az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről vegyünk ... egyenes ellipszishenger ferde...
TRANSCRIPT
1
Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist – a vezérgörbét – , majd az ellipszis O
centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges az ellipszishenger
tengelye. Ezután egy a tengellyel párhuzamos egyenest vigyünk végig az ellipszis P pont -
jain, önmagával párhuzamosan helyzeteken át. E mozgó egyenes – az alkotó – súrolja,
előállítja az egyenes ellipszishenger - felületet. Egy ilyennek részlete látható az 1. ábrán.
1. ábra – forrása: [ 1 ]
Most ennek síkmetszeteivel kapcsolatos feladatokat oldunk meg.
2. ábra – forrás: [ 2 ]
A 2. ábrán egy ellipszishenger vezérgörbéjét ( kék vonallal ) és egy ferde síkmetszetét
( piros vonallal ) szemléltettük, axonometrikus képükkel.
2
1. Feladat:
Állítsuk elő az egyenes ellipszishenger körmetszetét!
Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra
Itt azt szemlélhetjük, hogy az ( a , b ) paraméterekkel bíró ellipszishengert elmetszettük
egy a kistengellyel α szöget bezáró síkkal. Ha azt akarjuk, hogy a metszeti síkgörbe kör
legyen, akkor fenn kell állnia a
( 1 )
kapcsolatnak; innen a metszősík(ok) hajlása:
( 2 / 1 )
( 2 / 2 )
Indoklásként megemlítjük, hogy fordított úton járva az R sugarú kör merőleges vetülete
a síkjával α szöget bezáró síkra az
( 3 )
paraméterekkel bíró ellipszis.
Tehát az adott ( a , b ) ellipszishenger körmetszetét a ( 2 ) szerinti hajlású metszősíkok
állítják elő, ahol a metszeti kör sugara ( 3 / 1 ) - gyel adódik.
3
2. Feladat
Állítsuk elő az 1. feladatbeli ellipszis polárkoordinátákkal képzett paraméteres egyenlet -
rendszerét!
Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!
4. ábra
Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere, egy tetszőleges P pontjára:
( 4 )
Az rP rádiusz - vektor kifejezéséhez Pitagorász tételével:
( 5 )
ámde:
( 6 )
majd ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal:
innen:
( 7 )
ebből pozitív négyzetgyököt vonva kapjuk a vetületi ellipszis polárkoordinátás egyenletét:
4
( 8 )
Végül a vetületi ellipszis paraméteres egyenletrendszere ( 4 ) és ( 8 ) szerint:
( 9 )
Még felírjuk a 4. ábrán feltüntetett szögek közötti összefüggést is. ( 6 ) - tal:
innen:
( 10 )
A (10 ) szerinti mennyiség szerepel ( 9 ) nevezőiben is, hiszen:
ahogyan annak ( 4 ) szerint lennie is kell.
E feladat kiírása az alábbi.
Adott: R , α .
Keresett: xP ( φ ) , yP ( φ ) .
Szavakban, ismét:
Adott: egy R sugarú kör, melyet síkjával α szöget bezáró síkra vetítünk, merőlegesen.
Keresett: a vetületi ellipszis polárkoordinátásból derékszögű koordinátákra átszámított
paraméteres egyenletrendszere.
Megjegyezzük:
~ képleteinkben fennállnak a relációk;
~ a kapott képletek más, hasonló feladatokban is jó szolgálatot tehetnek;
~ érdekes, hogy nem túl gyakran lehet találkozni velük, pedig levezetésük nem nehéz.
Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk.
5
3. Feladat:
Állítsuk elő az egyenes ellipszishenger minden lehetséges síkmetszetét, ha a metszősík az
ellipszishenger vezérgörbéjének síkjával α szöget zár be!
Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!
5. ábra
Az ellipszis vezérgörbe síkjával α szöget bezáró П metszősík és az ellipszishenger összes
síkmetszetét úgy állítjuk elő, hogy a hengert az OZ tengelye körül megforgatjuk, miköz -
ben a metszősík áll. A metszetgörbék egyenletét az álló OXYZ koordináta - rendszerben
írjuk fel. Az ellipszis vezérgörbe egy P pontjához a rajta átmenő függőleges alkotó és a
metszősík Q döféspontja tartozik, tehát a Q pontok által alkotott görbéket keressük.
