ayrık matematik - cebirsel yapılar

Ayrık MatematikCebirsel Yapılar

H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı

2001-2012

Lisans

You are free:

to Share – to copy, distribute and transmit the work

to Remix – to adapt the work

Under the following conditions:

Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).

Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.

Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.

Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Konular

1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar

2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri

Konular

Cebirsel Yapı

cebirsel yapı: <kume, islemler, sabitler>

tasıyıcı kumeislemler: ikili, teklisabitler: etkisiz, yutucu

her islem bir fonksiyon

ikili islem:◦ : S × S → T

tekli islem:∆ : S → T

kapalı: T ⊆ S

her islem bir fonksiyon

ikili islem:◦ : S × S → T

tekli islem:∆ : S → T

kapalı: T ⊆ S

Kapalı Islem Ornekleri

cıkarma islemi Z kumesinde kapalı

cıkarma islemi Z+ kumesinde kapalı degil

Kapalı Islem Ornekleri

cıkarma islemi Z kumesinde kapalı

cıkarma islemi Z+ kumesinde kapalı degil

Ikili Islem Ozellikleri

Tanım

degisme:∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a

Tanım

birlesme:∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a

birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c

= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Ikili Islem Ornegi

◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab

Sabitler

Tanım

etkisiz eleman:x ◦ 1 = 1 ◦ x = x

soldan etkisiz: 1l ◦ x = x

sagdan etkisiz: x ◦ 1r = x

Tanım

yutucu eleman:x ◦ 0 = 0 ◦ x = 0

soldan yutucu: 0l ◦ x = 0

sagdan yutucu: x ◦ 0r = 0

Sabitler

Tanım

etkisiz eleman:x ◦ 1 = 1 ◦ x = x

soldan etkisiz: 1l ◦ x = x

sagdan etkisiz: x ◦ 1r = x

Tanım

yutucu eleman:x ◦ 0 = 0 ◦ x = 0

soldan yutucu: 0l ◦ x = 0

sagdan yutucu: x ◦ 0r = 0

Sabit Ornekleri

< N,max > icin etkisiz eleman 0

< N,min > icin yutucu eleman 0

< Z+,min > icin yutucu eleman 1

Ornek◦ a b c

a a b b

b a b c

c a b a

b soldan etkisiz

a ve b sagdan yutucu

Sabit Ornekleri

< N,max > icin etkisiz eleman 0

< N,min > icin yutucu eleman 0

< Z+,min > icin yutucu eleman 1

Ornek◦ a b c

a a b b

b a b c

c a b a

b soldan etkisiz

a ve b sagdan yutucu

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

Sabitler

Teorem

∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r

Tanıt.

1l ◦ 1r = 1l = 1r

Teorem

∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r

Tanıt.

0l ◦ 0r = 0l = 0r

x ◦ y = 1 ise:

x elemanı y elemanının sol evrigiy elemanı x elemanının sag evrigi

x ◦ y = y ◦ x = 1 ise x ile y evrik

Teorem

◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y

Tanıt.w = w ◦ 1

= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y

Teorem

Tanıt.w = w ◦ 1

= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y

Teorem

Tanıt.w = w ◦ 1

= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y

Teorem

Tanıt.w = w ◦ 1

= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y

Teorem

Tanıt.w = w ◦ 1

= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y

Teorem

Tanıt.w = w ◦ 1

= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y

Cebir Ailesi

cebir ailesi: cebirsel yapı, aksiyomlar

degisme, birlesmeevrik elemanlar

Cebir Ailesi Ornekleri

aksiyomlar:

x ◦ y = y ◦ x(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)x ◦ 1 = x

bu aksiyomları saglayan yapılar:

< Z,+, 0 >< Z, ·, 1 >< P(S),∪, ∅ >

Cebir Ailesi Ornekleri

aksiyomlar:

x ◦ y = y ◦ x(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)x ◦ 1 = x

bu aksiyomları saglayan yapılar:

