ayrık matematik gyte

G.Y.T.E Bil. Mh. Bl. 1

AYRIK MATEMATK DERS NOTLARI NDEKLER 1. nerme Mant ve spatlar ................................................................................................................................. 2

1.1 nermeler ve Doruluk Tablolar .............................................................................................................. 2 1.2 Mantksal Ballklar ve Doruluk Tablolar ............................................................................................. 2 1.3 Tutolojiler ve elikiler ............................................................................................................................. 6 1.4 Mantksal Edeerlilik ve Mantksal Anlam .............................................................................................. 7 1.5 nermeler Cebri ........................................................................................................................................ 8 1.6 Matematiksel spat ................................................................................................................................... 12 1.7 spat Yntemleri ...................................................................................................................................... 13 1.8 Matematiksel ndksiyon ......................................................................................................................... 17 1.9 Altrmalar .............................................................................................................................................. 20

2 Kme Teorisi ..................................................................................................................................................... 22 2.1 Kmeler ve yeler ................................................................................................................................... 22 2.2 Alt Kmeler ............................................................................................................................................. 24 2.3 Kmeler zerinde lemler ...................................................................................................................... 25 2.4 Sayma Teknikleri ..................................................................................................................................... 27 2.5 Kmeler Cebri ......................................................................................................................................... 28 2.6 Kmelerin Aileleri ................................................................................................................................... 29 2.7 Kartezyen arpm .................................................................................................................................... 30 2.8 Altrmalar .............................................................................................................................................. 33

3 Bantlar ve Fonksiyonlar ................................................................................................................................ 34 3.1 Bantlar ve Gsterimleri ....................................................................................................................... 34 3.2 Bantlarn zellikleri ............................................................................................................................ 35 3.3 Kesiimler ve Bantlarn Birleimi ....................................................................................................... 36 3.4 Edeerlik Bants ve Blmelemeler ..................................................................................................... 37 3.5 Sra Bantlar ......................................................................................................................................... 39 3.6 n-geli(n-tuple) bantlar veuygulamalar .............................................................................................. 40 3.7 Fonksiyonlar ve Tanmlar ....................................................................................................................... 44 3.8 Altrmalar .............................................................................................................................................. 50

4 Cebrik Yaplar ................................................................................................................................................... 53 4.1 kili lemler ve zellikleri ...................................................................................................................... 53 4.2 Cebrik Yaplar ......................................................................................................................................... 55 4.3 Altrmalar .............................................................................................................................................. 57

5 Gruplar ve Yar-Gruplar .................................................................................................................................... 59 5.1 Gruplar ve Baz Grup Aileleri ................................................................................................................. 59 5.2 Permutasyon Gruplar .............................................................................................................................. 63 5.3 Morfizm ve Grup Kodlar ........................................................................................................................ 65 5.4 Altrmalar .............................................................................................................................................. 72

6 Kafes Yaplar ve Boole Cebri .......................................................................................................................... 73 6.1 Kafes Yaplar ve zellikleri(Lattice Structures) .................................................................................... 74 6.2 Boole Cebrinin zellikleri ....................................................................................................................... 77 6.3 Boole Cebrinin Fonksiyonlar .................................................................................................................. 77 6.4 Boole fadelerinin Minimize Edilmesi ..................................................................................................... 80 6.5 Altrmalar .............................................................................................................................................. 81

7 Graf Teorisi ....................................................................................................................................................... 82 7.1 Graflar ve Tanmlar ................................................................................................................................. 82 7.2 Yollar ve Devreler ................................................................................................................................... 89 7.3 Graflarn zomorfizmi .............................................................................................................................. 92 7.4 Dm Boyama, Aalar ve Dzlemsel Graflar ..................................................................................... 94 Altrmalar .......................................................................................................................................................... 100

8 Yineleme (Recurrence) Bantlar.................................................................................................................. 101 8.1 Altrmalar: ........................................................................................................................................... 105

9 Algoritmalar ve Turing Makinalar ................................................................................................................. 106 9.1 Algoritmalar ve Karmaklk ................................................................................................................. 106 9.2 Sonlu Durumlu Makinalar ve Turing Makinalar .................................................................................. 111 9.3 Altrmalar ............................................................................................................................................ 114


1. nerme Mant ve spatlar Mantk nermelerin doruluunu kantlamak iin kullanlr. nermenin ne olduu ile ilgilenmek yerine baz kurallar koyar ve bylece nermenin genel formunun geerli olup olmadn yarglar. Mantn bize salad kurallar, belirtilen aamalardan kan sonucun tutarl olup olmadn veya sonucun doruluunun ispatlanmas aamasndaki basamaklarda hatal bir ksmn bulunup bulunmadn deerlendirmemizi salar.

1.1 nermeler ve Doruluk Tablolar nerme, doru veya yanl deerinden sadece ve sadece birini alabilen ifadedir. Fakat ayn anda iki deeri birden alamaz. rnein aadaki ifadeler birer nermedir.

1. Bu gl beyazdr. 2. genin drtkenar vardr. 3. 3 + 2 = 6. 4. 6 < 24 5. Yarn benim doum gnmdr.

Ayn nermenin nerede, ne zaman ve kim tarafndan sylendiine bal olarak bazen doru bazen yanl olabileceine dikkat ediniz. Yarn doum gn olan biri iin 5. nerme doru iken, baka biri tarafndan ifade edildiinde yanl olacaktr. Hatta bugn herhangi biri iin doru olan bir nerme baka bir gn iin yanl olabilir.

nlemler, sorular ve istekler doru veya yanl diye ifade edilemediklerinden birer nerme deildirler. Bu nedenle aadakiler nerme deildir.

6. imlerden uzak durun. 7. ok yaa kralie! 8. Janein partisine gittin mi? 9. yle syleme.

Bir nermenin doruluu (T) veya yanll (F) nermenin doruluk deeri eklinde adlandrlr. 4. nerme doru (T) doruluk deerini tarken, 2 ve 3. nermeler yanl (F) doruluk deerini tar. 1 ve 5 numaral nermenin doruluk deerleri ifade edildikleri duruma baldr.

Geleneksel olarak nermeler p,q,r harfleri kullanlarak sembolize edilirler. rnein p: Manchester skoyadadr, q: Dinozorlar hala yaamaktadr.

