en x = 0 y en x = –2.
12
límx 8 1
límx 8 –@
–2
2
1
límx 8 –@
1
1
1
límx 8 –@
límx 8 –@
límx 8 –@
93
4. a) Á b) [3, +@) c) Á – {0}
d) (–@, 0] e) –@, f) Á
5. a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua.
6. f (x) = –1 = f (0). Es continua en x = 0.
7. a) No, pues no existe f (–1).
b) f (x) = f (x) = f (2) = –2.
Sí es continua en x = 2.
c) f (x) = 3 ? f (x) = 4.
No es continua en x = 1.
PÁGINA 296
8. f1(x) = +@ No existe f2(x).
9. a) +@ b) –@ c) 2 d) 0
e) 0 f ) 3 g) +@ h) 0
10. a) 5 b) 0 c) –2 d)
e) 2 f ) 2 g) 1 h) e2
11. a) f (x) = 5
b) f (x) = 4
c) f (x) = 1
12. a) –2 b) 3 c) 0 d) –7/4
13. a) 2 b) –3 c) –1/4
d) 3 e) –1/2 f ) 2
14. f (x) = ; f (x) = 0
f (x) = +@; f (x) = –@
15 y 16.
a) (7 + x – x3) = –@
(7 + x – x3) = +@
b) = +@
c) ( + – 17) = –@
d) (7 – x)2 = +@
17. a) y b) f (x) = 0
c) y d) f (x) = 0
18. a) f (x) = +@
b) f (x) = +@límx 8 +@
límx 8 +@
límx 8 +@
límx 8 +@
límx 8 ±@
límx 8 ±@
–x4
3x2
límx 8 ±@
x2 – 10x – 325
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –1+
límx 8 –1–
límx 8 0
34
límx 8 3
límx 8 0
límx 8 3
límx 8 –2
√2
límx 8 –2
límx 8 –2
límx 8 1+
límx 8 1–
límx 8 2+
límx 8 2–
límx 8 0
]52(
94
c) f (x) = –@
d) f (x) = –@
a) f (x) = –@
b) f (x) = +@
c) f (x) = +@
d) f (x) = –@
PÁGINA 297
19 y 20.
a) = 0
b) = +@
= –@
c) = 0
d) = 0
e) = 2
f) = –@
= +@límx 8 –@
x2 + 51 – x
límx 8 +@
x2 + 51 – x
–2
Y
X–4 2
2
4
–4
–24
límx 8 ±@
2x – 1x + 2
límx 8 ±@
1(2 – x)3
–2
Y
X–4 2
2
4
–4
–24
límx 8 ±@
–1x2 – 1
límx 8 –@
–2x2
3 – x
límx 8 +@
–2x2
3 – x
–2
Y
X–4 2
2
4
–4
–24
3(x – 1)2
límx 8 ±@
límx 8 –@
límx 8 –@
límx 8 –@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 +@
95
g) = –3
h) = 1
21. a) 3 b) –@ c) 0 d) +@
22. a) f (x) = 0
f (x) = 0
b) f (x) = –@
f (x) = +@
c) f (x) = +@
f (x) = –@
d) f (x) = –4
23. a) x = 3; y = 2
b) x = –3; y = 1
c) x = 4; y = –2
d) x = 1; y = 0
24. a) y = 1
b) y = 0
Y
X
Y
X
1
Y
X1
Y
X
–2
4
Y
X
1
–3
Y
X3
2
–4
límx 8 ±@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –@
límx 8 +@
–2
Y
X–4 2
2
4
–4
–24
3 – 2x5 – 2x
límx 8 ±@
–2
Y
X–4 2
2
4
–4
–24
2 – 3xx + 3
límx 8 ±@
96
c) x = 0; y = 2
d) x = 1
25. a) x = 3/2; y = 2
b) x = 5/2; y = 3/2
c) x = 2; y = 0
d) y = 0
e) x = 1, x = –1; y = 0
f ) x = –2; y = 0
26. a) y = 3x – 3
b) y = –x + 1
c) y = 2x
1
1
1
1
1
–3
–2
1–1
2
2
3
2
Y
X1
Y
X
2
97
d) y = x + 4
e) y = 2x
f ) y = –x – 1
27. a) f (x) = +@
f (x) = –@
b) f (x) = –@
f (x) = +@;
f (x) = –@
f (x) = +@
c) f (x) = =
f (x) = +@
f (x) = –@
d) f (t ) = –2
28. a) x = – ; y = x –
b) y = ; x =
c) y = 0; x = ±1
d) y = 1
e) y = x; x = –2, x = 2
2–2–4–6 4 6–2
2
4
X
Y
–4
2–2–4–6 4 6–2
–4
2
4
X
Y
2–2–4–6 4 6–2
2
4
X
Y
–4
2–2–4–6 4 6–2
–4
2
4
X
Y
72
52
2–2 4 6 8–2
–4
2
X
Y
134
12
12
límt 8 0
límx 8 –2+
límx 8 –2–
12
24
límx 8 2
límx 8 2+
límx 8 2–
límx 8 0+
límx 8 0–
límx 8 –2+
límx 8 –2–
–1
–1
1
1
–4
4
98
f ) x = –2; y = 3x – 6
29. a) f (x) = +@
f (x) = +@
Asíntota vertical: x = 0
b) Asíntota vertical: x = –1
Asíntota horizontal: y = 1
c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3
Asíntota horizontal: y = 0
d) Asíntota horizontal: y =
e) Asíntota vertical: x = –3
Asíntota oblicua: y = 2x – 6
f ) f (x) = +@; f (x) = +@
Asíntota vertical: x =
PÁGINA 298
30. Asíntota vertical: x = 0
Asíntota horizontal: y = 1
31. a)
b) No existe
1
x2 – 3x + 2x2 – 2x + 1
límx 8 1
1 2 3
123
53
321
52
límx 8 –@
límx 8 +@
–4 4
–6
1
12
–3 3
–1
1
límx 8 –@
límx 8 +@
1–1–2–3 2 3–1
–3
1
2
X
Y
–2
99
32. a) =
= +@
= –@
b) =
= –@
= +@
c) = 4
d) =
= –@
= +@
33. a) x = –1, x = 1, y = x
b) x = 0
c) Asíntota horizontal: y = 2
d) Asíntota horizontal: y = 0, x = ±1
e) x = 5, y = x
f ) x = 0, y = x + 1
34. a) Discontinua en x = 3.
b) Función continua.
c) Discontinua en x = 2.
35. a) f (x) = –7; f (x) = 0;
f (x) = –@; f (x) = –@
b) f (x) = 1; f (x) = 26;
f (x) = +@; f (x) = 1
c) f (x) = 7; f (x) = 5;
f (x) = +@; f (x) = +@
36. a) f (x) = +@; f (x) = 0
b) f (x) = 0; f (x) = +@
c) f (x) = +@; f (x) = 1
d) f (x) = 0; f (x) = +@
37. a) Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0
b) Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = –1
c) Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 2
d) Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0
38. a) k = 2 b) k = 1/2 c) k = 1
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 5
límx 8 –3
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 5
límx 8 –3
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 5
límx 8 –3
–2
1–1
2 3 4 5
2
4
Y
X
2–2–4 4 6 8
2
4
6
8
Y
X
–21 2 3 4 5
2
4
Y
X6
22 (x + 2)x – 2
límx 8 2+
2 (x + 2)x – 2
límx 8 2–
2 (x + 2)x – 2
2x2 – 8x2 – 4x + 4
1
4x4 – 1x – 1
límx 8 1
–1x2
x + 1lím
x 8 –1+
x2
x + 1lím
x 8 –1–
x2
x + 1x3 + x2
x2 + 2x + 1
x – 2x (x + 1)
límx 8 0+
x – 2x (x + 1)
límx 8 0–
x – 2x (x + 1)
x2 – 2xx3 + x2
100
39. a) Es continua en Á.
b) Es continua en Á.
c) Si x ? 0, es continua.
40. a) a = 2
b) a = 2
41. a) Realiza 6 montajes el primer día y 21 monta-jes el décimo día.
b)
c) Se aproxima a 30.
PÁGINA 299
42. Sí se puede calcular, pero no puede ser conti-nua.
43. Sí. Por ejemplo, f (x) = tiene
x = 0, x = 1 y x = 2 como asíntotas vertica-les.
No puede tener más de dos asíntotas horizon-tales, una hacia +@ y otra hacia –@, por ejem-plo:
44. No. Por ejemplo, f (x) = en x = 0;puesto que:
f (x) = = 1
45. No. Para que fuera continua debería ser, ade-más, f (2) = 5.
46. Es discontinua en x = 1.
47. a) 1
b) 0
c) –1
d) 3
48. Por ejemplo, para x = 1000, f (x) = 0,00033.
49. a) –@
b) +@
c) 0
d) +@
50. a) Asíntota vertical: x = 3
f (x) = +@
b) Asíntota vertical: x = –2
f (x) = +@
AUTOEVALUACIÓN
1. f (x) = –5
f (x) = 1; f (x) = –1
No tiene límite en x = 3.
f (x) = 13
Es continua en x = 0 y en x = 5. No es con-tinua en x = 3.
límx 8 5
límx 8 3+
límx 8 3–
límx 8 0
límx 8 +@
límx 8 +@
2–2–4 4
2
–2
–4
4
Y
X
x (3x + 1)x
límx 8 0
límx 8 0
3x2 + xx
1x (x – 1)(x – 2)
5
10
5 10
15
20
25
15 20 25 30
101
2. a)
b)
c) +@
3. a) No tiene límite en x = 3.
f (x) = 1
f (x) = 0
f (x) = +@
b) f (x) = 0
No tiene límite en x = 2.
f (x) = –@; f (x) = 3
4. x = 2; y = 4
5. a = 2
6. f (x) = 9; no existe f (x)
f (x) = +@; f (x) = –@
7.
