automatisk diagnose af velfærd udfra måling af...

Trausti Björgvinsson Ragnar Ingi Jónsson

Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre Masterprojekt, marts 2007

Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre Automatic diagnosis of health and welfare based on mearurements of motion patterns

Rapporten er udarbejdet af: Trausti Björgvinsson Ragnar Ingi Jónsson Vejledere: Mogens Blanke, Ørsted-DTU Niels Kjølstad Poulsen, IMM-DTU Eksterne vejledere: Lene Munksgaard, Danmarks JordbrugsForskning Søren Højsgaard, Danmarks JordbrugsForskning

Ørsted•DTU Automation Danmarks Tekniske Universitet Elektrovej Bygning 326 2800 Kgs. Lyngby Danmark www:oersted.dtu.dk/forskning/au.aspx Tel: (+45) 45 25 35 50 Fax: (+45) 45 88 12 95

Udgivelsesdato:

22. marts 2007

Klasse:

Offentlig

Bemærkninger:

Denne rapport er indleveret som led i opfyldelse af kravene for opnåelse af Mastergraden på Danmarks Tekniske Universitet. Rapporten repræsenterer 30 ECTS point.

Rettigheder:

© Trausti Björgvinsson & Ragnar Ingi Jónsson, 2007

Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre

iii

Abstract

This Master thesis is a result of the project “Automatic diagnosis of health and welfare based on

measurements of motion patterns” at the Danish Technical University (DTU) in cooperation with

the Danish Institute of Agricultural Sciences.

The thesis describes the development of Change Detection algorithms for use in detection of a

change in behavior of dairy cows, resulting from heat. The detection algorithms are developed for

use with data from DeLaval’s activity sensors that measure the cow’s relative activity. Signal

Processing methods have been used for optimizing the results by means of e.g. recursive

estimation of average, variance and frequencies in the data.

The heat detection algorithms are tested on data supplied by the Danish Institute of Agricultural

Sciences and results show that a detection of 95 % of the heat incidences can be achieved.


iv


v

Resumé

Denne rapport er skrevet i forbindelse med udarbejdelse af projektet ”Automatisk diagnose af

velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre” på Danmarks Tekniske Universitet (DTU) i

samarbejde med Danmarks Jordbrugs Forskning (DJF).

Rapporten beskriver udvikling af Change Detection algoritmer til detektering af ændring i adfærd

hos malkekøer, grundet brunst. Algoritmerne er udviklet med henblik på anvendelse på data fra

DeLaval’s aktivitetsmålere som angiver køernes relative aktivitet hver time. Der er foretaget

signalbehandling af dataene med henblik på forbedring af detekteringen som f.eks. rekursiv

estimering af middelværdi, varians og frekvenser i dataene.

Detektorerne er afprøvet på aktuelle data anskaffet af DJF, og viser at en detektering af 95 % af

brunsttilfældene kan opnås.


vi


vii

Forord

Den foreliggende rapport er resultatet af et eksamensprojekt (M.Sc.) fra Danmarks Tekniske

Universitet (DTU) og er udarbejdet ved sektor for automation ved Ørsted DTU i samarbejde med

IMM. Rapporten er udarbejdet af to studerende der går på DTU’s overbygningsuddannelse og

specialiserer sig indenfor regulering og automation. Projektet blev udført fra september 2006 –

marts 2007.

Projektemnet er valgt til dels ud fra de studerendes faglige interesseområder og til dels ud fra et

ønske fra de studerende, at projektarbejdet udføres i samarbejde med en institution eller

virksomhed som kan drage nytte af de studerendes projektarbejde.

Det valgte projekt er en del af et større forskningsprojekt ved Danmarks Jordbrugs Forskning og

Danmarks Tekniske Universitet som går ud på at udvikle en automatisk sygdoms- og brunst

diagnose for malkekøer i en løsdriftsstald. I eksamensprojektet fokuseres specielt på af

anvendelsen af Change Detector algoritmer ved detektering af malkekøernes brunsttilfælde.

Rapporten henvender sig derfor til studerende, ingeniører og forskere med interesse for

fejldetekterings algoritmer og deres anvendelse i detektering af adfærdsafvigende træk hos dyr.

I forbindelse med projektarbejdet, har Danmarks Jordbrugs Forskning velvilligt og venligst stillet

viden og vejledning til rådighed. Der rettes tak til projektets vejledere Professor Mogens Blanke

(DTU) og Lektor Niels Kjølstad Poulsen (DTU) og projektets samarbejdspartnere ved Danmarks

Jordbrugs Forskning, specielt afdelingsleder Søren Højsgaard og seniorforsker Lene Munksgaard.

Danmarks Tekniske Universitet, den 22.marts 2007.

Equation Chapter 5 Section 1

Trausti Björgvinsson Ragnar Ingi Jónsson

St.nr.050362 St.nr.050359


viii


ix

Indholdsfortegnelse

1 Indledning................................................................................................................................. 11 1.1 Baggrund og problemformulering....................................................................................... 11 1.2 Arbejdsmetode og projektforløb ......................................................................................... 12 1.3 Rapporten........................................................................................................................... 13

2 Brunst ....................................................................................................................................... 15 3 Data.......................................................................................................................................... 17

3.1 KFC og sensorer til rådighed.............................................................................................. 17 3.2 Data periode og kategorisering .......................................................................................... 21 3.3 Praktisk behandling af data................................................................................................ 22

4 Indledende undersøgelser af data ........................................................................................... 27 4.1 Foder og malkedata ........................................................................................................... 27 4.2 IceTag................................................................................................................................. 27 4.3 Aktivitetsdata (DeLaval) ..................................................................................................... 29 4.4 Delkonklusion ..................................................................................................................... 31

5 Aktivitetsdata undersøgelser.................................................................................................... 33 5.1 Gennemsnitskoen .............................................................................................................. 33 5.2 Døgnrytme.......................................................................................................................... 34 5.3 Filtrering.............................................................................................................................. 37

6 Change Detection .................................................................................................................... 43 6.1 Generel introduktion ........................................................................................................... 44 6.2 Succeskriterier og kategorisering af aktivitetsdata............................................................. 44 6.3 CUSUM – Ændring i middelværdi ...................................................................................... 47

6.3.1 Teori........................................................................................................................... 48 6.3.2 24 timers gennemsnitsdata ....................................................................................... 50 6.3.3 Rådata ....................................................................................................................... 60

6.4 GLR – Ændring i middelværdi af ukendt størrelse............................................................. 87 6.4.1 Teori........................................................................................................................... 87 6.4.2 24 timers gennemsnitsdata ....................................................................................... 88 6.4.3 Rådata RLS ............................................................................................................... 90 6.4.4 RLS kompenseret log transformerede rådata ........................................................... 94

6.5 CUSUM – Dynamisk profil.................................................................................................. 97 6.5.1 Teori........................................................................................................................... 97 6.5.2 24 timers gennemsnitsdata ....................................................................................... 98 6.5.3 Kompenseret logaritmisk transformerede rådata .................................................... 105

6.6 GLR – Dynamisk profil ..................................................................................................... 111 6.6.1 Teori......................................................................................................................... 111 6.6.2 Kompenserede logaritmisk transformerede rådata ................................................. 112 6.6.3 Generel profil for kompenseret logaritmisk transformeret rådata............................ 114


x

6.7 Opsummering af resultater ...............................................................................................116 6.8 Delkonklusion ...................................................................................................................118

7 Multible hypotesetest..............................................................................................................119 7.1 Vektorbaseret CUSUM algoritme .....................................................................................119 7.2 Vektorbaseret GLR algoritme ...........................................................................................122 7.3 Vektorbaseret GLR algoritme ved brug af dynamisk profil...............................................124 7.4 Modificeret vektorbaseret GLR algoritme.........................................................................126 7.5 Delkonklusion ...................................................................................................................129

8 Diskussion ..............................................................................................................................131 9 Konklusion ..............................................................................................................................133 10 Perspektivering .................................................................................................................135 11 Litteraturliste .....................................................................................................................137 Bilag A ...........................................................................................................................................139 Bilag B ...........................................................................................................................................145 Bilag C ...........................................................................................................................................151 Bilag D ...........................................................................................................................................157 Bilag E ...........................................................................................................................................159


11

1 Indledning Dette kapitel har til formål at introducere læseren til baggrunden for projektet og projektets

problemstilling. Kapitlets første afsnit indeholder problemformuleringen, det andet omhandler

projektets arbejdsmetoder og projektforløb og kapitlets sidste afsnit indeholder en oversigt for

rapporten.

1.1 Baggrund og problemformulering

Baggrund Optimering af produktionsmetoder og produktionsanlæg er blevet et særdeles vigtigt og relevant

emne for producenter i forskellige industrier. Produktionen skal optimeres med henblik på bedre

udnyttelse af produktionsudstyr og arbejdskraft, for at sikre konkurrenceevne både lokalt og i det

globaliserede marked. Samtidigt er forbrugere også blevet mere bevidste om både kvalitet og

etiske aspekter tilknyttet produktionen af den vare de køber. Der stilles krav om etisk korrekte og

menneskelige arbejdsforhold i produktionen og ikke desto mindre stilles der krav om ordentlig

behandling af dyr, når det angår fødevareproduktion. I den danske mælkeproduktionsindustri har

ønsket om bedre behandling af dyr og optimering af produktionen haft konsekvenser for bl.a.

produktionsprocessen og behandlingen af malkekøer. Mælkeproduktionen i Danmark, og andre

steder i verden, har gennem den sidste halve snes år gennemgået en dramatisk strukturudvikling.

Besætningerne er ændret fra at være mange besætninger med relativt få køer, over til få

besætninger med relativt mange køer (ofte 150-200 køer eller flere). Yderligere har

staldforholdende ændret sig meget grundet mere fokus på dyrenes velfærd. Bindstalde er ved at

forsvinde til fordel for løsdriftsstalde, hvor køerne kan gå frit om i stalden og lade sig mælke efter

behag i en malkerobot.

En bivirkning af ovenstående udvikling er en ringere manuel observering af den enkelte ko

eftersom der skal observeres flere køer per medarbejder i stalden, og den manuelle observering

er blevet sværere at udføre ved indførslen af løsdriftsstalde. Det er vigtigt for malkeproduktionen,

at køer i brunst eller køer plaget af sygdomme identificeres så tidligt som muligt, da disse har

indflydelse på både velfærd og produktionens økonomi. Derfor er det også særdeles relevant at

finde frem til en måde at overvåge køerne på med samme eller bedre kvalitet, end det før er blevet

gjort ved manuelle observationer.

Som et led i at forbedre malkekøernes sundhed og velfærd har Danmarks Jordbrugs Forskning

(DJF), sammen med DTU og andre partnere, igangsat et forskningsprojekt, der har til formål at

udvikle et nyt værktøj til automatisk overvågning af køer.

Den automatiske overvågning skal som udgangspunkt varetage overvågning af alle individer i

besætningen i en løsdriftsstald, via sensorer monteret i stalden og/eller sensorer påmonteret på

køerne. Overvågningen skal kunne identificere de adfærdsændrende træk koen kan vise som

resultat af sygdomme eller brunst, hvilket hidtil har været gjort ved manuel observation. Brunst vil

typisk medføre forøget aktivitet hos koen, imens sygdomme medfører nedsat malkeydelse,

aktivitet og appetit. Til projektet er der tilknyttet en forsøgsstald ved Kvægbrugets Forsknings


12

Center (KFC) i Foulum, hvor undersøgelser og målinger af køernes adfærd er udført. I

projektperioden fås adgang til forsøgsstalden efter aftale med Danmarks Jordbrugs Forskning.

I forskningsprojektet er det hensigten at udvikle et overvågningssystem der kan præstere en tidlig

identifikation af køer med nedsat appetit og klov-ben lidelser, samt køer i brunst. I projektet skal

nye metoder udvikles til identificeringen som bl.a. anvender Bluetooth positionsbestemmelse, og

evt. andre sensorer, som f.eks. aktivitetssensorer og ligge/stå sensorer. Yderligere er der

mulighed for anvendelse af målinger af koens spisevaner og malkning, fra hhv. intelligente

foderstationer og malkerobotter. I forskningsprojektet ønskes der undersøgt om, eller hvorvidt,

disse målinger i kombination med adfærdsmodeller kan anvendes til tidlig identifikation af

sygdomme og brunst.

Formålet med dette projekt Formålet med det aktuelle eksamensprojekt er, at bidrage til det omtalte forskningsprojekt, ved at

finde og undersøge én eller flere algoritmer til detektering af køernes brunsttilfælde.

Der ønskes foretaget en dataanalyse på køernes data fra KFC, hvor data analyseres med henblik

på at definere køernes normale adfærd og herudfra finde karakteristiske træk som kan indikere

køernes brunsttilfælde. Resultaterne i dette afgangsprojekt tænkes anvendt som grundlag for

fastgørelsen af hvilke typer algoritmer, der kunne anvendes i forskningsprojektet.

Forudvalgte værktøjer Som værktøj til realisering af adfærdsmodellerne og tilhørende detektering af adfærdsafvigelser,

skal der i så vidt muligt omfang anvendes Scilab/Scicos beregnings/simulerings software.

Scilab/Scicos er et Matlab/Simulink lignende program men er ikke et kommercielt produkt og ikke

lige så omfattende som Matlab/Simulink. Da denne software er gratis og tilgængelig for alle parter

som er tilknyttet projektet var det et ønske fra DJF, at anvende Scilab/Scicos.

1.2 Arbejdsmetode og projektforløb

Projektgruppens deltagere har valgt at arbejde parallelt med alle af projektets overordnede

opgaver, og er derfor lige ansvarlige for projektets dele. Dette er valgt for at skabe mest, og bedst

mulig sparring mellem projektgruppens deltagere, og dermed opnå synergi. Projektperioden har

været præget af diverse delopgaver bl.a. programmering af datastruktur og programmering af

diverse funktioner til anvendelse i indledende undersøgelser af data. Yderligere kan nævnes

opgaver som indledende undersøgelser med henblik på at identificere brunstsymptomer og

udvikling af change detektorer samt formidling af den tilegnede viden og formidling af

problemløsningen i form af denne rapport.

En tidsmæssig beskrivelse af projektforløbet ses nedenfor.


13

2006 2007 Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts

Progr. af datastruktur Indledende Undersøgelser

Change Detection (CUSUM/GLR) Samle rapport

Figur 1.1 Et forløbsoversigt over projektets fremgang.

1.3 Rapporten

Rapportens første del er kapitlerne 1-5 hvor data til rådighed i projektet og indledende

undersøgelser beskrives. Den anden del er omfattet af kapitler 6 og 7 hvor udviklingen af diverse

typer af Change Detektorer beskrives og sammenlignes. Kapitel 8 diskuterer resultaterne og de i

projektet anvendte metoder. Konklusionen findes i kapitel 9 og perspektivering i kapitel 10. Som

læsevejledning er enkelte kapitlers indehold beskrevet kort i det følgende:

• Kapitel 2

Omhandler brunst, inseminering og drægtighed for malkekøer på et overordnet plan.

• Kapitel 3

Omhandler de data der er til rådighed i projektet, samt praktiske aspekter af

databehandling foretaget i projektet. I Kapitlet er gjort rede for hvilken målinger og

tilhørende måleperiode er aktuelt for projektet, samt hvordan køerne kategoriseres.

• Kapitel 4

Omhandler de indledende undersøgelser af de eksisterende måledata fra diverse

sensorer tilknyttet forsøgsstalden i KFC. Undersøgelserne foretages med henblik på

at få overblik om og/eller hvordan en adfærdsændring giver udslag i data. Til sidst i

kapitlet er besluttet hvilke data, der anvendes som grundlag for brunstdetekteringen.

• Kapitel 5 Beskriver nærmere undersøgelser af de data som er valgt som grundlag til

brunstdetekteringen. Der er lavet analyser af periodiske træk vha.

autokovariansfunktionen og effektspektrum, hvorefter dataene filtreres og statistiske

egenskaber undersøges.

• Kapitel 6

Udgør den primære teoretiske del af rapporten. I kapitlet er teori og udvikling af

diverse typer Change Detektorer til brunstdetektering beskrevet. Der er set på

følgende typer

CUSUM til detektering af en ændring i middelværdi

GLR til detektering af en ukendt ændring i middelværdi

CUSUM til detektering af en dynamisk profil

GLR til detektering af en dynamisk profil af en ukendt amplitude


14

I forbindelse med udviklingen af detektorerne er der bl.a. foretaget filtrering af

data og rekursiv estimering af middelværdi, varians og relevante

frekvensamplituder for de pågældende signaler.

• Kapitel 7 Beskriver undersøgelser i forbindelse med multible hypotesetest.

• Kapitel 8-9-10 Disse kapitler indeholder diskussion, konklusion og perspektivering.

I løbet af rapporten er diverse undersøgelser af køernes data til rådighed beskrevet. Det er i flere

tilfælde undersøgt flere køer men for at gøre rapporten mere læsevenlig er der flere gange valgt at

vise et eksempel af en enkelt kos data og kun at omtale dataene for de resterende køer.


15

2 Brunst Dette kapitel har til formål at beskrive generelle betragtninger angående brunst, inseminering og

drægtighed.

Et vigtigt element i bedriften af malkeproduktion er at opretholde god reproduktion i malkekøernes

besætning. Det ønskes at malkekøer får fleste flest mulige kælvninger over dens levetid og

besidder en høj mælkeydelse. Derfor er der et ønske om at fange flest mulige af køernes

brunsttilfælde, helst tidligt i brunstfasen, således at en succesfuld inseminering kan foretages og

koen igen bliver drægtig.

Brunst er en periode der forekommer hos ikke drægtige køer som en konsekvens af køernes

progesteron hormoncyklus og antyder at koen er klar til inseminering. En ko er i brunst fra 3-4

timer op til et helt døgn, og ifølge adfærdsbiolog Lene Munksgaard varer brunsten i gennemsnit 18

timer. En ko som ikke er drægtig kommer i brunst med 20-22 dages mellemrum, undtagen mellem

1. og 2. brunst, efter kælvning, hvor der ofte går 15-17 dage (Kilde 9. Tiden som går fra koen har

kalvet til koens første brunst varierer fra ko til ko, men er typisk 16-40 dage (Kilde 10. I praksis

foretrækkes der at inseminere ved det første brunsttilfælde efter at ca. 40 dage er gået fra

kalvning (Kilde 9. Insemineringerne er foretaget af en inseminør og for at insemineringen lykkedes er

det vigtigt at inseminere på det rigtige tidspunkt, ifølge (Kilde 9 er drægtighedssandsynligheden cirka

40% ved hver inseminering.

Figur 2.1 Tidslinie der viser sammenhængen mellem kælvning og brunst.

Om en ko er blevet drægtig efter en inseminering kan tidligst bestemmes 3 uger efter

inseminering.

Hidtil er overvågningen af brunst typisk foretaget manuelt af staldens personale og gør derfor at

de relative korte brunsttilfælde ikke altid fanges idet der ikke bliver holdt øje med køerne alle 24

timer i døgnet. Til en automatisk brunstdiagnose skal de adfærdsafvigende træk der ønskes

overvåget defineres. Ifølge adfærdsbiolog Lene Munksgaard er efterfølgende de forventede

ændringer i adfærd hidrørende fra brunst.


16

Ligger, varighed ↓ Liggeperioder, antal ↓ Aktivitet (går), varighed ↑ Tilbagelagt distance per tids enhed når koen går ↑ Ophold ved foderbord (ædetid), varighed ↓ Perioder ved foderbord, antal ?

Tabel 2.1 Forventede ændringer i en kos adfærd under brunst.


17

3 Data Dette kapitel har til formål at give læseren overblik over nogle af projektets praktiske aspekter til

de data der anvendes. Kapitlets første afsnit omhandler de faciliteter og tilhørende måleapparater

som er tilknyttet projektet. Kapitlets andet afsnit omhandler de data der er til rådighed i projektet

samt hvordan køerne kategoriseres ud fra sygdoms og insemineringsdata. Eftersom der i dette

projekt arbejdes med virkelige data er kapitlets tredje og sidste afsnit dedikeret praktisk

behandling af data, og rører på emner som f.eks. programmering af datastruktur og behandling af

manglende data.

3.1 KFC og sensorer til rådighed

Dette afsnit indeholder en kort beskrivelse af faciliteterne i forsøgsstalden ved Kvægbrugets

Forsknings Center, samt en beskrivelse af måleapparater og sensorer tilknyttet KFC og/eller

forskningsprojektet.

Danmarks Jordbrugs Forskning har adgang til en forsøgsstald ved Kvægbrugets Forsøg Center

hvor der går omkring 140 køer i en løsdriftsstald. De udførte målinger i forskningsprojektet udføres

på køerne i denne stald. Stalden er opdelt i to dele med køer af tre typer race. I den ene del af

stalden går omkring 38 Jersey køer og i den anden del af stalden går omkring 100 røde og

sortbrogede køer. En tegning af forsøgsstaldens opbygning er vist på Figur 3.1.

Figur 3.1 En tegning af den opdelte forsøgsstald som er tilknyttet projektet. Forsøgsstalden er opdelt i to dele, en større og

en mindre del hvor de to dele adskilles ved separationsboksene og malkerobotterne. I staldens større del (til venstre) går omkring 100 røde og sortbrogede køer og i staldens mindre del (til højre) går omkring 38 Jersey køer.


18

På figuren er de eksisterende accesspoints for det installerede Bluetooth positioneringssystem vist

som røde punkter. I forsøgsstalden er der blevet opsat diverse måleudstyr som kan anvendes i

projektet, og er beskrevet i det følgende:

Aktivitetsmåler (DeLaval): På køerne kan der monteres aktivitetsmålere som måler aktivitet og angiver et aktivitetsindeks

hver time som et relativt tal for aktivitet. Aktivitetsmålerne er produkt fra DeLaval som også er

kendt for produktion af automatiske malkerobotter. Målerne fastgøres i koens halsbånd og har et

indbygget radiokommunikationssystem og overfører data til en nærtliggende modtager i stalden

hver time. På Figur 3.2 vises et billede af en af Jersey køerne ved KFC med aktivitetsmåleren

hængende i halsbåndet.

Figur 3.2 De Lavals aktivitetssensor hængende i koens halsbånd.

IceTag: En såkaldt IceTag kan også monteres på køerne til angivelse af én af tre prædefinerede tilstande

som koen befinder sig i. Tilstandene er ligger, aktiv eller står. IceTags sensorerne har desuden en

indbygget skridttæller. Sensorerne er produceret af firmaet IceRobotics i Skotland og har mest

anvendelse i forskningsmæssige sammenhænge, eftersom de er forholdsvis dyre. Sensorerne er

påmonteret på koens ben, se Figur 3.3, og registrerer dens tilstand og antal skridt vha.

accelerometre og lagringskredsløb.


19

Figur 3.3 IceTag monteret på koens ben.

Registreringen angiver procentdele for koens tilstand, samt antal skridt foretaget siden sidste

registrering, et eksempel på et sæt målinger over 5 sekunder vises på Figur 3.4:

Date Time Standing [%] Active [%] Lying [%] Steps 14-11-2005 10:38:00 66 33 0 0 14-11-2005 10:38:01 30 70 0 0 14-11-2005 10:38:02 0 0 100 0 14-11-2005 10:38:03 0 0 100 0 14-11-2005 10:38:04 40 60 0 0

Figur 3.4 Et eksempel af et IceTag datasæt.

Hver måling på sekundbasis er baseret på 8 målinger i løbet af sekundet. De opsamlede

måleresultater fra sensoren kan overføres til en PC med et USB-kabel, hvor brugeren kan vælge

at se dataene på sekundbasis, minutbasis og op til døgnbasis.

Intelligente foderkasser: Stalden er udstyret med intelligente foderkasser der hver især registrerer bl.a. data om hvor

meget, hvornår og hvor længe køerne har været om at spise, på individuelt plan. På Figur 3.5

vises et billede af de intelligente foderkasser.


20

Figur 3.5 På billedet ses de intelligente foderkasser, og ligeledes ses den blå DeLaval aktivitetssensor i koens halsbånd.

Malkerobotter (DeLaval): Stalden er udstyret med flere malkerobotter, hvorfra der kan fås data om antal og type af besøg

(malkning, besøg uden malkning, mislykket malkning) i robotten med tidsstempel og ko nummer.

Yderligere er der at finde informationer om mælkeydelse på kirtelniveau for hver malkning, koens

vægt ved hver malkning og data for variation i vægten under malkning samt tildelt mængde af

kraftfoder og tilbage vejet mængde kraftfoder for hvert besøg.

Bluetooth positioneringssystem: I stalden er der blevet opsat et Bluetooth positioneringssystem der formentligt kan anvendes i

forbindelse med målinger af bevægelsesmønstre. Det er, i første omgang, kun muligt at måle

position af 6-8 køer ad gangen, grundet begrænsede antal tags til rådighed. Der er dog planer om

at anskaffe flere tags til formålet og ligeledes videreudvikle ideen om hvordan tagsene monteres

på køen i den nærmeste fremtid, men dette bliver ikke realiseret indenfor tidsrammerne i dette

projekt og er derfor ikke aktuelt.

Figur 3.6 Billede af den større del af forsøgsstalden ved Kvægbrugets Forsøg Center i Foulum set fra malkerobotterne.

Den røde cirkel indført på billedet omlukker en af de opsat Bluetooth accesspoints.


