ayao elewovem azianou modélisation numérique de la durée de

UNIVERSITÉ DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNEÉcole Doctorale STS, Sciences, Technologies, Santé (547)

THÈSEpour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ REIMS CHAMPAGNE-ARDENNEDiscipline :

Mécanique des solides, Génie mécanique, Productique, Transport et génie civilSpécialité : Mécanique

Présentée et soutenue par :

Ayao Elewovem AZIANOU

Le 09 Juillet 2015

Titre :

Modélisation numérique de la durée de vie deroulements à billes à gorges profondes montés dans des

alternateurs automobiles

Jury :

Président : Pr. Halim HADDADI - ENSAMRapporteurs : Pr. Sébastien THIBAUD - Ecole Nationale Supérieure de Mécanique

et des MicrotechniquesPr. Pierre DEHOMBREUX - Université de Mons, Belgique

Directeurs : Pr. Karl DEBRAY - Université de Reims Champagne-ArdenneDr. HDR Fabrice BOLAERS - Université de Reims Champagne-Ardenne

Invités : M. Philippe CHIOZZI - Valeo Electric SystemsM. Frédéric PALLESCHI - Valeo Electric Systems

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“If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants”Isaac Newton (1675)

Résumé

Les roulements à billes à gorge profonde jouent un rôle important dans le bon fonctionne-ment des alternateurs automobiles. Ils servent, non seulement à guider en rotation le rotor parrapport au stator, mais aussi à supporter les efforts issus de la transmission poulie/courroie.Les conditions de fonctionnement rencontrées dans la problématique de nouvelles générationsd’alternateurs automobiles avec des chargements variables et un environnement mécaniquecomplexe déformable ont un effet non négligeable sur le comportement mécanique du roule-ment et par conséquent sur sa durée de vie.

En vue d’étudier la répartition des efforts au sein du roulement, et en se basant sur lagéométrie des roulements utilisés, deux approches sont proposées dans ce travail. Dans lapremière approche dite "semi-analytique", les billes sont remplacées par des éléments finis àdeux nœuds et les efforts de contact sont obtenus à l’issu des déplacements locaux et la relationde Hertz. La deuxième approche, basée sur la méthode des éléments finis, résout à l’aide dela méthode des éléments finis les problèmes de contact billes/bagues en vue de déterminer larépartition des efforts au sein du roulement. La prise en compte de l’environnement mécaniquecomplexe déformable a permis de mettre en évidence son influence sur le comportement duroulement.

Les résultats obtenus à partir de ces considérations statiques sont utilisés pour développerun modèle dynamique simplifié permettant de déterminer l’évolution de l’état de contrainteau cours du temps dû au passage de billes sur la piste de roulement. Il en ressort un étatde contrainte multiaxial et non-proportionnel nécessitant l’utilisation d’un critère de fatigueadapté. L’approche multi-échelle de Dang Van couplée à une loi de cumul d’endommagementa permis de déterminer le nombre de cycles que peut faire le roulement avant qu’apparaissentles premiers signes de fatigue.

La dernière phase du travail concerne l’aspect expérimental des roulements. Un bancd’essai a été conçu à cet effet permettant d’accueillir l’alternateur automobile dans lequelsont montés les roulements et de simuler les conditions de chargement proches des conditionsréelles. Il en ressort que le phénomène de fatigue n’est pas la seule cause de dégradationdes roulements montés dans les alternateurs automobiles. En effet, les défauts d’alignements,d’ajustements ou les surcharges accélèrent la dégradation des roulements.

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Abstract

Deep groove ball bearings have an important role in the proper functioning of automotivealternators. They serve not only to guide the rotor in rotation relative to the stator, butalso to withstand the forces from the transmission pulley / belt. The operating conditionsencountered in the issue of new generations of automotive alternators with variable loads anda deformable complex mechanical environment have a significant effect on the mechanicalbehavior of the bearing and hence its fatigue lifetime.

In order to study the distribution of forces in the bearing, and based on the geometry ofthe used bearings, it is proposed in this work two approaches. In the first approach called"semi-analytical", the balls are replaced by two nodes finite elements and the contact forcesare obtained from local displacement in bearing and Hertz relationship. The second approachsolves contact problems between ball and bearing ring by using the finite element methodto determine the load distribution in the bearing. Consideration of the deformable complexmechanical environment of bearing highlights its influence on the rolling behavior.

The results obtained from static considerations are used to develop a simplified dynamicmodel in order to determine the evolution of the state of stress over time due to ball rollingon the raceway. It follows a multiaxial and non-proportional state of stress that requires theuse of an appropriate fatigue criterion. The Dang Van multiscale approach coupled with adamage law was applied to determine the number of cycles that can make the bearing beforethe first signs of fatigue appear.

The last phase of work involves the experimental aspect of bearings. A test bench wasdesigned for this purpose to accommodate the automotive alternator in which are mountedbearings and simulate loading close-actual conditions. It shows that the fatigue phenomenonis not the only cause of degradation of bearings mounted in automotive alternators. Indeed,misalignments, adjustments or overload accelerate the degradation of rolling bearings.

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Remerciements

Les travaux présentés dans ce manuscrit ont été réalisés au sein du Groupe de Rechercheen Sciences de l’Ingénieur (GRESPI) de l’Université de Reims Champagne Ardenne et auservice Equipements Electriques de la société Valeo (Créteil). Ces travaux ont été menés sousla direction de Messieurs Karl DEBRAY et Fabrice BOLAERS du laboratoire GRESPI, etde Messieurs Philippe CHIOZZI et Frédéric PALLESCHI de la société Valeo. Je tiens à lesremercier de m’avoir accueilli dans leur Laboratoire et Service, de m’avoir guidé et conseillétout au long de ce travail, et, avant tout de m’avoir fait confiance pour mener à bien cestravaux de recherche.

Je tiens à adresser mes sincères remerciements Messieurs les professeurs Sébastien THI-BAUD, de l’Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et des Microtechniques, et Pierre DE-HOMBREUX, de l’Université de Mons (Belgique) qui me font l’honneur d’accepter de jugerce travail et d’en être les rapporteurs. Je remercie également le Professeur Halim HADDADIde l’ENSAM de Chalons-en-Champagne d’avoir accepté de présider le jury de soutenance dethèse.

J’adresse mes remerciements à M. Jean-Claude MIPO, et M. Fabrice LEPOINT et à toutle personnel de Valeo pour l’accueil chaleureux qui m’a été réservé lors de mes passages surle site.

Mes remerciements vont également à MM. Philippe LESTRIEZ, Fabien BOGARD, Sé-bastien MURER, Samuel CREQUY, Jean Paul DRON et tous les membres de la thématiqueMécanique appliquée et numérique pour leurs conseils tout au long de la thèse. J’adressemes remerciements à tous les doctorants du laboratoire GRESPI, pour l’ambiance de travailagréable qui a régné au cours de ma thèse.

À toute ma famille, je n’ai pas assez de mots pour vous remercier de vos encouragementset soutiens. Une pensée particulière à ma mère, je crois que tu es fière de moi. J’ai égalementune pensée chaleureuse à l’adresse de l’ensemble de mes enseignants, pour m’avoir, tout aulong de ma scolarité, donné l’envie d’apprendre et d’acquérir de nouvelles connaissances. Messincères remerciements à toutes les personnes qui ont contribué au bon déroulement de cettethèse.

9

Table des matières

Résumé 5

Abstract 7

Remerciements 9

Liste des symboles et abréviations 21

Introduction générale 25

1 Synthèse bibliographique 291.1 Principe de fonctionnement des alternateurs automobiles . . . . . . . . . . . 291.2 Les roulements et leur importance dans des mécanismes . . . . . . . . . . . . 311.3 Les causes de dégradation des roulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.1 L’effet des contraintes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.2 Les défauts de montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.3 Les contaminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.4 La corrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.5 Le passage du courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.6 Le défaut de lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.7 La température de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 La durée de vie des roulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.1 La norme ISO 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.2 Classification des approches de calcul de durée de vie des roulements 37

1.5 Notions de fatigue des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.1 Rappels sur la fatigue des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5.2 La courbe de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.3 Les critères de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.5.4 L’endommagement par fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6 Fatigue de contact de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6.1 L’initiation d’écaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

11

12 Table des matières

1.6.2 Approches de la littérature sur la modélisation de fatigue de roulement 471.6.3 Les aciers à roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.7 Etude du comportement mécanique des roulements . . . . . . . . . . . . . . 501.7.1 Contact au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.7.2 Répartition des efforts au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . . 50

1.8 Bilan, objectif et démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.8.1 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.8.2 Méthodologie proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Modélisation du roulement à billes 572.1 Mesure de la géométrie d’un roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.1.1 Méthodes de mesure des rayons de courbure des bagues . . . . . . . . 592.1.2 Méthode de mesure des billes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2 Caractérisation des matériaux de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.1 Métallurgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.2 Essais de micro-dureté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 Modélisation du roulement : approche semi-analytique . . . . . . . . . . . . 622.3.1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.2 Comportement des billes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4 Modélisation par éléments finis des roulements à billes . . . . . . . . . . . . 702.4.1 Modélisation tridimensionnelle du contact dans le roulement . . . . . 702.4.2 Etude préalable du contact entre une bille et une bague . . . . . . . . 702.4.3 Répartition des efforts au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5 Etude comparative des deux approches proposées . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.1 Répartition des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.2 Evolution de l’effort en fonction de la position des billes . . . . . . . . 80

2.6 Application au cas industriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.1 Composition mécanique de l’alternateur automobile . . . . . . . . . . 812.6.2 Etude mécanique préalable de l’alternateur automobile . . . . . . . . 812.6.3 Influence de l’environnement mécanique sur le comportement des rou-

lements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6.4 Etude de la souplesse du logement sur l’effort maximal au sein du

roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6.5 Evolution des efforts au sein du roulement en tenant compte de la

souplesse du logement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Table des matières 13

3 Modélisation de la fatigue de roulement 913.1 Fonctionnement du roulement à billes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.1.1 Cinématique du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.1.2 Evolution des efforts au sein du roulement à billes . . . . . . . . . . . 94

3.2 Modèle de fatigue de roulement proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.1 Hypothèses simplificatrices du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.2 Etat de contrainte au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.3 Modèle numérique de fatigue de roulement dans le cas d’un chargement

radial constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2.4 Modèle numérique de fatigue de roulement dans le cas d’un chargement

radial variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3 Evolution de l’état de contrainte au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . 102

3.3.1 Etat de contrainte dans le cas d’un chargement radial constant duroulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3.2 Etat de contrainte dans le cas d’un chargement variable . . . . . . . . 1033.3.3 Choix de la zone critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.4 Influence de la rigidité des billes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.4 Analyse en fatigue du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.4.1 Choix du critère à utiliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4.2 Formulation du critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4.3 Définition de l’amplitude de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.4.4 Implémentation du critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5 Détermination du nombre de cycles dans le cas des efforts constants . . . . . 1123.5.1 Loi de cumul de l’endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5.2 Courbe de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5.3 Resultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.6 Détermination du nombre de cycles dans le cas des efforts variables . . . . . 1173.6.1 Loi de cumul d’endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.6.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.7 Influence de la forme du logement sur la durée de vie des roulements . . . . . 1193.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4 Approche expérimentale 1234.1 Banc d’essai de fatigue de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.1.1 Définition du cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.1.2 Conception du banc d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.1.3 Réalisation du banc d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.2 Surveillance de l’essai par l’analyse vibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.1 Méthodes d’analyse vibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14 Table des matières

4.2.2 Capteurs de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2.3 Détection de défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.3 Dispositif expérimental des essais de fatigue sur les roulements . . . . . . . . 1354.3.1 Acquisition des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.3.2 Conditions de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4 Résultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4.1 Evolution de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4.2 Comparaison des durées de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Conclusion et perspectives 143

Bibliographie 151

Annexe 1 : Notions de base des contacts de Hertz 153

Annexe 2 : Détermination des constantes de rigidité entre les billes et lesbagues 157A3.1 Roulement chargé radialement et axialement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159A3.2 Roulement chargé radialement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Annexe 3 : Approches analytiques sur la répartition des efforts au sein duroulement 159

Annexe 4 : Relations de la normes ISO 281 163

Table des figures

1.1 L’alternateur dans son environnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2 Composition d’un alternateur automobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3 Composition du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4 Répartition des contraintes au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5 Ecaillage des bagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Ecaillage superficiel du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7 Comparaison entre les théories de Harris et de Lundberg-Palmgren . . . . . 361.8 Tenseur de chargement uniaxial et multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9 Chargement multiaxial proportionnel et non-proportionnel . . . . . . . . . . 391.10 Paramètres de sollicitation en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11 Différents types de sollicitation en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.12 Courbe de Wöhler d’un acier classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.13 Les différentes zones d’une courbe de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.14 Courbe de fatigue d’une nuance d’acier de roulement . . . . . . . . . . . . . 421.15 Etat de contrainte en sous-couche près de la zone de contact . . . . . . . . . 461.16 Phénomène d’écaillage initié en sous-couche au sein du roulement . . . . . . 461.17 Réponse du matériau dans la zone de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.18 Représentation schématique d’un problème stationnaire . . . . . . . . . . . . 491.19 Surfaces de contact sur une piste de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.20 Discrétisation du roulement en corps roulants . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.21 Démarche adoptée dans cette thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1 Les bagues découpées du roulement à billes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Recherche du point le plus bas de la piste de roulement . . . . . . . . . . . . 592.3 Recherche du plan médian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4 Mesure des rayons de courbure des bagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5 Comparateur au 1/1000ème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6 Caractéristiques géométriques du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7 Métallurgie des aciers de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.8 Essais de microdureté sur les bagues du roulement . . . . . . . . . . . . . . . 63

15

16 Table des figures

2.9 Billes remplacées par des éléments à deux nœuds . . . . . . . . . . . . . . . 632.10 Algorithme de résolution de l’équilibre des billes . . . . . . . . . . . . . . . . 642.11 Repères du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.12 Equilibre d’une bille du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.13 Modèle 3D du roulement permettant d’intégrer l’approche semi-analytique . 682.14 Maillage des éléments du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.15 Les raideurs suivant l’axe x des éléments billes du roulement . . . . . . . . . 692.16 Evolution de Qmax en fonction de Fr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.17 Contact entre les éléments au sein du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . 712.18 Chargement et conditions aux limites des contacts . . . . . . . . . . . . . . . 722.19 Maillage des bagues et de la bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.20 Surface de contact elliptique sur les pistes de roulement . . . . . . . . . . . . 732.21 Répartition elliptique de la pression de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.22 Répartition elliptique de la pression de contact sur la bague extérieure . . . . 742.23 Répartition elliptique de la pression de contact sur la bague intérieure . . . . 742.24 Evolution de contrainte en profondeur des bagues . . . . . . . . . . . . . . . 752.25 Chargement d’une surface de contact élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 762.26 Chargement et conditions aux limites du roulement à bille . . . . . . . . . . 762.27 Maillage des éléments du roulement à bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.28 Pressions sur la piste de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.29 Répartition des efforts au sein pour Fr = 5000N . . . . . . . . . . . . . . . . 792.30 Evolution des efforts sur une bille en fonction de sa position . . . . . . . . . 802.31 Alternateur automobile simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.32 Sollicitation de l’arbre de l’alternateur automobile . . . . . . . . . . . . . . . 822.33 Etude globale et simplifiée de l’alternateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.34 Maillage des composants de l’alternateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.35 Maillage du modèle simplifié de l’alternateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.36 Comparaison de la répartition des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.37 Roulement avant dans son logement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.38 Liaison du roulement avec son logement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.39 Influence du logement sur la répartition des efforts : approche semi-analytique 862.40 Influence du logement sur la répartition des efforts : approche EF . . . . . . 862.41 Roulement dans son logement et supportant un effort radial suivant plusieurs

directions Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.42 L’effort maximal au sein du roulement en fonction de la force . . . . . . . . . 882.43 Sollicitation du roulement dans son logement suivant plusieurs configurations 892.44 L’évolution de l’effort sur les billes en fonction de leur position . . . . . . . . 89

3.1 Différentes étapes de l’analyse en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Table des figures 17

3.2 Cinématique du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3 Trajectoires des points d’une bille du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4 Contraintes au sein de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.5 Evolution des charges sur une bille au sein du roulement . . . . . . . . . . . 953.6 Evolution des charges sur toutes les billes du roulement . . . . . . . . . . . . 963.7 Evolution des charges en un point des bagues . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.8 Contact roulant entre la bille et les bagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.9 Portions des bagues d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.10 Modèle de contact bague extérieur/bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.11 Conditions aux limites et de chargement du modèle dynamique d’un roulement 1003.12 Maillage de la piste de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.13 Exemple d’un chargement radial constant et variable du roulement . . . . . . 1013.14 Efforts sur les billes pour un chargement radial variable du roulement . . . . 1023.15 Modèle dynamique dans le cas d’un chargement radial variable du roulement 1023.16 Etat de contrainte multiaxial évoluant au cours du temps . . . . . . . . . . . 1033.17 Evolution de l’état de contrainte en profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.18 Etat de contrainte sous un chargement variable . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.19 Etude de l’influence de la rigidité de la bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.20 Evolution de la contrainte en profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.21 Comparaison de l’état de contrainte issu de deux types de bille . . . . . . . . 1063.22 Etat de contrainte temporel corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.23 Plan matériel passant par un point du modèle et le rayon de l’hypersphère . 1093.24 Passage macro-meso de l’état de contrainte au sein du roulement . . . . . . 1113.25 Etapes de la recherche de la contrainte équivalente de Dang Van . . . . . . . 1123.26 Implémentation d’un état de contrainte biaxial sinusoïdal . . . . . . . . . . . 1133.27 Diagramme de Dang Van d’un chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.28 Diagramme de Dang Van d’un chargement avec le nombre de cycles . . . . . 1143.29 Courbe de fatigue en torsion alternée de l’acier JIS SUJ2/AISI 52100 . . . . 1153.30 Comparaison des durées de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.31 Nombre de cycles pour chaque passage de billes . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.32 Trajet de charge créé par le passage de toutes les billes du roulement . . . . 1183.33 Contrainte équivalente par passage des billes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.34 Evolution des efforts sur les billes au cours du temps . . . . . . . . . . . . . 1203.35 Comparaison des durées en tenant compte du logement du roulement . . . . 120

4.1 Différents types d’essais de fatigue de roulement . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2 Schéma cinématique du banc d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3 Le module Moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4 Représentation schématique du module Glissière . . . . . . . . . . . . . . . . 126

18 Table des figures

4.5 Schéma de la transmission des efforts du câble vers l’arbre . . . . . . . . . . 1274.6 Vue en coupe de l’alternateur avec la nouvelle conception de l’arbre . . . . . 1274.7 Modélisation du module Glissière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.8 Module d’application d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.9 Instrumentation du roulement avant de l’alternateur . . . . . . . . . . . . . . 1294.10 Instrumentation du palier avant de l’alternateur . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.11 Instrumentation de l’entretoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.12 Banc d’essai complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.13 Composants du banc d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.14 Accéléromètre piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.15 Comparaison des signaux tenu avant et après l’apparition de l’écaillage . . . 1344.16 Dispositif d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.17 Signal temporel obtenu sur un roulement sain . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.18 Analyse fréquentielle du signal obtenu sur un roulement sain . . . . . . . . . 1364.19 Apparition d’une fréquence caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.20 Evolution du RMS et Kurtosis à l’apparition d’un défaut . . . . . . . . . . . 1384.21 Evolution de la température sur les roulements et sur le galet de chargement 1394.22 Comparaison des durées de vie expérimentales et théoriques . . . . . . . . . 1404.23 Modes de dégradation des roulements lors des campagnes d’essais . . . . . . 140

A1.1 Déformations causées par le contact entre deux solides élastiques . . . . . . . 154A1.2 Contact entre deux solides quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154A3.1 Roulement à bille supportant une combinaison d’effort axial et radial . . . . 159

Liste des tableaux

1.1 Facteurs de correction de durée de fiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2 Formulations de la courbe de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3 Propriétés mécaniques de l’acier 100Cr6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1 Valeurs mesurées des caractéristiques de la géométrie du roulement . . . . . 612.2 Dureté Vickers des billes et bagues des roulements à billes de deux fournisseurs 622.3 Répartition des efforts : comparaison des approches . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1 Comparaison des durées de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

19

20 Liste des tableaux

Liste des symboles et abréviations

S Probabilité de surviel Longueur de la piste de roulementτ0 Contrainte de cisaillement maximale

A, B, C Paramètres matériauxσ Contraintez0 Profondeur de Hertz

c, e, h Exposants caractéristiques du matériauL10 Durée de vie du roulement correspondant à une probabilité de survie d 10%C Capacité dynamique du roulementP Charge équivalente appliquée sur le roulementp Exposant de durée de vieσu Limite de fatigue du matériauPu Charge correspondant à la limite de fatigue du matériaua1 Facteur de correction de la durée de vie lié à la probilité de survie du matériauaISO Facteur de correction de la durée de vie lié aux conditions de fonctionnementsσa Amplitude de contrainte cycliqueσm Contrainte moyenneσmax Contrainte maximaleσmin Contrainte minimaleR Rapport de sollicitationNr Nombre de cycle à la rupturePu Charge correspondant à la limite de fatigue du matériaua1 Facteur de correction de la durée de vie lié à la probilité de survie du matériauaISO Facteur de correction de la durée de vie lié aux conditions de fonctionnementsσa Amplitude de contrainte cycliqueσij Tenseur de contrainteσm Contrainte moyenne

21

22 Liste des symboles et abréviations

σmax Contrainte maxiamleσmin Contrainte minimaleR Rapport de sollicitationNr Nombre de cycle à la ruptureD EndommagementdD Accroissement du dommage

β,M0, b Constantes intrinsèques au matériauPmax Pression maximaleNi Nombre de cycles avant l’initiation de fissureNp Nombre de cycles correspondant à la propagation de fissureNf Nombre de cycles finalV Vitesse longitidunalσy Limite d’élasticitéσEL Limite d’adaptation élastiqueσPL Limite d’accomodation plastiqueZ Nombre de billesFr Force radialeQmax Force radialeSt Coefficient de Stribeckdw Diamètre des billes du roulementdi Diamètre de courbure de la piste de la bague intérieurede Diamètre de courbure de la piste de la bague extérieureDi Diamètre intérieur la bague intérieureDe Diamètre intérieur la bague extérieureD Diamètre extérieur du roulementd Diamètre de l’arbreB Largeur du roulementE Module d’Youngν Coefficient de PoissonNe Nœuds de la bague extérieureNi Nœuds de la bague intérieureβ Angle de contactδ Déflection occasionnée par un contactQ Force de contactK Constante de rigidité de contact

Liste des symboles et abréviations 23

n Exposant de contactθ Déplacement angulaire des nœudsγ Angle de basculement de la bague extérieure dans le plan radialR Résidu de résolutionFint Forces internesFext Forces externesu DéplacementKT Matrice de raideur tangenteQij Force de contact avec la bague intérieureQoj Force de contact avec la bague intérieureCFj Force centrifugeKij Constante de rigidité de contact entre la bille et la bague intérieureKoj Constante de rigidité de contact entre la bille et la bague extérieureθ Inclinaion de l’effort radial par rapport à l’axe xω Vitesse angulaire

UAεBE, UBεBI Nombre de passage de bille correspondant à une rotation de l’axeτ(n, t) Valeur maximale du vecteur contrainte de cisaillementσh(t) Contrainte hydrostatique

αDV , βDV Paramètres matériau relatif au critère de Dang Vanτ−1, f−1 Limites d’endurance en torsion et en flexionΣ(M, t) Contrainte à l’échelle macroscopiqueE(M, t) Déformation à l’échelle macroscopiqueAijkl(M, t) Tenseur de localisation

ρ Tenseur résiduel stabiliséΣDV Contrainte équivalente suivant le critère de Dang Van

∆ Plan matériel défini dans le matériau(φ, θ) Couple d’angle définissant le plan ∆dt Endommagement total

Lnum Durée de vie obtenue numériquementfbe Fréquence caractéristique du défaut sur la bague extérieurefbi Fréquence caractéristique du défaut sur la bague intérieurefb Fréquence caractéristique du défaut sur la billefc Fréquence caractéristique du défaut sur la cage

24 Liste des symboles et abréviations

S −N Stress -Number of cyclesLCF Low cycle fatigueHCF High cycle fatigueV HCF Very high cycle fatiguePPSM Pass-by-pass stationary methodDSM Pass-by-pass stationary methodBI Bague intérieureBE Bague extérieureMCC Minimum Circumference-scribed circleRMS Root Mean Square

Introduction générale

Nous assistons depuis plusieurs décennies à une révolution dans le secteur automobileavec l’apparition de nouveaux véhicules dotés de technologies innovantes. Pour rester compé-titifs sur le marché, les constructeurs et équipementiers automobiles proposent des solutionstechnologiques pour améliorer la performance du véhicule, le confort de l’utilisateur, tout encontribuant à la réduction de la pollution (sonore et atmosphérique).

C’est dans cette perspective que la société Valeo a mis au point une nouvelle générationd’alternateur dénommé alterno-démarreur fusionnant ainsi le rôle de l’alternateur et celui dudémarreur de la voiture. Le principe de l’alterno-démarreur équipé du système "Start-Stop"repose sur la capacité du système à arrêter et à redémarrer le moteur instantanément etsilencieusement. Cette technologie permet ainsi de ne pas consommer de carburant et de nepas polluer lorsque le véhicule est à l’arrêt à un feu rouge ou dans un embouteillage. Leredémarrage s’effectue en douceur et automatiquement dès que le conducteur engage unevitesse ou lève le pied du frein dans le cas d’une boîte mécanique robotisée ou automatique.Le système intervient discrètement sans perturber les habitudes de conduite du conducteur.Grâce au système Start-Stop, la réduction de la consommation peut atteindre 12 %.