8. Asíntota oblicua: y = 2x
Posición
X
Y
1
2
x 8 +@ curva < asíntota
x 8 –@ curva > asíntota
X
Y
–2
2
X
Y
9
3
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 2
límx 8 3
X
Y
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 3
límx 8 –@
límx 8 +@
límx 8 2
13
12
102
PÁGINA 301
Tomar un autobús en marcha
a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después deque saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después,40 m más allá.
Corrió a 8 m/s = 28,8 km/h
b) Velocidad media = 7,5 m/s = 27 km/h
Las velocidades del pasajero 2 y del autobússon, aproximadamente, iguales en el momentoen el que el pasajero accede al autobús; por tan-to, accederá suavemente.
¿Es preferible esperar o correr trasel autobús?
a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidadque lleva el autobús para acceder a él suave-mente.
b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús(con la misma velocidad, aproximadamente);sin embargo, el 3 no.
Carrera de relevos
a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades delque llega al que se va.
b) El intercambio sería muy brusco y se perderíatiempo.
c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, apro-ximadamente.
PÁGINA 303
1. T.V.M. [1, 2] = –5
T.V.M. [1, 3] = –4
T.V.M. [1, 4] = –3
T.V.M. [1, 5] = –2
T.V.M. [1, 6] = –1
T.V.M. [1, 7] = 0
T.V.M. [1, 8] = 1
2. T.V.M. [1, 1 + h] = h – 6
PÁGINA 305
1. f ' (4) = –3; f ' (5) = –5
2. f ' (1) = = –3
f ' (–1) = = –
f ' (5) = = –
3. f ' (–2) = =
f ' (–1) = = –1
f ' (1) = = –1
f ' (2) = =
4. f ' (–2) = = –6
f ' (–1) = = –4
f ' (0) = = –2
f ' (1) = = 0
f ' (2) = = 2
f ' (3) = = 4
f ' (4) = = 6
PÁGINA 306
1. f ' (x) = (–h – 2x + 5) = –2x + 5
f ' (1) = 3 f ' (0) = 5 f ' (3) = –1
f ' (4) = –3 f ' (5) = –5
2. f ' (x) = = 3x2h (h2 + 3xh + 3x2)h
límh 8 0
límh 8 0
h (h + 6)h
límh 8 0
h (h + 4)h
límh 8 0
h (h + 2)h
límh 8 0
h2
hlímh 8 0
h (h – 2)h
límh 8 0
h (h – 4)h
límh 8 0
h (h – 6)h
límh 8 0
–14
–14 + 2h
límh 8 0
–11 + h
límh 8 0
1h – 1
límh 8 0
–14
12h – 4
límh 8 0
13
–1h + 3
límh 8 0
13
1h – 3
límh 8 0
3h – 1
límh 8 0
12. INICIACIÓN AL CÁLCULO DEDERIVADAS. APLICACIONES
103
3. f ' (x) = =
f ' (4) = –3/4 f ' (1) = –3
f ' (–1) = –1/3 f ' (5) = –1/3
4. f ' (x) = (3x2 + 3xh + h2 + 2x + h) =
= 3x2 + 2x
PÁGINA 308
1. f ' (x) = 6x – 6
2. f ' (x) = +
3. f ' (x) = +
4. f ' (x) =
5. f ' (x) = cos2 x – sen2 x
6. f ' (x) = 1 + tg2 x =
7. f ' (x) = ex + x ex = ex (1 + x)
8. f ' (x) = 2x + x · 2x · ln 2 = 2x (1 + x ln 2)
9. f ' (x) = 2x log2 x +
10. f ' (x) =
11. f ' (x) = 2x + 3 –
12. f ' (x) =
PÁGINA 309
13. f ' (x) = (2x – 5) cos (x2 – 5x + 7)
14. f ' (x) = (5x + 3)–1/3 · 5 =
15. f ' (x) = 3 [cos2 (3x + 1) – sen2 (3x + 1)]
16. f ' (x) =
17. f ' (x) = –3 sen (3x – π)
18. f ' (x) =
19. f ' (x) = e2x + 1 (1 + 2x)
20. f ' (x) =
PÁGINA 310
1. f ' (x) = 3x2 – 8x
a) f ' (–1) = 11, f ' (1) = –5, f ' (3) = 3
b) y = 11 (x + 1) – 4; y = –5 (x – 1) – 2;y = 3 (x – 3) – 8
c) x = 0, x = 8/3
d) Es decreciente en x = 2.
PÁGINA 311
1. f es el nombre de la función; a es la abscisa,el punto de la curva en el cual se traza la tan-gente; f (a) es la ordenada de ese punto, yf '(a) es la pendiente de la recta tangente, puesf ' es el nombre de la función derivada.
Las variables x e y son la abscisa y la orde-nada de un punto genérico (un punto cual-quiera) de la recta tangente.
x es, pues, la variable independiente de lafunción lineal descrita por la recta tangente a fen el punto de abscisa a.
PÁGINA 313
1. a) Máximo en (–1, 15).
Mínimo en (2, –12).
10
20
–20
2 4–4 –2
–10
2x (1 – x2) cos (x2 + 1) + x sen (x2 + 1)
√(1 – x2)3
1
√1 + 2x
2 (1 – ln 10 log x)x2 ln 10
10
33√5x + 3
23
1 – ln 10 log xx2 ln 10
3x2
–4x(x2 – 1)2
(x2 + 1)x ln 2
1cos2 x
–3
2x2√x
5
33√5x
1
√2x
1
33√x2
1
2√x
límh 8 0
–3(x – 2)2
–3
(x – 2) (x + h – 2)límh 8 0
104
b) Máximo en (–2, –26) y en (3, 99).
Mínimo en (0, –90).
c) Mínimo en (–3, –27).
Punto de inflexión en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–4, 0)
PÁGINA 315
1. a) Máximo en (–4, –5).
Mínimo en (2, 7).
Asíntota vertical: x = –1
Asíntota oblicua: y = x + 2
b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0)
Asíntota vertical: x = –1
Asíntota oblicua: y = x + 2
c) Mínimo en (0, 0).
Asíntota horizontal: y = 1
d) Máximo en (0, 1).
Asíntota horizontal: y = 0
e) Máximo en (0,73; –2,73).
Mínimo en (–2,73; 0,73).
Asíntotas verticales: x = 0, x = 2
Asíntota horizontal: y = 1
2
4
–4
2 4–4 –2–2
1
2
–2
2 4–4 –2–1
1
2
–2
2 4–4 –2–1
10
20
–20
4 8–8 –4–10
10
20
–20
4 8–8 –4–10
20
40
–40
2 4–4 –2
–20
100
200
–200
2 4–4 –2
–100
105
f) x = 0 es asíntota vertical.
y = 1 es asíntota horizontal.
Cuando x 8 –@, y < 1; y cuando x 8 +@,y < 1.
La curva está por debajo de y = 1.
La función es decreciente en (–@, 0) y escreciente en (0, +@).
Corta al eje X en (–1, 0) y (1, 0).
PÁGINA 320
1. a) T.V.M. [–2, 0] = 1
b) T.V.M. [0, 2] = –3/2
c) T.V.M. [2, 5] =1/3
2. a) T.V.M. [1, 3] = –1/3 8 Decrece
b) T.V.M. [1, 3] = –1 8 Decrece
c) T.V.M. [1, 3] = 3 8 Crece
d) T.V.M. [1, 3] = 3 8 Crece
3. T.V.M. [2, 2 + h] = h + 4
4. T.V.M. [1, 1 + h] = –h + 3
T.V.M. [1, 2] = 2
T.V.M. [1; 1,5] = 2,5
5. Para f (x): T.V.M. [2, 3] = 19
T.V.M. [3, 4] = 37
Para g (x): T.V.M. [2, 3] = 18
T.V.M. [3, 4] = 54
En [2, 3] crece más f (x).
En [3, 4] crece más g (x).
6. f ' (–2) = =
f ' (3) = =
7. a) f ' (1) = = 6
b) f ' (1) = = 12
c) f ' (1) = = –
8. f ' (1) = (h – 4) = –4
f ' (3) = h = 0
9. f ' (–2) = –9
10. f ' (2) = (–h) = 0
11. a) f ' (x) = = 5
b) f ' (x) = = 14x
c) f ' (x) = = 2x + 1
d) f ' (x) = =
12. f ' (–3) = –3, f ' (0) = , f ' (4) = –2
13. f ' (x) = 0 en (–2, 2) y en (2, 7).
En x = 1 la derivada es positiva. En x = 3 esnegativa.