21

Liggesensor: På køerne kan der også monteres en liggesensor som er tilknyttet Bluetooth systemet, som

angiver et datasæt med tidsstempel for hver gang koen rejser eller lægger sig. Denne kan bruges

til at beregne varighed og frekvens af liggeadfærd, samt variation i hvornår på dagen koen hhv.

ligger og står.

Dyrdata: Yderligere er der adgang til informationer om alle sygdomsbehandlinger per dyr, data fra

klovbeskæreren, alle insemineringer og observerede brunstsymptomer, konstaterede

drægtigheder og dyr data som f.eks. Alder, afstamning og kælvninger.

3.2 Data periode og kategorisering

Kvægbrugets forskningscenter og dets måleapparater anvendes til flere adskillige

forskningsrelaterede eksperimenter hvor disses måleresultater bliver lagret i en database. Det er

fra denne database indhentet de data som anvendes, i projektet. Hvilke data der er tale om samt

deres omfang og måleperiode er illustreret på Figur 3.7.

Marts April Maj Juni Juli August September Oktober Aktivitetsmålere 90-111 køer

Malkerobot 90-111 køer

Foderkasser 90-111 køer

IceTags 35 køer

Sygdomsdata Alle køer

Insemineringsdata Alle køer

Drægtighedsdata Alle køer

Figur 3.7 Et oversigtsdiagram der beskriver hvilken data der er til rådighed i projektet.

Det fremgår af Figur 3.7 at for aktivitetsmålere, malkerobotterne og foderkasserne eksisterer der

data for 90-111 køer. Angivelsen 90-111 skyldes det faktum at for nogle køer eksisterer der ikke

data fra f.eks. foderkasser imens der er data fra malkerobotter og aktivitetsmålere.

Kategorisering af aktivitetsdata Kategoriseringen af aktivitetsdata foregår med henblik på at kunne danne hhv. et ”normal billede”

af køernes normale adfærd og et ”brunst billede” af køernes adfærd i brunst. Da sygdomme og

forebyggende behandlinger påvirker med stor sandsynlighed køernes adfærd til en vis grad, tages

udgangspunkt i at sortere alle de køer som har været behandlet for sygdomme fra. Dette

resulterer i at der står to kategorier tilbage hvor den ene dækker køer som ikke har været

inseminerede og ikke er blevet identificeret med sygdomme, og den anden dækker køer som har

været insemineret i og ikke haft sygdomme. Ved sorteringen tages der derfor udgangspunkt i


22

eksisterende sygdoms- og insemineringsdata i måleperioden for 111 køer, fra KFC’s database.

Køerne fordeles i de omtalte kategorier som vist på Figur 3.8

Normale17

Insemenerede12

Sygdomme og mangelfulde data

82

Figur 3.8 Kategorisering af aktivitetsdata

Kategorisering af IceTag data IceTag dataene dækker over 35 køer i en periode på 10 dage i oktober måned. I måleperioden var

to af disse 35 køer insemineret og ingen sygdomme blev konstateret.

Normale33

Insemenerede2

Figur 3.9 Kategorisering af IceTag data

3.3 Praktisk behandling af data

Datastruktur Som beskrevet under afsnit 3.2 har DJF skaffet diverse måledata til brug i projektet. For at kunne

anvende disse data i SCILAB, på en fornuftig måde, blev der lavet en datastruktur som indeholder

de data, som projektet har fået adgang til fra DJF.

De data som projektet har fået tilsendt fra DJF har været i form af CSV-filer (Comma Separeted

Values) og Excel-filer. Disse filer er blevet importeret i SCILAB, hvor de er blevet sorteret ned i en

liste, som derefter kunne gemmes som en SCILAB datafil, på binær form.

En oversigt over datastrukturen vises på Figur 3.10 og Figur 3.11.


23

Figur 3.10 En oversigt over den del af datastrukturen, der tilhører individuelle data


24

Figur 3.11 En oversigt over den del af datastrukturen, der tilhører adfærdsrelaterede data

Figurerne viser en struktur, der er opdelt i hhv. individuelle data og adfærdsrelaterede data. Den

gren, der indeholder de individuelle data, som vises på Figur 3.11, indeholder de data som under

afsnit 3.1 refereres til som ”dyrdata”, dvs. data der hentes fra databaser og er indtastet i systemet

manuelt. Disse data omfatter bl.a. data over hvilken race, den pågældende ko tilhører, hvornår

den er født, dens sidste kalvning, den sidste inseminering osv.. Den anden gren, der indeholder

de adfærdsrelaterede data, som vises på Figur 3.10, indeholder data fra de diverse

måleinstrumenter som ligeledes er beskrevet under afsnit 3.1. Disse data omfatter bl.a.

aktivitetsindeksen og tilhørende datoer, data fra de intelligente foderkasser og mælkerobotten.

Manglende målinger Idet de data som datastrukturen indeholder, er reelle måledata fra fysisk måleudstyr er der nogle

data, der er manglende eller er ubrugelige. De manglende data er hovedsageligt blevet

konstateret i aktivitetsdataene fra DeLavals aktivitetssensor. De manglende aktivitetsdata


25

fremkommer på to måder hhv. hvor der mangler én eller flere aktivitetsmålinger på en dag og hvor

der mangler dato og målinger for hele døgn. Manglende målinger, hvor der ikke mangler

tilhørende dato, erstattes med en ”NaN” ( Not a Number). I tilfælde hvor der mangler både

målinger og tilhørende dato, tilføjes de manglende datoer, datovektoren og tilhørende NaN’s

indsættes i aktivitetsdataene.

De manglende målinger, udgør en udfordring i behandlingen af dataene, idet det ikke er ligegyldigt

for de diverse beregningsalgoritmer, om der er en gyldig observation, eller ej.

En yderligere kvalitetsbrist i aktivitetsdataene, er at der forekommer i nogle tilfælde to døgn i træk,

hvor dataene er identiske. Det vurderes yderst usandsynligt at så stokastisk prægede data

forekommer identisk to dage i træk, og anses derfor værende en fejl i dataopsamlingen. De

tilfælde, hvor der optræder to identiske døgn i træk, har imidlertid ikke fået nogen form for

særbehandling, og betragtes som øvrige data.


26


27

4 Indledende undersøgelser af data I dette kapitel beskrives nogle af de indledende undersøgelser der er foretaget tidligt i

projektperioden. De indledende undersøgelser har til formål at belyse i hvilke data de tydeligste

indikatorer for brunst er at finde, for at kunne beslutte hvilken type data der skal undersøges

nærmere og arbejdes videre med i projektet. De indledende undersøgelser som efterfølgende er

beskrevet er undersøgelser af foder og malkedata, IceTag data samt aktivitetsdata. Til sidst i

kapitlet er en delkonklusion der opsummerer de indledende undersøgelser.

Equation Chapter (Next) Section 4

4.1 Foder og malkedata

Det kunne tænkes at der forekom nogle afvigelser i køernes foderoptagelse og malkning grundet

brunst, og det er derfor der foretages indledende undersøgelser af foder og malkedata fra hhv.

KFC’s intelligente foderkasser og malkerobotter. Undersøgelserne foretages med henblik på at

finde tydelige signaturer for brunst i dataene. Der er undersøgt for afvigelser i foderoptagelse per

tidsenhed (kg/time) samt antal spisninger per tidsenhed, og det viser sig at der ikke fremkommer

tydelige ændringer i perioden omkring insemineringstidspunktet. Malkeydelse per tidsenhed

(Liter/time) og antal malkninger per tidsenhed er også undersøgt hvor det viser sig at der ikke

findes markante afvigelser i disse data i brunstperioden.

4.2 IceTag

Som omtalt i kapitel 2 forventes ændringer i ligge- og aktivitetsadfærd i tilfælde af brunst. Der

forvæntes færre og kortere liggeperioder for køerne og forøget aktivitet. Det fremgik af kapitel 3 at

IceTag målerne måler hhv. ligge- og aktivitetsadfærd. Målerne angiver en middelværdi for hvor

mange % af tiden koen har ligget, været aktiv eller stået i et vist tidsinterval. Det er i de indledende

undersøgelser af dataene set på data med en tidsmæssig opløsning på hhv. et sekund og et

minut. For at give et klart billede af køernes aktivitetsadfærd er der set på data med et sekunds

opløsning eftersom aktivitetsperioderne har vist sig at være typisk af få sekunders varighed.

Sekundbasis data tilegner sig til gengæld ikke så godt til angivelsen af liggeadfærd, eftersom

IceTag ofte registrerer aktivitetsperioder under det der menes værende en liggeperiode. Dette

forekommer f.eks. hvis koen flytter benet med den påmonterede IceTag under liggeperioden f.eks.

for at komme i en behageligere position, og derefter fortsat bliver liggende. Dette forløb vil

registreres som en aktivitetsperiode af få sekunders varighed og vil give et falsk billede af

liggeadfærden eftersom liggeperioden er blevet delt op i to. Tilsvarende aktivitetsperioder ville til

gengæld drukne midlingen for minutbasisdataene og er disse derfor anvendt når ligge adfærd

undersøges.

Ifølge data over insemineringer er der to brunsttilfælde(insemineringer) i dataperioden. Disse er for

hhv. ko nr. 668 og ko nr. 455 og er undersøgt for aktivitets- og liggeadfærdsændringer. Køernes

liggeadfærd er plottet og plot for ko nr. 668 er vist på Figur 4.1.


28

0 5 10 15 20 25

30.9.2006

1.10.2006

2.10.2006

3.10.2006

4.10.2006

5.10.2006

6.10.2006

7.10.2006

8.10.2006

9.10.2006

Ligge perioder for ko no.668, race RDM, born: 30.7.2004

Timer i døgnet

Figur 4.1 Et plot af liggeperioder for ko nr. 668.

Den lodrette akse angiver dato og den vandrette akse angiver time i døgnet på Figur 4.1.

Liggeperioderne er angivet med blå farve. Pilen ud til venstre på figuren angiver

insemineringsdagen. Det fremgår af Figur 4.1 at der forekommer en klar afvigelse af

liggeadfærden for ko nr. 668 aftenen inden og om morgenen til insemineringsdatoen den

8.10.2006. Koen ligger sig faktisk slet ikke fra ca. kl. 21:30 om aftenen til 6 om morgenen som

umiddelbart kan konkluderes som værende atypisk for dens adfærd. Der er yderligere konstateret

forøget aktivitet ud fra IceTags aktivitetsdataene i samme tidsrum, og kan derfor konkluderes at

denne ko giver et godt grundlag til evt. brunstdetektering. Til gengæld viser den anden ko som har

været i brunst, ko nr. 455, ikke så tydelige brunstsymptomer i liggeadfærden. Dens liggeperioder

er plottet på Figur 4.2.

Insemineret


29

0 5 10 15 20 25

30.9.2006

1.10.2006

2.10.2006

3.10.2006

4.10.2006

5.10.2006

6.10.2006

7.10.2006

8.10.2006

9.10.2006

Ligge perioder for ko no.455, race JER, born: 27.5.2003

Timer i døgnet

Figur 4.2 Et plot af liggeperioder for ko nr. 455.

Det fremgår af Figur 4.2 at der umiddelbart ikke forekommer en tydelig afvigelse af liggeadfærden

for ko nr. 455 omkring insemineringsdatoen den 4.10.2006. Det er yderligere konstateret at IceTag

aktiviteten i samme tidsrum ikke afviger markant i forhold til de andre dage.

For at bedre kunne opnå et generelt billede af afvigelser i IceTag data grundet brunst er det

nødvendigt med data for flere brunst køer og en længere måleperiode da to køer ikke er nok til

generalisering.

4.3 Aktivitetsdata (DeLaval)

Idet en forøget aktivitet kan være tegn på brunst hos køer, er det nærtliggende, at undersøge om

der er nogle tydelige indikatorer for brunst, i køernes aktivitet. Det blev gjort ved, at plotte signaler

fra DeLavals aktivitetsmåler for de køer som blev kategoriseret som brunstkøer, og se om der var

tydelige afvigelser at spore omkring deres brunsttilfælde. På Figur 4.3 og Figur 4.4 vises

aktivitetsindeks for to køer (hhv. ko nr. 334 og ko nr. 1246) som kommer i brunst i den periode,

hvor der er måledata til rådighed.

Insemineret


30

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300

Aktivitet, ko nr.334, race RDM, født: 12.10.2002, ins: 4.9.2006 , kælvning: 12.11.2005

Akt

ivite

tsin

deks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Akt

ivite

tsin

deks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Akt

ivite

tsin

deks

Figur 4.3 Aktivitetsindeks for ko nr. 334 i perioden 1.4.2006-12.10.2006, inklusiv begge dage, vist med rødbrun linie. På

figuren vises tidspunkter for brunsttilfælde med lyserød stiplet linie.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150

200Aktivitet, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

Akt

ivite

tsin

deks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Akt

ivite

tsin

deks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Akt

ivite

tsin

deks

Figur 4.4 Aktivitetsindeks for ko nr. 1246 i perioden 1.4.2006-12.10.2006, inklusiv begge dage, vist med rødbrun linie. På

figuren vises tidspunkter for brunsttilfælde med lyserød stiplet linie.

Som det fremgår af de to ovenstående figurer, er der indikatorer, at spore i aktivitetsindeksen, når

køerne er i brunst. Af figurerne kan det ses, at aktiviteten bliver forøget under brunst, selvom det

er forskelligt, hvor tydeligt afvigelsen fremstår. Det kan f.eks. ses fra Figur 4.3 hvor det


31

brunsttilfælde, der indtræffer omkring den 5.5.2006 giver anledning til den højeste aktivitet, set hos

den pågældende ko over hele måleperioden. Præcist dette brunsttilfælde ville kunne detekteres

med en enkelt threshold detektor, med beslutningsfunktionen

( ) ( )( )g k max 0, z k h= − (4.1)

hvor z(k) er lig med aktivitetsindeksen ved sample k og h er lig med den tærskel, der udløser en

brunst detektering. Hvis g(k) er større end 0, er der konstateret et brunsttilfælde.

Ved nærmere granskning af Figur 4.3 og Figur 4.4 kan det dog ses, at en så primitiv

brunstdetektor, ville kun kunne detektere en brøkdel af de aktuelle brunsttilfælde. Der vil derfor

være brug for en mere indgående undersøgelse af aktivitetsdataene, for at kunne konstruere en

brunstdetektor, der har en tilfredsstillende detekteringsrate. Den delkonklusion der drages udfra de

plottede aktivitetsindeks er alligevel, at aktivitetsindeksen er relevant at undersøge nærmere med

henblik på anvendelse til brunstdetektering.

Figurer som viser aktivitetsindeksen hos køer, som i projektet kategoriseres som værende

normale samt de køer som har været i brunst i perioden, kan ses i Bilag A, s. 139.

4.4 Delkonklusion

Der er foretaget indledende undersøgelser af diverse data fra KFC’s database med henblik på

identificering af tydelige afvigelser på anledning af brunst. Undersøgelser af foder og malke data

viser at der umiddelbart ikke er tydelige brunstsignaturer i dataene. Undersøgelser af IceTag

dataene viser både en markant afvigelse i data og en ikke tydelig ændring i dataene for de to

insemineringstilfælde. Disse to insemineringstilfælde er de eneste til rådighed i IceTag dataene,

og sætter derfor begrænsninger for de konklusioner som ønskes draget af data undersøgelsen.

Hvad angår undersøgelser af aktivitetsdata(DeLaval) viser det sig at der forekommer flere tilfælde

af tydelig forøgelse i dataene grundet brunst. Der eksisterer også data for mange køer over en

forholdsvis langt måleperiode, og giver derfor mulighed for mere generaliserede konklusioner end

ved anvendelsen af IceTags dataene. Det er derfor valgt at tage udgangspunkt i anvendelsen af

aktivitetsdataene til brunst detektering. Nærmere undersøgelser af aktivitetsdataene omhandles i

næste kapitel.


32


33

5 Aktivitetsdata undersøgelser I dette kapitel foretages indledende undersøgelser af køernes aktivitetsdata fået fra DeLaval’s

aktivitetssensorer. De indledende undersøgelser har bl.a. til formål at belyse dataenes egenskaber

med henblik på anvendelse i Change Detection algoritmer som er beskrevet i kapitel 6. I kapitlets

første afsnit ses der på gennemsnitsaktivitet for de 17 normale køer. Gennemsnitsaktiviteten tyder

på en døgnrytme for køernes aktivitet, og er dette derfor undersøgt nærmere i kapitlets andet

afsnit. I kapitlets tredje og sidste afsnit er der foretaget en filtrering af aktivitetsdataene og de

efterfølgende undersøgt for statistiske egenskaber som ligger til grundlag for en Change Detection

algoritme.

Equation Section (Next)

5.1 Gennemsnitskoen

Som det fremgår af Tabel 2.1, s. 16, er en af de indikatorer for ændring i koens adfærd under

brunst, forøget aktivitet. Da netop aktiviteten er én af de indikatorer som kan hentes fra de

måledata, der beskrives i afsnit 3.1 er det nærtliggende, at undersøge hvordan evt. brunsttilfælde

udmønter sig i ændringer i de måledata, der er til rådighed over køernes aktivitet. Som det fremgår

af afsnit 3.1 består måledata for koens aktivitet af, et aktivitetsindeks som et gennemsnit over

koens aktivitet i løbet af hver time.

For at undersøge evt. sammenhæng mellem koens aktivitet og det at den er i brunst, laves

forskellige plots over køernes aktivitetsniveau. Figur 5.1 viser gennemsnitsværdien af 17 køers

aktivitetsindeks per time i døgnet under normale forhold (lyseblå linie). På figuren vises ligeledes

hhv. den højeste og laveste aktivitet, der er forekommet hos de 17 køer over den betragtede

periode, for hver time, samt trends for hhv. øvre grænse for 95 % og 5 % af målingerne.

0 6 12 18 240

102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240250260

Gennemsnitsaktivitet over ét døgn for 17 køer

Timer i døgnet

Aktiv

itets

inde

ks

Højeste måling for hver time

Øvre grænse for 95% af målinger

Gennemsnitsaktivitet

Øvre grænse for 5% af målinger

Laveste måling for hver time

Figur 5.1 Gennemsnitsværdien af 17 køers aktivitetsindeks per time i døgnet under normale forhold samt højeste og

laveste måling for hver time, over den betragtede periode, såvel som en trends for hhv. øvre grænse for 95 % og 5 % af målingerne.


34

Figur 5.1 viser, at der er indikationer på, at køernes aktivitet er mindre om natten end om dagen.

Figuren viser også at der er store udsving i aktiviteten for hver time og at 95 % af aktiviteten ligger

indenfor et relativt stort område. Dette tyder på, at køernes aktivitetsniveau er meget forskelligt.

De indikationer, der på Figur 5.1 vises, om at køerne er mere aktive om natten, end om dagen

giver et fingerpeg om at der evt. er nogle faste rytmer i køernes aktivitet, som f.eks. en døgnrytme.

Dette giver derfor en anledning til en undersøgelse af faste perioder i aktiviteten, som beskrives i

det næste afsnit.

5.2 Døgnrytme

Idet det er blevet konstateret, under afsnit 5.1, at indikationer på døgnrytme findes i

aktivitetsdataene, undersøges dataene nærmere med henblik på at identificere evt. faste mønstre

i aktiviteten. De evt. faste mønstre i køernes aktivitet undersøges vha. hhv.

autokovariansfunktionen i tidsdomæne og effektspektrum i frekvensdomæne. Er der nogle faste

mønstre, der bliver identificeret, er det passende, at se på om køernes aktivitet, under brunst,

afviger fra de identificerede mønstre.

Autokovariansfunktionen viser hvordan signalet fratrukket dets middelværdi korrelerer ved

forskellige tidsmæssige forskydninger af signalet i forhold til sig selv, hvor forskydningen betegnes

med τ. Denne korrelation belyser derfor om der er periodiske træk i signalet.

Autokovariansfunktionen for signalet X er defineret som følger (Kilde 3, side 80

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }XX 1 2 1 x 1 2 x 2C t ,t E X t m t X t m t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.1)

hvor E er forventningsværdien, X(t) er data til tiden t og mx er dataenes middelværdi til tiden t.

Hvilket, for en stationær proces bliver

( ) ( ) ( ){ }XX x xC E X t m X t m⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ = − + τ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.2)

hvor τ er lig med t2-t1, og omtales ofte som lag og mx er processens tidsinvariante middelværdi.

Undersøgelser af køernes aktivitetsdata har vist at aktivitetsdataenes tæthedsfunktioner ikke er

tidsinvariante og kan derfor ikke kategoriseres som værende en stationær proces. Denne

undersøgelse er omhandlet i Bilag B. En konsekvens af dette er at aktivitetsdataenes beregnede

autokovariansfunktion Cxx er tidsvariant, dvs. afhænger både af lag τ og tid t. På trods af at

efterfølgende analyse tager udgangspunkt i at processen der skal analyseres er stationær og

tidsinvariant som ligning (5.2) angiver, kan den med fordel anvendes da den alligevel belyser

periodiske egenskaber i signalet.

Aktivitetsdataenes estimerede autokovarians findes ved beregning af det følgende matematiske

udtryk


35

( ) ( )n

XX x xi 1

1C ( ) X(i) X(i )ˆ ˆn

−τ

=

τ = − µ + τ −µ− τ∑ (5.3)

hvor n er lig med antal aktivitetsdata for den pågældende ko, og xµ er en empirisk estimeret

middelværdi for datarækken givet ved

n

x ii 1

1 Xˆn =

µ = ∑ (5.4)

hvor Xi er det i’te element i datarækken X og n er lig antal dataelementer i rækken.

For hver af køerne eksisterer der omkring 4000 aktivitetsværdier (n ≈ 4000), der beskriver køernes

adfærd og det er disse data som anvendes som grundlag for beregningerne. Ved stigende lag tal τ

bruger autokovariansberegningen færre dataelementer i beregningen og som en konsekvens af

dette bliver estimeringen af autokovariansfunktionen ringere ved høje lag tal. Som

tommelfingerregel kan kun de første 5-10 % af beregningerne anses for værende statistisk

pålidelige (Kilde 6, side 730 , forstået på den måde at kun beregninger for lag i intervallet 0 ≤ lag ≤ 0.1*n

kan anvendes med sikkerhed. Konsekvensen af dette vil blive at autokovariansfunktionens

beregninger for lag værdier større end 400 skal tages med forbehold. Autokovariansfunktionen er

beregnet og plottet som funktion af τ for samtlige normale køer. I Figur 5.2 er det valgt at vise

autokovariansplot for to af køerne.

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.200

-0.091

0.018

0.127

0.236

0.345

0.455

0.564

0.673

0.782

0.891

1.000

Autokovarians, ko nr. 358

Lag

C_h

at(L

ag)

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.200

-0.091

0.018

0.127

0.236

0.345

0.455

0.564

0.673

0.782

0.891

1.000


Lag

C_h

at(L

ag)

Figur 5.2 Figuren viser den estimerede autokovariansfunktion for aktivitetsdata for to køer. Plottets lodrette akse er

normeret med autokovariansfunktionens værdi i lag 0, der hvor signalet korrelerer bedst.

Autokovariansfunktionen viser en klar og tydelige døgnrytme hos samtlige normale køer. Udover

døgnrytme forekommer der også, for nogle af køerne, periodiske træk med mindre perioder en 24

timer.

En anden måde for at analysere periodiske egenskaber af et signal er at anvende

spektrumanalyse i frekvensdomæne der viser effektindhold for frekvenserne der udgør signalet.


36

Det er derfor foretaget en frekvensanalyse og et frekvensspektrum er estimeret for signalet.

Estimeringen er lavet vha. ”spa” funktionen i Matlab eftersom denne også kan angive

konfidensintervaller for estimeringen. ”spa” funktionen beregner frekvensindholdet ved først at

beregne signalets autokorrelationsfunktion, og derefter at gange autokorrelationsfunktionen med

et Hamming vindue hvorefter resultatet Fourier transformeres vha. den diskrete Fourier

transformation.

Autokorrelationsfunktionen beregnes ved Matlab kommandoen ”covf” (Kilde 7 som implementerer

følgende beregning:

n

XXi 1

1R ( ) X(i)X(i )n

−τ

=

τ = + τ− τ∑ (5.5)

Resultaterne ganges derefter med en Hamming vindue af størrelsen M. Hamming vinduet er

typisk defineret ved (Kilde 7:

2 i0.54 0.46cos , hvis 0 i M

w(i) M0 , ellers

⎧ π⎛ ⎞− ≤ ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪⎩

(5.6)

og er plottet på Figur 5.3

Figur 5.3 En graf der viser et Hamming vindue af størrelsen M = 40.

Til sidst Fouriertransformeres resultaterne vha. den diskrete Fourier transform, som faktisk er

implementeret vha. FFT (Fast Fourier Transform) algoritmen i Matlab.

Ved anvendelsen af ”spa” funktionen i Matlab skal størrelsen af Hamming vinduet angives.

Analysen er foretaget med størrelsen M lige med datalængden for de data der ønskes analyseret,

da dette giver mulighed for forholdsvis spidse ”peaks” i frekvensspektret, skulle de forekomme.

Dette valg vil til gengæld resultere i en mere usikker estimering, men eftersom

konfidensintervallerne også er estimeret vurderes dette valg værende acceptabelt.