1.2 Mantksal Ballklar ve Doruluk Tablolar Bundan nceki konudaki 1-5 numaral ifadeler basit birer ifade oluturduklarndan basit nermelerdir. Bu blmde basit nermelerin nasl balanarak bileik nermeler eklinde adlandrlan daha kark nermeler oluturulaca anlatlacaktr. nerme iftlerini balamaya yarayan aralara mantksal balayclar denir ve herhangi bir bileik nermenin doruluk deeri tamamen ( a ) kendisini oluturan basit nermelerin doruluk deerleri ( b ) bunlar balayan zel balayc veya balayclar tarafndan belirlenir.

En ok kullanlan balalara gemeden nce, basit bir nerme zerinde gerekletirilebilen bir ileme bakalm. Bu ileme tersini alma denir ve nermenin doruluk deerini tersine evirme


etkisi yapar. Tersini alma sonucunda nerme eer doru ise yanl, yanl ise doru deerini alr. Bu ilemi bir tablo ile zetleyebiliriz. Eer p bir nermeyi sembolize ediyorsa, p (~p,-p veya p) pnin tersini temsil eder. Aadaki tablo p ve p nn doruluk deerleri arasndaki ilikiyi gsterir.

p pT F F T

Soldaki stun p iin tm olas doruluk deerlerini verirken sa stun p nin tersi p iin karlk gelen doruluk deerlerini verir. Bu ekilde, nermelerin doruluk deerlerini zetleyen tabloya doruluk tablosu denir.

Bir nermenin tersini ifade etmenin eitli yollar vardr. Btn kpekler vahidir nermesini dnrsek, bu nermenin tersi unlar olabilir:

Btn kpeklerin vahi olmas sz konusu deildir. Kpeklerin hepsi vahi deildir. Baz kpekler vahi deildir.

Dikkate edilirse Hibir kpek vahi deildir nermesi Btn kpekler vahidir nermesinin tersi deildir. Tersini alma ileminde, ilk ifadenin doru olduu her durumda ikinci ifade yanl olmal ya da tam tersi olmaldr. Btn kpekler vahidir nermesi sadece bir kpek bile vahi olduunda yanltr ancak Hibir kpek vahi deildir nermesi bu durumda doru deildir.

Mantksal balayclar nerme iftlerini balamaya yararlar. Burada ok kullanlan be mantksal balaycdan bahsedilecektir: kesiim, dahili birleim, harici birleim, koullu nerme ve iki ynl koullu nerme.

1.2.1 Kesiim (Conjunction)

ki basit nerme aralarna ve kelimesi koyarak balanabilir. Bunun sonucunda oluan bileke nermeye iki basit nerme bileeninin kesiimi denir. Eer p ve q iki basit nerme ise p q (veya p.q) p ve q nun birleimini temsil eder.

p: Gne Parlyor. q: Kpekler havlar. p q: Gne parlyor ve kpekler havlar.

Alttaki doruluk tablosu p ve q nun tm olas doruluk deerleri iin p q nun doruluk deerlerini gsterir.

p q p q

T T T T F F F T F F F F

Yukardaki tablodan da grlebildii gibi p q sadece p ve q nun her ikisinin de doru olduu zaman dorudur.

1.2.2 Birleim (Disjunction)

Veya kelimesi iki basit nermeyi birletirmek iin kullanlabilir. Oluan bileke


nerme iki basit nermenin birleimi olarak adlandrlr. Mantkta iki eit birleim vardr: dahili ve harici. Gerek hayatta kullandmz veya kelimesi bazen kafa kartrc olabilir.

p ve q birer nerme ise p v q, p ve q nun dahili birleimini temsil eder. Bu bileke nerme bileenlerinden herhangi birisi veya her ikisinin doru olmas durumunda doru aksi halde yanltr. p q iin doruluk tablosu aadadr.

p q p q T T T T F T F T T F F F

p ve q nun harici birleimi ise p q eklinde gsterilir. Bu bileke nerme sadece bir bileenin doru olmas durumunda dorudur. p q nun doruluk tablosu aadaki gibidir:

p q p q T T F T F T F T T F F F

ki basit nerme veya kullanlarak balanrken hangi tip birleimin kullanlaca cmlenin genel durumundan anlalr. rnein, Yarn yzmeye gideceim veya golf oynayacam cmlesi iki iin birden yaplmayaca anlam tadndan harici birleimdir. Dier taraftan, Adaylar 25 yan zerinde veya en az 3 yllk tecrbeye sahip olmaldr cmlesinde iki kouldan birini salayan adaylar dikkate alnacakm izlenimi verdiinden dahili birleimidir.

1.2.3 Koullu nermeler

Koullu nerme balaycs iareti ile sembolize edilir. Koullu nermenin normal dildeki karl rnekte de grlecei gibi Eer dir.

p: Kahvalt yaparm. q: len yemei yemem. p q: Eer kahvalt yaparsam, len yemei yemem.

Yukardaki rnekteki p q iin dier alternatifler:

Sadece eer len yemei yemezsem kahvalt yaparm. Kahvalt yapmam len yemei yemeyeceim anlamna gelir. Ne zaman kahvalt yapsam len yemei yemem.

Aadaki tablo p q nun doruluk tablosudur.

p q p q T T T T F F F T T F F T


Dikkat edilirse p ise q nermesi sadece p nin doru q nun yanl olmas durumunda yanltr.(rnein doru bir ifade yanl bir ifade anlamna gelemez.) Eer p yanl ise bileke nerme q nun doruluk deeri ne olursa olsun dorudur. u nermeye bakalm: Eer derslerimi geersem ok sevineceim. Bu ifade eer snavlarm geemezsem ne yapacam hakknda hibir ey sylemiyor. Belki sevinirim, belki sevinmem ama hibir durumda sylenen ifade yanl deildir. nermenin yanl olabilecei tek durum snavlarm geip sevinmediim durumdur.

Koullu nermelerde, p nermesi nceki ve q nermesi sonraki olarak adlandrlr. p nermesi q iin yeterli koul, q ise p iin gerekli kouldur.

1.2.4 ift Ynl Koullu nermeler

ift ynl koullu balayc ile gsterilir ve sadece ve sadece . ise . eklinde ifade edilir. nceki rnee tekrar dnersek:

p: Kahvalt yaparm. q: len yemei yemem. p q : Sadece ve sadece len yemei yemezsem kahvalt yaparm.(alternatif olarak sadece ve sadece kahvalt yaparsam len yemei yemem.)

p q nin doruluk tablosu u ekildedir:

p q p q

T T T T F F F T F F F T

Dikkat edilirse p q nun doru olabilmesi iin p ve q nun her ikisinin de ayn doruluk deerine sahip olmas gerekir.

rnek 1.1: p, Bugn Pazartesi ve q stanbula gideceim nermeleri olsun. Buna gre aadaki nermeleri sembollerle ifade ediniz.