14. No, pues es creciente.
f ' (–2) < f ' (0) < f ' (2)
15. f ' (x) = 6x2 + 6x ; f ' (1) = 12
16. f ' (x) = –2 sen (2x + π); f ' (0) = 0
17. f ' (x) = ; f ' (– ) =18. f ' (x) = ; f ' (0) = –7
19. f ' (x) = (cos – sen ); f ' (π) = –
20. f ' (x) = ; f ' (–1) = –3/8–6(x + 3)4
12
x2
x2
12
–7(7x + 1)2
13
173
13
32
–3x2
–3x (x + h)
límh 8 0
h (h + 2x + 1)h
límh 8 0
h (7h + 14x)h
límh 8 0
5hh
límh 8 0
límh 8 0
límh 8 0
límh 8 0
19
3 – h – 33 (h + 3) h
límh 8 0
h (4h + 12)h
límh 8 0
h (3h + 6)h
límh 8 0
25
25
límh 8 0
25
25
límh 8 0
2
2 4
y = 1
–4 –2
–4
–2
–6
106
21. f ' (x) = x2 + 3x – ; f ' (2) =
PÁGINA 321
22. f ' (x) = ; f ' (8) = –
23. f ' (x) = sen (π – x) – x cos (π – x)
f ' ( ) = 124. f ' (x) = 15 (5x – 2)2; f ' ( ) = 1525. f ' (x) = ; f ' (3) = –
26. a) f ' (x) =
b) f ' (x) = 6x (x2 – 3)2
27. a) f ' (x) = 1 (si x ? 0)
b) f ' (x) =
28. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
29. a) f ' (x) =
b) f ' (x) = 7x + 1 · e–x (ln 7 – 1)
30. a) f ' (x) = +
b) f ' (x) = +
31. a) f ' (x) =
b) f ' (x) = e2x (1 + tg x)2
32. a) f '(x) =
b) f ' (x) = cos x (–2 sen x + e sen x)
33. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
34. a) f ' (x) = 0
b) f ' (x) = +
35. a) f ' (x) = 6x tg2 x2 (1 + tg2 x2)
b) f ' (x) =
36. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
37. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
38. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
39. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
40. a) ( , ) b) (–1, 2) y (1, –2)
41. a) P (2, 0) b) P (–3, –1); Q (–7, 3)
42. a) P (2, 0) b) P (–1, –1), Q (–3, 3)
c) P (–2, 4) d) P , ln 2
43. a) P (2, –3) b) P ,
c) P (0, 0), Q (√—2, –4), R (–√
—2, –4)
d) P (0, 1)
44. y = – (x – 2) = 2 – x
)254
52(
)34(
23
13
–1x2 + 1
2 √x + 14√x2 + x √
—x
e–x
√1 – e–2x
1
2 (1 + x2) √arc tg x
1
√x (4 + x)
1
x√x2 – 1
2x1 + (x2 + 1)2
2x
√9 – x4
1
2x √ln x
1(3 – x) ln 10
2x ln 10
x2 (3 – x) e1 – x
8
x4 – 12x2
2 √x3 (x2 – 4)
x3 – 3x2
(x – 1)3
2x (1 – x2)(1 + x2)3
e√—x
2 √x1x
13
–13x2
–3x
√(1 – x2)3
cos x
2 √sen x
2
33√(x + 6)
x
√x2 + 1
ex + e–x
2
52
–10(x – 5)2
15
π2
116
–1
2√(x – 4)3
232
12
32
107
45. y = 4x + 6
46. y = 2x
47. y = x + 1
48. a) P ,
b) P (0, 1), Q (1, 0)
c) P (0, 0), Q (3, –27)
d) P (2, –16), Q (–2, 16)
49. a) P (1, 2), Q (–1, –2) b) P (0, 0)
PÁGINA 322
50. a) f ' (x) = 3x2 + 3 8 3x2 + 3 = 0 no tiene so-lución.
b) f ' (x) = = 0 no tiene solución.
c) f ' (x) = = 0 no tiene solución.
d) f ' (x) = = 0 no tiene solución.
51. 15) Creciente. 16) Ni crece ni decrece.
17) Creciente. 18) Decreciente.
19) Decreciente. 20) Decreciente.
21) Creciente. 22) Decreciente.
23) Creciente. 24) Creciente.
25) Decreciente.
52. a) Creciente en (–@, +@).
b) Decreciente en (–@, +@).
c) Crece en , +@ . Decrece en –@, .
d) Crece en (–@, 1). Decrece en (1, +@).
e) Creciente en (–@, +@).
f) Crece en (–@, –1) « (1, +@). Decrece en(–1, 1).
53. a) f ' > 0 si x < –1 f ' < 0 si x > –1
b) f ' > 0 si x < 0 f ' < 0 si x > 0
c) f ' > 0 si x é(–@, –1) « (1, +@)
f ' < 0 si x é(–1, 1)
54.
Crece en (–@, 1) « (3, +@).
Decrece en (1, 3).
Máximo en x = 1. Mínimo en x = 3.
55.
(–3, 2) es un mínimo.
(1, 5) es un máximo.
56.
57.
58. f (0) = –1, f (1) = 0, f (2) = 1
f ' (1) = 0
El punto (1, 0) no es ni máximo ni mínimo.
1
2
–2
1 2 3–2–3 –1
–1
f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0
1 3
)32()32(
1x
1
2√—x
–1x2
)143
13(
12
108
59.
60.
61.
PÁGINA 323
62. Depreciación: [0, 2] 8 9000 €
[4, 6] 8 3500 €
[8, 10] 8 1500 €
La depreciación no es constante.
63. y = 6 (x + ), y = 6 (x – )64. En x = –2, y = 4x + 8
En x = 2, y = –4x + 8
65. a) f ' (x) = 2
b) x = 4
c) En el punto (4, –3).
66. (–2, 0) y (2, 0).
67. En (0, 0), y = –2x
En (2, 4), y = –2x + 8
68. (–1, 4) y (3, –28).
69. Puntos (–1, –1) y (1, 1).
No existe ningún punto de tangente horizontal,
pues f ' (x) = = 0 no tiene solución.
70. f ' (2) = 4/3, f (2) = 3
71. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
c) f ' (x) =
d) f ' (x) =
e) f ' (x) =
f) f ' (x) = ln x + 1
72. a) Máximo en (0, 0).
Mínimo en (2, –4).
y = x3 – 3x2
2
–2
–2–4–6 2 4 6
–4
–6
–8
–10
4
6
2 (1 + tg2 x)tg x · ln 10
6x + 5ln 10 (3x2 – 5x)
1 – xx
1 – x2
2x3 + 2x
–4xx4 – 1
1x2
√3√3
109
b) Máximo en (–1, 4).
Mínimo en (1, 0).
c) Punto de inflexión en (0, 0).
Mínimo en (–3, –27).
d) Máximo en (2, 0).
Mínimo en (4, –4).
e) Máximo en (2, 16).
Mínimo en (–2, –16).
f) Mínimo en (0, 0).
Máximo en ( , ) y en (– , ).
g) Máximo en (–2, 31).
Mínimo en (2, –33).
5 15–5–10–15–10
–20
–40
–30
20
30
40y = x5 – 6x3 – 8x – 1
10
10
y = –x4 + x2
1–1
–1
1
14
√22
14
√22
2 4–4 –2–5
–10
–15
5
10
15y = 12x – x3
y = x3 – 9x2 + 24x – 20
2 4 6–5
5
–20
–4 –2
y = x4 + 4x3
5
–5–2–4–6 2 4 6
–10
–15
–20
–25
10
y = x3 – 3x + 2
2
–2
–2–4–6 2 4 6
–4
4
6
110
h) Máximo en (0, 2).
Mínimo en (2, –14) y en (–2, –14).
73. a) Puntos de tangente horizontal:
( , ), (1, 0)(x3 – 2x2 + x) = +@
(x3 – 2x2 + x) = –@
b) Puntos de tangente horizontal:
(–1, 1), (0, 0) y (1, 1)
(–x4 + 2x2) = –@
(–x4 + 2x2) = –@
c) Puntos de tangente horizontal:
(–2, 1), (2, )= 0
= 0
d) Punto de tangente horizontal: ( , –4)= 0
= 0
e) Punto de tangente horizontal: (5, )= 0
= 0x(x + 5)2
límx 8 –@
x(x + 5)2
límx 8 +@
120
1
1 2–2 –1–1
–2
–3
–4
–5
2
–3 3
y = —————1x2 – 3x + 2 (—, – 4)3
2
1x2 – 3x + 2
límx 8 –@
1x2 – 3x + 2
límx 8 +@
32
y = —————xx2 + 5x + 4
1
1 2–2 –1–3–4 3
xx2 + 5x + 4
límx 8 –@
xx2 + 5x + 4
límx 8 +@
19
y = –x4 + 2x2
21–2 –1
–1
–2
–3
1
límx 8 –@
límx 8 +@
1–1
–1
1
y = x3 – 2x2 + x
límx 8 –@
límx 8 +@
427
13
2
246
4 6
y = x4 – 8x2 + 2
111
f ) Puntos de tangente horizontal:
(–4, –16), (0, 0)
= 2x – 4 (asíntota oblicua)
PÁGINA 324
74. a) f ' (x) = ? 0
Los puntos de corte son: (0, – ), (3, 0)
b) f ' (x) = ? 0
Los puntos de corte son: (1, 0), (–1, 0)
c) f ' (x) = x2 + 4 ? 0
El punto de corte es: (0, 0)
d) f ' (x) = ? 0
El punto de corte es: (0, )
75. a) Asíntotas verticales: x = –4, x = 4
Asíntotas horizontales: y = 0
No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tan-gente horizontal.
y = ————1(x – 2)2
4
2
2 4 6–4 –2
14
–2(x – 2)3
y = — + 4xx3
3 5
–5
2 4 6–4 –2–6
y = ———x2 – 1x 4
2
6
–2
–4
–6
2 4 6–4 –2–6
x2 + 1x2
y = ———x – 3x + 2
2
4
6
–2
–4
2 4 6 8–4 –2–6–8–10
32
5(x + 2)2
y = ———2x2
x + 25
2 4–2
–5
–10
–15
–20
10
15
–4–6 6
límx 8 ±@
y = ————x(x + 5)2
2
2 4–4 –2–2
–4
–6
–6 6
112
b) Asíntotas verticales: x = 1, x = –1
Asíntotas horizontales: y = 0
No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tan-gente horizontal.
c) Asíntotas verticales: x = 5, x = 1
Asíntotas horizontales: y = 0
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son,aproximadamente:
(–6,58; –0,052), (2,58; –1,197)
d) Asíntotas verticales: x = –2
Asíntotas oblicuas: y = x – 4
No hay asíntotas horizontales.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(1, 0), (–5, 12)
e) Asíntotas verticales: x = –2
Asíntotas oblicuas: y = x – 2
No hay asíntotas horizontales.