Pour produire de l’électricité, le principe d’un alternateur consiste en la rotation d’unrotor dans un stator. Le rotor, actionné par le moteur par la liaison poulie-courroie, est guidéen rotation par l’intermédiaire de deux roulements à billes dont les performances sont impor-tantes dans le bon fonctionnement de l’alternateur. Ces roulements permettent également desupporter les efforts générés par les acyclismes du moteur et les multiples redémarrages dela voiture. Ces facteurs ont un effet non négligeable sur la durée de vie de ces roulementsdont l’estimation par les méthodes classiques et les normes de calcul utilisés présentent deslimites. En effet, l’influence de l’environnement du roulement (carter à géométrie complexe),de profils particuliers (multiples démarrages) entraînant des variations d’efforts ne sont prisen compte dans les normes ISO de calcul de durée de vie. Or ces éléments peuvent avoir uneffet considérable sur la répartition des forces sur les billes des roulements en fonctionnementet par conséquent sur leur durée de vie.

25

26 Introduction générale

L’objectif principal de ce travail de recherche est de proposer une méthodenumérique permettant d’améliorer les modèles de prédiction de la durée de viedes roulements montés dans les alternateurs automobiles. Pour ce faire, les para-mètres comme les vitesses variables, les accélérations soudaines, les multiples démarrages, lafluctuation des charges et les montages non-académiques doivent être pris en compte à ceteffet. Il s’agit concrètement dans un premier temps d’étudier le comportement mécanique desroulements dans leur logement en vue d’en déduire la répartition des efforts. Les résultatsobtenus sont utilisés pour la modélisation du phénomène de fatigue de roulement et d’endéduire la durée de vie.

Une étude bibliographique menée a permis de mettre en évidence l’originalité du travail.La plupart des travaux se contentent de l’étude d’un roulement dans un logement rigide etsupportant un chargement constant. D’autres travaux, pour des besoins de temps de calcul,se limitent à un modèle 2D qui n’est pas représentatif des roulements à billes. Ces approchesne répondent pas à la problématique des alternateurs automobiles. Il s’avère nécessaire, dansnotre démarche, de modéliser en 3D les roulements dans la phase de répartition d’efforts etde considérer l’effet de la variation d’efforts dans l’estimation de leur durée de vie. Le présentmémoire s’articule autour de quatre chapitres.

Dans le premier chapitre, nous présentons le contexte général du travail. Ils’agit de présenter l’état de l’art sur les roulements notamment, leur composition, leur prin-cipe de fonctionnement et leurs domaines d’application. Ensuite un accent est mis sur lesroulements utilisés dans les alternateurs automobiles que sont des roulements à billes à gorgeprofonde. Nous avons également recensé les causes de dégradation avant de poser la problé-matique de répartition des efforts au sein des roulements. Après avoir recensé les différentesméthodes d’estimation de la durée de vie des roulements proposés dans la littérature et leurslimites dans leur application à la problématique des alternateurs automobiles, nous présen-tons la démarche que nous avons proposée dans ce travail.

Le deuxième chapitre porte sur l’étude du comportement des roulements. Ils’agit de déterminer la répartition des efforts au sein du roulement à partir de lamodélisation numérique. Lorsque le roulement est sollicité, les efforts sont transférés d’unebague à une autre par l’intermédiaire des billes. La modélisation numérique du roulementnécessite la connaissance de la géométrie des composantes. La forme des pistes de roulementdes bagues de roulements ne permet pas de déterminer les dimensions par les méthodes clas-siques de mesure. Nous avons eu recours à la métrologie tridimensionnelle permettant dedéterminer avec précision les dimensions nécessaires pour la construction de la géométrie duroulement. Deux approches sont proposées en vue de déterminer la répartition des efforts

Introduction générale 27

au sein du roulement : une approche semi-analytique permettant de remplacer les billes pardes éléments à deux nœuds dont les matrices de raideur sont calculées analytiquement etune approche numérique basée sur la méthode des éléments finis permettant de résoudre lesproblèmes de contact au sein du roulement. Ces approches sont appliquées, dans un premiertemps, à un roulement considéré comme logé dans un logement rigide. Les résultats issus deces approches sont confrontés à ceux issus des publications scientifiques existantes. Ensuite,l’environnement mécanique complexe constituant les logements des roulements est intégrénumériquement en vue d’évaluer son influence sur la répartition des efforts.

Dans le troisième chapitre, une méthode permettant d’étudier le comporte-ment en fatigue des composants du roulement en vue de proposer une méthoded’estimation de la durée de vie a été proposée. Le passage répété des billes crée desétats de contrainte dont la détermination par les méthodes analytiques reste insuffisante lors-qu’il faut tenir compte des propriétés de contact et de l’effet du mouvement des billes. Unmodèle éléments finis est proposé en vue de se rapprocher des conditions réelles de fonctions.Le lubrifiant n’a pas été pris en compte dans ce modèle, mais son effet a été pris en compteà travers la définition des propriétés de contact. L’état de contrainte obtenu à partir de cetteapproche est multiaxial et non-proportionnel, imposant l’utilisation d’une loi d’endommage-ment multiaxial. Cette dernière consiste à coupler un critère de fatigue multiaxial à une loide cumul d’endommagement permettant de déterminer le nombre de cycles avant qu’appa-raissent les premiers signes de fatigue de roulement. Après une étude comparative des critèresde fatigue, le critère de Dang Van a été retenu pour l’analyse en fatigue.

Dans le dernier chapitre, nous abordons l’aspect expérimental du travail. Lesessais doivent être réalisés sur les roulements dans leur environnement en vue de prendreen compte l’influence de celui-ci sur la durée de vie. Pour ce faire, nous avons conçu unbanc d’essai permettant de monter l’alternateur automobile dans lesquels sont montés desroulements. Un système permet de reproduire les conditions de chargement proches de laréalité. L’objectif est de réaliser les essais d’endurance sur les roulements et de les compareraux résultats théoriques et numériques. L’analyse vibratoire est utilisée pour déterminerl’apparition d’écaillage d’essais. Enfin, une conclusion générale sur ces travaux est apportéeet des perspectives sont proposées.

28 Introduction générale

Chapitre 1

Synthèse bibliographique

Introduction

Ce chapitre présente une synthèse sur la problématique des roulements et leur importancedans les mécanismes notamment dans les alternateurs automobiles. Ainsi, sont abordés lesdifférents types de roulement, leur utilité dans les mécanismes tels que les alternateurs, lesmodes de ruine des roulements ainsi que l’estimation de leur durée de vie ; et le phénomènede fatigue multiaxiale auquel sont soumis les matériaux constituant des roulements. Enfin,nous recensons les approches proposées dans la littérature sur la répartition des efforts ausein du roulement avant de présenter la démarche adaptée dans ce travail.

1.1 Principe de fonctionnement des alternateurs automobiles

Les roulements jouent un rôle primordial dans le bon fonctionnement des alternateursautomobiles. L’alternateur est une machine tournante dont le rôle principal est d’alimenter,en courant électrique, les récepteurs électriques et électroniques de la voiture. Le courantélectrique alternatif créé par l’induction du rotor/stator est converti en courant continu parle pont redresseur en vue d’alimenter les composants de bord dans la voiture ([1]).

L’alternateur est principalement composé :— d’un rotor qui constitue l’inducteur de la machine. Il comporte un noyau cylindrique

axial muni d’une bobine excitatrice alimentée par l’intermédiaire de deux bagues, etdeux roues polaires.

— d’un stator qui forme l’induit de la machine. Il est constitué d’un empilage de tôlesencochées qui contient un enroulement triphasé. Le bobinage peut être simple, coupléen triangle ou en étoile avec une encoche par pôle et par phase ; ou double, avec deuxencoches par pôle et par phase. Généralement le bobinage statorique est couplé entriangle pour des raisons de fabrication.

— d’un pont de diodes qui a pour rôle de redresser le courant alternatif destiné à recharger

29

30 Chapitre 1. Synthèse bibliographique

la batterie et alimenter le réseau de bord du véhicule.— d’un régulateur dont le rôle est d’ajuster la tension imposée aux bornes de l’enrou-

lement rotorique en fonction de la vitesse de rotation et de la charge aux bornes del’alternateur.

— de flasques en alliage d’aluminium communément appelés paliers dans lesquels sontmontés des roulements à billes. Ils comportent des formes optimisées pour améliorerle refroidissement de la machine. Les paliers supportent l’arbre qui assure la liaison del’alternateur avec le moteur thermique[1].

En fonctionnement, l’alternateur est entraîné en rotation par le moteur thermique aumoyen d’une transmission par courroie qui multiplie la vitesse de l’alternateur par un coeffi-cient de l’ordre de 2.7 par rapport à la vitesse du moteur thermique (Figure 1.1). En fonctionde la vitesse de rotation et de la charge du réseau de bord, le régulateur impose la tensionnécessaire aux bornes du circuit d’excitation.

Figure 1.1 – L’alternateur dans son environnement [1]

Le rotor est guidé en rotation par rapport au stator par deux roulements à billes à gorgesprofondes (Figure 1.2). Le bon fonctionnement de l’alternateur dépend de ces roulements quidoivent être aptes à supporter les efforts provenant de la courroie qui entraîne en rotationl’arbre de l’alternateur. Le choix des roulements se fait en fonction de leur durée de vie définicomme le temps de fonctionnement des roulements avant qu’apparaissent les premiers signesd’écaillage. Ces roulements peuvent se dégrader prématurément à cause de plusieurs facteurs.

1.2. Les roulements et leur importance dans des mécanismes 31

Figure 1.2 – Composition d’un alternateur automobile

1.2 Les roulements et leur importance dans des mécanismes

Les roulements occupent une place importante dans l’industrie et spécialement dans l’in-dustrie automobile. On en trouve 150 à 200 dans les voitures. Les roulements sont des systèmescomplexes composés d’une bague intérieure, d’une bague extérieure, des éléments roulants etd’une cage permettant de maintenir l’écart entre les éléments roulants (Figure 1.3).

Figure 1.3 – Composition du roulement

La forme des éléments roulants varie en fonction du type de roulements : ils peuventêtre des billes, des rouleaux coniques ou cylindriques. L’utilité des roulements n’est plus àdémontrer dans les machines tournantes. En plus de supporter les efforts, les roulementsfacilitent également le mouvement d’un composant par rapport à un autre dans un systèmeavec un minimum de frottement.


Les différents types de roulement et leurs applications

Les roulements sont classés suivant la forme de leurs éléments roulants. On peut distinguerdeux grandes familles de roulements [2] :

— Les roulement à billes où le contact bille-chemin est théoriquement ponctuel. Les rou-lements à billes sont les plus utilisés dans le monde industriel parce qu’ils présententle meilleur rapport performance/prix. On en trouve dans les roues, les transmissionsd’automobile, les machines agricoles, les broches de machine-outil, les alternateurs au-tomobiles. Ces roulements peuvent être à une ou deux rangées de billes, à contactradial ou oblique. Les roulements à contact oblique permettent de supporter, en plusdes efforts radiaux, des charges axiales plus importantes.

— Le roulement à rouleaux où le contact rouleau-chemin est théoriquement linéaire. Ilexiste par ailleurs différents types de rouleaux (cylindriques, coniques, sphériques).

Le choix du type de roulement se fait en fonction de la direction de la force qui doit êtresupportée ; elle peut être axiale, radiale, ou la combinaison des deux. Lorsqu’ils sont utilisésdans des conditions défavorables, les roulements sont objets des dégradations diverses avantle terme de leur durée de vie.

1.3 Les causes de dégradation des roulements

Les roulements, quels que soient leurs domaines d’application se dégradent à un temps plusou moins long à cause de plusieurs facteurs. On peut énumérer l’importance des contraintes decontact, les défauts de montage, la circulation du courant électrique dans le cas des machinesélectriques (alternateurs), la corrosion, la présence de contaminants au sein du roulement, laqualité de la lubrification ou encore la température de fonctionnement [3].

1.3.1 L’effet des contraintes mécaniques

En fonctionnement, le passage répété des éléments roulants au sein du roulement créé descontraintes complexes. Dans le cas des alternateurs ou de plusieurs machines tournantes, labague intérieure solidaire à l’arbre, est en rotation et la bague extérieure est fixe. La chargeappliquée sur l’arbre se transmet d’une bague à l’autre par l’intermédiaire des élémentsroulants. Le mouvement répété des billes engendre de fortes contraintes en sous-couche desbagues intérieures et extérieures (Figure 1.4). Ces sollicitations sont à l’origine de l’initiationde fissures aux voisinages des inclusions non-métalliques réparties au sein du matériau. Lesfissures engendrées se propagent progressivement à la surface entraînant l’apparition desécaillages sur les pistes des bagues intérieures et extérieures des roulements (Figure 1.5).

1.3. Les causes de dégradation des roulements 33

Figure 1.4 – Répartition des contraintes au sein du roulement [3] [4]

Figure 1.5 – Ecaillage des bagues (a) intérieure (b) extérieure [3]

1.3.2 Les défauts de montage

Le bon fonctionnement d’un roulement nécessite un bon alignement des axes des bagues(intérieure et extérieure). Lorsque cette condition n’est pas respectée, une ou plusieurs partiesdes bagues subissent de fortes sollicitations entraînant des marquages, des indentations sur lapiste de roulement Le défaut de montage peut être également causé par de fortes déformationsdu logement ou de l’arbre.

1.3.3 Les contaminations

L’insertion de particules étrangères avec un effet abrasif dans le roulement dégrade l’étatde surface des pistes de roulement et des éléments roulants. Ces contaminants peuvent pro-venir d’un lubrifiant contaminé, du sable introduit dans le mécanisme dû à la non-étanchéité,l’utilisation des joints d’étanchéité inadéquats ou encore de l’abrasion des éléments tels que lesengrenages. L’usure des surfaces conduit à des jeux de fonctionnement excessifs occasionnantde fortes sollicitations accélérant la dégradation du roulement.

1.3.4 La corrosion

La corrosion au sein du roulement peut intervenir sous différentes formes et peuvent avoirplusieurs causes telles que l’entrée de gaz corrosif ou d’eau dans le roulement et une mauvaise


qualité des lubrifiants.

1.3.5 Le passage du courant électrique

Le passage du courant électrique d’une bague à une autre crée une décharge entraînantdes micro-fissures ou marquages à l’endroit des décharges. Ce phénomène intervient dansles machines électriques telles que les alternateurs et les moteurs. Pour pallier ce problème,de nouvelles générations de roulements en céramiques hybrides où les billes sont en céra-mique fortement isolantes (Si3N4) ont été developpées. Cette alternative présente cependantquelques inconvénients tels que le coût de revient élevé, une usure plus prononcée des baguesqui sont entièrement en acier [5] [3].

1.3.6 Le défaut de lubrification

L’utilisation inappropriée ou insuffisante du lubrifiant empêche le film de se former entreles pistes de roulement et les éléments roulants. Il en résulte des phénomènes d’usure et deglissement où de fortes sollicitations entraînent l’écaillage superficiel du roulement (Figure1.6).

Figure 1.6 – Ecaillage superficiel du roulement [6]

1.3.7 La température de fonctionnement

A de fortes températures, la géométrie du roulement se voit modifiée à cause de la dila-tation de ses composants. Ce phénomène réduit considérablement le jeu de fonctionnementet empêche le lubrifiant de bien s’insérer entre les bagues et les éléments roulants. Unetempérature élevée entraîne également des modifications du lubrifiant qui perd ses qualitéslubrifiantes.

1.4 La durée de vie des roulements

Les formes de dégradation des roulements dans les mécanismes rencensées nécessite deconnaître la durée de fonctionnement de ces roulements afin qu’ils soient remplacés au bon

1.4. La durée de vie des roulements 35

moment. Mais la difficulté réside dans la prédiction de cette durée de fonctionnement encoreappelée durée de vie.

1.4.1 La norme ISO 281

D’après la norme ISO 281 [7], la durée de vie d’un roulement peut être définie comme lenombre de tours que l’une de ses bagues effectue par rapport à l’autre avant l’apparition despremiers signes de fatigue. La durée de vie est considérée comme l’une des caractéristiques lesplus importantes du roulement, elle définit sa performance. Depuis plusieurs décennies, destravaux ont été faits en vue d’estimer la durée de vie des roulements. Les premières étudessont attribuées à Lundberg et Palmgren (1947) [8] qui ont utilisé la répartition probabilistiquede Weibull (19p39) pour établir la base de la théorie de la dispersion de la durée de vie deroulement. Ils ont établi la relation entre la probabilité de survie S du matériau à l’apparitiond’écaillage et la durée de vie du roulement N (Eq. 1.1).

ln 1S∝ A

N eτ c0zh0

az0l (1.1)

Où τ0 est la contrainte maximale de cisaillement à une profondeur z0. La géométrie ducontact est représentée par le demi grand axe a et la longueur de la piste de roulement l. Lesparamètres A, c et h sont des caractéristiques du matériau obtenus expérimentalement. Leparamètre e est la pente de la courbe de distribution de Weibull. En subtituant les paramètresde contact de Hertz (la force appliquée et la géométrie de contact), on obtient une relationentre la force appliquée et la durée de vie des roulements (Eq. 1.2) (Annexe 4).

L10 =(C

P

)p(1.2)

L10 est la durée de vie du roulement correspondant à une probabilité de 10% (fiabilité de90%) pour que l’écaillage du roulement intervienne, C est la capacité dynamique du roulement[7], et P est la charge équivalente appliquée. L’exposant p est égal à 3 pour les roulementsà billes avec un contact elliptique, à 10/3 pour les roulements à rouleaux avec les contactslinéaires modifiés, et à 4 pour les contacts purement linéaires.

L’équation 1.2 constitue la base de la norme de calcul de durée de vie des roulements.Largement utilisée dans le milieu industriel depuis des décennies, elle souffre cependant dequelques insuffisances [9]. Elle néglige la possibilité d’initiation de fissures en surface et laprésence en surface d’un film de lubrification. Le chargement est supposé purement normal,sans sollicitation de cisaillement en surface. La surface de contact est supposée parfaitementlisse. En pratique les surfaces présentent certaines irrégularités telles que la rugosité, l’inden-tation, qui ne sont pas sans influence sur l’état de contrainte considérablement différent ducas du contact de Hertz.


Ioannides et Harris [10] ont proposé un nouveau modèle de prédiction de la durée pourpallier certaines insuffisances du modèle Lundberg-Palmgren [8]. La première hypothèse deleur modèle concerne la discrétisation de volumes du matériau avec des probabilités de surviedifférentes. La probabilité de survie est obtenue pour chaque portion de volume de matériauet le risque de ruine global du matériau est obtenu en intégrant des probabilités de survie desportions de volume. Par ailleurs, Ioannides et Harris reconnaissent l’existence d’une limite defatigue en dessous de laquelle, la rupture n’intervient pas. Ils ont établi une relation valablepour σ > σu entre la probabilité de survie du matériau S et la durée de vie du roulementobtenue par l’équation (Eq. 1.3).

ln 1S∝ AN e

∫V

(σ − σu)czh

dV (1.3)

σ est la contrainte à la profondeur z, σu est la limite de fatigue du matériau et A est uneconstante empirique. La contrainte σ, qui n’est plus limitée à la contrainte orthogonale decisaillement, peut être élargie à la contrainte de cisaillement, la contrainte équivalente de vonMises. Les autres paramètres (c, e et h) sont des paramètres des matériaux obtenus à partird’une série d’essais. La durée de vie L10 est alors obtenue avec la relation 1.4

L10 = A[1−

(PuP

)(c/e)](C

P

)p, P > Pu (1.4)

Avec Pu, la charge correspondant à la contrainte limite σu. La figure 1.7 présente unecomparaison entre les modèles de durée de vie de Lundberg-Palmgren et de Ioannides-Harriset met en évidence la notion de durée de vie infinie.

Figure 1.7 – Comparaison entre les théories de Harris et de Lundberg-Palmgren [10]

Par ailleurs, pour tenir compte des paramètres tels que les différents types de chargement,la contrainte résiduelle du matériau et la contrainte limite de fatigue, la relation 1.2 basée

1.4. La durée de vie des roulements 37

sur la théorie de Lundberg-Palmgren a été modifiée en ajoutant des facteurs de correction.Ainsi, la durée de vie modifiée du roulement Lnm fonction de la probabilité de survie estdonnée par la relation (1.5).

Lnm = a1aISO

(C

P

)p(1.5)

Où a1, aISO sont des facteurs relatifs au matériau, et aux conditions de fonctionnements.Le coefficient a1 est lié au degré de fiabilité qui se définit comme la probabilité de non-apparition d’écaillage. Par exemple, pour un roulement considéré, la durée de vie corres-pondant à une probabilité d’écaillage de 10% (fiabilité 90%) est noté L10. Dans ce cas, lecoefficient a1 est égal à 1. Le tableau 1.1 résume les coefficients pour différentes valeurs de lafiabilité.

Table 1.1 – Facteurs de correction de durée de fiabilité, a1 [7]

Fiabilité (%) Lnm a190 L10m 195 L5m 0,6496 L4m 0,5597 L3m 0,4798 L2m 0,3799 L1m 0,2599,2 L0,8m 0,2299,4 L0,6m 0,1999,6 L0,4m 0,1699,8 L0,2m 0,1299,9 L0,1m 0,09399,92 L0,08m 0,08799,94 L0,06m 0,08099,95 L0,05m 0,077

Le facteur aISO est relatif à la limite de la contrainte de fatigue de l’acier pour roulementet aux conditions de fonctionnement et de lubrifications [7].

1.4.2 Classification des approches de calcul de durée de vie des roulements

D’une manière générale, et en considérant les méthodes de détermination de la durée devie de roulement développées au cours des dernières décennies, on peut les classer en deuxapproches.

— L’approche statistique : elle est basée sur une distribution statistique des donnéesde matériaux issues de plusieurs essais sur des roulements ou des matériaux. Cetteapproche est largement utilisée et constitue la base des normes de calcul de durée devie.


— L’approche par la mécanique des milieux continus : elle est basée sur des considéra-tions physiques. Elle utilise, à partir de l’état de contrainte issu du contact entre lesbilles et les bagues du roulement, des critères de fatigue et des lois d’endommagementen vue de déterminer le nombre de cycles avant l’apparition de l’écaillage du roulement.

Bien qu’adoptés par la communauté scientifique, les modèles de durée de vie des roule-ments développés dans la littérature présente quelques insuffisances.

L’approche statistique

Issue de campagnes expérimentales, cette approche néglige les considérations microsco-piques qui interviennent d’une façon non négligeable dans le phénomène de fatigue de roule-ment. Par ailleurs, les durées de vie obtenues connaissent une importante dispersion.

L’approche par la mécanique des milieux continus

Cette approche utilise une contrainte équivalente issue de l’état de contrainte au point leplus critique du modèle pour déterminer la durée de vie à partir des propriétés en fatigue dumatériau [9]. Cette valeur équivalente de l’état de contrainte peut être : la contrainte de VonMises, la valeur maximale de contrainte de cisaillement, la contrainte de cisaillement octo-hédrale. La valeur maximale de ces grandeurs ne se situe pas au même endroit du modèle.De ce fait, ces modèles ne prédisent pas l’initiation de fissure à la même profondeur. Parailleurs, le caractère non-proportionnel de l’état de contrainte en fatigue de roulement n’estpas toujours pris en compte par ces différentes méthodes de calcul.

Pour pallier ces insuffisances, le recours à des critères de fatigue et des lois de cumuld’endommagement adaptés à la fatigue de roulement s’impose. Nous intéressons dans lasection à venir à quelques notions de base sur le phénomène de fatigue des matériaux avantd’aborder la fatigue de roulement.

1.5 Notions de fatigue des matériaux

Dans un mécanisme, de nombreuses pièces mécaniques subissent des chargements cy-cliques dans leurs conditions réelles de fonctionnement. La seule connaissance de la manièredont résiste une structure pour une sollicitation appliquée une seule fois ne suffit pas à di-mensionner cette structure ou à prédire sa durée de vie. Il est nécessaire de connaître lecomportement du matériau en fatigue dans les travaux de dimensionnement. Dans la plupartdes cas, les structures sont soumises à des sollicitations multiaxiales et complexes.

1.5. Notions de fatigue des matériaux 39

1.5.1 Rappels sur la fatigue des matériaux

Une pièce en service dans un mécanisme peut subir des efforts statiques ou des chargesrépétées, aléatoires ou cycliques de plus ou moins forte intensité. Le chargement peut êtreuniaxial ou multiaxial (Figure 1.8) et dans le cas d’un chargement multiaxial, il peut êtreproportionnel ou non (Figure 1.9). Les caractéristiques mécaniques des matériaux des piècessoumises à ces chargements répétés se dégradent au cours du temps entraînant la ruinede la pièce. La fatigue d’un matériau se caractérise par la formation de microfissures dansles zones de fortes concentrations de contraintes dues aux effets géométriques (entailles) oumétallurgiques (inclusions). Ces microfissures donnent ensuite naissance progressivement àune fissure macroscopique qui se propage jusqu’à la rupture finale de la structure.

