axial- och gradientkrympning hos golv pÅ mark enligt eurokod 2566824/fulltext01.pdf · axial- och...
TRANSCRIPT
ISRN UTH-INGUTB-EX-BI-2012/03-SE
Examensarbete 15 hp
November 2012
Axial- och gradientkrympning hos
golv på mark enligt Eurokod 2
Sprickbredders beroende av betongkvalité,
tvångseffekter och armeringshalt
Robert Edlinger
Karls Svansbo
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING
HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT
EUROKOD 2
Sprickbredders beroende av betongkvalité,
tvångseffekter och armeringshalt
Robert Edlinger
Karl Svansbo
Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik
Byggteknik, Uppsala universitet Examensarbete 2012
ii
Denna rapport är tryckt på Polacksbackens Repro, Institutionen för
informationsteknologi, Uppsala universitet, Box 337, 751 05 Uppsala
Copyright©Robert Edlinger och Karl Svansbo
WSP Byggprojektering, Stockholm
Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik,
Byggnadsteknik, Uppsala universitet
Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten
Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0
Postadress: Box 536 751 21 Uppsala
Telefon: 018 – 471 30 03
Telefax: 018 – 471 30 00
Hemsida: http://www.teknat.uu.se/student
Abstract
Axial- och gradientkrympning hos golv på mark enligt
Eurokod 2
Axial and gradient shrinkage of concrete slabs according to Eurocode 2 Robert Edlinger och Karl Svansbo Concrete foundation slabs are usually exposed to unilateral drying during the curing process. The unilateral drying causes an axial shrinkage and a concave curvature of the construction. The curvature results from the fact that the upper part of the slab is drying and shrinking faster than the lower part. This is called gradient shrinkage.
A problem occurs when the slab is considered fully restrained by adjoining structural parts. The deformations caused by axial contraction due to the constant part of the shrinkage and the curvature caused by gradient shrinkage of the slab are then prevented by the fact that the slab is fully restrained. When the shrinkage and the curvature are prevented, constraints occur in terms of an axial force and a bending moment. These constraints cause cracking in the upper part of the slab. These cracks can cause inconveniences for the user of the slab and the cracks should therefore be minimized.
It is important to determine the precise magnitude of the constraints so that sufficient amount of reinforcement can be applied into the concrete and the crack widths can be reduced.
The construction consultancy company WSP has an interest in structural design methods for reducing the risk for concrete cracking through establishing engineering guidelines for the structural design of foundation slabs which are exposed to axial and gradient shrinkage.
The result in this report shows the magnitude of the constraints for slabs of varying thickness and molded with different types of concrete. The constraints are later used to determine the crack widths. Two different reinforcement standards, both in compliance with the minimum requirements of Eurocode 2, are included in the study.
A conclusion based on the results shows that the amount of reinforcement can be reduced in foundation slabs up to 300 millimeters thickness without significant impact on the crack widths.
Handledare: Kent Arvidsson
Ämnesgranskare: Ali Farhang
Examinator: Patrice Godonou
ISRN UTH-INGUTB-EX-BI-2012/03-SE
Tryckt av: Polacksbackens Repro, Institutionen för informationsteknologi,
Uppsala universitet
iv
SAMMANFATTNING Betonggolv på mark utsätts för ensidig uttorkning. Den ensidiga
uttorkningen orsakar en axial krympning och ger en konkav krökning
av konstruktionen, s.k. kantresning. Krökningen uppkommer då
golvplattans överkant torkar och krymper snabbare än underkanten.
Detta kallas gradientkrympning.
Ett problem uppstår då betongplattan är fast inspänd i närliggande
konstruktionsdelar. De deformationer som orsakas av axiell
sammandragning på grund av den konstanta delen av krympningen,
och krökningen orsakad genom krympningsgradienten av plattan,
förhindras av det faktum att plattan är helt fastspänd. När krympning
och krökning förhindras uppstår tvång i form av axialkraft och böjande
moment. Dessa tvång ger upphov till sprickbildning i plattans
överkant.
Dessa sprickor kan medföra olägenheter för beställaren och bör
därför minimeras. Det är viktigt att fastställa tvångets storlek så att
tillräcklig armeringsmängd kan användas i konstruktionen för att
minska sprickbredderna. Konsultföretaget WSP har ett intresse av att
upprätta ingenjörsmässiga riktlinjer för dimensionering av golv på
mark utsatta av axial- och gradientkrympning så risken för dessa
sprickor kan minimeras.
Resultatet i denna rapport redovisar tvångens storlek för varierande
plattjocklekar gjutna med olika sorters betong. Tvången används sedan
som underlag för att beräkna sprickbredder, som också redovisas i
rapporten. I studien har två olika armeringshalter använts enligt
Eurokod 2:s minimiarmerings krav.
Slutsatsen av resultaten är att armeringsmängden kan reduceras i
plattor upp till 300 millimeters tjocklek utan någon påtaglig förändring
av sprickbredder sker.
v
FÖRORD Med detta examensarbete avslutar vi vår högskoleingenjörsutbildning i
byggteknik vid Uppsala universitet. Vårt examensarbete har utförts
under våren 2012 på WSP Byggprojektering i Stockholm med Tekn. Dr.
Kent Arvidsson som upprättat programmet för examensarbetet.
Vi vill tacka Mattias Ek på WSP som har varit till stor hjälp med stöd
och vägledning i de datorprogram vi använt. Framförallt vill vi tacka
vår handledare Kent Arvidsson som har varit ett enormt stöd under
resans gång.
Vi skulle även vilja tacka Mikael Hallgren adjungerad professor och
Måns Thulin, doktorand i matematisk statistik. Mikael skulle vi vilja
tacka för rådgivning och tolkning av Eurokod 2. Måns skulle vi vilja
tacka för hjälp och rådgivning.
Vi skulle till sist vilja tacka vår ämnesgranskare Ali Farhang Tekn. Dr.
för sitt engagemang och granskningssynpunkter.
Uppsala i maj 2012
Robert Edlinger och Karl Svansbo
vii
INNEHÅLL 1 Introduktion 1
1.1 Inledning 1
1.2 Bakgrund 2
1.2.1 Betong och dess egenskaper 2
1.2.2 Platta på mark 2
1.2.3 Gjutningsklimat 3
1.2.4 Vattencementtal 3
1.2.5 Betongens krympning 4
1.2.5.1 Uttorkningskrympning 4
1.2.5.2 Autogen krympning 4
1.2.6 Tvångseffekter 5
1.2.7 Krypning 5
1.2.8 Åtgärder mot sprickbildning 6
1.2.9 Normer 7
1.3 Avgränsningar 7
2 Företagsbeskrivning 9
3 Genomförande 11
3.1 Beräkningsmodell 11
3.2 Förutsättningar 11
3.3 Val av betong 11
3.4 Lösningsmetoder 12
4 Beräkning av tvång 13
4.1 Beräkningsmodell 13
4.2 Beräkningsgång 13
4.2.1 Beräkning av total krympning 14
4.2.1.1 Uttorkningskrympning 14
4.2.1.2 Autogen krympning 15
4.2.2 Beräkning av kryptal 16
viii
4.2.2.1 Inverkan av relativ fuktighet 16
4.2.2.2 Inverkan av betongens ålder vid pålastning 17
4.2.2.3 Inverkan av krypningens utveckling med tiden 17
4.2.2.4 Delresultat 21
4.2.2.5 Verifiering av kryptal 21
4.2.3 Beräkning av effektiv elasticitetsmodul 21
4.2.4 Beräkning av axialtvång 22
4.2.5 Beräkning av neutrala lagret 23
4.2.6 Beräkning av momenttvång 23
5 Beräkning av deformationer 25
5.1 Beräkningsgång 25
5.2 Beräkning av yttröghetsmoment 25
5.3 Beräkning av böjmotstånd 26
5.4 Beräkning av spänning 26
5.4.1 Spänning i tvärsnitt med effektiv E-modul som varierar 27
5.4.1.1 Spänningsbidraget av normalkraften 27
5.4.1.2 Spänningsbidraget av det böjande momentet 27
5.5 Beräkning av medelkrympning och medelkryptal 29
5.6 Beräkning av vinkelförändring 29
5.7 Beräkningsnoggrannhet 30
5.8 Delresultat och kommentarer 30
6 Beräkning av sprickbredder 31
6.1 Beräkningsgång 31
6.2 Armeringshalt 31
6.3 Modell i Ramanalys 32
6.4 Beräkningsnoggrannhet 33
6.5 Delresultat och kommentarer 33
7 Resultat och analys 35
7.1 Sprickbreddsdiagram 35
ix
7.2 Armeringspåkänning 38
7.3 Verifiering 41
7.4 Analys 42
7.5 Jämförelse mellan EC 2 och BBK 43
8 Slutsats 45
9 Referenser 51
BILAGOR
Bilaga 1, Beräkning i Mathcad B1
Bilaga 2, Verifiering av kryptal B2
Bilaga 3, Passningsberäkning i Ramanalys B3
1
1 INTRODUKTION
1.1 Inledning
Platta på mark är en betongkonstruktion där skador ofta inträffar. Ofta
består skadorna i att betongen spricker. En sammanställning av
betongrelaterade skadeutredningar visar att golv utgör 20 % av
skadefallen och det vanligaste problemet hos golv är sprickor med
oönskade sprickbredder [1]. Det finns många orsaker till varför
betongplattor på mark spricker och det är av stor betydelse att minimera
risken för icke önskade sprickbredder. Denna rapport behandlar en av
orsakerna till sprickor som kallas axial- och gradientkrympning.
När en betongplatta gjuts på mark uppkommer oliksidig uttorkning i
plattan. Överkant platta befinner sig i kontakt med den omgivande luften
medan underkanten befinner sig i en fuktigare miljö mot marken. Denna
oliksidiga uttorkning ger upphov till ojämn krympning, s.k.
gradientkrympning. Betongen krymper snabbare i plattans överkant än i
dess underkant och detta i sin tur ger upphov till problem där plattan vill
kröka sig uppåt längs dess kanter, s.k. kantresning. När plattans kanter
reser sig kommer egentyngden att motverka denna resning och
spänningar i plattan uppstår.
Om plattan gjuts inspänd i anslutande konstruktioner, exempelvis
väggar, motverkas plattans krympning i axialled av dessa. Plattans
inspänning och dess egentyngd orsakar dragspänningar i plattan i form av
ett axialtvång och ett momenttvång. Dessa tvång ger upphov till oönskade
tvångssprickor i plattan när betongen krympt så pass mycket att
dragspänningarna överstiger betongens draghållfasthet.
Det är i dagens läge svårt att uppskatta sprickbredderna från axial- och
gradientkrympning därför att det är ett komplext problem som varierar
med plattors tjocklek. Detta leder till osäkerhet vid val av armeringshalt
och branschen skulle gynnas om nya riktlinjer ritades upp.
Syftet med denna rapport är att för fem plattor av olika tjocklek och tre
olika sorters betonghållfastheter beräkna de tillhörande tvången samt
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
2
analysera vilka sprickbredder som erhålls vid användning av
minimiarmering enligt Eurokod 2. Totalt studeras 15 plattor.
Eurokod 2 även kallad EC 2 är Europas gemensamma
dimensioneringsregler för bärverksdelar i betong.
Ett tidigare examensarbete har skrivits om detta ämne vid lärosätet
Kungliga tekniska högskolan, campus Haninge [2]. Detta har dock gjorts
enligt Sveriges gamla normer, Boverkets bestämmelser för
betongkonstruktioner även kallad BBK 04. Det finns därför ett stort
intresse att bestämma minimiarmering och sprickbredder enligt EC 2.
Målet med denna rapport är att jämföra resultaten enligt EC 2 och BBK
04 så att en slutsats om skillnaderna mellan normerna kan fastställas.
1.2 Bakgrund
1.2.1 Betong och dess egenskaper
Materialet betong har högre tryckhållfasthet än draghållfasthet, d.v.s.
materialet går sönder lättare när det utsätts för drag- än tryckpåkänningar.
Det är betongens låga draghållfasthet som gör att betong behöver armeras.
Tryckhållfastheten brukar i beräkningar betecknas , draghållfastheten
betecknas . Betongens medeltryckhållfasthet vid 28 dagar betecknas
och hållfastheterna anges i MPa.
Betongens elasticitet mäts i något som kallas elasticitetsmodul, även
kallad E-modul. Dennas karakteristiska värde betecknas och varierar
med hållfastheten. Medelelasticitetsmodulen efter 28 dagar betecknas .
E-modulen anges i enheten GPa.
När betong härdar krymper den. Betongens krympning betecknas och
mäts i promille.
1.2.2 Platta på mark
Platsgjutna golv på mark är en mycket vanlig golvkonstruktion i Sverige
och används både till småhus och större industribyggnader.
Konstruktionen innebär att en platta av betong gjuts med viss tjocklek,
antingen mot markisolering eller direkt mot kapillärbrytande skikt.
Under bärande väggar måste plattan förstärkas, plattan utformas
tjockare så att den kan bära mer last. Dessa förstärkningar, eller voter som
Kap. 1 Introduktion
3
de kallas, har en djupare grundläggningsnivå och låser fast plattan när
den vill krympa. När krympningen förhindras töjs istället betongen och
dragspänningar uppstår. Sprickorna som då uppkommer beror således på
att plattans rörelsemöjligheter förhindras. Underlaget på vilken plattan
gjuts avgör rörelsemöjligheten. Denna rapport behandlar det fall när
plattan gjuts direkt mot kapillärbrytande skikt och kan anses vara
fullständigt fastlåst. Se figur 1.1.