Sus puntos de tangente horizontal son,aproximadamente:
(–0,26; –0,54), (–3,73; –7,46)
y = ————
y = x – 4
(x – 1)2
x + 2
10
5
15
–5
–10
–15
–20
2 4 6–4 –2–6
Y
X
y = —————x + 2x2 – 6x + 5 1
0,5
1,5
–0,5
–1
–1,5
2 4 6–4 –2–6
Y
X
y = ———x1 – x2
2
1
3
–1
–2
–3
1 2 3–2 –1–3
Y
X
y = ————xx2 – 16
4
2
6
–2
–4
–6
2 4 6–4 –2–6
Y
X
113
f ) Asíntotas verticales: x = 1, x = –1
Asíntotas horizontales: y = –1
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(0, 0)
g) Asíntotas verticales: x = 3, x = 1
Asíntotas horizontales: y = 1
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(0, 0), ( , –3)
h) Asíntotas verticales: x = 2
Asíntotas horizontales: y = 1
No hay asíntotas oblicuas.
Su punto de tangente horizontal es (0, 0).
i) Asíntotas horizontales: y = 1
No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(1, ), (–1, 3)
y = —————x2 – x + 1x2 + x + 1
2 4 6–2–4–6–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
13
y = ————x2
(x – 2)2
2 4 6–2–4–6
2
4
6
X
Y
y = —————x2
x2 – 4x + 3
2 4 6–2–4–6–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
32
y = ———x2
1 – x
2 4 6–2–4–6–2
–4
–6
2
4
X
Y
y = ———
y = x – 2
x2 – 1x + 2
2 4 6–2–4–6–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
114
j) Asíntotas verticales: x = 2
Asíntotas oblicuas: y = + 1
No hay asíntotas horizontales ni puntos detangente horizontal.
76. f (x) = x2 – 2x + 1.
77. Punto (–3, 2).
78. f (x) = –x2 + 6x – 7.
79. x = 2
Para f (x), la tangente en x = 2 es:
y = 10x – 7
Para g (x), la tangente en x = 2 es:
y = 10x – 4
80. a = 6, b = 0, c = –6
81. k = 1
82. T.V.M. = 3 para todos. La función es una rectade pendiente 3.
83.
84. Existen infinitas.
f (x) = x2 + k, donde x es cualquier número.
85. f ' (x) = 3x2 8 f ' (0) = 0 8
8 y = 0 + 0(x – 9) 8
8 y = 0 es el eje de abscisas.
86. Son rectas paralelas.
87. Punto ( , )88. f ' (x) = 2ax + b = 0 8 x =
89. La correcta es la b).
90. a) Sí, en x = 2, puesto que f ' (2) = 0
b) Si x < 2 es creciente, pues f ' > 0; y si x > 2es decreciente, pues f ' > 0.
PÁGINA 325
91. f ' (2) = =
92. y = 3x – 1 – ln 3
93. f (x) = sen x
Máximo en ( , 1) y mínimo en ( , –1).g(x) = cos x
Máximo en (0, 1) y mínimo en (π, –1).
94. No, puesto que f '(x) = ? 0 para todo x.
95. a) No hay puntos de tangente horizontal.
Puntos de corte con los ejes:
( , 0), (– , 0)Dominio = Á – {0}
Asíntota vertical: x = 0
Asíntota oblicua: y = –2x
√2√2
1cos2 x
3π2
π2
1
2 √—2
1
√—2 + √
—2
límh 8 0
–b2a
154
32
°¢£
f = g + 1f ' = g'
12
1 2
2
1
–1
–1
12
y = ———x2 – 52x – 4
2 4 6–2–4–2
–4
2
4
6
X
Y
x2
115
b) Mínimo en (–1,5; 2,25).
Punto de inflexión en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes: (0, 0).
Dominio = Á – {–1}
Asíntota vertical: x = –1
c) Mínimo en (–2, 5).
Dominio = Á – {0}
Asíntota vertical: x = 0
Asíntota oblicua: y = 2 – x
d) Mínimo en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes:
(0, 0), ( , 0), (– , 0)Dominio = Á – {–1, 1}
Asíntotas verticales: x = –1, x = 1
96. a) Se deben fabricar 5 unidades.
b) C (5) = 175; M (5) = 35
97. a)
b) Beneficio máximo en x = 3, a los 3 años.
El beneficio sería f (3) = 10 miles de euros.
c) No perderá dinero ni llegará un momentoen que no obtenga beneficios ni pérdidas,pues f (0) = 0 y f (x) > 0 para todo x > 0.
AUTOEVALUACIÓN
1. a) T.V.M. [0, 3] = –
T.V.M. [–4, –2] = 2
b) Sí, P (–2, 4).
c) Si x < –2, f ' (x) > 0.
d) f ' (0) = –1.
2. f ' (–2) = h – 7 = –7límh 8 0
12
2
2 6
4
6
8
10
4 8 10 1412 16 18
2
4
2 4–4 –2
–2
–4
Y
X
√2√2
4
6
2 4–4 –2
–4
8Y
X
2
4
–4
2 4–4 –2
–2
Y
X
2
4
–4
2 4–4 –2
–2
Y
X
116
3. a) f ' (x) = –
b) f ' (x) = e–x
c) f ' (x) = –2π cos πx · sen πx
d) f ' (x) =
4. y = 2x – 2
5. Punto singular: (1, 2). No es máximo ni míni-mo.
6. Mínimo en (0, 2) y máximo en (4, –6).
7. (x3 – 12x + 16) = +@
(x3 – 12x + 16) = –@
Los puntos singulares son (2, 0) y (–2, 32).
8. Dominio de definición: Á – {0}
Asíntota vertical: x = 0
Asíntota horizontal: y = 1
No tiene puntos singulares.
9. Crece en (–@, –1) « (3, +@).
Decrece en (–1, 3).
Tiene un máximo en x = –1 y un mínimo enx = 3.
–1
1
X
Y
1
32
4
1–2 X
Y
límx 8 –@
límx 8 +@
2 X
Y
–2
3x4(x2 – 4x)(x – 2)4
)1 – x3(
2x2
1
2√—x
117
PÁGINA 326
1. a) Dom = (–@, 1)
b)Dom = Á – + 2πk; + 2πk, k é Z
2. a)
b)
3. a) y = f (x) + 2
b) y = f (x – 2)
c) y = – f (x)
4. a) (2, 1) b) (–2, –3)
c) (2, –6) d) (2, 3)
5.
6. a) Población inicial: 1 500 insectos.
b) Tarda entre 7 y 8 días.
7. p(x) = sen 8 p(x) = g [h(x)] 8 p = g ° h
q (x) = e sen x 8 q (x) = f [g(x)] 8 q = f ° g
r (x) = 8 r (x) = h [ f (x)] 8 r = h ° f
8. a) b = 1
b) f no es continua en x = 2.
9. f ' (x) = =
10. y = 9 – x
11. Los puntos singulares son (0, –5), (2, 11) y(–2, 11).
Ramas infinitas:
Máximos: (2, 11) y (–2, 11)
Mínimo: (0, –5)
lím (–x4 + 8x2 – 5) = –@x 8 +@
lím (–x4 + 8x2 – 5) = –@x 8 –@
°§¢§£
32
32
límh 8 0
√ex
√x
1
2
–11 2 3–1
1
2
–1
–2
1 2 3 4 5
1
2
–1
–2
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
1 2 3 4 5
X1
1
5
–3
Y
X
Y
y = |x2 + 2x – 3|
°¢£
3π2
π2
°¢£
BLOQUE IV. ANÁLISIS
118
12. a) f ' (x) =
b) f ' (x) =
c) f ' (x) =
d) f ' (x) = 0
e) f ' (x) =
f ) f ' (x) =
13. a) f crece en (–@, –2) « (2, +@). f decreceen (–2, 2).
b) f es creciente en todo su dominio: Á – {0}
14. a) Asíntotas verticales: x = 1, x = 3
Asíntota horizontal: y = 1
b) P (0, 0) es mínimo relativo.
Q ( , –3) es máximo relativo.c)
15. Tiene asíntota oblicua y = = + 2x.
La asíntota es y = 2x.
Posición:
16. a = –12, b = 17
17. a) f es creciente cuando f ' > 0 8 f crece six < 1 y decrece si x > 1.
b) Tiene un punto de tangente horizontal enx = 1, porque en ese punto f ' = 0.
x 8 +@ curva > asíntota
x 8 –@ curva < asíntota
°¢£
4x
4 + 2x2
x
1
X
Y
1 3
32
1
1 3
2√—x + 1
4√—x √x + √
—x
1
2√1 – x2
2x1 + x4
1 – ln xx2
1 + tg2 x
2√—tg x
X1 2–2
24
10
Y
119
PÁGINA 331
Relación funcionaly relación estadísticaLas respuestas, dadas por orden, son:
Correlación positiva.