37

På Figur 5.4 vises et frekvensspektrum for hhv. ko 358 som er kategoriseret som værende normal

og ko 1246 som tilhører kategorien for inseminerede køer. På plottet er 99 % konfidensintervaller

(ud fra normalfordeling) (Kilde 2, side 1088 også vist som røde stiplede linier.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

5

Frekvens [Hz]

Effe

kt

Effektspektrum for ko nr.358

←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

5

Frekvens [Hz]E

ffekt


←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

Figur 5.4 Effektspektrum (sort linie) for ko 358 som er kategoriseret normal, og ko 1246 som er insemineret flere gange over

måleperioden. Frekvensestimatets konfidensinterval er plottet med den røde stiplede linie.

Som det fremgår af de to ovenstående figurer er det højeste effektindhold ved f ≈ 11,6 µHz hvilket

beregnet i antal timer h, bliver

1 1T[h] 24[h]3600f 3600 11,6

= = =⋅ µ

På Figur 5.4 vises periodetiden på timebasis ligeledes for de øvrige relevante frekvensindhold.

5.3 Filtrering

Eftersom det er blevet eftervist at rådataene for samtlige køer er præget af periodiske udsving, der

iblandt en døgnrytme laves et forsøg på at udkompensere døgnrytmen ved, at beregne 24 timers

gennemsnit for køernes aktivitetsdata. Gennemsnittet er beregnet hver time, et døgn bagud i tid,

og virker derfor som filtrering af alle periodiske udsving i dataene med en periode på 24 timer eller

mindre.

Det estimerede 24 timers gennemsnit for aktivitetsdataene til tiden k blev beregnet på følgende

måde.

( )k

24

i k 23

1avg k z(i)24

= −

= ∑ hvor k 24 n= K (5.7)

hvor n er lig med antal datasamples for den pågældende kos aktivitetsindeks.


38

Behandling af NaN’s ved beregning af avg24(k) Som beskrevet i afsnit 3.3 optræder der ind imellem ugyldige eller manglende data som optræder

som NaN's. Eftersom det 24 timers gennemsnit ikke kan beregnes uden en betydelig usikkerhed

hvis én eller flere af dataene i den pågældende gennemsnitsberegning består af et NaN,

returnerer gennemsnitsberegningen et NaN, i sådanne tilfælde. Dette indebærer, at der vil mangle

24 sampler af data, hvis der optræder, et NaN, i datarækken. Sammenhængen mellem antal

returnerede NaN's i beregningen og antal optrædende NaN's i datarækken, med mindre end 24

timer mellem hver NaN, kan beskrives på følgende måde.

24avg NaNsn l j 24= − + (5.8)

hvor j er lig med samplenummeret på det første NaN, l er lig med samplenummeret på det sidste

NaN i en række af NaN's, hvor den største afstand mellem to NaN's ved siden af hinanden ikke

overstiger 24 sampler.

I uheldige tilfælde, kan det være forholdsvis mange data der mangler i avg24(k) rækken, ved denne

metode. Men da der kan være en del usikkerhed forbundet med, at beregne et gennemsnit udfra

kun 24 observationer, når værdien af én eller flere observationer er ukendt, vælges der alligevel,

at anvende denne fremgangsmåde.

Plot af avg24(k) På Figur 5.5 og Figur 5.6 vises plot af avg24(k) over den periode, hvor måledata er til rådighed, for

hhv. en ko som betegnes som en normal ko samt en ko som har været i brunst i perioden.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20

40

60

80

100My_24, ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006

Akt

ivite

tsin

deks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20

40

60

80

100

Akt

ivite

tsin

deks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20

40

60

80

100

Tid (dato)

Akt

ivite

tsin

deks

Figur 5.5 Et 24 timers aktivitetsgennemsnit, for ko nr. 358. Skalaen på x-aksen viser den periode aktivitetsgennemsnittet er

plottet over, som datoer, og der er en uge mellem de lodrette streger.


39

Læg mærke til en spids i dataene mellem den 27.9 og 4.10 på Figur 5.5. Forklaringen til spidsen

er ukendt, der er ikke blevet insemineret og derfor antages denne ikke at tilhøre et evt.

brunsttilfælde.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20

40

60

80

100My_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

Akt

ivite

tsin

deks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20

40

60

80

100

Akt

ivite

tsin

deks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20

40

60

80

100

Tid (dato)

Akt

ivite

tsin

deks

Figur 5.6 Et 24 timers aktivitetsgennemsnit, for ko nr. 1246. Tidspunkter for de konstaterede brunsttilfælde vises med

lodrette stiplede lyserøde linier.

Som det fremgår af de to ovenstående figurer, bliver dataene mere udglattede end rådataene, idet

de gennemgår en filtrering, i form af det 24 timers gennemsnit. På Figur 5.6 kan det ses, at

brunsttilfældene ligeledes fremstår tydeligere, når datasignalet har gennemgået en filtrering.

Figurer af avg24(k) for de normale køer, samt de køer som har haft brunsttilfælde i den plottede

periode, kan ses i Bilag C.

Undersøgelser af data

Efterfølgende er der foretaget undersøgelser af dataene hvad angår statistiske tæthedsfunktioner

og periodiske træk vha. hhv. autokorrelation i tidsdomænet og frekvensspektrum i

frekvensdomænet.

For hver af køerne eksisterer der omkring 4000 aktivitetsværdier, der beskriver normal adfærd for

den pågældende ko. Det antal aktivitetsværdier vurderes værende tilstrækkeligt for estimering af

om dataene tilhører en bestemt tæthedsfunktion. Der plottes normerede histogrammer af

aktivitetsdataene for de 17 normale køer. Normeringen tager udgangspunkt i at arealet af alle

søjler lagt sammen er lige 1, svarende til at arealet under tæthedsfunktionen er lige 1.

Normeringen foretages således at forholdene mellem de enkelte søjler holdes konstante i forhold

til forholdene før normeringen. På Figur 5.7 vises histogrammerne hvorpå der også er tegnet en

normalfordeling med dataenes estimerede gennemsnit 0µ og estimeret varians 0σ .


40

10 15 20 25 30 35 40 450.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09Ko 1260, my = 24.3, sigma = 4.82

15 20 25 30 35 40 45 50 550.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Ko 1271, my = 31.7, sigma = 7.45

10 20 30 40 50 60 70 800.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Ko 1267, my = 26.5, sigma = 7.27

20 25 30 35 40 45 50 55 600.000.010.020.030.040.050.060.070.08Ko 168, my = 42.3, sigma = 6.13

20 25 30 35 40 45 50 55 600.000.010.020.030.040.050.060.070.08Ko 174, my = 36.8, sigma = 5.64

0 5 10 15 20 25 300.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Ko 180, my = 15.9, sigma = 2.58

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10Ko 181, my = 36.8, sigma = 6.43

10 15 20 25 30 35 40 450.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10Ko 189, my = 31.2, sigma = 4.17

5 10 15 20 25 300.000.020.040.060.080.100.120.140.16Ko 223, my = 14.2, sigma = 3.13

0 5 10 15 200.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30Ko 249, my = 9.46, sigma = 2.13

30 40 50 60 70 80 900.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050

Ko 315, my = 58.3, sigma = 9.06

25 30 35 40 45 50 55 60 650.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09Ko 356, my = 41.7, sigma = 4.74

20 30 40 50 60 70 800.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09Ko 358, my = 46.6, sigma = 5.81

30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Ko 362, my = 73.4, sigma = 10.4

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 650.000.010.020.030.040.050.060.070.08

Ko 383, my = 33, sigma = 6.64

3 4 5 6 7 8 9 10 110.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50Ko 404, my = 6.22, sigma = 1.06

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 650.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Ko 479, my = 28, sigma = 8.85

Figur 5.7 Histogrammer for de 17 normale køer, avg24.

I hvert histogram er der også plottet en normalfordelt tæthedsfunktion med estimeret middelværdi

og varians beregnet for dataene for den pågældende ko. Læg mærke til at histogrammernes

horisontale akse varierer i værdier fra plot til plot.

Histogrammerne synes fleste at tilnærme sig normalfordelinger i rimelig grad. Nogle af køerne har

dog en topuklet histogram. Disse topuklede histogrammer er mere udtryk for en ændring i

middelværdien end at dataene ikke er normalfordelte, hvilket delvis kan bekræftes ved, at kigge på

de plot, der vises i Bilag C.

Figur 5.8 viser plot af autokovarians for køer nr. 358 og 1246.

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Autokovarians, ko nr. 358, 24 timers gennemsnit

Lag

Cxx

_hat

(Lag

)

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Autokovarians, ko nr. 1246, 24 timers gennemsnit

Lag

Cxx

_hat

(Lag

)

Figur 5.8 Autokovarians af avg24 data. Til venstre vises autokovarians for ko nr. 358 og til højre vises autokovarians for ko

nr. 1246. Opløsningen på lag aksen er 1 døgn per grid. Konfidensintervaller vises med vandrette streger.


41

Af figuren fremgår det at de 24 timers variationer i er forsvundet.

Tilsvarende undersøgelser er lavet i frekvensdomæne, hvor frekvensspektret er fundet ved de

metoder som er beskrevet i afsnit 5.2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

5

Frekvens [Hz]

Effe

kt

Effektspektrum for ko nr. 358

←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

5

Frekvens [Hz]

Effe

kt


←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

Figur 5.9 Frekvensspektrum for 24 timers gennemsnitsdata for normal ko nr. 358 og en insemineret ko nr. 1246. På figuren

er der indført pile og periodetid T i antal timer [h], for enkelte frekvenser.

Det konkluderes af frekvensspektret at døgnvariationen samt variationer med mindre periodetid er

blevet elimineret ved midlingen.


42


43

6 Change Detection Det foreliggende kapitel omhandler Change Detection algoritmer som er udviklet med henblik på

anvendelse i stokastiske systemer, m.a.o. systemer hvori der indgår støjprægede målinger. Det er

fremgået af de forudgående afsnit at aktivitetsdataene vurderes til en vis grad værende stokastisk

præget. Det er derfor af interesse at undersøge anvendelsen af Change Detection algoritmerne på

aktivitetsdataene, med henblik på brunst detektering. I dette kapitel omhandles teori og udvikling

af Change Detection algoritmer og tilhørende signalbehandling. Kapitlets indehold og struktur

fremgår af Figur 6.1. Det anbefales læseren at have rapportens sidste side udfoldet ved læsning

af kapitlet da det giver overblik ved læsningen.

Figur 6.1 Oversigtsdiagram som viser strukturen i kapitel 6.



44

I kapitlets første afsnit er der en generel introduktion til Change Detection algoritmer og deres

anvendelse. I det efterfølgende afsnit beskrives succeskriterier for brunstdetekteringen samt

hvordan dataene for de inseminerede køer kategoriseres i hhv. data der beskriver normal adfærd

og data der beskriver brunst adfærd. Afsnit 6.3 til 6.6 omhandler fire Change Detection algoritmer,

dvs. en CUSUM til detektering af en bestemt ændring i middelværdi, en GLR til detektering af en

ukendt ændring i middelværdi, en CUSUM til detektering af en dynamisk profil og en GLR til

detektering af en dynamisk profil af en ukendt amplitude. Kapitlet afsluttes med en opsummering

af de opnåede resultater fra kapitlets underafsnit efterfulgt af en delkonklusion.

6.1 Generel introduktion

Change Detection algoritmer er ofte anvendt til fejldetektering i fysiske systemer/anlæg hvori der

indgår støjprægede målinger af systemets fysiske variable. Udfra systemets beskrivende ligninger

er der fundet frem til residualsignaler som giver udslag i tilfælde af bestemte fejl i systemet. Fejlen

fremkommer typisk i form af en ændring af residualets middelværdi eller varians, eller i form af en

bestemt profil som fremkommer i residualet. Residualerne er ofte præget af støj som hidrører fra

mere eller mindre støjprægede målinger i systemet og det kan derfor være vanskeligt at detektere

en forholdsvis lille ændring i residualet med en tærskel detektor, grundet støjen. Derfor kan det

være hensigtsmæssigt at anvende en statistisk test baseret på log-likelihood ratio, som er det

algoritmerne er baseret på. Den statistiske test er en hypotesetest hvor der til hver hypotese

tilhører en bestemt tæthedsfunktion for residualsignalet. I dette kapitel anvendes algoritmerne på

de aktivitetsdata der er til rådighed, samt kompenserede udgaver af dataene. Hypoteserne er

derfor en hypotese om køernes normale adfærd, samt en hypotese om køernes brunstadfærd.

6.2 Succeskriterier og kategorisering af aktivitetsdata

Før selve udviklingen af Change Detector algoritmerne beskrives skal to grundlæggende faktorer

fastlægges. Disse er hhv. hvilke succeskriterier defineres i forbindelse med sammenligning af de

udviklede brunstdetektorer samt hvordan dataene for de inseminerede køer deles i to kategorier,

nemlig data der beskriver den normaladfærd og data der beskriver brunstadfærden.

Succeskriterier For at danne et overblik over Change Detector algoritmernes pålidelighed beskrives resultater fra

tests udført på de 12 inseminerede køer ved de udviklede brunstdetektor. De to primære

succeskriterier er hhv. at detektoren fanger brunsttilfældene når de forekommer og at undgå falske

detekteringer. Det tredje succeskriterium er at fange brunsttilfælde tidligt i brunstfasen. I det

efterfølgende er disse mål for detekteringens succes omhandlet.

1. Succesfulde detekteringer

Forholdet mellem antal succesfulde detekteringer og antallet af estimerede brunsttilfælde,


45

herefter benævnt succes-ratio og betegnet Sratio, findes for de 12 inseminerede køer.

ratioAntal succesfulde detekteringerSAntal estimerede brunsttilfælde

=

Som det også er blevet omtalt i kapitel 3.1 så eksisterer der insemineringsdata som er en

bekræftelse af at koen har været i brunst, samt registrerede observationer som tyder på at

koen er i brunst. Det er sådan i praksis at køernes brunsttilfælde ikke altid fanges af staldens

personale på trods af tydelige ændringer i aktivitet og derfor også et udslag i aktivitetsdataene.

Konsekvensen af dette er at insemineringsdataene og registrerede observationer, alene ikke

kan anvendes som en ren facitliste eftersom der kunne være flere tydelige brunsttilfælde som

ikke resulterede i inseminering eller registreret observation. Et eksempel på dette er ko 1246

som har med meget stor sandsynlighed været 9 gange i brunst i løbet af dataperioden, med

ret tydelige brunstsymptomer i alle af de 9 brunsttilfældene, se Figur 5.6, s. 39. Der er

registreret nogle observationer ved 8 af disse tilfælde og kun foretaget 4 insemineringer ud af

de 9 brunst tilfælde. Der fremgår dog tydeligt i aktivitetsdataene for ko 1246 at der 9 gange

forekommer en klar forøgelse i aktivitet med omkring 21 dages mellemrum. Derfor estimeres

alle de 9 tilfælde til at være brunsttilfælde. Dvs. staldens personale har umiddelbart gået glip

af et enkelt brunsttilfælde og vurderet at der kun var grund til inseminering i 4 af de 8

observerede tilfælde. Der er derfor valgt at forholde antal succesfulde detekteringer imod antal

estimerede brunsttilfælde i stedet for foretagne insemineringer og registrerede observationer.

Estimeringen er udført manuelt for hver ko og tager udgangspunkt i at der skal være tydelige

tegn på brunst i dataene og at disse tydelige tegn skal passe med brunstperioden på ca. 21

dage. Dertil kommer de tilfælde, hvor der er foretaget insemineringer, selvom der ikke er tegn

at spore i aktiviteten.

2. Falske detekteringer

Antallet af falske detekteringer i dataperioden er af stor betydning, da det er omkostningsfuldt

for gården at tilkalde inseminøren og ønskes ikke gjort unødigt. Der er også her taget

udgangspunkt i den manuelle estimering af brunsttilfælde som beskrevet ovenfor. Der findes

et forhold mellem antal samples og falske detekteringer, herefter benævnt FRatio, for de 12

inseminerede køer.

ratioSampleF

Antal falske detekteringer=

3. Detekteringstidspunkt

Et entydigt mål for hvilken af de forskellige detekteringsmetoder detekterer hurtigst, er dato og

klokkeslæt for detekteringen. Derfor findes detekteringstidspunkt og dato for hver eneste

detektering af de estimerede brunsttilfælde for hver ko. Detekteringstiden for et enkelt


46

brunsttilfælde defineres som den tid, der går fra en reference for hvert brunsttilfælde til

brunsten detekteres. Denne reference er fundet ud fra maksimal aktivitet omkring et estimeret

brunsttilfælde og er beskrevet nærmere i efterfølgende beskrivelse af kategoriseringen.

Referencetidspunktet vises altid som en lyserød lodret stiplet linie i rapportens diverse plot.

Detekteringstiden bruges hovedsageligt som sammenligningsgrundlag for sammenligning af

de forskellige typer af detektorer og er angivet det_tid.

Kategorisering Inden en opdeling af aktivitetsdataene i hhv. data, der repræsenterer normal adfærd og data der

repræsenterer brunstadfærd foretages, skal der tages stilling til hvad det er, der adskiller de

pågældende data. For brunstdataene gælder det, at der skal udtages et vist antal timer for hvert

brunsttilfælde, der viser aktiviteten under det pågældende brunsttilfælde. Der skal derfor tages

stilling til to parametre for udtagelse af data for brunsttilfældene, dvs. hhv. hvor mange timers

aktivitet skal udtages for hvert brunsttilfælde og hvordan det nøjagtige udtagelsestidspunkt skal

findes. Med udtagelsestidspunkt menes, de elementer i aktivitetsdataene hvor brunstdataene for

det enkelte brunsttilfælde ligger.

Som det fremgår af kapitel 2, kan et brunsttilfælde vare fra 3 timer til ét døgn, men varer i

gennemsnit 18 timer. Udtages for få timer er der mulighed for at noget af de data, der tilhører

brunsten ikke bliver taget med og der derfor ikke gives et helt rigtigt billede af brunsten. En

tilhørende konsekvens er at noget af brunstdataene kategoriseres som normaldata og derved

fordrejer det billede som gives af normaldataene. I tilfælde af at der udtages for mange timer, vil

noget af normaldataene fordreje brunstbilledet.

Udtagelsestidspunktet findes på en semi automatisk måde. Det findes ved at anvende datoer for

estimerede brunsttilfælde som et udgangspunkt for en automatisk beregningsfunktion. Den

automatiske beregningsfunktion finder den største aktivitetssum, af de antal timer der ønskes

udtaget, som ligger i nærheden af datoen for det estimerede brunsttilfælde. Bestemmelsen af

udtagelsestidspunktet kbrunst udtrykkes som

est.brunst est.brunst

mj2

brunst k d j k dmi j2

k argmax z(i)

+

− ≤ ≤ +

= −

= ∑ (6.1)

hvor z er lig med aktivitetsdata, m er antal timer, der skal udtages, kest.brunst er det sample hvor dato

for det estimerede brunsttilfælde ligger, d er udtryk for størrelsen af søgningsområdet.

Figur 6.2 viser de forskellige parametre der indgår i den ovenstående ligning under klassificering

mellem normal- og brunstdata ved rådata. Her er antal timer som skal udtages, m, valgt til 24

timer, d er ligeledes valgt til 24 timer.


47

Figur 6.2 Bestemmelse af udtagelsestidspunkt for klassificering af aktivitetsdata mellem normal og brunst. På den

horisontale akse er angivet datoer hver fjerde gang (f.eks. 30.4 og 1.5 ), ellers er der angivet klokkeslæt, enten 06,12 eller 18.

Den stiplede lyserøde linie er det beregnede udtagelses- eller referencetidspunkt for brunsten.

6.3 CUSUM – Ændring i middelværdi

I de følgende underafsnit er teorien for CUSUM testen, til detektering af en ændring i middelværdi,

omhandlet og design og resultater for CUSUM testen af aktivitetsdataene er beskrevet. Der er

udviklet CUSUM test for hver af de inseminerede køer og resultater er efterfølgende diskuteret. De

behandlede detektorer er som følger:

1. Test for ændring i middelværdi for data, midlet over 24 timer (som beskrevet under afsnit

5.3).

Denne detektor laves, idet filtreringen forventes, at formindske variansen i dataene, og

derved give en relativ sikker detektering.

2. Test for ændring i middelværdi for rådata.

Denne detektor laves, for at undersøge om der kan opnås en hurtig detektering på

råsignalet, uden nogen form for filtrering eller kompensering.

3. Test for ændring i middelværdi for rådata som er blevet kompenseret for middelværdi,

samt døgnrytme.

Denne detektor laves for at undersøge om der kan opnås en forbedring i detekteringen

ved, at udkompensere middelværdi og døgnrytme.


48

4. Test for ændring i middelværdi for logaritmisk transformeret rådata, som er blevet

kompenseret for middelværdi og døgnrytme, eftersom det forvæntes at være normalfordelt

6.3.1 Teori

CUSUM testen anvender en hypotese test for at detektere en ændring i enten middelværdi eller

varians i et signal. Til hver hypotese tilhører en tæthedsfunktion som typisk betegner hhv. den

”normale” tilstand, nulhypotesen H0 , og den anden som betegner en afvigende tilstand H1 .

Efterfølgende forklaring af teorien tager udgangspunkt i to hypoteser beskrevet ved normalfordelte

tæthedsfunktioner, som har samme varians σ2 men afviger i middelværdi µ. Tæthedsfunktionerne

er beskrevet ved

2

21 (z )p (z) exp

22µ⎛ ⎞− µ

= −⎜ ⎟⎜ ⎟σπσ ⎝ ⎠ (6.2)

På Figur 6.3, er de to tæthedsfunktioner tilhørende hhv. H0 og H1, plottet, med σ2 = 1 og hhv. µ = 0

og µ = 3.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Probabil ity Density Functions, Gaussian distrubution

z

Figur 6.3 Normalfordelte tæthedsfunktioner tilknyttet hhv. H0 og H1.

Til hvert datasample i signalet beregnes tæthedsfunktionen af z for H0 og H1. Log-likelihood

ligningen for en bestemt ændring i middelværdi beskrives ved:

( )( )( )( )( )

1

0

p z ks k ln

p z kµ

µ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.3)

Denne ligning giver størst resultat, når z(k) = µ1. Udtrykket er derfor i maksimum, ved en bestemt

ændring i middelværdi.

H0 H1


49

Summeringen af log-likelihood forholdet, udgør den cumulative sum S(k), og beskrives ved

følgende ligning (Kilde 1, side 240

k k

1

0i 1 i 1

p (z(i))S(k) s(z(i)) ln

p (z(i))µ

µ= =

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (6.4)

hvor k er det aktuelle samplenummer. Ved beregning af S(k) for normalfordelte data, kan ligning

(6.2) sættes ind i ligning (6.4) og summen bliver derved.

( )k k

1 0 1 02

i 1 i 1

S(k) s(z(i)) z i2= =

µ − µ µ + µ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

σ ⎝ ⎠∑ ∑ (6.5)

Udfra denne beregning ses at den cumulative sum vil udvikle sig i negativ retning så længe

dataene ligger ”tættere” ved H0 end H1. Ligeledes vil summen vokse så snart dataene tilnærmer

sig H1 mere end nulhypotesen.

Figur 6.4 viser et eksempel af en cumulative sum S(k) i tilfælde af data der tilhører H0 indtil tiden

1000 samples hvor dataene begynder at tilhøre H1 og den cumulative sum vokser.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-5000

-4500

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Cumalative Sum S(k)

Samples

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Cumalative Sum g(k)

Samples

Figur 6.4

Figuren til venstre viser den Cumulative sum fået fra ligning (6.5) i tilfælde af data der tilhører hypotese H0 indtil tiden 1000 samples, hvor dataene tilhører hypotesen H1. Figuren til højre viser resultatet af at anvende en rekursiv

form for CUSUM realiseret vha. ligning (6.6).

En anden måde at realisere CUSUM på er at kun se på voksende flanker i CUSUM signalet. Dette

er vist på Figur 6.4 til højre og er realiseret ved beslutningsfunktionen g(k) (Kilde 1, side 244.

g(k) max(0,g(k 1) s(z(k)))= − + (6.6)

Selve detekteringen af hypoteseskiftet tager udgangspunkt i at bestemme en grænse h, som g(k)

skal overskride.

Tages udgangspunkt i et normalfordelt inputsignal til CUSUM testen, kan gennemsnits

detekteringstid og gennemsnitstid mellem falske alarmer bestemmes udfra signalets estimerede

middelværdi og varians samt størrelsen af h grænsen. Dette er gjort ved beregning af en

approksimeret ARL (Average Run Length) funktion angivet ved følgende ligning(Kilde 1, side 245

Beslutningsfunktionen g(k) Cumulativ Sum S(k)


50

2

s s s s ss 2 2 2

s ss s s

h hL( ) exp 2 1.166 1 2 1.166

2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞µ µ µ µ σ⎜ ⎟⎜ ⎟µ = − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σσ σ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (6.7)

I ARL funktionen indsættes µs og σs i ligningen efter ønske om at bestemme

gennemsnitsdetekteringstid eller gennemsnitstid mellem falske alarmer. Ønskes der beregnet

gennemsnitsdetekteringstid τ beregnes:

2

1 02

( )ˆˆ L2

⎛ ⎞µ − µτ = ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠

(6.8)

og variansen σs2 bestemmes ved:

22 1 0s 2

( )µ −µσ =

σ (6.9)

Ønskes der beregnet gennemsnitstid mellem falske alarmer, T, beregnes:

2

1 02

( )ˆ ˆT L2

⎛ ⎞− µ −µ= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠

(6.10)

og variansen angivet ved ligning (6.9) anvendes.