Az 5. ábra alapján a metszeti görbe Q pontjának koordinátái az alábbiak:
( 11 )
( 12 )
( 13 )
Az ellipszis rádiusz - vektorának kifejezése az ellipszis
( 14 )
kanonikus egyenlete, valamint ( 4 ) alapján, rövid számítás után, r > 0 - val is:
( 15 )
6
A 6. ábrán a henger vezérgörbéjének elforgatását mutatjuk meg.
6. ábra
Ehhez felhasználtuk, hogy állandó szögsebességű forgatás esetén:
( 16 )
majd élve a
( 17 )
választással, ( 16 ) és ( 17 ) szerint az elfordulási szög kifejezése:
( 18 )
A szögsebességet így vettük fel:
( 19 )
ahol T egy teljes körülfordulás ideje. Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
( 20 )
7
Ezek után ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ), ( 15 ) és ( 20 ) szerint a metszeti görbék egyenletei:
( 21 )
( 22 )
( 23 )
Minthogy a síkmetszés eredménye síkgörbe, érdemes róla síkbeli ábrát készíteni.
Ezt a Q pontok ( XQ , UQ ) koordinátáival oldjuk meg, ahol az 5. ábra szerint:
( 24 )
7. ábra
A ( 21 ) és ( 24 ) függvényekkel készült a 7. ábra is, a Graph szoftver alkalmazásával.
Az ábrázolási adatok:
a = R = 1 m ; α = 45° ; b = R cosα = 1/ sqrt( 2 ) m; T = 60 s ; ti = 0; 5; 10; 15; 20; 25 s.
8
Látjuk, hogy a metszeti síkgörbék kör, illetve ellipszisek.
A körmetszet az 1. és a 2. feladatok alapján érthető.
A metszeti ellipszisek kis - és nagytengelyének hossza a henger forgatása során változik.
A 6., a 7. és a 8. ábrák egymás megfelelői.
8. ábra
A 8. ábrán az 5. ábrán is jelölt RQ sugár - hosszakat ábrázoltuk a φ szög függvényében, a
különböző ϑ elforgatási szögeknek megfelelően, a korábbi adatokkal.
Ezekre fennáll, hogy
( 25 )
a metszeti görbékre. Az eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze.
TÁBLÁZAT
t ( s ) a* ( m ) b* ( m )
0 1 1
5 1,192281 0,838728
10 1,352011 0,739639
15 1,414214 0,707107
20 1,352011 0,739639
25 1,192281 0,838728
9
A táblázati adatok megfelelnek a 7. ábráról levehető eredményeknek.
Az RQ sugár kifejezése az alábbiak szerint is nyerhető.
tehát:
( 26 )
Most ( 8 ) és ( 26 ) - tal, kis jelölés - változtatással:
( 27 )
Az R0 = 1 m ; α = 45° ; ti = 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 s adatokkal dolgozva állt elő a 8. ábra, a
Graph ingyenes szoftver szélsőérték - meghatározó szolgáltatásával pedig a fenti táblázat.
Érdemes megemlíteni, hogy a geometriából ismert
( 28 )
képletet esetünkre alkalmazva, ( 3 ) - mal is:
innen:
( 29 )
Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti táblázat adataival ( 29 ) nagy pontossággal teljesül.
Ez ellenőrzést ad a korábbiak helyességére.
A ( 29 ) összefüggés azt is jelenti, hogy a különböző ϑ hengerelfordítási szögekhez tartozó
metszeti görbék területe egyenlő, függetlenül a metszetgörbe alakjától.
Mondhatni, ez egy érdekes és némiképpen meglepő eredménye vizsgálatainknak.
Megjegyezzük, hogy a 8. ábra grafikonjának függőleges tengelyén az f ( fi ) megjelölés
a ( 27 ) képlet négyzetgyökös függvényére vonatkozik, melyben már érvényesítettük a
fenti paraméter - adatokat.