(i) Eer bugn Pazartesi ise stanbula gitmeyeceim. (ii) Bugn Pazartesi veya stanbula gideceim fakat ikisi birden deil. (iii) Bugn stanbula gideceim ve bugn Pazartesi deil. (iv) Sadece ve sadece bugn Pazartesi deilse stanbula gideceim.

zm 1.1:

(i) pq (ii) p q (iii) pq (iv) pq.

rnek 1.2: Aadaki bileik nermeler iin doruluk tablolar oluturunuz.

(i) p q


(ii) p q (iii) qp (iv) p q

zm 1.2:

(i) p q p p qT T F T T F F F F T T T F F T T

(ii) p q p q p qT T F F F T F F T F F T T F F F F T T T

(iii) p q q qpT T F T T F T T F T F T F F T F

(iv) p q p q p qT T F F T T F F T F F T T F F F F T T T

1.3 Tutolojiler ve elikiler Bileenlerinin doruluk deeri ne olursa olsun her zaman doru olan birok bileik nerme mevcuttur. Benzer ekilde bileenlerinden bamsz olarak her zaman yanl olanlar da vardr. Her iki durumda da bu zellik bileke nermenin yapsnn sonucudur.

Tutoloji, basit bileenlerinin doruluk deeri ne olursa olsun doru olan bileke nermedir. rnek : insanlar erkektir veya kadndr nermesi her zaman dorudur. O nedenle bu nerme bir tutolojidir.

eliki ise, basit bileenlerinin doruluk deeri ne olursa olsun yanl olan bileke nermedir.

Tutoloji t ile, eliki ise f ile gsterilir.


rnek 1.3 : pp nin tutoloji olduunu gsteriniz.

zm1.3 : Eer pp in doruluk tablosunu yaparsak:

p p pp T F T F T T

Dikkat edilirse pp her zaman doru deerini verir (p yerine hangi nerme konulursa konulsun) ve bu sebeple tutolojidir.

rnek 1.4 : ( ) ( )qpqp nin tutoloji olduunu gsteriniz. zm 1.4 : Verilen nermenin doruluk tablosu aadaki gibidir:

p q qp qp ( ) ( )qpqp T T T F T T F F T T F T F T T F F F T T

Doruluk tablosunun en son stunu sadece T doruluk deerini gsterir ve bu nedenle ( ) ( )qpqp ifadesi bir tutolojidir. Son rnekte, ilk rnekten elde ettiimiz herhangi bir nermenin tersinin dahili birleimi bir tutolojidir sonucunu kullanabilirdik. kinci rnekte elimizde qp nermesi ve tersi qp var. Bu nedenle nceki sonuca gre ( ) ( )qpqp bir tutolojidir. ( ) ( )qpqp nermesi,

pp nermesinin yedek rneidir denir. Aka grlyor ki, bir tutolojinin yedek rnei kendi bana bir tutolojidir ve dolaysyla bir nermenin tutoloji olduunu gstermenin bir yolu da bu nermenin tutoloji olduu bilinen baka bir nermenin yedek rnei olduunu gstermektir. Tpk tutolojilerde olduu gibi bir elikinin de yedek rnei bir elikidir.

1.4 Mantksal Edeerlilik ve Mantksal Anlam ki nerme, kendilerini oluturan bileenlerinin tm doruluk deeri kmesi iin ayn doruluk deerine sahipse bu iki nerme mantksal edeerdir denir. P ve Q iki bileik nerme olsun, P ve Q mantksal edeerse P Q eklinde gsterilir.Tutolojiler ve elikilerde olduu gibi mantksal edeerlilik de P ve Q nun yaplarnn sonucudur.

rnek 1.5 : p q ve qp nun mantksal edeer olduunu gsteriniz.

zm 1.5 : p q ve qp iin doruluk tablosunu izelim.

p q p q p q qp qp T T F F F T F

T F F T T F T F T T F T F T F F T T T F T


p q ve qp iin hesaplanan stunlardaki doruluk deerleri karlatrlrsa ayn olduklarn grlr. Bu nedenle bu iki nerme mantksal edeerdir denilebilir.

Eer iki bileke nerme mantksal edeerse, bu iki nermenin ift ynl koullu balayc ile balanmasyla oluan nerme bir tutoloji olmaldr.( P Q ise PQ tutoloji olmal) Bunun nedeni, iki mantksal edeer nermenin ikisi de ayn anda ya dorudur ya yanltr. Her iki durumda da ift ynl koullu nerme dorudur. Bu durumun tersi de yani PQ bir tutoloji ise P Q. Bunun nedeni u geree dayanr: ift ynl koullu nerme PQ sadece P ve Q nun her ikisinin de ayn doruluk deerine sahip olduu zaman dorudur.

ki nerme arasnda oluabilecek bir dier yapya-baml iliki de mantksal anlamdr. Eer bir P nermesi her doru olduunda Q nermesi de doru oluyorsa, P nermesi mantksal olarak Q nermesi anlamna gelir. Ancak bunun tersi doru deildir yani Q, P yanl olduunda da doru olabilir. Mantksal anlam ile sembolize edilir. P Q, P mantksal olarak Q anlamna gelir demektir.

rnek 1.6: q ( )qp olduunu gsteriniz.

zm 1.6: qnun her doru olduu anda ( )qp nun da doru olduunu gstermek gerekir. Doruluk tablosunu yaparsak:

qnun doru olduu her durumda (1 ve 3. satrlar) p q da dorudur. p q, q yanl olduunda da dorudur (2. satr) fakat bunun q, p q ile mantksal anlamdr ifadesinin salanmasyla bir alakas yoktur.

P Q ile P Q bir tutolojidir ifadeleri benzer ifadelerdir. P Q ise P doru iken Q hibir durumda yanl deildir. Bu da sadece P Q nun yanl olduu durumda mmkn olduundan P Q bir tutoloji olmaldr.

1.5 nermeler Cebri Aadaki liste bir nceki konudaki teknikler kullanlarak ispatlanabilecek mantksal eitlikleri ierir. Bu kurallar p, q ve r gibi basit nermeler ve bunlarn yerine konabilecek yedek rneklerin tamam iin geerlidir.