6.3.2 24 timers gennemsnitsdata

Som et led i udviklingen af en brunstdetektor baseret på en CUSUM algoritme, er estimater af

dataenes 24 timers gennemsnit, som blev beskrevet under afsnit 5.3, undersøgt for at se evt.

udsving i avg24(k) under brunst.

Årsagen til, at der udvikles en brunstdetektor, der anvender avg24 data, er at CUSUM-signalet

forventes, at være mindre støjfyldt, idet variansen på det filtrerede signal, i sagens natur, er lavere,

end på råsignalet. Dette forventes, at give en relativ sikker brunstdetektering. Det kan dog

samtidigt forventes, at detekteringstiden bliver længere, end f.eks. for råsignalet, da det midlede

signal i hver sample er en midling over de 24 forudgående samples.

Kategorisering af aktivitetsdata Kategoriseringen af avg24 data i hhv. normal del og brunst del er foretaget ved brug af ligning (6.1)

, s. 46, hvor 24 sammenhængende værdier er trukket ud af dataene i et område omkring

brunstdagen.

Undersøgelser af data Eftersom brunst dagene er blevet separeret fra resten af datasættet er der dannet grundlag for

undersøgelser om dataene tilnærmer sig kendte tæthedsfunktioner fra litteraturen, både i normal

tilstand såvel som i brunst.


51

Tæthedsfunktionen for brunstdataene er, af flere grunde, ikke lige så identificerbar som

tæthedsfunktionen for normaldataene. En åbenlys faktor som begrænser estimeringens

pålidelighed er de få antal brunst data som eksisterer for hvert brunst tilfælde (24 datasamples per

brunst). Yderligere kan der forekomme data, i det separerede brunst data, der tilhører

normaldataene, eftersom brunstvarigheden kan være helt ned til 3 timer, hvor i sådanne tilfælde,

de resterende 21 timer derfor tilhører normal adfærd. Der er plottet flere histogrammer for de

inseminerede køer, hvor der plottes histogrammer af normal dagene i den øverste række i plottet

og histogrammer for brunstdagene separat for neden. Et eksempel er vist i Figur 6.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.020.040.060.080.100.120.140.160.18

Brunst nr. 1 my = 33.9 sigma = 2.84

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Brunst nr. 2 my = 35.3 sigma = 3.69

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.020.040.060.080.100.120.140.16


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.020.040.060.080.100.120.140.16

Brunst nr. 5 my = 39 sigma = 4.42

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30Brunst nr. 6 my = 38 sigma = 3.62

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.010.020.030.040.050.060.070.08


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


Figur 6.5 Histogrammer for ko 1246 ved avg24(k).

Figur 6.5 viser de 9 brunstdage plottet separat, samt en normalfordelt tæthedsfunktion med

brunstdataenes estimerede middelværdi og varians.

Som det kan ses på de fire plots i Figur 6.5’s øverste række, er de data som tilhører normal

adfærd tilnærmelsesvis normalfordelte. Om brunsttilfældene også er normalfordelte, eller tilhører

en anden fordeling, er svært, at afgøre med så få data. I det følgende antages både brunst- og

normaldataene, at være normalfordelte.

Det ses af Figur 6.5 at brunsttilfælde for ko 1246 kan meget sandsynligt fanges med en CUSUM

test, eftersom alle af dens brunst tilfælde medfører forøget aktivitet. Der er foretaget tilsvarende

undersøgelser for de resterende inseminerede køer og det vurderes sandsynligt for flere

brunsttilfælde at de kan fanges med en CUSUM detektor.


52

Design af CUSUM Eftersom de 24 timers gennemsnitsdata antages at være normalfordelte kan ligning (6.5), s. 49,

bruges som grundlag for beregningsalgoritmen i CUSUM detektoren for avg24(k) dataene. Log-

likelihood for ændring i middelværdi af avg24(k) kan derfor udtrykkes som:

( )( ) ( )1 0 1 024 242

ˆ ˆ ˆ ˆs avg k avg k

2ˆµ − µ µ + µ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟σ ⎝ ⎠

(6.11)

hvor 0µ og 1µ er middelværdi estimater for avg24 under hhv. normal adfærd og brunst. Der testes

for en kendt ændring i middelværdi ved uændret varians.

Beslutningsfunktionen er den samme som i ligning (6.6), s. 49, og kan derfor skrives som:

( ) ( ) ( )( )( )( )24g k max 0, g k 1 s avg k= − + (6.12)

I de tilfælde hvor avg24(k) består af et NaN sættes Log-likelihood, s(k) = 0, og bidrager derfor

hverken til en forøgelse, eller formindskelse af g(k). Denne fremgangsmåde bruges

gennemgående for de behandlede detektorer. Bestemmelsen af 0µ og 1µ foregår i første omgang

ved at beregne offline estimerede middelværdier for hhv. normaldataene og brunstdataene udfra

den dataklassificering som blev beskrevet tidligere i dette kapitel.

På den nedenfor viste figur vises et eksempel på CUSUM detektering, på avg24(k), for ko nr. 224.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300350400

CUSUM-avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300350400

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300350400

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.6 CUSUM detektering for ko nr. 224 i perioden 1.4-12.10 2006.

Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn stiplet linie.

Som det fremgår af Figur 6.6, er det kun det ene brunsttilfælde, der bliver detekteret, samtidigt

med at der er én falsk detektering. Det kan ligeledes konstateres, at det andet brunsttilfælde ikke


53

kan fanges hvis falsk detektering skal undgås, ved kun at justere på h. Samme problem præger

detekteringen for mange af de andre køer. De utilsigtede detekteringer skyldes en forøgelse i

aktivitetsindeksen af forskellig art, dvs. både lang og kortvarige forøgelser. En metode til at

reducere antallet af utilsigtede detekteringer, beskrives i det efterfølgende.

Rekursiv estimering En relevant foranstaltning hvad angår praktisk udførelse af detektoralgoritmen er en rekursiv

estimering af middelværdien µ0 og variansen σ2. En rekursiv estimering, er nødvendig, idet

middelværdien og variansen forventes, at variere over tid, se Bilag B. Der vil formentlig komme

perioder, hvor koen bevæger sig mindre fordi den er f.eks. plaget af sygdom og tilsvarende, kan

der komme en periode, hvor den bevæger sig mere som følge af evt. medicinering eller

kostændring. Man kunne også forestille sig, at både alder og årstider, havde indflydelse på

aktiviteten.

Estimeringen af middelværdien foregår ved ligningerne

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 01ˆ k ˆ k 1 z k ˆ k 1

T kµ = µ − + − µ − (6.13)

( ) ( )T k T k 1 1= λ − +

hvor λ er en forgetting faktor som typisk vælges i området 0.9 – 0.99. Startbetingelsen for T er 1.

Estimeringen vil kompensere for ændringer i middelværdien og ved en passende valgt λ vil

ændringer i middelværdien der sker over længere tid end ændringer forårsaget af forøget aktivitet i

forbindelse med brunst, formindske sandsynligheden for utilsigtede brunstdetekteringer. På Figur

6.7 vises avg24(k) samt µ0(k).


54

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.1019.100

10

20

30

40

50

Avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

Figur 6.7 avg24(k) for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af µ0 for avg24(k) ved λ = 0,99. avg24(k) vises med blå linie mens det rekursiv estimat vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden, vises med

lyserøde stiplede linier

Som det fremgår af figuren følger det estimerede middelværdi, ændringer i signalets middelværdi,

uden at kunne følge med den hurtigt voksende middelværdi under brunst. Dette forventes at

reducere antallet af utilsigtede brunstdetekteringer.

Af samme årsager er det ligeledes relevant, at indføre en rekursiv estimering af signalets varians.

Rekursiv estimering af variansen foregår ved den følgende ligning

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 20

1ˆ k ˆ k 1 z k ˆ k ˆ k 1T k

⎛ ⎞σ = σ − + − µ − σ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.14)

( ) ( )T k T k 1 1= λ − +

På Figur 6.8 vises avg24(k) samt ( )2ˆ kσ for ko nr. 224.


55

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

1020304050607080


5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

1020304050607080

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

1020304050607080

Tid (dato)

Figur 6.8 avg24(k) for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af σ2(k) for avg24(k) ved λ = 0,99. avg24(k) vises

med blå linie mens det rekursiv estimat af σ2(k) vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden, vises med lyserøde stiplede linier

Som det fremgår af figuren, bliver varians estimatet påvirket af den forøgede aktivitet, der

forekommer omkring de to brunsttilfælde. Eftersom variansen estimeres høj når brunsten

indtræffer (se i mellem den 29.4 og 6.5 på Figur 6.8) forvæntes beslutningsfunktionen g(k) at

vokse mindre, idet variansen indgår i log-likelihood ligningens tæller ( se ligning (6.11), s. 52).

Denne påvirkning har en negativ effekt på detekteringen og der ønskes derfor lavet

foranstaltninger, for at formindske brunstens indflydelse på variansestimeringen. Der er derfor

valgt at slukke for estimeringen, hvis et brunsttilfælde detekteres. Når den forøgede aktivitet, der

opstår i forbindelse med brunsten, forventes at være overstået, tændes for variansestimeringen

igen. Eftersom et brunsttilfælde først bliver detekteret, når den forøgede aktivitet har varet i nogle

timer, skal den estimerede varians, der anvendes i log-likelihood ligningen køre med en

forsinkelse, der mindst svarer til den højst forventede detekteringstid.

Figur 6.9 viser den forsinkelse Mdelay, som variansestimeringen bruger. På figuren vises ligeledes

den stopperiode Mstop, hvor variansestimeringen, bliver standset efter en detektering.


56

Figur 6.9 En illustration af de parametre, der indgår i forsinkelse og standsning af variansestimeringen. avg24(k) vises med blå linie mens det rekursiv estimat af σ2 vises med grøn linie. Det estimerede brunsttilfælde vises med lyserøde stiplede linier og en kunstig detektering vises med grøn stiplet linie. På den horisontale akse er angivet datoer

hver fjerde gang (f.eks. 30.4 og 1.5 ), ellers er der angivet klokkeslæt, enten 06,12 eller 18.

Mdelay vælges lig med 24 timer (samples), idet en brunst, højst forventes at vare i 24 timer og en

evt. brunstdetektering forventes derfor, at indtræde indenfor de 24 timer. Mstop vælges lig med 72

timer, idet en brunstdetektering kan indtræde tidligt i brunsten og standsningen, derfor skal vare

forsinkelsen plus den tid en forhøjet aktivitet i forbindelse med brunsten, varer.

En forsinket, variansestimering udtrykkes ved

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 2

delay 0 delay1ˆ k ˆ k 1 z k M ˆ k M ˆ k 1

T k⎛ ⎞σ = σ − + − − µ − − σ −⎜ ⎟⎝ ⎠

for k < kdetekt (6.15)

( ) ( )T k T k 1 1= λ − +

Efter hver brunstdetektering gælder

( ) ( )2 2det ekt det ekt stopˆ k ˆ k 1 for k k k Mσ = σ − ≤ ≤ + (6.16)

( ) ( )T k T k 1 1= λ − +

Hvis, der optræder NaN, i datavektoren z, holdes estimeringen konstant for både µ0 og σ2, for det

pågældende sample.

CUSUM for avg24(k) med rekursiv estimering af µ0 og σ2 Som følge af at µ0 og σ0 estimeres rekursivt, bliver log-likelihood ligningen for avg24(k)


57

( )( ) ( )( )

( ) ( )1 0 1 024 242

ˆ ˆ k ˆ ˆ ks avg k avg k

2ˆ k

⎛ ⎞µ − µ µ − µ= −⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠

(6.17)

Beslutningsfunktionen for g(k) er den samme som før, dvs.

( ) ( ) ( )( )( )( )24g k max 0, g k 1 s avg k= − + (6.18)

Resultatet af en CUSUM test for avg24(k) for ko nr. 224, hvor også rekursiv estimering af µ0 og σ0

for, avg24(k) data, anvendes, vises på Figur 6.10.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

500

1000

1500

2000CUSUM-avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

500

1000

1500

2000

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

500

1000

1500

2000

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.10 CUSUM detektering inklusiv rekursiv estimering af µ0 og σ for avg24(k) data, for ko nr. 224 i perioden 1.4-12.10 2006. λ = 0.99, h = 30. Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn

stiplet linie.

Brunstdetekteringen på Figur 6.10 er klart forbedret i forhold til den som vises på Figur 6.6, s. 52,

idet de utilsigtede brunstdetekteringer er reduceret fra 1 til 0, og begge brunsttilfælde detekteres.

På Figur 6.11 vises et plot af variansen for ko nr. 224, hvor det vises hvordan estimeringen

standses ved en detektering af brunst.


58

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

1020304050607080


5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

1020304050607080

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

1020304050607080

Tid (dato)

Figur 6.11 avg24(k) for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af µ0 og σ2 for avg24(k) ved λ = 0,99. avg24(k)

vises med blå linie mens det rekursiv estimat af µ0 vises med lysegrøn linie og σ2 vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden, vises med lyserøde stiplede linier og de konstaterede brunstdetekteringer

vises med grøn stiplet linie.

Ved at sammenligne Figur 6.11 med Figur 6.8, s. 55, kan det ses, hvordan den stigning, der

forekommer i variansestimeringen på Figur 6.8 omkring de to brunsttilfælde, er blevet meget

mindre på Figur 6.11. Når variansestimeringen alligevel stiger, specielt efter det brunsttilfælde der

detekteres den 2.5.2006, skyldes det, at middelværdiestimatet stiger på anledning af brunsten og

der derfor er en betydelig forskel mellem data og middelværdiestimatet, når variansestimeringen

startes igen.

Som et yderligere tjek, af denne brunstdetektor, udføres en brunstdetektering af avg24(k) for ko

1246. Beslutningsfunktionen for denne brunstdetektering vises på Figur 6.12.


59

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

500

1000

1500

2000CUSUM-avg_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

500

1000

1500

2000

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

500

1000

1500

2000

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.12 CUSUM detektering inklusiv rekursiv estimering af µ0 og σ for avg24(k) data, for ko nr. 1246 i perioden 1.4-12.10

2006. λ = 0.99. Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn stiplet linie. h = 30

Som det fremgår af Figur 6.12, detekteres alle de 9 brunsttilfælde, der indtræder, hos ko nr. 1246 i

perioden fra 1.4.2006 til 12.10.2006.

Resultater af brunstdetekteringens detekteringstid, lavet i henhold til beskrivelsen i afsnit 6.2, vises

i Tabel 6.1.

Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer

1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 09 – 1.5.2006 12 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 13 – 22.5.2006 8 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 02 – 12.6.2006 8 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 07 – 2.7.2006 1 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 21 – 22.7.2006 5 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 23 – 13.8.2006 0 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 21 – 31.8.2006 -1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 07 – 21.9.2006 8 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 20 – 10.10.2006 1 Gennemsnit: 4.66

Tabel 6.1 Detekteringstid for hvert enkelt brunsttilfælde for ko nr. 1246, fundet ud fra CUSUM 24 timers gennemsnitsdata.

For at få overblik over hvor godt denne brunstdetektor fungerer, blev brunstdetekteringen udført,

på samtlige, af de 12 køer, som under afsnit 3.2, blev kategoriseret som brunstkøer. Der er lavet

statistik over resultaterne med henblik på at belyse succesfulde detekteringer, falske detekteringer

og detekteringstid i forhold til referencetidspunkt for brunstene. h er manuelt bestemt således at et

rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske detekteringer opnås.


60

Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig

detekteringstid (timer) h

34 1/1 = 1 4681 0 – 15 42 224 2/2 = 1 4681 0 – -0.5 30 307 1/1 = 1 4681 0 – 10 100 334 6/7 = 0.86 4681 0 – 3.17 30 353 2/2 = 1 4273 1 4273 11.5 200 371 2/2 = 1 4681 1 4681 2.5 50 373 3/4 = 0.75 4681 2 2340.5 14.33 65 494 4/4 = 1 4681 0 – 3.25 30

1198 2/3 = 0.67 4681 3 1560.3 10.67 100 1246 9/9 = 1 4681 0 – 4.66 30 1253 3/4 = 0.75 4681 1 4681 21 120 244 3/3 = 1 4681 0 – 3.67 30

Tabel 6.2 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på 24 timers gennemsnitsdata for de 12 inseminerede køer.

Der er beregnet Sratio , Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede

køer.

ratio38S 0.9042

= = ratio55764F 6970[h]

8= = det_ tid 7.03[h]=

6.3.3 Rådata

En konsekvens af filtrering af rådata med et lavpas filter, som er gjort i det forrige afsnit er, foruden

delvist tab af dataoplysninger, også en sløvere dynamik i signalet. Derfor ønskes der afprøvet om

en CUSUM detektor som tester på rådata giver kortere detekterings tid uden at gå på kompromis

med pålideligheden, dvs. at holde antal succesfulde detekteringer og antal falske detekteringer på

et lignende niveau.

Kategorisering af aktivitetsdata Kategoriseringen af rådataene i hhv. normal del og brunst del er foretaget på tilsvarende måde

som i det forudgående afsnit, hvor formel (6.1) anvendes til at hive 24 sammenhængende værdier

ud af dataene i et område omkring den estimerede brunst.

Undersøgelser af data Der laves undersøgelser svarende til dem i det forudgående afsnit, hvor der undersøges for

hvilken type tæthedsfunktion kan beskrive dataene. Der er allerede i kapitel 5 undersøgt om

periodiske elementer eksisterer i rådata signalet vha. hhv. autokovarians i tidsdomænet og

frekvensspektrum i frekvensdomænet. De undersøgelser viste en klar døgnrytme for samtlige

normale køer, og flere periodiske træk af med højere frekvenser som varierede på individuelt plan.


61

Der plottes normerede histogrammer af aktivitetsdataene for de 17 normale køer. På Figur 6.13

vises histogrammerne hvorpå der også er tegnet en eksponentielfordeling med det estimerede

gennemsnit µ fået fra dataene.

0 20 40 60 80 100 120 1400.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Ko 1260, my = 24.3, sigma = 24.2

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045Ko 1271, my = 31.7, sigma = 30.8

0 20 40 60 80 1001201401601800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050Ko 1267, my = 26.5, sigma = 26.4

0 20 40 60 80 1001201401601800.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 168, my = 42.3, sigma = 33.4

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030Ko 174, my = 36.8, sigma = 30.4

0 20 40 60 80 100 1200.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Ko 180, my = 15.9, sigma = 15.3

0 20 40 60 80 1001201401601800.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 181, my = 36.8, sigma = 32

0 50 100 1500.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 189, my = 31.2, sigma = 24.6

0 20 40 60 80 100 120 1400.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

Ko 223, my = 14.2, sigma = 16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14Ko 249, my = 9.46, sigma = 10.4

0 50 100 150 200 2500.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 315, my = 58.4, sigma = 48.4

0 20 40 60 80 1001201401601800.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 356, my = 41.7, sigma = 37.5

0 20 40 60 80 1001201401601800.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 358, my = 46.7, sigma = 42.1

0 50 100 150 200 2500.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 362, my = 73.4, sigma = 63.9

0 20 40 60 80 1001201401601800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050

Ko 383, my = 33, sigma = 33.8

0 5 10 15 20 25 30 35 400.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Ko 404, my = 6.22, sigma = 6.22

0 20 40 60 80 1001201401601800.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030Ko 479, my = 28, sigma = 22

Figur 6.13 Histogrammer for de 17 normale køer, rådata.

Histogrammerne synes fleste at tilnærme sig eksponentielfordelinger i en rimelig grad. Derfor

udvikles der en CUSUM test, hvor en eksponentielfordelt tæthedsfunktion anvendes for nul

hypotesen.

Tæthedsfunktionen for brunstdataene er, som før ikke lige så identificerbar som

tæthedsfunktionen for normaldataene, grundet begrænsede datamængder og variationer i

brunstperiodernes varighed. Der er plottet flere histogrammer for de inseminerede køer, hvor der

plottes histogrammer af normal dagene i den øverste række og histogrammer for brunstdagene

separat for neden. Et eksempel er vist i Figur 6.14.


62

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10

Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10

Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10

Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10

Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050

Brunst nr. 8 my = 45.3 sigma = 24

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025


Figur 6.14 Histogrammer for ko 1246, rådata

I den øverste række vises histogrammer over normaldagene gentagende gange (4 gange af

samme plot) dette har illustrative formål da det gør det nemmere at sammenligne brunstdagene

med normaldagene. De 9 brunstdage er plottet separat for neden, samt en normalfordelt

tæthedsfunktion med brunstdataenes estimerede middelværdi og varians. Som det fremgår af

Figur 6.14, kan brunstdataenes ”normalhed” hverken bekræftes eller afkræftes ved at kigge på

plottet. Da fordeling i brunst står uklar er det som udgangspunkt valgt at anvende en normalfordelt

tæthedsfunktion til at beskrive brunstadfærden i CUSUM-testen.

Design af CUSUM I efterfølgende CUSUM-test antages normaldataene at være eksponentielt fordelte og

brunstdataene antages at være normalfordelte. Ligningerne for hhv. ( )0p zµ og ( )1

p zµ bliver derfor

hhv.

( )

00 0

1 zp z expµ

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟µ µ⎝ ⎠

og ( )( )1

11

2

21

z1p z exp22µ

⎛ ⎞− µ⎜ ⎟= −⎜ ⎟σπσ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.19)

På samme måde som i det forudgående afsnit erstattes µ0 med den rekursivt estimerede

middelværdi for aktivitetsindeksen under normale forhold, µ1 erstattes med den offline estimerede

middelværdi for aktivitetsindeksen under brunst og σ12 erstattes med den rekursivt estimerede

varians for aktivitetsindeksen, idet variansen forudsættes værende den samme under brunst. Log-

likelihood ligningen bliver derved


63

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

1

0

2ˆ 10

22 0ˆ

p z k z k ˆˆ k z ks z k ln ln

ˆ kp z k 2 ˆ k2 ˆ k

µ

µ

⎛ ⎞⎛ ⎞ − µµ⎜ ⎟⎜ ⎟= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ µσ⎜ ⎟πσ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6.20)

På Figur 6.15 vises et plot af aktivitetsindeksen for ko nr. 224, samt en rekursiv estimat af dens

middelværdi.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.1019.100

20

40

60

80

100

Aktivitetsindeks, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

Tid (dato)

Figur 6.15 Aktivitetsindeks, z(k), for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af µ0 for z(k) ved λ = 0,99. z(k) vises med rødbrun linie mens det rekursiv estimat vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden,

vises med lyserøde stiplede linier

Beslutningsfunktionen er den samme som i ligning (6.6), s. 49, og kan her derfor skrives som:

( ) ( ) ( )( )( )( )g k max 0, g k 1 s z k= − + (6.21)

På Figur 6.16 vises et eksempel på CUSUM detektering med rekursiv estimering af µ0, på rådata.

Her er der tale om samme ko som i tidligere viste eksempler for CUSUM på avg24(k), dvs. ko nr.

224.


64

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.602468

101214161820

CUSUM-rådata ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.802468

101214161820

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.1002468

101214161820

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.16 Beslutningsfunktionen for rådata inklusiv rekursiv estimering af µ0 for ko nr. 224 i perioden 1.4-12.10 2006. Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn stiplet linie. h = 7

Af Figur 6.16 fremgår det, at beslutningsfunktionen g(k) for rådata er meget støjfyldt og der opstår

problem med falske detekteringer, dvs. at det kun er det ene brunsttilfælde, der bliver detekteret,

samtidigt med at der er mange falske detekteringer. Det kan ligeledes konstateres, at det andet

brunsttilfælde ikke kan fanges uden at der opstår endnu flere falske detekteringer.

Korrigering for faste perioder i data I afsnit 5.2 blev det konstateret at rådataene er præget af periodiske udsving. Det kan forventes, at

afvigelserne i aktivitetsdataene hidrørende fra brunst fremkommer tydeligere hvis de periodiske

træk bliver fjernet fra signalet. For at undersøge hvilke frekvenser er relevante at fjerne fra

dataene er der foretaget en Least Squares estimering af de i signalet identificerede frekvenser (se

afsnit 5.2). Udfra Least Squares estimeringen laves F-test og beregning af forklaringsgraden for

således at grundlag for valg af frekvenser til udkompensering er dannet. Efterfølgende er der lavet

en rekursiv udkompensering af de mest relevante frekvenser, og en CUSUM-test, der arbejder på

det udkompenserede signal.

LS, Least Squares Metoden som bruges til estimering af den periodiske aktivitet, går ud på at betragte aktiviteten

som en regression model (Kilde 5 og derefter at estimere dens parametre vha. least squares

metoden. De faste rytmer/frekvenser i køernes aktivitet udtrykkes i modellen ved trigonometriske

funktioner. For både at kunne estimere fase og amplitude, repræsenteres hver frekvens af både

en sinus og en cosinus. Der drages nytte af det følgende forhold


65

( ) ( ) ( )A sin t Bcos t Ccos tω + ω = ω − ϕ (6.22)

hvor følgende sammenhæng gælder

2 2C A B= + og BtanA

ϕ = (6.23)

En måleværdi for aktivitetsindeksen for hver sample kan udtrykkes som:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 m m m my k A cos k B sin k A cos k B sin k k= µ + ω + ω ω + ω + εK (6.24)

hvor µ udgør aktivitetens middelværdi, ω1 til ωm betegner de rytmer/frekvenser, der ønskes

estimeret og ε(k) er det støjbidrag som udgør den del af signalet, der ikke kan forklares ved de

faste perioder og middelværdien.