Funcional.
Correlación negativa.
Correlación negativa.
Funcional.
Correlación positiva.
Correlación positiva.
Correlación negativa.
Ejemplo de relación funcional
a) 4,5 m
b) Altura = – 1 para F Ó 20
Ejemplo de relación estadística
a) Guille y Gabriel están representados por los pun-tos (160, 175) y (160; 177,5).
b) Sergio está representado por el punto de coor-denadas (192,5; 172,5).
c) En general, sí.
PÁGINA 333
1.
La correlación es negativa y moderadamentealta (– 0,62).
PÁGINA 335
4. Matemáticas-Filosofía:
–x = 6; –y = 5,25; qx = 2,45; qy = 1,92
qxy = 2,75; r = 0,58
Distancia-Número de encestes:
–x = 4,5; –y = = 4; qx = 2,29
qy = 3,71; qxy = –8; r = –0,94
PÁGINA 344
1. a) Renta (€), gasto (€).
Correlación positiva.
b) Relación funcional.
328
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
yi
9
10
6
4
2
0
1
0
xi2
1
4
9
16
25
36
49
64
yi2
81
100
36
16
4
0
1
0
xiyi
9
20
18
16
10
0
7
0
36 32 204 238 80
xi
2
3
4
4
5
6
6
7
7
8
10
10
yi
2
5
2
7
5
4
6
6
7
5
5
9
xi2
4
9
16
16
25
36
36
49
49
64
100
100
yi2
4
25
4
49
25
16
36
36
49
25
25
81
xiyi
4
15
8
28
25
24
36
42
49
40
50
90
72 63 504 375 411
2
2
4
6
8
10
4 6 8 1 012
I.N.
R.P.C.
F20
13. DISTRIBUCIONESBIDIMENSIONALES
120
c) Relación estadística. Seguramente muy dé-bil. Positiva (¿cabe pensar que cuanto másllueva más tiempo pasarán en casa y, portanto, más verán la televisión?).
d) Aunque lo parezca a priori, seguramente larelación no es funcional. Es una correlaciónpositiva fuerte.
e) Correlación positiva.
f) Correlación negativa (cuanto mayor sea lacosecha, más baratos están los tomates).
2. a)
b) B y C tienen correlación positiva; A y D,negativa.
c) La A es relación funcional: y = 12 – 2x.
d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).
3. a) r = 0,96
b) r = –0,75
c) r = 0,55
d) r = –0,87
4. El coeficiente de correlación vale –1.
5. c) r = 0,5
6. La correlación es positiva y fuerte.
150
160
170
180
Y
X150 160 170 180
9
7
5
3
1
2 4 6 8 9 X
Y
10
6 X
Y
D 10
5
5 10
C 10
5
5 10
D
B 10
5
5 10
A 10
5
5 10
B
121
PÁGINA 345
7. a) x– = 4,92 y– = 4,92
qx = 3,04 qy = 2,87 qxy = 8,33
b) r = 0,95. Se trata de una correlación fuerte ypositiva.
c) Recta de regresión de Y sobre X :
y = 4,92 + 0,9(x – 4,92)
Recta de regresión de X sobre Y :
y = 4,92 + 0,99(x – 4,92)
8. a)
b) x– = 4,9; y– = 5; qx = 2,47
qy = 2,45; qxy = –4,6; r = –0,76
c) Recta de regresión de Y sobre X :
y = 8,675 – 0,75x
9. a) Representada en el ejercicio 5.
b) Se comprueba.
c) Recta de regresión de Y sobre X :
y = 0,48x + 2,79
Recta de regresión de X sobre Y :
y = 1,45x – 1,48
10. ^y (13) = 52,1; ^y (20) = 74,5;
^y (30) = 106,5; ^y (100) = 330,5
Son fiables ^y (13) e ^y (20), porque 13 y 20están en el intervalo de valores utilizados paraobtener la recta de regresión.
^y (30) es menos fiable, pues 30 está fuera delintervalo, aunque cerca de él.
^y(100) es una estimación nada fiable, pues 100está muy lejos del intervalo [12, 25].
11. a) y = 19,81 + 6,74x, donde:
x 8 número de horas
y 8 número de gérmenes
b)^y (6) = 60,25 ≈ 60 gérmenes.
Es una buena predicción, puesto quer = 0,999 (y 6 está cercano al intervalo devalores considerado).
12. a) r = 0,8
b) y = 0,4x – 3 8
c)^y (180) = 69 kg
°¢£x : estaturas en cmy : pesos en kg
9 X sobre Y
Y sobre X
5
5 9 X
Y
10
5
5 10 X
Y
x
y
1
5
2
8
3
7
4
6
4
9
5
4
6
5
7
2
8
3
9
1
122
13.
h: número de habitaciones
p: número de personas
h–= 3,7; p– = 3,5; qh = 1,1
qp = 1,5; qhp = 1,45; r = 0,88
Es una correlación positiva y fuerte (a más ha-bitaciones, más personas en el piso).
14. a)
b) y c)^y = –16,5 + 0,93x^y (24) = 5,86^y (21) = 3,06
Las densidades del Cr y del Sc son, aproxi-madamente, 5,86 y 3,01. (Los valores realesde estas densidades son 7,1 y 2,9.)
PÁGINA 346
15. a) –y = 1,51 euros
b) r = –0,97. La relación entre las variables esfuerte y negativa. A mayor cantidad de pes-cado, menor es el precio por kilo.
c) La recta de regresión es y = 2,89 – 0,0005x.^y (2 600) = 1,59 euros.
16. a) r = 0,99; y = 0,157 + 0,066x
b)^y (190) = 12,697 litros. Debemos poner, co-mo mínimo, unos 13 litros.
17.
r = –0,24. La nube de puntos es muy dispersa.No se puede estimar de forma fiable la tasa deinflación a partir del IPC (pues |r| es muybajo).
18. El mismo, puesto que r no depende de lasunidades; es adimensional.
19. Hay que tener en cuenta que:
r = ; myx = ; mxy =
y que qx Ó 0, qy Ó 0 siempre.
Luego r, myx , mxy tienen el mismo signo queqxy . (Además, suponemos qx ? 0 y qy ? 0.)
20. El centro de gravedad de la distribución, ( –x, –y ).
21. |r| debe estar próximo a 1.
22. myx · mxy = · = ( )2 = r2
23. a) ( –x, –y ) = (4,93; 4,95)
b) r = 0,76
24. a) –x = 50 kg
b) Positivo (igual que el signo de la pendientede la recta de regresión).
PÁGINA 347
25. r = 0,31. La relación entre las variables es dé-bil.
26. x 8 CD; y 8 Conciertos
a) –x = 9,6 ≈ 10
b) r = 0,814
c) y = 13,51 + 2,86x
d)^y (18) ≈ 65 conciertos
qxy
qx2
qxy
qy2
qxy
qx qy
qxy
qx qy
qxy
qx2
qxy
qy2
0,5
4,5
6
1 1,5 2 2,5
5
5,5
6,5
I.P.C.
TASA DE INFLACIÓN
19
123
8
21 23 25 27
r = 0,98
4567
9
N-º ATÓMICO
DENSIDAD
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
6
6N-º DE HABITACIONES
N-º DE PERSONAS
123
AUTOEVALUACIÓN
1. La correlación de a) es positiva, y las de b) yc), negativas. En d) no se aprecia correlación.La correlación de c) es más fuerte que la deb). Por tanto:
a) 8 0,6 b) 8 –0,7
c) 8 –0,9 d) 8 0,2
2. a) x– = 5, y– = 6
qx = 2,8; qy = 2,7; qxy = 7,1
b) r = 0,95
c) y = 0,91x + 1,45
d) y^
(5) = 6, y^
(10) = 10,55
Las estimaciones son muy fiables porquer = 0,95 es un valor muy alto. Si se tratase de“notas” (de 0 a 10), la segunda estimación ha-bría que “hacerla real” y darle el valor 10.
3. a) y– = 13
b) y^
(12) = 16,2; y^
(50) = 77
La primera estimación es aceptable por ser12 próximo a x– = 10 (carecemos de infor-mación sobre los valores que toma x ). Lasegunda estimación es muy poco significati-va, pues 50 se separa demasiado de x–.
c) y = 6 + 2,5(x – 5)
4. a) y = 0,79 + 0,41x
b) r = 0,93
c) y^
(4,4) = 2,59
5 10
5
10
124
PÁGINA 349
Cálculo matemáticode la probabilidad
� P = ≈ 0,44
� Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.
� d = 1,93 cm
� P = 0,27
PÁGINA 350
1. a) E = {1, 2, 3, 4}
b) Elementales 8 {1}, {2}, {3}, {4}
No elementales 8 {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},{2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4},{2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø}
c) 24 = 16 sucesos
PÁGINA 351
2. a) A « B = {1, 2, 3, 4, 5}, A » B = {1, 3},A' = {5, 6}, B' = {2, 4, 6}
b) (A « B)' = {6}, (A » B)' = {2, 4, 5, 6},A' « B' = {2, 4, 5, 6}, A' » B' = {6}
(A « B)' = A' » B'
(A » B)' = A' « B'
c) B « C = {1, 2, 3, 4, 5}
B » C = Ö
Al ser B y C conjuntos disjuntos, la inter-sección es vacía.