Aynlk (Tek Kuvvet) zellii(idempotence)

p p p p p p.

Deime zellii(Commutativity)

p q q p p q q p p q q p pq q p.

p q p q T T T T F T F T T F F F


Birleme zellii(Associativity)

(p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (pq) r p (q r).

Yutan Eleman(absorbtion)

p (p q) p p (p q) p.

Dalma zellii(Distributivity)

p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

ift ters zellii((Involution)

p p.

De Morgan Kurallar

qp p q qp p q .

zdelik zellii(identity)

p f p p t p p t t p f f.

Tamamlama zellii(Complement)

tpp fpp tf ft

1.5.1 Elik Kural (Duality Principle)

Sadece ve balayclarn ieren herhangi bir P nermesi verilmi ise, bu nermenin ei yerine , yerine , t yerine f ve f yerine de t koyarak elde edilir. rnein, ( ) pqp nin ei ( ) pqp olmaldr.

Dikkat edilirse kesiim ve dahili birleim dndaki balayclarla balanm bileik nermelerin einin nasl elde edildiinden bahsedilmedi. Bunun nemi yoktur nk dier balayclara sahip nermelerin hepsi sadece tersini alma ve kesiim balayclarn ieren mantksal edeer


formunda yazlabilir. Elik kuralna gre eer iki nerme mantksal edeerse, eleri de mantksal edeerdir.

1.5.2 Yerine Koyma Kural

Diyelim ki, elimizde mantksal edeer P1 ve P2 nermeleri ile P1 i ieren Q bileik nermesi var. Yerine koyma kuralna gre P1 yerine P2 koyarsak sonuta oluan nerme Q ile mantksal edeerdir. Bu sebeple mantksal edeer nermeleri birbirinin yerine koymak sonuta oluan nermenin doruluk deerini deitirmez. Bunun ispat u ekilde yaplabilir: Doruluk tablosunda P1 stunu yerine P2 stununu koyarsak sonu deimez zira P1 ve P2 nin doruluk tablolar ayndr.

Yerine koyma kural ve nermeler cebri kurallar doruluk tablolar izmeden nermeler arasnda mantksal eitlikler kurabilmemizi salar.

rnek 1.7: ( p q ) ( )qp p olduunu ispatlaynz. zm 1.7: ( p q ) ( )qp ( p q ) ( p q ) (De Morgan Kural) p ( )qq (Dalma zellii) p t

p

1.5.3 Koullu nermler ile ilgili dier zellikler

Verilen p q koullu nermesi iin;

a) p q nn kart( converse) q p

b) p q nn tersi( inverse) p q

a) p q nn ters pozitifi( contrapositive) q p

Doruluk Tablosu

p q p q q p p q q p T T T T T T

T F F T T F F T T F F T F F T T T T

Tablodan p q nn ters pozitifi olan, q p nin mantksal edeer olduklar grlmektedir.

p q q p

Koullu nermenin kart veya tersi kendisi ile mantksal edeer deildir. Hlbuki kart ve ztt


birbiriyle mantksal edeerdir.

rnek: p : bu gn sal q: bu gn bir snavm var

p q : eer bugn sal ise bugn bir snavm var

a) p q nn kart( converse) q p : Eer bugn snavm var ise bugn sal.

b) p q nn tersi( inverse) p q : Eer bu gn sal deil ise bugn snavm yok

a) p q nn ters pozitifi(contrapositive) q p : Eer bugn snavm yok ise bugn sal deil.

Tez(Argument): birbirini oluturan nemeleri dayanak olarak alan nemeler kmesine denir ve sonunda bir sonuca ular. Dayanak noktalarndaki nermeler bala ile birbirine balanrlar ve sonunda mantksal bir sonuca ularlar. Aksi halde tez geersizdir.

Eer dayanak noktasndaki nermeler P1, P2, , Pn ve sonucu Q ise tez,

Eer (P1 P2 Pn ) Q) veya ( P1 P2 Pn Q) bir tutolojidir. P1, P2, , Pn doru olduunda , Q doru olmaldr.

1.5.4 Yklem mant(Predicate Logic)

Yklem, bir veya birka nesnenin veya bireylerin zelliklerini aklar.

. krmz,

.. nn uzun dileri var

Ba zerinde durmaktan holanr . gibi.

Yklemi ifade etmek iin byk harf ile semboller kullanrz.

M: krmzdr

B: uzun dileri var

G: bann zerinde durmaktan holanr

Kk harf semboller ise bireyleri ifade etmekte kullanlr.

a : bu gl

b: Ahmet

Basit nerme aadaki gibi ifade edilebilir.

M(a) : Bu gl krmzdr

M(b) :Ahmet krmzdr

G(b) : Ahmet ba zerinde durmaktan holanr.

Eer M , krmzdr yklemi olarak ifade edilirse M yi M(x) olarak ifade ederiz ve x krmzdr anlamna gelir. Burada x deikeni, herhangibir nesne veya birey ad ile yer deitirilebilir. Bu nedenle M(x) nermesel fonksiyon olarak adlandrlr. nermesel fonksiyonun tersi ,

Eer M(x) : x krmzdr ise )(xM : x krmz deildir anlamna gelir.

Evrensel Niteleyici :Btn sanlar gridir nermesini dnelim. Bunu ilk yolu


btn sanlar iin ; eer x bir san ise x gridir . nermesi ifade edilebilir. Bu bize yeni bir gsterim tanmlamay getirir.

R(x) : x bir sandr , G(x) : x gridir. Her x iin i x olarak ifade edip

( x)[R(x) G(x)] eklinde yazlr. Burada evrensel niteleyici olarak adlandrlr.

Varlk Niteleyici :Eer ayn nermede Enaz bir adet x vardr x eklinde ifade ederek, Baz sanlar gridir nermesini ; vardr eklinde yazarz.

(x)[R(x) G(x)] olarak yazabiliriz burada ye varlk niteleyici denir ve en az bir x vardr veya baz xler iin eklinde sylenir.

Yklem mantnda Dnceler Yklem mantnda bir tezin geerlilii salanr. Btn yklemler doruluunun saland

durumda sonuta dorudur. Aadaki drt kural yklem mantnda geerlidir.