Modellen bliver derved

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )

1 1 m m 11 1 m m 1

m1 1 m mm

1 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0y 0 0A1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 By 1 1

Ay N 1 1 cos N 1 sin N 1 cos N 1 sin N 1 N 1B

µ⎡ ⎤⎡ ⎤ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ε⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ − ε −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

LMM M M O M MM M

L

(6.25)

hvor N er antal dataelementer og skrives på vektor form (Kilde 4, side 177

= +Y Φθ ε (6.26)

antal estimerede parametre er:

n 2 m 1= ⋅ + (6.27)

hvor m svarer til det antal frekvenser, der ønskes estimeret.

Koefficienterne i θ findes vha. least squares metoden. Least squares metoden går ud på at

estimere θ med henblik på at minimere kostfunktionen (Kilde 4, side 180

( ) ( )N 1

2 TN

k 0

1 1J k2 2

−

=

θ = ε =∑ ε ε (6.28)

Den estimerede koefficientvektor θ findes ved (Kilde 4, side 181

( ) 1T Tˆ −=θ Φ Φ Φ Y (6.29)

Det residual som bruges til detekteringen kan derved findes som

ˆ= −ε Y Φθ (6.30)


66

De frekvenser der ønskes udkompenseret, vælges udfra de frekvensspektrum, der blev omhandlet

i afsnit 5.2. Ifølge frekvensspectret for ko nr. 358, som vises på Figur 5.4, s. 37, har frekvensen

med periodetid lig med 24 timer den største amplitude. Andre frekvenser med forholdsvis høj

amplitude har periodetider lig med 12, 6, 4.8 og 4 timer. Plot af frekvensspektret for de andre

normale køer, viser at der ligeledes er forholdsvis høj amplitude ved periodetid lig med 8 timer.

Der blev derfor foretaget en beregning af koefficienterne for trigonometriske funktioner der

indeholder frekvenser, svarende til de tidligere nævnte perioder, ved at lave et offline estimat af

disse parametre vha. least-squares metoden. Resultaterne fra offline estimeringen, kan ses i

Tabel 6.3.

m Am Bm ωm[rad/s] −⋅ 610 T[h]

1 - 16.21 - 13.31 73 24

2 0.09 - 12.33 146 12

3 1.33 0.26 218 8

4 - 7.65 7.90 290 6

5 - 6.59 - 5.30 364 4.8

6 5.34 1.07 436 4

Tabel 6.3 Offline least squares estimat for θ for ko nr. 358

Middelværdien blev estimeret til µ = 46.66. Figur 6.17 viser aktivitetsindeks samt ˆΦθ over en uges

periode for ko nr. 358.

20.5 06 12 18 21.5 06 12 18 22.5 06 12 18 23.5 06 12 18 24.5 06 12 18 25.5 06 12 18 26.5 06 12 18 27.50

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Aktivitet, ko nr. 358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006, akt. data: 1.4.2006-12.10.2006

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

Figur 6.17 Aktivitetsindeks, vist med rødbrun linie, samt ˆΦθ med offline kompensering af periodetider for 24, 12, 8, 6, 4.8 og

4 timer, vist med sort linie, for ko nr. 358


67

F-test Med henblik på, at undersøge signifikansen af, at udkompensere de foroven estimerede perioder,

udføres en F-test. F-testen udføres ved, at beregne kostfunktionen, se ligning (6.28), for de

forskellige antal estimerede parametre og efterfølgende, at teste signifikansen af tilføjelsen af hver

af de ovennævnte frekvenser, i modellen. Signifikansen findes ved en hypotesetest testet ved

brug af F-fordelingen.

For at undersøge indflydelsen af at udkompensere de forskellige frekvenser, beregnes

kostfunktionen, se ligning (6.28), ved de forskellige kompenseringer. Figur 6.18 viser

kostfunktionen for de forskellige frekvenser, for ko nr. 358.

Figur 6.18 Kostfunktion for ko nr. 358, for forskelligt antal estimerede parametre.

På Figur 6.18 er den første parameter som estimeres middelværdien for signalet, kostfunktionen

for den beregnes og vises i figuren hvor n = 1. For frekvensestimeringerne estimeres der 2

parametre for hver frekvens. De frekvenser som tilføjes estimeringen er i følgende rækkefølge

(angivet i timer) 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4. Dvs. søjlen hvor n = 13 indeholder angiver kostfunktionen

beregnet ved kompensering af alle af de ovennævnte frekvenser og middelværdien. Af figuren

lader det til, at der ikke er store ”besparelser” at hente ved at estimere parametre for 8 timers

perioden, hvilket kommer til udtryk ved at der ikke er en stor forskel mellem n = 5 og n= 7, på

figuren.

F-testen har følgende nulhypotese (Kilde 4, side 515

0H : ( ) ( )

( ) ( )a b bb a b

b ab

ˆ ˆJ J N ng F n n ,N n

ˆ n nJ

θ − θ −= ⋅ ∈ − −

−θ (6.31)


68

Hvilket betyder, at der testes om reduktionen i kostfunktionen, ved forøgelsen af antal estimerede

koefficienter, er usignifikant. Nulhypotesen forkastes hvis (Kilde 4, side 515

( )F1 b a bg f n n ,N n−α> − − (6.32)

Her vælges α = 0.01, dvs. testen udføres med 99 % fraktil. Forkastes nulhypotesen, vurderes

reduktionen i kostfunktionen at være signifikant.

g fF0.99(mb-ma, N-mb) n ω[rad/s] −⋅ 610 T[h]

323.97 4.61 3 73 24

117.71 4.61 5 73, 146 24, 12

1.42 4.61 7 73, 146, 218 24, 12, 8

97.49 4.61 9 73, 146, 218, 290 24, 12, 8, 6

59.10 4.61 11 73, 146, 218, 290, 364 24, 12, 8, 6, 4.8

24.76 4.61 13 73, 146, 218, 290, 364, 436 24, 12, 8, 6, 4.8, 4

Tabel 6.4 Oversigt over signifikanstest for modellering af faste rytmer i ko nr. 358 aktivitetsindeks

Som det fremgår af Tabel 6.4 forkastes hypotesen på alle niveauer, undtaget ved tilføjelse af

kompensering for 8 timers rytme.

For at undersøge signifikansniveauet ved kompensering af de forskellige frekvenser blev den

ovenfor beskrevne hypotesetest udført på de 17 køer som betegnes som værende normale, i

perioden 1.4 til 12.10, 2006. Resultaterne fra hypotesetesten vises i Tabel 6.5. Tabellen viser en

gennemsnit, samt estimeret standardafvigelse for teststørrelsen g for de 17 køer, fraktilen fra F-

fordelingen, antal køer for hvilke hypotesen forkastes divideret med antal testkøer, antal

estimerede parametre n samt de estimerede perioder i timer T.

g gσ fF0.99(mb-ma, N-mb) ( )F

b a b1g f m m ,N m

testkøer

n

n−α> − −

n T[h]

197.67 107.27 4.61 1.00 3 24

55.27 35.99 4.61 1.00 5 24, 12

12.64 8.26 4.61 0.83 7 24, 12, 8

69.45 38.03 4.61 1.00 9 24, 12, 8, 6

29.60 15.71 4.61 1.00 11 24, 12, 8, 6, 4.8

15.34 9.88 4.61 0.78 13 24, 12, 8, 6, 4.8, 4

Tabel 6.5 Oversigt over signifikanstest for modellering af faste rytmer for de 17 normale køers aktivitetsindeks

Som det fremgår af den ovenstående tabel er der mindst ”gevinst” ved at estimere parametre for

perioder på 8 og 4 timer.

Forklaringsgrad


69

En anden måde for at anskue relevansen af kompenseringen for de ovenfor omtalte frekvenser er

at se på forklaringsgraden for estimeringerne. Forklaringsgraden R2 beregnes ved den følgende

ligning og angiver i hvor høj grad modellen med estimeret parameter m, forklarer målingerne. (Kilde

4, side 515

( )0 m2

0

ˆJ JR

J

− θ= hvor 20 R 1≤ ≤ (6.33)

hvor J0 er resultatet af kostfunktionen for det målte signal hvor der er blevet korrigeret for estimeret

middelværdi, dvs.

( )( ) ( ) ( )N 1

2 T0 0 0 0

k 0

1 1J y k ˆ ˆ ˆ2 2

−

=

= − µ = − µ − µ∑ Y Y (6.34)

En beregning af forklaringsgraden for ko nr. 358, gav de følgende resultater.

R2 2R∑ m T[h]

0.124 0.124 1 24

0.043 0.167 2 12

0.001 0.168 3 8

0.034 0.202 4 6

0.020 0.222 5 4.8

0.008 0.231 6 4

Tabel 6.6 Oversigt over forklaringsgraden af udkompensering af de forskellige rytmer, for ko nr. 358

Som det fremgår af den ovenstående tabel, kan 23 % af variansen i aktivitetsindeksen for ko nr.

358, forklares ved de udkompenserede perioder. Det kan ligeledes konstateres, at

forklaringsgraden har lavest værdi ved udkompensering af perioder på 8 og 4 timer. Dette

illustreres ligeledes på Figur 6.19.


70

Figur 6.19 Forklaringsgrad for ko nr. 358 ved kompensering af de betragtede periodetider.

Gennemsnit af forklaringsgraden for de 17 normale køer, er ført i den nedenstående tabel

2R 2Rσ 2R∑ T[h]

0.081 0.038 0.081 24

0.023 0.016 0.104 12

0.005 0.003 0.109 8

0.027 0.014 0.136 6

0.011 0.005 0.148 4.8

0.006 0.004 0.154 4

Tabel 6.7 Oversigt over forklaringsgraden af udkompensering af de forskellige rytmer, for de 17 normale køer

Det fremgår af Tabel 6.7, at gennemsnitlig forklaringsgrad af variansen i aktivitetsindeksen for de

17 normale køer, hidrørende fra de udkompenserede perioder, ligger på 15.4 %. Her kan det også

ses, at forklaringsgraden for udkompensering af periodetider på 8 og 4 timer, er væsentligt lavere

end for de andre periodetider.

Valg af frekvenser for udkompensering Den ovenstående tabel samt de øvrige forudgående undersøgelser omkring udkompensering af

de faste rytmer i køernes aktivitet indikerer, at de betragtede perioder er signifikante, hvad angår


71

udkompensering, for omkring 80 % af køerne. Det bliver derfor de frekvenser, der svarer til disse

periodetider, der bruges i det efterfølgende, til udkompensering af de faste rytmer.

For at eftervise, at de tidligere omtalte faste perioder i aktivitetsdataene er blevet væsentligt

reduceret, blev der lavet plots af både autokovarians og effektspektre af offline estimeret residual,

med kompensering af disse periodetider, for de normale køer. Nedenfor vises plots for ko nr. 358.

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


Lag

Cxx

_hat

(Lag

)

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Autokovarians, ko nr. 358, korrigeret for T[h] = [ 24 12 8 6 4.8 4 ], ved brug af LS

Lag

Cxx

_hat

(Lag

)

Figur 6.20 Autokovarians for aktivitetssignal for ko nr. 358. Til venstre på figuren, vises et autokovariansplot, hvor der kun er blevet korrigeret for middelværdi, mens figuren til højre viser det samme hvor der yderligere er blevet korrigeret

for frekvenser med periodetider lig med T[h] = [ 24 12 8 6 4.8 4], vha. LS-metoden

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

5

Frekvens [Hz]

Effe

kt


←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

5

Frekvens [Hz]

Effe

kt


←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

Figur 6.21 Effektspektrum for ko nr. 358, ved hhv. ingen kompensering og kompensering af forskellige periodetider.

De ovenstående grafer viser at frekvensindhold for de udkompenserede periodetider er væsentligt

reduceret for ko nr. 358.

Da de relevante frekvenser i køernes aktivitetsdata er bestemt er der dannet grundlag for en

videre udvikling af periode- og middelværdi kompenseringen.


72

RLS rekursiv Least Squares Eftersom aktivitetens middelværdi µ kan ændres over tid, ligesom de frekvenser, der

udkompenseres kan variere i amplitude over tid, indføres en rekursiv estimering af

regressionsmodellen.

Den estimeringsalgoritme som anvendes her er RLS (Recursive Least Squares) algoritmen som er

en rekursiv udgave af den tidligere beskrevne Least Squares algoritme. RLS algoritmen bruger

således estimatet fra det tidligere sample til at beregne et estimat for det næste.

Modellen skrives på formen.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 1 1 1 m m m m

T

ˆ ˆ ˆ ˆy k ˆ A cos k B sin k A cos k B sin k k

ˆk k

= µ + ω + ω + + ω + ω + ε

= + εθ

L

ϕ (6.35)

hvor T0 1 1 m m

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ A B A B⎡ ⎤= µ⎣ ⎦θ L og

( ) ( ) ( ) ( )T1 1 m m(k) 1 cos k sin k cos k sin k⎡ ⎤= ω ω ω ω⎣ ⎦Lϕ (6.36)

( )ˆ kθ beregnes for hver sample som angivet i den følgende ligning.

( )ˆ ˆ ˆ(k) (k 1) (k) y(k) (k) (k 1)= − + − −θ θ K θΤϕ (6.37)

hvor residualet er lig med ˆy(k) (k) (k 1)− −θΤϕ . ( )kK beregnes ved

(k 1) (k) (k) (k 1)(k) (k) (k) (k) (k 1)1 (k) (k 1) (k)− ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ = − −+ ⋅ − ⋅

P PK P P PP

Τ

Τ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ (6.38)

hvor P er kovariansmatricen. En forudsætning for at ligning (6.38) gælder, er at P ikke må være

singulær.

Residualet beregnes derved som

( ) ( ) ( ) ( )T ˆk y k k k 1ε = −θ− ϕ (6.39)

Ulempen ved ovenstående estimering af systemets parametre er, at estimeringen til tiden n (n < k)

får den samme vægt som den nyeste estimering. Dette vil medføre at hvis det aktuelle systems

parametre ændres (tidsvarient), vil det tage de estimerede parametre længere tid at konvergere

imod de aktuelle parametre end ellers. For at kompensere for dette kan udtrykket for P i ligning

(6.38) udvides med en ”forgetting factor” λ som kan vælges i intervallet 0 < λ ≤ 1 (Kilde 5, side 52: λ

vælges dog typisk i området 0.9-0.99. Ved indførelsen af λ, ændres ligning (6.38) til


73

(k 1) (k) (k) (k 1)(k) (k 1)(k) (k 1) (k)

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ ⋅ −= − − λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ + ⋅ − ⋅⎝ ⎠

P PP PP

Τ

Τϕ ϕ

ϕ ϕ (6.40)

Før estimeringen kan fortages skal begyndelsesværdier for P(0), vælges. Dette valg skal tage

udgangspunkt i hvor nøjagtig regressionsmodellens begyndelsesværdier ( )ˆ 0θ , er i forhold til

systemets aktuelle parametre. Hvis ( )ˆ 0θ er tæt på de aktuelle værdier kan P(0) vælges mellem 1

og 10 i diagonalen mens hvis der er en lille eller ingen kendskab til systemets parametre kan P(0)

vælges mellem 100 til 1000 i diagonalen(Kilde 5 side 119-120.

Da der ikke er kendskab til signalets parameterværdier i starten af estimeringen, vælges ( )ˆ 0θ lig

med 0 og P(0) lig med 1000 i diagonalen. λ vælges lig med 0.99.

En RLS estimering af de tidligere omtalte parametre for ko nr. 358 vises i form af ( ) ( )T ˆk k 1−θϕ ,

samt ukompenseret aktivitetsindeks over en uges periode på Figur 6.22.

1.4 06 12 18 2.4 06 12 18 3.4 06 12 18 4.4 06 12 18 5.4 06 12 18 6.4 06 12 18 7.4 06 12 18 8.4 06 12 18 9.4 06 12 18 10.40

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Aktivitetsindeks, ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006

Tid (dato)

Figur 6.22

Aktivitetsindeks, vist med rødbrun linie, samt ( )T ˆkϕ θ med kompensering af periodetider for 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4 timer, vist med grøn linie, for ko nr. 358

Som det kan ses på Figur 6.22, er der et indsvingningsforløb i starten af estimeringen. Det samme

kan konstateres ved, at kigge på plots af parameterestimaterne i Bilag E.

For at bekræfte, at de frekvenser, der ønskes udkompenseret, er blevet formindsket, plottes

autokovarians og effektspektrum for ko nr. 358.


74

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Autokovarians, ko nr. 358, korrigeret for T[h] = [ 24 12 8 6 4.8 4 ], ved brug af RLS

Lag

Cxx

_hat

(Lag

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x 10-4

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

5

Frekvens [Hz]

Effe

kt


←[24h]

←[12h]

←[8h] ←[6h]

←[4.8h] ←[4h]

Figur 6.23 Autokovarians og effektspektrum for ko nr. 358, hvor dataene er korrigerede for perioder på 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4

timer vha. RLS algoritme. Her er λ = 0.99

Ved sammenligning af autokovariansen og effektspektrummet på Figur 6.23 med de samme på

hhv. Figur 6.20, s. 71, og Figur 6.21, s. 71, kan det ses, at frekvensindholdet for de

udkompenserede perioder er blevet yderligere reduceret i forhold til en offline LS-estimering, ved

indførelsen af RLS, algoritmen.

Bestemmelse af tæthedsfunktion for kompenseret data Da aktivitetsdataene er blevet korrigeret for de tidligere nævnte periodetider samt middelværdi,

kan det ikke forventes, at dataene beskrives ved samme tæthedsfunktion som før. For at få

overblik over hvordan aktiviteten fordeles efter kompensering, blev histogrammer for de

kompenserede aktivitetsdata, eller residualet, for de 17 normale køer, plottet.


75

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030Ko 1260 s=30.853358 sigma=20.2

-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 1271 s=37.5 sigma=24.5

-60-40-20 0 20 40 60 801001201400.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 1267 s=33 sigma=21.6

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018

Ko 168 s=40.4 sigma=26.4

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020

Ko 174 s=37.1 sigma=24.3

-40 -20 0 20 40 60 800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045

Ko 180 s=18.8 sigma=12.3

-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 181 s=38 sigma=24.9

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 189 s=29.7 sigma=19.5

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045

Ko 223 s=19.6 sigma=12.8

-30-20-10 0 10 20 30 40 50 60 700.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Ko 249 s=13 sigma=8.49

-100 -50 0 50 100 1500.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012Ko 315 s=61.8 sigma=40.5

-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018

Ko 356 s=43.8 sigma=28.7

-100 -50 0 50 100 1500.000

0.005

0.010

0.015Ko 358 s=49.3 sigma=32.3

-150-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009

Ko 362 s=79.2 sigma=51.9

-100 -50 0 50 100 1500.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020

Ko 383 s=42.8 sigma=28.1

-15-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10

Ko 404 s=7.88 sigma=5.16

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 479 s=23.1 sigma=15.2

Figur 6.24 Histogrammer for de 17 normale køer efter RLS kompensering

Af figuren fremgår det, at residualerne for de 17 normale køer, ligner i udformning, Rayleigh

fordelte data. En Rayleigh fordeling kan beskrives ved ligningen: (Kilde 8 side 135

( )2

2 2z zp z exp , z 0, s 0s 2s

⎛ ⎞= − ≥ >⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.41)

hvor s er frihedsgraden og kan bestemmes som

s2

2

σ=

π−

(6.42)

Rayleighfordelingens middelværdi kan derefter bestemmes ved

Rayleigh s2π

µ = (6.43)

Udtrykt ved σ bliver det

Rayleigh 4σ π

µ =− π

(6.44)

Der er dog en klar forskel på de plottede data og Rayleigh fordelte data, idet Rayleigh fordelingen

ikke er defineret for negative tal. For at kunne sammenligne udformningen af en Rayleigh


76

tæthedsfunktion med histogrammerne, laves en ændret Rayleigh tæthedsfunktion, der har en

middelværdi som er lig med residualets middelværdi. Da residualets middelværdi forventes at

være lig med 0, grundet kompensering af middelværdien, kan en tæthedsfunktion med Rayleigh

fordelingens egenskaber og middelværdien 0, genereres ved, at addere Rayleigh fordelingens

middelværdi til datavariablen i tæthedsfunktionen. Den nye tæthedsfunktion bliver derved:

( )

2

2 2

z sz s 22p z exp , z s , s 02s 2s

⎡ ⎤⎛ ⎞ππ ⎢ ⎥+⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥ π⎝ ⎠= − ≥ − >⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.45)

Dette sætter til gengæld nogle begrænsninger for anvendelse da der kunne eksistere værdier for

det kompenserede signal z som er mindre end s2π

−

En middelværdi er defineret som (Kilde 11, side 57

{ } ( )E X x f x dx∞

−∞

= ∫ (6.46)

Middelværdien for den nye tæthedsfunktion kan derfor findes som

2

ny tæthedsfunktion 2 2s

2

z sz s 22z exp 0s 2s

∞

π−

⎡ ⎤⎛ ⎞ππ ⎢ ⎥+⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠µ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Den ændrede tæthedsfunktion udtrykt ved σ, som funktion af residualet kan skrives som.

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )0

2

0 2 2

4 k k 44p k exp , k , 0

2 4 4µ =

⎛ ⎞σ π− π ε + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ε − π + σ π− π ⎜ ⎟ σ π⎝ ⎠ε = − ε ≥ − σ >⎜ ⎟

σ σ − π⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.47)

Histogramplot af de kompenserede data, ε (k), sammen med respektive, forskudte, Rayleigh

fordelinger med varians lig med den estimerede varians af residualet for den pågældende ko,

vises på Figur 6.25.


77

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030Ko 1260 s=30.9 sigma=20.2

-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 1271 s=37.5 sigma=24.5

-60-40-20 0 20 40 60 801001201400.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 1267 s=33 sigma=21.6

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018

Ko 168 s=40.4 sigma=26.4

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020

Ko 174 s=37.1 sigma=24.3

-40 -20 0 20 40 60 800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045

Ko 180 s=18.8 sigma=12.3

-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 181 s=38 sigma=24.9

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025Ko 189 s=29.7 sigma=19.5

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045

Ko 223 s=19.6 sigma=12.8

-30-20-10 0 10 20 30 40 50 60 700.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Ko 249 s=13 sigma=8.49

-100 -50 0 50 100 1500.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012Ko 315 s=61.8 sigma=40.5

-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018

Ko 356 s=43.8 sigma=28.7

-100 -50 0 50 100 1500.000

0.005

0.010

0.015Ko 358 s=49.3 sigma=32.3

-150-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009

Ko 362 s=79.2 sigma=51.9

-100 -50 0 50 100 1500.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020

Ko 383 s=42.8 sigma=28.1

-15-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10

Ko 404 s=7.88 sigma=5.16

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 479 s=23.1 sigma=15.2

Figur 6.25 Histogrammer for de 17 normale køer. ε(k), Rayleigh

Som det fremgår af histogrammerne på Figur 6.25 er der en rimelig overensstemmelse mellem de

plottede histogrammer og Rayleigh tæthedsfunktionerne.

CUSUM for residual på rådata Som følge af det foroven beskrevne foretages en CUSUM test for ændring i middelværdi. Som det

fremgår af det ovenstående, kan køernes normaladfærd, udtrykt ved kompenseret

aktivitetsindeks, her betegnet residual, delvist beskrives ved en forskudt Rayleigh tæthedsfunktion.

Et histogram for ko nr. 1246, hvor normal adfærd plottes i øverste række og brunsttilfældene

forneden, vises på Figur 6.26. På figuren er ligeledes plottet, den forskudte Rayleigh

tæthedsfunktion, tilhørende normal adfærd, samt normalfordelte tæthedsfunktioner, tilhørende

hvert brunsttilfælde. Idet CUSUM-testen forudsætter, at variansen er den samme under brunst,

som under normale forhold, er alle kurverne plottet med samme varians.