Figur 1.1 Krympning förhindras i plattans längdled pga. friktion mot mark
1.2.3 Gjutningsklimat
Vid det ögonblick då betongen precis lämnat blandaren och placerats i
formen har betongen 100 % relativ fuktighet. Betongens relativa fuktighet
kommer sedan att minska mot det värde på den relativa fuktigheten som
den omgivande miljön har.
Då ingen markisolering används finns ingen temperaturgradient
mellan marken och betongplattan. Detta medför att underkant platta
initialt antar markens relativa fuktighet, 100 %, således samma som den
startade med. Överkant platta som är i kontakt med luften kommer
snabbare anta en lägre relativ fuktighet. Denna fuktgradient är det som
gör att den ojämna krympningen uppkommer.
I denna undersökning kommer det mest ogynnsamma
gjutningsklimatet att undersökas, när det är som torrast i luften och störst
fuktgradient uppstår. Detta klimat är gjutning inomhus i maj då den
relativa luftfuktigheten är ca 55 % [2].
1.2.4 Vattencementtal
Andelen vatten i betongen anges med ett s.k. vct-tal och beskriver hur
vattnet förhåller sig gentemot cementmängden. Andelen vatten i betongen
bestämmer betongens hållfasthet och hur mycket betongen kommer att
krympa. Detta beror på att betongen krymper när vattnet dunstar och
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
4
lämnar betongmassan, s.k. uttorkningskrympning. I denna studie
undersöks tre olika vct: 0.38, 0.43, 0.53.
1.2.5 Betongens krympning
Betongens krympning kan delas upp i två komponenter,
uttorkningskrympning och autogen krympning.
Krympningens storlek beror främst på:
Konstruktionsdelens geometri och uttorkningsytor
Mängden cementpasta gentemot vatten i betongen
Omgivningens fuktighet och temperatur
Betongens behandling
Betongens ålder [3]
1.2.5.1 Uttorkningskrympning
Uttorkningskrympning är den krympning som sker pga. fuktutbytet
mellan betong och omgivande miljö, det är också den som pågår under
längst tid.
I betong lagras en betydande del av vattnet i betongens porsystem. När
betongen lämnar blandaren kommer denna inlagrade mängd vatten att
med tiden avta och betongen krymper. Uttorkningskrympningen som
sker under de första månaderna efter gjutning kallas för
förstagångskrympningen.
Viktigt att nämna är att under betongens livscykel kommer omväxlande
uttorkning och nedfuktning över månadernas gång bidra till krympning
respektive svällning, dock mindre än förstagångskrympningen. [4]
1.2.5.2 Autogen krympning
Autogen krympning är en krympning som kan ske utan fuktutbyte med
omgivningen. Denna form av krympning beror på den kemiska process
som sker i cementpastan när betongen härdar.
Autogen krympning är av större betydelse i betong med låga vct då den
större delen av det totala vatteninnehållet binds och förbrukas när
betongen härdar. Den andel vatten som lagras i porerna för att med tiden
torka ur blir därmed mindre. Betong med lägre vct har högre hållfasthet
och ett tätare porsystem som bidrar till mindre mängd lagrat vatten [3].
Kap. 1 Introduktion
5
I de gamla normerna, BBK 04, beaktas inte den autogena krympningen
när krympberäkningar utförs. Detta blir därför en ny aspekt att ta hänsyn
till när beräkningarna genomförs enligt EC 2.
1.2.6 Tvångseffekter
När plattan är fastinspänd i angränsande konstruktioner, t.ex. vid
etappvis gjutning av stora betonggolv, begränsas dess rörelsemöjligheter.
Detta innebär att när plattan krymper förhindras dess rörelse och
tvångskraft i form av axial dragkraft uppstår. Den axiala kraftens storlek
beror såväl på plattans storlek som på gjutningsunderlaget. Den ojämna
uttorkningen ger i sin tur upphov till ett böjande momenttvång som inte
kan elimineras.
När luften i den omgivande miljön har en låg relativ fuktighet torkar
plattan ut snabbt och ojämnt. Då kan dessa tvång bli så pass stora att
sprickor erhålls. När betongen spricker minskar tvångskrafterna. Detta
sker därför att betongen inte kan ”hålla emot” den axiala dragkraften i
samma utsträckning som när den var osprucken. När betongen med tiden
fortsätter torka kommer tvångsspänningarna igen att öka tills betongens
draghållfasthet åter är uppnådd och nya sprickor uppstår i nya snitt i
plattan.
När betongen spricker kommer armeringen att ta större delen av
dragkraften. Det är därför viktigt att armeringen kan ta upp dessa
spänningar och inte ger efter så att stora sprickor, s.k. ”single cracks”
uppstår. Armeras betongen på rätt sätt, med tillräcklig mängd armering,
förhindras dessa ”single cracks” och flera små sprickor uppträder istället
[3]. Detta är mer gynnsamt ur användarsynpunkt
1.2.7 Krypning
När en konstruktion pålastas deformeras den omedelbart. Denna
deformation kommer sedan att växa med tiden. Detta fenomen kallas
krypning. Krypning är en deformation som beror av spänningen i
betongen och antas nå ett slutligt värde efter ungefär 70 år. [3] Krypningen
definieras med ett så kallat kryptal och betecknas . Ju större kryptal,
desto större krypdeformation.
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
6
I fallet som studeras, när plattan är fastlåst och krymper ojämnt,
uppkommer krypdeformationen till följd av de tvång som plattan belastas
av. Betongens egenskap att krypdeformeras har en gynnsam inverkan på
konstruktionen då dragkraften minskar, betongen relaxeras, när plattan
töjs ut. Denna minskning av dragkraft kan liknas med den som sker när
plattan spricker, d.v.s. att betongen inte längre kan ”hålla emot” [5].
Krypningen beaktas i beräkningarna.
1.2.8 Åtgärder mot sprickbildning
Gradientkrympning kan till viss del reduceras. Det finns idag tekniker för
att sakta ned krympning och avdunstning genom att få överkanten av
plattan att torka långsammare. Detta sker genom vattenbehandling och
övertäckning med plastfolie. Friktionen mot underlag, som ger upphov till
axialtvång, kan reduceras genom gjutning mot glatt underlag.
Problemen går dock inte att eliminera helt. I de gamla normerna, BKR
och BBK 04, beaktas problemet med ojämn krympning och riktvärden för
krympskillnaden vid oliksidig uttorkning finns att tillgå. Detta återfinns
inte i EC 2 [3].
Idag finns möjligheter att påverka betongen genom tillsatsmedel. Det
finns tillsatser för många olika ändamål, bland annat krympreducerande.
Vacuumsugning är ett alternativ där vatten avlägsnas från
betongplattans överkant. På så sätt kan ytkrympningen reduceras upp till
50 % [6].
I denna rapport undersöks endast hur stora sprickbredder som
uppkommer utan användning av tillsatser eller krympreducerande
åtgärder.
Problemet med axial- och gradientkrympning är omfattande och
resulterar ibland i juridiska konflikter mellan berörda parter. Om detta
problem kan lösas kan branschen besparas mycket tid och pengar [5].
Kap. 1 Introduktion
7
1.2.9 Normer
Det finns betydande skillnader i hur BBK 04 skiljer sig mot EC 2, bland
annat när det gäller beräkning av krympning och kryptal. I BBK 04
beaktas inte den autogena krympningen, vilken beaktas i EC 2.
EC 2 har infört noggrannare metoder för beräkning av kryptal där
kryptalet är beroende av tiden, till skillnad från BBK 04 där tiden inte
beaktas. Det finns också skillnader i hur minimiarmering beräknas.
EC 2 finns i flera olika upplagor för olika länder. I denna studie följs EC
2 med svenskt annex.
1.3 Avgränsningar
Femton olika plattor studeras och inverkan av temperaturvariationer
beaktas inte. Inverkan av cementtyp på betongens kryptal studeras inte,
och heller inga yttre laster. Ingen behandling av eftergivlighet i plattans
inspänning.
9
2 FÖRETAGSBESKRIVNING Folke Jacobson Och Hans Wildmark bildade 1938 företaget J&W, Jacobson
& Wildmark. J&W växte starkt och introducerades 1976 på
Stockholmsbörsen med 750 anställda. 2001 sammanslogs J&W med WSP
(ursprungligen Williams Sayles Partnership), ett brittiskt bolag grundat
1970 och noterat på Londonbörsen sedan 1987.
WSP är idag ett av världens största konsultföretag med mer än 9000
medarbetare på 200 kontor i 35 länder världen över. Det är ett globalt
analys- och teknikkonsultbolag som deltar i samhällsbyggande över hela
världen. WSP har sina huvudsakliga säten i Storbritannien, Sverige, övriga
Europa, USA, Afrika, Indien, Mellanöstern, Asien och Australien. De
erbjuder sina kunder kvalificerade helhetslösningar med hjälp av kunniga
team som har erfarenhet från olika delar av världen. WSP erbjuder
konsulttjänster inom fastighet, transport & infrastruktur, miljö & energi
och industri. I Sverige är WSP ett rikstäckande företag med ca 2400
medarbetare.
WSP byggprojektering är en del av WSP Group och har idag ca 360
medarbetare i Sverige.
Syftet med detta examensarbete från WSP:s sida är att kunna upprätta
en handbok för praktiskt ingenjörsarbete. I denna ska ingenjören kunna
påvisa sprickrisker i betonggolv för konstruktörer och framför allt
beställare.
11
3 GENOMFÖRANDE
3.1 Beräkningsmodell
Beräkningsmodellen som används har erhållits av handledare Kent
Arvidsson, teknisk doktor. Beräkningsmodellen bygger på att plattans
tvärsnitt som studeras delas upp i millimeterstrimlor i höjdled. På så sätt
kan fuktgradienten över tvärsnittet studeras mycket noggrant och en axial
dragkraft kan beräknas för varje millimeterstrimla. Plattorna studeras per
meter strimla i breddled. Beräkningarna följer EC 2.
3.2 Förutsättningar
Oliksidig uttorkning råder
Fullständig fastlåsning, plattan utsätts för fullt tvång
Plattor av tjocklekar 120, 160, 200, 300 och 400 millimeter
Betong av vct 0.38, 0.43 och 0.53, svensk standardbetong används
Snabbhärdande cement används, cementklass R
Plattans gjuts i maj, inomhusklimat, luftens relativa fuktighet 55 %
Markens relativa fuktighet 100 %
Minimiarmering enligt det underlag som finns att tillgå i EC 2
Två armeringshalter studeras
Beräkningarna utförs i brukgränstillstånd
Långtidslast betraktas
Plattorna betraktas efter 365 dygn
3.3 Val av betong
Betongens hållfasthet är en osäker parameter som kan variera, även inom
samma hållfasthetsklass. Hållfastheten i betong anses variera enligt
normalfördelningen [3] och det är mycket viktigt att rätt hållfasthet väljs
då beräkningarna i stor utsträckning är beroende av hållfastheten.
Enligt tidigare examensarbete kan följande vct kopplas till respektive
hållfasthetsklass [2]. Detta gäller för svensk standardbetong.
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
12
vct 0.38 motsvarar C54/65, och
vct 0.43 motsvarar C50/60, och
vct 0.53 motsvarar C40/50, och
I fallet med platta på mark som utsätts för tvång så kommer en hög
draghållfasthet att verka ogynnsamt. Detta beror på att större spänningar
byggs upp i plattan när betongen förblir osprucken [3].
3.4 Lösningsmetoder
Beräkningsmodellen appliceras i datorprogrammet Mathcad, där en
generell algoritm för beräkning av tvång kan skapas. Utifrån algoritmen
kan sedan alla 15 plattor analyseras och deras tillhörande tvång
bestämmas. Indata för beräkningarna är uttorkningsprofiler som
tillhandahålls av Jonas Carlswärd på Betongindustri AB.
Uttorkningsprofilerna är simuleringar från ett datorprogram, BI dry, där
de tidigare nämnda förutsättningarna kunnat matas in. Dessa
uttorkningsprofiler är data över hur relativa fuktigheten varierar i plattans
höjdled över tiden. Indatafilerna erhölls i Excelformat och noggrannheten
är mätvärden av den relativa fuktigheten för var femte millimeter i
plattans höjdled med tidsintervallet 9.1 dagar under ett år.
Beräkningen av de sprickbredder som uppträder som följd av tvången
beräknas i datorprogrammet Ramanalys. I Ramanalys beaktas
uppsprickningen, och på så sätt även minskningen av tvång när betongen
spricker med tiden.
Lösningen erhålls genom passningsberäkning avseende vinkeländring
och axiell töjning av en betraktad plattstrimla. Det aktuella systemet är
således ett statiskt obestämt system av grad två.
När sprickbredderna beräknats görs sedan en överskådlig
resultatsammanställning varifrån man kan analysera resultatet och dra
slutsatser.
13
4 BERÄKNING AV TVÅNG
4.1 Beräkningsmodell
Beräkningar av tvångskrafter över tvärsnittet sker enligt elasticitetsteorin
då Hookes lag gäller:
(4.1)
Vidare blir den axiala tvångskraften för en millimeterstrimla
(4.2)
Krympningen och kryptalet varierar över tvärsnittshöjden pga. den
ojämna uttorkningen. Det första steget är att bestämma dessa. Arean A är
konstant och representerar en millimeterstrimla. är medelvärdet på
betongens E-modul och är en konstant. Formel 4.2 beräknas således för
varje strimla.
Summeras alla axialkrafter för varje millimeterstrimla erhålls den totala
axiala dragtvångskraften för hela tvärsnittet. Det böjande momentet kan
sedan beräknas.