PÁGINA 353
1. P [(A » B)'] = P [A' « B' ] = 0,8
P [A » B] = 0,2
P [A « B] = P [A] + P [B ] – P [A » B] = 0,9
2. P [M ] = 1 – P [M' ] = 3
P [N ] = P [M « N ] + P [M » N ] – P [M ] = 0,4
PÁGINA 355
1. P [1] = 0,117; P [2] = 0,302; P [3] = 0,038
P [4] = 0,234; P [5] = 0,196; P [6] = 0,113
P [PAR] = 0,649
P [MENOR QUE 6] = 1 – P [6] =0,887
P [{1, 2}] = 0,419
2. P [12] = =
3. P [2] = =
PÁGINA 357
1. a)
b) y c) P [R] = 0,5; P [1] = 0,6; P [N] = 0,3
P [2] = 0,4; P [V] = 0,2
d) P [1/R] = ; P [1/V] = 1; P [1/N] =
P [2/R] = ; P [2/V] = 0; P [2/N] =
P [R/1] = = ; P [V/1] = =
e) No son independientes.
PÁGINA 358
1. P = ( )3 = ≈ 0,0046
2. P = ( )4 = 0,483. 1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52
4. P [NINGÚN 6] = ( )6 = 0,335P [ALGÚN 6] = 1 – P [NINGÚN 6] = 0,665
56
56
1216
16
13
26
13
26
13
35
23
25
V R N
1
2
2 2 2
0 3 1
6
4
2 5 3 10
TOT
TOT
29
836
19
436
49
14. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
125
PÁGINA 359
5. a)
b) P [{3, 4, 5, 6} y ROJA] = · =
P [VERDE/1] = =
P [ROJA/5] = =
P [2 y VERDE] = · =
PÁGINA 361
1. a) P [2.a ROJA] = + + =
b) P [2.a VERDE] = + + =
c) P [2.a NEGRA] = + + =
PÁGINA 363
1. a) P [1.ª NEGRA/2.ª NEGRA] =
= = =
b) P [1.ª NEGRA/2.ª ROJA] =
= = =
c) P [1.ª VERDE/2.ª VERDE] =
= = = =
PÁGINA 367
1. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}
b) E = {OROS, COPAS, ESPADAS, BASTOS}
c) Llamamos: O = OROS; C = COPAS; E = ESPA-DAS; B = BASTOS.
E = {(O, O), (O, C), (O, E), (O, B), (C, O),(C, C), (C, E), (C, B), (E, O), (E, C),(E, E), (E, B), (B, O), (B, C), (B, E), (B, B)}
d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cadasuceso elemental está compuesto por seisresultados que pueden ser cara o cruz:
(x1, x2, x3, x4, x5, x6)
xi puede ser cara o cruz. Por ejemplo:
(C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elemen-tos de E.
e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C),(3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +),(6, C), (6, +)}
b) A = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)}
B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
c) A « B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +),(4, +), (5, +), (6, +)}
A » B = {(1, +), (2, +)}
D' = {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C),(5, +), (6, C)}
A « D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C),(4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
3. E tiene 23 = 8 elementos.
A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)}
B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)}
A « B = “O bien la menor es mujer, o bien elmayor es varón” =
= {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M),(V, V, V), (V, M, V)}
4. a) A « B « C
b) A' » B' » C'
c) A » B » C
d) (A » B » C') « (A » B' » C) « (A' » B » C)
e) (A » B » C' ) « (A » B' » C ) «
« (A' » B » C ) « (A » B » C )
23
69
6/309/30
P [VERDE y VERDE]P [2.a VERDE]
18
1/308/30
P [NEGRA y ROJA]P [2.a ROJA]
313
3/3013/30
P [NEGRA y NEGRA]P [2.a NEGRA]
1330
630
430
330
310
630
230
130
415
330
430
130
160
610
16
35
610
35
610
25
610
46
62
8/106/10
1/10
64
(1, 2)
(3, 4, 5, 6)6/10
2/10
2/10
126
5. a) (A » B)' = A' « B'
b) (A « B)' = A' » B'
6. A' » B' = (A « B)' = {1, 6}
7. a) A « B = (A – B) « (A » B) « (B – A)
b) A – B = A » B'
A – B = A – (A » B)
8. a) Sí define una probabilidad.
b) No define una probabilidad, pues la sumade los sucesos elementales es mayor que 1.
c) Sí define una probabilidad.
d) No define una probabilidad, pues la sumade los sucesos elementales es mayor que 1.
9. P [B ] = 1 – P [B' ] = 1 – 0,6 = 0,4
P [A] = P [A « B] + P [A » B] – P [B ] = 0,78
10. P [AS « OROS] = 13/40
11. A y B son compatibles.
PÁGINA 368
12. P [dos COPAS] = · =
(Son dos experiencias dependientes).
13. Las dos experiencias son independientes.
P [dos COPAS] = · =
14. P [tres FIGURAS] = · · =
15. a) P [ninguna CARA] = P [cuatro CRUCES] = 1/16
b) P [alguna CARA] = 1 – P [ninguna CARA] =
= 15/16
16. P [algún AS] = 1 – P [ningún AS] = 5/26
P [un AS] = · + · =
17. P [algún 5] = 1 –2=
P [un 5] = 2 · · =
18. a) P [3 y R] = P [3] · P [R/3] =
b) P [II y R] = P [II] · P [R/II] =
c) P [I y R] = P [I] · P [R/I] =
d) P [R] = P [I y R] + P [II y R] =
e) P [V] = P [I y V] + P [II y V] =
f) P [N] = P [I y N] + P [II y N] =
19. a) P [R] = P [I y R] + P [II y R] = + =
b) P [I/R] = = =
20. a) P [ ] + P [ ] = + = = 0,4
b) P [ ] + P [ ] = + = = 0,6
21. P = =
22. Entre 1 000 y 5 000 hay 4 · 10 = 40 númeroscapicúas (pues la primera cifra puede ser 1, 2,3 ó 4; la segunda, cualquier número del 0 al 9;la tercera es igual que la segunda; y la cuarta,igual que la primera).
Entre 1 000 y 5 000 hay 4 001 números en total.Por tanto, la probabilidad pedida es:
P = ≈ 0,009997
23. P [A' » B' ] = P [(A « B)'] = 1 – P [A « B ]
P [A « B ] = 2/3
P [A « B ] = P [A] + P [B ] – P [A » B ]
P [A » B ] = 1/15
24. P [B] = 1/3
P [A] = 2/3
P [A' » B ] = 1/12
25. 1) P [A � B ] = 0,6 2) P [A' � B' ] = 0,9
3) P [A/B ] = 1/3 4) P [A' � B' ] = 0,4
404 001
1536
512
+ – – + 310
310
610
+ + – – 210
210
410
P [I y R]P [R]
1/23/4
23
12
14
34
221
52105
43105
17
415
115
518)561
6(
1136)56(
1265
439
3640
3639
440
11494
1038
1139
1240
116
1040
1040
352
939
1040
127
26. a) P [pase 1.a « pase 2.a] = 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9
b) 1 – P [pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1
c) No son independientes.
d) P [pase 2.a/no pase 1.a] = 0,75
PÁGINA 369
27. a) 0,375 b) 0,6 c) 0,5
28. a) Pr » L b) L – (Pr » L )
c) Pr – (Pr » L ) d) Pr « L
e) Pr' » L'
f ) [L – (Pr » L)] « [Pr – (Pr » L )]
g) P [Pr] =0,55; P [L ] = 0,4; P [Pr » L ] = 0,2;P [Pr « L ] = 0,75
P [Pr – L ] = P [Pr] – P [Pr » L ] = 0,35
P [L – Pr] = P [L ] – P [Pr » L ] = 0,2
P [(L « Pr)' ] = P [L ' » Pr' ] = 0,25
P [(L » Pr)' ] = 1 – P [L » Pr] = 1 – 0,2 = 0,8
h) P [L/Pr] ≈ 0,36; P [L'/Pr] ≈ 0,64
29. P [mismo color] = 17/54
P [distinto color] = 37/54
30.
a) P [alumna « aprueba mat.] = 2/3
b) P [alumno » suspende mat.] = 1/3
c) P [aprueba mat./alumno] = 1/2
d) Sí son independientes.
31. P [dé alguna de las 5] = 1 – 0,85 = 0,67232
32. P [1.a SOTA y 2.a SOTA y PAR en el dado] =
33. P [ningún defecto] =
= P [no defecto en A] · P [no defecto en B] =
= 0,8742
34. P [A/2b] = = 0,752
35. P [1.a b/2.a b] = =
36. P [B/2n] = =
PÁGINA 370
37. a) P [BLANCA/A] = 0,3
b) P [ BLANCA/B] = 0,9
c) P [ A y BLANCA ] = 3/40
d) P [ B y BLANCA ] = 27/40
e) P [ BLANCA ] = 3/4
f) P [ NEGRA] = 1/4
g) P [ B y BLANCA ] = 0,9
38. a) P [2.a NEGRA] = 17/110
b) P [1.a NEGRA/2.a NEGRA] = 14/17
39. P [NO ENF./POSITIVO] = = 0,289
40. P [A/DEF.] = = =
41. P [1.a /2.a y 3.a ] = =
42. a) P [A » B ] = 0,40 · 0,25 = 0,1
b) P [A « B ] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8
c) Es P [B ] = P [A » B ], es decir, 0,1.
d) Es: 1 – (P [A] – P [A » B ]) =
= 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7
43. Si P [A » B ] = p, entonces:
P [A' « B' ] = P [(A » B )' ] =
= 1 – P [A » B ] = 1 – p
(3/5) · (1/6)3/10
13
P [A y DEF.]P [DEF.]