1. Evrensel tanm : Eer nerme ( x)F(x) doru ise F(a) da evrendeki her a iin dorudur.

2. Evrensel Genelletirme: Eer nerme F(a), evrendeki her a iin doru ise ( x)F(x) da dorudur.

3. Varlk tanm : Eer nerme (x)F(x) doru ise, evrende, F(a)y doru yapan bir a vardr.

4. Varlk genelletirmesi : Eer nerme evrendeki baz alar iin F(a) doru oluyorsa (x)F(x) dorudur.

rnek : Yeil gzl olan herkese gvenilmez. Alinin yeil gzleri var. yleyse Aliye gvenilmez. Tezinin geerliliini gsterelim.

Eer G(x) : xin yeil gzleri var ve T(x) : x gvenilir ve a , ali'yi gsterirse;

( x)[G(x) )(xT ] ve G(a) )(aT eklindedir.

1.6 Matematiksel spat Matematiksel ispatn popler grnm genellikle sembollerle yazlan birtakm admlarn ard arda sralanmas eklindedir. Her bir adm mantksal olarak ispatn bir nceki admn takip eder ve son satr ispatlanacak ifadedir. Bu imaja bal olarak ortak kan, ispatn matematiksel doruluun mutlak ve sk bir testi olmasdr. Fakat srpriz bir biimde, kendi aralarnda ortak bir kan olmamasna ramen, bu gr ou profesyonel matematikinin gr deildir. ou ispatn sosyolojik boyutunun olduu grn savunur ve ispat, fikirlerin aklanmas ve iletimi iin bir art olarak kabul eder.

Aslnda her iki gr de dorudur. spat kelimesi geni bir yelpazeyi kapsar. Bu yelpazenin bir ucunda birinci blmdeki mantksal iaretlerle ifade edilen ok resmi ispatlar bulunur. Her bir adm bir nceki adm mantk kurallar erevesinde takip eder. Aslnda, ispat yapmak iin sadece semboller kullanmak mmkndr fakat bu tabi ki takip etmesi zor bir olaydr. Daha az resmi ispatlar ise kelimelerin, sembollerin ve diyagramlarn karmyla gerekletirilir. Matematik ile ilgili kitaplardaki ispatlar genellikle az resmi ispatlardr.

Matematikte onay verilmeyen bir ey varsa o da gzlemlere dayanarak sonuca gitmektir. te yandan, birok kez bir ift saynn karesini aldmzda sonucun bir ift say olduunu gzlememize ramen bu ift saylarn karesinin ift say olduunu kantlamaz. Ancak


bu buna inancmz kuvvetlendirir ve bu gzleme geerli bir kant aramaya tevik eder. Gzlemlere dayanarak eitli gerekler hakknda yarglarda bulunmaya tmevarm denir. Mantksal karmlarla sonuca varlan yargya ise tmdengelim denir.

1.6.1 Aksiyomlar ve Aksiyom Sistemleri

Matematiksel bir teori, rnein kme teorisi, say teorisi veya grup teorisi deiik bileenler ierir. Bunlarn en nemlileri:

1. Tanmlanmam terimler. 2. Aksiyomlar. 3. Tanmlar. 4. Teoremler. 5. spatlar.

3, 4 ve 5. maddelerde sralananlar hakknda herkes bilgi sahibi olabilir. Matematikte tanmlanmam terimlere ihtiya duymamz srpriz gelebilir fakat biraz dnlrse bunun gereklilii anlalabilir.

Diyelim ki, kme teorisi zerine eksiksiz bir alma yapmak istiyoruz. Aktr ki balang noktas kmenin ne olduunu anlatmaktr: Tanm 1: Kme ..- Yani? Problem u ki, kmeyi tarif etmek iin baka bir terime ihtiyacmz var (rnein topluluk) ancak bu sefer de dier terim tanmlanmam durumdadr. Dier terimi tanmlayabilmek iin yine baka bir tanmlanmam terime ihtiyacmz var ve bu byle devam eder. Ak ki, sonsuz bir tanm dizisinden uzak durmamz gerekiyor. Bu da bizi baz terimleri tanmlanmam brakmaya zorlar. Tabi ki, hala aklmzdakini sezgisel biimde ifade edebiliriz ancak bu sezgisel tanmlama teorimizin bir paras olmak zorunda deildir.

Listedeki 2 numaral eleman olan aksiyomlarn da biraz aklanmaya ihtiyac var. Matematiksel bir teorideki btn terimleri tanmlayamadmz gibi ayn sebeple teorideki her ifadeyi de kantlayamayz. Bir yerden balamak iin kantlanmayacak baz ifadelere ihtiya vardr. Bu ifadelere aksiyom denir. Aksiyomlar teorinin temel zelliklerini temsil ederler.

Bilmek gerekir ki, aksiyomlarn doruluundan veya yanllndan sz edilmez; onlar sadece teorinin ilerleyebilmesini salayan tanmlanmam terimler hakkndaki ifadelerdir. te yandan kendi aralarnda tutarl olmaldrlar ve ayn anda hepsinin doru olma imkan olmaldr. Kendi aralarnda elien aksiyomlar kabul edilemez. Matematiksel bir ifadeyi uygulamaya gelince, tanmlanmam terimler yorumlanrlar ve aksiyomlar doru veya yanl eklinde nermeler haline gelir.

Bir aksiyomatik teori tanmlar yaparak ve teorem ispatlanarak geliir. Tanmlar, tanmlanmam terimlerin yanl eylerle ilikilendirilmemeleri iin yaplrlar. Teorem ise birinci blmde anlatlan mantksal yarglar kullanan aksiyomlar takip eden, sistemdeki eitli terimler hakkndaki ifadelerdir. Teorem orijinal aksiyomlardan gittike uzaklaarak yaylr fakat sonuta onlar zerine ina edilir. Teoremler ve ispatlar saf matematiin kalbini oluturur.

1.7 spat Yntemleri Grld gibi, resmi matematik, aksiyomatik yntem zerine ina edilmitir. Tanmlanmam terimler ve aksiyomlar ile balar, mantk kurallarn kullanarak teoremleri ispatlayarak geliir. Bu blmde ispatn temel zellikleri ve baz ispat yntemlerinin genel yapsndan bahsedilecektir.

Diyelim ki, A1, A2, An bir aksiyom sistemi verildi. Teorem, aksiyomlarn birleimi ile


mantksal olarak anlamlandrlan sistem terimleri hakkndaki ifadelerdir. Bu sebeple, sistem iindeki bir teoremi resmi olarak bir T nermesi eklinde yle ki;

( A1 A2 An ) T.