4.2 Beräkningsgång
Följande beräkningsgång tillämpas för samtliga plattor. Figurer i kapitel 4
till 6 och bilaga 1 baseras på en 400 millimeters platta med vct 0.38.
Beräkningarna sker i varje millimeterstrimla om inget annat anges.
Beräkningarna baseras på fuktprofilerna från Betongindustri AB.
1. Beräkning av total krympning
2. Uttorkningskrympning
3. Autogen krympning
4. Beräkning av kryptal
5. Ingående faktorer för kryptal
6. Beräkning av effektiv E-modul
7. Beräkning av axiala tvångskrafter
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
14
8. Beräkning av neutrala lagret för hela tvärsnittet
9. Beräkning av momenttvång i tvärsnittets neutrala lager
4.2.1 Beräkning av total krympning
Den totala krympningen beräknas generellt som summan av
uttorkningskrympningen och den autogena krympningen.
(4.3)
motsvarar uttorkningskrympningen, motsvarar autogena
krympningen och är den totala krympningen.
För varje millimeterstrimla i höjdled kommer en total krympning att
beräknas. På detta sätt beaktas krympvariationen över tvärsnittet.
4.2.1.1 Uttorkningskrympning
Uttorkningskrympningen beräknas enligt formeln:
( ) (4.4)
De ingående faktorerna beror av cementtyp, betonghållfasthet, hur lång
tid betongen har krympt, en fiktiv höjd av tvärsnittet och av den relativa
fuktigheten.
Den faktor som beaktar den relativa fuktigheten, , är en delfaktor i
och beaktar enligt EC 2 omgivningens relativa luftfuktighet, RH. Se bilaga
1 för detaljerad information.
Betraktas en enskild millimeterstrimla är omgivningen den
överliggande och den underliggande millimeterstrimlan. Medelvärdet av
den relativa fuktigheten av dessa två blir det representativa värdet av
omgivningens relativa fuktighet.
Det visar sig att medelvärdet av den över och underliggande strimlan
motsvarar värdet för den betraktade strimlans RH, med en mycket liten
felmarginal. Därför kan den betraktade strimlans RH anses tillräckligt
noggrann och användas i beräkningarna. Figur 4.1 visar hur den relativa
fuktigheten varierar med plattans höjd. För plattan som studeras kommer
Kap. 4 Beräkning av tvång
15
således denna faktor som tar hänsyn till relativa fuktigheten, , att
beräknas för varje millimeterstrimla i plattan.
För den faktor som tar hänsyn till hur lång tid betongen har
krympt, ( ), så anges betraktad tidpunkt till 365 dagar. Betongens
ålder vid början av uttorkningskrympning, , anges till en dag. Den
fiktiva höjden, som bestämmer värdet på , anges till halva
tvärsnittshöjden [3]. Denna faktor, ( ) , är samma för alla
millimeterstrimlor. Se bilaga 1 för utförliga beräkningar.
Figur 4.1 Fuktfördelningen över tvärsnittshöjden efter ett år, indata från
Betongindustri AB
4.2.1.2 Autogen krympning
Den autogena krympningen beräknas enligt formeln:
( ) ( ) (4.5)
Den autogena krympningen beror av två faktorer. Faktorn ( ) som
beror av betongens ålder vid betraktad tidpunkt, , och faktorn ( )
som beror av betongens karakteristiska hållfasthet. Se bilaga 1.
50 60 70 80 90 1000
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Fuktfördelning platta 400,maj, inne, vct 0.38 dag 365
RH (%)
h (
m)
z
RH
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
16
Summeras uttorkningskrympningen och autogena krympningen enligt
formel 4.3 i varje millimeterstrimla erhålls krympningsgradienten över
tvärsnittshöjden. Se figur 4.2.
Figur 4.2 Totala krympningen över tvärsnittshöjden efter ett år
4.2.2 Beräkning av kryptal
De med tvärsnittshöjden varierande kryptalen beror av betonghållfasthet,
relativ fuktighet, pålastningstid och lastens varaktighet. Vad som menas
med de tre sist nämnda effekterna förklaras mer ingående nedan.
Kryptalet beräknas enligt formeln:
( ) ( ) ( ) (4.6)
4.2.2.1 Inverkan av relativ fuktighet
Faktorn som korrigerar för den relativa fuktigheten, , beaktar enligt EC
2 den relativa luftfuktigheten i omgivande miljö. I de studerade fallen är
miljön inomhus i maj månad med den relativa fuktigheten 55 %. Faktorn
är även beroende av den fiktiva höjden och betongens hållfasthet.
Eftersom faktorn beror av luftens relativa fuktighet kommer faktorn att ha
samma värde för samtliga millimeterstrimlor.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Krympningen över tvärsnittshöjden dag 365
Krympning (promille)
Tv
ärsn
itts
höjd
en (
m)
p2
cs
Kap. 4 Beräkning av tvång
17
4.2.2.2 Inverkan av betongens ålder vid pålastning
Den totala krypdeformationen är beroende av när betongen första gången
pålastas och får en påkänning. Det bör noteras att i normer är kryptalet
vanligen relaterat till att hela pålastningen sker vid 28 dagar. Vid senare
pålastning blir kryptalet mindre än det för pålastning efter 28 dagar.
Pålastas betongen sent blir följaktligen krypdeformationen mindre.
Pålastningsåldern i det studerade fallet blir vid den tidpunkt då
betongen har krympt och spänningar uppträtt. Pålastningsåldern blir tidig
för överkant platta och senare för underkanten på grund av den ojämna
uttorkningen. Enligt uttorkningsprofilerna från Betongindustri AB har
hela tvärsnittet en påkänning först efter 9.1 dagar. Detta värde är det som
används i beräkningar då noggrannare värde inte kunnat bestämmas via
indata från Betongindustri AB. Detta värde visade sig gälla för alla plattor
som studeras. Denna faktor blir därför samma för samtliga studerade
plattor.
4.2.2.3 Inverkan av krypningens utveckling med tiden
Krypdeformationen påverkas även av hur länge lasten har verkat på
konstruktionen. I EC 2 beaktas detta med en faktor, ( ) . I EC 2
förutsätts det vara en konstant last som belastar plattan. Pålastningen sker
enligt EC 2 vid en specifik tidpunkt som avgör hur lång tid lasten har verkat
på konstruktionen.
Eftersom att krympningen och därmed tvångslasterna växer med tiden
kan lasten inte anses som konstant och den specifika tidpunkten för
pålastning, som dessutom ska motsvara en konstant last, blir därför svår
att bestämma. Tvångslasterna växer dessutom olika snabbt över
tvärsnittshöjden pga. den ojämna uttorkningen. Detta problem måste lösas
då normen annars inte kan följas, detta förklaras nedan.
Krympningens utveckling för ett antal millimeterstrimlor studeras över
tiden, från dag ett till dag 365. Se figur 4.3.
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
18
Figur 4.3 Krympningen som funktion av tiden i överkant, mitt och underkant
platta under ett år
Som figur 4.3 visar ökar den totala krympningen för varje dag som går,
men krympningsförändringen minskar med tiden. Studeras
krympningsförändringen som funktion av tiden erhålls följande graf, se
figur 4.4.
Figur 4.4 Krympningsförändringen som funktion av tiden, överkant, mitt och
underkant platta under ett år
0 100 200 300 4000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Krympning i olika snitt som funktion av tiden
Tid (dagar)
Kry
mpnin
g (
pro
mille
)
cs .överkant
cs .mitt
cs .underkant
tdag
0 100 200 3000
5 103
0.01
0.015
0.02
Krympningsförändringen som funktion av tiden
tid (dagar)
Kry
mpnin
gsf
örä
ndri
ng (
pro
mille
)
cs .överkant
cs .mitt
cs .underkant
tdag
Kap. 4 Beräkning av tvång
19
Denna graf visar hur stor krympning som tillkommer varje dag och är
derivatan av grafen i figur 4.3. Eftersom att det finns ett samband mellan
krympning och kraft, se formel 4.2, kan grafen i figur 4.4 anses
representera hur stor last som tillkommer per dag. Plattan kan således anses
ha 365 olika pålastningstillfällen där olika mycket last tillkommer per dag.
Se figur 4.5.
Figur 4.5 Krympningsökningen per dag avtar med tiden
Det gäller att bestämma en ekvivalent tidpunkt för millimeterstrimlan där
den, över tiden ett år, kan anses belastas med en konstant last istället för
en varierande. Detta utförs genom en viktningsberäkning av
krympningsförändringen över ett år. Se ekvation 4.7
(4.7)
Krympningen som uppkommer första dagen belastar plattstrimlan i 365
dagar om den betraktas efter ett år, krympningen som uppkommer den
andra dagen belastar plattstrimlan i 364 dagar o.s.v.
På detta sätt beräknas pålastningstiden för en ekvivalent konstant last
för en millimeterstrimla, se bilaga 1. Detta måste upprepas för varje
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
20
millimeterstrimla för att ta hänsyn till den varierande lastvaraktigheten
över tvärsnittshöjden. Beräkningarna för varje millimeterstrimla är mycket
omfattande och sker i denna studie för var tjugonde millimeter i höjdled.
En kurva kan sedan anpassas från dessa framräknade värden. Se figur 4.6.
Det bör noteras att viktningen av krympförändringskruvan som anses
representera lastförändringskurvan inte tar hänsyn till det varierande
kryptalet, utan endast krympningen. Kryptalets beroende verifieras i
avsnitt 4.1.2.5.
Figur 4.6 Pålastningstiden för en ekvivalent konstant last i varje
millimeterstrimla efter ett år
Kurvan interpoleras sedan så att pålastningstid för alla millimeterstrimlor
erhålls och ( ) över höjden kan bestämmas. Faktorn ( ) kommer
därför att variera med tvärsnittets höjd.
200 220 240 260 280 300 3200
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Framviktad pålastningstid som funktion av tvärsnittshöjd
Tid (dagar)
Tv
ärsn
itts
hö
jd (
m)
p2
ds
Kap. 4 Beräkning av tvång
21
4.2.2.4 Delresultat
När hänsyn tagits till de ingående faktorerna kan formel 4.6 beräknas för
varje studerad millimeterstrimla. Se figur 4.7
Figur 4.7 Kryptalet i varje millimeterstrimla efter ett år
4.2.2.5 Verifiering av kryptal
I beräkningen för pålastningstiden i varje millimeterstrimla så beaktas inte
kryptalets variation med pålastningstiden. Det är möjligt att beakta
kryptalets variation med pålastningstiden men beräkningsarbetet blir
ännu mer omfattande. En verifieringsberäkning ger att om kryptals
variation beaktas ökar kryptalet med 1.5 till 2.5 % i millimeterstrimlorna.
Beräkningen av kryptalet i denna rapport kan därför anses som
konservativ då ett lägre kryptal används i beräkningarna. Se bilaga 2.
4.2.3 Beräkning av effektiv elasticitetsmodul
Den s.k. effektiva E-modulen tar hänsyn till att betongen krypdeformeras
och beräknas för varje millimeterstrimla med formeln:
(4.8)
0.8 0.9 1 1.1 1.20
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Kryptalet över tvärsnittshöjden dag 365
Kryptal
Tvär
snitts
höjd
(m
)
z
1
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
22
Rekommenderat värde på enligt EC 2. Kryptalet varierar
i studien med tvärsnittshöjden. Den effektiva E-modulen varierar därmed
också över tvärsnittet. Se figur 4.8.
Figur 4.8 Den varierande effektiva E-modulen över tvärsnittet efter ett år
4.2.4 Beräkning av axialtvång
Ekvation 4.2 kan nu lösas. Resultatet visas i figur 4.9
Figur 4.9 Axiala dragkraftens variation över tvärsnittshöjden efter ett år
18 19 20 21 220
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Effektiv E-modul
E (Gpa)
Tvär
snit
tshöjd
(m
)
z
Ec.eff
2 103
4 103
6 103
8 103
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Axial dragtvångskraft över tvärsnittet dag 365
Kraft (N)
Tvär
snitts
höjd
(m
)
z
Ft1
Kap. 4 Beräkning av tvång
23
Det bör noteras att summan av axiala tvångskrafternas inte angriper i
plattans tyngdpunkt. Detta ger därmed upphov till böjande moment i
plattan vilket studeras mer ingående nedan.
4.2.5 Beräkning av neutrala lagret
I belastade betongtvärsnitt finns något som kallas det neutrala lagret.
Detta är för ospruckna, oarmerade konstruktioner med samma effektiva
E-modul över tvärsnittet beläget i mitten av tvärsnittet. Detta för att
tvärsnittet är lika elastiskt i tvärsnittets höjdled. I studien där effektiva E-
modulen varierar med tvärsnittshöjden måste därför läget för det neutrala
lagret beräknas fram, se figur 4.10. Detta sker genom en
viktningsberäkning där effektiva E-modulen viktas på lika sätt som
pålastningstiden i avsnitt 4.1.2.3. Detta ska senare användas för beräkning
av det böjande momenttvånget.
Figur 4.10 Placering av neutrala lagret
4.2.6 Beräkning av momenttvång
De storleksvarierande krafterna över tvärsnittets höjd som angriper i varje
millimeterstrimlas mitt ger upphov till ett böjande moment. Till en början
beräknas detta moment i underkant platta. Varje millimeterstrimlekraft
har således sin egen hävarm mätt från underkant platta. Detta moment
reduceras sedan och flyttas till plattans neutrala lager. Momentet i det
neutrala lagret används senare för beräkning av spänningar. Det neutrala
lagret är beläget under plattans mitt eftersom betongens effektiva E-modul
ökar från överkant platta mot underkant platta. Se figur 4.8.