1/3006/300
16
P [NO ENF. Y POSIT.]P [POSITIVO]
P [B y 2n]P [2n]
56101
P [1.a b y 2.a b]P [2.a b]
47
P [A y 2b]P [2b]
1260
ALUMNOS
APRUEBAN MAT. 10
SUSPENDEN MAT. 10
TOTAL 10
ALUMNAS
5
5
10
TOTAL
15
15
20
128
44. P [A] + P [B ] =
= P [A « B ] + P [A » B ] < 1 + =
pues P [A « B ] Ì 1 y P [A » B ] < .
45. Es imposible, pues se obtiene:
P [A » B ] = –1/10
46. a) No son independientes, porque:
P [A » A' ] ? P [A] · P [A' ]
b) Solo son independientes si P [B ] = 0.
c) A y C' son independientes.
47. Hay 25 formas distintas de obtener suma 9.
P [suma 9] =25/216
Hay 227 formas distintas de obtener suma 10.
P [suma 10] = 27/216
Está claro, que P [suma 10] > P [suma 9].
48. P [A « B] =
= P [A – (A » B)] + P [A » B] + P [B – (A » B)] =
= P [A] – P [A » B] + P [A » B] + P [B ] – P [A » B] =
= P [A] + P [B] – P [A » B]
PÁGINA 371
49. E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP,GPGGG, GPGGP, GPGPG, GPGPP, GPP, P}
donde G significa que gana esa partida y P quela pierde.
b) P [gane 3 euros] = 0,1875
50. P [3 números distintos] = 192/247
51. P [ninguna coincidencia] = 0,15
P [alguna coincidencia] = 0,85
52. a) P [cuatro lanzamientos] = ( )3 =b) P [n lanzamientos] = ( )n – 1c) P [10 o menos lanzamientos] =
= ( ) + ( )2 + ( )3 + … + ( )9 = 0,998
53.
AUTOEVALUACIÓN
1. a) Sí está el AS de COPAS y su probabilidad es 0,1.
b) Quedan solo 10 cartas.
2.
a) P [R] = = , P [V] = = ,
P [N] = , P [1] = = , P [2] = =
b) • P [R » 1] = .
Significa P [bola roja con el número 1].
• P [R/1] = = .
Sabemos que la bola tiene un 1. ¿Cuál esla probabilidad de que sea roja?
• P [1/R] = .
Sabemos que la bola es roja. ¿Cuál es laprobabilidad de que tenga un 1?
c) P [V/1] = , P [N/1] = =
d) El suceso 1 es independiente respecto a Rporque:
P [R/1] = P [R] =
No es independiente respecto a Verde por-que P [V/1] ? P [V], ni es independiente res-pecto a Negra porque P [N/1] ? P [N].
12
13
26
16
35
12
36
310
25
410
35
610
310
15
210
12
510
1 3
2 2
TOTAL 5
1
1
2
2
1
3
6
4
10
TOTAL
45
45
P [A y ] = — · 1 = —
P [B y ] = — · — = —110
15
12
P [ ] = — + — = —110
910
45
12
12
12
12
12
18
12
12
32
12
129
3. P [S] = 1 – P [S'] = 1 – 0,82 = 0,18
P [R » S] = 0,05
P [ (R « S)'] 0,6
P [R' « S'] = 0,95
4. Podemos asegurar que P [ {1, 2}] Ì P [ {1, 2, 7}] .
Pero podría ser que P [7] = 0, en cuyo casoP [ {1, 2}] = P [ {1, 2, 7}] .
Por tanto, no podemos asegurar queP [ {1, 2}] < P [ {1, 2, 7}] .
5. a) P [1.ª R y 2.ª R] = 1/3
P [2.ª R/1.ª R] =1/2
b) P [1.ª N y 2.ª R] = 1/12
P [2.ª R/1.ª N] = 1/4
P [2.ª R] = 5/12
c) P [2.ª N] = 7/12
P [1.ª N/2.ª R] = 1/5
6. a) P [AM] = 0,59
b) P [TEATRO/no AM] ≈ 0,44
130
PÁGINA 373
Lanzamiento de monedas
� CCCC, CCC+, CC+C, C+CC, +CCC, CC++, C+C+,C++C, +CC+, +C+C, ++CC, C+++, +C++, ++C+,+++C, ++++
Estas son las 16 posibilidades. Si contamos elnúmero de caras, obtenemos la tabla.
�
Tiempos de espera
Problema 1
� a) P [x Ì 2] = 0,10
La probabilidad de tener que esperar menosde 2 minutos es 0,10 (del 10%).
b) P [5 Ì x Ì 10] = 0,25
La probabilidad de tener que esperar entre 5y 10 minutos es del 25%.
c) P [x Ì 10] = 0,50
La probabilidad de tener que esperar menosde 10 minutos es del 50%.
d) P [5 Ì x Ì 6] = 0,05
La probabilidad de tener que esperar entre 5y 6 minutos es del 5%.
Problema 2
� a) P [x Ì 2] = 0,19
La probabilidad de que tengamos que espe-rar menos de 2 minutos es del 19%.
b) P [5 Ì x Ì 10] = 0,3125
La probabilidad de que tengamos que espe-rar entre 5 y 10 minutos es del 31,25%.
c) P [x Ì 10] = 0,75
La probabilidad de que tengamos que espe-rar menos de 10 minutos es del 75%.
d) P [5 Ì x Ì 6] = 0,0725
La probabilidad de que tengamos que espe-rar entre 5 y 6 minutos es del 7,25%.
PÁGINA 375
1. –x = 12,5; q = 5,65
PÁGINA 377
1. µ = 3,5; q = 1,71
2. µ = 1; q = 0,71
3. a)
b) µ = 1,85; q = 0,85
PÁGINA 379
1. P [x = 0] = 0,610 = 0,006047
P [x = 3] = 0,215
P [x = 5] = 0,201
P [x = 10] = 0,000105
µ = 4; q = 1,55
2. P [x = 3] ≈ 0,273
P [x = 5] ≈ 0,164
P [x = 6] ≈ 0,0547
µ = 3,5; q ≈ 1,323
xi pi
1
2
3
9/20
5/20
6/20
1
0 1 2 3 4 5
N.º DE CARAS
FRECUENCIA
0 1 2 3 4
1 5 10 10 5
5
1
15. DISTRIBUCIONESDE PROBABILIDAD
131
PÁGINA 381
1. k = 1/5
a) P [4 < x < 6] = 2/5
b) P [2 < x Ì 5] = 2/5
c) P [x = 6] = 0
d) P [5 < x Ì 10] = 3/5
2. m = 1/20
a) P [3 < x < 5] = 2/5
b) P [5 Ì x < 7] = 3/5
c) P [4 Ì x Ì 6] = 1/2
d) P [6 Ì x < 11] = 13/40
PÁGINA 383
1. a) 0,7996 b) 0,9332
c) 0,9772 d) 0,9693
e) 0,9906 f) 0,5000
g) 1 h) 0
2. a) k = 0,53 b) k = 1,28
c) k = 0,01 d) k = 0,54
3. a) k ≈ 1,68 b) k ≈ 0,305
PÁGINA 384
4. a) P [z > 1,3] = 0,0968
b) P [z < –1,3] = 0,0968
c) P [z > –1,3] = 0,9032
d) P [1,3 < z < 1,96] = 0,0718
e) P [–1,96 < z < –1,3] = 0,0718
f ) P [–1,3 < z < 1,96] = 0,8782
g) P [–1,96 < z < 1,96] = 0,95
5. a) P [–1 Ì z Ì 1] = 0,6826
b) P [–2 Ì z Ì 2] = 0,9544
c) P [–3 Ì z Ì 3] = 0,9974
d) P [–4 Ì z Ì 4] = 1
PÁGINA 385
6. a) P [x Ì 173] = 0,5
b) P [x Ó 180,5] = 0,1056
c) P [174 Ì x Ì 180,5] = 0,3269
d) P [161 Ì x Ì 180,5] = 0,8716
e) P [161 Ì x Ì 170] = 0,2857
f) P [x = 174] = 0
g) P [x > 191] = 0,0013
h) P [x < 155] = 0,0013
PÁGINA 387
1. a) P [x = 10] = 0,135
P [x < 2] = 0,0023
P [5 < x < 15] = 0,8664
b) P [x > 30] = 0,0089
P [x < 80] = 1
c) P [x > 45] = 0,4052
P [x Ì 30] = 0
PÁGINA 392
1. P [2] = 0,5
µ = 1,6; q = 0,8
2. a)
b) µ = 0,2; q = 0,42
3.
µ = 1,5; q = 0,87
0
1/8
2/8
3/8
1 2 3
pi
xi
xi
pi
0
1—8
1
3—8
2
3—8
3
1—8
xi
pi
0
36 35— · —40 39
1
4 362 · — · —
40 39
2
4 3— · —40 39
132
4.
µ = 6; q = 3
5.