78

-100 -50 0 50 100 150 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7

-100 -50 0 50 100 150 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7

-100 -50 0 50 100 150 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7

-100 -50 0 50 100 150 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7

-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040


-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040


-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050


-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040


-100 -50 0 50 100 150 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.08


-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050


-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040

Brunst nr. 7 my = 75 sigma = 16.7

-100 -50 0 50 100 150 2000.000

0.005

0.010

0.015

0.020


-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050


Figur 6.26 Histogrammer for ko 1246, ε(k)

Idet normal adfærd beskrives ved den forskudte Rayleigh tæthedsfunktion og brunst adfærd ved

en normalfordelt tæthedsfunktion bliver ( )0p (k)µ ε og ( )1

p (k)µ ε :

( )( )( ) ( ) ( )( )

0

2

2 2

4 k k 44p k exp

2 4µ

⎛ ⎞σ π− π ε + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ε − π + σ π− π ⎜ ⎟⎝ ⎠ε = −⎜ ⎟

σ σ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.48)

og

( )( )( )( )1

1

2

2

k1p k exp22µ

⎛ ⎞ε − µ⎜ ⎟ε = −⎜ ⎟σπσ ⎝ ⎠ (6.49)

Med rekursivt estimeret σ2 bliver log-likelihood ligningen


79

( )( ) ( )( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

1

0

ˆ

ˆ

2222

12 22

2

2

p ks k ln

p k

k 4 ˆ kk ˆ2 ˆ kln

2 ˆ k 4 ˆ kˆ k2 ˆ k 4 k

4

ˆ kfor k

4

µ

µ

⎛ ⎞ε⎜ ⎟ε =⎜ ⎟ε⎝ ⎠

ε − π + σ π⎛ ⎞ ε − µσ⎜ ⎟= − +

⎛ ⎞⎜ ⎟ σ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

σ πε ≥ −

− π

og (6.50)

( )( ) ( )( )2ˆ k

s k 0 for k4

σ πε = ε < −

− π

Som det kan ses i ligning (6.50) er ligningen kun defineret for ( )( )2ˆ k

k4

σ πε ≥ −

− π. Det fremgår

ligeledes af ligningen at ( )( )2ˆ k

k4

σ πε < −

− πbliver behandlet således at de ikke bidrager til

beslutningsfunktionen. Beslutningsfunktionen bliver:

( ) ( ) ( )( )( )( )g k max 0, g k 1 s k= − + ε (6.51)

CUSUM-detekteringen for ε(k), vises på Figur 6.27


80

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30Cusum-RLS, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.27 CUSUM detektering på residual efter kompensering af µ samt perioder på 24, 12, 8, 6 4.8 og 4 timer, på rådata for

ko nr. 224., h=6

Som det fremgår af Figur 6.27, er begge brunsttilfælde detekteret, samtidigt med, at der er én

falsk detektering.

Som en yderligere test for denne CUSUM-detektor udføres den samme statistik, som for CUSUM

på avg24 under afsnit 6.3.2. På samme måde som før bestemmes h værdien manuelt for hvert

tilfælde. På Figur 6.28 vises g(k) for ko nr. 1246.


81

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30Cusum-RLS, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.28 CUSUM detektering på residual efter kompensering af µ samt perioder på 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4 timer, på rådata for

ko nr. 1246. h=7

Tabel 6.8 indeholder resultater for brunstdetekteringen for ko nr. 1246.

Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 03 – 1.5.2006 6 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 08 – 22.5.2006 3 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 23 – 11.6.2006 5 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 03 – 2.7.2006 -3 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 17 – 22.7.2006 1 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 19 – 13.8.2006 -4 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 20 – 31.8.2006 -2 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 04 – 21.9.2006 5 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 17 – 10.10.2006 -2 Gennemsnit: 1.0

Tabel 6.8 Detekteringsresultater for CUSUM , kompenseret rådata for ko 1246.


på samtlige, af de 12 køer, som under afsnit 3.2 blev kategoriseret som brunstkøer. Der er lavet


og detekteringstid. h er manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde

detekteringer og falske detekteringer opnås.


82



34 0/1 = 0 4681 0 – – 6 224 2/2 = 1 4681 0 4681 -7 6 307 1/1 = 1 4681 0 – 1 4 334 6/7 = 0.86 4681 1 4681 -1 6 353 2/2 = 1 4273 0 – 8 19 371 2/2 = 1 4681 1 4681 0.5 5 373 2/4 = 0. 5 4681 3 1560 4 3 494 4/4 = 1 4681 1 4681 -0.75 7

1198 1/3 = 0.33 4681 2 2341 -1 15 1246 9/9 = 1 4681 0 – 1 7 1253 3/4 = 0.75 4681 0 – 7 3.5 244 3/3 = 1 4681 0 – 1 8

Tabel 6.9 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på kompenseret rådata for de 12 inseminerede køer.

Der er beregnet Sratio, Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede

køer.

ratio37S 0.8342

= = ratio55764F 6196[h]

9= = det_ tid 1.00[h]=

På trods af Rayleigh fordelingen synes at beskrive dataene rimeligt har den ulempe at en vis

brøkdel af dataene falder udenfor fordelingens definitionsområde.

Kompenserede Log data Som det fremgår her foroven, er der visse problemer forbundet med brug af Rayleighfordelingen

på kompenserede data, idet Rayleighfordelingen ikke er defineret for alle værdier. Det ville være

ønskeligt, at dataene tilhørte en fordeling som normalfordelingen, som er defineret for alle reelle

tal. Der tages logaritmen af rådataene hvorefter de kompenseres for periodiske træk. Derefter

undersøges til hvilken fordeling, de kompenserede logaritmisk transformerede rådata, tilhører.

Kompenseringen af logaritmisk transformerede rådata foregår i henhold til ligninger (6.35) - (6.40),

s. 72-73, og følgende forhold gælder.

( ) ( )( )y k log z k 1= + (6.52)

hvor z(k) er lig med råsignalet ved sample k og y(k) er det logaritmisk transformerede signal. θ

beregnes og residualet derefter som

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tlog z k 1

ˆk y k k k 1+ε = −θ− ϕ (6.53)

Kompenseret logaritmisk transformeret aktivitetsindeks, εlog(z(k)+1)(k), for ko 358 vises på Figur 6.29.


83

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-1.0-0.50.00.51.01.52.0

Kompenseret log(aktivitet + 1), ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-1.0-0.50.00.51.01.52.0

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-1.0-0.50.00.51.01.52.0

Tid (dato)

Figur 6.29 Kompenseret logaritmisk transformeret aktivitetsindeks, εlog(z(k)+1)(k), for ko 358 i perioden 1.4 – 12.10 2006

For at undersøge om εlog(z(k)+1)(k) kan siges at være normalfordelt, plottes histogrammer for

εlog(z(k)+1)(k), beregnet udfra data til rådighed, for de 17 normale køer. Disse histogrammer vises på

Figur 6.30.

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 1260 my=0.00 sigma=0.45

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 1271 my=0.01 sigma=0.40

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 1267 my=0.00 sigma=0.45

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2Ko 168 my=0.00 sigma=0.40

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2Ko 174 my=0.00 sigma=0.34

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2Ko 180 my= 0.00 sigma=0.38

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2Ko 181 my=0.00 sigma=0.40

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4Ko 189 my= 0.00 sigma=0.32

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 223 my= 0.00 sigma=0.44

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Ko 249 my= 0.00 sigma=0.40

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2Ko 315 my=0.00 sigma=0.45

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Ko 356 my= 0.00 sigma=0.43

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ko 358 my=0.00 sigma=0.41

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ko 362 my=0.01 sigma=0.47

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

Ko 383 my=0.00 sigma=0.49

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2Ko 404 my= 0.00 sigma=0.36

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00.20.40.60.81.01.21.41.6

Ko 479 my=0.01 sigma=0.29

Figur 6.30 Histogrammer for de 17 normale køer. Kompenseret logaritmisk transformerede data.


84

I hvert histogram er der også plottet en normalfordelt tæthedsfunktion med estimeret varians og

middelværdi, beregnet for dataene for den pågældende ko. Det fremgår af Figur 6.30 at

εlog(z(k)+1)(k) dataene kan ikke afgjort siges at være normalfordelte, idet dataene for de fleste køers

vedkommende, ikke ser ud til at være symmetriske omkring middelværdien.

Det vurderes alligevel, at dataene ligner normalfordelte data i en grad, hvor det er relevant, at

konstruere en CUSUM-detektor, hvor de betragtes som værende normalfordelte.

CUSUM for kompenserede logaritmisk transformerede rådata I henhold til det ovenstående, foretages en CUSUM-test på de kompenserede logaritmisk

transformerede rådata, her betegnet, εlog(z(k)+1)(k).

Som det tidligere er blevet beskrevet, er målingerne for hvert brunsttilfælde for få, for at der med

sikkerhed kan bestemmes hvilken fordeling, brunstdataene, tilhører.

På Figur 6.31 vises et histogram plot over både normalt og brunst adfærd.

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8

Brunst nr. 1 my = 371e-03 std. = 468e-03

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5Brunst nr. 2 my = 358e-03 std. = 509e-03

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

2.0


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

2.0


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


Figur 6.31 Histogrammer for ko 1246. Kompenseret logaritmisk transformeret data.

Da εlog(z(k)+1)(k) antages at være normalfordelte kan ligning (6.5) s. 49, bruges som grundlag for

beregningsalgoritmen i CUSUM detektoren for εlog(z(k)+1)(k) dataene. Ligesom under afsnit 6.3.2,

antages variansen, at være den samme under brunst, som under normale forhold. Log-likelihood

for ændring i middelværdi for εlog(z(k)+1)(k) kan derfor udtrykkes som:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 0 1 0log z k 1 log z k 12s k k

2+ +µ − µ µ + µ⎛ ⎞

ε = ε −⎜ ⎟σ ⎝ ⎠

(6.54)


85

Idet ( )( )log z k 1+ε er et rekursivt bestemt residual, hvor middelværdien er blevet udkompenseret, er

0ˆ 0µ = . Med rekursivt estimeret σ2 bliver ligningen

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1log z k 1 log z k 12

ˆ ˆs k k

2ˆ k+ +µ µ⎛ ⎞ε = ε −⎜ ⎟σ ⎝ ⎠

(6.55)

Beslutningsfunktionen er den samme som i ligning (6.6), s. 49, og kan derfor skrives som:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )log z k 1g k max 0, g k 1 s k+⎛ ⎞= − + ε⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.56)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.602468

101214161820

CUSUM-RLS_log, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.802468

101214161820

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.1002468

101214161820

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.32 CUSUM detektering på εlog(z(k)+1)(k), for ko nr. 224, h=6

Som det fremgår af Figur 6.32 bliver kun det ene af de to brunsttilfælde, fanget. Af figuren kan det

ligeledes ses, at det ikke ville være muligt, at fange det andet brunsttilfælde, ved kun at justere på

h, uden at få falske detekteringer.

På Figur 6.28 vises g(k) for ko nr. 1246.


86

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30CUSUM-RLS_log, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.33 CUSUM detektering på εlog(z(k)+1)(k), for ko nr. 1246, h=6

Som det fremgår af Figur 6.33, bliver samtlige 9 brunsttilfælde detekteret. Tabel 6.10 indeholder

resultater for brunstdetekteringen for ko nr. 1246.


1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 03 – 1.5.2006 6 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 06 – 22.5.2006 1 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 00 – 12.6.2006 6 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 03 – 2.7.2006 -3 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 19 – 22.7.2006 3 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 22 – 13.8.2006 -1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 22 – 31.8.2006 0 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 02 – 21.9.2006 3 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 18 – 10.10.2006 -1 Gennemsnit: 1.56

Tabel 6.10 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på εlog(z(k)+1)(k), for ko nr. 1246.


på samtlige, af de 12 køer, som under afsnit 3.2 blev kategoriseret som brunstkøer. Der er lavet


og detekteringstid. h er manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde

detekteringer og falske detekteringer opnås.


87



34 1/1 = 1 4681 0 – 10 2.5224 2/2 = 1 4681 3 1560 3 4.5307 1/1 = 1 4681 0 – 2 4334 6/7 = 0.86 4681 0 – -0.83 4.5353 2/2 = 1 4273 1 4273 3.5 7371 2/2 = 1 4681 2 2341 6 6373 3/4 = 0.75 4681 2 2341 5 3494 4/4 = 1 4681 0 – 0 6

1198 3/3 = 1 4681 3 1560 3.33 111246 9/9 = 1 4681 0 – 1.56 61253 4/4 = 1 4681 0 – 7.75 5.5244 3/3 = 1 4681 0 – 1 6

Tabel 6.11 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på εlog(z(k)+1)(k), for de 12 inseminerede køer.


køer.

ratio40S 0.9542

= = ratio55764F 5069[h]

11= = det_ tid 2.63[h]=

6.4 GLR – Ændring i middelværdi af ukendt størrelse

Et naturligt led i udviklingen af en change detektor til brunstdetekteringen, er at udvikle en GLR-

algoritme (Generalized Likelihood Ratio), idet GLR-algoritmen detekterer en ændring i

middelværdi af ukendt størrelse, hvilket gør estimering af µ1 unødvendig. I dette afsnit er teorien

som ligger til grundlag for GLR-testen gennemgået hvorefter en GLR-test på avg24 data,

kompenserede rådata og kompenserede logaritmisk transformerede rådata er beskrevet.

6.4.1 Teori

Ved en GLR-algoritme til detektering af en ændring i middelværdi er summen af log-likelihood

beregnet som

( )( )( )( )( )

1

0

kkj 1

i j

p z iS ln

p z iµ

µ=

µ =∑ (6.57)

dvs. for hver instans af k, er S en funktion af både j og µ1. Beslutningsfunktionen for GLR-

algoritmen udtrykkes ved, at finde den µ-ændring der giver den maksimale kjS , over et område

beskrevet ved j.

( ) ( )1

kj 11 j k

g k max max S≤ ≤ µ

= µ (6.58)


88

Algoritmen finder den µ1 der maksimerer g(k). Det kan ses udfra den ovenstående ligning, at

eftersom k vokser sig større, skal en evt. beregningsalgoritme igennem større mængde af

beregninger for at finde frem til et resultat for g(k). Eftersom maksimalværdien for ( )kj 1S µ findes

når j er lig med den tid ændringen sker (der hvor middelværdien begynder at vokse), kan det siges

at være irrelevant, at kigge længere bagud i tiden, end som svarer til den maksimale tid, der kan

gå fra, at en ændring som ønskes detekteret, indtræffer indtil ændringen forventes at være

detekteret. Kaldes denne tid M, kan ligning (6.58) skrives som

( ) ( )1

kj 1k M 1 j k

g k max max S− + ≤ ≤ µ

= µ (6.59)

Idet løsningen til ( )1

kj 1max S

µµ er fordelingsafhængig, beskrives løsningen til denne i de respektive

underafsnit for detektering ved brug af 24 timers gennemsnitsdata, kompenserede rådata og

kompenserede logaritmisk rådata. NaN er behandlet som beskrevet tidligere i rapporten.


Idet de 24 timers gennemsnitsdataene, avg24(k), antages at være normalfordelte er summen af

log-likelihood forholdet, ved rekursiv estimering af µ0 og σ2:

( )( )( )( )( )

( )( )

( ) ( )1

0

k kˆ 24 1 0 1 0k

j 1 242ˆ 24i j i j

p avg k ˆ ˆ i ˆ ˆ iS ˆ avg i

2p avg k ˆ iµ

µ= =

⎛ ⎞⎛ ⎞µ − µ µ − µ⎜ ⎟µ = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ (6.60)

Log-likelihood ligningen maksimeres i forhold til 1µ . Ligning (6.60) kan omskrives til

( )( )

( )( )

( )( )

( )1

k k k24 0k 2

j 1 1 242 2 2i j i j i j

avg i ˆ i1 1S ˆ ˆ ˆ avg i22 ˆ i ˆ i ˆ i

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞µ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟µ = − µ − µ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ σ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ (6.61)

Det kan ses udfra ligning (6.61) at ( )kj 1S µ har et maksimum og kan derfor maksimeres m.h.t. 1µ

ved, at finde dens aflede m.h.t. 1µ og sætte den lig med 0.

( )

( )( )

( )

k kkj 1 24

1 2 21 i j i j

S ˆ avg i1ˆ 0 0ˆ ˆ i ˆ i

= =

∂ µ= −µ + − =

∂µ σ σ∑ ∑ (6.62)

Udtrykt ved 1µ bliver det

( )

( )( )

( )

k24

2i j

1 k

2i j

avg iˆ i

ˆ k, j1

ˆ i

=

=

σµ =

σ

∑

∑ (6.63)


89

Ved at erstatte 1µ i ligning (6.60) med dette udtryk bliver summen af log-likelihood

( )( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

k k24 24

2 2q j q j

0 0k k

2 2kq j q jk

j 1 242i j

avg q avg qˆ q ˆ q

ˆ i ˆ i1 1

ˆ q ˆ qS ˆ j, k avg i

2ˆ i

= =

= =

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟− µ − µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟µ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠σ⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑∑ (6.64)

Beslutningsfunktionen med rekursivt estimeret µ og σ2, bliver derved

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

k k24 24

2 2q j q j

0 0k k

2 2kq j q j

242k M 1 j ki j

avg q avg qˆ q ˆ q

ˆ i ˆ i1 1

ˆ q ˆ qg k max avg i

2ˆ i

= =

= =

− + ≤ ≤=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟− µ − µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠σ⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑∑ (6.65)

En test af GLR algoritmen vises på nedenstående figur.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

500

1000

1500

2000GLR-avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

500

1000

1500

2000

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

500

1000

1500

2000

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.34 GLR detektering på avg24(k), for ko nr. 224,M = 24, h= 180

Som det fremgår Figur 6.34, bliver begge brunsttilfælde detekteret, uden falsk detektering.


90

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50010001500200025003000

GLR-avg_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50010001500200025003000

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50010001500200025003000

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.35 GLR detektering på avg24(k) for ko nr. 1246 M = 24, h = 180

Det fremgår af Figur 6.35, at alle 9 brunsttilfælde bliver detekteret. Det fremgår også af figuren, at

der er én falsk detektering.

6.4.3 Rådata RLS

Som nævnt under afsnit 6.3.3, antages de kompenserede rådata ε(k) for aktiviteten under normale

forhold at være Rayleigh fordelt mens den under brunst antages at være normalfordelt. Summen

af log-likelihood for de kompenserede rådata, med rekursiv estimering af σ2 beregnes som.

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

222k 2

1kj 1 2 22

i j 2

i 4 ˆ ii ˆ2 ˆ iS ˆ ln

2 ˆ i 4 ˆ iˆ i2 ˆ i 4 i

4=

⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞ ε − µσ

⎜ ⎟⎜ ⎟µ = − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

(6.66)

Dette udtryk kan omskrives til

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )1

22k 2

kj 1 22

i j 2

k k k2

12 2 2i j i j i j

i 4 ˆ i2 ˆ iS ˆ ln

4 ˆ iˆ i2 ˆ i 4 i

4

i i1ˆ ˆ2 ˆ i ˆ i 2 ˆ i

=

= = =

⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞σ

⎜ ⎟⎜ ⎟µ = +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ε ε⎜ ⎟− µ − µ +⎜ ⎟σ σ σ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑ ∑ ∑

(6.67)


91

Det kan ses udfra ligning (6.67) at ( )kj 1S µ har et maksimum og kan derfor, som i det forudgående

afsnit, maksimeres m.h.t. 1µ ved, at finde dens aflede m.h.t. 1µ og sætte den lig med 0.

( )

( )( )( )

k kkj 1

1 2 21 i j i j

S ˆ i10 ˆ 0 0ˆ ˆ i ˆ i

= =

⎛ ⎞∂ µ ε⎜ ⎟= − µ − + =⎜ ⎟∂µ σ σ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (6.68)

hvilket bliver

( )

( )( )

( )

k

2i j

1 k

2i j

iˆ i

ˆ k, j1

ˆ i

=

=

ε

σµ =

σ

∑

∑ (6.69)

Hvilket er identisk med resultatet i ligning (6.63), s. 88. µ1 elimineres dernæst fra log-likelihood ved

at erstatte µ1 i ligning (6.70) med udtrykket i ligning (6.69). Summen af log-likelihood bliver derved.

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( )

( )

( )

22k 2

kj 1 22

i j 2

2k

2q jk

2kq j

2i j

i 4 ˆ i2 ˆ iS ˆ ln


4

qˆ q

i1

ˆ q

2 ˆ i

=

=

=

=

⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞σ

⎜ ⎟⎜ ⎟µ = +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ε⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟⎝ ⎠−

σ

∑

∑

∑∑

(6.70)

Beslutningsfunktionen g(k)


92

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( )

( )

( )

22k 2

2k M 1 j k 2i j 2

2k

2q jk

2kq j

2i j

i 4 ˆ i2 ˆ ig k max ln


4

qˆ q

i1

ˆ q

2 ˆ i

− + ≤ ≤=

=

=

=

⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞σ

⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ε⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟⎝ ⎠−

σ

∑

∑

∑∑

(6.71)

På Figur 6.36 vises en GLR test på ε(k) for ko nr. 224.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30GLR-RLS, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.36 GLR detektering på ε(k), for ko nr. 224, M = 24, h = 9

Som det fremgår af Figur 6.36 bliver begge brunsttilfælde detekteret uden en falsk detektering. For

at kunne sammenligne denne detektor med de øvrige detektorer, testes denne detektor på de 12

inseminerede køer, ved manuelt bestemt h.

På Figur 6.37 vises g(k) beregnet vha. GLR algoritmen, for ko nr. 1246.


93

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10203040506070

GLR-RLS, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10203040506070

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10203040506070

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.37 GLR detektering på ε(k), for ko nr. 1246, M = 24, h = 13

Det fremgår af Figur 6.37, at alle 9 brunsttilfælde bliver detekteret uden en falsk detektering.


Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 05 – 1.5.2006 8 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 12 – 22.5.2006 7 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 00 – 12.6.2006 6 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 06 – 2.7.2006 0 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 18 – 22.7.2006 2 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 22 – 13.8.2006 -1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 20 – 31.8.2006 -2 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 08 – 21.9.2006 9 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 19 – 10.10.2006 0 Gennemsnit: 3.22

Tabel 6.12 Detekteringsresultater for GLR anvendt på ε(k) for ko 1246.

Tabel 6.13 viser statistik over resultaterne for de 12 inseminerede køer. Som før h er manuelt

bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske detekteringer

opnås.


94



34 0/1 = 0 4681 0 – – 10 224 2/2 = 1 4681 0 – -2 9 307 1/1 = 1 4681 0 – 3 6 334 5/7 = 0.71 4681 0 – 2.2 13 353 2/2 = 1 4273 0 – 5 18 371 2/2 = 1 4681 1 4681 4 6.5 373 3/4 = 0.75 4681 3 1560 5 5.5 494 4/4 = 1 4681 0 – 1 9

1198 2/3 = 0.67 4681 1 4681 -5.5 20 1246 9/9 = 1 4681 0 – 3.22 13 1253 3/4 = 0.67 4681 1 4681 7.33 9.5 244 3/3 = 1 4681 0 – 0 7

Tabel 6.13 Detekteringsresultater for GLR anvendt på ε(k) for de 12 inseminerede køer.


køer.

ratio36S 0.8642

= = ratio55764F 9294[h]

6= = det_ tid 2.42[h]=

6.4.4 RLS kompenseret log transformerede rådata

Idet både normaladfærd og brunstadfærd, antages som værende normalfordelte, når det drejer sig

om RLS kompenserede log transformerede rådata, betegnet εlog(z(k)+1)(k), bliver GLR beregningen

stort set identisk med den, der blev udført under afsnit 6.4.2. Bort set fra, at avg24(k) i ligninger

(6.60) - (6.65), s. 88-89, skal erstattes med εlog(z(k)+1)(k) og µ0 = 0. Derved bliver

beslutningsfunktionen, med rekursivt estimeret σ2:

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

k klog z k 1 log z k 1

2 2q j q j

0 0k k

2 2kq j q j

242k M 1 j ki j

q q

ˆ q ˆ qˆ i ˆ i

1 1ˆ q ˆ q

g k max avg i2ˆ i

+ +

= =

= =

− + ≤ ≤=

⎛ ⎞⎛ ⎞ε ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟− µ − µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠σ⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑∑ (6.72)


95

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.602468

101214161820

GLR-RLS_log, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.802468

101214161820

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.1002468

101214161820

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.38 GLR detektering på ε(k)log(z(k)+1)(k), for ko nr. 224, M = 24, h = 11

Som det fremgår af Figur 6.38, er begge brunsttilfælde detekteret, samtidigt med, at der er én

falsk detektering. Det kan ligeledes ses, at det ikke er muligt, at detektere det andet brunsttilfælde,

ved kun, at justere på h værdien uden, at få flere falske detekteringer.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30GLR-RLS_log, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.39 GLR detektering på ε(k)log(z(k)+1)(k), for ko nr. 1246, M = 24, h = 9


96

Det fremgår af Figur 6.39, at alle 9 brunsttilfælde bliver detekteret. Det fremgår også af figuren, at

der er én falsk detektering.


Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 04 – 1.5.2006 7 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 07 – 22.5.2006 2 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 01 – 12.6.2006 7 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 05 – 2.7.2006 -1 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 21 – 22.7.2006 5 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 00 – 14.8.2006 1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 23 – 31.8.2006 1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 04 – 21.9.2006 5 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 18 – 10.10.2006 -1 Gennemsnit: 2.89

Tabel 6.14 Detekteringsresultater for GLR anvendt på εlog(z(k)+1)(k) for ko 1246.

Tabel 6.15 viser statistik over resultaterne for de 12 inseminerede køer. Som før h er manuelt

bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske detekteringer

opnås.



34 0/1 = 0 4681 0 – – 10 224 1/2 = 0.5 4681 1 4681 1 11 307 1/1 = 1 4681 1 4681 10 7 334 5/7 = 0.71 4681 0 – 3 10 353 2/2 = 1 4273 1 4273 7 13.5 371 1/2 = 0.5 4681 0 – 2 10 373 0/4 = 0 4681 0 – – 12 494 4/4 = 1 4681 2 2340 1.5 8.5

1198 2/3 = 0.67 4681 1 4681 -4 14.5 1246 9/9 = 1 4681 1 4681 2.9 9 1253 4/4 = 1 4681 2 2340 7.75 6.9 244 3/3 = 1 4681 0 – 3.7 12

Tabel 6.15 Detekteringsresultater for GLR anvendt på εlog(z(k)+1)(k) de inseminerede køer.