Figure 1.8 – Tenseur de chargement uniaxial et multiaxial

Figure 1.9 – Chargement multiaxial proportionnel et non-proportionnel

Les propriétés du matériau en fatigue sont caractérisées par la courbe de fatigue ou lacourbe de Wöhler obtenue à l’issue d’essais de fatigue. Ces essais sont en général uniaxiauxconsistant à soumettre chaque éprouvette lisse ou entaillée à des cycles d’efforts périodiques,


d’amplitude maximale, à fréquences constantes, et à noter le nombre de cycles Nr au boutduquel la rupture se produit. Les essais de fatigue sont caractérisés par différents paramètresutilisés pour définir le chargement de fatigue (Figure 1.10). Le chargement est essentiellementdéterminé par l’amplitude de la contrainte cyclique σa et la contrainte moyenne σm [11].

Figure 1.10 – Paramètres de sollicitation en fatigue [11]

L’un des paramètres de chargement le plus couramment utilisé est le rapport R défini(Eq. 1.6).

R = σminσmax

(1.6)

On distingue les sollicitations suivantes (Figure 1.11) :— R = -1 : contraintes alternées symétriques— -1 < R < 0 : contraintes alternées asymétriques— R = 0 : contraintes répétées (σm = σa)— R > 0 : contraintes ondulées

Figure 1.11 – Différents types de sollicitation en fatigue : (a) Contraintes alternées, (b)Contraintes alternées symétriques (R=-1), (c) Contraintes ondulées de traction (R>0)


1.5.2 La courbe de fatigue

Après une série d’essais, le nombre de cycles Nr au bout duquel la rupture se produitest rapporté sur une échelle logarithmique en fonction de la contrainte maximale des cycles.Chaque éprouvette permet d’obtenir un point du plan (σ,N) et à partir d’un lot d’éprouvettessoumises à des contraintes maximales différentes, on obtient une courbe nommée courbe deWöhler ou courbe S-N (Stress-Number of cycles) qui est généralement décomposée en troiszones (Figure 1.12) pour les aciers classiques :

— la zone AB, dite oligocyclique (LCF : Low cycle fatigue), pour de faibles nombres decycles (inférieur à 105cycles). La rupture a lieu en surface à la suite d’une déformationplastique importante.

— la zone BC, dite zone de fatigue ou d’endurance limitée— la zone CD, dite zone d’endurance illimitée ou zone de sécurité.

Figure 1.12 – Courbe de Wöhler d’un acier classique [11]

Cependant d’après des travaux récents, deux phénomènes peuvent intervenir dans la der-nière zone (CD) de la courbe de fatigue (Figure 1.13).

— La courbe tend vers une asymptote horizontale III(a) définie comme la limite de fatigueconventionnelle. Dans ce cas, la rupture n’a pas lieu tant que la contrainte se situe endessous de cette valeur.

— Contrairement au cas précédent III(b), on observe la rupture en dessous de la limitede fatigue conventionnelle.

On peut donc observer une dernière zone (IV) qui succède à la zone III et qui correspondau domaine à très grand nombres de cycles. On peut observer dans cette zone une asymptotehorizontale pour certains matériaux et d’autres matériaux qui continuent à s’endommagermême à très grand nombre de cycle. Les observations dans cette zone ne font pas l’unanimitédans la communauté scientifique [12] [13].


Figure 1.13 – Les différentes zones d’une courbe de fatigue [14]

La rupture par fatigue du matériau se manifeste par l’initiation de fissure suivie par lapropagation de la fissure entraînant la rupture. L’initiation de la fissure peut être de typesurfacique prépondérant en fatigue oligocyclique (LCF : Low cycle fatigue) ou en fatigue àgrand nombre de cycles (HCF : High cycle fatigue). En fatigue à très grand nombre de cycles(VHCF : Very high cycle fatigue), l’initiation est d’origine interne au voisinage d’inclusions[15]. Ce dernier phénomène est fréquent en fatigue de roulement. La figure 1.14 présente lacourbe de fatigue pour deux sources d’initiation de fissure en fatigue d’un acier de roulement(SUJ2). Dans le cas d’un chargement à faible nombre de cycles (< 106) la fissure est initiée ensurface alors que dans le cas de très grand nombre de cycles la fissure est initiée à l’intérieurdu matériau.

Figure 1.14 – Courbe de fatigue d’une nuance d’acier de roulement (SUJ2) [15]


Expressions de la courbe de fatigue

Il existe plusieurs expressions de la courbe de fatigue proposées pour les matériaux mé-talliques [16].

Table 1.2 – Formulations de la courbe de fatigue

Auteurs Formulations

Wohler (1870) log(N) = a− b.σ

Basquin (1910) log(N) + blog(σ) = lo(A)

Stromeyer (1914) log(N) = a− b.log(σ − σD)

Palmgren (1924) log(N +B) = a− b.log(σ − σD)

Bastenaire (1971) (N +B)(σ − σD)eA(σ−σD) = C

Les constantes a, b, A, B, C sont des paramètres du matériau obtenus à partir d’essaisexpérimentaux. σD est la limite d’endurance du matériau.

1.5.3 Les critères de fatigue

Les phénomènes de fatigue se manifestent par la modification des propriétés mécaniquesdu matériau suite aux sollicitations cycliques. La plupart des essais réalisés pour étudier lecomportement des matériaux sont uniaxiaux. Les ingénieurs ont recours à des outils tels queles diagrammes de Goodman et Haigh pour déterminer la durée de vie des pièces soumisesà des sollicitations simples. Dans la plupart des cas, les structures sont soumises à des sol-licitations plus complexes ou multiaxiales. Le caractère multiaxial des sollicitations est duaux chargements appliqués, à la géométrie de la structure ou à la présence de contraintesrésiduelles issues de procédés de fabrication. Le critère de fatigue a pour but de statuer surle dépassement ou non de la limite d’endurance du matériau où peut intervenir la rupturede la structure soumise à une sollicitation de fatigue multiaxiale. Il s’exprime en fonction degrandeurs extraites du tenseur des contraintes, des différentes caractéristiques du matériauobtenues à partir des sollicitations simples (la traction alternée, la traction répétée, la torsionalternée, la flexion alternée ou répétée).

D’une manière générale, les critères de fatigue peuvent être exprimés à partir de l’état decontrainte, l’état de déformation ou de l’énergie. Ces deux derniers sont plus adaptés au casde fatigue à faible nombre de cycles.

Concernant les critères en contraintes, adaptés à la fatigue à grand nombre de cycles, ils


peuvent être classés en trois catégories suivant leurs formulations [17].— La formulation dite empirique est issue des résultats expérimentaux obtenus pour un

type de sollicitations multiaxiales et un matériau donné (Gough & Pollard [18] [19]).— La formulation par le plan critique qui spécifie un plan critique sur lequel est associée

la contrainte cyclique et/ou la moyenne des composantes de la contrainte tangentielleet normale considérée (Dang Van [20] [21] , Matake [22], Deperrois [23]).

— La formulation globale est une combinaison linéaire du second invariant J2 du tenseurdéviateur de contrainte et du premier invariant I1 du tenseur de contrainte. Quelquescritères de cette catégorie sont : Sines [24], Crossland [25], Papadopoulos [26].

Les critères de type plan critique stipulent que la fissure est plus initiée dans certainsplans que d’autres. Ces critères donnent une explication physique du phénomène de fatigue.Cependant leur application est limitée à cause des difficultés de mise en œuvre.

1.5.4 L’endommagement par fatigue

Les lois d’endommagement permettent de décrire l’évolution des phénomènes intervenantau sein du matériau lors de sa sollicitation en fatigue. Elles peuvent être matérialisées par desparamètres associés à chaque stade du matériau. D’une manière générale, les lois d’endomma-gement peuvent être classées en deux catégories [27] : les lois d’endommagement uniaxialeset les lois d’endommagement multiaxiales.

Lois d’endommagement uniaxiales

Pour la catégorie des lois uniaxiales, la loi de Palmgren-Miner est la plus utilisée du faitde sa simplicité. Cette loi suppose un cumul linéaire du dommage lors de la sollicitation [28].Le paramètre de dommage utilisé est une fraction de durée vie exprimée par :

Di = Ni

Nri

(1.7)

où Ni est le nombre de cycles effectué sous un chargement dont la rupture aurait lieu àNri cycles. La rupture de la structure a lieu lorsque :

∑i

Ni

Nri

= 1 (1.8)

Cette loi est facile à utiliser car elle nécessite seulement la connaissance de la courbe defatigue du matériau. Cependant elle ne prend pas en compte l’ordre d’apparition des cyclesde chargement [29].

La loi de Lemaitre-Chaboche [30] utilise également le rapport de durée de vie et unecontrainte effective fonction de l’endommagement. L’évolution de l’endommagement dépend

1.6. Fatigue de contact de roulement 45

non seulement de l’état de contrainte mais aussi de l’état du dommage de la structure étudiée,ce qui permet de prendre en compte l’historique de chargement [27]. L’évolution du dommagea pour expression :

dD =[1− (1−D)β+1

]α [ Σa

Mo(1− bΣm)(1−D)

]βdN (1.9)

où D est le dommage de l’état actuel, dD est l’accroissement du dommage suivant dN , Σa

est l’amplitude de contrainte du cycle, Σm est la contrainte moyenne du cycles, β,Mo et b sontdes constantes intrinsèques au matériau. α est un paramètre qui dépend des caratéristiquesde chargement des paramètres du matériau. La difficulté d’application de la loi de Lemaitre-Chaboche se trouve dans la difficulté de détermination des paramètres liés aux paramètresdu matériau présents dans l’équation 1.9.

Lois d’endommagement multiaxiales

Ces lois sont mieux adaptées aux sollicitations multiaxiales. Elles sont formulées (i) soiten couplant une loi d’endommagement uniaxiale avec un critère de fatigue multiaxial, (ii)soit sur le choix d’un ou plusieurs paramètres de dommage à suivre au cours du chargement[27].

La première approche consiste à déterminer une contrainte uniaxiale équivalente issuede l’état de contrainte multiaxial à partir d’un critère de fatigue multiaxial (Dang Van,Crossland). Parmi les lois utilisant la deuxième approche, on peut citer la loi de Papadopoulos[31] qui utilise le paramètre de microdéformation plastique cumulée et le critère d’Ellyin [32]où le paramètre de dommage retenu est la densité d’énergie de déformation par cycle.

1.6 Fatigue de contact de roulement

La fatigue de contact de roulement (FCR : Fatigue de Contact de Roulement) est unphénomène qui est rencontré dans les roulements, les rails et les engrenages. Dans ces roule-ments, une petite quantité de matière est sollicitée de manière répétée à cause des passagesrépétés des billes à des sollicitations de compression entraînant une contrainte de cisaillementmaximale en sous-couche de la zone de contact. Contrairement à la fatigue classique où lematériau est sollicité de manière cyclique, chaque petite quantité de la matière est soumiseà des sollicitations de cisaillement différentes dans le cas de la fatigue de contact de roulement.

La connaissance de la répartition de l’état de contrainte aux voisinages de la zone decontact s’avère importante pour mieux cerner le phénomène de FCR. Hertz [33] a été le pre-mier, en 1896, à développer une méthode classique permettant de déterminer la contrainteet la déformation locale entre deux solides élastiques quelconques en contact. Cette approche


est largement appliquée aux roulement en faisant l’hypothèse de bonnes conditions de lu-brification permettant d’obtenir des surfaces de contact lisses [34]. La figure 1.15 présentel’évolution de l’état de contrainte suivant x aux voisinages de la zone de contact dans le casd’un contact linéaire. Notons que σx, σz sont respectivement la composante suivant x et z,τxz est la contrainte de cisaillement. 2b est la largeur de la surface de contact et Pmax estla pression maximale de Hertz. Il y apparaît un état de contrainte complexe, multiaxial etnon-proportionnel.

Figure 1.15 – Etat de contrainte en sous-couche près de la zone de contact [9]

1.6.1 L’initiation d’écaillage

La sollicitation répétée des pistes de roulement entraîne de micro-fissures qui se pro-pagent. Les sources d’initiation de ces micro-fissures peuvent apparaître en surface à partirdes aspérités ou d’indentations ou en profondeur aux voisinages d’inclusions engendrant demicro-fissures qui évoluent jusqu’à la surface de roulement entraînant l’écaillage (Figure 1.16).

Figure 1.16 – Phénomène d’écaillage initié en sous-couche au sein du roulement


Ces sources d’initiation dépendent de plusieurs facteurs comme l’état de surface, la lu-brification, la qualité du matériau du roulement [9]. Lorsque le roulement est utilisé dans debonnes conditions de lubrification, les sources d’écaillage se situent généralement en sous-couche.

1.6.2 Approches de la littérature sur la modélisation de fatigue de roulement

Lors du fonctionnement du roulement, les bagues sont soumises à des sollicitations decompression et de cisaillement. Ces sollicitations se déplacent avec le mouvement des billessur les pistes de roulement. La fatigue de roulement se décrit comme la modification despropriétés mécaniques sous chargement cyclique. Si on note Nf , le nombre de cycles avantqu’intervienne la rupture de la structure, il est exprimé par :

Nf = Ni +Np (1.10)

où Ni est le nombre de cycles à l’initiation de la fissure et Np est le nombre de cyclescorrespondant à la propagation de fissure. Dans le cas de fatigue à haut cycle, Ni est plusimportant que Np [35] [36]. Le nombre de cycles à l’initiation de fissure peut être supérieurà 90% dans le cas de la fatigue à grand nombre de cycles [37].

Réponse du matériau aux sollicitations cycliques

L’analyse de l’état de contraintes en fatigue de roulement est l’un des sujets les plus im-portants et difficiles. Lorsque la charge de contact est faible, la contrainte ou la déformationrésiduelle n’est pas présente sur la piste de roulement. Lorsque le chargement devient impor-tant, le matériau entre dans le domaine plastique avec l’apparition des contraintes résiduelleset des déformations permanentes.

La figure 1.17 résume les différentes réponses du matériau la zone de contact dans lecas de contact roulant. Les facteurs intervenant dans la réponse du matériau sont la forcede contact, l’écrouissage du matériau, l’état de contrainte résiduelle, les changements desconditions de contact dus aux déformations plastiques [38]. Le matériau peut répondre dequatre manières posssibles :

— le comportement parfaitement élastique qui apparaît pour des charges relativementfaibles (Figure 1.17 a)

— l’adaptation élastique qui intervient lorsque la limite d’élasticité σy du matériau estdépassée dans la première application de la charge. Des contraintes s’introduisent dansle matériau qui se déforme plastiquement dans la zone de contact de roulement entraî-nant l’écrouissage du matériau (Figure 1.17 b)

— l’accommodation plastique où la courbe contrainte-déformation devient rapidementune boucle fermée stabilisée après quelques cyles pour des contraintes supérieures à la


limite d’adaptation élastique (σEL) (Figure 1.17 c)— l’effet Rochet où le matériau subit une déformation additionnelle du matériau à chaque

cycle de chargement (Figure 1.17 d) [39].

Figure 1.17 – Réponse du matériau dans la zone de contact [39]

Détermination de l’état de contrainte au sein du matériau

La fatigue de roulement se manifeste par les contacts sous charge répétés (roulement ouroulement-glissement) entre les solides. En fonction de la force appliquée, elle engendre au seindu matériau soit une accommodation élastique, plastique ou l’effet Rochet. Les contrainteset déformations engendrées sont difficiles à évaluer. Plusieurs auteurs se sont intéressés àcette problématique [40] [41] [42] [43]. Dans ces travaux sont proposées des approches semi-analytiques avec des hypothèses simplificatrices [40], ou limitées à certains matériaux, cer-taines géométries et distributions de charges [44] ont été proposées. Bhargava et al. [45] [46][47] ont proposé une méthode éléments finis basée sur la translation incrémentale des chargesqui demande des efforts en temps de calcul importants.

Dang Van et al. [48] ont proposé une méthode stationnaire efficace dans l’évaluation del’état de contraintes et déformations de roulement, permettant alors de déterminer l’étatstabilisé du matériau dans le cas de l’adaptation (élastique ou plastique). Cette méthode estapplicable aux structures soumises à une charge de contact en mouvement de translation dedirection (longitidunale) fixe x avec une vitesse V constante (cas des rails) (Figure 1.18).

Cette méthode se base sur l’hypothèse d’un état stabilisé. Elle consiste à calculer l’état descontraintes et des déformations pour un nombre arbitraire de cycles de chargement PPSM (the Pass-by-Pass Stationary Method) ou à calculer directement l’état de contrainte stabiliséDSM (the Direct Stationary Method). Cette méthode initialement appliquée aux rails [49], a


Figure 1.18 – Représentation schématique d’un problème stationnaire [49]

été utilisée dans la détermination de l’état de contrainte dans le cas de fatigue de roulement[50] lors d’un calcul élasto-plastique. L’étude a été faite sur des éprouvettes d’un banc bi-disque. Elle ne prend pas en compte la géométrie réelle du roulement à bille à gorge profonde.

1.6.3 Les aciers à roulement

Pour résister aux conditions sévères et complexes de chargements, les aciers à roulementdoivent avoir une limite d’élasticité élevée pour éviter les déformations sous charge et résisterà des sollicitations de cisaillement alternées [51] [52]. Les nuances d’acier les plus utiliséessont l’AISI 52100 (American Iron and Steel Institute) connue sous le nom de 100Cr6 ouencore JIS−SUJ2. Ces dénominations dépendent des pays. Les propriétés mécaniques sontprésentées respectivement au tableau 1.3.

Il est à noter que l’historique des traitements thermiques subis par les aciers à roulementa un rôle important dans la fatigue de roulement.

Table 1.3 – Propriétés mécaniques de l’acier 100Cr6 [52]

Résistance à la rup-ture(MPa)

Limite d’élasticité(MPa)

Dureté HV Module d’Young(GPa)

2150 – 2450 1400 – 2200 750-850 190 – 210


1.7 Etude du comportement mécanique des roulements

La connaissance du comportement mécanique du roulement notamment la répartitiondes efforts et des contraintes au sein du roulement nécessite la résolution du problème decontact. Le nombre d’éléments roulants (billes dans notre cas) intervenant dans le transfertdes efforts varie en fonction de la direction et de l’intensité des efforts externes transférés,de la géométrie interne des roulements, du nombre d’éléments roulants du roulement et deleurs positions. Plusieurs auteurs se sont intéressés à la répartition des efforts au sein duroulement qui constitue un paramètre important dans le bon fonctionnement d’un roulementet la détermination de sa durée de vie.

1.7.1 Contact au sein du roulement

Dans les roulements, les efforts sont transférés d’une bille à l’autre par des élémentsroulants qui sont en contact avec les deux bagues. Pour mieux connaître le fonctionnementdes roulements à billes, nous nous attarderons dans cette section au phénomène de contact.C’est un problème complexe car la surface de contact n’est pas connue au préalable. Hertz[33] a été le premier à trouver une solution en 1881 en résolvant le problème de contact entredeux solides quelconques. Les relations établies par Hertz, unanimement reconnues commeconstituant la base du développement ultérieur de la mécanique des contacts, permettentd’exprimer l’aire de contact, le déplacement relatif et la pression de contact de deux solidesélastiques en fonction de la charge appliquée. Ces travaux se basent sur un certain nombred’hypothèses :

— le matériau est homogène et la déformation reste dans le domaine élastique.— la force appliquée est normale à la surface de contact.— le contact est limité à une petite portion de la surface de manière à ce que la zone de

contact soit très petite par rapport aux dimensions des solides en contact.— les solides en contact restent en équilibreLes travaux de contact entre deux solides quelconques peuvent être utilisés pour étudier

le contact au sein du roulement (Figure 1.19).A partir des travaux de Hertz, Palmgren [54] et Harris [55] et d’autres auteurs ont étu-

diés le comportement mécanique des roulements sous chargement et plus particulièrement larépartition des efforts au sein du roulement.

1.7.2 Répartition des efforts au sein du roulement

Stribeck [56] a été l’un des premiers à s’intéresser à la répartition des efforts au sein duroulement en considérant un roulement à billes avec un jeu nul supportant un effort purementradial dans la direction d’une bille. Il établit une relation (Eq. 1.11) entre la force radiale Frappliquée et l’effort sur la bille la plus chargée Qmax qui dépend du nombre de billes Z et

1.7. Etude du comportement mécanique des roulements 51

Figure 1.19 – Surfaces de contact sur une piste de roulement [53]

d’un coefficient de Stribeck St.Qmax = St.Fr

Z(1.11)

Cette relation sera par la suite étendue en modifiant la valeur de St pour l’appliquer à desroulements avec un jeu non nul. Bien que cette relation soit adoptée et utilisée pendant plu-sieurs années, elle présente quelques limites. La valeur attribuée au coefficient St est 4.37 pourun jeu nul. St prendra plus tard une valeur de 5 pour prendre en compte l’influence du jeusupérieur à zéro. Cette valeur n’évalue pas d’une manière quantitative l’influence du jeu sur larépartition des efforts du roulement ; elle ne tient compte que de sa présence. Se basant sur lathéorie de Hertz et sur le rapprochement des bagues dus à la compression locale des élémentsroulants, Palmgren et Harris [55] ont pris explicitement en compte la valeur du jeu dans leurformulation analytique de la répartition des efforts dans le roulement en faisant une étudeanalytique complète des roulements. Ces études ont été menées pour mieux connaître le com-portement mécanique des roulements sous chargement en vue de déterminer leur durée de vie.

Afin d’étudier le comportement des roulements dans des mécanismes, des travaux demodélisation analytique ont été faits en vue d’évaluer les effets des roulements sur le compor-tement des mécanismes. Pour ce faire, l’estimation de la rigidité des roulements est nécessaire.La modélisation des éléments roulants par Harris [55], [57], [58] ont permis de déterminer la re-lation nonlinéaire entre la déformation des composants du roulement et la charge appliquée.Gargiulo [59] a proposé une relation empirique et simplifiée force-rigidité et déplacement-rigidité en assumant que les pistes de roulement sont rigides. Ces formulations sont appli-cables au chargement radial et axial de certains types de roulements mais présentent quelqueslimites car elles ne considèrent pas les rigidités issues des moments [60]. Lim et al.[61] ontproposé un modèle théorique permettant de prendre en compte le moment dans la matricediagonale de raideur du roulement. De Mul [62] pour sa part, a proposé une approche matri-cielle et une description vectorielle de la géométrie permettant de calculer la répartition des


efforts, les positions et les angles de contact. Cette approche a été utilisée par Bourdon [63] envue d’intégrer le comportement mécanique du roulement dans un code de calcul éléments finis.

Cette approche [63] est une méthode alternative de modélisation du roulement en discré-tisant les éléments roulants (billes) et en associant à chacun d’eux un élément fini à deuxnœuds (Figure 1.20) en vue de pouvoir l’intégrer dans un code de calcul par éléments finis.L’élément à deux nœuds est un élément reliant un nœud de la bague intérieure et un nœud dela bague extérieure grâce une matrice de rigidité de dimension 10x10. Cette approche a étéutilisée pour étudier le comportement dynamique global des boîtes de vitesses automobiles.

Figure 1.20 – Discrétisation du roulement en corps roulants [63]

Pour la résolution du problème, certaines hypothèses ont été notamment posées :— les sections transversales des bagues sont indéformables— à chaque corps roulant correspond un nœud de la bague intérieure et un nœud de la

bague extérieure (Figure 1.20) situés dans le plan radial

A travers cette étude bibliographique, on peut classer les approches sur la modélisationnumérique en 3 catégories :

— l’approche analytique basée sur les formulations analytiques— l’approche numérique permettant d’étudier les roulements par la méthode des éléments

finis— l’approche hybride ou semi-analytique permettant de combiner les formulations ana-

lytiques et la méthode des éléments finis.Les approches sur la modélisation du comportement des roulements permettent de com-

prendre la réponse mécanique des roulements lorsqu’ils sont soumis à des sollicitations et dedéterminer la répartition des efforts. La plupart de ces approches ne permettent pas d’étu-dier le comportement en fatigue du matériau constituant les composants des roulements. Lepassage répété des éléments crée un phénomène de fatigue dans les bagues et les billes duroulement. Nous présenterons dans les sections à venir quelques notions de la fatigue des

1.8. Bilan, objectif et démarche 53

matériaux avant d’aborder le phénomène particulier de fatigue de roulement rencontré dansles roulements.

1.8 Bilan, objectif et démarche

1.8.1 Bilan

Les roulements à billes à gorge profonde sont des systèmes complexes utilisés dans diversmécanismes car ils permettent de supporter des charges tout en facilitant le mouvement derotation relatif d’une pièce par rapport à une autre. C’est le cas du rotor par rapport austator dans les alternateurs automobiles où le rotor est guidé en rotation par deux roule-ments à bille. Ces roulements servent également à supporter les efforts provenant du moteur.Malgré le développement des nuances d’aciers plus résistants constituant les composants duroulement, ces roulements ne tiennent pas de manière infinie dans les mécanismes à cause desconditions de fonctionnement sévères entraînant des phénomènes de fatigue. Ces phénomènesentraînent l’écaillage au sein du matériau des billes et des bagues.

Plusieurs approches ont été proposées dans la littérature permettant de prédire leur duréede vie. Notons que les études de répartition des efforts au sein des roulements sont nécessairesdans la démarche de prédiction de la durée de vie. Nous pouvons classer ces approches endeux catégories : l’approche statistique basée sur les résultats issus d’une campagne d’essaiset l’approche basée sur la mécanique des milieux continus prenant en compte des considéra-tions physiques. La plus célèbre et la plus utilisée est celle basée sur l’approche de Lundberg-Palmgren adoptée par les normes de calcul des durées de vie. La plupart de ces approchesne prennent pas en compte les conditions spécifiques de fonctionnement telles que les char-gements complexes, l’environnement mécanique complexe rencontré dans les roulements àbilles montés dans les alternateurs automobiles de Valeo.