Hatrlarsak P Q, P nin doru olduu her durumda dorudur. Aksiyom sisteminin herhangi bir modelinde aksiyomlar doru nermeler eklinde yorumlara sahiptir bylece her teorem doru nerme eklinde bir yoruma sahiptir. Bu nedenle teoremler, aksiyom sistemindeki her modelde doru olan nermeleridir.

O halde bir teoremin ispatn ne oluturur? Gayri resmi olarak ispat, sonucu teorem olan mantkl dncelerdir. Bir teorem bir kez ispat edildiinde dier teoremlerin ispat iin dier aksiyomlar ile birlikte kullanlabilir. Bundan dolay, Ai (i=1,2, ,n) aksiyomlar; Tj (j=1,2,m) ispatlanm teoremler olmak zere T teoremini ispat etmek iin

( A1 A2 An T1 T2 Tm ) T

olduunu gstermek gerekir. Bunu aksiyomlarn doruluunu varsayarak ve bunun T nin doruluunu garantilediini gstererek yaparz.

1.7.1 Koullu nermelerin Dorudan spat

Birok matematiksel varsaym koullu nerme (PQ) biiminde ifade edilebilir. Bu sebeple bunlarn ispatlar, Ai ve Tj aksiyomlar ve teoremler olmak zere

( A1 A2 An T1 T2 Tm ) (PQ)

olduunu gstermeyi ierir. Bu

( A1 A2 An T1 T2 Tm ) (PQ)

ifadesinin bir tutoloji olduunu ve R (PQ) ve (R P) Q mantksal edeerliliini kullanarak

( A1 A2 An T1 T2 Tm P) Q

ifadesinin bir tutoloji olduunu veya

( A1 A2 An T1 T2 Tm P) Q

olduunu gstermeye denktir. O halde, PQ eklindeki teoremlerin direkt ispat iin aksiyomlarn doruluunu ve bundan dolay tm ispatlanm teoremlerin doruluunu varsayarz.

rnek 1.8: Tm n tamsaylar iin, n ift ise n2nin de ift olduunu kantlaynz.

spat: n ift bir tamsay olsun. Bu halde 2, nin arpanlarndan biridir ve n, m bir tamsay olmak zere n=2m eklinde ifade edilebilir. Buradan yola karak n2=(2m)2=4m2 olur. 4m2 ifadesi 2m2 tamsay olmak zere 2(2m2) eklinde yazlabilir. Bu sebeple n2 ifttir.

Dikkat edilirse birok admda sebepler gz ard edilmitir. rnein, (2m)2=4m2 eitliinin doruluu iin herhangi bir sebep belirtilmedi. Bunun nedeni bu admn ok ak olmas.te yandan ciddi bir ispatta eksik detaylar salanmaldr.


1.7.2 Koullu nermelerin Ters Pozitif(contrapositive) Kullanarak spat

Hatrlarsak ters pozitif Q P , PQ koullu nermesi ile mantksal edeerdir. Bu nedenle, ters pozitifin doruluunu salarsak koullu nermenin de doru olduu sonucuna varabiliriz. Bu da Q P nun kendisi de koullu bir nerme olduundan direkt ispatn kullanabilmemize ramen PQ nun dolayl ispatn oluturur.

rnek 1.9: Ters pozitifini salayarak, her n tamsays iin n2 ift ise n de ifttir ifadesini ispatlaynz.

spat: spatlanacak ifade P(n) n2 ifttir, Q(n) n ifttir ve n seilmi bir tamsay olmak zere, P(n) Q(n) dir. Ters pozitif ise ~Q(n) ~P(n): n tek ise n2 tektir. Bu ifadeyi n tektir in doru olduunu varsayarak ve n2 nin tek olduunu gstererek kantlayabiliriz.

n tek bir tamsay olsun. n=2m+1 m tamsay n2=(2m+1)2 =4m2+4m+1 =2(2m2+2m)+1 (2m2+ 2m) tamsay n2 tektir.

rnek 1.10: m ve n birer pozitif tamsay ve mn=100 ise, m10 veya n10 olduunu ispatlaynz.

spat: P(m,n), m ve n, mn=100 olan iki rastgele pozitif tamsay ve Q(m,n), m10 ve n10 nermelerinin dahili birleimi olmak zere P(m,n) Q(m,n) olduunu gstermek gerekir. De Morgan kuralndan ( )qp p q bylece Q(m,n)nin tersi m>10 ve n>10 dur. Ters pozitif ~Q(m,n) ~P(m,n), bu nedenle m ve n rastgele tamsaylar olmak zere m>10 ve n>10 ise mn100.

m ve n pozitif tamsaylar olsun. Bylece,

m>10 ve n>10

mn>100

mn100

Bylece teorem ispatlanm olur.

1.7.3 eliki(contradiciton) ile spat

Bir doruluk tablosu kullanarak f bir eliki olmak zere P ve Pf nin mantksal edeerliklerini kolayca salayabiliriz. Bu sebeple T teoremini ispatlamak iin bunun yerine Tf koullu nermesini ispat edebiliriz. Bu da aksiyomlarn ve teoremlerin ve de T nn doruluunu (T nin yanlln) varsayarak gerekletirilebilir. Daha sonra bunun daima yanl olan bir nerme yani bir eliki anlamna geldiini gsterebiliriz. ounlukla, eliki bir nerme ve tersinin kesiimi QQ eklindedir. T f nin doru olduu sonucuna varabiliriz ve bu nedenle T teoremi dorudur.

rnek 1.11: 2 nin rasyonel olmadn ispatlaynz.(p ve q tamsay ve q0 olmak zere p/q biiminde yazlabilen tamsaylara rasyonel say denir.)


spat: Bu teoremin ispat eliki ile ispatlamann bilinen bir rneidir. 2 nin rasyonel olduunu varsayarak bunun bir elikiye neden olduunu gstermemiz gerekir.

Diyelim ki, 2 rasyonel bir say ve m ile n tamsay ve n0 olmak zere 2 =m/n. m/n kesrinin en sadelemi halinde yani m ve nnin ortak arpanlarnn olmadn varsayabiliriz. Eer ortak arpanlar varsa sadeletiririz. imdi,

2 =m/n

2=m2/n2

2n2=m2

m2 ifttir.

m ifttir. (rnek 1.9)

m=2p herhangi bir p tamsays iin

m2=4p2.

Bu sonucu 2n2=4p2 eitliinde yerine koyarsak,

2n2=4p2

n2=2p2

n2 ifttir

n ifttir.