Der er beregnet Sratio Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede

køer.

ratio32S 0.7642

= = ratio55764F 6196[h]

9= = det_ tid 3.38[h]=


97

6.5 CUSUM – Dynamisk profil

Som et led i udviklingen af brunstdetekteringen, udføres en CUSUM test til detektering af en

dynamisk profil. I dette underafsnit er teorien for CUSUM testen til detektering af en dynamisk

profil omhandlet, samt design og resultater for denne CUSUM test anvendt på aktivitetsdataene.

CUSUM testen er designet og anvendt på et 24 timers gennemsnit af datasignalet, avg24(k), et

kompenseret rådatasignal, ε(k), og det kompenserede logaritmisk transformeret rådatasignal,

εlog(z(k)+1)(k), hvor resultaterne efterfølgende er diskuteret.

6.5.1 Teori

I den efterfølgende beskrivelse af teorien bag detektering af en dynamisk profil tages

udgangspunkt i en vektorbaseret beskrivelse, dvs. hvor der er tale om flere residualsignaler med

flere dynamiske profiler som ønskes detekteret. I slutningen af afsnittet opstilles det skalare

tilfælde, som anvendes til detektering af en enkelt profil i køernes aktivitetsdata.

Der tages udgangspunkt i to hypoteser for signalerne, en normalhypotese (nulhypotesen) der

beskriver signalernes normale karakteristik og en ”fejlhypotese” der beskriver signalernes

karakteristik ved indtrædelsen af de profiler i signalerne, der ønskes detekteret, til tiden k0.

Ved normalfordelte data beskrives nulhypotesen ved at signalerne tilhører normalfordelingen med

varians Q og middelværdi µ0

( )( ) ( )0 : i ,= 0z µ QH : L z N (6.73)

hvor z(i) er en vektor med de pågældende signaler (residualsignaler).

”Fejlhypotesen” beskrives ved, at til tidspunktet k0 indtræder profiler i signalerne og signalerne

tilhører derefter normalfordelingen med samme varians men en middelværdi som er afhængig af

profilerne

( )( ) ( )1 0: i (i k ),= + −0z µ ρ QH : L z N (6.74)

hvor ρ(i-k0) er en vektor, der indeholder et udsnit af profilerne i ρ, til tiden i-k0.

Den cumulative sum er baseret på log-likelihood forholdet mellem de tæthedsfunktioner der er

defineret ovenfor (Kilde 1, side 256:

0

0

k( (i j))k

j( )i j

p ( (i))S ln

p ( (i))+ −

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ µ ρ

µ

zz

(6.75)

hvor j er en hypotetisk k0. Sjk kan udledes til følgende udtryk(Kilde 1, side 256:

k k

k 1 1j 0

i j i j

1S (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2

− −

= =

= − − − − −∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ (6.76)

hvor ρ er profilerne, Q er kovariansmatricen og z er de aktuelle input data med middelværdi µ0, i

normal tilstand. Den cumulative sum beregnes for forskellige værdier af k0, dvs. j, hvor


98

beslutningsfunktionen g(k) finder den maksimale cumulative sum og bruger det som resultatet af

CUSUM testen til tiden k. Dette er beskrevet matematisk som følger (Kilde 1, side 256

k kk 1 1j 01 j k 1 j k

i j i j

1g(k) max(S ) max (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2

− −

≤ ≤ ≤ ≤= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= = − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ (6.77)

hvor g(k) er beslutningsfunktionen beregnet til tiden k.

Da der i detektering af brunst er tale om en detektering i et enkelt aktivitetssignal ad gangen, kan

følgende skalar udgave af beslutningsfunktionen anvendes:

k k

k 2j 021 j k 1 j k

i j i j

1 1g(k) max(S ) max (i j)(z(i) ) (i j)2≤ ≤ ≤ ≤

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ρ − − µ − ρ −

⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ (6.78)

hvor σ2 er variansen for signalet. I ligning (6.78) fremgår at g(k) er det maksimale af Sjk hvor j går

fra 1 til k. Dette har den praktiske ulempe at beregningernes omfang vokser med k og sætter

derfor begrænsninger for hvor længe testen kan køre i praksis. Som løsning til denne problematik

kan der derfor anvendes en rekursiv algoritme i stedet, som er beskrevet på skalar form i det

følgende (Kilde 1, side 256 :

{ }

{ } ( )

g(k 1) 0

20g(k 1) 0 2 2

g(k) max(0,S(k))N(k) N(k 1)1 1

1 1S(k) S(k 1)1 (N(k) 1) z(k) (N(k) 1)2

− >

− >

== − +

= − + ρ − − µ − ρ −σ σ

(6.79)

hvor ρ(0) ≠ 0 og i tilfælde af at profilen køres til ende, nulstilles g(k) og N(k).


Som den første test for en CUSUM test til detektering af en dynamisk profil, anvendes algoritmen

på 24 timers gennemsnitsdata. Der tages udgangspunkt i algoritmen baseret på en normalfordelt

nulhypotese og en normalfordelt brunsthypotese. Yderligere anvendes der rekursiv estimeret

middelværdi og varians, som det blev beskrevet under afsnit 6.3.2 således at g(k) antager

k k 20

2 21 j ki j i j

(i j)(z(i) ˆ (i)) 1 (i j)g(k) max2ˆ (i) ˆ (i)≤ ≤

= =

⎛ ⎞ρ − − µ ρ −⎜ ⎟= −⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠∑ ∑ (6.80)

og realiseres rekursivt ved

{g(k 1) 0}

20

{g(k 1) 0} 2 2

g(k) max(0,S(k))N(k) N(k 1) 1 1

(N(k) 1)(z(k) ˆ (k)) (N(k) 1)S(k) S(k 1) 1ˆ (k) 2 ˆ (k)

− >

− >

== − ⋅ +

ρ − − µ ρ −= − ⋅ + −

σ σ

(6.81)


99

Hvad angår valg af detekteringsprofil, viser en inspektion af residualet for de ”kompenserede” 24

timers gennemsnitsdata viser at der forekommer tydelige profiler i tilfælde af brunst, se f.eks. Figur

6.40.

2.4 9.4 16.4 23.4 30.4 7.5 14.5 21.5 28.5 4.6 11.6 18.6 25.6 2.7 12.7 19.7 26.7 3.8 10.8 17.8 24.8 31.8 7.9 14.9 21.9 29.9 6.10 19.10

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Aktivitets residual (-my0) for ko no. 1246, race SDM, born: 14.11.2000

Tid (Dato)

Figur 6.40 Et residual for aktivitetsdataene for ko 1246, dvs. 24 timers gennemsnitsdata fratrukket et rekursivt estimeret

middelværdi. I signalet fremkommer 9 tydelige brunstprofiler i form af spidser.

Profilernes amplitude er dog varierende fra ko til ko og varierer ligeledes indbyrdes mellem de

forskellige brunsttilfælde for den samme ko, som også fremgår af Figur 6.40. Profilen skal vælges

således at den beskriver dynamikken i brunsttilfældene. De enkelte profilers indbyrdes variation

undersøges ved at hive dem ud fra data og plotte dem separat. Der er trukket ud data for 5 dage

omkring hvert brunsttilfælde for ko nr. 1246, for at give overblik over profilernes indbyrdes

variationer, dette vises på Figur 6.41.


100

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 1

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 2

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 3

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 4

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 5

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 6

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 7

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 8

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

Brunst 9

Figur 6.41 De 9 forskellige brunsttilfælde for ko nr. 1246 fået fra residualet efter middelværdikompensering. Plotterne viser

hvert brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.

I første omgang vælges en detekteringsprofil som svarer til aktiviteten under et af de konstaterede

brunsttilfælde. Det ville være ønskeligt, hvis f.eks. det først konstaterede brunsttilfælde for hver ko,

kunne anvendes som udgangspunkt for en detekteringsprofil. Det står dog klart, at dette ville ikke

altid være hensigtsmæssigt, idet det fremgår af ligning (6.80), at profilen ikke må beskrive en høj

brunstprofil, hvis et af de lavere brunsttilfælde, skal kunne detekteres. Det fremgår af Figur 6.41, at

for ko nr. 1246, synes den først konstaterede brunstprofil, at kunne anvendes til detekteringen.

I første omgang er profilens længde valgt til 24 timer (24 samples) da det svarer til den formodede

maksimale varighed af brunsten. Profilen er trukket ud af dataene symmetrisk omkring det

tidspunkt hvor summen af en 24 timers vindue kørt over området omkring brunsttilfælde er i

maksimum, denne samme metode er beskrevet i afsnit 6.2. For ko 1246 vælges derfor følgende

profil.


101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 248

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Profil for ko nr. 1246

Samples

Figur 6.42 Den valgte profil for ko 1246. Profilen er fået ved at hive koens første brunsttilfælde ud af dens 24 timers

gennemsnitsdata.

Detekteringstærskelen h er manuelt bestemt, således at CUSUM testen detekterer

brunsttilfældene og ikke giver falske alarmer. Beslutningsfunktionen g(k), er beregnet og plottet for

ko 1246 i Figur 6.43.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

500

1000

1500

2000Dynamisk profil CUSUM for avg24 ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

500

1000

1500

2000

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

500

1000

1500

2000

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.43 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246 i tilfælde af dynamisk profil CUSUM på 24 timers gennemsnitsdata.

Det er konstateret at alle brunsttilfældene for ko 1246 er detekteret uden falsk alarm. De følgende

tidsmæssige data beregnes udfra detekteringer og de brunstreferencer, der blev beskrevet i afsnit

6.2.


102

Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 17 – 1.5.2006 20 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 19 – 22.5.2006 14 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 10 – 12.6.2006 16 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 12 – 2.7.2006 6 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 02 – 23.7.2006 10 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 10 – 14.8.2006 11 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 01 – 1.9.2006 3 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 16 – 21.9.2006 17 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 07 – 11.10.2006 12 Gennemsnit: 12.1

Tabel 6.16 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246.

Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.

Som et andet eksempel på brunstdetektering vha. CUSUM test til detektering af en dynamisk

profil, betragtes ko nr. 334.

Denne ko giver et godt eksempel på hvor meget brunstprofilerne kan variere i forhold til hinanden.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

Aktivitets residual (-my0) for ko no. 334, race RDM, born: 12.10.2002

Tid (Dato)

Figur 6.44 Et residual for aktivitetsdataene for ko 334, dvs. 24 timers gennemsnitsdata fratrukket en rekursivt estimeret

middelværdi. I signalet fremkommer både tydelige og mindre tydelige brunstprofiler i form af spidser.

Som det er fremkommet tidligere, varierer køerne i hvor tydelige profilerne fremkommer i dataene.

Hos ko nr. 334 ses der nogle tydelige brunsttegn og andre mindre tydelige som f.eks. brunst nr. 3

vist på Figur 6.45.


103

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 1

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 2

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 3

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 4

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 5

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 6

0 20 40 60 80 100 120

-10

0

10

20

30

40

50

60

Brunst 7

Figur 6.45 De forskellige brunsttilfælde for ko nr. 334 fået fra residualet efter middelværdikompensering. Plotterne viser

hvert brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.

Anvendes koens første brunsttilfælde som profil til detekteringen, resulterer det kun i to

detekteringer af de 7 forekomne brunsttilfælde, nemlig detektering af brunst 1 og brunst 5. Dette

skyldes det faktum at profilen er markant større i amplitude end de andre brunstprofiler, som

resulterer i CUSUM udtrykkets venstre side (se ligning (6.76), s. 97) ikke når en tilstrækkelig

størrelse i forhold til udtrykkets højre side. Det er derfor ret vigtigt at vælge en profil med en

passende amplitude til detekteringen. Det er besluttet at anvende brunsttilfælde 2 som profil i

detekteringen for ko 334. Profilen er plottet på Figur 6.46

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240123456789

10111213141516171819202122

Profil for ko nr. 334

Samples

Figur 6.46 Den valgte profil for ko 334. Profilen er fået ved at hive koens første brunsttilfælde ud af dens 24 timers

gennemsnitsdata.

Et plot af beslutningsfunktionen vises på Figur 6.47


104

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50010001500200025003000

Dynamisk profil CUSUM for avg24 ko no. 334, race RDM, født: 12.10.2002

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50010001500200025003000

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50010001500200025003000

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.47 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 334. Den grønne lodrette stiplede linie indikerer detekteringen, dvs. når g(k)

har overskredet h tærskelen. Den lyserøde lodrette linie bruges som reference.

Det fremgår af Figur 6.47 at der detekteres alle brunsttilfælde undtagen brunsttilfælde 3. Ses der

nærmere på brunsttilfælde 3 i Figur 6.45, ses at der er meget begrænsede afvigelser i dette

brunsttilfælde og er derfor ikke velegnet til profildetektering. Den nedenfor viste tabel viser

brunstdetekteringer for ko nr. 334.


1 Kl. 21 – 5.4.2006 Kl. 21 – 4.5.2006 0 2 Kl. 23 – 26.5.2006 Kl. 7 – 27.5.2006 8 3 Kl. 21 – 15.6.2006 Ikke detekteret - 4 Kl. 11 – 2.7.2006 Kl. 20 – 2.7.2006 9 5 Kl. 22 – 25.7.2006 Kl.21 – 25.7.2006 -1 6 Kl. 2 – 15.8.2006 Kl. 13 – 15.8.2006 11 7 Kl. 3 – 3.9.2006 Kl. 11 – 3.9.2006 8 Gennemsnit: 7

Tabel 6.17 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 7 brunsttilfælde for ko nr. 334.

Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.

Tilsvarende dynamisk profil CUSUM er lavet for de resterende 10 inseminerede køer hvor,

aktiviteten, svarende til det førstkonstaterede brunsttilfælde, for hver ko, anvendes som

brunstprofil. For 7 af køerne lykkedes detekteringen uden fejl, og for 5 af køerne fremkom der

enten mangelfulde detekteringer eller falske detekteringer. Nogle af de 5 mindre succesfulde

tilfælde ville formentlig kunne forbedres ved at vælge en anden profil end det første brunsttilfælde,

da brunsttilfældene kan variere for den enkelte ko. Grundet de store variationer i brunstprofilernes

amplitude kan detektorernes evner til at detektere variere en del, afhængig af størrelsen af den


105

valgte profil. Derfor ville en GLR-test til detektering være et interessant alternativ da den

detekterer en profil af ukendt amplitude.

6.5.3 Kompenseret logaritmisk transformerede rådata

Selvom der opnås en relativ sikker detektering, ved brug af avg24(k), er det blevet vist under afsnit

6.3, at en detektering på avg24(k) er længer tid om at detektere, end en tilsvarende detektor, der

anvender rådata. Det ønskes derfor undersøgt om profildetektering i rådata kan yde lige så sikker

og evt. en hurtigere detektering af brunsttilfældene i forhold til detektering ved anvendelsen af 24

timers gennemsnitsdata. Det er som udgangspunkt valgt at anvende de kompenserede logaritmisk

transformerede data som grundlag til detektoren. Det er i afsnit 6.3.3 konstateret at dataene

tilnærmer sig en normalfordeling.

Ligesom i det forudgående afsnit, tages udgangspunkt i ko nr. 1246 i det følgende. Residualet

efter logaritmisk transformation og kompensering for middelværdi og perioderne 24,12,8,6,4.8 og

4 timer for ko nr. 1246 vises på Figur 6.48

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Aktivitet for ko no. 1246, race SDM, born: 14.11.2000

Tid (Dato)

Figur 6.48 Et residual for aktivitetsdataene for ko 1246, dvs. logaritmisk transformeret rådata fratrukket et rekursivt estimeret

middelværdi og periodiske træk.

Af figuren fremgår der at der ikke fremkommer lige så tydelige spidser i tilfælde af brunst, som det

gør for 24 timers gennemsnitsdata, da rådataene er en del mere støjprægede. De 9 forskellige

brunsttilfælde plottes for at se nærmere på evt. profiler i dataene, hvor aktivitetsdataene i 5 døgn

omkring brunstdagen plottes separat, plotterne er vist på Figur 6.49.


106

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 3 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 4 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 5 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 6 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 7 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 8 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 9 ko 1246

Figur 6.49 De 9 forskellige brunsttilfælde for ko nr. 1246 fået fra kompenserede logaritmisk transformerede data. Plotterne

viser hvert brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.

Det fremgår af Figur 6.49, at selvom der er tegn på brunst i de plottede data, så er brunstprofilerne

meget støjprægede og ville sandsynligvis ikke fungere særlig godt i en detektor. Der er derfor

lavet et filter, til præfiltrering af profildataene. Filtret har til formål at formindske variansen af

signalet uden at dæmpe selve udslaget i dataene der vurderes at hidrøre fra brunsttilfældet. Ved

design af filtret tages udgangspunkt i design af et første ordens lav pas filter udfra et ønske om

mindst mulig varians efter filtreringen. Det første ordens filter der skal designes er beskrevet ved

følgende overføringsfunktion:

H(s) 0sα

= α >+ α

for stabilitet (6.82)

Filtrets designparameter α bestemmes således at filtret ikke påvirker selve profilen og dæmper

højere frekvenser. Eftersom α svarer til filtrets knækfrekvens kan den bestemmes ud fra hvilken

variation hidrørende fra profilen, ønskes uberørt af filtreringen. Der tages udgangspunkt i koens

første brunsttilfælde som er vist på Figur 6.50


107

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 1246

Figur 6.50 På figuren vises 5 dage omkring brunsttilfælde 1. Ind på figuren er angivet et tidsrum ∆t som anvendes til design

af et filter.

Dataene indikerer at koen har været i brunst i perioden mellem 30 timer til omkring 42 timer på

Figur 6.50. På Figur 6.50 er angivet den tid, ∆t, der svarer til ca. en halv profillængde. Denne tid

kan også anskues værende en fjerde del af en hel periode af en kurve, hvor kurven har den

frekvens som ikke ønskes dæmpet. Frekvensen svarende til dynamikken i profilen beregnes til

følgende:

6udæmpet

1f 11.6 10 Hz6 4 3600s

−= = ⋅⋅ ⋅

(6.83)

Det er valgt at placere filtrets knækfrekvens ωk ved denne frekvens, som svarer til at α

6 6

k udæmpet2 f 2 11.6 10 72.7 10− −α =ω = π = π ⋅ = ⋅ (6.84)

Det resulterende filter bliver derfor

6

672.7 10H(s)

s 72.7 10

−

−⋅

=+ ⋅

(6.85)

og har følgende bodeplot

∆t = 6 timer


108

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2-90

-45

0

Pha

se (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (

dB)

System: gFrequency (rad/sec): 7.24e-005Magnitude (dB): -3

Figur 6.51 Et bodeplot af det designede filter.

Hvis filtrets input antages værende en stationær random proces beskrevet ved

autokorrelationsfunktionen:

2ww wR ( ) e 0−β ττ = σ β > (6.86)

hvor 2wσ er variansen og β er signalets båndbredde kan variansen af signalet efter filtrering

beregnes. Variansen af inputsignalet 2wσ estimeres til 0.16 i Scilab og systemets båndbredde β

antages værende lige med samplingsfrekvensen β = 2πfs = 2π277µHz=0.0017rad/s. Variansen

bestemmes vha. følgende ligning (Kilde 1, side 645

62 2 3y w 6

72.7 10 0.16 6.56 1072.7 10 0.0017

−−

⇒ −α ⋅

σ = σ = ⋅α + β ⋅ +

(6.87)

og følgende støjdæmpningsforhold (Noise Reduction Ratio) opnås:

2 3y2w

6.56 10NRR 0.0410.16

−σ ⋅= = =σ

(6.88)

Filtret er konverteret til et diskret filter vha. Tustin approksimationen og implementeret i Scilab,

hvorefter de filtrerede brunsttilfælde plottes, se Figur 6.52.


109

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 3 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 4 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 5 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 6 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 7 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 8 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 9 ko 1246

Figur 6.52 De 9 forskellige brunsttilfælde for ko nr. 1246 efter filtrering med det designede filter. Plotterne viser hvert

brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.

Det fremgår af figuren at det er lykkedes at filtrere en del variationer væk, således at selve

brunstprofilerne nu forekommer tydeligere i dataene.

Et vigtigt udgangspunkt for valg af profilen er at vælge den således at den har en passende

begyndelse i forhold til residualet, dvs. der skal undgås strækninger med data der ikke tilhører

brunsten før brunstafvigelsen fordi det er de første profilværdier der ”trigger” detekteringen og får

CUSUM'en til at se om de resterende profilværdier også ”passer” til dataene. På Figur 6.53 vises

den valgte profil for ko 1246, ud fra det første brunsttilfælde.


110

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 1246

Figur 6.53 På figuren vises 5 dage omkring brunsttilfælde 1. Ind på figuren er angivet den profil som anvendes til detektering

af brunst .

Det dynamiske profil CUSUM test udføres på rådata med den ovenfor defineret profil for ko 1246.

h er manuelt bestemt og beslutningsfunktionen er fundet og vist på Figur 6.54.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30Dynamisk profil CUSUM for rådata ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.54 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246 kompenseret logaritmisk transformeret rådata. h=5.

Det fremgår af figuren at alle af de 9 brunsttilfælde er succesfuld detekteret. Tabel 6.18 viser mere

præcist hvornår detekteringerne er fundet sted i forhold til referencen.

Profil


111

Brunst forekomst Referencetidspunkt Detekteringstidspunkt Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 3 – 1.5.2006 6 2 Kl. 5 – 22.5.2006 Kl. 6 – 22.5.2006 1 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 23 – 11.6.2006 5 4 Kl. 6 – 2.7.2006 Kl. 3 – 2.7.2006 -3 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 19 – 22.7.2006 3 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 00 – 14.8.2006 1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 21 – 31.8.2006 -1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 2 – 21.9.2006 3 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 19 – 10.10.2006 0 Gennemsnit: 1.66

Tabel 6.18 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246 i tilfælde af

rådata detektering. Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.

Det ses at der er en betydelig forbedring af detekteringstid i forhold til referencen ved anvendelsen

af logaritmisk transformeret rådata end ved anvendelsen af 24 timers gennemsnitsdata, hvor

gennemsnitlig detekteringstid er forbedret fra 12.1 timer til 1.66 for ko nr. 1246. Eftersom det har

vist sig at resultaterne afhænger meget af profilernes amplitude er det interessant at se på en GLR

til detektering af en profil.

6.6 GLR – Dynamisk profil

I de følgende underafsnit er teorien for GLR testen til detektering af en dynamisk profil omhandlet.

Yderligere omhandles design og resultater for testen af aktivitetsdataene i senere underafsnit.

GLR testen er designet og anvendt på det kompenserede logaritmisk transformerede rådatasignal,

hvor resultaterne efterfølgende er diskuteret.

6.6.1 Teori

Det teoretiske grundlag for GLR og CUSUM er det samme, der findes et log-likelihood forhold

mellem to tæthedsfunktioner, men GLR testen afviger i det at amplituden af profilen er ukendt og

skal derfor også estimeres. Tages der udgangspunkt i normalfordelte data anvendes den samme

nulhypotese som i tilfælde af CUSUM testen

( )( ) ( )0 : i ,= 0z µ QH : L z N (6.89)

imens ”fejlhypotesen” skiftes ud med følgende:

( )( ) ( )1 0: i (i k )v,= + −0z µ ρ Q%H : L z N (6.90)

hvor v er en ukendt skalar og ρ% en matrice af ”generelle” profiler.

Som følge af den ukendte parameter v, bliver den cumulative sum udledt til:


112

k k2

k 1 1j 0

i j i j

vS v (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2

− −

= =

= − − − − −∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ% % % (6.91)

hvor v er estimeret som (Kilde 1, side 259

k1

0i j

k1

i j

(i j) ' ( (i) )

v(k, j)(i j) ' (i j)

−

=

−

=

− −

=

− −

∑

∑

ρ Q z µ

ρ Q ρ

%

% %

(6.92)

Beslutningsfunktionen er defineret som værende

kjk M 1 j k v

k k21 1

0k M 1 j ki j i j

g(k) max max(S (v))

v(k, j)ˆmax v(k, j) (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2

− + ≤ ≤

− −

− + ≤ ≤= =

=

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ% % % (6.93)

For at gøre beregningerne mere overskuelige og implementeringen nemmere er ligning (6.93)

omformleret til følgende skalar tilfælde

2 2

k M 1 j k

A 1 Ag(k) maxB 2 B− + ≤ ≤

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.94)

hvor k

02i j

1A (i j)(z(i) )=

= ρ − − µσ ∑ % og

k2

2i j

1B (i j)=

= ρ −σ ∑ %

Ved anvendelse af GLR testen skal M vælges således at M i hvert fald er lig med den valgte

profils længde, da en mindre værdi ikke vil udnytte profilen som ønsket i beregningen af

beslutningsfunktionen.