1.8.2 Méthodologie proposée

Ce travail de recherche a pour objectif de proposer une méthode numérique permettant deprédire la durée de vie de ces roulements en tenant compte de plusieurs paramètres. Pour yparvenir, nous avons établi une démarche présentée dans la figure 1.21 qui comprend plusieursétapes et qui mobilise des connaissances diverses dans plusieurs domaines de la mécanique.

Ce travail peut être organisé autour de 5 grands axes : (1) détermination de la géométrie,(2) l’analyse statique du roulement permettant de déterminer la répartition des efforts, (3) lamodélisation dynamique, (4) l’analyse en fatigue et (5) les études expérimentales. En effet,la connaissance des données du roulement tels que la géométrie, l’environnement mécaniquecomplexe, les paramètres de chargement et du matériau vont nous permettre d’établir une


modélisation statique de roulement permettant de déterminer la répartition des efforts ausein du roulement. Deux approches seront proposées : une approche semi-analytique permet-tant de remplacer les billes au sein du roulement par des éléments dont la matrice de raideurest obtenue analytiquement et une approche éléments finis permettant de résoudre les pro-blèmes de contact au sein du roulement en vue de déterminer la répartition des contrainteset des efforts. Ces deux approches nous permettront de connaître la variation des effortssur les billes en fonction de leur position sur la piste de roulement. Les résultats issus desconsidérations statiques serviront à alimenter un modèle dynamique mis en place permettantde simuler le roulement des billes sur la piste de roulement. La modélisation dynamique duroulement a pour but de déterminer l’état de contrainte temporelle nécessaire à l’analyse enfatigue du matériau constituant le roulement. Le choix d’un critère de fatigue approprié cou-plé à une loi de cumul d’endommagement permettra de déterminer le nombre de cycles avantqu’apparaissent les premiers signes d’écaillage. Enfin, un aspect expérimental sera abordépermettant de réaliser des essais d’endurance sur un banc d’essai conçu par nos soins. L’ana-lyse vibratoire nous permettra de surveiller l’apparition des défauts au sein du roulement lorsdu déroulement des essais.

1.8. Bilan, objectif et démarche 55

Figure 1.21 – Démarche adoptée dans cette thèse

Chapitre 2

Modélisation du roulement à billes

Introduction

L’importance des roulements à billes n’est plus à démontrer dans les alternateurs auto-mobiles. Ces équipements sont soumis à des conditions complexes (chargement et environ-nement). La connaissance du comportement mécanique des roulements est nécessaire, nonseulement, dans les phases de conception et d’optimisation des machines tournantes maisaussi dans les calculs de prédiction de la durée de vie. L’un des paramètres importants àconnaître lors de ces phases est la répartition des efforts au sein des roulements ou commentles billes transfèrent l’effort d’une bague à une autre. Cet aspect est difficile à maîtriser enfonctionnement du roulement à cause des mouvements des billes et des difficultés de posi-tionnements des capteurs. Les approches analytiques abordés dans le chapitre précédent sontapplicables à des roulements considérés de manière isolés ou montés dans des environnementsrigides [64]. Ces hypothèses ne sont pas adaptées à la problématique des alternateurs où lesroulements logent dans des carters dont la géométrie est complexe et optimisée pour desbesoins liés au refroidissement de l’alternateur.

C’est pourquoi, dans ce chapitre, nous proposons d’aborder le problème en utilisant deuxapproches (semi-analytique et éléments finis) afin d’intégrer sur le plan numérique la géomé-trie complexe des logements dans les études de la répartition des efforts au sein du roulement.Une étude préalable impliquant le roulement isolé va permettre de valider les deux approchesavant de les appliquer à la problématique des alternateurs. Pour ce faire, la connaissance de lagéométrie des roulements est importante. Nous commençons ce chapitre par la déterminationde la géométrie du roulement par la métrologie tridimensionnelle du roulement.

57

58 Chapitre 2. Modélisation du roulement à billes

2.1 Mesure de la géométrie d’un roulement

Les alternateurs de Valeo sont équipés de deux roulements à billes à gorges profondes.Ce sont des roulements de désignation 6303 et 6202 composés d’une bague intérieure, d’unebague extérieure et de 7 billes. De par la composition de l’alternateur et des sollicitationsauquel il est soumis (Figure 1.3), le roulement avant est le plus sollicité. Nous avons choisi defaire la métrologie seulement sur le roulement avant. Afin d’accéder aux parties à mesurer,la forme et la composition des roulements nécessite une découpe tout en minimisant lesdéformations des composants. La solution qui semble répondre à ces exigences est la découpepar électroérosion. Ce procédé de découpe a été choisi pour ses multiples avantages :

— Usinage sans déformation pour l’usinage de faible dimensions puisqu’il n’y a pas decontact pièce-outil.

— Usinage de métaux durs, traités ou réfractaires.— Précision de la découpe allant jusqu’à 2 microns en finition.Une fois les roulements découpés, on peut accéder aisément aux pistes de roulement des

bagues intérieures (Figure 2.1) pour mesurer les rayons de courbures qui sont importantsdans la modélisation du roulement.

Figure 2.1 – Les bagues découpées du roulement à billes

Les moyens de mesure classiques ne permettent pas de mesurer toutes dimensions duroulement telles que les rayons de courbure de la piste de roulement. La méthode qui semblela plus efficace pour déterminer avec une certaine précision ces rayons de courbure est lerecours à la métrologie tridimensionnelle. Les mesures ont été faites sur la machine à mesurertridimensionnelle de l’IUT de l’Université de Reims Champagne-Ardenne.

Une machine à mesurer tridimensionnelle (MMT) matérialise un repère orthonormé à 3dimensions (O, x, y, z). Pour chaque point palpé, on recueille les coordonnées du centre dupalpeur. Les pièces à mesurer sont modélisées à l’aide des éléments géométriques définis parle préparateur (points, droites, plans, cercles, cylindres, cônes et sphères). A partir du nuagede points palpés, un traitement suivant la méthode des moindres carrés permet de définir

2.1. Mesure de la géométrie d’un roulement 59

quantitativement les éléments géométriques et calculer les dimensions.

2.1.1 Méthodes de mesure des rayons de courbure des bagues

La piste de roulement a la forme d’une portion de tore dont les deux rayons caractéristiquessont importants dans la modélisation du roulement. La stratégie de mesure consiste à trouverle plan dans lequel seront palpés les points de la piste de roulement. Ce plan doit passer parle point le plus bas de la piste de roulement. Pour déterminer ce point par où passera lagénératrice de palpage, deux méthodes sont utilisées.

La première méthode, dénommée "méthode du milieu" consiste, à palper deux pointslatéraux, et calculer le milieu. Le projeté du milieu sur la piste de roulement sera le pointpar où passera la génératrice de palpage (Figure 2.2). Cette méthode souffre de certainesinsuffisances car les mesures dépendent de la mise en position qui n’est pas forcément précise.

Figure 2.2 – Recherche du point le plus bas de la piste de roulement

La deuxième méthode dite "de plan médian" consiste à déterminer le plan dans lequelseront palpés les points de la piste de roulement. Ce plan est obtenu à partir des plansdes deux épaulements de bagues définis par trois points palpés (Figure 2.3). Cette méthodeprésente des avantages puisque la précision ne dépend pas de la mise en position de la piècesur le banc de la machine. Cette méthode a été retenue pour les mesures.

Figure 2.3 – Recherche du plan médian

Une fois le plan déterminé, huit points sont palpés dans le sens du grand rayon de la piste,et huit autres dans le sens du petit rayon (Figure 2.4). Les dimensions sont obtenues par la


méthode des moindres carrés à partir des coordonnées des points palpés.

Figure 2.4 – Mesure des rayons de courbure des bagues

2.1.2 Méthode de mesure des billes

Les billes, par leurs formes sphériques, ne peuvent pas être mesurées à l’aide de la machinetridimensionnelle, ainsi nous avons utilisé le comparateur au 1/1000ème (Figure 2.5).

Figure 2.5 – Comparateur au 1/1000ème

L’aiguille du comparateur est réglée sur zéro pour une valeur nominale X du diamètre dela bille. La bille est ensuite passée entre les palpeurs du comparateur et en fonction du sensde déplacement de l’aiguille le diamètre dw de la bille est obtenu avec l’équation 2.1.

dw = X ±∆d (2.1)

A partir de ces méthodes de mesure, les caractéristiques géométriques (Figure 2.6) des rou-lements ont été déterminées et résumées dans le tableau 2.1. Les mesures ont été faites sur8 roulements à billes à gorge profondes 17x47x14 de deux fournisseurs différents (NTN etNSK) soit 4 roulements pour chaque fournisseur.

2.2. Caractérisation des matériaux de roulement 61

Figure 2.6 – Caractéristiques géométriques du roulement

Table 2.1 – Valeurs mesurées des caractéristiques de la géométrie du roulement

Dimensions (mm) NTN NSK

Caractéristiques Symbole Mesure Ecart-type Mesure Ecart-type

Diamètre de courbure de la piste de BI di 8,955 0,017 8,955 0,017

Diamètre de courbure de la piste de BE de 9,278 0,013 9,328 0,002

Diamètre intérieur de BI Di 23,258 0,003 22,747 0,010

Diamètre intérieur de BE De 40,740 0,020 40,233 0,004

Diamètre de la bille dw 8,719 0,001 8,718 0,000

Diamètre extérieur D 47 - 47 -

Diamètre de l’arbre d 17 - 17 -

Largeur du roulement B 14 - 14 -

2.2 Caractérisation des matériaux de roulement

Pour modéliser le roulement, il est nécessaire de connaître les propriétés des matériauxconstituant les composants de celui-ci. La nuance d’acier la plus couramment utilisée pour lesroulements est l’acier 100Cr6. Ne disposant pas d’éprouvettes de ce matériau pour réaliser desessais mécaniques, il a fallu trouver une méthode d’identification des propriétés du matériau.Pour cela, nous avons eu recours à l’analyse métallurgique et aux essais de microdureté pourles comparer aux matériaux décrits dans la littérature. Les analyses ont été faites sur desroulements de deux fournisseurs différents (NTN et NSK).


2.2.1 Métallurgie

Les observations métallurgiques ont montré une microstructure fine et homogène biphaséeconstituée de la martensite semée de fins carbures (Figure 2.7). Pour les roulements du mêmefournisseur, nous n’avons enregistré aucune différence de microstructure sur les bagues et lesbilles. On peut en déduire que les composants du roulement (billes et bagues) sont réalisésdans le même matériau. Par contre la différence de microstructure des matériaux des deuxfournisseurs (Figure 2.7 a et b) s’explique par les différents traitements thermiques subis lorsde la fabrication du roulement.

Figure 2.7 – Métallurgie des aciers de roulement (a) NTN (b) NSK

2.2.2 Essais de micro-dureté

Des essais de microdurété ont été réalisés à 0.5 mm de la piste de roulement des bagues(Figure 2.8). Les résultats issus des micro-dureté (Tableau 2.2) des composants des roulementsnous ont conduit à retenir pour la modélisation un acier de module d’Young E = 207500MPa

et de coefficient de Poisson ν = 0.29.

Table 2.2 – Dureté Vickers des billes et bagues des roulements à billes de deux fournisseurs

Fournisseur Bille BE BI

NSK 763 743 763

NTN 786.3 757.3 684

2.3 Modélisation du roulement : approche semi-analytique

Inspirée de la démarche de De Mul [62] [63], le principe consiste à modéliser le roulementen 3D et à remplacer les billes par des éléments à deux noeuds dont la matrice de raideur estcalculée analytiquement. Elle a pour objectif de déterminer la répartition des efforts au sein

2.3. Modélisation du roulement : approche semi-analytique 63

Figure 2.8 – Essais de microdureté sur les bagues du roulement

du roulement où les billes sont remplacées par des éléments à deux nœuds à 5 degrés de liberté(Figure 2.9). La démarche consiste à déterminer pour le déplacement relatif élémentaire desnoeuds de la bague extérieure et de la bague intérieure (Ni et Ne), le déplacement du centrede la bille pour assurer l’équilibre de celle-ci. Contrairement à l’approche de De Mul-Bourdonoù les nœuds Ni et Ne sont choisis en n’importe quel endroit des bagues, nous avons, dansnotre démarche choisi ces nœuds sur la piste de roulement au point de contact entre les billeset les bagues.

Figure 2.9 – Billes remplacées par des éléments à deux nœuds

En considérant deux solides en contact, il existe une relation entre l’effort et la déflectionoccasionnée d’après la théorie de Hertz (Equation 2.2) :


Q = Kδn (2.2)

Où δ est la déflection occasionnée sous un effort de contact Q, n est l’exposant dépendantde la nature de contact et K une constante de rigidité de contact. Cette relation peut êtreappliquée aux contacts entre les billes bagues au sein du roulement. A partir des déplacementsdes nœuds Ne et Ni, on peut déterminer les efforts de contact au niveau de chaque billes duroulement.

2.3.1 Méthodologie

La résolution du problème se fait par la méthode itérative de Newton-Raphson (Figure2.10). Elle commence par l’initialisation des déplacements des noeuds des billes du modèlede roulement. A chaque itération, les déplacements des nœuds Ne et Ni de chaque bille sontcalculés. L’équilibre est atteint lorsque l’équilibre global est atteint.

Figure 2.10 – Algorithme de résolution de l’équilibre des billes

Dans la résolution des problèmes d’équilibre au sein du roulement, différents repères or-thonormés directs (Figure 2.11) sont utilisés pour déterminer le mouvement relatif des billeset de la bague intérieure par rapport à la bague extérieure :


Figure 2.11 – Repères du roulement

— le repère élémentaire (global) cartésien R1(O,−→ex ,−→ey ,−→ez ) ;— le repère cylindrique R2(Cr,−→en,−→er ,−→ez ) avec ϕ l’angle de position du centre de la bille

Cr dans le repère cylindrique ;— le repère lié à la bague extérieure R3(Cr,−→en′ ,−→er′ ,−→ez ) qui tient compte du basculement

éventuel de la bague extérieure par rapport à la bague intérieure.Notons θx, θy, θz respectivement les déplacements angulaires du point Ne dans le repère

R1 suivant les trois directions −→ex , −→ey , −→ez et l’angle γ de basculement de la bague extérieuredans le plan radial de calcul, l’angle γ a pour expression :

γ = θxsin(ϕ) + θycos(ϕ) (2.3)

En définissant [G1] et [G2], respectivement les matrices de transformation des coordonnéesde Ne et Ni du repère R1 dans le repère R3, les déplacements U du centre de la bille Crappartenant à la bague intérieure (BI) et extérieure (BE) ont pour expression :

U(CrεBE)R3= [G1] U(NeεBE)R1

(2.4)

U(CrεBI)R3= [G2] U(NiεBI)R1

(2.5)

Avec :

[Gi] =

cosγcosϕ cosγsinϕ sinγ −Zisinϕ Zicosϕ 0−sinγsinϕ sinγsinϕ cosγ Risinϕ −Ricosϕ 0

0 0 0 sinϕ cosϕ 0

(2.6)

Lorsque l’équlibre des billes est satisfait, il faut rechercher l’équilibre du roulement satis-faisant l’équation 2.7.


R = Fint − Fext =FLint

+FNLint

− Fext = 0 (2.7)

où :— R : le vecteur des forces résiduelles—

FLint

: le vecteur des forces internes des éléments linéaires

—FNLint

: le vecteur des forces internes des éléments non-linéaires

— Fext : le vecteur des forces externesA chaque itération, le vecteur des efforts résiduels ainsi que la matrice de raideur tan-

gente [KT ] sont obtenus en fonction de la différence entre le précédent et le nouveau vecteurdéplacement respectivement ui et ui+1 des nœuds des éléments billes.

[KT ] ∆u = R (2.8)

[KT ] = −[∂ R∂ u

]= −

[KLT

]+[∂FNL

int

∂ u

](2.9)

Les éléments du modèle peuvent être classés en deux catégories : les éléments linéairesdont la matrice de raideur est constante au cours du processus et les éléments non-linéairesque sont les éléments billes dont les matrices tangentesKT sont recalculées à chaque itération.Les différentes étapes du calcul sont résumées à la figure 2.10.

Lorsque le roulement est chargé, considérons la j-ème bille du système de roulement (Fi-gure 2.12), elle est soumise à :

— l’effort créé par le contact avec la bague intérieur (Qij)— l’effort créé par le contact avec la bague extérieure (Qoj)— l’effort centrifuge (CFj)

Figure 2.12 – Equilibre d’une bille du roulement

En considérant un repère local, la bille est en équilibre si :


−→Qij +−−→CFj +−→Qoj = −→0 (2.10)

Nous nous plaçons dans le cas de chargement quasi-statique où on peut négliger l’effortcentrifuge (−−→CFj = −→0 ), l’équation 2.10 devient :

−→Qij +−→Qoj = −→0 (2.11)

Considérons δij et δoj les déplacements occasionnés par le contact de la bille respectivementsur la bague intérieure et sur la bague extérieure.

Qij = Kijδ3/2ij (2.12)

Qoj = Kojδ3/2oj (2.13)

Kij et Koj sont des constantes de rigidité de contact entre la bille et respectivement labague intérieure et extérieure. Ces coefficients sont obtenus à partir des intégrales elliptiquesdu premier et du second ordre, de la géométrie et les propriétés mécaniques du matériau(Annexe 2).

La résolution de l’équilibre global se fait à l’aide d’un code d’éléments finis après l’intégra-tion des matrices de raideur des billes. Le recours à un code éléments finis pour la résolution del’équilibre global est justifié par l’intégration future de l’environnement mécanique complexede l’alternateur.

On se place dans un cas de chargement quasi-statique où les effets centrifuges et de vitessede rotation sont négligés. Le modèle éléments finis est constitué d’une bague extérieure fixeet d’une bague intérieure qui supporte un effort à son centre. L’arbre est modélisé avec despoutres en étoile reliées au centre du roulement (Figure 2.13).

Les éléments du roulement notamment les bagues ont été construites et maillées en élé-ments briques solides hexaédrales (Figure 2.14a) sur le logiciel Abaqus. Les noeuds de ceséléments ont trois degrés de liberté à savoir les translations (ux, uy, uz). Pour permettre deprendre en compte les rotations, nous avons inséré sur la piste de roulement des élémentscoques permettant de transmettre les rotations (Figure 2.14b). Les nœuds de ces élémentsson fusionnés avec ceux des éléments solides de la piste de roulement. Les nœuds de liaisondes éléments billes (Ne et Ni) sont pris sur la piste de roulement correspondant au point decontact des billes avec les bagues (Figure 2.14c). Le modèle est constitué de 10570 nœudset 8260 éléments dont 6160 éléments solides briques à point d’intégration réduit (C3D8R) et2100 éléments à enveloppes déformables (S4R). Ces éléments ont de très faible épaisseur de


Figure 2.13 – Modèle 3D du roulement permettant d’intégrer l’approche semi-analytique

manière à négliger leurs effets sur la raideur du modèle.

(a) (b) (c)

Figure 2.14 – (a) Maillage des bagues, (b) Ajout d’enveloppe sur la piste de roulement, (c)Noeuds Ni et Ne servant de liaison des éléments billes

Le comportement des éléments billes assimilés à des ressorts non-linéaire est pris en comptedans la résolution de l’équilibre global par l’intermédiaire de leurs matrices de raideur calcu-lées à chaque itération. Les éléments billes sont des éléments à deux nœuds dont la matricede raideur tangente permet de résoudre l’équilibre global du roulement concerné.

2.3.2 Comportement des billes

Les termes de la matrice de rigidité des billes dépendent du type de chargement (radial,axial, mixte) et de son intensité. Pour un roulement chargé radialement (Figure 2.13), l’évo-lution des raideurs des éléments billes évoluent d’une manière non-linéaire par rapport à


la force radiale appliquée, ce qui confirme le comportement non-linéaire des éléments billes(Figure 2.15).

Figure 2.15 – Les raideurs suivant l’axe x des éléments billes du roulement

Figure 2.16 – Evolution de Qmax en fonction de Fr

Pour les 7 billes que constituent les roulements, seules 3 billes sont en contact donc avec


des raideurs non nulles. Aussi, seules 3 billes participent au transfert des efforts d’une bagueà l’autre. Le transfert des efforts diffère en fonction de la position des billes par rapport auxefforts. Quelle que soit la force radiale Fr appliquée (2000 à 7000N), elle se répartit seulementsur 3 billes. La force maximale Qmax sur les trois billes concernées varie linéairement parrapport la force radiale Fr (Figure 2.16). Notons que ces résultats sont valables pour unchargement purement radial.

2.4 Modélisation par éléments finis des roulements à billes

La résolution des problèmes de contact a beaucoup évolué depuis les travaux de Hertz [33]avec l’apparition des outils informatiques plus performants et des codes de calcul de plus enplus élaborés. Le contact entre deux solides quelconques implique deux difficultés importantes.Premièrement, la surface de contact permettant de calculer la pression de contact n’est pasforcément connue au préalable notamment dans le cas d’un contact bille/bague (roulement àbilles). En plus, la prise en compte des propriétés de contact notamment le frottement rend larésolution du problème fastidieux. Des algorithmes plus élaborés sont intégrés dans les codesde calcul par éléments finis permettant d’obtenir des résultats plus précis. Pour le calcul desroulements, nous avons retenu le logiciel Abaqus qui gère particulièrement bien les problèmesde contact.

2.4.1 Modélisation tridimensionnelle du contact dans le roulement

La résolution du contact au sein du roulement est cruciale pour la connaissance de larépartition des contraintes et des efforts. A partir de la géométrie de roulement obtenue àla section 2.1, un modèle tridimensionnel de roulement a été développé avec le logiciel Aba-qus. Le roulement consiste en plusieurs contacts entraînant des difficultés dans la résolutiondu problème nécessitant des algorithmes de résolution robustes et des temps de résolutionsimportants. Certaines hypothèses ont été adoptées afin de faciliter la modélisation :

— on se place dans le cas quasi-statique où les effets dynamiques sont occultés.— l’effet de la graisse de lubrification et des joints sont négligés— le contact entre les billes et la cage sont négligés et la cage est considérée comme

rigide et modélisée par des éléments rigides reliant les centres des billes permettant demaintenir l’écart angulaire entre les billes.

Le modèle numérique permet de déterminer la répartition des contraintes, pressions etefforts au sein du roulement.

2.4.2 Etude préalable du contact entre une bille et une bague

Le roulement étant composé de plusieurs éléments en contact (Figure 2.17a), la résolutiondes problèmes de contact consiste à résoudre l’équilibre de contact de tous les éléments qui

2.4. Modélisation par éléments finis des roulements à billes 71

y participent. Pour un roulement sollicité radialement par un effort Fr, il apparaît au seindu roulement un effort de contact Qe de compression de la bille contre la bague extérieure,et Qi de la bille contre la bague intérieure. Nous nous intéressons dans un premier temps àl’analyse de contact entre une bille et une bague. En appliquant les symétries de chargementet de géométrie, nous obtenons un modèle plus simple de contact entre la bille et les bagues(Figure 2.17b,c).

a. b. c.

Figure 2.17 – (a) Contact au sein du roulement (b) Contact entre BE et bille, (c) Contact entreBI et bille

2.4.2.1 Chargement et conditions aux limites

Les deux modèles éléments finis présentent le contact entre une portion de bille et de bagueen considérant les symétries. Les efforts de contact Qe et Qi sont respectivement appliquéssur la bille respectivement dans le cas du contact avec la bague extérieure et celui du contactde la bague intérieure. On se place dans le cas d’un chargement quasi-statique. La résolutiondu problème se fait à l’aide d’une méthode implicite (Abaqus Standard). Les conditions auxlimites sont présentées à la figure 2.18.

2.4.2.2 Etude du maillage

Le maillage est un paramètre important dans la précision des résultats surtout quandil s’agit des problèmes de contact. Une étude préalable de maillage a été menée en vue dechoisir la taille de maillage la mieux adaptée dans les zones de contact entre billes et bague.Les zones candidates et voisines du contact sont maillées le plus finement possible que lereste du modèle (Figure 2.19). Les deux modèles sont constitués d’éléments briques (C3D8R)à 8 nœuds à point d’intégration réduit. Le choix de ce type d’éléments a été fait à la suited’une série d’études réalisées sur les différents types d’éléments disponibles et est basé sur uncompromis entre le temps de calcul et la précision des résultats.


a.

b.

Figure 2.18 – Chargement et conditions aux limites des contacts (a) bille/bague extérieure (b) etbille/bague intérieure

Figure 2.19 – Maillage des bagues et de la bille


2.4.2.3 Analyse des résultats

L’analyse est faite en considérant le comportement du matériau purement élastique. Lecontact entre la bille et les bagues crée une surface de contact elliptique (Figure 2.20) depression maximale Pmax =3321 MPa pour le contact bille/bague extérieure et Pmax=3684MPa pour le contact bille/bague intérieure.

Figure 2.20 – Surface de contact elliptique sur les pistes de roulement

La pression se répartit de manière elliptique suivant l’équation A1.8 (Annexe 1) et prendune valeur maximale Pmax au point O où x = 0 et y = 0 (Figure 2.21). La comparaisondes résultats issus du calcul éléments finis comparés aux resultats analytiques de Hertz aété satisfaisante pour le modèle de bague extérieure (Figure 2.22) et le modèle de la bagueintérieure (Figure 2.23). En effet l’écart relatif entre l’approche de Hertz et les modèles EFvarie de 2 à 4%.