< Z,+, 0 >< Z, ·, 1 >< P(S),∪, ∅ >

Altcebir

Tanım

altcebir:A =< S , ◦,∆, k > ∧ A′ =< S ′, ◦′,∆′, k ′ > olsun

A′ cebrinin A cebrinin bir altcebri olması icin:

S ′ ⊆ S∀a, b ∈ S ′ a ◦′ b = a ◦ b ∈ S ′

∀a ∈ S ′ ∆′a = ∆a ∈ S ′

k ′ = k

Altcebir

Tanım

altcebir:A =< S , ◦,∆, k > ∧ A′ =< S ′, ◦′,∆′, k ′ > olsun

A′ cebrinin A cebrinin bir altcebri olması icin:

S ′ ⊆ S∀a, b ∈ S ′ a ◦′ b = a ◦ b ∈ S ′

∀a ∈ S ′ ∆′a = ∆a ∈ S ′

k ′ = k

Altcebir Ornekleri

< Z+,+, 0 > cebri, < Z,+, 0 > cebrinin bir altcebridir.

< N,−, 0 > cebri, < Z,−, 0 > cebrinin bir altcebri degildir.

Altcebir Ornekleri

< Z+,+, 0 > cebri, < Z,+, 0 > cebrinin bir altcebridir.

< N,−, 0 > cebri, < Z,−, 0 > cebrinin bir altcebri degildir.

Konular

Yarıgruplar

Tanım

yarıgrup: < S , ◦ >

∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Yarıgrup Ornekleri

< Σ+,& >

Σ: alfabe, Σ+: en az 1 uzunluklu katarlar

&: katar bitistirme islemi

Monoidler

Tanım

monoid: < S , ◦, 1 >

∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a

Monoid Ornekleri

< Σ∗,&, ε >

Σ: alfabe, Σ∗: herhangi uzunluklu katarlar

&: katar bitistirme islemi

ε: bos katar

Tanım

grup: < S , ◦, 1 >

∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a

∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = 1

Abel grubu: ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a

Tanım

grup: < S , ◦, 1 >

∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a

∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = 1

Abel grubu: ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a

Grup Ornekleri

< Z,+, 0 > bir gruptur.

< Q, ·, 1 > bir grup degildir.

< Q− {0}, ·, 1 > bir gruptur.

Grup Ornekleri

< Z,+, 0 > bir gruptur.

< Q, ·, 1 > bir grup degildir.

< Q− {0}, ·, 1 > bir gruptur.

Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi

permutasyon: kume ici bijektif bir fonksiyon

gosterilim: (a1 a2 . . . an

p(a1) p(a2) . . . p(an)

Permutasyon Ornekleri

A = {1, 2, 3}

(1 2 31 2 3

(1 2 31 3 2

(1 2 32 1 3

(1 2 32 3 1

(1 2 33 1 2

(1 2 33 2 1

permutasyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir

birim permutasyon: 1A(a1 a2 . . . an

a1 a2 . . . an

bir kume uzerindeki permutasyonların kumesi,permutasyon bileskesi islemive birim permutasyon bir grup olusturur

permutasyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir

birim permutasyon: 1A(a1 a2 . . . an

a1 a2 . . . an

bir kume uzerindeki permutasyonların kumesi,permutasyon bileskesi islemive birim permutasyon bir grup olusturur

Ornek ({1, 2, 3, 4} kumesindeki permutasyonlar)

A 1A p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 4 43 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 34 4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1

p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23

1 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 42 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 3 33 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 24 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1