Bylece hem m hem de nnin ift olduunu yani 2nin ortak arpan olduunu gstermi olduk. Ancak m ve n hibir ortak arpana sahip deildi nk byle bir arpan en bata sadeletirildi. Bu nedenle bir nerme ve tersinin birleimini yani bir elikiyi ortaya kardk ve bu da teoremi ispatlamaktadr.

1.7.4 ift Ynl koullu nermelerin spat

ift ynl bir nermeyi PQ, ispat etmek iin genellikle PQ ve [(PQ) (QP)] nin mantksal edeerliliine bavururuz. Bu nedenle ift ynl koullu nermelerin ispat iki ayr blm ierir: biri PQyu dieri QP yi ispatlamak.

rnek 1.12: Herhangi x ve y tamsaylar iin xy arpmnn, sadece ve sadece x iftse veya y iftse ift olduunu ispatlaynz.

spat: nce direkt ispat kullanarak x iftse veya y iftse xy nin ift olduunu kantlarz.

x ift olsun. rnein n bir tamsay olmak zere x=2n. O halde xy=2ny yani xy ifttir. Eer y ift olsayd benzer bir argman xy nin ift olduunu gsterebilir.

imdi tersini ispatlayalm: Eer xy ift ise x ifttir veya y ifttir. Bunun iin ters pozitifin direkt ispatn kullanabiliriz: x ve y tek ise xy de tektir.

O halde x ve y tek olsun.

x=2n+1, y=2m+1 m ve n tamsay olmak zere

yleyse xy=(2n+1) (2m+1)


=4mn+2n+2m+1

=2(2mn+n+m)+1

xy tektir. Bu da ispat demektir.

1.7.5 Aksine rneklerin Kullanm

Birok matematiksel konjektr, tm A lar B dir veya A zelliine sahip tm nesneler B zelliine sahiptir biimindedir. Bu ifade u ekilde de yazlabilir: A(x) x, A dr(A zelliine sahiptir) ve B(x) x B dir (B zelliine sahiptir) olmak zere ( x)[A(x) B(x)].

nerme u ekilde de yazlabilir: x A evreni ile snrlandrlm olmak zere ( x)[B(x)]. Daha nce sylenildii gibi B zelliine sahip olmayan bir x bulamamak teoremin ispatn oluturmaz. te yandan B zelliine sahip birok x bulmak da bu zellie sahip olmayan x bulamayacamz garanti etmez. Ancak, evren sonlu bir evrense ve yeterli zaman varsa btn elemanlar kontrol edip zelliin olup olmad sorusunun cevabn bulabiliriz. Eer tm elemanlarda bu zellik varsa teorem ispatlanm olur. Bu ynteme tketme ile ispat denir nk x in btn olaslklar tketilir.

Dier yandan, ( x)[B(x)] biiminde bir konjektrn yanl olduunu ispat etmek iin evrendeki sadece bir yenin B zelliine sahip olmadn bulmamz gerekir. Bu aksine rnekle ispatn esasdr.

1.8 Matematiksel ndksiyon Aslnda matematiksel indksiyon diye bilinen ispat yntemi tmevarmsal bir ispat deildir. Olmamasnn nedeni kabul edilen ispatlar sadece tmdengelimsel yarglar barndrr. ndksiyonun doruya yakn olan bilgiyi salama grevi vardr. Herhangi bir ispatla ilgili problem, onu ispatlamadan nce sonucu bilmemiz gerektiidir.

Birok matematiksel konjektr pozitif tamsaylarn zellikleri ile ilgilidir. rnein u problem: ilk n tek tamsaynn toplam iin bir forml bulun. Balama noktas olarak n in kk bir deerleri iin toplam yazmak ve bunun bize olas konjektr hakknda bir fikir verip vermediini gzlemektir.

n=1 iin, toplam 1 dir. n=2 iin, toplam 1+3=4 tr.

n=3 iin, toplam 1+3+5=9 dur. n=4 iin, toplam 1+3+5+7=16 dr.

Bu aamada n in her deeri iin toplamn n2 olduunu fark ederiz. Birka tane daha deneyip daha da emin olmak isteriz.

n=5 iin, toplam 16+9=25 dur. n=6 iin, toplam 25+11=36 dr.

Tmevarmsal yarg bizi ilk n tek tamsaynn toplam n2dir konjektrne gtrr. Bunun tm pozitif n tamsaylar iin doru olduunu tmdengelime dayanarak ispatlamalyz.

Matematiksel indksiyon sonucun tm pozitif tamsaylar iin geerli olduunu ispatlamak iin uygundur ve u admlar ierir:


( a ) Konjektrn n=1 iin geerli olduunu ispatla ( b ) Her k1 iin, eer sonu n=k iin salanyorsa n=k+1 iin de salanmaldr. Bu adm tmevarmsal adm olarak bilinir.

(b) kkndaki koullu nermeyi ispatlamak iin bir nceki konuda anlatlan teknikler kullanlr. te yandan, tmevarmsal adm genellikle direkt ispat kullanlarak salanr. Sonucun n=k iin salandn varsayarz. (Bu varsaym bazen tmevarmsal hipotez eklinde adlandrlr.) Bundan n=k+1 iin de saland sonucunu karrz. n=1 iin salandna gre tmevarmsal adm bizi n=2, n=3 vs. iin de salad sonucuna gtrr. Matematiksel indksiyonun prensibi, sonucun tm n pozitif tamsaylar iin salandn gsterir.

rnek 1.13: lk n tane pozitif tek tamsaynn toplamnn n2 olduunu ispatlaynz.

spat: spatlamak istediimiz ey: 1 + 3 + 5 + = n2. n terms

Dizideki son eleman 2n-1 dir ve bu nedenle konjektrmz u ekilde yazabiliriz:

1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n2.

Daha sonra aadaki admlar izleriz.

( a ) Konjektrn n=1 iin doru olduunu ispatla.

n=1 iin, 1=n2. O halde n=1 iin konjektr dorudur.

( b ) k1 olmak zere konjektrn n=k iin doru olduunu varsay ve bunun n=k+1 iin konjektrn doruluuna yol atn gster.

Varsayalm ki, 1 + 3 + 5 + + (2k-1) = k2. Bir sonraki tamsay olan 2k+1i eitliin iki tarafna eklersek,

1 + 3 + 5 + + (2k-1) + (2k+1) = k2+(2k+1)

=(k+1)2.