Une étude de l’évolution de l’état de contrainte en profondeur des bagues du roulementmet en évidence un état de contrainte multiaxial avec une contrainte équivalente de von Mises


Figure 2.21 – Répartition elliptique de la pression de contact

Figure 2.22 – Répartition elliptique de la pression de contact sur la bague extérieure

Figure 2.23 – Répartition elliptique de la pression de contact sur la bague intérieure


maximale à une profondeur d’environ 200 µm (Figure 2.24). Cette étude préalable constituel’étape de validation nécessaire pour aborder la modélisation tridimensionnelle du roulementcomplet dont l’objectif est de déterminer la répartition des efforts et au sein du roulement.

Figure 2.24 – Evolution de contrainte en profondeur sur (a) la bague extérieure (b) la bagueintérieure

2.4.3 Répartition des efforts au sein du roulement

Le transfert des efforts d’une bague à l’autre se fait par l’intermédiaire du contact entreles billes et les bagues. La connaissance de la répartition des pressions de contact permetd’obtenir dans le roulement les efforts de contact. En effet pour chaque élément de contactde surface ∆S (Figure 2.25), il existe une relation entre la pression de contact p et l’effort decontact ∆Q (Eq. 2.14).

∆Q = p∆S (2.14)


Figure 2.25 – Chargement d’une surface de contact élémentaire

La résultante de l’effort de contact est obtenue en sommant les forces de contact élémen-taires obtenues dans le cas d’un contact entre une bille et une bague.

2.4.3.1 Modèle numérique du roulement complet

L’étude préalable de contact a permis de prendre consciences des difficultés de modélisa-tion des contacts entre les billes est les bagues. Le roulement complet a été modélisé faisantintervenir les contacts multiples entre les éléments du roulement.

Chargement et conditions aux limites

On se place dans le cas quasi-statique où les efforts centrifuges sont occultés. Comme dansle cas de l’analyse semi-analytique, l’étude est faite sur un roulement supportant un effortpurement radial. Nous négligeons également l’effet de gravité des billes. Nous définissons uncontact sans frottement entre les billes et les bagues. Le roulement est sollicité par un effortpurement radial par l’intermédiaire de la bague intérieure (Figure 2.26a) alors que la bagueextérieure est fixe (Figure 2.26b). Cette configuration correspond à un roulement monté dansun environnement indéformable.

Figure 2.26 – Chargement et conditions aux limites du roulement à bille


Maillage

Le maillage a été fait en se basant sur l’étude préalable en raffinant les zones de contact(Figure 2.27). Les éléments retenus sont des éléments briques à 8 noeuds à point d’intégrationréduite (C3D8R). Le modèle comporte 290643 nœuds et 261940 éléments. Le temps de calculs’élève à 23 min 10s.

Figure 2.27 – Maillage des éléments du roulement à bille

2.4.3.2 Analyse des résultats

Seules trois billes participent au transfert de l’effort radial, en témoigne l’existence detrois ellipses de contact de dimensions différentes sur les pistes de roulement de la bagueextérieure (Figure 2.28a) et sur la piste de roulement de la bague intérieure (Figure 2.28b).La répartition des efforts au sein du roulement dépend de la direction, et de la valeur del’effort que supporte le roulement.

Figure 2.28 – Pressions sur la piste de roulement de (a) la bague extérieure (b) la bague intérieure


2.5 Etude comparative des deux approches proposées

Nous avons proposé une approche par la méthode des éléments finis résolvant les problèmesde contact au sein du roulement et une approche semi-analytique où les billes du roulementsont remplacées par des éléments à deux nœuds auxquels sont attribués des matrices deraideur. La finalité de ces études est d’étudier le comportement global des roulements en vuede déterminer la répartition des efforts. Ces deux approches proposées présentent aussi biendes avantages que des inconvénients.

2.5.1 Répartition des efforts

La répartition des efforts constitue un paramètre important car elle permet d’évaluer ladurée de vie du roulement. Nous avons utilisé les deux approches proposées pour étudiercet aspect sur un roulement à billes supportant un effort purement radial. Les résultats entermes d’efforts présentés à la figure 2.29 confirme une répartition inégale des efforts au seindu roulement. En effet, la bille b1 située dans l’axe d’application de la force radiale transfère lamajorité de l’effort radial (environ 64%). Il en ressort que quelle que soit l’approche utilisée,seules 3 billes sur 7 participent au transfert des efforts. Les résultats obtenus sont comparésà la formulation analytique proposée dans la littérature (Annexe 3) et permettent de validerles deux approches proposées (Figure 2.29). En effet, en référence à l’approche analytique,l’erreur relative maximale de l’approche de semi-analytique est de 1,84 % et de 1,428% pourl’approche éléments finis.

Table 2.3 – Répartition des efforts : comparaison des approches

Billes Angles ψ()

ApprocheAnalytique(N)

Approchesemi-analytique(N)

Erreurrelative(%)

Approcheélémentsfinis (N)

Erreurrelative(%)

b7 -51.42 1434.94 1455.51 -1.433 1443.69 -0.610

b1 0 3244.84 3185 1.84 3198.51 1.428

b2 51.42 1434.94 1455.56 -1.437 1443.75 -0.609

2.5.1.1 L’approche semi-analytique

Elle permet d’alléger les efforts de calcul car la résolution des contacts n’est pas prise encompte. L’approche consiste à déterminer d’une manière itérative les déplacements créés surla piste de roulement par les éléments billes à deux nœuds. Lorsque l’équilibre est atteint,les efforts transférés par les billes sont obtenus par la relation de Hertz. Malgré que les billesne soient pas représentées physiquement dans ce modèle, il permet de déterminer par leurs

2.5. Etude comparative des deux approches proposées 79

Figure 2.29 – Répartition des efforts au sein pour Fr = 5000N

raideurs, leurs effets dans un mécanisme. Cette approche permet de faire une analyse statiquefaisant ressortir les résultats en efforts et déplacement au sein du roulement. Si cette approchepermet d’obtenir avec une certaine précision les efforts au sein du roulement, elle ne permetpas déterminer directement les contraintes et les pressions de contact.

2.5.1.2 L’approche numérique

Cette approche permet de représenter physiquement les billes au sein du roulement. Lesproblèmes de contact bille/bague sont résolus par l’algorithme de contact du code de calculpar éléments finis. Les non-linéarités dues au contact exigent un temps de calcul assez long.Le modèle a donné des résultats satisfaisants en termes de répartition des forces, de pressionsde contact et de contraintes. La précision des résultats dépend de la taille de maillage c’estpourquoi une étude préalable de maillage a été nécessaire.

La comparaison des deux approches en termes de temps de calcul permet de mettre enévidence l’avantage de l’approche semi-analytique. En effet, cette approche réduit le tempsde calcul d’environ 75% par rapport à la méthode des éléments finis.


2.5.2 Evolution de l’effort en fonction de la position des billes

Dans les deux approches proposées nous avons analysé le comportement du roulement parrapport à une position fixe des billes. Or en fonctionnement, la position de ces billes variesur la piste de roulement entraînant la variation des efforts qu’ils transfèrent. Pour connaîtrel’évolution des efforts transférés, nous avons répété l’analyse présentée dans la section précé-dente en modifiant à chaque fois la position des billes. Etant donné que l’écart angulaire entreles billes ne varie pas à cause de la cage du roulement, l’étude du comportement d’une seulebille suffit pour en déduire celui de toutes les billes du roulement. La figure 2.30 présente lesrésultats issus de l’approche semi-analytique et de l’approche éléments finis de l’évolution dela force transmise en fonction de la position angulaire de la bille sur la piste de roulement.

Figure 2.30 – Evolution des efforts sur une bille en fonction de sa position sur la piste deroulement pour Fr = 5000N

2.6 Application au cas industriel

Plusieurs travaux dans la littérature, notamment ceux de Stribeck [56], Palmgren, Harris[55], Tomovic [65] ont permis de déterminer la répartition des efforts dans les roulementspar des formulations analytiques. Bien qu’adoptés par la communauté scientifique et utilisésdans les normes de calcul de roulement, ces travaux ne sont applicables que dans le cas oùle roulement est considéré d’une manière isolée de son mécanisme ou dans un environnementmécanique rigide. Or dans la réalité, les roulements sont de plus en plus utilisés dans desenvironnements complexes et déformables : cas des alternateurs automobiles. Pour mieuxcomprendre le comportement du roulement dans les conditions proches de la réalité, il est

2.6. Application au cas industriel 81

nécessaire de l’intégrer dans son environnement en vue d’étudier l’influence de celui-ci. C’estl’une des originalités de notre travail.

2.6.1 Composition mécanique de l’alternateur automobile

L’alternateur automobile est une machine tournante complexe composée de pièces méca-niques qui interagissent entre elles (Figure 1.2). L’axe portant le rotor est guidé en rotationpar deux roulements à billes : le roulement avant 6303 et le roulement arrière 6202. L’al-ternateur peut être simplifié en vue de focaliser l’étude sur les composants mécaniques lesplus importants. A cet effet l’alternateur peut être résumé au palier arrière (1), au roulementarrière (2), au palier arrière (3), au roulement avant (4) et à l’arbre (6) portant la poulie etsupportant une force (Figure 2.31).

Figure 2.31 – Alternateur automobile simplifié

L’effort Fp appliquée sur la poulie (Figure 2.32) résulte des tensions entre les brins dela courroie assurant la liaison entre l’alternateur et le moteur. En vue d’évaluer l’influencede l’environnement mécanique complexe des composants de l’alternateur sur les roulements,nous allons faire l’étude de l’alternateur en intégrant les roulements.

2.6.2 Etude mécanique préalable de l’alternateur automobile

Une étude statique de l’alternateur permet de déterminer la répartition des efforts au seindes roulements. En considérant cette configuration où la poulie est en bout d’arbre (Figure2.32), le roulement avant est plus proche du point d’application de la force, donc plus sollicitéque le roulement arrière. Dans le but d’analyser la répartition des efforts au sein du roulementavant, les deux approches seront utilisées.


Figure 2.32 – Sollicitation de l’arbre de l’alternateur automobile, le rotor n’est pas représenté

2.6.2.1 Etude globale de l’alternateur automobile

La première analyse considère l’alternateur complet (Figure 2.33 a). Elle consiste à prendreen compte sur le plan numérique tous les composants de l’alternateur. Le système est sollicitépar une force Fp appliquée sur la poulie. Les pieds de fixation de l’alternateur sont modéliséspar l’encastrement. Nous définissons une liaison complète entre les bagues extérieure et leurslogements, et entre les bagues intérieures et l’arbre. L’effet des ajustements arbre/bagueintérieure et bague extérieure/logement sont négligés.

Les carters avant et arrière, de par leurs formes, sont maillés par des éléments tétraédriques(Figure 2.34). Nous avons maintenu le même maillage des roulements défini à la figure 2.27et l’arbre de l’alternateur est maillé par des éléments hexaédriques. Le modèle est constituéde 254732 nœuds et de 563101 éléments dont 427654 éléments tétraédriques.

Figure 2.33 – (a) Etude globale de l’alternateur (b) Etude simplifiée focalisée sur le roulementavant dans son logement


Figure 2.34 – Maillage des composants de l’alternateur

2.6.2.2 Etude simplifiée de l’alternateur automobile

Elle a pour objectif de focaliser l’analyse sur la zone accueillant le roulement le plus chargé(roulement avant) en tenant compte de son environnement mécanique (Figure 2.33 b) en vued’alléger le temps de calcul. Le modèle est constitué du roulement avant monté dans sonlogement et chargé par un effort radial F ′p. Les pieds de fixation du carter sont encastrés. Lecarter avant est maillé par des éléments tétraédriques (Figure 2.35), le même maillage desroulements défini à la figure 2.27 a été maintenu pour cette analyse. Le modèle est constituéde 190877 nœuds et 415064 éléments.

2.6.2.3 Résultats

Les résultats issus de ces deux études sont présentés à la figure 2.36. Dans les deux cas defigure, le transfert des efforts est assuré par trois billes pour un chargement radial. Lorsqu’onconsidère la bille la plus chargée, on peut remarquer que les résultats issus de l’étude simplifiéede l’alternateur ne sont pas très différents de l’étude globale (1.5% de différence). La différenceest plus importante sur les billes les moins chargées. L’étude simplifiée permet de réduire letemps de calcul (réduction de 73%). A partir de ces résultats, nous avons décidé, pour lasuite de focaliser l’étude du roulement avant dans son logement.

2.6.3 Influence de l’environnement mécanique sur le comportement des roule-ments

Il s’agit d’évaluer l’influence de l’environnement mécanique sur la répartition des effortsau sein du roulement. Pour ce faire, nous considérons le modèle simplifié de l’alternateurconstitué du roulement avant logé dans son carter (Figure 2.37).


Figure 2.35 – Maillage du modèle simplifié de l’alternateur

Figure 2.36 – Comparaison de la répartition des efforts dans le cas l’étude globale del’alternateur et dans le cas de l’étude simplifiée

Ayant déjà obtenu des résultats dans le cas de l’approche par la méthode des élémentsfinis, nous ferons la même étude par l’approche semi-analytique. Les résultats obtenus seront


confrontés à ceux obtenus dans le cas d’un roulement isolé.

Figure 2.37 – Roulement avant dans son logement

2.6.3.1 Approche semi-analytique de l’étude du roulement dans son logement

Nous avons précédemment utilisé cette approche pour étudier la répartition des efforts ausein d’un roulement où les billes sont remplacées par des éléments à deux nœuds auxquels sontattribuées des matrices de raideur non-linéaires calculées itérativement lors de la résolution.En vue d’évaluer l’influence de l’environnement mécanique, ce roulement est monté dansle palier avant de l’alternateur (Figure 2.38) en alliage d’aluminium. La liaison entre leroulement et le logement est considérée comme complète. Les effets de précontraintes desbagues sont négligés. Elle est assurée par la fusion des nœuds extérieurs de la bague extérieureet les nœuds voisins du logement (Figure 2.38 a, b). Les pieds de l’alternateur sont encastréspour modéliser la fixation de l’alternateur.

2.6.3.2 Resultats

Les résultats en termes d’efforts obtenus en considérant l’environnement mécanique dé-formable sont comparés à ceux issus d’études sur un roulement isolé (Figure 2.39, 2.40).On constate une différence entre les résultats qui s’explique par la déformation du logementpouvant atteindre 15 %. Dans la configuration étudiée, le logement a des effets physiquessur la répartition des efforts puisque l’effort obtenu est inférieur à celui obtenu dans le casd’un roulement isolé. Cette différence est amplifiée dans l’approche par la méthode des élé-ments finis. Nous pouvons l’expliquer par la modélisation physique des billes permettant dese rapprocher de la réalité.

Grâce aux deux démarches (semi-analytique et EF), nous avons pu évaluer l’influencede la déformation du logement complexe en alliage d’aluminium. En effet, la complexité dela forme du logement et les propriétés du matériau conduit à une répartition des efforts


Figure 2.38 – Liaison du roulement avec son logement

Figure 2.39 – Influence du logement sur la répartition des efforts : approche semi-analytique

Figure 2.40 – Influence du logement sur la répartition des efforts : approche EF


différente de celle obtenue sur un roulement isolé. Cette différence peut s’expliquer par ladéformation du logement modifiant les appuis des bagues.

2.6.4 Etude de la souplesse du logement sur l’effort maximal au sein du roule-ment

L’analyse précédente considérant le logement déformable a été réalisée pour une directionfixe de l’effort appliquée. Dans cette configuration, les résultats montrent l’effet bénéfiquede la déformation du logement sur la répartition des efforts. En vue de généraliser cetteconclusion, il nous faut varier la direction de l’effort radial appliqué. A cet effet, nous étudionsl’effort sur la bille la plus chargée, en variant son inclinaison Θ par rapport à l’axe x (Figure2.41). L’angle d’orientation d’effort Θ varie de 0 à 360. L’analyse par éléments finis estretenue en vue de représenter physiquement les billes dans le modèle. Pour chaque valeur deΘ, nous déterminons l’effort sur la bille la plus chargée. Les résultats montrent (Figure 2.42)

Figure 2.41 – Roulement dans son logement et supportant un effort radial suivant plusieursdirections Θ

montrent un effet non négligeable de la forme du logement sur l’effort maximal au sein duroulement. Cet effort est supérieur à celui obtenu dans le cas d’un roulement isolé à certainesdirections de la force appliquée. C’est le cas pour 50 < Θ < 60 et 300 < Θ < 330.


Figure 2.42 – L’effort maximal au sein du roulement en fonction de la force

2.6.5 Evolution des efforts au sein du roulement en tenant compte de la sou-plesse du logement

L’analyse précédente met en évidence l’effet de la déformation du logement sur la répar-tition des efforts pour des positions fixes des billes. Or l’effort sur les billes varie en fonctionde leur position. En vue de déterminer cette évolution, nous avons choisi d’étudier 3 direc-tions d’application de la force, Θ = 0, Θ = 102, Θ = 310 et de les comparer au cas d’unroulement isolé (Figure 2.43). Ces directions correspondent à des configurations différentesde la liaison poulie/courroie. Pour chaque cas considéré (Figure 2.43a, b, c, d), nous faisonsvarier la position des billes sur la piste pour en déterminer la variation de la force qu’ellestransfèrent.

Les résultats issus de chaque configuration ont été présentés à la figure 2.44. Il ressortde ces analyses que la répartition des efforts au sein du roulement varie en fonction de laconfiguration de chargement. Ces études montrent les effets négatifs ou positifs (en fonction dela configuration) de la forme du logement sur le comportement mécanique du roulement. Lasouplesse ou la rigidité du logement joue un rôle déterminant sur le comportement mécaniquedu roulement et par conséquent sur la durée de vie du roulement utilisé. C’est un pointimportant à prendre en compte dans les phases de conception et d’optimisation du montage


a. b.

c. d.

Figure 2.43 – (a) Effort appliqué sur un roulement seul, (b) Effort appliqué suivant une directionΘ = 0, (c) Effort appliqué suivant une direction Θ = 102, (d) Effort appliqué suivant une

direction Θ = 310

Figure 2.44 – L’évolution de l’effort sur les billes en fonction de leur position


d’alternateur.

2.7 Conclusion

L’étude du comportement global des roulements à billes à gorge profonde nécessite laconnaissance de la géométrie du roulement. Nous avons mis en place une démarche basée surla métrologie tridimensionnelle permettant de déterminer les rayons de courbures des pistesde roulement. Ces dimensions ne pourront pas être obtenues par les méthodes classiques demesure.

A partir de la géométrie du roulement obtenu, nous avons modélisé numériquement leroulement. Nous avons proposé deux approches alternatives à la formulation analytique per-mettant de déterminer la répartition des efforts au sein du roulement. La première approchedite semi-analytique consiste à modéliser les billes par des éléments virtuels à deux nœudsdont la matrice de raideur est calculée itérativement à partir des déplacements obtenus. Lesefforts transférés sont obtenus par la relation de Hertz. La deuxième approche permet demodéliser physiquement les phénomènes de contact entre les billes et les bagues. Elle permetde déterminer la répartition des efforts, contraintes, pressions et les déplacements occasionnéspar les contacts en les éléments du roulement.

La comparaison des résultats issus de ces approches, qui sont en accord avec la formu-lation analytique, a permis de valider les deux approches proposées. Ces dernières ont étéutilisées pour étudier le comportement du roulement monté dans un environnement méca-nique complexe et déformable. A partir des résultats obtenus, nous avons montré, les effetsnégatifs ou positifs que peut avoir le logement sur la répartition des efforts et par conséquentsur la durée de vie des roulements utilisés dans les alternateurs. En fonctionnement, les ef-forts transférés par les billes varient en fonction de leur position sur la piste de roulement.Le passage répété des billes, sous charge, sur la piste de roulement crée des phénomènes defatigue de roulement. Cet aspect sera abordé dans le chapitre suivant.

Chapitre 3

Modélisation de la fatigue deroulement

Introduction

A partir des approches proposées, nous avons étudié dans le chapitre précédent le com-portement mécanique des roulements montés dans les alternateurs automobiles. Les effortstransférés par les billes au sein du roulement varient en fonction de la position des billes.En fonctionnement, les billes roulent sur les pistes de roulement créant des contraintes auvoisinage de la zone de contact. Les facteurs intervenant dans la réponse du matériau duroulement sont la force de contact, l’écrouissage du matériau, l’état de contrainte résiduelle,les changements des conditions de contact dus aux déformations plastiques. Le passage ré-pété des billes sur la piste de roulement crée au voisinage de la zone de contact un état decontraintes qui varie au cours du temps. La difficulté dans l’analyse du phénomène de lafatigue de roulement réside dans la détermination de l’état de contrainte.

Plusieurs approches qui sont basées sur une méthode stationnaire permettant de déter-miner l’état stabilisé du matériau dans le cas de l’adaptation (élastique ou plastique)[48] ontété proposées. Cette méthode est applicable aux structures soumises à une charge de contacten mouvement de translation de direction fixe avec une vitesse donnée.

Il est abordé dans ce chapitre une méthode permettant de modéliser le contact roulantentre les billes et la bagues au sein du roulement. L’évolution de l’état de contrainte obtenusert à l’analyse du comportement en fatigue du matériau des composants du roulement envue d’estimer sa durée de vie. Les différentes étapes abordées en vue d’estimer la durée devie peuvent sont résumées à la figure 3.1.

91

92 Chapitre 3. Modélisation de la fatigue de roulement

Figure 3.1 – Différentes étapes de l’analyse en fatigue en vue de l’estimation de la durée de vie

3.1 Fonctionnement du roulement à billes

Le roulement à billes à gorges profondes est un système complexe. En fonctionnement,les billes chargées en fonction de leurs positions, passent sur la piste de roulement de labague intérieure et extérieure. Leurs passages répétés créent des contraintes temporelles auxvoisinages de la zone de contact billes/bagues.

3.1.1 Cinématique du roulement

Avant d’aborder la fatigue du roulement, nous étudions le mouvement relatif des compo-sants du roulement. Dans la problématique des roulements montés dans les alternateurs, labague extérieure (1) est fixe et la bague intérieure (2) est en mouvement à la vitesse −→Ω 21

(Figure 3.2).

3.1. Fonctionnement du roulement à billes 93

Figure 3.2 – Cinématique du roulement [66]

Dans l’hypothèse où les billes roulent sans glisser sur la piste de roulement, le centred’une bille du roulement décrit une trajectoire circulaire dont le centre est celui du roulement.Lorsque l’on considère un point C1 sur la surface de la bille, il a une trajectoire plus complexe,une trajectoire épicycloïdale (Figure 3.3).

Figure 3.3 – Trajectoires des points d’une bille du roulement

La loi de composition de vitesse des composants du roulement a pour expression [66] :

−→Ω 21 = −→Ω 23 +−→Ω 31 (3.1)


où −→Ω 31 est la vitesse de la bille (3) par rapport à l’axe de la bague extérieure (1), −→Ω 21 estla vitesse de la bague intérieure (2) par rapport à la bague extérieure (1) et −→Ω 23 désignela vitesse de la bague intérieure (2) par rapport à la bille (3). La vitesse −→Ω 31 provoqueun mouvement de précession de l’ensemble des billes et entraine donc la cage en rotationpar rapport à la bague extérieure (1). On peut calculer la vitesse de précession ωC/BE parrapport au repère fixe de la bague extérieure (BE), sachant que la bague intérieure tourne àune vitesse angulaire ωBI .

ωC/BE = Ri

Ri +Re

ωBI (3.2)

où Ri et Re sont les rayons du chemin de roulement dela bague intérieure et extérieure. Lavitesse angulaire de la cage correspond à la vitesse angulaire des centres des billes par rapportau centre du roulement. A un tour de la bague intérieure, une bille fait un θième tour exprimépar :

θ = Ri

Ri +Re

× 1tour (3.3)

A et B sont des points sur la piste de roulement de la bague extérieure et intérieure. Lenombre de passages de billes au point A de la bague extérieure et au point B de la bagueintérieure, pour un tour de l’arbre, est donné par la relation (Equation 3.4) [66].

UA∈BE = Ri

Ri +Re

Z

UB∈BI = Re

Ri +Re

Z

(3.4)

où Z est le nombre de billes au sein du roulement.

3.1.2 Evolution des efforts au sein du roulement à billes

Les approches semi-analytiques et numériques présentées au chapitre précédent ont permisde déterminer la répartition des efforts sur les billes au sein du roulement et l’évolution desefforts sur les billes en fonction de leurs positions sur la piste de roulement. A partir deces résultats, on peut évaluer l’évolution des efforts en fonction du temps en connaissant lavitesse de rotation de l’arbre du roulement, puis analyser l’état de contrainte temporel auvoisinage des zones de contact (Figure 3.4).Dans la problématique des alternateurs automobiles, les roulements sont essentiellementsujets à des sollicitations radiales de direction fixe. Par conséquent, les billes ne transmettentdes efforts que dans une zone bien définie du roulement (Figure 3.4). En considérant uneseule bille du roulement, elle ne transfère des efforts qu’à partir de l’instant t0 (Figure 3.5 a).Cet effort s’accroît jusqu’à atteindre une valeur maximale à l’instant t2 avant de décroître

3.1. Fonctionnement du roulement à billes 95

Figure 3.4 – Contraintes au sein de roulement

(Figure 3.5 b).

a. b.

Figure 3.5 – Evolution des charges sur une bille au sein du roulement

Sachant qu’il y a 7 billes au sein du roulement et que l’écart angulaire entre les billes estsupposé rester constant au cours du fonctionnement, on peut déduire l’évolution des effortssur les autres billes du roulement au cours du temps dans le cas d’une force purement radialeconstante appliquée au centre du roulement (Figure 3.6).