p8 � p12 = p12 � p8 = 1A:p12 = p−1

8 , p8 = p−112

p14 � p14 = 1A:p14 = p−1

G1 =< {1A, p1, . . . , p23}, �, 1A > bir gruptur

p8 � p12 = p12 � p8 = 1A:p12 = p−1

8 , p8 = p−112

p14 � p14 = 1A:p14 = p−1

G1 =< {1A, p1, . . . , p23}, �, 1A > bir gruptur

� 1A p2 p6 p8 p12 p14

1A 1A p2 p6 p8 p12 p14

p2 p2 1A p8 p6 p14 p12

p6 p6 p12 1A p14 p2 p8

p8 p8 p14 p2 p12 1A p6

p12 p12 p6 p14 1A p8 p2

p14 p14 p8 p12 p2 p6 1A

< {1A, p2, p6, p8, p12, p14}, �, 1A > G1’in bir altgrubudur

Sagdan ve Soldan Kaldırma

Teorem

a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b

Tanıt.a ◦ c = b ◦ c

⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1

⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b

Teorem

a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b

⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1

⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b

Teorem

a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b

⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1

⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b

Teorem

a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b

⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1

⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b

Teorem

a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b

⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1

⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b

Teorem

a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b

⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1

⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b

Grupların Temel Teoremi

Teorem

a ◦ x = b denkleminin tek cozumu: x = a−1 ◦ b.

Tanıt.a ◦ c = b

⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b

Teorem

Tanıt.a ◦ c = b

⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b

Teorem

Tanıt.a ◦ c = b

⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b

Teorem

Tanıt.a ◦ c = b

⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b

Teorem

Tanıt.a ◦ c = b

⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b

Konular

Tanım

halka: < S ,+, ·, 0 >

∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c)

∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a

∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0

∀a, b ∈ S a + b = b + a

∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c)

∀a, b, c ∈ S

a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a

Tanım

halka: < S ,+, ·, 0 >

∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c)

∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a

∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0

∀a, b ∈ S a + b = b + a

∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c)

∀a, b, c ∈ S

a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a

Tanım

halka: < S ,+, ·, 0 >

∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c)

∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a

∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0

∀a, b ∈ S a + b = b + a

∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c)

∀a, b, c ∈ S

a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a

Tanım

alan: < S ,+, ·, 0, 1 >

butun halka ozellikleri

∀a, b ∈ S a · b = b · a∀a ∈ S a · 1 = 1 · a = a

∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a · a−1 = a−1 · a = 1

Tanım

alan: < S ,+, ·, 0, 1 >

butun halka ozellikleri

∀a, b ∈ S a · b = b · a∀a ∈ S a · 1 = 1 · a = a

∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a · a−1 = a−1 · a = 1

Kaynaklar

Grimaldi

Chapter 5: Relations and Functions

5.4. Special Functions

Chapter 16: Groups, Coding Theory,and Polya’s Method of Enumeration

16.1. Definitions, Examples, and Elementary Properties

Chapter 14: Rings and Modular Arithmetic

14.1. The Ring Structure: Definition and Examples

Konular

Kısmi Sıralı Kume

Tanım

kısmi sıra bagıntısı:

yansımalı

ters bakıslı

gecisli

kısmi sıralı kume (poset):elemanları uzerinde kısmi sıra bagıntısı tanımlanmıs kume

Kısmi Sıralı Kume

Tanım

kısmi sıra bagıntısı:

yansımalı

ters bakıslı

gecisli

kısmi sıralı kume (poset):elemanları uzerinde kısmi sıra bagıntısı tanımlanmıs kume

Kısmi Sıra Ornekleri

Ornek (kumeler kumesi, ⊆)

A ⊆ A

A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B

A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C

Ornek (Z, ≤)

x ≤ x

x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y

x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

Ornek (Z+, |)

x |xx |y ∧ y |x ⇒ x = y

x |y ∧ y |z ⇒ x |z

Karsılastırılabilirlik

a � b: a b’nin onundedir

a � b ∨ b � a: a ile b karsılastırılabilir

cizgisel sıra:her eleman cifti karsılastırılabiliyor

Karsılastırılabilirlik

a � b: a b’nin onundedir

a � b ∨ b � a: a ile b karsılastırılabilir

cizgisel sıra:her eleman cifti karsılastırılabiliyor

Karsılastırılabilirlik Ornekleri

Z+, |: 3 ile 5 karsılastırılamaz

Z,≤: cizgisel sıra

Karsılastırılabilirlik Ornekleri

Z+, |: 3 ile 5 karsılastırılamaz

Z,≤: cizgisel sıra

Hasse Cizenekleri

a � b: a b’nin hemen onundedir¬∃x a � x � b

Hasse cizenegi:

