autor: josé maria1 geometria no espaço i (10º - ano)

Autor: José Maria 1

Geometria no Espaço IGeometria no Espaço I(10º - Ano)(10º - Ano)


Rectas e planosRectas e planos

Dois pontos distintos do plano ou do espaço definem uma recta

Três pontos distintos do espaço, não colineares, definem um plano


Modos de definir um plano

Um plano fica definido por:

Três pontos distintos, não colineares

• Um ponto e uma recta que não o contenha

• Duas rectas paralelas mas não coincidentes

• Duas rectas concorrentes


Posição entrePosição entreRectasRectas


Paralelismo:

Definição

No espaço duas rectas são paralelas se satisfazem as seguintes condições:

- são complanares

- não têm nenhum ponto comum, ou são coincidentes


No espaço duas rectas são perpendiculares se, por um ponto qualquer, é possível traçar duas rectas perpendiculares, paralelas às duas rectas dadas

Perpendicularidade:

Definição


AB

E F

D C

GH

Definição de perpendicularidade entre rectas: 2 rectas são _|_s se por um ponto qualquer (B) forpossível traçar 2 rectas _|_s (BC_|_BA) paralelas àsrectas dadas( BC//FG e BA//DC)


Propriedades de:

paralelismoe

perpendicularidade:


1- Duas rectas paralelas (//s) a uma terceira, são paralelas entre si


AB

E F

D C

GH

2 rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si

DC // EF porqueDC // AB EF // AB


2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que intersecta uma, intersecta a outra


AB

E F

D C

GH

Dadas 2 rectas paralelas, todo o plano que intersecta uma intersecta outra

DC // EF o plano BCGFintersecta DC em C e EFem F


3 - Se duas rectas são _|_s,

toda a recta paralela a uma é _|_ à outra


4 - Se duas rectas são //s,

toda a recta _|_ a uma

é _|_ à outra


BA

E F

D C

GH

DC // EF entãoBC _|_ DC e BC _|_ EF

Se 2 rectas são paralelas, todo a recta _|_ a uma é _|_ à outra


Posição entrePosição entreRectasRectas

e e PlanosPlanos


Uma recta é paralela a um plano

se não é secante ao plano

Paralelismo:

Definição


Uma recta é perpendicular a um plano se é

perpendicular a todas as rectas do plano

Perpendicularidade:

Definição


AB

E F

D C

GH

Definição de perpendicularidade entre recta e plano: 1 recta é _|_ a um plano se é _|_ a todas as rectas doplano

DC _|_ ao plano BCGF pqé _|_ a todas rectas doplano (CG, FG,FB e BC)


Propriedades:


Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada,

que não está contida nesse plano, a recta e o plano são

paralelos

1- Critério de paralelismoentre recta e plano:


AB

E F

D C

GH

Critério de paralelismo entre recta e plano:Uma recta exterior a um plano é paralela a esse plano, se for paralela auma recta contida no plano

AD não pertence ao plano BCFmas BC // AD, logo AD// BCF


2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém uma e é paralelo à outra


BA

E F

D C

GH

AD e CG são não complanares,existe o plano BCF que contémCG e é // AD

Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só planoque contém uma e é paralelo à outra


3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano:

Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é perpendicular ao plano.


Posição entrePosição entrePlanosPlanos


Dois planos são paralelos se não são secantes

Paralelismo:

Definição


Dois planos e são perpendiculares se em existe uma recta perpendicular a

e se em existe uma recta perpendicular a

Perpendicularidade:

Definição


Propriedades:


Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os planos são paralelos

1 - Critério de paralelismoentre planos:


2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é paralelo a um plano dado


BA

E F

D C

GH

Critério de paralelismo entre planos:

Se duas rectas concorrentes de um plano são //s a outro plano,então os planos são //s.

Se AD e DC são concorrentes e //s a EFGHentão ABCD//EFGH


AB

E F

D C

GH

Pelo ponto dado D só passa o plano ADEque é paralelo ao plano BCF

Existe um só plano que passa por um ponto dado eé paralelo a um plano dado.


3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção são paralelas


AB

E F

D C

GH

Se um plano (amarelo) intersecta dois planosparalelos (azuis) então as rectas de intersecçãosão paralelas.


4- Critério de perpendicularidade entre planos:

Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os planos são

perpendiculares


Fim

autor: josé maria1 geometria no espaço i (10º - ano)

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