Lorsque la bague intérieure est en rotation, les sollicitations varient en chaque point desbagues de manière répétée pour un effort radial constant appliqué au centre du roulement.En considérant un point A sur la piste de roulement de la bague extérieure et un point B surla piste de la bague intérieure (Figure 3.5), ces points sont soumis à des efforts de manièrerépétée. Le mouvement de rotation de la bague intérieure et des billes fait qu’une bille peutêtre en contact avec les bagues en dehors de la zone de chargement du roulement. La forceau point B, par conséquent, varie en fonction de l’instant de contact avec une bille. Elle peutatteindre une valeur nulle pour le contact avec certaines billes (Figure 3.7a). En ce qui laconcerne la bague extérieure qui est supposée être fixe, la force sur le point A est identique àchaque passage d’une bille (Figure 3.7b). Le passage répété des billes sous charge crée dansles bagues des états de contraintes cycliques générant le phénomène de fatigue au sein descomposants du roulement.


Figure 3.6 – Evolution des charges sur toutes les billes du roulement

Figure 3.7 – Evolution des charges pour une force Fr = 5000N (a) sur un point B de la bagueintérieure et (b) sur un point A de la bague extérieure

3.2 Modèle de fatigue de roulement proposé

La finalité de nos travaux est de proposer une méthode numérique de calcul de durée devie. Ces calculs prévisionnels nécessitent la connaissance des paramètres d’endommagement

3.2. Modèle de fatigue de roulement proposé 97

occasionnés par l’état de contrainte au sein du matériau. Le contact elliptique entre les billeset les bagues du roulement exige de faire une analyse tridimensionnelle. La déterminationde l’état de contrainte tridimensionnel est la plus compliquée dans les travaux d’ingénierie.L’objectif de la modélisation de la fatigue de roulement est de déterminer l’état et la naturedes contraintes dans les bagues à tout instant en vue d’étudier le comportement en fatiguedu matériau constituant les composants du roulement.

Les études préalables du roulement basées sur des considérations statiques ont permis dedéduire l’évolution des efforts transmis d’une bague à une autre en fonction de la positiondes billes au sein du roulement. La transmission des efforts provoque des contraintes à l’in-térieur des bagues. Des approches ont été proposées dans la littérature en vue de déterminerl’évolution de l’état de contrainte et de déformation sur des solides en contact en posant deshypothèses simplificatrices en vue d’alléger les efforts de calculs simplifiant la géométrie dessolides en contact [50] et en limitant l’analyse à un cas 2-D. Mais l’évolution de l’informatiqueces dernières décennies, avec le développement de moyens puissants de calculs a permis deprendre en compte les aspects tridimensionnels qui sont importants dans le phénomène defatigue de roulement. Nous proposons un modèle tridimensionnel de fatigue de roulement,prenant en compte la géométrie des composants du roulement, afin de déterminer l’état decontrainte et de déformation au voisinage du contact bille/bague à tout instant donné.

3.2.1 Hypothèses simplificatrices du modèle

A cause de la complexité du roulement et dans le but de faciliter la modélisation, cer-taines hypothèses simplificatrices permettant de faciliter la modélisation ont été posées. Lephénomène de fatigue de roulement au sein du roulement peut être divisé en deux parties :

— le contact roulant entre la bague extérieure et les billes (Figure 3.8 a) ;— le contact roulant entre la bague intérieure et les billes (Figure 3.8 b).Les études des forces de contact (Figure 3.7a,b) montrent que la bague extérieure est

soumise aux conditions de fatigue les plus défavorables en analysant le nombre de sollicita-tions à un point de la bague extérieure. En vue de réduire les temps de calcul, nous allonsconsacrer la modélisation au contact roulant entre la bague extérieure et les billes. Le carac-tère essentiellement radial des efforts appliqués sur les roulements montés dans l’alternateurautomobile fait que c’est seulement une partie de la bague extérieure du roulement qui estsollicitée. Ce qui nous permet de focaliser notre étude sur la zone de la bague extérieurechargée en vue de réduire le temps de calcul. D’après les études de la répartition des effortsau sein du roulement, une portion la bague Φ comprise en 60 et 120 degrés de la bague paraîtjudicieuse (Figure 3.9).


a. b.

Figure 3.8 – (a) Contact roulant entre la bille et la bague extérieure, (b) Contact roulant entre labille et la bague intérieure

Figure 3.9 – Portions des bagues d’étude

3.2.2 Etat de contrainte au sein du roulement

L’état de contrainte au sein du roulement peut être décomposé comme suit :

[σ] = [σinit] + [σmacro] + [ρ] (3.5)

où


— σinit est la contrainte initiale ou résiduelle au sein du roulement résultant de différentstraitements thermiques subis par le roulement lors de sa fabrication. Cette contraintepeut être évaluée par les techniques de diffraction par rayon X (DRX).

— σmacro est la contrainte macroscopique issue du passage répété des billes chargées surla piste de roulement. σmacro sera évaluée par un modèle numérique dynamique deroulement que nous proposons dans le cadre de cette thèse.

— ρ est l’état de contrainte stabilisé à l’échelle microscopique à partir de l’état decontrainte macroscopique.

3.2.3 Modèle numérique de fatigue de roulement dans le cas d’un chargementradial constant

Le passage répété des billes sur la piste de roulement crée des contraintes σmacro décritesprécédemment. Cet état de contrainte varie en fonction de la position de la zone de contactbille/bague au cours du temps. Pour le déterminer, nous avons proposé un modèle numériquedéveloppé au moyen du logiciel Abaqus. Ce modèle est constitué d’une portion de bagueextérieure (BE) et d’une bille (Figure 3.10).

Figure 3.10 – Modèle de contact bague extérieur/bille

Le choix d’une bille au lieu des sept billes que comporte le roulement a été fait en posantl’hypothèse que le matériau répond de la même manière pour le passage des billes en unpoint de la piste de roulement. A cet effet, le comportement du matériau est considéré dansson domaine élastique à l’échelle macroscopique. Dans le cadre de la fatigue à grand nombrede cycles on pose l’hypothèse d’une adaptation élastique du matériau (Figure 1.17). Au boutde quelques cycles, le matériau rentre dans le domaine élastique à l’échelle macroscopique.L’initiation a lieu à l’échelle microscopique dans les grains orientés de manière défavorable.


Conditions aux limites et de chargement

En fonctionnement, les billes sont soumises à des efforts Q qui varient au cours du temps(Figure 3.11). La bille, de par sa géométrie, est plus rigide que la bague, elle est modélisée doncen une sphère rigide. Ce choix est fait pour permettre également de simuler le mouvementde rotation de la bille sur la piste de roulement. En effet les éléments solides n’ayant pas dedegrés de liberté en rotation, sont difficiles à gérer dans un modèle éléments finis en termesd’un mouvement de rotation. Le mouvement de la bille par rapport à la bague est piloté pardes éléments virtuels appelés connecteurs (Figure 3.11). La surface extérieure de la bague estfixée (u1 = u2 = u3 = 0).

Figure 3.11 – Conditions aux limites et de chargement du modèle dynamique d’un roulement

Maillage

Comme dans le cas de l’analyse statique du roulement, nous avons retenu pour le maillagede la bague, des éléments briques à 8 nœuds à points d’intégration réduits (C3D8R). Lemaillage est raffiné dans la zone de contact entre la bille et la bague (Figure 3.12). La billeest maillée avec des éléments coques rigides, le modèle comporte 441521 nœuds et 412322éléments.

3.2.4 Modèle numérique de fatigue de roulement dans le cas d’un chargementradial variable

Le modèle présenté précédemment constitué d’une bille et d’une bague est applicable àdes cas des chargements constants du roulement. Le passage de chaque bille crée le même effet


Figure 3.12 – Maillage de la piste de roulement

au point considéré à l’échelle macroscopique. Dans le cas des efforts variables (Figure 3.13),le matériau répond de manière différente en fonction de l’intensité de l’effort occasionnée parle passage des billes. En effet l’effort transféré par chaque bille à son passage dans la zonede chargement fluctue en force. A partir d’un chargement radial variable périodique (Figure3.13), on peut aisément déterminer la variation temporelle de l’effort transféré par chaquebille bi (b1, b2) (Figure 3.14). En vue de prendre en compte l’effet de chaque passage de

Figure 3.13 – Exemple d’un chargement radial constant et variable du roulement

bille, toutes les billes du roulements sont représentées dans le modèle applicable au cas dechargement variable (Figure 3.15). Le maillage et les conditions aux limites sont identiquesà ceux appliqués au cas précédent.


Figure 3.14 – Efforts sur les billes pour un chargement radial variable du roulement

Figure 3.15 – Modèle dynamique dans le cas d’un chargement radial variable du roulement

3.3 Evolution de l’état de contrainte au sein du roulement

3.3.1 Etat de contrainte dans le cas d’un chargement radial constant du roule-ment

Lors du fonctionnement du roulement, le passage répété des billes sur la piste de roulementcrée au sein des bagues un état de contraintes σ(t) multiaxial dépendant du temps (Eq. 3.6).

3.3. Evolution de l’état de contrainte au sein du roulement 103

[σ(t)] =

σ11(t) σ12(t) σ13(t)σ12(t) σ22(t) σ23(t)σ13(t) σ23(t) σ33(t)

(3.6)

La plupart des termes du tenseur de contrainte obtenu sont non-nuls en profondeur de lasurface de contact. Ces composantes du tenseur n’évoluent pas en phase au cours du temps.La contrainte σ11 atteint sa valeur minimale à l’instant où σ13 décroît et atteint une valeurnulle (Figure 3.16), l’état de contrainte obtenu est donc non-proportionnel. En considérantl’évolution des six composantes du tenseur de contrainte, on peut remarquer que la contrainteéquivalente de von Misès qui en résulte atteint une valeur maximale en profondeur avant dedécroître (Figure 3.17).

Figure 3.16 – Etat de contrainte multiaxial évoluant au cours du temps

3.3.2 Etat de contrainte dans le cas d’un chargement variable

Dans le cas d’un chargement constant sur le roulement, le passage répété des billes crée lemême état de contrainte au cours du temps puisque le matériau est considéré être dans sondomaine élastique. Dans le cas d’une sollicitation radiale variable, le passage des billes sollicitedifféremment un point de la bague (Figure 3.18) en fonction de la sollicitation considérée àcet instant. Il en résulte un état de contrainte multiaxial fluctuant dépendant du temps.


Figure 3.17 – Evolution de l’état de contrainte en profondeur

Figure 3.18 – Etat de contrainte sous un chargement variable

3.3.3 Choix de la zone critique

Le modèle de fatigue de roulement est constitué des centaines de milliers de points d’in-tégration. Le traitement de l’état de contraintes en vue de l’analyse en fatigue est fastidieux

3.3. Evolution de l’état de contrainte au sein du roulement 105

et ne présente pas d’intérêt dans les zones les moins sollicitées. Nous avons proposé de sim-plifier l’analyse en la focalisant sur la zone critique du modèle. Cette zone peut être choisieà l’endroit où la contrainte équivalente est maximale. Le choix de la contrainte équivalenteest diversement apprécié par la communauté scientifique dans la démarche de prédiction dela durée de vie des roulements [9]. Cette contrainte peut être la contrainte orthogonale decisaillement [8], la contrainte maximale de cisaillement [67], la contrainte équivalente de vonMises [68] ou la contrainte octaédrale de cisaillement [69]. Après une étude approfondie, lechoix de la contrainte équivalente de Von Mises nous paraît judicieux pour statuer sur lazone critique du modèle. Ainsi, l’analyse de fatigue est focalisée sur cette zone allégeant ainsile temps de calcul.

3.3.4 Influence de la rigidité des billes

L’utilisation d’une bille rigide n’est pas sans effet sur la détermination de l’état decontraintes. Pour mettre en évidence cet aspect, nous étudions le contact statique, respective-ment, entre une sphère rigide et une sphère déformable avec la bague extérieure (Figure 3.19).Les résultats montrent que la contrainte de von Misès issue de la bille rigide sont environ à50 % plus élevée que celle issue de la bille déformable. Quelle que soit la bille considérée, laprofondeur correspondant à la contrainte maximale est identique (Figure 3.17).

Figure 3.19 – Etude de l’influence de la rigidité de la bille

L’étude comparative des contraintes issues des deux configurations ont montré qu’il existeun rapport entre les composantes σij−e du tenseur de contrainte obtenue à partir du contactde la bille déformable, et les composantes σij−r issues du contact de la bille rigide (Figure3.21). Ce rapport évolue au fur et à mesure qu’on s’éloigne de la zone de contact et en fonctionde l’effort de contact appliquée.

Ces résultats montrent que l’utilisation d’une bille rigide dans le modèle surévalue l’étatde contrainte aux voisinages de la zone de contact. Il s’avère important de corriger les compo-


Figure 3.20 – Evolution de la contrainte en profondeur

santes du tenseur de contrainte à la zone d’analyse du modèle par affectation de coefficientsissus des considérations statiques obtenus par variation de l’effort de contact. La figure 3.22

Figure 3.21 – Comparaison de l’état de contrainte issu du contact roulant d’une bille déformableet d’une bille rigide

présente l’état de contrainte obtenu après correction en vue de se placer dans le cas d’unebille est déformable.

3.4 Analyse en fatigue du roulement

A partir de l’hypothèse d’une adaptation élastique du matériau, une méthode de modé-lisation de la fatigue de roulement permettant d’obtenir l’état de contrainte a été proposée.Un modèle simple constitué d’une portion de bague et d’une bille rigide dans le cas où leroulement supporte une force constante a été développé. Dans le cas où le roulement estsollicité par une force variable, toutes les billes du roulement sont représentées dans le mo-

3.4. Analyse en fatigue du roulement 107

Figure 3.22 – Etat de contrainte temporel corrigé

dèle. Il en ressort au voisinage de la piste de roulement un état de contrainte multiaxial nonproportionnel. Pour se rapprocher de la réalité où la déformabilité des billes a un effet surl’état de contraintes, les composantes du tenseur de contraintes ont été corrigées.La complexité de l’état de contrainte et son caractère non-proportionnel ne permet pas d’ap-pliquer des critères uniaxiaux en vue de déterminer la contrainte ou la déformation équiva-lente. Les critères uniaxiaux, malgré leur simplicité, ne sont pas conservatifs dans le cas deschargements non-proportionnels tels que celui rencontré en fatigue de roulement. Il s’avèreimportant d’avoir recours à des critères de chargement multiaxiaux pour ces types de char-gement.

3.4.1 Choix du critère à utiliser

Les critères multiaxiaux permettent de statuer sur le dépassement ou non de la limited’endurance du matériau ou de la structure. Des travaux ont montré qu’on peut déduire deces critères, des contraintes équivalentes uniaxiales utilisées pour déduire le nombre de cyclesà rupture des structures. Dans le cadre de ce projet, nous avons décidé d’utiliser le critèrede Dang Van [21] [70]. Ce critère basé sur une approche multi-échelle, est en accord avecl’hypothèse d’adaptation élastique utilisée dans le premier chapitre pour modéliser la fatiguede roulement.

3.4.2 Formulation du critère

Issu d’un passage macro-micro de l’état de contrainte, le critère de Dang Van considèreque la contrainte maximale de cisaillement joue un rôle prépondérant dans l’initiation dela fissure en fatigue. Ce critère a pour finalité de déterminer le plan dit plan critique où la


combinaison de la contrainte de cisaillement et de la contrainte hydrostatique soit maximale.Le matériau est endurant lorsque :

τ(n, t) + αDV .σh(t) ≤ βDV (3.7)

τ(n, t) est la valeur maximale de la norme du vecteur contrainte de cisaillement agissantdans un plan critique défini par le vecteur normal n, σh(t) est la contrainte hydrostatique,αDV et βDV sont des paramètres du matériau défini par :

αDV = 3

(τ−1

f−1− 1

2

)βDV = τ−1

(3.8)

τ−1 et f−1 sont les limites d’endurance respectivement en flexion et en torsion alternée. Cecritère est de type plan critique et sa formulation est multi-échelle. Trois échelles pourrontêtre considérées :

— l’échelle microscopique de dislocation entre les cristaux— l’échelle mésoscopique des grains— l’échelle macroscopique dans un volume représentatif autour d’un point M de la struc-

ture étudiée.Les variables mécaniques à l’échelle macroscopique telles que la contrainte Σ(M, t) et la

déformation E(M, t) sont considérées comme homogènes dans le volume V (M) au cours dutemps t alors qu’à l’échelle mésoscopique du grain qui est la subdivision du volume V (M),la contrainte σ et la déformation ε ne sont pas homogènes et diffèrent des grandeurs ma-croscopiques [71]. La formulation du critère définie à l’équation 3.7 utilise une contrainte decisaillement à l’échelle mésoscopique. Dang Van propose une méthode permettant de déter-miner l’état de contraintes à l’échelle mésoscopique à partir de la contrainte macroscopique.Σ(M, t) et σ sont liés par la relation :

σij(m, t) = Aijhk(M,m)Σhk(M, t) + ρij(m) (3.9)

Aijhk(M,m) est le tenseur de localisation qui tient compte de la différence de propriétésélastiques à l’échelle macroscopique et mésoscopique et ρ le tenseur résiduel stabilisé, constantau cours du temps. L’équation 3.9 peut être simplifiée en supposant qu’au moins un desgrains du volume élémentaire représentatif est soumis à de l’écrouissage cinématique et quele matériau entourant ce point subira une adaptation élastique [72], alors :

σij(m, t) = Σhk(M, t) + ρij(m) (3.10)

A partir de l’expression de l’état de contraintes à l’échelle mésoscopique, on peut déduireles terme τ(n, t) et σh(t) nécessaire à l’application du critère de fatigue formulé à l’équation


3.7. Il est à noter que σh(t) est facile à déterminer directement à partir de l’état de contraintemacroscopique.

σh(t) = Σh(t) = Σ11(t) + Σ22(t) + Σ33(t)3 (3.11)

3.4.3 Définition de l’amplitude de cisaillement

La détermination de la contrainte de cisaillement τ(n, t) est difficile notamment dans lescas des charges non-proportionnelles car la norme et la direction du vecteur contrainte agis-sant sur un plan du matériau varie en fonction du temps. Il s’agit en fait du rayon du pluspetit cercle ou de la petite hypersphère décrit par le vecteur contrainte de cisaillement dansle plan considéré (MCC : Minimum Circumference-scribed Circle) [73].

Plusieurs algorithmes ont été proposés dans la littérature en vue de déterminer cettevaleur [21] [70] [26]. Dang Van a proposé une méthode itérative permettant d’approximerla contrainte résiduelle stabilisée ρ, permettant par la suite de déterminer τ(n, t) [21]. Enconsidérant un volume élémentaire dans la matière, les propriétés des grains dans ce volumesont supposées équivalentes. A un point du matériau sollicité par la contrainte Σ(t) variantau cours du temps, passe un plan matériel ∆ identifié par sa normale n (Figure 3.23 a).

a. b.

Figure 3.23 – (a) Plan matériel passant par un point du modèle, (b) Le rayon de l’hypersphère[73]

Pour un état de contrainte Σ(t) , la contrainte s’exerçant sur le plan ∆ a pour expression :

φn = Σ.n = σN + τ (3.12)


Où la contrainte σN est la projection du vecteur contrainte φn sur n et τ est défini par :

τ = Σ.n− n.Σ.n (3.13)

Le vecteur τ agissant tangentiellement sur ∆ décrit une courbe ψ au cours du temps (Fi-gure 3.23 b). La difficulté est de déterminer τ(t) à l’échelle mésoscopique qui servira à formulerle critère de Dang Van. D’après les travaux de Dang Van, le centre de la petite hypersphèreentourant le chemin de chargement à l’échelle macroscopique détermine la contrainte rési-duelle stabilisée ρ. Il a été démontré que ρ est déviatorique et constant au cours du temps.Le rayon de la plus petite hypersphère τa représente l’amplitude de la contrainte de cisaille-ment τ(t). La contrainte résiduelle stabilisée ρ a la propriété de minimiser le maximum de lacontrainte de cisaillement mésoscopique et a pour expression :

ρ = minτ ′

(maxt‖ τ(t)− τ ′ ‖

)(3.14)

L’amplitude de la contrainte de cisaillement a pour expression :

τa = max (‖ τ(t) + ρ ‖) (3.15)

Cette méthode permet de déterminer avec précision l’amplitude de la contrainte de cisaille-ment dans le chargement non-proportionnel.

3.4.4 Implémentation du critère

La difficulté de l’utilisation de ce critère est dans la détermination de la contrainte decisaillement au cours du temps. Se basant sur le principe du cercle de la petite hypersphère,nous avons implémenté le critère de Dang Van dans le logiciel Matlab en vue d’analyser l’étatde contrainte issu de la fatigue de roulement.

[Σ(t)] = [σij(t)] (3.16)

L’état de contraintes Σ(t) (Eq. 3.16) considéré comme macroscopique est obtenu des résultatsnumériques issus de la modélisation de fatigue de roulement décrite précédemment (Section3.2). Pour déterminer l’amplitude de cisaillement nécessaire au critère, il faut faire un passageà l’échelle mésoscopique (Figure 3.24a). L’état de contraintes obtenu à un point d’intégrationd’éléments finis est considéré comme une contrainte macroscopique. Dans un plan ∆ passantpar un point au sein de la bague (Figure 3.24b), en considérant le repère orthonormé (O, u,


v, n) dont les vecteurs unitaires ont pour expression :

n

sinφcosθ

cosφsinθ

cosφ

; u

−sinθcosθ

0

; v

−cosφcosθ−cosφsinθ

sinφ

(3.17)

a. b.

Figure 3.24 – (a) Passage macro-meso de l’état de contrainte, (b) Un plan considéré à un point lematériau

Le vecteur contrainte de cisaillement τ a pour composantes τu et τv dans le plan (u, v). τu = u.τ

τv = v.τ(3.18)

Pour chaque orientation du plan ∆ dépendant de φ et de θ, τu et τv déterminent le cheminde chargement dans le plan ∆. La plus petite hypersphère entourant le chemin de chargementconstitue le vecteur de la contrainte résiduelle ρ. On peut déterminer les composantes duvecteur de la contrainte de cisaillement à l’échelle microscopique par le système d’équations3.19.

τµu = τu − ρτµv = τv − ρ

(3.19)

La recherche du plan le plus critique ∆ consiste à faire varier φ et θ et de déterminer le maxi-mum de la combinaison de τµu et σh à chaque incrément de temps. La contrainte équivalentede Dang Van dans le plan critique a donc pour expression :

σDV = max∆

(maxt ‖ τµ(t) + αDV σh(t) ‖) (3.20)


avecτµ =

√τ 2µu + τ 2

µv (3.21)

Il est présenté à la figure 3.25 l’algorithme de recherche du plan critique dont la finalité est

Figure 3.25 – Etapes de la recherche de la contrainte équivalente de Dang Van

de déterminer la contrainte équivalente selon le critère de Dang Van dans le plan considérécomme le plus critique du modèle. Cette démarche implémentée dans le code Matlab permetde faire varier l’angle φ de 0 à π, et l’angle θ de 0 à 2π. Cette démarche permet de prendreen compte la non-proportionalité de l’état de contrainte. Pour chaque combinaison (φ, θ)définissant le plan ∆, on détermine la combinaison linéaire exprimant la contrainte équivalent(Equation 3.20).

Un exemple d’état de contrainte biaxial non-proportionnel sinusoïdal (Figure 3.26a) a étéproposé pour illustrer la démarche qui permet de rechercher le plan critique (Figure 3.26b)par variation angulaire (φ, θ). La démarche permet de déterminer à tout instant l’amplitudede cisaillement et la contrainte hydrostatique Figure 3.26 c,d)

3.5 Détermination du nombre de cycles dans le cas des effortsconstants

Initialement mis en place pour vérifier si la structure se trouve dans une zone de danger(sujet à rupture) ou pas (Figure 3.27), le critère de Dang Van est adapté en vue de dé-terminer l’endommagement par cycle correspondant au passage des billes. Pour ce faire, laformulation de base du critère de Dang Van (Eq. 3.7) est modifiée (Eq. 3.22) afin de calculer

3.5. Détermination du nombre de cycles dans le cas des efforts constants 113

Figure 3.26 – Implémentation d’un état de contrainte biaxial sinusoïdal

l’endommagement au sein du roulement.

σDV = τ(n, t) + αDV .σh(t) = τ(N) (3.22)

τ(N) est obtenu à partir de la courbe de fatigue en torsion alternée. Les paramètresmatériaux sont définis dans le cas des matériaux métalliques tels que τ−1/f−1 = 1/

√3 à

partir desquels on peut déterminer αDV (Eq. 3.8). Le trajet de chargement en un point de labague du roulement coupe les droites correspondant à des nombres de cycles avant ruptureissus des courbes de fatigue (Figure 3.28).