a � b ise a ile b arasına cizgionde olan eleman asagıya

Hasse Cizenekleri

a � b: a b’nin hemen onundedir¬∃x a � x � b

Hasse cizenegi:

a � b ise a ile b arasına cizgionde olan eleman asagıya

Hasse Cizenegi Ornekleri

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}| bagıntısı

Tutarlı Sayılama

tutarlı sayılama:f : S → Na � b ⇒ f (a) ≤ f (b)

birden fazla tutarlı sayılama olabilir

Tutarlı Sayılama Ornekleri

{a 7−→ 5, b 7−→ 3, c 7−→ 4, d 7−→ 1, e 7−→ 2}{a 7−→ 5, b 7−→ 4, c 7−→ 3, d 7−→ 2, e 7−→ 1}

Tutarlı Sayılama Ornekleri

{a 7−→ 5, b 7−→ 3, c 7−→ 4, d 7−→ 1, e 7−→ 2}{a 7−→ 5, b 7−→ 4, c 7−→ 3, d 7−→ 2, e 7−→ 1}

En Buyuk - En Kucuk Eleman

Tanım

en buyuk eleman: max∀x ∈ S max � x ⇒ x = max

Tanım

en kucuk eleman: min∀x ∈ S x � min ⇒ x = min

En Buyuk - En Kucuk Eleman

Tanım

en buyuk eleman: max∀x ∈ S max � x ⇒ x = max

Tanım

en kucuk eleman: min∀x ∈ S x � min ⇒ x = min

En Buyuk - En Kucuk Eleman Ornekleri

max : 18, 24min : 1

Sınırlar

Tanım

A ⊆ S

A’nın ustsınırı M:∀x ∈ A x � M

M(A): A’nın ustsınırları kumesi

A’nın en kucuk ustsınırı sup(A):∀M ∈ M(A) sup(A) � M

Tanım

A ⊆ S

A’nın altsınırı m:∀x ∈ A m � x

m(A): A’nın altsınırları kumesi

A’nın en buyuk altsınırı inf (A):∀m ∈ m(A) m � inf (A)

Sınırlar

Tanım

A ⊆ S

A’nın ustsınırı M:∀x ∈ A x � M

M(A): A’nın ustsınırları kumesi

A’nın en kucuk ustsınırı sup(A):∀M ∈ M(A) sup(A) � M

Tanım

A ⊆ S

A’nın altsınırı m:∀x ∈ A m � x

m(A): A’nın altsınırları kumesi

A’nın en buyuk altsınırı inf (A):∀m ∈ m(A) m � inf (A)

Sınır Ornegi

Ornek (36’nın bolenleri)

inf = en buyuk ortak bolensup = en kucuk ortak kat

Konular

Tanım

kafes: < L,∧,∨ >∧: karsılasma, ∨: butunlesme

a ∧ b = b ∧ aa ∨ b = b ∨ a

(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

a ∧ (a ∨ b) = aa ∨ (a ∧ b) = a

Tanım

kafes: < L,∧,∨ >∧: karsılasma, ∨: butunlesme

a ∧ b = b ∧ aa ∨ b = b ∨ a

(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

a ∧ (a ∨ b) = aa ∨ (a ∧ b) = a

Kısmi Sıralı Kume - Kafes Iliskisi

P bir kısmi sıralı kume ise < P, inf , sup > bir kafestir.

a ∧ b = inf (a, b)a ∨ b = sup(a, b)

Her kafes bu tanımların gecerli oldugu bir kısmi sıralı kumedir.

Kısmi Sıralı Kume - Kafes Iliskisi

P bir kısmi sıralı kume ise < P, inf , sup > bir kafestir.

a ∧ b = inf (a, b)a ∨ b = sup(a, b)

Her kafes bu tanımların gecerli oldugu bir kısmi sıralı kumedir.

Dualite

Tanım

dual:∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧

Teorem (Dualite Teoremi)

Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir.

Dualite

Tanım

dual:∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧

Teorem (Dualite Teoremi)

Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir.