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
24
Datorprogrammet Ramanalys kräver att momentet verkar i plattans
mitt för beräkningar av sprickbredder. Därför reduceras åter igen
momentet och förflyttas till plattans mitt. Se bilaga 1 för detaljer.
25
5 BERÄKNING AV DEFORMATIONER
5.1 Beräkningsgång
Följade beräkningsgång tillämpas för beräkning av deformationer:
1. Beräkning av yttröghetsmoment
2. Beräkning av böjmotstånd
3. Beräkning av spänning
4. Beräkning av spänning med varierande effektiv E-modul
5. Beräkning av spänningsbidrag av normalkraft
6. Beräkning av Spänningsbidrag av moment
7. Beräkning av medelkrympning och medelkryptal
8. Beräkning av vinkelförändring
5.2 Beräkning av yttröghetsmoment
I hållfasthetsläran används något som kallas yttröghetsmoment som ett
mått på hur styvt ett materialtvärsnitt är mot böjdeformation.
Yttröghetsmomentet beror av det belastade tvärsnittets geometri . I de
studerade fallen varierar dock tvärsnittets elasticitet vilket komplicerar
beräkningen av yttröghetsmoment och därmed deformationen. Detta löses
genom att man antar tvärsnittets effektiva E-modul till överkantens och
låter tvärsnittets geometri ändras. Detta kan liknas med att beräkna
yttröghetsmomentet för ett samverkanstvärsnitt. Tvärsnittets bredd
varierar med förhållandet mellan effektiva E-modulen i överkant och
effektiva E-modulen i millimeterstrimlorna. Detta betyder i det studerade
fallet att bredden ökar mot underkanten och tvärsnittets area ökar, se figur
5.1. För mer ingående förklaring av breddökningen, se avsnitt 5.3.1.
Figur 5.1 Tvärsnitsarean som yttröghetsmomentsberäkningen baseras på
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
26
Med hjälp av Steiners sats kan yttröghetsmomentet beräknas.
∑(
( )) (5.1)
är en millimeterstrimlas area och är avståndet mellan en
millimeterstrimlas tyngdcentrum och det neutrallagret för tvärsnittet
Vid beräkning av Steiners sats försummas faktorn
för varje
millimeterstrimla eftersom den har försumbar påverkan på
yttröghetsmomentet, vilket ger:
∑( ) (5.2)
5.3 Beräkning av böjmotstånd
Böjmotståndet används vid beräkningar av spänningar i tvärsnitt. På
samma sätt som yttröghetsmomentet beror böjmotståndet av tvärsnittets
geometri. Böjmotståndet varierar med avståndet från det neutrala lagret
och kan beräknas i över och underkant enligt:
(5.3)
(5.4)
betecknar böjmotståndet i överkant av tvärsnittet och betecknar
böjmotståndet i underkant av tvärsnittet. är avståndet från det neutrala
lagret till överkanten av tvärsnittet och är avståndet från det neutrala
lagret till underkanten av tvärsnittet.
5.4 Beräkning av spänning
Plattan som studeras är utsatt för böjande moment. De största
spänningarna uppkommer i över och underkant platta. Dessa är de mest
intressanta snitten. Plattan påverkas även av en normalkraft. Detta gör att
Naviers formel används vid beräkningarna för spänning.
Kap. 5 Beräkning av deformationer
27
(5.5)
( ) (5.6)
betecknar spänningen som uppkommer i överkant av plattan på grund
av normalkraften och det böjande momentet. betecknar spänningen
som uppkommer i underkant av plattan på grund av normalkraften och
det böjande momentet. betecknar normalkraften som verkar på
tvärsnittet. betecknar arean av tvärsnittet. betecknar momentet i det
beräknade neutrala lagret. ( ) betecknar en multiplikator som
förstorar upp inverkan av momentet i underkant platta. Mer ingående
förklaring av denna faktor följer.
5.4.1 Spänning i tvärsnitt med effektiv E-modul som varierar
Nedan redovisas hur Naviers formel tillämpas i beräkningarna.
5.4.1.1 Spänningsbidraget av normalkraften
Spänningsbidraget från normalkraften är samma, oavsett vilken av
plattkanterna som studeras. När antagandet att hela tvärsnittets effektiva
E-modul är den samma som överkantens så ändras tvärsnittets area, se
figur 5.1. Normalkraften, , kommer dock inte att fördelas över denna
förstorade area. Det betyder att arean är tvärsnittets verkliga area, inte
den förstorade.
5.4.1.2 Spänningsbidraget av det böjande momentet
Tvärsnittet betraktas som ett samverkanstvärsnitt. Den varierande
effektiva E-modulen över tvärsnittet ger ett böjande moment. Detta
eftersom den axiala tvångskraften inte verkar i det faktiska tvärsnittets
geometriska tyngdpunkt utan i det fiktiva tvärsnittets tyngdpunkt. Det
fiktiva tvärsnittets tyngdpunkt är belägen i det beräknade neutrala lagret.
Det böjande momentet betraktas som att det verkar på det fiktiva
tvärsnittet. De beräknade påkänningarna i det fiktiva tvärsnittet måste
korrigeras för att påkänningarna uppträder i det faktiska tvärsnittet.
Erhållen påkänning i det fiktiva snittet verkar på en bredd som är
( ) mot i det faktiska tvärsnittet. De verkliga påkänningarna blir
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
28
således ( ) gånger högre i det faktiska tvärsnittet än i det fiktiva. Se
figur 5.2 och 5.3.
( )
(5.7)
varierar i varje millimeterstrimla vilket gör att också varierar i varje
millimeterstrimla. För spänningsfördelningen över tvärsnittet. Se figur 5.4.
Figur 5.2 Effektiva E-modulens förändring över tvärsnittet
Figur 5.3 Effektiva E-modulen omsatt till areaökning av tvärsnittet
Kap. 5 Beräkning av deformationer
29
Figur 5.4 Spänningsfördelningen över tvärsnittet efter ett år
5.5 Beräkning av medelkrympning och medelkryptal
Medelkrympningen beräknas fram genom viktning av krympningen i
varje millimeterstrimla efter 365 dagar. På samma sätt viktas
medelkryptalet fram efter 365 dagar. Dessa medelvärden är de värden
som senare används i Ramanalys.
5.6 Beräkning av vinkelförändring
Beräkningen av vinkelförändringen sker genom elasticitetslärans formel
för det aktuella lastfall som gäller, en fritt upplagd balk med i de två
stöden verkande böjmoment.
(5.8)
Längden l på plattan anges värdet fem meter och momentet är
momentet som verkar i tvärsnittets mitt. är den framviktade effektiva E-
modulen över tvärsnittet och är tröghetsmomentet [8].
Vinkeländringen tillsammans med den beräknade medelkrympningen
är nu bestämda och kan matas in i Ramanalys för vidare
passningsberäkningar och beräkning av sprickbredder.
3 4 5 6 70
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Spänningsfördelningen över tvärsnittet dag 365
Spänningen (MPa)
Tvär
snit
tshöjd
en (
m)
z
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
30
5.7 Beräkningsnoggrannhet
Indata för var femte millimeterstrimla från Betongindustri AB har
interpolerats så den relativa fuktigheten för varje millimeterstrimla kan
erhållas. Den relativa fuktigheten har även interpolerats över tiden så att
den relativa fuktigheten erhålls för varje dag under året.
Kryptalet är generellt definierat för betong utsatt för tryckpåkänningar.
I denna studie utsätts betongen för dragpåkänningar. Samtliga
beräkningar bygger således på antagandet att betongen krypdeformeras
lika mycket utsatt för drag som för tryck. Som tidigare nämnts är ett stort
kryptal och en stor krypdeformation gynnsam för plattan.
Praktiska prövningar visar att kryptalet i drag är lika stort som
kryptalet i tryck, eller större [9]. Beräkningarna kan därför anses som
konservativa och på säker sida då beräkningarna bygger på det mer
ogynnsamma kryptalet i tryck.
Krypningens utveckling med tiden har beräknats med intervallet 20
millimeter, detta får anses ge tillräcklig noggrannhet för beräkningarna.
5.8 Delresultat och kommentarer
Tabell 5.1
Platta 400, vct 0.38 Fullt axialtvång
Startvärden D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ϕm ε[‰]
ök+uk 1996,050 42,160 0,001 1,484 1.10 0.30
ök+0.5uk 1996,050 42,160 0,001 1,484 1.10 0.30
ök betecknar överkantsarmeringen och uk betecknar
underkantsarmeringen. betecknar tvångskraften och betecknar
momenttvånget. betecknar vinkeländringen. betecknar
längdförändringen av plattstrimlan. betecknar medelkryptalet över
tvärsnittet och betecknar medeltöjningen över tvärsnittet i promille. Se
tabell 5.1
Resultatsammanställning av samtliga belastande tvång, deformationer,
medelkryptal och medelkrympning av respektive platta presenteras i
bilaga 3. Information om val av armeringshalt följer i avsnitt 6.1.
31
6 BERÄKNING AV SPRICKBREDDER Beräkningar av sprickbredder genomförs i programmet Ramanalys.
Programmet räknar även fram stålpåkänningar i armeringsstängerna.
För att beräkna sprickbredder i Ramanalys måste ett aktuellt lastfall
appliceras. Det lastfall som används och motsvarar fullt axialtvång och
momenttvång är ett böjande moment i respektive stöd och en dragande
normalkraft, se figur 6.1.
Sprickbredder och stålpåkänningar beräknas för samtliga femton
plattor. Två olika armeringshalter kontrolleras för varje studerad platta.
Första fallet är armeringsmängd i över och underkant av plattan enligt EC
2:s minimiarmeringskrav för sprickbreddsbegränsningen 0.4 millimeter. I
det andra fallet halveras armeringsmängden i underkant platta. För
beräkningarna är exponeringsklass är vald till XC3, måttligt fuktigt, och en
livslängd på 50 år.
Figur 6.1 Modell i Ramanalys
6.1 Beräkningsgång
Följande beräkningsgång tillämpas i Ramanalys om inget annat anges.
Minimiarmeringsmängd beräknas i Mathcad enligt EC 2
Plattans upplagsförhållanden anges i Ramanalys, se figur 6.1
Plattdimension anges
Beräknad armeringsmängd med tillhörande täckande betongskikt
appliceras i plattan
Beräknade tvång appliceras på plattan
Passning av tvång utförs så att beräknade deformationer i avsnitt
5.5 och 5.6 uppfylls
6.2 Armeringshalt
Den studerade armeringskvalitén är B500B. Armeringen placeras i ett
lager i överkant och ett i underkant. Denna placering gäller för
plattjocklekarna 400, 300, 200 och 160 mm. Det täckande betongskiktet är
valt till 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Den valda
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
32
stångdiametern i platta 400 och 300 är 12 mm och för platta 200 och 160 är
stångdiametern vald till 10 mm.
Placeringen av armeringen i plattjockleken 120 mm är centrisk med ett
täckande betongskikt på 54 mm och stångdiameter på 12 mm.
Täckande betongskikt i överkant avser måttet från överkant platta ner
till armeringsjärnets överkant. Det täckande betongskiktet i underkant
mäts på samma sätt, dock från underkant platta till underkant armering.
6.3 Modell i Ramanalys
Den statiska modellen som tillämpas i programmet Ramanalys är fritt
upplagd med ett fast och ett rörligt upplag.
Den verkliga plattstrimlan som studeras är fast inspänd i båda ändar,
denna statiska modell har dock visat sig ge upphov till orimliga
sprickbredder [2].
Längden på plattstrimlan tilldelas värdet fem meter. Axiala
tvångskrafterna angriper som en dragkraft i plattstrimlans längdriktning
och momenttvånget som moment ett i vartdera upplaget, se figur 6.1.
De böjande momenten gör att plattstrimlan får en konvex krökning, och
dragkraften en nodförskjutning i längdled. Krökningen som uppkommer
av momenten ger en vinkeländring vid upplagen och nodförskjutningen
ger en längdförändring av plattstrimlan, se figur 6.2.
Vinkeländringen och längdförändringen i Ramanalys ska sedan
stämma överens med de beräknade deformationerna i avsnitt 5.5 och 5.6
så att deformationsvillkoren uppfylls. Uppsprickningen innebär att
plattans böjstyvhet och axialstyvhet kraftigt minskar och därmed minskar
också uppträdande tvång påtagligt. Dessa minskade tvång uppnås genom
passningsberäkning, resultatet av denna återfinns i bilaga 3. När
deformationsvillkoren är uppfyllda kan sprickbredderna i betongens
överkant och stålspänningarna i armeringen erhålls. De bör igen påpekas
att systemet är 2-gradigt statiskt obestämt.
Figur 6.2 Deformationen av plattelement
Kap. 6 Beräkning av sprickbredder
33
6.4 Beräkningsnoggrannhet
Representativa värden på krympning och kryptal för hela tvärsnittet
krävs för att kunna använda datorverktyget Ramanalys. Detta medför en
viss felmarginal då datorprogrammet inte kan hantera de gradienter av
krympning och krypning som egentligen råder.
Passningen som utförts i Ramanalys är också en osäkerhetsfaktor som
måste nämnas. Denna osäkerhetsfaktor hade kunnat elimineras om
datorprogrammet hade kunnat analysera det aktuella systemet som ett
statiskt andragradigt obestämt system, d.v.s. att deformationerna i form
av vinkeländring och töjning hade kunnat matas in och uppträdande
krafter och sprickbredder hade kunnat beräknas.