Figure 3.27 – Diagramme de Dang Van d’un chargement

Figure 3.28 – Diagramme de Dang Van d’un chargement avec le nombre de cycles

3.5.1 Loi de cumul de l’endommagement

Dans le cas où le roulement est sollicité par un effort constant, le passage de chaque billecorrespondant à une contrainte équivalent σDV crée un endommagement identique exprimépar la relation (Eq. 3.23) :

db = 1N

(3.23)

3.5. Détermination du nombre de cycles dans le cas des efforts constants 115

où N est le nombre de cycles correspondant à σDV obtenu à partir de la courbe de fatigue detorsion. En considérant un point de la bague extérieure, notons UBE, le nombre de passagede billes en un point de la bague extérieure, en utilisant la loi de cumul d’endommagement li-néaire de Miner, nous obtenons l’endommagement total en une rotation de l’axe du roulementdt :

dt =∑

dbi = UBEN

(3.24)

puis le nombre de cycles avant l’initiation d’écaillage du la bague :

Lnum = N

UBE(3.25)

3.5.2 Courbe de fatigue

Figure 3.29 – Courbe de fatigue en torsion alternée de l’acier JIS SUJ2/AISI 52100 [74]

Il apparaît clairement dans notre démarche que la courbe de fatigue joue un rôle importantdans la précision des résultats. N’ayant pas accès aux données matériau de nos fournisseurs,il a fallu utiliser les données de la littérature en ce qui concerne les courbes de fatigue.Une étude comparative du comportement des aciers à roulement nous a conduit à retenirpour cette thèse, les données expérimentales de Shimizu et al. [75] qui ont réalisé une séried’essais de torsion alternée sur des éprouvettes en acier à roulement JIS SUJ2/AISI 52100.La loi de Basquin permet d’établir une relation entre le nombre de cycles et la contraintede cisaillement (Equation 3.26) (Figure 3.29) où τ ′f = 2.3879 est un coefficient de fatigue dumatériau et b = −9.0092.10−2, l’exposant.

τ(N) = ∆τ/2 = τ ′fNb (3.26)


3.5.3 Resultats et discussions

La démarche développée dans cette thèse a été appliquée à un roulement à billes à gorgeprofonde chargé radialement. En considérant un roulement isolé, nous avons fait varier l’effortpour en déterminer la durée de vie correspondante. Les résultats obtenus sont comparés auxcalculs issus de la norme ISO 281 [7]. Cette étape sert également de validation de notreméthode d’estimation de la durée de vie. Il n’est pas possible de comparer directement lesrésultats de ces deux approches car la norme ISO 281 utilise une approche statistique baséesur une campagne d’essais avec des probabilités d’apparition d’écaillages, alors que notredémarche utilise la mécanique des milieux continus, ceci explique l’écart entre les deux courbes(Figure 3.30). Notre démarche permet d’estimer le nombre de cycles avant l’initiation del’écaillage sans tenir compte de sa propagation. Il faut toutefois remarquer l’allure de lacourbe de durée de vie est la même que celle de la norme ISO lorsqu’on fait varier les efforts.

Figure 3.30 – Comparaison des durées de vie

3.6. Détermination du nombre de cycles dans le cas des efforts variables 117

3.6 Détermination du nombre de cycles dans le cas des effortsvariables

3.6.1 Loi de cumul d’endommagement

Dans le cas d’une force variable, chaque passage de bille sur la piste de roulement crée unendommagement différent dbi :

dbi = 1N

(3.27)

Nous en déduisons l’endommagement total pour le passage de toutes billes du roulement enutilisant la loi de cumul d’endommagement linéaire Miner :

dt =Z∑i=1

dbi =Z∑i=1

1Ni

(3.28)

où Ni est le nombre de cycles correspondant au passage de la iième bille (Figure 3.31). L’en-dommagement dt, dans ce cas, correspond à l’endommagement total lorsque toutes les billesdu roulement ont fait un tour complet. Sachant qu’il existe une relation liant le nombre de

Figure 3.31 – Nombre de cycles pour chaque passage de billes

passages d’une bille lorsque la bague intérieure (Equation 3.3) est en rotation, on peut dé-duire le nombre de rotations de la bague intérieure lorsque dt = 1. Le nombre de cycles avantl’écaillage est obtenu à partir de l’équation (3.29) :

Lnum = Re +Ri

Ri

1dt

= Re +Ri

Ri

1∑Zi=1 dbi

= Re +Ri

Ri

1∑Zi=1

1Ni

(3.29)


3.6.2 Résultats

Dans le cas d’un chargement variable périodique où le passage de chaque bille en un pointde la bague du roulement crée le même endommagement, la figure 3.32 présente le trajetde charge dans le diagramme de Dang Van lors du passage de toutes les billes en un pointdu roulement. Le passage de chaque bille crée une contrainte équivalente suivant le critèrede Dang Van (Figure 3.33) à partir laquelle est déterminé l’endommagement par bille estdéduit.Le nombre de rotations correspondant à la durée de vie est obtenu à partir de l’endomma-

Figure 3.32 – Trajet de charge créé par le passage de toutes les billes du roulement

Figure 3.33 – Contrainte équivalente par passage des billes

3.7. Influence de la forme du logement sur la durée de vie des roulements 119

gement total (Equation 3.29). La démarche a été appliquée au cas d’un chargement variable(Figure 3.13). Devant ces cas de chargement variable, la méthode proposée permet de déduirela charge constante équivalente puis la durée. La charge équivalente obtenue a été appliquéeà la méthode numérique présentée à la section 3.5. Les résultats obtenus à partir des deuxcas de chargement (chargement réel variable et le chargement constant équivalent) ont étécomparés (Tableau 3.1). Le rapport de durée de vie entre les deux cas chargement est de1.83. Ces résultats montrent qu’on surévalue la durée de vie en utilisant l’hypothèse d’uneforce constante équivalente obtenue à partir d’une force variable réelle.

Table 3.1 – Comparaison des durées de vie

Type de chargement Chargement constant équivalent Chargement variable

Durée de vie (cycles) 2.34 107 1.28 107

3.7 Influence de la forme du logement sur la durée de vie desroulements

Nous avons montré, à travers nos considérations statiques, que la forme du logementcomplexe a un effet sur la répartition des efforts au sein du roulement et par conséquentsur la durée de vie des roulements. Pour différentes directions d’application d’effort sur leroulement, nous avons mis en évidence l’influence de la forme du logement sur l’évolutiondes efforts sur les billes (Figure 2.44). Nous étudions dans cette section, ces paramètres surla durée de vie des roulements.Connaissant la vitesse de rotation du roulement, nous pouvons déterminer l’évolution descharges sur les billes au cours du temps (figure 3.34) à partir des résultats obtenus à lasection 2.6.5. Nous étudions quatre cas de figures décrites à la section 2.6.5 (Figure 2.44 a,b, c, d) :

— la sollicitation d’un roulement isolé considéré comme logé dans un logement rigide ;— le roulement (dans son logement) sollicité par une force de direction angulaire Θ = 0 ;— le roulement (dans son logement) sollicité par une force de direction angulaire Θ =

102 ;— le roulement (dans son logement) sollicité par une force de direction angulaire Θ =

310.On se place dans le cas d’un chargement radial constant du roulement, l’effet du loge-

ment est pris en compte grâce aux résultats obtenus à la figure 3.34. Le modèle numériqueconsidéré est le même que celui présenté à la section 3.2.3 en tenant compte pour chaqueconfiguration de l’évolution de l’effort sur la bille.


Figure 3.34 – Evolution des efforts sur les billes au cours du temps en tenant compte du logement

Figure 3.35 – Comparaison des durées en tenant compte du logement du roulement

Les résultats en termes de durée de vie obtenus sont comparés à la durée de vie issue d’uncas d’un roulement isolé. L’étude de la durée de vie d’un roulement, grâce à ses conditionsaux limites, est assimilable à l’étude d’un roulement dans environnement rigide. Les résultatspermettent de mettre en évidence l’influence de la forme du logement sur la durée de vie

3.8. Conclusion 121

(Figure 3.35). En fonction de la direction de la force appliquée sur le roulement dans sonlogement, on peut constater des effets bénéfiques (Θ = 0etΘ = 102) ou négatifs (Θ = 310)de la configuration de chargement sur la durée de vie du roulement. Ces études sont utilesdans les phases de conception et d’optimisation de la forme des carters de l’alternateur.

3.8 Conclusion

Nous avons abordé, dans ce chapitre, la modélisation numérique du contact roulant entreles billes et les bagues d’un roulement. En vue d’alléger le temps de calcul, nous avons focalisél’étude sur la zone de chargement à partir du contact entre une ou plusieurs billes et la bagueextérieure et nous avons géré le mouvement des billes sur la piste de roulement. L’état decontrainte obtenu est multiaxial et non-proportionnel et impose l’utilisation d’un critère d’uncritère multiaxial couplé à une loi d’endommagement et permettant d’évaluer l’endommage-ment en fatigue du roulement. Notre approche nécessite l’utilisation de courbes de fatiguesà très grands nombre de cycles. Le manque d’éprouvettes du matériau étudié et de moyensd’essais nous ont conduit à choisir les données issues de la littérature. Le critère de DangVan est appliqué permettant d’intégrer le passage macro-micro de l’état de contrainte obtenunumériquement. La difficulté de l’application de ce critère se trouve dans la déterminationde l’amplitude de cisaillement dans le cas d’un chargement non-proportionnel. Ce critère aété implémenté dans le logiciel Matlab permettant de déterminer une contrainte équivalente.

Cette démarche nous a permis d’estimer le nombre de cycles que peut faire le roulementavant qu’apparaissent les premiers signes d’écaillages dans le cas d’un roulement supportantune charge constante au cours du temps. Les résultats sont confrontés à ceux issus de lanorme de calcul ISO 281. La même approche a été utilisée pour mettre en évidence l’influencedes paramètres tels que le chargement variable et la déformation du logement complexe etdéformable sur la durée de vie. La démarche adoptée constitue un outil applicable à l’étudedes roulements dans la problématique des alternateurs automobiles.

Chapitre 4

Approche expérimentale

Introduction

Les normes de prédiction de la durée de vie des roulements sont basées sur des campagnesd’essais réalisés sur les roulements. Plusieurs méthodes d’évaluation expérimentale de la duréede vie en fatigue de roulement ont été proposées dans la littérature. La réalisation de ces essaisdans des conditions proches de la situation réelle de fonctionnement nécessite un temps trèslong. Pour gagner du temps lors des essais, un certain nombre d’essais accélérés et simplifiésont été proposés par des auteurs [76] [77] [78] [79] [80]. En ce qui concerne les types d’essais,ils peuvent être soit réalisés sur un ou plusieurs composants du roulement (Figure 4.1(1-4)),soit sur le roulement complet monté dans un mécanisme (Figure 4.1(5-6)).

Figure 4.1 – Différents types d’essais de fatigue de roulement [81]

123

124 Chapitre 4. Approche expérimentale

Pour évaluer la durée de vie des roulements sous plusieurs conditions et valider les ré-sultats obtenus numériquement, il a été nécessaire de réaliser des essais d’endurance sur desroulements de notre étude. Pour se rapprocher des conditions de fonctionnement réelles, etétudier l’influence des logements nous avons décidé de réaliser ces essais directement sur l’al-ternateur dans lequel sont montés les roulements. Ce qui impose de concevoir un banc d’essaipermettant d’accueillir l’alternateur.

Ce chapitre a pour objectif d’étudier expérimentalement le comportement mécanique desroulements dans l’alternateur. Dans un premier temps, nous présenterons le banc d’essai defatigue que nous avons conçu puis nous étudierons les outils d’analyse vibratoire permettantde surveiller l’apparition d’écaillage au sein des roulements et enfin, nous présenterons lesrésultats obtenus et les discussions.

4.1 Banc d’essai de fatigue de roulement

4.1.1 Définition du cahier des charges

Après avoir défini les besoins, nous avons établi le cahier des charges. En effet, la fonctiondu banc d’essai est :

— d’assurer sa fixation sur le bâti ;— d’assurer la liaison entre le moteur et l’alternateur ;— d’appliquer et de gérer la direction de la force radiale sur les roulements de l’alternateur

et d’assurer sa variation.

Figure 4.2 – Schéma cinématique du banc d’essai

4.1. Banc d’essai de fatigue de roulement 125

A l’issue de cette étude, un schéma cinématique a été établi (Figure 4.2), l’axe de l’alter-nateur est mis en rotation avec un moteur par l’intermédiaire de la liaison poulie-courroie.Des liaisons pivot et glissière ont été définies entre les différentes pièces en vue de réglerl’entraxe et modifier la direction de la force appliquée.

4.1.2 Conception du banc d’essai

Nous avons conçu un banc d’essai permettant de supporter l’alternateur et d’appliquerles efforts en bout d’arbre. Cette conception s’organise autour de 5 modules principaux quesont : le moteur, la glissière, l’effort statique, l’effort variable, la mesure des efforts.

4.1.2.1 Le module moteur

Le module moteur englobe le moteur, le support des paliers et la poulie motrice. Safonction principale est la mise en rotation de l’arbre de l’alternateur, la variation de savitesse de rotation, ainsi que les cycles marche/arrêt. L’arbre moteur est guidé en rotationpar deux paliers à roulement choisis de manière à avoir une durée de vie au moins égale à ladurée de toute la campagne d’essais. L’arbre moteur est lié au moteur par un accouplement(Figure 4.3).

Figure 4.3 – Le module Moteur

La transmission de la puissance entre le moteur et l’arbre de l’alternateur est assurée parune courroie (Figure 4.2)

4.1.2.2 Le module Glissière

Il englobe l’alternateur, le berceau, la glissière et le rapporteur. Il sert de support del’alternateur. Il assure également la modification de la direction de la charge par simple


rotation possible du berceau auquel l’alternateur est solidaire grâce à la liaison pivot parrapport à la glissière. Ce module permet également d’accueillir un rapporteur permettant decontrôler l’inclinaison de la charge (Figure 4.4).

Figure 4.4 – Représentation schématique du module Glissière

Dans un véhicule, les efforts sur l’arbre de l’alternateur sont issus des tensions entre lesbrins de la courroie. Mais sur le banc d’essai, les tensions de la courroie étant très faibles(≤ 300N), il a fallu trouver un autre moyen de charger l’arbre. La solution que nous avonsproposée est d’intercaler des galets à billes entre la poulie et le roulement avant de l’alter-nateur sur lesquels sont appliqués des efforts par l’intermédiaire d’un câble (Figure 4.5), ceciimpose une modification de la conception de l’alternateur d’origine (Figure 4.6) notammentde l’arbre.

Des travaux de dimensionnement en résistance des matériaux et par éléments finis ontété faits sur l’arbre pour vérifier la tenue en fatigue de l’arbre pendant l’essai. La Figure 4.7présente une modélisation complète du module glissière prêt à être monté sur le bâti.

4.1.2.3 Le module Effort Statique

Il englobe un vérin hydraulique et un capteur d’effort permettant de mesurer l’effortappliqué (Figure 4.8a). Sa fonction principale est l’application d’un effort radial constant surl’arbre de l’alternateur supérieur à 1500 N.


Figure 4.5 – Schéma de la transmission des efforts du câble vers l’arbre (vue en coupe) [à gauche]et le galet à roulement [à droite]

Figure 4.6 – Vue en coupe de l’alternateur avec la nouvelle conception de l’arbre

4.1.2.4 Le module Effort Variable

Il est constitué d’un vérin pneumatique et d’un capteur d’effort adapté (Figure 4.8). Safonction principale est l’application d’un effort radial variable sur l’arbre de l’alternateurpermettant d’atteindre la charge maximale de 3500 N. La variation de l’effort est assuréepar un distributeur piloté. A cause d’un manque de place entre les modules moteur, effortstatique et effort variable, il a fallu intégrer un système permettant de renvoyer les directionsdes charges statique et variable (Figure 4.8c).


Figure 4.7 – Modélisation du module Glissière

a. b.

c.

Figure 4.8 – (a) Module Effort Statique, (b) module Effort Variable, (c)renvoi d’angle

4.1.2.5 Le module Mesure des Efforts

Lors des essais, nous avons voulu suivre le roulement le plus sollicité qui n’est autre quele roulement avant (Figure 4.6) afin de connaître à tout instant les composants des efforts


sur ce roulement. Cette problématique a été déjà abordée par des ingénieurs de Valeo quiavaient étudié trois solutions.

Figure 4.9 – Instrumentation du roulement avant de l’alternateur (Solution 1)

Figure 4.10 – Instrumentation du palier avant de l’alternateur (Solution 2)

Figure 4.11 – Instrumentation de l’entretoise permettant de mesurer la déformation de l’arbre del’alternateur (Solution 3)


— Solution 1 : instrumentation du roulement avant. Cette méthode consiste à mesurerla déformation de la bague extérieure du roulement Avant en positionnant 2 jauges àdegrés de part et d’autre de la bissectrice de l’effort (Figure 4.9).

— Solution 2 : instrumentation du palier avant. Cette méthode consiste à mesurer ladéformation du carter Avant en positionnant des jauges sur les bras principaux ducarter (Figure 4.10).

— Solution 3 : instrumentation de l’arbre. Cette méthode consiste à mesurer les défor-mations d’une entretoise (toujours à partir de jauges) insérée entre la poulie et leroulement avant (Figure 4.11).

La première solution a pour inconvénients majeurs le fait que la mesure est très locale(l’effort maximum n’est mesuré que si à ce même instant une bille est située juste au-dessusd’une des deux jauges), et le fait que cette méthode ne permette que de connaître l’enveloppemaximum de l’effort, mais pas son évolution en fonction du temps. Il faut ajouter à cela lefait que l’équipe Valeo a eu un retour négatif de la part d’un de leurs clients. De plus, cettesolution implique d’instrumenter chaque roulement étudié, ce qui compliquerait la campagned’essai. Pour toutes ces raisons, cette solution a été mise de côté.

La troisième solution utilise des jauges qui sont positionnées à 90 degrés les unes parrapport aux autres sur l’entretoise. Les jauges sont montées en demi-pont suivant les axesde l’arbre. Elle a une bonne linéarité de la mesure et ne subit pas de phénomène d’hysté-résis. Cependant, elle utilise un collecteur tournant pour récupérer l’information. Le signalrécupéré en sortie est extrêmement bruité et un traitement du signal complexe est nécessairepour viabiliser l’information. C’est principalement pour cette raison que cette solution n’apas été retenue.

C’est pourquoi, nous nous sommes orientés vers la deuxième solution : l’instrumentationdu palier avant de l’alternateur (Figure 4.10). Les jauges sont positionnées à 90 degrés les unespar rapport aux autres, sur les bras du palier. Cette solution présente les mêmes avantagesque la troisième solution (bonne linéarité des mesures et absence du phénomène d’hystérésis)en n’introduisant pas de collecteur tournant dans le système, mais elle est moins précise.De plus, le fait d’instrumenter le palier avant avec des jauges d’extensomètres permet deconserver le même palier avec la même instrumentation durant toute la campagne d’essais.

4.1.3 Réalisation du banc d’essai

A partir des solutions technologiques proposées, nous avons pu obtenir un banc d’essai(Figure 4.12) permettant d’accueillir l’alternateur, d’appliquer les efforts constants et va-riables et de pouvoir les mesurer en temps réel par l’intermédiaire des vérins et des capteursdes efforts (Figure 4.13).

4.2. Surveillance de l’essai par l’analyse vibratoire 131

Figure 4.12 – Banc d’essai complet

Figure 4.13 – Composants du banc d’essai

4.2 Surveillance de l’essai par l’analyse vibratoire

Les roulements sont des composants qui sont les plus utilisés dans des machines tour-nantes. Leur défaillance peut entraîner des conséquences importantes au niveau des méca-nismes d’où la nécessité de surveiller en temps réel les roulements utilisés. Le moyen le pluscouramment utilisé est l’analyse vibratoire permettant de déceler l’apparition des écaillagessur les éléments grâce à leurs fréquences caractéristiques.

4.2.1 Méthodes d’analyse vibratoire

Les informations vibratoires obtenues du capteur permettent non seulement de signalerla présence du défaut mais aussi de suivre l’évolution de la taille du défaut. Plusieurs travauxfont une synthèse ces différentes méthodes [82]. Les méthodes de surveillance peuvent être


classées en deux grandes catégories : les méthodes temporelles basées sur l’analyse statistiquedu signal obtenu et les méthodes fréquentielles basées sur la transformée de Fourier.

4.2.1.1 Les méthodes temporelles

Elles sont basées sur l’analyse statistique du signal issu de l’acquisition. Ces méthodess’appliquent à des machines simples et consistent à réaliser des mesures de vitesses dansdes gammes de vitesses faibles et des mesures d’accélération dans des gammes de fréquencesélevées. L’objectif est de minimiser l’influence des vibrations induites par la rotation desarbres. Ces méthodes utilisent des indicateurs scalaires qui permettent de suivre l’évolutiond’une grandeur dérivant de la puissance ou de l’amplitude crête du signal. Les principauxindicateurs sont :

valeur efficace ou valeur RMS (Root Mean Square)

Elle est très utilisée malgré qu’elle soit sensible à l’effet de masque c’est-à-dire qu’elle peuts’avérer inefficace à l’apparition de certains défauts. Elle s’écrit sous forme discrétisée :

Vefficace = VRMS =

√√√√ 1Ne

Ne∑n=1

[x(n)]2 (4.1)

où x(n) est le signal temporel, Ne représente le nombre déchantillons prélevés dans le signal.

Le Kurtosis

Le Kurtosis est le moment d’ordre 4 normé de la distribution statistique du signal. C’estun indicateur permettant de caractériser la nature impulsive d’un signal et la détection pré-coce d’un défaut de roulement. Dans le cas d’un roulement sans écaillage, la distributiondes amplitudes contenues dans le signal recueilli est gaussienne ce qui entraîne une valeur deKurtosis proche de 3 (Moment d’ordre 4 d’un signal gaussien égale à 3). Lorsqu’un défaut estdétecté, sa valeur devient supérieure à 3 [83]. L’analyse des défauts de roulement par le Kur-tosis peut également être réalisée dans différentes bandes de fréquences liées aux résonancesde la structure.

Kurtosis = M4

M22

=1N

∑Nn=1 [x(n)− x]4[

1N

∑Nn=1 [x(n)− x]2

]2 (4.2)

Où M4 et M2 sont les moments statistiques d’ordre 4 et d’ordre 2, x(n) est le signaltemporel, x est la valeur moyenne des amplitudes, N est le nombre d’échantillons prélevésdans le signal. Le principal avantage du Kurtosis réside dans le fait qu’il ne tient pas comptede l’historique, et qu’il donne une valeur intrinsèque de l’état du roulement. Le Kurtosis doitcependant être utilisé avec beaucoup de précaution, car il est très sensible aux chocs [84],

4.2. Surveillance de l’essai par l’analyse vibratoire 133

ce qui oblige un emploi du Kurtosis dans un environnement peu complexe afin de ne pascommettre d’erreurs de diagnostic.

4.2.1.2 Les méthodes fréquentielles

Les méthodes fréquentielles sont basées sur la transformée de Fourier. La connaissance desfréquences caractéristiques permet d’identifier et de localiser les défauts issus des composantsmécaniques en analysant leur spectre. Elles sont souvent utilisées pour les machines complexescomportant beaucoup de composants mécaniques.

Fréquences caractéristiques des roulements

Ces fréquences sont fonction du diamètre des billes du roulement dw, du nombre de billesZ, du diamètre moyen dm, de l’angles de contact α et de la fréquence de rotation relative entreles bagues du roulement fr [85] [86]. Ces fréquences apparaissent dans le signal vibratoireà partir du moment où il existe un défaut au sein du roulement. Elles sont données par lesrelations :

— Fréquence caractéristique du défaut sur la bague extérieure

fbe = Z

2 fr(

1− dwdm

cosα

)(4.3)

— Fréquence caractéristique du défaut sur la bague intérieure

fbi = Z

2 fr(

1 + dwdm

cosα

)(4.4)

— Fréquence caractéristique du défaut sur la bille

fb = dmdwfr

1−(dwdm

cosα

)2 (4.5)

— Fréquence caractéristique du défaut sur la cage

fc = 12fr

(1− dw

dmcosα

)(4.6)

4.2.2 Capteurs de vibration

La surveillance des machines tournantes par analyse vibratoire consiste à détecter, enfonctionnement, les fréquences caractéristiques par l’intermédiaire des capteurs de vibrationplacés plus près possible du roulement à surveiller. Le capteur de vibration le plus utilisé estl’accéléromètre piézoélectrique (Figure 4.14).


Figure 4.14 – Accéléromètre piézoélectrique

4.2.3 Détection de défauts

En fonctionnement, l’apparition d’un défaut modifie considérablement les caractéristiquesvibratoires du roulement. Le suivi vibratoire du dispositif expérimental permet de statuer surla santé des composants du roulement dans un mécanisme. La figure 4.15 met en évidence lesdifférences entre le signal obtenu avant et après l’apparition d’un défaut au sein du roulement.L’amplitude du signal temporel augmente considérablement à l’apparition d’un défaut.

Figure 4.15 – Comparaison des signaux tenu avant et après l’apparition de l’écaillage

L’analyse fréquentielle permet de déterminer la localisation du défaut grâce aux fréquencescaractéristiques (la bague intérieure, extérieure, la bille ou sur la cage).

4.3. Dispositif expérimental des essais de fatigue sur les roulements 135

4.3 Dispositif expérimental des essais de fatigue sur les roulements

En vue de surveiller l’apparition des défauts lors de l’essai, nous avons utilisé l’analysevibratoire présentée dans la section précédente. Le dispositif permettant l’acquistion desinformations est constitué d’un accéléromètre piézo-électrique, du boitier d’acquisition etd’un ordinateur utilisant un logiciel d’analyse modale (Figure 4.16).

Figure 4.16 – Dispositif d’acquisition

4.3.1 Acquisition des signaux

Pour suivre l’état des roulements lors des essais de fatigue de roulement, nous réalisonsen temps réel le suivi de la machine tournante par l’acquisition du le signal vibratoire obtenuà partir d’un accéléromètre piézo-électrique.