A metszeti ellipsziseket eddig jórészt numerikus segédeszközökkel vizsgáltuk.
10
Az alábbiakban a metszeti ellipsziseket analitikusan is megvizsgáljuk.
Ehhez tekintsük a 9. ábrát is!
9. ábra
Az ábrázolt ferde ellipszis polárkoordinátás egyenlete ( 15 ) - höz hasonlóan:
( 30 )
A polárszög kifejezése:
( 31 )
Folytatva, ( 11 ), ( 12 ), ( 24 ) - gyel is:
tehát:
( 32 )
innen:
11
( 33 )
Hasonlóan:
( 34 )
Látjuk, hogy a közvetlen feladat meghatározása. Ezt szélsőérték - számítással
végezzük. és ismeretében ( 25 ) és ( 27 ) - tel:
( 35 )
( 36 )
Emeljük négyzetre ( 27 ) - et! Ekkor:
( 37 )
Ezt a φ változó szerint differenciálva:
( 38 )
Innen:
( 39 )
A szélsőérték szükséges feltétele:
( 40 )
Minthogy R0 és RQ véges nagyságú pozitív mennyiségek / szakaszhosszak, ezért ( 39 ) és
( 40 ) - ből a szélsőérték - számítás alapegyenlete itt:
( 41 )
Egy tört deriváltjára:
ha
. ( 42 )
12
Esetünkben:
( 43 )
A deriváltak:
( 44 )
( 45 )
Most ( 42 ), ( 43 ), ( 44 ) és ( 45 ) - tel:
Egyszerűsítve:
( 46 )
A ( 46 ) trigonometriai egyenlet megoldásait kell megkeresnünk. Ehhez átalakításokat
végzünk rajta:
( 47 )
Majd alkalmazzuk a
( 48 )
azonosságot! Így ( 47 ) és ( 48 ) - cal:
( 49 )
Rendezve:
13
( 50 )
Most alkalmazzuk a
( 51 )
( 52 )
azonosságokat, a
( 53 )
változókra! Ekkor ( 50 ), ( 51 ), ( 52 ) és ( 53 ) szerint:
rendezve:
( 54 )
I. eset: : most nem érdekes, hiszen ekkor ϑ = kπ, ahol k = 0,1, 2 …, és
~ ( 27 ) szerint ekkor RQ = RO , azaz a kis - és nagytengely hossza egyenlő, vagyis nincs
helyi szélsőérték;
~ a henger forgatása során ϑ minden más értéket is felvehet.
II. eset: ( 55 )
Ez a számunkra érdekes megoldandó egyenlet. További átalakításokkal:
14
( 56 )
Számpéldánk adataival ( tgα = 1, ϑ = π / 30 * t ):
( 57 )
E függvényeket a 10. ábrán mutatjuk meg: kék „+” , piros „− ” .
10. ábra
Az ( 57 ) képlet birtokában már számíthatók a metszeti ellipszisek jellemző adatai.
Például: t = 5 s esetén φ1 = 0,377177390 ( rad ) , φ2 = − 0,900776165 ( rad ) ,
Ezek az eredmények jól egyeznek a korábbi táblázat megfelelő eredményeivel.
15
A fentebb tárgyalt három feladat közül az első ismerős lehet az előtanulmányokból.
A második már kevésbé; ezért is, meg a harmadikhoz való előkészületként is tárgyaltuk.
A harmadik feladatra régebben mi sem vállalkoztunk volna, ugyanis a hatékony haladás
feltétele itt is a számítástechnikai segítség megléte volt – a Graph ingyenesen letölthető
függvényábrázoló szoftver alakjában. Az itteni fogást, meglehet, bonyolultabb felületek
síkmetszetei előállításához is alkalmazzuk majd a jövőben.
Források:
[ 1 ] –
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Elliptic_cylinder.png/800px
-Elliptic_cylinder.png
[ 2 ] – http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/
Összeállította: Galgóczi Gyula
mérnöktanár
Sződliget, 2017. 05. 20.