Kafes Teoremleri

Teorem

a ∧ a = a

Tanıt.

a ∧ a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b))

Kafes Teoremleri

Teorem

a ∧ a = a

Tanıt.

a ∧ a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b))

Kafes Teoremleri

Teorem

a � b ⇔ a ∧ b = a ⇔ a ∨ b = b

Kafes Ornekleri

< P{a, b, c},∩,∪ >

⊆ bagıntısı

Sınırlı Kafesler

Tanım

L kafesinin altsınırı: 0∀x ∈ L 0 � x

Tanım

L kafesinin ustsınırı: I∀x ∈ L x � I

Teorem

Sonlu her kafes sınırlıdır.

Sınırlı Kafesler

Tanım

Teorem

Sınırlı Kafesler

Tanım

Teorem

Kafeslerde Dagılma

dagılma ozellikli kafes:

∀a, b, c ∈ L a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)∀a, b, c ∈ L a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Karsı Ornekler

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I

Kafeslerde Dagılma

Teorem

Bir kafes yalnız ve ancak bu iki yapıdan birine izomorfik bir altkafesiceriyorsa dagılma ozelligi gostermez.

Butunlesmeyle Indirgeme

Tanım

butunlesmeyle indirgenemez eleman:a = x ∨ y ⇒ a = x veya a = y

atom: altsınırın hemen ardından gelen,butunlesmeyle indirgenemez eleman

Tanım

butunlesmeyle indirgenemez eleman:a = x ∨ y ⇒ a = x veya a = y

atom: altsınırın hemen ardından gelen,butunlesmeyle indirgenemez eleman

Butunlesmeyle Indirgeme Ornegi

Ornek (bolunebilirlik bagıntısı)

asal sayılar ve 1 butunlesmeyle indirgenemez

1 altsınır, asal sayılar atom

Butunlesmeyle Indirgeme Ornegi

Ornek (bolunebilirlik bagıntısı)

asal sayılar ve 1 butunlesmeyle indirgenemez

1 altsınır, asal sayılar atom

Teorem

Butunlesmeyle indirgenebilir butun elemanlar, butunlesmeyleindirgenemez elemanların butunlesmesi seklinde yazılabilir.

Tumleyen

Tanım

a ile x tumleyen:a ∧ x = 0 ve a ∨ x = I

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Tumlemeli Kafesler

Teorem

Tanıt.

a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I

x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)

= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)

= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y

Konular

Boole Cebri

Tanım

Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >

a + b = b + a a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a a · 1 = aa + a = 1 a · a = 0

Boole Cebri

Tanım

Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >

Boole Cebri

Tanım

Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >

Boole Cebri

Tanım

Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >

Boole Cebri

Tanım

Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >

Boole Cebri - Kafes Iliskisi

Tanım

Bir Boole cebri sonlu, dagılma ozellikli,her elemanın tumleyeninin oldugu bir kafestir.

Dualite

Tanım

dual:+ yerine ·, · yerine +0 yerine 1, 1 yerine 0

(1 + a) · (b + 0) = bteoreminin duali:(0 · a) + (b · 1) = b

Dualite

Tanım

dual:+ yerine ·, · yerine +0 yerine 1, 1 yerine 0

(1 + a) · (b + 0) = bteoreminin duali:(0 · a) + (b · 1) = b

Boole Cebri Ornekleri

B = {0, 1},+ = ∨, · = ∧

B = { 70’in bolenleri }, + = okek, · = obeb

Boole Cebri Ornekleri

B = {0, 1},+ = ∨, · = ∧

B = { 70’in bolenleri }, + = okek, · = obeb

Boole Cebri Teoremleri

a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)

a = aa + b = a · b a · b = a + b

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 7: Relations: The Second Time Around

7.3. Partial Orders: Hasse Diagrams

Chapter 15: Boolean Algebra and Switching Functions

15.4. The Structure of a Boolean Algebra

ayrık matematik - cebirsel yapılar

Education

zzza b

b abirleme

c ornek

r tant

lisans c

s s ttekli ilem

s tkapal

x g sadan yutucu