6.5 Delresultat och kommentarer
Tabell 6.1
Platta 400, vct 0.38, Ø12s110
Fullt axialtvång
wk,ök [mm] σs.uk [Mpa] σs.ök [Mpa]
ök,uk 0,670 416,000 467,000
ök,0.5uk 1,240 739,000 460,000
ök betecknar överkantsarmeringen och uk betecknar
underkantsarmeringen. betecknar sprickbredden i överkant platta.
betecknar stålspännigen i underkant platta och betecknar
stålspännigen i överkant platta. Se tabell 6.1
Resultatsammanställning av stålspänningar, sprickbredder för samtliga
plattor och armeringshalter presenteras i kapitel 7 samt bilaga 3.
35
7 RESULTAT OCH ANALYS I avsnitt 7.1 presenteras resultat av sprickbredder och armeringsmängden.
7.1 Sprickbreddsdiagram
Figur 7.1 Sprickbredder i överkant för olika plattjocklekar och armeringshalt,
relativa luftfuktigheten 55 %, vct 0.53
Tabell 7.1 Minimiarmering och sprickbredder, vct 0.53
vct 0.53 Aök=Auk
h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]
120 Ø12s250 0.29 54 54
160 Ø10s160 Ø10s160 0.21 30 50
200 Ø10s125 Ø10s125 0.21 30 50
300 Ø12s125 Ø12s125 0.30 30 50
400 Ø12s125 Ø12s125 0.69 30 50
vct 0.53 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]
120 Ø12s250 0.29 54 54
160 Ø10s160 Ø10s330 0.21 30 50
200 Ø10s125 Ø10s250 0.23 30 50
300 Ø12s125 Ø12s250 0.35 30 50
400 Ø12s125 Ø12s250 1.36 30 50
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000.2
0.32
0.44
0.56
0.68
0.8
0.92
1.04
1.16
1.28
1.4
Sprickbredder i överkant, vct 0.53
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Sp
rick
bre
dd
(m
m)
ök_uk0.53
ök_halvuk0.53
Plattor
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
36
Figur 7.2 Sprickbredder i överkant för olika plattjocklekar och armeringshalt,
relativa luftfuktigheten 55 %, vct 0.43
Tabell 7.2 Minimiarmering och sprickbredder, vct 0.43
vct 0.43 Aök=Auk
h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]
120 Ø12s200 0.27 54 54
160 Ø10s140 Ø10s140 0.19 30 50
200 Ø10s110 Ø10s110 0.20 30 50
300 Ø12s110 Ø12s110 0.29 30 50
400 Ø12s110 Ø12s110 0.53 30 50
vct 0.43 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]
120 Ø12s200 0.27 54 54
160 Ø10s140 Ø10s250 0.20 30 50
200 Ø10s110 Ø10s200 0.23 30 50
300 Ø12s110 Ø12s200 0.39 30 50
400 Ø12s110 Ø12s200 0.96 30 50
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000.1
0.19
0.28
0.37
0.46
0.55
0.64
0.73
0.82
0.91
1
Sprickbredder i överkant, vct 0.43
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Sp
rick
bre
dd
(m
m)
ök_uk0.43
ök_halvuk0.43
Plattor
Kap. 7 Resultat och analys
37
Figur 7.3 Sprickbredder i överkant för olika plattjocklekar och armeringshalt,
relativa luftfuktigheten 55 %, vct 0.38
Tabell 7.3 Minimiarmering och sprickbredder, vct 0.38
vct 0.38 Aök=Auk
h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]
120 Ø12s200 0.27 54 54
160 Ø10s125 Ø10s125 0.15 30 50
200 Ø10s110 Ø10s110 0.21 30 50
300 Ø12s100 Ø12s100 0.41 30 50
400 Ø12s110 Ø12s110 0.67 30 50
vct 0.38 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]
120 Ø12s200 0.27 54 54
160 Ø10s125 Ø10s250 0.19 30 50
200 Ø10s110 Ø10s200 0.24 30 50
300 Ø12s100 Ø12s200 0.48 30 50
400 Ø12s110 Ø12s200 1.24 30 50
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000
0.14
0.28
0.42
0.56
0.7
0.84
0.98
1.12
1.26
1.4
Sprickbredder i överkant, vct 0.38
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Spri
ckbre
dd (
mm
)
ök_uk0.38
ök_halvuk0.38
Plattor
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
38
7.2 Armeringspåkänning
I diagrammen redovisas spänningarna i armeringen då sprickor
uppträder. Beräkningarna är baserade på armeringssorten B500B,
kamstänger används. Se figur 7.4.
Figur 7.4 Stålspänningar för olika plattjocklekar och armeringshalt, relativa
luftfuktigheten 55 %, vct 0.53
Tabell 7.4 Minimiarmering och stålspänningar
vct 0.53 Aök=Auk
h [mm] As,min,ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]
120 Ø12s250 504 504
160 Ø10s160 Ø10s160 136 342
200 Ø10s125 Ø10s125 159 299
300 Ø12s125 Ø12s125 174 309
400 Ø12s125 Ø12s125 379 445
vct 0.53 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min,ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]
120 Ø12s250 504 504
160 Ø10s160 Ø10s330 289 342
200 Ø10s125 Ø10s250 280 299
300 Ø12s125 Ø12s250 287 300
400 Ø12s125 Ø12s250 739 439
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 400100
170
240
310
380
450
520
590
660
730
800
Stålspänning vct 0.53
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Spän
nin
g (
MP
a)
sök.0.53
suk.0.53
sök_halvuk.0.53
suk_halvuk.0.53
Plattor
Kap. 7 Resultat och analys
39
Figur 7.5 Stålspänningar för olika plattjocklekar och armeringshalt, relativa
luftfuktigheten 55 %, vct 0.43
Tabell 7.5 Minimiarmering och stålspänningar
vct 0.43 Aök=Auk
h [mm] As,min,ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]
120 Ø12s200 466 466
160 Ø10s140 Ø10s140 172 326
200 Ø10s110 Ø10s110 175 304
300 Ø12s110 Ø12s110 192 315
400 Ø12s110 Ø12s110 328 383
vct 0.43 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min,ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]
120 Ø12s200 466 466
160 Ø10s140 Ø10s250 295 326
200 Ø10s110 Ø10s200 301 301
300 Ø12s110 Ø12s200 330 308
400 Ø12s110 Ø12s200 576 376
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 400150
195
240
285
330
375
420
465
510
555
600
Stålspänning vct 0.43
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Spän
nin
g (
MP
a)
sök.0.43
suk.0.43
sök_halvuk.0.43
suk_halvuk.0.43
Plattor
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
40
Figur 7.6 Stålspänningar för olika plattjocklekar och armeringshalt, relativa
luftfuktigheten 55 %, vct 0.38
Tabell 7.6 Minimiarmering och stålspänningar
vct 0.38 Aök=Auk
h [mm] As,min ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]
120 Ø12s200 474 474
160 Ø10s125 Ø10s125 157 286
200 Ø10s110 Ø10s110 188 309
300 Ø12s100 Ø12s100 276 428
400 Ø12s110 Ø12s110 416 467
vct 0.38 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]
120 Ø12s200 474 474
160 Ø10s125 Ø10s250 309 286
200 Ø10s110 Ø10s200 291 308
300 Ø12s100 Ø12s200 383 410
400 Ø12s110 Ø12s200 739 460
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 400100
170
240
310
380
450
520
590
660
730
800
Stålspänning vct 0.38
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Spän
nin
g (
MP
a)
sök.0.38
suk.0.38
sök_halvuk.0.38
suk_halvuk.0.38
Plattor
Kap. 7 Resultat och analys
41
7.3 Verifiering
För att verifiera att Ramanalys räknar korrekt har en jämförelse med en
handberäknat exempel i Betongrapport 13 [1] utförts. Det handberäknade
exemplet har översatts till samma modell som används i programmet
Ramanalys för beräkning av sprickbredder.
I Betongrapport 13 betraktas följande platta:
Figur 7.7 Indata beräkningsexempel
I exemplet i Betongrapport 13 enligt figur 7.7 antas plattan endast vara
utsatt av en axial tvångskraft som verkar i plattans längdriktning. Den
totala slutkrympningen blir: . Överförs detta till modellen i
Ramanalys antas värdet på , räknat på en meter lång plattstrimla:
(7.1)
Passningsberäkningen i Ramanalys ger således att sprickbredden för
plattstrimlan är 0,40 mm. Denna sprickbredd jämförs sedan med det
handberäknade exemplets sprickbredd på 0,41 mm, se figur 7.8, detta
tyder på att modellen i Ramanalys är korrekt och kan användas.
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
42
Figur 7.8 Resultat sprickbredder och minimiarmering i betongrapport 13
7.4 Analys
Tvången ökar med plattjockleken, vilket kan utläsas i bilaga 3. Från
sprickbreddsdiagrammen i avsnitt 7.1 kan utläsas att även sprickbredden
ökar med plattjockleken, undantag för plattor av tjocklek 120 millimeter.
I plattorna med tjockleken 120 millimeter användes centrisk armering
med diametern tolv millimeter. Anledningen till den stora sprickbredden
beror på armeringsutförandet, vid centrisk armering sjunker
momentkapaciteten påtagligt jämfört med ett dubbelarmerat tvärsnitt
med samma armeringshalter.
Ur diagrammen kan utläsas att för plattor tjockare än 300 millimeter har
en halvering av armeringsmängden i underkant en stor betydelse för
sprickbredden i överkant. När armeringen halveras i det undre
armeringslagret ökar stålspänningarna och för vissa plattor passerar
stålspänningen armeringens flytgräns, 500 MPa.
Studeras betonghållfastheten i koppling till vilken armeringshalt och
sprickbredd som erhållits visar att ju lägre vct betongen har, desto mer
armering krävs för att reducera sprickbredden.
Vid krympning efter två år för en 400 millimeter tjock platta ökar
krympningen med 3 till 4 % i överkant platta. Kryptalet ökar med ca 11 %,
från 1.1 till 1.22. Effektiva E-modulen minskar då med ca 5 % från första
året till andra. Tvångskrafterna minskar till följd av att effektiva E-
modulen minskar mer än krympningen ökar. Tvångskrafterna minskar
med ca 1 % från år ett till år två. Detta innebär att erhållna sprickbredder
vid år ett är representativa för långtidslastfallet [5].
Kap. 7 Resultat och analys
43
7.5 Jämförelse mellan EC 2 och BBK
I figur 7.9 visas sprickbredderna för de studerade plattorna med
minimiarmering enligt respektive norm.
Figur 7.9 Sprickbredder i överkant för olika plattjocklekar och armeringshalt
enligt EC 2 och BBK 04, relativa luftfuktigheten 55 %, vct 0.38
Tabell 7.7 Jämförelse mellan normerna, täckande betong enligt tabell 7.3
EC 2
BBK vct 0.38 Aök=Auk vct 0.38 Aök=Auk
h [mm] As,min,ök wk,ök [mm] h [mm] As,min,ök wk,ök [mm]
120 Ø12s200 0.27 120 Ø12s110 0.19
160 Ø10s125 0.15 160 Ø12s110 0.16
200 Ø10s110 0.21 200 Ø12s110 0.27
300 Ø12s100 0.41 300 Ø12s110 0.58
400 Ø12s110 0.67 400 Ø12s110 0.89
vct 0.38 Auk=0.5Aök vct 0.38 Auk=0.5Aök
h [mm] As,min,ök wk,ök [mm] h [mm] As,min,ök wk,ök [mm]
120 Ø12s200 0.27 120 Ø12s110 0.19
160 Ø10s125 0.19 160 Ø12s110 0.20
200 Ø10s110 0.24 200 Ø12s110 0.37
300 Ø12s100 0.48 300 Ø12s110 0.65
400 Ø12s110 1.24 400 Ø12s110 1.26
120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000
0.14
0.28
0.42
0.56
0.7
0.84
0.98
1.12
1.26
1.4
Sprickbredder i överkant, vct 0.38
Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)
Sp
rick
bre
dd
(m
m) BBK_ök_uk0.38
BBK_ök_halvuk0.38
EC_2_ök_uk0.38
EC_2_ök_halvuk0.38
Plattor
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
44
Det bör noteras att jämförelsen som görs inte kan anses gälla på exakt
samma villkor eftersom beräkning av armeringsmängd i respektive norm
beräknas på helt olika sätt. Studeras dock plattan 400 millimeter, full
minimiarmering, används samma armeringshalt enligt båda normer. Trots
detta skiljer sig sprickbredderna, vilket påvisar att tvångens storlek
varierar beroende på vilken norm man räknar efter.
Värt att notera är att i BBK används samma minimiarmeringsmängd för
samtliga plattjocklekar.
Jämförelse mellan EC 2 och BBK 04 [2] visar att resultaten har en rimligt
god samstämmighet vid lika armeringshalt. I denna rapport har
noggrannare beräkningar av kryptal och neutrala lagrets läge utförts. Vad
gäller kryptalen i beräkningen enligt BBK 04 är de inte tidsberoende utan
enbart långtidsvärden valda. Detta är verifieringar och de båda normerna
ger rimlig samstämmighet vad gäller uppträdande sprickbredder.
49
8 SLUTSATSER En nyanserad beräkning av uppträdande tvångskrafter har
upprättats enligt uttorkningsdata från Betongindustri AB och
samtliga beräkningar följer EC 2. Det bör noteras att EC 2 inte
explicit behandlar de tvång som uppkommer vid oliksidig
uttorkning, utan extrapolering har fått göras för de studerade
plattorna.