Bu eitliin sol taraf ilk k+1 tane tek tamsaynn toplamdr ve tmevarmsal hipotezi kullanarak gsterdik ki, bu toplam (k+1)2dir. Bylece konjektrn eer n=k iin salanyorsa, n=k+1 iin de salandn gstermi olduk. Ayrca n=1 iin de salandn gsterdik ve matematiksel indksiyon kuralna dayanarak teorem tm pozitif n tamsaylar iin salanr diyebiliriz.

1.8.1 Matematiksel ndksiyon Prensibinin deiimleri

Tmevarmsal prensip zerinde deiik modifikasyonlar yaplabilir. rnein, S(n) nermesinin sabit bir N tamsaysndan byk veya eit tm tamsaylar iin salandn ispat etmek isteyelim. Tmevarm prensibi zerinde baz modifikasyonlar yaparsak unu elde ederiz:

( a ) S(N) in doru olduunu ispatla. ( b ) kN yi salayan her tamsay iin, eer S(k) doru ise S(k+1) de dorudur.

Bu tmevarm ile ispatn standart metodudur sadece 1 yerine N ile balanmtr.

Tmevarmsal ispatn daha nemli bir modifikasyonu indksiyonun ikinci prensibi ile salanr.


Bunun nemi udur: Tmevarmsal adma geldiimizde S(n) nin sadece k yerine, k dan kk ve eit tm pozitif r tamsaylar iin doru olduunu varsayarz.

ndksiyonun kinci Prensibi

S(n) doal n says ile ilgili bir ifade ve q sabit bir doal say olsun. S(n) in tm n q iin doruluunun indksiyon ile ispat iin admlar;

( a ) Temel adm :S(q) nin doruluunu ispatla ve, ( b ) eer kq iin, S(q), S(q+1), S(q+2),., S(q) doru ise (tm qk iin S(q) nin doruluu S(k+1)in doruluu anlamna gelir.

ndksiyonun bu ikinci prensibi ilk bata ilkinden daha genel gibi gzkr nk S(k+1)in doru olduu sonucuna varmak iin daha fazla varsaymda bulunuruz. Ancak, S(q), qk y salayan tm pozitif tamsaylar iin dorudur nermesine T(n) dersek, ikinci prensibin iki ksm:

( a ) T(q) dorudur, ve ( b ) kq iin T(q)nin doruluu T(k+1)in doruluu anlamna gelir.

Bu durumda indksiyonun ikinci admnda ncekine gre daha fazla bilgi gerekir. Buna indksiyonun kuvvetli prensibi denir. Bu ekle tam indksiyon denir.

rnek: birden byk olan herhangi bir doal saynn asal saylarn arpm eklinde gsterilebileceini ispatlayn.

S(n), n, birden byk doal say ise nin asal saylarn arpm olduunu indksiyon ile tm nler iin gsterelim.

a)Temel adm. S(2) iin doru. 2 asal saylarn arpm eklinde gsterilebilir

b) ndksiyon adm: S(2), S(3), ,S(k) nn doruluu S(k+1)in doruluunu kantlar. imdi eer k+1 asal say ise dorudur , eer k+1 asal say deil ise m,n


kmenin daha fazla eleman bulundurabileceini syler.

3. Kapal para. Kmenin iinde 1ve 2 admda tanmlanan elemanlar olduunu syler. rnek: 5 ile blnebilen tamsaylarda oluan A kmesinin tanm aadaki admlardan oluur.

i. 5 says Ann bir elemandr. ii. Eer n , Ann eleman ise, n+5de Ann elemandr.

iii. Adaki bir nesne ancak ve ancak (a) ve (b) admlarnn tekrarlanmasyla elde edilebilir. Fonksiyonlarn yinelemeli tanm: Eer bir fonksiyon f(n) ondan nce gelen elemanlar f(i) ler cinsinden tanmlanyorsa buna yinelemeli(rekrsif) tanm denir. f(0),f(1),f(2),, f(k)ya da balang deerleri denir. Bir baka ifade ile;

a) Fonksiyonun sfrdaki deerini ata. b) Fonksiyonun deerini bir tamsay olarak hesaplayan ve kendisinden kk saylar

cinsinden ifade eden bir kural tanmla.

rnek : F(n) =n! Faktriyel fonksiyonunu yinelemeli olarak tanmlayalm.

a) fonksiyonun sfrdaki deeri F(0) = 1 b) F(n+1) i F(n) cinsinden hesaplayan kural , (n+1)! in n!den hesaplanabilmesi (n+1) ile

arplarak olacaktr. Bu durumda kural:

F(n+1)=(n+1).F(n) eklinde olacaktr.

Aadaki Fibonacci saylar dizisini ele alrsak: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Dizideki her bir say kendinden nceki iki saynn toplamdr. fn n. Fibonacci saysn temsil ediyorsa, diziyi u ekilde tanmlayabiliriz:

f1 =1, f2 =1 ve n3 iin, fn = fn-1 + fn-2

Fark edilecei gibi tmevarmsal tanm indksiyon prensiplerine uymaz. Tmevarmsal tanma balamak iin, ilk iki Fibonacci saysn tanmlamamz gerekir, sadece ilkini deil. Aada pozitif n tamsaysna dayanan An matematiksel nesne ve zelliine ait tmevarmsal tanmn genel formu gsterilmitir.

Tm pozitif tamsaylar iin An i tanmlamak iin:

( a ) k=1,2,r iin ayr ayr Akyi tanmla

( b ) k>r iin Akyi A1, .Ak-1 biiminde tanmla

Baz nesneleri veya tmevarmsal olarak tanmlanm baz zellikleri ieren nermeleri ispatlamak iin matematiksel indksiyonu kullanmak doaldr.

1.9 Altrmalar 1- Aadaki mantksal edeerlilikleri salaynz.

(i) (pq) ( qp ) ( pq )

(ii) (p q) )()( pqqp

2- Aadaki argmanlarn doruluunu test ediniz.


(i) Okulu brakrsam bankada ie balayacam. Okulu brakmyorum o halde bankada ie balamayacam.

(ii) James polis veya futbolcudur. Eer polisse tabancas vardr. Jamesin tabancas yoktur o halde James futbolcudur.

3- n>0 olmak zere n3+2n in 3 ile blnebildiini tmevarm ile ispatlaynz.

4- Herhangi ardk tamsaynn arpmnn 6 ile blnebildiini ispatlaynz.

5- lk n pozitif tamsaynn karelerinin toplamnn 6

1)(2n 1)(nn ++ olduunu ispatlaynz.

ayrık matematik gyte

Documents