4.3.1.1 Signaux temporels

Au début de l’essai, le roulement à l’état sain présente un signal temporel à faible am-plitude (Figure 4.17). Il est à noter que lorsque le roulement continue à tourner, la taille del’écaillage augmente l’amplitude de la signature vibratoire du système.

4.3.1.2 Analyse fréquentielle

La comparaison des signaux temporels obtenus permet de signaler l’apparition des défautset de suivre leur évolution. Cependant, ces signaux ne permettent pas déterminer la localisa-tion des défauts (BE, BI, cage, bille). Pour ce faire, on a eu recours à l’analyse fréquentielledu signal au cours des essais. En début d’essai, l’analyse fréquentielle permet de mettre enévidence la fréquence de rotation du roulement et de ses harmoniques (Figure 4.18).


Figure 4.17 – Signal temporel obtenu sur un roulement sain

Figure 4.18 – Analyse fréquentielle du signal obtenu sur un roulement sain

L’apparition d’un défaut au sein du roulement voit apparaître des fréquences caractéris-tiques permettant de localiser le défaut (Figure 4.19).

4.3. Dispositif expérimental des essais de fatigue sur les roulements 137

Figure 4.19 – Apparition d’une fréquence (fbi) caractéristique indiquant un défaut sur la bagueintérieure

4.3.1.3 Indicateurs de défauts

Pour une étude plus avancée de la signature vibratoire des essais, nous avons retenu deuxindicateurs (RMS, Kurtosis) qui montrent l’évolution vibratoire au cours des essais. (Figure4.20).

4.3.2 Conditions de chargement

Au cours de l’essai, l’arbre de l’alternateur est sollicité par deux types d’efforts (constantet variable) pour simuler les conditions proches de la réalité.

Chargement statique

Grâce au système de vérin du module force statique, on applique une charge constanteau cours de l’essai sur le galet monté au point D (Figure 4.6).

Chargement variable

Le chargement variable est assuré par le module de force variable par l’intermédiaire duvérin. La force appliquée sur le galet monté au point C (Figure 4.6). Par manque de temps,ce type de chargement n’a pas été réalisé pendant nos campagnes d’essais.


Figure 4.20 – Evolution du RMS et Kurtosis à l’apparition d’un défaut

Conditions d’arrêt des essais

L’arrêt d’un essai est conditionné à l’apparition d’une ou plusieurs fréquences caracté-ristiques de défauts sur les composants du roulement. La durée de vie réelle est obtenue enappliquant un indicateur (Kurtosis, RMS).

4.4 Résultats et discussions

Les roulements ont été testés dans l’alternateur automobile monté sur le banc d’essaiconçu et réalisé par nos soins. Après chaque essai, les roulements sont démontés et remplacéspar de nouveaux roulements. Les essais ont été réalisés en continu avec le moins d’arrêtspossibles.

4.4.1 Evolution de la température

Le dispositif d’essai ne comporte pas un système de refroidissement des roulements. C’estpourquoi des thermocouples sont utilisés pour suivre l’évolution de leurs températures. Onnote une évolution de la température qui se stabilise après quelques instants (Figure 4.21).

4.5. Conclusion 139

Figure 4.21 – Evolution de la température sur les roulements et sur le galet de chargement

4.4.2 Comparaison des durées de vie

Six essais de fatigue ont été réalisés dans le cas d’un chargement constant. Le systèmed’acquisition permet de suivre l’évolution du comportement vibratoire du système en vuede détecter d’éventuels signes d’écaillage. A l’issu de ces campagnes d’essais, les résultatsobtenus expérimentalement ont été comparés à des durées théoriques L10(Figure 4.22).

Au vu de ces résultats, on peut remarquer une mauvaise corrélation entre les résultatsexpérimentaux et théoriques. Pour la majorité des essais réalisés, les roulements n’ont pastenu la durée de vie prédite. Le faible nombre d’essais réalisés dans le cadre de la thèse nepermet de tirer des conclusions en termes de durées de vie. Mais ces essais révèlent que laseule cause de dégradation des roulements n’est pas le phénomène de fatigue des pistes deroulements (Figure 4.23 a). Nous avons enregistré d’autres phénomènes tels que la corrosionsous charges des bagues intérieurs dus aux aux mouvements relatifs entre la bague et l’arbre,des marquages (Figure 4.23 b), et même la rupture des bagues (Figure 4.23 c).

4.5 Conclusion

Il a été abordé dans ce chapitre la conception et la réalisation d’un banc d’essai permet-tant des essais de fatigue sur des roulements montés dans les alternateurs automobiles. Dessystèmes de vérins ont été mis en place pour assurer les conditions de chargement prochesde la réalité. Le nombre faible d’essais réalisés sur banc d’essai ne permet pas d’avoir des


Figure 4.22 – Comparaison des durées de vie expérimentales et théoriques

Figure 4.23 – Modes de dégradation des roulements lors des campagnes d’essais : (a) écaillage dela piste de roulement, (b) marquage des pistes, (c) rupture brutale de la bague

résultats représentatifs et de pouvoir les comparer aux prédictions théoriques ou numériques.Cependant, on peut noter qu’outre le phénomène de fatigue entraînant l’écaillage des baguesau sein du roulement, d’autres phénomènes ont accéléré la rupture des bagues. En effet, il ap-paraît au sein du roulement, des corrosions sous charge dues aux ajustements entre la bagueintérieure du roulement et l’arbre, les marquages dus aux surcharges et la rupture brutalede certaines bagues. La phase expérimentale de ce travail nous a permis de comprendre qu’ilexiste d’autres facteurs qui accélèrent la dégradation des roulements montés dans les alter-nateurs automobiles. En ce qui concerne une étude comparative de durées de vie, il faudra

4.5. Conclusion 141

un nombre significatif d’essais de fatigue qui sont envisagés en dehors de cette thèse pour desbesoins industriels.

Conclusion et perspectives

L’objectif de cette thèse était de proposer une approche numérique permettant d’amélio-rer la prédiction de la durée de vie applicable à l’alternateur automobile.

A partir des considérations statiques des roulements, deux approches ont été proposéesafin d’étudier le comportement des roulements. La première dite semi-analytique permet dedéterminer les déplacements créés par les billes en vue de déterminer analytiquement lesefforts qu’elles transfèrent. Pour ce faire, dans le but d’alléger les efforts de calcul, les billessont remplacées par des éléments finis à deux nœuds dont les matrices de raideur sont cal-culées itérativement. La deuxième approche dite numérique permet de représenter en 3D lesbilles au sein du roulement. Les problèmes de contact sont résolus à l’aide du code de calculAbaqus permettant de déterminer les efforts de contact au sein du roulement. Les résultatsobtenus par ces deux approches ont été en accord avec les formulations pour l’analyse d’unroulement isolé. Ces approches ont été appliquées à la problématique des alternateurs auto-mobiles où le roulement loge dans un environnement complexe et déformable. Elles nous ontpermis d’évaluer l’influence de la déformation du logement sur la répartition des efforts ausein du roulement. Par ailleurs, les efforts transférés par chaque bille évoluent en fonction desa position sur la piste de roulement.

Les données des efforts obtenus sont utilisées dans un modèle dynamique simulant lecontact roulant entre les billes et les bagues du roulement. La finalité de cette modélisationest de déterminer l’état de contrainte au cours du fonctionnement du roulement. En vued’alléger le temps de calcul, l’analyse dynamique a été focalisée sur la zone la plus chargéeet soumise aux conditions défavorables du roulement. Il ressort de cette analyse, un état decontraintes multiaxial et non-proportionnel aux voisinages de la piste de roulement imposantainsi l’utilisation d’un critère de fatigue adapté pour déterminer la contrainte équivalente.Le critère multi-échelle de Dang Van a été choisi et implémenté dans le logiciel Matlab. Lecouplage de ce critère avec une loi d’endommagement a permis d’estimer le nombre de cyclesque peut faire le roulement avant qu’apparaissent les premiers signes de fatigue. D’autresaspects, notamment le chargement variable et les effets de la déformation du logement sur ladurée de vie ont été abordés.

143

144 Chapitre 4. Conclusion et perspectives

Enfin, un banc d’essai a été conçu et réalisé en vue d’accueillir l’alternateur automobileet de pouvoir réaliser des essais de fatigue sur les roulements. Le faible nombre d’essais nepermet pas d’obtenir des résultats représentatifs en termes de durée de vie. Cependant, il aété remarqué qu’en dehors du phénomène de fatigue de roulement, d’autres paramètres ontaccélérés la dégradation des roulements.

Ce travail constitue une première alternative à la modélisation du phénomène de fatiguedans les roulements montés dans les alternateurs automobiles. Des hypothèses ont été poséesdans la phase de répartition des efforts où les effets d’inerties et centrifuges des billes ontété négligés. Dans la phase de la modélisation du contact roulant, les effets d’écrouissage dumatériau, d’usure des pistes de roulement de même que les effets des contraintes résiduellesrésultant des procédés de fabrication des roulements ont été négligés. En ce qui concernela courbe de fatigue utilisée, elle a été choisie dans la littérature car nous ne disposons pasde moyens d’essais et de temps nécessaires pour réaliser des essais de fatigue à très grandnombres de cycles. Ces aspects seront abordés dans les travaux à venir pour avoir un modèlecomplet de prédiction de la durée des roulements à billes.

Sur le plan expérimental, un nombre important d’essais sur des roulements est nécessaireen vue d’avoir des résultats représentatifs. C’est pourquoi d’autres campagnes d’essais sontenvisagées prochainement pour des besoins industriels où la variation des efforts et des vi-tesses sera prise en compte.

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Annexe 1 : Notions de base descontacts de Hertz

Considérons deux solides élastiques mis en contact au point O sous une charge Q (FigureA1.1). En posant l’hypothèse que les surfaces en contact sont suffisamment lisses et continues,elles peuvent être décrites par des équations suivantes :

z1 = A1x2 +B1y

2 + C1xy (A1.1)

z2 = −(A2x2 +B2y

2 + C2xy) (A1.2)

En vue d’éliminer les termes mixtes en xy, on fait une orientation particulière, ce quipermet d’exprimer les profils surfaciques en fonction des rayons principaux de courbure R′1 ,R′′1 du solide 1 et R′2 , R′′2 du solide 2.

z1 = 12R′1

x21 + 1

2R′′1y2

1 (A1.3)

z2 = −(

12R′2

x22 + 1

2R′′2y2

2

)(A1.4)

On appelle d la distance entre les deux surfaces :

d = z1 − z2 = Ax2 +By2 = 12R′x

2 + 12R′′y

2 (A1.5)

D’après Johnson [38], on peut montrer que si x1 et x2 font entre eux un angle ϕ pour endéduire les expressions de A et de B par les équations A1.6 et A1.7.

A+B = 12

(1R′1

+ 1R′′1

+ 1R′2

+ 1R′′2

)(A1.6)

B − A = 12

√√√√( 1R′1− 1R′′1

)2

+(

1R′2− 1R′′2

)2

+ 2(

1R′1− 1R′′1

)(1R′2− 1R′′2

)cosϕ (A1.7)

153

154 Annexe 1 : Notions de base des contacts de Hertz

Figure A1.1 – Déformations causées par le contact entre deux solides élastiques

Hertz a établi la formule de distribution (Equation A1.8) de la pression dans le cas decontact entre deux solides quelconques (Figure A1.2) sous une charge Q.

p(x, y) = Pmax

√1−

(x

a

)2−(y

b

)2(A1.8)

AvecPmax = 3Q

2πab (A1.9)

a. b.

Figure A1.2 – (a) Contact entre deux solides quelconques, (b) Répartition elliptique de lapression de contact entre deux solides quelconques [55]

a et b sont les dimensions caractéristiques de l’ellipse de contact (Figure A1.2b) et Pmax estla pression maximale. D’après Harris [55], le rapport k = a/b peut être exprimé en fonction de

Annexe 1 : Notions de base des contacts de Hertz 155

la différence des rayons de courbures Γ et des intégrales elliptiques du premier et du deuxièmeordre.

J(k) =

√√√√2F− E(1 + Γ)E(1− Γ) (A1.10)

où

F =∫ π/2

0

[1−

(1− 1

k2

)sin2ϕ

]−1/2dϕ (A1.11)

E =∫ π/2

0

[1−

(1− 1

k2

)sin2ϕ

]1/2dϕ (A1.12)

k peut être obtenu par une méthode itérative [87] avec :

kn+1 = J(kn) (A1.13)

A partir de ces relations, du chargement Q, des propriétés mécaniques des matériaux encontact telles que le coefficient de Poisson ν et du module d’Young E on peut déterminer lesdimensions caractéristiques de la surface elliptique de contact (Figure A1.2) a et b par leséquations :

a = 3

√6k2EQRe

πkE ′(A1.14)

b = 3

√6EQRe

πkE ′(A1.15)

où

E ′ = 21−ν2

1E1

+ 1−ν22

E2

(A1.16)

et

1Re

= 1R′1

+ 1R′′1

+ 1R′2

+ 1R′′2

(A1.17)

avec R′1, R′′1, R′2, R′′2 sont des rayons de courbure dans deux plans considérés des solides(1) et (2) en contact.

On peut également exprimer la déformation due au contact.

δ = F 3

√√√√ 92ERe

(Q

πkE ′

)2(A1.18)

156 Annexe 1 : Notions de base des contacts de Hertz

Annexe 2 : Détermination desconstantes de rigidité entre les billeset les bagues

Considérons δij et δoj les déplacements occasionnés par le contact de la bille respectivementsur la bague intérieure et sur la bague extérieure.

Qij = Kijδ3/2ij (A2.1)

Qoj = Kojδ3/2oj (A2.2)

Kij et Koj sont des coefficient de raideur de contact entre la bille et respectivement labague intérieure et intérieure. Ces coefficients sont obtenus à partir des intégrales elliptiquesdu premier et du second ordre (E et F), de la géométrie et les propriétés mécaniques dumatériau.

Kij = πki(α)E ′√√√√2Ei(α)Ri

9F3i (α)

(A2.3)

Koj = πko(α)E ′√√√√2Eo(α)Re

9F3o(α)

(A2.4)

Dans les cas des roulements à billes, les rayons de courbure Ri et Ro de la bague intérieureet extérieure sont donnés par les relations [88] :

Ri =[

2Dp

dw(Dp − dw) + 2fi − 1fidw

]−1

(A2.5)

Ro =[

2Dp

dw(Dp + dw) + 2fo − 1fodw

]−1

(A2.6)

où dw est le diamètre des billes du roulement, f est la conformité des pistes (fi = dw/di

157

158 Annexe 2 : Détermination des constantes de rigidité entre les billes et les bagues

et fo = dw/de), Dp est le diamètre primitif du roulement.

Dp = De +Di

2 (A2.7)

avec De, le diamètre intérieur de bague intérieure et Di, le diamètre intérieur de la bagueextérieure (Figure 2.6).

Hamrock et al. [53] ont déterminé une approximation de des intégrales elliptiques enfonction des ratios αi et αo où :

αi = 2fiDp

(Dp − dw)(2fi − 1) (A2.8)

αo = 2fiDp

(Dp + dw)(2fi − 1) (A2.9)

Pour des valeurs de α supérieures à 1 [53], les paramètres elliptiques ont pour expression :

k(α) ' (α)2/π (A2.10)

F(α) ' π

2 +(π

2 − 1)ln(α) (A2.11)

E(α) ' 1 + π/2− 1α

(A2.12)

Annexe 3 : Approches analytiques surla répartition des efforts au sein duroulement

A3.1 Roulement chargé radialement et axialement

Figure A3.1 – (a) Roulement à billes supportant une combinaison d’effort axial et radial, (b)angle de contact du roulement, (c) déflexion locale due à la charge

Pour un roulement à billes chargé axialement et radialement (Figure A3.1a), l’effort radialFr crée un déplacement δr et l’effort axial Fa crée δa. Le rapprochement maximal des deuxbagues est donné par l’équation :

δmax = δasinβ + δrcosβ (A3.1)

Où β est l’angle de contact du roulement (Figure A3.1b). On peut déterminer l’équation

159

160 Annexe 3 : Approches analytiques sur la répartition des efforts au sein du roulement

du rapprochement des bagues à un angle ψ donné (Figure A3.1c).

δ(ψ) = δmax

(1− 1

2ε(1− cosψ))

(A3.2)

Avec :

ε = 12

(1 + δatanβ

δr

)(A3.3)

ε est un paramètre dépendant de la zone de chargement de roulement. A partir de lathéorie de Hertz, on peut déduire l’effort de répartition en fonction de l’angle ψ.

Q(ψ) = Qmax

(1− 1

2ε(1− cosψ))3/2

(A3.4)

Grâce à des intégrales Jr(ε) et Ja(ε) (Equation A3.7 et A3.8) introduites par Sjovall [89],on peut exprimer une relation entre l’effort radiale Fr et axial Fa appliquée sur le roulement,le nombre de billes Z et la force maximale au sein du roulement

Fr = ZQmaxJr(ε)cosβ (A3.5)

Fa = ZQmaxJa(ε)sinβ (A3.6)

oùJr(ε) = 1

2π

∫ ψl

−ψl

[1− 1

2ε(1− cosψ)]3/2

cosψdψ (A3.7)

Ja(ε) = 12π

∫ ψl

−ψl

[1− 1

2ε(1− cosψ)]3/2

dψ (A3.8)

avecψl = cos−1

(−δatanβ

δr

)(A3.9)

A3.2 Roulement chargé radialement

Pour un roulement à billes chargé par un effort purement radial Fr, la déflection radialedes billes est exprimée en fonction de leur position par :

δ(ψ) = δmax

[1− 1

2ε(1− cosψ)]

(A3.10)

avec

ε = 12

(1− Pd

2δr

)(A3.11)

Annexe 3 : Approches analytiques sur la répartition des efforts au sein du roulement 161

Où Pd est le jeu radial du roulement et δr est la déflection lorsque ψ = 0. L’effort sur labille la plus chargée au sein du roulement peut être exprimé à l’aide de l’intégrale radiale deSjovall.

Qmax = FrZJr(ε)

(A3.12)

L’intégrale radiale Jr(ε) de Sjovall est exprimée par :

Jr(ε) = 12π

∫ ψl

−ψl

[1− 1

2ε(1− cosψ)]3/2

cosψdψ (A3.13)

oùψl = cos−1

(Pd2δr

)(A3.14)

L’intégrale exprimée par l’équation A3.13 est difficile à déterminer. Harris [90] et Houpert[91] ont proposé des méthodes numériques permettant d’exprimer Jr(ε) en fonction de ε .Pour des roulements à billes, d’après [55], Jr(ε) a pour expression :

Jr = 0.3076ε0.4175 0.1 ≤ ε < 0.5Jr = 0.02290 ε = 0.5Jr = −0.0191ε4 + 0.2020ε3 − 0.6327ε2 + 0.6805ε+ 0.0213 0.5 < ε ≤ 2.0

(A3.15)

162 Annexe 3 : Approches analytiques sur la répartition des efforts au sein du roulement

Annexe 4 : Relations de la norme ISO281

D’après les travaux de Lundberg et Palmgren [8], il existe une relation (eq. A4.1) entrela probabilité de survie S d’apparition d’écaillage et la durée de vie du roulement N .

ln 1S∝ N eτ c0

zh−10

al (A4.1)

Où τ0 est la contrainte maximale de cisaillement à une profondeur z0. La géométrie ducontact est représentée par le demi grand axe a et la longueur de la piste de roulement l.Les paramètres c et h sont des caractéristques du matériau obtenus expérimentalement. Leparamètre e est la pente de la courbe de distribution de Weibull.

En définissant pmax, la pression maximale de contact entre une bille et la bague au seindu roulement, elle a pour expression :

pmax = 3Q2πab (A4.2)

où a et b sont les dimensions caractéristiques de l’ellipse de contact entre la bille et la bague,Q est l’effort de contact.

Notons que : a = a∗

(3E0Q

Σρ

)1/3

b = b∗(

3E0Q

Σρ

)1/3 (A4.3)

et

E0 = (1− ν21)

E1+ (1− ν2

2)E2

(A4.4)

La contrainte de cisaillement τ0 est proportionnelle à la pression pmax (Eq. A4.5).

τ0 = Tpmax (A4.5)

163

164 Annexe 4 : Relations de la normes ISO 281

On sait également que z0 = ζb et la longueur de la piste de roulement est l = πd où dreprésente le diamètre de la piste de roulement. Par ailleurs, la durée de vie peut prendre laforme N = uL, L est exprimé en millions de révolution que peut faire le roulement et u estle nombre de cycles sollicitation par rotation de l’axe du roulement.

La relation A4.1 prend la forme suivante :

ln 1S∝ T cal

(ζb)h−1

(Q

ab

)cueLe (A4.6)

ou encore :ln 1S∝ T cueLed

ζh−1

(1b

)c+h−1 (1a

)c−1Qc (A4.7)

L’équation A4.7 peut être réécrite sous la forme :

ln 1S∝ T cueLed

ζh−1

(Q

ab2

)(c+h−1)/2 (1a

)(c−h−1)/2Q(c−h+1)/2 (A4.8)

En remplaçant l’expression de a et b par leurs expressions (Eq. A4.3), on peut obtenir larelation suivante :

Q

ab2 = E0Σρ3a∗(b∗)2 (A4.9)

On peut également réécrire une relation en fonction de D :

D(c−h+1)/2D(c−h−1)/2( 1D2

)(c−h+1)/2D2−h = 1 (A4.10)

En remplaçant les équations A4.9 et A4.10 dans la relation A4.8, on obtient :

ln 1S∝ T c

ζh−1

[E0DΣρ3a∗(b)2

](c+h−1)/2 (D

a

)(c−h−1)/2 ( QD2

)(c−h+1)/2dD2−hueLe (A4.11)

ou encore :

ln 1S∝ T cdD2−hueLe

ζh−1(a∗)c−1(b∗)c+h−1

(E0DΣρ

3

)(2c+h−2)/3 (Q

D2

)(c−h+2)/3(A4.12)

La probabilité de survie étant constante, on peut réécrire l’équation A4.14 en faisantT = T1, ζ = ζ1 pour b/a = 1 :

(Q

D2

)(c−h+2)/3Le ∝

( TT1

)c ( ζζ1

)h−1 (DΣρ)(2c+h−2)/3

(a∗)c−1(b∗)c+h−1d

Due

(−3/(c−h+2)

(A4.13)

Annexe 4 : Relations de la normes ISO 281 165

Un réarrangement de l’équation A4.14 en faisant intervenir A1, constante du matériau duroulement permet d’obtenir :

QL(3e)/(c−h+2) = A1ΦD(2c+h−5)(c−h+2) (A4.14)

Pour une probabilité de survie donnée, la capacité dynamique de base d’un contact entreune bille et le chemin de roulement est définie comme la charge que peut supporter le contactpour un million de révolutions de la bague. Elle a pour expression :

Qc = A1ΦD(2c+h−5)(c−h+2) (A4.15)

L’équation A4.14 devient :

QL(3e)/(c−h+2) = Qc (A4.16)

et permet de déduire la durée de vie L (Eq.

L =(Qc

Q

)(c−h+2)/(3e)

=(Qc

Q

)p(A4.17)

avec e = 10/9, c = 31/3 et h = 7/3 permettant de déterminer p = 3 pour le roulement àbilles.

Sachant que la charge de contact Qc et la capacité dynamique de base d’un contact Qc sontproportionnelles respectivement à la force radiale appliquée P et à la capacité dynamique duroulement C, on en déduit la relation proposée par la norme ISO 281 (Eq. A4.18).

L =(C

P

)p(A4.18)

Résumé

Les conditions de fonctionnement rencontrées dans la problématique de nouvelles gé-nérations d’alternateurs automobiles avec des chargements variables et un environnementmécanique complexe déformable ont un effet non négligeable sur le comportement mécaniquedu roulement et par conséquent sur sa durée de vie. Il est proposé dans ce travail une ap-proche permettant de prendre en compte ces paramètres dans l’estimation de la durée de viedes roulements. La répartition des efforts obtenue des considérations statiques sont utilisésdans un modèle dynamique simplifié permettant de déterminer de l’état de contrainte aucours du temps dû au passage de billes sur la piste de roulement. L’approche multi-échelle deDang Van couplée à une loi de cumul d’endommagement a permis de déterminer le nombre decycles avant l’apparition des premiers signes de fatigue. La dernière phase du travail concernel’aspect expérimental qui a montré que le phénomène de fatigue n’est pas la seule cause dedégradation des roulements montés dans les alternateurs automobiles.Mots-Clés : Roulement à bille, Fatigue de roulement, Critère de fatigue, Durée de vie

Abstract

The operating conditions encountered in the new generations of automotive alternatorswith variable loads and a deformable complex mechanical environment have a significanteffect on the mechanical behavior of the bearing and hence its fatigue lifetime. An approachthat takes into account these parameters in the ball bearing fatigue lifetime has been pro-posed in this work. The load distribution obtained from static considerations are used in asimplified dynamic model in order to determine the time-dependent stress state due to ballrolling on the raceway. The Dang Van multiscale approach coupled with a damage law wasapplied to determine the number of cycles before the apparition of the first signs of fatigue.The last phase of work involves the experimental aspect that shows that the fatigue pheno-menon is not the only cause of degradation of bearings mounted in automotive alternators.Keywords : Ball bearing, Rolling fatigue, Fatigue criterion, Lifetime

Groupe de Recherche En Sciences Pour l’Ingénieur (GRESPI - EA4694)UFR Sciences Exactes et Naturelles - Campus Moulin de la HousseBP 1039 - 51687 Reims Cedex 2 - France

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