Beräkningarna har skett under antagandet att kryptalet under drag
påkänningar är samma som kryptalet under tryckpåkänningar.
Praktiska försök visar att kryptalet under drag är lika stort eller
större än under tryck [9] och beräkningarna kan därför anses
konservativa.
I EC 2 finns riktvärden för minimiarmering ”om inte noggrannare
beräkning visar att mindre armering är tillräcklig” [7]. I denna
rapport har en noggrannare beräkning utförts som beaktar att vid
uppsprickning av betongen minskar tvångskrafterna. Antagen
minimiarmering baseras på effektiv betongarea
( ( ) ( ) ). Vald stålspänning är enligt tabell
7.2N i EC 2 beroende på vald stångdiameter.
Med den erhållna mängden armering har en beräkning utförts i
programmet Ramanalys som beaktar att det axial- och
momenttvånget minskar vid uppsprickning, varvid aktuella
sprickbredder erhålls. Det bör noteras att formell 7.1 i EC 2 är en
uppskattning ger orimligt höga armeringshalter. Eftersom effektiv
betongarea blir hela tvärsnittet i studerade fallet. blir då 4.5
gånger större än för den noggrannare beräkningen i denna rapport
[5].
Det kan noteras att uppsprickningen har stor effekt eftersom de
initiala tvången för en osprucken sektion kraftigt reduceras, vilket
gäller både axial- och momenttvång.
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
46
Beräkningen av sprickbredder är utförda i programmet Ramanalys
för de tvågradigt statiskt obestämda systemen med
passningsberäkning, tills att deformationskraven av rotation och
axial töjning är uppfyllda.
Inlagd armering är studerad med två fall. Fall 1 lika mängd i
överkant och underkant av plattan. Fall 2 armeringshalten i
underkant är halva den i överkant.
För plattor med tjockleken större än 300 millimeter uppfylls
spänningskravet, mindre än 500 Mpa, på underkantsjärnen för fall
1 men inte för fall 2. Ingen av dessa plattor klarar
sprickbreddskravet på 0.4 millimeter.
Erhållna sprickbredder för plattor 160, 200 och 300 millimeter
erhölls max sprickbredd 0.19-0.41 millimeter med samma
armeringshalt i underkant och överkant. Vid halva armeringshalten
i underkant till skillnad från överkant ger max sprickbredd 0.19-
0.48 millimeter. För plattor 400 millimeter erhölls vid samma
armeringshalt i underkant och överkant max sprickbredder 0.53-
0.69 millimeter. I fall 2 överskreds dimensionerade spänningen i
underkantsjärnen.
I 120 millimetersplattorna klaras kraven på sprickbredd men
järnspänningarna överstiger armeringsstålets flytgräns, 500 MPa.
Dessa plattor bör armeras med högre armeringshalt.
Det konstateras att vid de tjockare plattjocklekarna erhölls större
sprickbredder än för de tunnare plattjocklekarna.
Krymptvången baseras på uttorkningsdata vid ett år. Det har visats
att vid längre uttorkningstider två år ökar krympningen relativt
Kap. 8 Slutsats
47
mindre än vad effektiv E-modul minskar pga. ökat kryptal.
Beräknade sprickbredder är representativa för långtidslastfallet.
En jämförelse med tidigare examensarbete [2] baserat på regler
enligt BBK 04 ger rimlig samstämlighet med detta examensarbete
enligt EC 2. Båda examensarbetena är baserade på samma
uttorkningsdata från Betongindustri AB för de studerade plattorna.
De båda examensarbetena verifierar att inga grova numeriska fel
föreligger i respektive rapport
49
9 FORTSATTA STUDIER Rekommendationer för fortsatta studier är att genomföra
sprickbreddsberäkningarna för samtliga plattor i ett datorprogram som
kan hantera statiskt obestämda konstruktioner. Passningsberäkning blir
då inte nödvändig. Ett datorprogram som kan hantera ickelinjära
tvångseffekter bör användas.
Vidare studier skulle även kunna utföras när plattorna utsätts för en
annan inspänningsgrad.
51
10 REFERENSER [1] Svenska Betongföreningens kommitté. Industrigolv - Rekommendationer
för projektering, materialval, produktion, drift och underhåll, Svenska
Betongföreningen, Betongrapport 13, Stockholm, 2008
(ISBN 91-973445-7-5)
[2] Vainio, V och Wallin, T. Gradientkrympning i platta på mark- Sprickvidder
relaterade till tvångskrafter och armeringshalter, Examensarbete, KTH,
Högskoleingenjörsutbildning i Byggteknik och Design, 2010;24 ABE,
Stockholm, 2010
[3] Engström, B. Beräkning av betongkonstruktioner, Chalmers tekniska
högskola, Institutionen för bygg- och miljöteknik, avdelningen för
konstruktionsteknik, Rapport 2007:13, Göteborg, 2008
(ISSN 1652-9162)
[4] Burström, P-G. Byggnadsmaterial uppbyggnad, tillverkning och egenskaper,
Studentlitteratur, Lund, 2007
(ISBN 978-91-44-02738-8)
[5] Arvidsson, K. Teknisk Dr och teknisk mentor, WSP Byggprojektering,
Stockholm, 2012 (Muntlig information)
[6] Svensk byggtjänst. Betonghandbok - Material, LiberTryck, Stockholm,
1980
(ISBN 91-7332-060-9)
[7] Swedish Standards Institute. Eurokod 2: Dimensionering av
betongkonstruktioner – Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader, SIS
Förlag AB, Stockholm, 2008
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
52
[8] Johannesson, P. och Vretblad, B. Byggformler och tabeller, Liber AB,
Vällingby, 2005
(ISBN 978-91-47-05318-6)
[9] Brooks, J. J. och Neville, A. M. A comparison of creep, elasticity and
strength of concrete in tension and in compression, Magazine of Concrete
Research, Vol. 30, Nr. 104, 165-166, 1978
B1.1
Bilaga 1, Beräkning i Mathcad Allt i bilaga 1 hänvisas till EC 2, svenskt annex om inget annat anges.
Indata platta 400 mm, maj, inne, vct 0.38
Interpolering så att relativa fuktigheten erhålls i varje millimeterstrimlas mitt, RH blir en vektor med 400 värden
x är de betraktade snitten i höjdled, indata från Betongindustri AB
x=0.000:0.005:0.400=startvärde:intervall:slutvärde,kolumnvektor [m]
y är den relativa fuktigheten efter 365 dagar i de betraktade snitten enligt Betongindustri AB
f är de snitt i höjdled [meter] som interpoleringen beräknas över, en kolumnvektor. f=0.0005:0.001:0.3995=startvärde:intervall:slutvärde
Relativ luftfuktighet i omgivande miljö [%]
Karakteristiskt värde på tryckhållfastheten av betongen [MPa]
Karakteristiskt medelvärde på tryckhållfastheten av betongen [MPa]
Elasticitetsmodulens medelvärde för betongen [GPa]
Elasticitetsmodulens tangentmodul rekommenderat värde [GPa]
Tvärsnittshöjden [mm]
Ekvivalenta tvärsnittshöjden [mm]
För en vägg som endast kan torka ut åt ett håll att den nominella tjockleken är lika med halva väggtjockleken [3]
Tvärsnittshöjden [m]
Betraktad plattstrimlebredd [m]
Koefficient som beror på den fiktiva tjockleken h0
enligt tabell 3.3
Koefficient som beror av cementtyp, betraktad cementtyp: snabbtorkande cement, cementklass R
Betongens ålder vid pålastning [dagar]
Betongens ålder vid betraktad tidpunkt [dagar]
RH linterp x y f( )
RH1 55
fck 54
fcm fck 8 62
Ecm 37.8
Ec Ecm 1.05
h 400
h0h
2200
hmh
10000.4
b 1
kh 0.85
sR 0.2
t0 9.1
t1 365
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.2
Beräkningar
z är en kolumnvektor över millimeterstrimlorna i höjdled z=0.000:0.001:0.400=startvärde:intervall:slutvärde [m]
Grundläggande uttryck för krympning orsakad av uttorkning
[MPa]
[%]
Koefficient som beror av cementtyp
Koefficient som beror av cementtyp
Betongens ålder vid början av uttorkningskrympningen. Detta är normalt vid slutet av efterbehandlingen. [dagar]
[Formel B.12]
[Formel B.11]
50 60 70 80 90 1000
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Fuktfördelning platta 400,maj, inne, vct 0.38 dag 365
RH (%)
h (
m)
z
RH
fcmo 10
RH0 100
ds1 6
ds2 0.11
ts 1
RH 1.55 1RH
RH0
3
cd.0 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH
Bilaga 1
B1.3
Uttorkningskrympning
[Formel 3.10]
[Promille] [Formel 3.9]
Autogen krympning
[Formel 3.13]
[Formel 3.12]
[Formel 3.11]
Total krympning
[Formel 3.8]
Beräkning av ekvivalent pålastningstid för den icke konstant belastade plattan (Används senare för beräkning av kryptal) Beräkningen utförs var 20 mm i höjdled och gick inte att systematisera, därav antalet Algoritmer
Kolumnvektor
Interpolering så att relativa fuktigheten erhålls i en specifik millimeterstrimla över 365 dagar
tid är en kolumnvektor dag 0 och dag 365
PL är en kolumnvektor med relativa fuktigheten dag 0 och dag 365 över en specifik millimeterstrimla
tdag är de dagar interpoleringen beräknas över,
en kolumnvektor tdag=1:1:365=startvärde:intervall:slutvärde [dag]
ds.t1.ts
t1 ts
t1 ts 0.04 h03
0.7629
cd.t1 kh cd.0 ds.t1.ts
as.t1 1 e0.2 t1
0.5
0.9781
ca.inf 2.5 fck 10 106
0.0001
ca.t1 as.t1 ca.inf 0.0001
cs.t1 cd.t1 ca.t1
tid0
365
RH0.005 linterp tid PL1
tdag
RH0.02 linterp tid PL4
tdag
RH0.04 linterp tid PL8
tdag
RH0.06 linterp tid PL12
tdag
RH0.08 linterp tid PL16
tdag
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.4
För en specifik millimeterstrimla [Formel B.12]
RH0.10 linterp tid PL20
tdag
RH0.12 linterp tid PL24
tdag
RH0.14 linterp tid PL28
tdag
RH0.16 linterp tid PL32
tdag
RH0.18 linterp tid PL36
tdag
RH0.20 linterp tid PL40
tdag
RH0.22 linterp tid PL44
tdag
RH0.24 linterp tid PL48
tdag
RH0.26 linterp tid PL52
tdag
RH0.28 linterp tid PL56
tdag
RH0.30 linterp tid PL60
tdag
RH0.32 linterp tid PL64
tdag
RH0.34 linterp tid PL68
tdag
RH0.36 linterp tid PL72
tdag
RH0.38 linterp tid PL76
tdag
RH0.395 linterp tid PL79
tdag
RH.0.005 1.55 1RH0.005
RH0
3
RH.0.02 1.55 1RH0.02
RH0
3
Bilaga 1
B1.5
RH.0.04 1.55 1RH0.04
RH0
3
RH.0.06 1.55 1RH0.06
RH0
3
RH.0.08 1.55 1RH0.08
RH0
3
RH.0.10 1.55 1RH0.10
RH0
3
RH.0.12 1.55 1RH0.12
RH0
3
RH.0.14 1.55 1RH0.14
RH0
3
RH.0.16 1.55 1RH0.16
RH0
3
RH.0.18 1.55 1RH0.18
RH0
3
RH.0.20 1.55 1RH0.20
RH0
3
RH.0.22 1.55 1RH0.22
RH0
3
RH.0.24 1.55 1RH0.24
RH0
3
RH.0.26 1.55 1RH0.26
RH0
3
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.6
För en specifik millimeterstrimla [Formel B.11]
RH.0.28 1.55 1RH0.28
RH0
3
RH.0.30 1.55 1RH0.30
RH0
3
RH.0.32 1.55 1RH0.32
RH0
3
RH.0.34 1.55 1RH0.34
RH0
3
RH.0.36 1.55 1RH0.36
RH0
3
RH.0.38 1.55 1RH0.38
RH0
3
RH.0.395 1.55 1RH0.395
RH0
3
cd.0.0.005 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.005
cd.0.0.02 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.02
cd.0.0.04 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.04
cd.0.0.06 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.06
Bilaga 1
B1.7
cd.0.0.08 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.08