6. a)
b)
7. a)
b)
c) µ = 5,25; q = 2,59
8. a) B (50; ); µ = = 16,67; q = 3,33
b) B (30; ); µ = 10; q = 2,58 relativo a las
que contesta al azar.
c) B (400; ); µ = 200; q = 10
d) B (1 000; 0,01); µ = 10; q = 3,15
9. a) P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,738
b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000314
c) 1 – P [x = 0] = 1 – 0,134 = 0,866
d) 1
10. a) P [x = 4] = 0,146
b) P [x > 2] = 0,474
c) P [x = 0] = 0,056
11. a) P [x = 3] = 0,1323
b) P [x < 3] ≈ 0,8369
c) P [x > 3] = 0,0308
d) P [x ? 0] = 0,8319
12. a) P [x = 0] = 0,328
b) P [x ? 0] = 0,672
PÁGINA 393
13. a) Área bajo la curva = 2
No puede ser función de densidad.
b) f (2) = –1,5 < 0. No puede ser función dedensidad.
c) Área bajo la curva = 1 y f (x) Ó 0. Sí puedeser función de densidad.
12
13
503
13
1
0,1
0,2
2 3 4 5 6 7 8 9
pi
xi
xi
pi
1
0,1
2
0,1
3
0,1
4
0,1
5
0,1
xi
pi
6
0,125
7
0,125
8
0,125
9
0,125
xi
pi
0
7(—)210
1
3 72 · — · —
10 10
2
3(—)210
xi
pi
0
7 6— · —10 9
1
3 72 · — · —
10 9
2
3 2— · —10 9
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
1 2
pi
xi
xi
pi
0 1 2
0,35 0,50 0,15
xi
pi
7
3—28
8
3—28
9
2—28
10
2—28
11
1—28
12
1—28
xi
pi
0
1—28
1
1—28
2
2—28
3
2—28
4
3—28
5
3—28
6
4—28
133
14. a) P [z = 2] = 0
b) P [z Ì 2] = 0,9772
c) P [z Ó 2] = 0,0228
d) P [z Ì –2] = 0,0228
e) P [z Ó –2] = 0,9772
f ) P [–2 Ì z Ì 2] = 0,9544
15. a) P [z Ì 1,83] = 0,9664
b) P [z Ó 0,27] = 0,3935
c) P [z Ì –0,78] = 0,2177
d) P [z Ó 2,5] = 0,0062
16. a) P [z = 1,6] = 0
b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83] = 0,0302
c) P [1,5 Ì z Ì 2,5] = 0,0606
d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25] =0,8637
17. a) k = 0,98
b) k = –0,98
c) k = –0,88
d) k = 1,96
18. µ = 28; q = 10
a) 1 b) –1,4
c) 1,7 d) –1,8
19. 0,8 8 0,8 · 10 + 28 = 36
–0,2 8 –0,2 · 10 + 28 = 26
20. La media es 72 y la desviación típica, 20.
21. a) P [x Ó 43] = 0,5
b) P [x Ì 30] = 0,0968
c) P [40 Ì x Ì 55] = 0,5028
d) P [30 Ì x Ì 40] = 0,2853
22. a) P [x Ì 136] = 0,1587
b) P [120 Ì x Ì 155] = 0,5873
c) P [x Ó 185] = 0,0116
d) P [140 Ì x Ì 160] = 0,5149
23. 13 alumnos, aproximadamente.
24. a) P [x > 61] = 0,6915
b) P [63 < x < 69] = 0,2902
c) P [x < 70] = 0,7357
d) P [x > 75] = 0,1056
25. P [x < 100] = 0
26. a) P [x > 200] = 0,4801
b) P [180 < x < 220] = 0,9488
27. a) P [x = 1] = 0,243
b) P [x > 12] = 0,2033
PÁGINA 394
28.
µ = 2; q = 1,1
29. a) P [x = 0] = 0,364
b) P [x = 1] = 0,372
c) P [x > 2] = 0,078
Por término medio, habrá µ = 50 · 0,02 = 1tornillo defectuoso en cada caja.
30. a) P [x = 1] = 0,1866
b) P [x Ó 1] = 0,9533
31. a) P [x Ó 1000] = 0,9938
1 500 · 0,9938 = 1490,7 8 1491
32. a) P [x Ì 2100] = 0,6554
b) P [x Ó 1500] = 0,9772
c) P [x Ó 2210] = 0,2004
30 · 0,2004 = 6,012 8 6 días
0 1 2 3 4 5
xi
pi
0
0,078
1
0,259
2
0,346
3
0,230
4
0,077
5
0,010
134
33. Debe obtener una media de 7,84 puntos o su-perior.
34. a) k = 1/10
b) P [x = 6] = 0
P [2 < x < 5] = 0,3
P [4 < x < 6] = 0,4
P [x < 7] = 1
35. a) P [x = 3] = 0,0156
b) P [x Ó 30] = 0,1492
36. P [x Ó 25] = 0,0094 8 probabilidad de aprobar
P [x Ó 35] = 0
La probabilidad de sacar notable o sobresalien-te es 0.
37. 0,754 + 4 · 0,25 · 0,753 + 6 · 0,252 · 0,752 +
+ 4 · 0,253 · 0,75 + 0,254 = 1
38. Es más probable ganar dos de cuatro.
PÁGINA 395
39. Hasta 41 8 duro de oído
de 42 a 62 8 poco sensible a la música
de 63 a 77 8 normal
de 78 a 94 8 sensible a la música
de 95 en adelante 8 extraordinariamente do-tado
• Puntuación de 80 8 sensible a la música
• Puntuación de 40 8 duro de oído
40. Cada vez que se extrae una carta de la baraja,varía la composición de esta. Por tanto, la pro-babilidad de “FIGURA” no es constante para ca-da una de las cinco cartas.
41. a) P [20,5 Ì x Ì 24] = 0,9772 8 97,72%
b) P [10,5 Ì x Ì 12,7] = 0,9925 8 99,25%
c) 0,9772 · 0,9925 = 0,9699 8 96,99%
AUTOEVALUACIÓN
1.
µ = 7,4, q = 1,69
2. a) P [2 y 4 ] = 0,3241
b) P [alguna ] = 0,8824
3. a) P [1,53 < z < 2,1] = 0,0451
b) P [–1,53 < z < 2,1] = 0,9191
4. a) h = –0,25
b) k = 1,65
5. a) P [x < 100] = 0,0113
b) P [x > 115] = 0,0228
c) P [100 < x < 115] = 0,9655
6. P [x > 10] = 0,0158
7. Es función de densidad por ser no negativa ycontener un área igual a 1.
a) P [x = 3] = 0
b) P [x < 3] = 0,25
c) P [x > 3,5] = 0,4375
xi
pi
5 6 7 8
0,1 0,3 0,2 0,1
9
0,1
10
0,2
135
PÁGINA 396
1. La correlación de I es fuerte y negativa. El úni-co valor razonable de los que se muestran es–0,92 (–0,46 es demasiado débil y –1 solo se-ría si todos los puntos estuvieran alineados).La correlación de II es positiva pero débil. Suvalor es 0,46.
2. a)
x– = 4,4, y– = 5,2
qx = 2,46, qy = 2,82, qxy = –4,68
b) r = –0,68
c) myx = –0,77
Recta de regresión de Y sobre X :y = –0,77x + 8,59
d) y^(1) = 7,82
Se estima una nota de 7 u 8 puntos. Pero laestimación es mala, porque la correlación esdemasiado baja como para hacer estimacio-nes fiables.
3. P [B ] = 1 – P [B' ] = 0,38
P [A « B ] = 1 – 0,41 = 0,59
P [A » B ] = 0,33 + 0,38 – 0,59 = 0,12
4. P [1 y ROJA] = P [1] · P [ROJA/1] = 1/30
P [ROJA] = P [1 y ROJA] + P [no 1 y ROJA] = 8/15
P [NEGRA] = 1 – P [ROJA] = 7/15
P [1/ROJA] = = = 1/16
P [1/ROJA] significa que sabemos que ha salidofinalmente bola roja y nos preguntamos por laprobabilidad de que en el dado hubiera salido 1.
5. a)
b) P [AZ] = 20/100 = 0,20
P [GAFAS] = 55/100 = 0,55
P [AZ y GAFAS] = 11/100 = 0,11
c) P [AZ/GAFAS] = 11/55 = 1/5 = 0,20
P [GAFAS/AZ] = 11/20 = 0,55
d) Los sucesos GAFAS y AZ son independientesporque:
P [GAFAS/AZ] = P [GAFAS] = 0,55, o bien porqueP [AZ/GAFAS] = P [Az] = 0,20, o bien porque:
P [GAFAS y AZ] =
= P [GAFAS] · P [Az] (0,11 = 0,20 · 0,55)
6. a) P [0,25 < z < 1,45] = 0,3278
b) P [–0,25 < z Ì 1,45] = 0,5252
c) k ≈ 1,64
7. a) P [x = 21] = 0
b) P [x < 21] = 0,5987
c) P [19 Ì x Ì 21] = 0,1974
8. a) P [x = 0] = 0,0060
P [x = 1] = 0,0403
P [x > 1] = 0,9537
b) µ = 4; q = 1,55
9. a) “29 de febrero” hay uno cada cuatro años.Son 1461 días.
P [29 de febrero] =
b) P [x < 8] = 0,0475
Es poco probable que haya menos de 8 per-sonas nacidas un día tan singular.
10. a) k = 0,23
b) P [13 Ì xi Ì 15] = 0,52
c) µ = 13,92; q = 1,73
11 461
AZ V N TOTAL
GAFAS
LENTILLAS
TOTAL
11 5 14
9 10 11
55
45
20 15 25
M
25
15
40 100
1/3016/30
P [1 y ROJA]P [ROJA]
5 10
5
10
NOTA
FALTAS
BLOQUE V. ESTADÍSTICAY PROBABILIDAD