cd.0.0.10 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.10
cd.0.0.12 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.12
cd.0.0.14 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.14
cd.0.0.16 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.16
cd.0.0.18 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.18
cd.0.0.20 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.20
cd.0.0.22 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.22
cd.0.0.24 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.24
cd.0.0.26 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.26
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.8
Uttorkningskrympning i specifika snitt över 365 dagar
[Formel 3.10]
Autogen krympning
[Formel 3.13]
[Formel 3.11]
cd.0.0.28 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.28
cd.0.0.30 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.30
cd.0.0.32 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.32
cd.0.0.34 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.34
cd.0.0.36 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.36
cd.0.0.38 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.38
cd.0.0.395 0.85 220 110ds1 e
ds2
fcm
fcmo
10
6 RH.0.395
ds.t.dag.ts
tdag ts
tdag ts 0.04 h03
as.t.dag 1 e0.2 tdag
0.5
ca as.t.dag ca.inf
Bilaga 1
B1.9
Total krympning i specifika snitt över 365 dagar
[Formel 3.9]
cd.t.dag.0.005 kh cd.0.0.005ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.02 kh cd.0.0.02ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.04 kh cd.0.0.04ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.06 kh cd.0.0.06ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.08 kh cd.0.0.08ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.10 kh cd.0.0.10ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.12 kh cd.0.0.12ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.14 kh cd.0.0.14ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.16 kh cd.0.0.16ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.18 kh cd.0.0.18ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.20 kh cd.0.0.20ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.22 kh cd.0.0.22ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.24 kh cd.0.0.24ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.26 kh cd.0.0.26ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.28 kh cd.0.0.28ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.30 kh cd.0.0.30ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.32 kh cd.0.0.32ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.34 kh cd.0.0.34ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.36 kh cd.0.0.36ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.38 kh cd.0.0.38ds.t.dag.ts
cd.t.dag.0.395 kh cd.0.0.395ds.t.dag.ts
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.10
[Formel 3.8]
cs.t.dag.0.005 cd.t.dag.0.005 ca
cs.t.dag.0.02 cd.t.dag.0.02 ca
cs.t.dag.0.04 cd.t.dag.0.04 ca
cs.t.dag.0.06 cd.t.dag.0.06 ca
cs.t.dag.0.08 cd.t.dag.0.08 ca
cs.t.dag.0.10 cd.t.dag.0.10 ca
cs.t.dag.0.12 cd.t.dag.0.12 ca
cs.t.dag.0.14 cd.t.dag.0.14 ca
cs.t.dag.0.16 cd.t.dag.0.16 ca
cs.t.dag.0.18 cd.t.dag.0.18 ca
cs.t.dag.0.20 cd.t.dag.0.20 ca
cs.t.dag.0.22 cd.t.dag.0.22 ca
cs.t.dag.0.24 cd.t.dag.0.24 ca
cs.t.dag.0.26 cd.t.dag.0.26 ca
cs.t.dag.0.28 cd.t.dag.0.28 ca
cs.t.dag.0.30 cd.t.dag.0.30 ca
cs.t.dag.0.32 cd.t.dag.0.32 ca
cs.t.dag.0.34 cd.t.dag.0.34 ca
cs.t.dag.0.36 cd.t.dag.0.36 ca
cs.t.dag.0.38 cd.t.dag.0.38 ca
cs.t.dag.0.395 cd.t.dag.0.395 ca
Bilaga 1
B1.11
0 100 200 300 4000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Krympning i olika snitt som funktion av tiden
Tid (dagar)
Kry
mp
nin
g (
pro
mille
)1000cs .t.dag.0.005
1000cs .t.dag.0.04
1000cs .t.dag.0.08
1000cs .t.dag.0.12
1000cs .t.dag.0.16
1000cs .t.dag.0.20
1000cs .t.dag.0.24
1000cs .t.dag.0.28
1000cs .t.dag.0.32
1000cs .t.dag.0.36
1000cs .t.dag.0.395
tdag
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.12
Viktning för beräknig av pålastningstid för ekvivalent konstant last för specifika millimeterstrimlor [dagar]
tdag1 är en kolumnvektor
tdag1=365:1:1=
startvärde:intervall:slutvärde [dag]
0 100 200 3000
5 103
0.01
0.015
0.02
Krympningsförändringen som funktion av tiden
tid (dagar)
Kry
mp
nin
gsf
örä
nd
rin
g (
pro
mille
)1000 cs .t.dag.0.005
1000 cs .t.dag.0.04
1000 cs .t.dag.0.08
1000 cs .t.dag.0.12
1000 cs .t.dag.0.16
1000 cs .t.dag.0.20
1000 cs .t.dag.0.24
1000 cs .t.dag.0.28
1000 cs .t.dag.0.32
1000 cs .t.dag.0.36
1000 cs .t.dag.0.395
tdag
t001
cs.t.dag.0.005tdag.1
cs.t.dag.0.005316.0806
t002
cs.t.dag.0.02tdag.1
cs.t.dag.0.02286.9802
t003
cs.t.dag.0.04tdag.1
cs.t.dag.0.04261.2802
Bilaga 1
B1.13
t004
cs.t.dag.0.06tdag.1
cs.t.dag.0.06245.7
t005
cs.t.dag.0.08tdag.1
cs.t.dag.0.08236.9609
t006
cs.t.dag.0.10tdag.1
cs.t.dag.0.10232.7572
t007
cs.t.dag.0.12tdag.1
cs.t.dag.0.12231.0486
t008
cs.t.dag.0.14tdag.1
cs.t.dag.0.14230.4626
t009
cs.t.dag.0.16tdag.1
cs.t.dag.0.16230.2929
t010
cs.t.dag.0.18tdag.1
cs.t.dag.0.18230.2775
t011
cs.t.dag.0.20tdag.1
cs.t.dag.0.20230.3236
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.14
t012
cs.t.dag.0.22tdag.1
cs.t.dag.0.22230.4316
t013
cs.t.dag.0.24tdag.1
cs.t.dag.0.24230.5716
t014
cs.t.dag.0.26tdag.1
cs.t.dag.0.26230.6973
t015
cs.t.dag.0.28tdag.1
cs.t.dag.0.28230.6343
t016
cs.t.dag.0.30tdag.1
cs.t.dag.0.30230.1556
t017
cs.t.dag.0.32tdag.1
cs.t.dag.0.32228.8271
t018
cs.t.dag.0.34tdag.1
cs.t.dag.0.34226.2754
t019
cs.t.dag.0.36tdag.1
cs.t.dag.0.36222.6574
t020
cs.t.dag.0.38tdag.1
cs.t.dag.0.38219.5366
Bilaga 1
B1.15
Interpolering så att pålastningstiden erhålls i en specifik millimeterstrimla över 365 dagar
p är en kolumnvektor med de betraktade millimeterstrimlorna [m]
p2 är en kolumnvektor med tvärsnittshöjden var 0.02 meter
t021
cs.t.dag.0.395tdag.1
cs.t.dag.0.395219.5094
ds
t001
t002
t003
t004
t005
t006
t007
t008
t009
t010
t011
t012
t013
t014
t015
t016
t017
t018
t019
t020
t021
p
0.0005
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.3995
p2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.40
t01 linterp p ds f( )
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.16
200 220 240 260 280 300 3200
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Framviktad pålastningstid som funktion av tvärsnittshöjd
Tid (dagar)
Tv
ärsn
itts
hö
jd (
m)
p2
ds
Bilaga 1
B1.17
Grundläggande uttryck för bestämning av kryptalet
Koefficienter som beaktar inverkan av betongens hållfasthet [Formel B.8c]
Faktor som beaktar inverkan av relativ luftfuktighet [Formel B.3c]
Faktor som beaktar inverkan av betongens hållfasthet [Formel B.4]
Faktor som beaktar inverkan av betongens ålder vid pålastning [Formel B.5]
Koefficient som beror av den relativa luftfuktigheten och bärverksdelens ekvivalenta tjocklek [Formel B.8b]
If-sats
Koefficient som beskriver krypningens utveckling med tiden efter pålastning [Formel B.7]
Det nominella kryptalet [Formel B.2]
Kryptalet [Formel B.1]
135
fcm
0.7
0.6702
235
fcm
0.2
0.8919
335
fcm
0.5
0.7513
RH 1
1RH1
100
1
0.13
h0
2 1.3519
fcm16.8
fcm
2.1336
t01
0.1 t00.2
0.6041
H 1.5 1 0.012RH1 18
h0 250 3
T 15003
R H H Tif
T otherwise
c.t1.t01
t1 t01 R t1 t01
0.3
0 RHfcm t0 1.7425
1 c.t1.t010
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.18
Viktning av tvärsnittets medelkryptal
0.8 0.9 1 1.1 1.20
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Kryptalet över tvärsnittshöjden dag 365
Kryptal
Tvär
snitts
höjd
(m
)
z
1
medel
f 1
f1.1033
Bilaga 1
B1.19
Elasticitetsmodulen
Effektiv elasticitetsmodul i varje Millimeterstrimla [GPa]
Effektiv medelelasticitetsmodulen över tvärsnittet [GPa]
Ec.eff
Ec
1 1
Ec.eff.medel
Ec
1 medel18.8707
18 19 20 21 220
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Effektiv E-modul
E (Gpa)
Tvär
snit
tshöjd
(m
)
z
Ec.eff
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.20
Axial tvångskraft
En millimeterstrimlas area [mm²]
Axialkraft i varje millimeterstrimlas mitt [N]
Totala axiala kraften [N]
Aa 0.001
Ft1 Aa Ec.eff 109
cs.t1
2 103
4 103
6 103
8 103
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Axiell dragtvångskraft över tvärsnittet (1år)
Kraft (N)
Tv
ärsn
itts
höjd
(m
)
z
Ft1
Ftot Ft1 1996049.1612
Bilaga 1
B1.21
Momenttvång
Momenttvångsbidrag [Nm]
Mt1 Ft1 f
0 1 103
2 103
3 103
4 103
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Momenttvångsbidraget i underkant platta
Moment (Nm)
Tvär
snit
tshöjd
(m
)
z
Mt1
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.22
Spänning, moment och placering av neutrala lagret
Momentet som verkar i plattans underkant [Nm]
Momentet som verkar i det geometriska neutrallagret, mittsnittet [Nm]
Viktade avståndet från underkant platta till neutrallagret [m]
Momentet som verkar i det riktiga neutrallagret [Nm]
Tvärsnittsarean [m²]
Spänningen av kraften över tvärsnittet [Pa]
Böjmotståndet över tvärsnittet, rektangulärt [m³]
Spänningen av momentet över tvärsnittet [Pa]
Spänningen i överkant av plattstrimlan [Pa]
Spänningen i underkant av plattstrimlan [Pa]
Mtot Mt1 438417.0635
MNL Mtot Ftot 0.5 hm 39207.2313
enl
Ec.eff 109
f
Ec.eff 109
0.1981
MNL2 Mtot Ftot enl 42979.0479
Ac hmb 0.4
kraft
Ftot
Ac
4990122.903
Wc
b hm2
60.0267
moment
MNL2
Wc
1611714.2952
ök kraft moment 6601837.1981
uk kraft moment 3378408.6078
Bilaga 1
B1.23
Krympning
Krympning i specifika lager efter 365 dagar
Viktad medelkrympning [Promille]
cs
1000cs.t.dag.0.005 364
1000cs.t.dag.0.02 364
1000cs.t.dag.0.04 364
1000cs.t.dag.0.06 364
1000cs.t.dag.0.08 364
1000cs.t.dag.0.10 364
1000cs.t.dag.0.12 364
1000cs.t.dag.0.14 364
1000cs.t.dag.0.16 364
1000cs.t.dag.0.18 364
1000cs.t.dag.0.20 364
1000cs.t.dag.0.22 364
1000cs.t.dag.0.24 364
1000cs.t.dag.0.26 364
1000cs.t.dag.0.28 364
1000cs.t.dag.0.30 364
1000cs.t.dag.0.32 364
1000cs.t.dag.0.34 364
1000cs.t.dag.0.36 364
1000cs.t.dag.0.38 364
1000cs.t.dag.0.395 364
cs.medel
cs p2
p20.2968
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.24
Elasticitetsmodulens förhållande och ökning av tvärsnittsarean
E-modulen i överkanten av plattstrimlan [GPa]
E-modulen i underkanten av plattstrimlan [GPa]
Härledning av breddökning
Förhållande E-moduler
Förhållande i varje millimeterstrimla
Breddökningsfaktor i varje millimeterstrimla (vektor)
Kontroll att förhållandet i underkant stämmer
OK !
Bredd av tvärsnittet i varje millimeterstrimla [m]
Tvärsnittsarean med hänsyn till E-modulsvariationen över tvärsnittet [m²]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Krympningen över tvärsnittshöjden dag 365
Krympning (promille)
Tv
ärsn
itts
höjd
en (
m)
p2
cs
Eök Ec.eff399
18.715
Euk Ec.eff0
21.4623
Eök
Euk
0.872
EEc.eff
Eök
E 1
2
b
b 1 20
0.872
be b 2 b ( )
A1 Ac be 0.001
0.4038
Bilaga 1
B1.25
Deformationer
Yttröghetsmomentet i varje millimeterstrimla [m4]
Yttröghetsmomentet för tvärsnittet [m4]
Böjmotståndet i överkant plattstrimlan [m3]
Böjmotståndet i underkant plattstrimlan [m3]
Verkliga spänningen i överkant plattstrimlan [Pa]
Verkliga spänningen i underkant plattstrimlan [Pa]
Känslighetskontroll
Spänningsskillnaden i överkant förhållande verkliga och geometriska neutrala lagret
Spänningsskillnaden i underkant förhållande verkliga och geometriska neutrala lagret
Spänningsfördelning över tvärsnittet
Avstånd från neutrala lagret till varje millimeterstrimlas tyngdpunkt [m]
Böjmotståndet för varje millimeterstrimla [m³]
Spänningen i varje millimeterstrimla [MPa]
Ie be 0.001 f enl 2
Itot Ie 0.0055
Wök.v
Itot
hm enl0.0272
Wuk.v
Itot
enl
0.0277
ök.v
Ftot
Ac
MNL2
Wök.v
6570966.5058
uk.v
Ftot
Ac
MNL2
Wuk.v
1 2 0
3211152.916
ök.v
ök
0.9953
uk.v
uk
0.9505
ei f enl
Wt
Itot
ei
Ftot 10
6
Ac
MNL2 106
Wt
1 2 ( )
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.26
Till Ramanalys
Moment i mitten av plattstrimlan [Nm]
Axialkraften [N]
Längd plattelement [m]
Vinkelförändringen [rad]
Längdförändringen [mm]
Täckande betongskikt [mm]
Armeringsdiameter [mm]
Stålspänning i armering [MPa]
[Formel 3.2]
Draghållfastigheten för betongen [MPa]
3 4 5 6 70
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28
0.32
0.36
0.4
Spänningsfördelningen över tvärsnittet dag 365
Spänningen (MPa)
Tvär
snit
tshöjd
en (
m)
z
MRamanalys ök.v
Ftot
Ac
Wc 42155.8294
D Ftot 1996049.1612
L 5
MRamanalys L
2 Ec.eff.medel 109
Itot
0.001
1 cs.medel L 1.484
TB 30
12
s 320
cc.t e
sR 128
t0
1
2
0.86
fctm 4.18
Bilaga 1
B1.27
Tidsberoende draghållfastighet för betongen [MPa] [Formel 3.4]
Avståndet från plattkant till centrum armering [m] [Figur 7.1]
[m] [Figur 7.1]
Effektiva höjden [m] [Figur 7.1]
Effektiva arean [m²] [Figur 7.1]
Medelspänningen i betongen [Pa] [Formel 7.4]
Koefficient som beaktar inverkan av normalkraft på spänningsfördelningen
Koefficient som kompenserar för inverkan av ojämna egenspänningar som medför en minskning av tvångskrafter
Koefficient som beaktar spänningsfördelningen inom tvärsnittet omedelbart före uppsprickning och inre hävarmens ändring [Formel 7.2]
Minimiarmerig [m²] [Formel 7.1]
Antal järn i varje lager [st]
Halverat antal järn i varje lager [st]
fctm.t cc.t
2
3fctm 3.7801
d h TB
2
103
0.364
xh 0
hc.ef min 2.5 hm d hm xh
3
hm
2
0.09
Ac.eff hc.ef b 0.09
cD
b hm 4990122.903
k1
2 hm
3 hm0.6667
k 0.93
kc 0.4 1c
k1
hm
hm
fctm.t 106
1.1921
kcc 1 kc 1if
kc otherwise
As.min
kcc k fctm.t Ac.eff
s
0.00098874
n1
4 As.min
103
2
8.7424
n2
2 As.min
103
2
4.3712
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B1.28
Inmatning i Ramanalys
Centrumavståndet i varje lager [m]
Centrumavståndet i varje lager med halv armeringsmängd [m]
Axialkraften [kN]
Moment i mitten av plattstrimlan [kNm]
Medelkrympning [Promille]
Medelkryptal
s1b
ceil n1 0.1111111111
s2b
ceil n2 0.2
DkN D 10( )3
1996.05
MRamanalys.kNm MRamanalys 103
42.16
cs.medel 0.2968
medel 1.1033
B2.1
Bilaga 2, Verifiering av kryptal
Verifiering
βH Koefficient som beror av den relativa luftfuktigheten och bärverksdelens ekvivalenta tjocklek [Formel B.8b]
t1 Betongens ålder vid betraktad tidpunkt [dagar]
tdag är de dagar intepoleringen
beräknas över, en kolumnvektor tdag=1:1:365=startvärde:intervall:slutvärde [dag]
βc Koefficent som beskriver krypningens utveckling med tiden efter pålastning [Formel B.7]
φ0 Det nominella kryptalet [Formel B.2]
φ2 Kryptalet [Formel B.1]
Kraftförändringen för varje dag i en millimeterstrimla, kolumnvektor
c
t1 tdag H t1 tdag
0.3
2 c 0
F 0.005 0.001 cs.t.dag.0.005 1 2 1
Ec
F 0.02 0.001 cs.t.dag.0.02 1 2 1
Ec
F 0.04 0.001 cs.t.dag.0.04 1 2 1
Ec
F 0.06 0.001 cs.t.dag.0.06 1 2 1
Ec
F 0.08 0.001 cs.t.dag.0.08 1 2 1
Ec
F 0.10 0.001 cs.t.dag.0.10 1 2 1
Ec
F 0.12 0.001 cs.t.dag.0.12 1 2 1
Ec
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B2.2
F 0.14 0.001 cs.t.dag.0.14 1 2 1
Ec
F 0.16 0.001 cs.t.dag.0.16 1 2 1
Ec
F 0.18 0.001 cs.t.dag.0.18 1 2 1
Ec
F 0.20 0.001 cs.t.dag.0.20 1 2 1
Ec
F 0.22 0.001 cs.t.dag.0.22 1 2 1
Ec
F 0.24 0.001 cs.t.dag.0.24 1 2 1
Ec
F 0.26 0.001 cs.t.dag.0.26 1 2 1
Ec
F 0.28 0.001 cs.t.dag.0.28 1 2 1
Ec
F 0.30 0.001 cs.t.dag.0.30 1 2 1
Ec
F 0.32 0.001 cs.t.dag.0.32 1 2 1
Ec
F 0.34 0.001 cs.t.dag.0.34 1 2 1
Ec
F 0.36 0.001 cs.t.dag.0.36 1 2 1
Ec
F 0.38 0.001 cs.t.dag.0.38 1 2 1
Ec
F 0.395 0.001 cs.t.dag.0.395 1 2 1
Ec
Bilaga 2
B2.3
Viktning av pålastningstiden med hänsyn till kryptalsvariationen med pålastningstiden
t0.005
F 0.005tdag.1
F 0.005311.533
t0.02
F 0.02tdag.1
F 0.02278.3206
t0.04
F 0.04tdag.1
F 0.04250.2997
t0.06
F 0.06tdag.1
F 0.06233.9264
t0.08
F 0.08tdag.1
F 0.08224.9734
t0.10
F 0.10tdag.1
F 0.10220.7402
t0.12
F 0.12tdag.1
F 0.12219.0368
t0.14
F 0.14tdag.1
F 0.14218.4551
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B2.4
t0.16
F 0.16tdag.1
F 0.16218.287
t0.18
F 0.18tdag.1
F 0.18218.2717
t0.20
F 0.20tdag.1
F 0.20218.3173
t0.22
F 0.22tdag.1
F 0.22218.4244
t0.24
F 0.24tdag.1
F 0.24218.5632
t0.26
F 0.26tdag.1
F 0.26218.688
t0.28
F 0.28tdag.1
F 0.28218.6254
t0.30
F 0.30tdag.1
F 0.30218.151
Bilaga 2
B2.5
t0.32
F 0.32tdag.1
F 0.32216.8398
t0.34
F 0.34tdag.1
F 0.34214.3476
t0.36
F 0.36tdag.1
F 0.36210.9051
t0.38
F 0.38tdag.1
F 0.38208.1919
t0.395
F 0.395tdag.1
F 0.395208.8851
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B2.6
Interpolering så att pålastningstiden erhålls i en specifik millimeterstrimla över 365 dagar
p är en kolumnvektor med de betraktade millimeterstrimlorna [m]
f är de snitt interpoleringen beräknas över, en kolumnvektor f=0.0005:0.001:0.3995=startvärde:intervall:slutvärde [m]
dss
t0.005
t0.02
t0.04
t0.06
t0.08
t0.10
t0.12
t0.14
t0.16
t0.18
t0.20
t0.22
t0.24
t0.26
t0.28
t0.30
t0.32
t0.34
t0.36
t0.38
t0.395
t02 linterp p dss f( )
Bilaga 2
B2.7
β c200 Koefficent som beskriver krypningens
utveckling med tiden efter pålastning [Formel B.7]
φ 3 Kryptalet [Formel B.1]
φ 1 är det kryptal som används i studien
φ 3 är det verkliga kryptalet efter verifiering
c200
t1 t02 H t1 t02
0.3
3 c2000
0 0.1 0.2 0.3 0.40.8
0.9
1
1.1
1.2
Verifiering av kryptalet
Tvärsnittshöjd (m)
Kry
pta
l 1
3
z
B3.1
Bilaga 3, Passningsberäkning i Ramanalys En fem meter lång plattstrimla undersöks i samtliga beräkningar. Den
studerade plattorna är gjutna i inomhus miljö i maj månad med den
relativa fuktigheten 55 %.
Tabell B2.1 Plattor 120 med olika vct och armeringshalt
Platta 120, vct 0.53, Ø12s250 ϕm = 1.87
ε = 0.38 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] centrisk 411,670 7,140 0,009 1,883 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm] σs.c [Mpa]
centrisk 161,500 3,700 0,009 1,957 0,290 504,000
Platta 120, vct 0.43, Ø12s200 ϕm = 1.54
ε = 0.38 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] centrisk 521,980 8,030 0,009 1,914 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm] σs.c [Mpa]
centrisk 187,710 4,200 0,009 1,874 0,270 466,000
Platta 120, vct 0.38, Ø12s200 ϕm = 1.44
ε = 0.40 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] centrisk 580,130 8,340 0,009 1,955 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm] σs.c [Mpa]
centrisk 191,000 4,300 0,009 1,945 0,270 474,000
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B3.2
Tabell B2.2 Plattor 160 med olika vct och armeringshalt
Platta 160, vct 0.53, Ø10s160 ϕm = 1.76
ε = 0.36 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 559,810 12,740 0,007 1,802 ök+0.5uk 559,810 12,740 0,007 1,802 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 213,800 5,900 0,007 1,664 0,210 136,000 342,000
ök+0.5uk 219,000 5,800 0,007 1,876 0,210 289,000 342,000
Platta 160, vct 0.43, Ø10s140 ϕm = 1.45
ε = 0.37 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 721,670 13,980 0,006 1,860 ök+0.5uk 721,670 13,980 0,006 1,860 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 262,000 6,000 0,006 1,787 0,190 172,000 326,000
ök+0.5uk 262,000 6,000 0,006 1,875 0,200 295,000 326,000
Platta 160, vct 0.38, Ø10s125 ϕm = 1.36
ε = 0.38 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 798,100 14,130 0,006 1,892 ök+0.5uk 798,100 14,130 0,006 1,892 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 266,300 5,900 0,006 1,883 0,150 157,000 286,000
ök+0.5uk 266,300 5,900 0,006 1,830 0,190 309,000 286,000
Bilaga 3
B3.3
Tabell B2.3 Plattor 200 med olika vct och armeringshalt
Platta 200, vct 0.53, Ø10s125 ϕm = 1.67
ε = 0.34 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 699,070 19,340 0,005 1,715 ök+0.5uk 699,070 19,340 0,005 1,715 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 282,000 8,000 0,005 1,688 0,210 159,000 299,000
ök+0.5uk 270,000 8,500 0,005 1,797 0,230 280,000 299,000
Platta 200, vct 0.43, Ø10s110 ϕm = 1.39
ε = 0.36 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 922,850 20,350 0,004 1,801 ök+0.5uk 922,850 20,350 0,004 1,801 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 332,000 8,700 0,004 1,742 0,200 175,000 304,000
ök+0.5uk 327,510 8,700 0,004 1,751 0,230 301,000 301,000
Platta 200, vct 0.38, Ø10s110 ϕm = 1.30
ε = 0.37 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 1018,230 20,080 0,004 1,828 ök+0.5uk 1018,230 20,080 0,004 1,828 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 345,000 8,500 0,004 1,731 0,210 188,000 309,000
ök+0.5uk 328,200 9,200 0,004 1,922 0,240 291,000 308,000
AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2
B3.4
Tabell B2.4 Plattor 300 med olika vct och armeringshalt
Platta 300, vct 0.53, Ø12s125 ϕm = 1.52
ε = 0.29 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 995,140 35,000 0,003 1,441 ök+0.5uk 995,140 35,000 0,003 1,441 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 435,000 17,200 0,003 1,345 0,300 174,000 309,000
ök+0.5uk 399,000 18,900 0,003 1,360 0,350 287,000 300,000
Platta 300, vct 0.43, Ø12s110 ϕm = 1.27
ε = 0.32 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 1381,070 33,810 0,002 1,584 ök+0.5uk 1381,070 33,810 0,002 1,584 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 514,300 18,350 0,002 1,686 0,290 192,000 315,000
ök+0.5uk 500,000 18,350 0,002 1,681 0,390 330,000 308,000
Platta 300, vct 0.38, Ø12s100 ϕm = 1.19
ε = 0.32 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 1516,930 32,240 0,002 1,612 ök+0.5uk 1516,930 32,240 0,002 1,612 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 551,000 18,200 0,002 1,635 0,410 276,000 428,000
ök+0.5uk 470,000 22,900 0,002 1,552 0,480 383,000 410,000
Bilaga 3
B3.5
Tabell B2.5 Plattor 400 med olika vct och armeringshalt
Platta 400, vct 0.53, Ø12s125 ϕm = 1.42
ε = 0.25 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 1276,280 47,050 0,001 1,271 ök+0.5uk 1276,280 47,050 0,001 1,271 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 745,000 16,800 0,001 1,370 0,690 379,000 445,000
ök+0.5uk 731,070 17,000 0,001 1,521 1,360 739,000 439,000
Platta 400, vct 0.43, Ø12s110 ϕm = 1.18
ε = 0.29 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 1817,390 43,810 0,001 1,446 ök+0.5uk 1817,390 43,810 0,001 1,446 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 723,850 16,000 0,001 1,412 0,530 328,000 383,000
ök+0.5uk 709,000 16,000 0,001 1,335 0,960 576,000 376,000
Platta 400, vct 0.38, Ø12s110 ϕm = 1.10
ε = 0.30 Fullt axialtvång
Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 1996,050 42,160 0,001 1,484 ök+0.5uk 1996,050 42,160 0,001 1,484 Ramanalys
Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]
σs.uk [Mpa]
σs.ök
[Mpa]
ök+uk 899,000 17,000 0,001 1,404 0,670 416,000 467,000
ök+0.5uk 885,000 17,000 0,001 1,534 1,240 739,000 460,000