6.6.2 Kompenserede logaritmisk transformerede rådata

Der ønskes undersøgt om der ved brug af en GLR-test, kan opnås lige så god profildetektering det

kompenserede logaritmisk transformerede rådatasignal som med CUSUM test til detektering af en

dynamisk profil. Hvis en GLR-test kan opnå lige så gode resultater som den forrige, er den til at

foretrække, idet det ikke er nødvendigt, at estimere ændringens størrelse i forvejen. Det er

besluttet at anvende den samme profil som i tilfælde af detekteringen af en profil med en fast

amplitude som er vises på Figur 6.53, s. 110. M er valgt til profilens længde, M = 14. GLR

algoritmen er implementeret med rekursiv estimering af varians som angivet i ligning (6.95)

2 2

k M 1 j k

A 1 Ag(k) maxB 2 B− + ≤ ≤

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.95)

hvor ( ) ( )

( )

k

2i j

i j z iA

i=

ρ −=

σ∑%

og k 2

2i j

(i j)B(i)=

ρ −=

σ∑ %


113

Plot af beslutningsfunktionen for ko nr. 1246 vises på Figur 6.55

Figur 6.55

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30Dynamisk profil GLR for rådata ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.55 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246, GLR dynamisk profil test på kompenserede logaritmisk transformerede

rådata. h = 7.

Det viser sig at det lykkedes at detektere alle af de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246.

Beslutningsfunktionen er dog til dels præget af støj, grundet GLR algoritmens forsøg til at finde en

profil af en ukendt amplitude. Støjen trigger faktisk to falske alarmer. Tabel 6.19 viser hvornår de

succesfulde detekteringer er fundet sted i forhold til referencen.

Brunst forekomst Referencetidspunkt Detekteringstidspunkt Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 3 – 1.5.2006 6 2 Kl. 5 – 22.5.2006 Kl. 6 – 22.5.2006 1 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 0 – 12.6.2006 6 4 Kl. 6 – 2.7.2006 Kl. 4 – 2.7.2006 -2 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 20 – 22.7.2006 4 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 0 – 14.8.2006 1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 23 – 31.8.2006 1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 3 – 21.9.2006 4 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 19 – 10.10.2006 0 Gennemsnit: 2.3

Tabel 6.19 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246 i tilfælde af

rådata detektering. Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.

Det viser sig at GLR algoritmen er lidt længere tid om at detektere end CUSUM algoritmen.


114

6.6.3 Generel profil for kompenseret logaritmisk transformeret rådata

Af praktiske årsager ville det være ønskeligt hvis en generel profil kunne anvendes til detektering

af alle brunsttilfælde. Som grundlag anvendes de kompenserede logaritmisk transformerede

rådata og de filtrerede profiler for alle brunsttilfælde for de 12 inseminerede køer undersøges for

ligheder, se Bilag D for plot af de filtrerede profiler for alle brunsttilfældene. En inspektion af de

tydeligt identificerbare brunsttilfælde viser at en del brunsttilfælde udmønter sig i en forøget

aktivitet af varighed på 15-25 timer. Det virker som at mange af profilerne har det til fælles, at efter

en forøgelse i aktivitet over 7-12 timer forekommer der et konstant område på omkring 4-8 timer

hvorefter aktiviteten aftager over 7-12 timer. Som det er fremkommet tidligere er profilernes

karakteristika i form af amplitude, meget forskellig. Der kan eksperimenteres med et flere af

profiler som har en lignende egenskab og det er valgt at anvende en trapez lignende profil som

udgangspunkt, da dens form passer overens med de ovennævnte karakteristika, se Figur 6.56.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 221

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Generel profil

Samples

Figur 6.56 Den valgte generelle profil til brug i dynamisk profil GLR testen.

GLR testen er udført på samtlige inseminerede køer og der er lavet statistik over resultaterne med

henblik på at belyse succesfulde detekteringer, falske detekteringer og detekteringstid. h er

manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske

detekteringer opnås. På Figur 6.57 vises beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246.


115

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30Dynamisk profil GLR for rådata ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

Tid (dato)

g(k)

Figur 6.57 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246, GLR dynamisk profil test på rådata med en generel profil.

Som det kan ses på Figur 6.57 bliver alle brunsttilfældene detekteret og der forekommer to falske

detekteringer. I Tabel 6.20 vises statistik over algoritmens resultater for samtlige inseminerede

køer. h er manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og

falske detekteringer opnås.



34 0/1 = 0 4681 0 – - 10224 1/2 = 0.5 4681 1 4681 1 11307 1/1 = 1 4681 3 1560 10 6334 4/7 = 0.57 4681 0 – 2.75 10353 2/2 = 1 4273 0 - 8 13.5371 1/2 = 0.5 4681 0 - 2 10373 1/4 = 0.25 4681 3 1560 2 8494 3/4 = 0.75 4681 1 4681 11 8.5

1198 2/3 = 0.67 4681 0 - -4 131246 9/9 = 1 4681 2 2340.5 2.33 71253 3/4 = 0.75 4681 0 - 8.66 7244 3/3 = 1 4681 0 – 4.33 13

Tabel 6.20 Detekteringsresultater for GLR dynamisk profil anvendt på kompenserede logaritmisk transformerede rådata for

de 12 inseminerede køer.

Der er beregnet Sratio , Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede

køer.

ratio30S 0.7142

= = ratio55764F 5576[h]

10= = det_ tid 4.23[h]=


116

6.7 Opsummering af resultater

Dette afsnit har til formål at opsummere de, i kapitel 6, opnåede resultater således at et grundlag

for sammenligning af de forskellige Change Detection algoritmer kan foretages. Ved efterfølgende

sammenligning tages der udgangspunkt i følgende udviklede change detektorer:

• CUSUM anvendt på avg24 signal, normalfordelt normaladfærd og normalfordelt

brunstadfærd

• CUSUM anvendt på kompenseret rådata signal, Rayleighfordelt normaladfærd og

normalfordelt brunstadfærd.

• CUSUM anvendt på kompenseret rådata signal efter logaritmisk transformation,

normalfordelt normaladfærd og normalfordelt brunstadfærd.

• GLR anvendt på kompenseret rådata signal, Rayleigh fordelt normaladfærd og

normalfordelt brunstadfærd.

• GLR anvendt på kompenseret rådata signal efter logaritmisk transformation,

normalfordelt normaladfærd og normalfordelt brunstadfærd.

• GLR til detektering af en generel dynamisk profil, på kompenseret rådata signal

efter logaritmisk transformation, normalfordelt normaladfærd og normalfordelt

brunstadfærd.

Det er allerede omtalt i afsnit 6.2, s. 44, at succeskriterierne for detektorerne er at fange flest

mulige af de identificerede brunsttilfælde så tidligt i brunst fasen som det er muligt, uden at have

for mange falske alarmer. I løbet af kapitel 6 er der flere steder vist detekteringsresultater for de

diverse udviklede detektorer i form af Sratio, Fratio og gennemsnitlig detekteringstid per brunst, hvor

disse er fundet ud fra test på samtlige inseminerede køer. Det er disse resultater som her er

opsummeret i følgende plot.

Sratio95

8676

9083

71

0102030405060708090

100

%

CUSUM avg24 signal, Normal-Normal

CUSUM rådata kompenseret, Rayleigh-Normal

CUSUM log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR rådata, kompenseret, Rayleigh-Normal

GLR log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR log-transformeret rådata, kompenseret,Generel profil, Normal-Normal

Figur 6.58 En søjlegraf der viser forholdet mellem antal succesfulde detekteringer og antal estimerede brunsttilfælde (Sratio)

for nogle af de udviklede brunstdetektorer.


117

Fratio

69716196

5069

9294

6196 5576

0100020003000400050006000700080009000

10000

Sam

ples





Figur 6.59 En søjlegraf der viser gennemsnitlig antal samples mellem falske detekteringer (Fratio) for nogle af de udviklede

brunstdetektorer.

Gennemsnitsdetekteringstid per brunst

7

1

2.62.4

3.4 4.2

0123456789

10

Tim

er





Figur 6.60 En søjlegraf der viser gennemsnits detekteringstid per brunst i forhold til en fælles reference, for nogle af de

udviklede brunstdetektorer.

Det fremgår af Figur 6.58 at CUSUM detektoren som detekterer en ændring i middelværdi, og er

baseret på logaritmisk transformerede data, fanger 95 % af brunsttilfældene. De resterende

detektorer fanger fra 71 % til 90 % af tilfældene.

Af Figur 6.59 fremgår at fleste detektorer ligner forholdsvis meget hinanden når det kommer til

gennemsnit samples mellem falske detekteringer (30-42 uger). En afvigelse heraf er GLR

detektoren, baseret på kompenserede rådata, som har en markant længere tid mellem falske

alarmer end de resterende detektorer (55 uger).


118

Hvad angår detekteringstid har CUSUM detektoren baseret på avg24 længst gennemsnitlig

detekteringstid som også er forventet. CUSUM på kompenserede rådata har den korteste

detekteringstid, i gennemsnit 1 time efter referencetidspunktet for brunst.

Resultaterne skal ses i lys af at h er manuelt bestemt for køerne.

6.8 Delkonklusion

I kapitlet blev udvikling af Change Detector algoritmer beskrevet. Der blev udviklet CUSUM og

GLR algoritmer til detektering af en ændring i middelværdi og til detektering af en profil i dataene.

Algoritmerne blev afprøvet på fire variationer af aktivitetsdataene, den ene er rådata den anden er

rådata kompenseret for frekvenser tilhørende døgnrytmen, den tredje er et filtreret datasignal og

den fjerde et kompenseret logaritmisk transformeret signal. Seks af de udviklede algoritmer blev

afprøvet på samtlige inseminerede køer hvorefter de blev sammenlignet hvad angår succesfulde

detekteringer, tid mellem falske detekteringer og detekteringstid per brunst.


119

7 Multible hypotesetest Som det er blevet beskrevet under kapitel 2, går ikke drægtige køer normalt i brunst med 20-22

dages mellemrum. Det foreliggende kapitel beskriver undersøgelser i forbindelse med multible

hypotesetest som et middel for at reducere antallet af falske detekteringer. Ved f.eks, at

implementere den betingelse i detektoralgoritmen, at detektoren får en øget følsomhed i de

perioder hvor der er gået 20-22 dage fra en periode med forøget aktivitet, kan detektorens

sikkerhed forøges. Der undersøges derfor om multible hypotesetest, kan anvendes i denne

sammenhæng.

De multible hypotesetest bliver imidlertid realiseret ved en vektorbaseret hypotesetest. Der

anvendes to signaler, hhv. et datasignal og et datasignal forsinket med den estimerede periode

mellem to brunsttilfælde. Disse to signaler beskrives eller ordnes, i en vektor, og danner en

indgangsvektor til en vektorbaseret brunstdetektor. Dataene i vektoren betragtes kombineret, og

giver et større udslag i detektoren i tilfælde af to brunsttilfælde i træk, med den specificerede

periode imellem de to brunsttilfælde.


7.1 Vektorbaseret CUSUM algoritme

Som det første testes for en kendt ændring i middelværdi for et vektorsignal. Der tages

udgangspunkt i et ukorrileret normalfordelt vektorsignal. Detektoren skal skelne i mellem følgende

hypoteser:

Nullhypotesen

( )( ) ( )0 : k ,= 0z µ QH : L z N (7.1)

hvor Q er kovariansmatricen. Fejlhypotesen bliver

( )( ) ( )1: k ,= 1z µ QH : L z N (7.2)

En normalfordelt tæthedsfunktion for et n-dimensionalt vektorsignal kan beskrives ved (Kilde 1, side 254

( )( )

( ) ( )1n

1 1p exp '22 det

−⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠π

µ z z µ Q z µQ

(7.3)

Log-likelihood for de hypoteser, der vises i ligninger (7.1) og (7.2), på et normalfordelt vektorsignal

som beskrives ved ligning (7.3), vises i ligning (7.4) (Kilde 1, side 254

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1

0

1 11 1 0 0

11 0 0 1

p k 1 1s k ln k ' k k ' k2 2p k

1' k2

− −

−

= = − − − + − −

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

µ

µ

zz z µ Q z µ z µ Q z µ

z

µ µ Q z µ µ

(7.4)


120

CUSUM-testen udføres på RLS kompenseret logaritmisk transformeret data, εlog(z(k)+1)(k).

Vektorsignalet består, som beskrevet ovenfor, af hhv. et datasignal samt et datasignal forsinket

om et estimeret antal samples mellem to brunsttilfælde i træk. Vektorsignalet bliver derved

afhængigt af både samplenummeret k samt forsinkelsen, her betegnet D:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

log z k 1log z k 1

log z k 1

kk,D k D

++

+

⎛ ⎞ε⎜ ⎟=ε −⎜ ⎟⎝ ⎠

ε hvor D 1 k N+ ≤ ≤ (7.5)

Ligesom vektorsignalet er afhængigt af både k og D, er variansmatricen det ligeledes, idet

variansen er rekursivt bestemt. Kovariansmatricen skrives som:

2

2

(k) 0(k,D)

0 (k D)

⎛ ⎞σ= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ −⎝ ⎠

Q (7.6)

hvor σ2(k) bestemmes rekursivt i henhold til ligning (6.15) på s. 56. Idet signalet består af et

residual, hvor middelværdien antages som værende lig med 0, samt en rekursiv estimeret varians,

bliver log-likelihood:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )11 1log z k 1 log z k 1

1ˆ ˆs k,D ' k,D k,D2

−+ +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

ε µ Q ε µ (7.7)

hvor 1µ består af

( )1 111= µµ ˆ

Beslutningsfunktionen for CUSUM-testen bliver:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )log z k 1g k,D max 0, g k 1,D s k,D+= − + ε (7.8)

Det faktum, at perioden som går mellem to brunsttilfælde hos ikke drægtige køer, forventes at

være 20-22 dage indebærer, at det ikke kan forventes en konstant periodetid mellem

brunsttilfælde hos hver ko.

For at undersøge hvordan tiden mellem brunsttilfældene kan variere, plottes koens aktivitet i

parellelle plots, hvor hvert plot plottes over den periode, der giver mindst varians i afstanden fra

plottets venstre side ud til brunstreferencer. Der tages udgangspunkt i ko nr. 1246, idet der

foreligger flest brunsttilfælde for den. De enkelte brunstreferencer findes vha. samme metode som

beskrevet under afsnit 6.2, s. 46.

Et plot af εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246, i parallelle subplots, vises på Figur 7.1. Den periodetid, der

gav den mindste varians i afstanden fra plottets venstre side, ud til brunstreferencerne for ko nr.

1246, blev fundet til 491 samples. De 491 samples svarer til 20.46 døgn. Som følge af det, blev D

sat lig med 491 samples, for ko nr. 1246.


121

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480 504-2-1012

t[h]

491 515 539 563 587 611 635 659 683 707 731 755 779 803 827 851 875 899 923 947 971 995-2-1012982 1006 1030 1054 1078 1102 1126 1150 1174 1198 1222 1246 1270 1294 1318 1342 1366 1390 1414 1438 1462 1486

-2-10121473 1497 1521 1545 1569 1593 1617 1641 1665 1689 1713 1737 1761 1785 1809 1833 1857 1881 1905 1929 1953 1977

-2-10121964 1988 2012 2036 2060 2084 2108 2132 2156 2180 2204 2228 2252 2276 2300 2324 2348 2372 2396 2420 2444 2468

-2-10122455 2479 2503 2527 2551 2575 2599 2623 2647 2671 2695 2719 2743 2767 2791 2815 2839 2863 2887 2911 2935 2959

-2-10122946 2970 2994 3018 3042 3066 3090 3114 3138 3162 3186 3210 3234 3258 3282 3306 3330 3354 3378 3402 3426 3450

-2-10123437 3461 3485 3509 3533 3557 3581 3605 3629 3653 3677 3701 3725 3749 3773 3797 3821 3845 3869 3893 3917 3941

-2-10123928 3952 3976 4000 4024 4048 4072 4096 4120 4144 4168 4192 4216 4240 4264 4288 4312 4336 4360 4384 4408 4432

-2-10124419 4443 4467 4491 4515 4539 4563 4587 4611 4635 4659 4683 4707 4731 4755 4779 4803 4827 4851 4875 4899 4923

-2-1012 RLS kompenseret logaritmisk transformeret aktivitetsindeks, for ko nr. 1246

Figur 7.1 Aktivitetsindeks for εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246, plottet parallelt i subplots, hvor hvert subplot er plottet over 491

samples. Det nederste subplot indeholder de første samples i datarækken, mens det øverste subplot indeholder de sidste samples. Referencer for brunsttilfælde vises med lodrette stiplede lyserøde linier.

Som det fremgår af Figur 7.1 er der fire brunsttilfælde i træk, der falder rimelig godt sammen, dvs.

brunsttilfælde 2-5. Det kan også ses, at brunsttilfælde 7 og 8, falder godt sammen.

Der udføres en vektorbaseret CUSUM-test, for ko nr. 1246, i henhold til ligninger (7.8), (7.7) og

(7.5), hvor D er valgt til 491 samples. 1µ bestemmes på samme måde som tidligere, dvs. ved

offline estimering af de kendte brunsttilfælders middelværdi. g(k) for denne test vises på Figur 7.2.


122

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30

40CUSUM-RLS_log_vec, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k,

D)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

40

g(k,

D)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

40

Tid (dato)

g(k,

D)

Figur 7.2 g(k) for vektorbaseret CUSUM på εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246. D = 491, h = 20.

Som det fremgår af Figur 7.2 bliver udslaget i g(k,D) under brunst, højere hvis der, er et

brunsttilfælde omkring de 491 samples tidligere. Her er det nyttigt, at sammenholde figuren med

Figur 6.33 på s. 86. Der fremgår det bl.a., at de første fire brunsttilfælde, giver lignende udslag i

g(k,D). Det er ikke tilfældet på Figur 7.2, idet det tydeligt kan ses, at brunsttilfælde 3-5, er

forstærket i forhold til de to første. Det skyldes, at ved en forsinkelse på 491 samples, rammer

brunsttilfælde 2-5 rimeligt oveni hinanden, og giver derfor et større udslag i den vektorbaserede

CUSUM. En anden forskel, der fremkommer ved sammenligning af de to figurer, er at

brunsttilfælde 8 giver nu et betydeligt højere udslag i g(k,D), end brunsttilfælde 7, hvilket det ikke

gjorde i den ”almindelige” CUSUM. Det skyldes, at brunsttilfælde 7 og 8 rammer godt oveni

hinanden, ved en forsinkelse på 491 samples, og giver derfor et fortærket udslag ved brunst 8.

Som det fremgår af figuren er det kun de brunsttilfælde, hvor der har været et brunsttilfælde

omkring de 491 samples tidligere, der bliver fanget. Det skal ses i lyset af, at h er valgt lig med 20,

netop for kun, at fange brunsttilfælde, der indtræffer omkring de 491 samples efter et tidligere

brunsttilfælde.

7.2 Vektorbaseret GLR algoritme

Ligesom for det skalere tilfælde undersøges en GLR-test til dette formål. Viser det sig, at en

vektorbaseret GLR-algoritme giver mindst ligeså gode resultater som en CUSUM-algoritme, er

den til at foretrække, idet den unødvendiggør en estimering af µ1.

Den ændring i middelværdi, der ønskes detekteret vha. detektoren, kan beskrives ved (Kilde 1, side 254


123

1 0= + νµ µ Γ (7.9)

hvor Γ er en kendt vektor og ν er en skalar variabel af ukendt størrelse. Det er derved Γ (samt µ0),

der beskriver forholdet mellem de enkelte elementer i µ1.

Sættes ligning (7.9) ind i ligning (7.4), kan følgende log-likelihood sum udledes (Kilde 1, side 255

( )( )( )

( )( ) ( )( )0

0

k kk 1 2 1j 0

i j i j

p i 1S ln ' i '2p i

+ ν − −

= =

⎛ ⎞ν = = ν − − ν⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑µ Γ

µ

zΓ Q z µ Γ Q Γ

z (7.10)

Med rekursiv estimering af varians og middelværdi lig med 0 fås:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k

1 1k 2j log z k 1

i j

1S ,D ' i,D i,D ' i,D2

− −+

=

⎛ ⎞ν = ν − ν⎜ ⎟⎝ ⎠∑ Γ Q ε Γ Q Γ (7.11)

Det kan imidlertid ses, at denne funktion har et maksimum i forholdt til ν. Ligningen differentieres i

forhold til ν og sættes lig med 0, hvilket giver.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

kk1 1j

log z k 1i j

S ,D' i,D i,D ' i,D 0− −

+

=

∂ ν= − ν =

∂ν ∑ Γ Q ε Γ Q Γ (7.12)

Dermed bliver ν , som funktion af j og k

( )( ) ( )( ) ( )

( )

k1

log z k 1i j

k1

i j

' i,D i,D

ˆ j,k,D

' i,D

−+

=

−

=

ν =∑

∑

Γ Q ε

Γ Q Γ

(7.13)

Ligning (7.13) sættes ind i ligning (7.11) og summen af log-likelihood bliver derved

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

k1

log z k 1k1q jk

j log z k 1k1i j

q j

2k1

log z k 1k1q j

k1i j

q j

' q,D q,D

ˆS j,k,D ,D ' i,D i,D

' q,D

' q,D q,D1 ' i,D2

' q,D

−+

−=+

−=

=

−+

−=

−=

=

ν =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

∑

∑∑

∑

Γ Q ε

Γ Q ε

Γ Q Γ

Γ Q ε

Γ Q Γ

Γ Q Γ

(7.14)


124

Beslutningsfunktionen bliver derved

( ) ( )( )kjk M 1 j k

ˆg k,D max S j,k,D ,D− + ≤ ≤

= ν (7.15)

Der udføres en test som undtagen den beregningsalgoritme, der anvendes, er identisk med den,

der blev udført under afsnit 7.1.

På Figur 7.3 vises g(k,D) for en GLR-test, udført på εlog(z(k)+1)(k,D) for ko nr. 1246.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30

40GLR-RLS_log_vec, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k,

D)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

40

g(k,

D)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

40

Tid (dato)

g(k,

D)

Figur 7.3 g(k,D) for vektorbaseret GLR på εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246. D = 491, h = 20.

Det kan konstateres, ved sammenligning af Figur 7.3 med Figur 7.2, s. 122, at der ikke er tale om

markante foreskelle på de to figurer. Det skal dog siges, at g(k,D) på Figur 7.3 er en anelse mere

støjpræget, end den på Figur 7.2. Det kan samtidigt siges, at det ville formentlig resultere i flere

falske detekteringer, at bruge GLR, hvis h værdien blev sænket således, at samtlige brunsttilfælde

skulle detekteres.

7.3 Vektorbaseret GLR algoritme ved brug af dynamisk profil

Den vektorbaserede GLR, hvor indtrædelsen af fejl, i dette tilfælde et brunsttilfælde, beskrives ved

en dynamisk profil, er en vektorbaseret udgave, af den under afnsit 6.6 beskrevne GLR for

dynamisk profil. Der tages udgangspunkt i GLR fra de kompenserede logaritmisk transformerede

data som angivet i ligning (6.93) på s. 112


125

kjk M 1 j k v

k k21 1

0k M 1 j ki j i j

g(k) max max(S (v))

v(k, j)ˆmax v(k, j) (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2

− + ≤ ≤

− −

− + ≤ ≤= =

=

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ% % % (7.16)

hvor

k1

0i j

k1

i j

(i j) ' ( (i) )

v(k, j)(i j) ' (i j)

−

=

−

=

− −

=

− −

∑

∑

ρ Q z µ

ρ Q ρ

%

% %

(7.17)

Som i det forudgående afsnit arbejdes der med dataene

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

log z k 1log z k 1

log z k 1

kk,D k D

++

+

⎛ ⎞ε⎜ ⎟=ε −⎜ ⎟⎝ ⎠

ε (7.18)

og kovariansmatricen defineres ved

2

2

(k) 0(k,D)

0 (k D)

⎛ ⎞σ= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ −⎝ ⎠

Q (7.19)

Profil matricen indeholder to ens generelle profiler for residualerne og defineres

ρ1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 10 10 10 10 8.8 7.7 6.6 5.5 4.4 3.3 2.2 1.11.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 10 10 10 10 8.8 7.7 6.6 5.5 4.4 3.3 2.2 1.1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

% (7.20)

Den multiple hypotesetest GLR algoritme er implementeret med rekursiv estimering af

middelværdi og varians som angivet i ligning (6.95), s. 112

2 2

k M 1 j k

A 1 Ag(k) maxB 2 B− + ≤ ≤

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.21)

hvor ( ) ( ) ( )( ) ( )( )k

1log z k 1

i j

A i j ' i,D i,D−+

=

= −∑ρ Q ε% og ( ) ( ) ( )k

1

i j

B i j ' i,D i j−

=

= − −∑ρ Q ρ% %

Beslutningsfunktionen for g(k) er vist på Figur 7.4


126

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30

40Dynamisk profil GLR, vektor baseret, for ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

40

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

40

Tid (dato)

g(k)

Figur 7.4 Beslutningsfunktionen for ko nr. 1246 som et resultat af et multipel hypotesetest implementeret i form af en

vektorbaseret GLR baseret på detektering af en generel dynamisk profil.

Det kan konstateres, ved sammenligning af Figur 7.4 med figurerne for de øvrige vektorbaserede

detektore (se Figur 7.2 s.122 og Figur 7.3 s.124), at der ikke er tale om markante foreskelle på

figuren, og de andre figurer.

7.4 Modificeret vektorbaseret GLR algoritme

Som det fremgik af Figur 7.1, s. 121, varierer den periode, der går mellem to brunsttilfælde, for

hvert brunsttilfælde. For at undersøge sammenhængen mellem D og det udslag, der udmønter sig

i g(k, D) under brunst, blev g(k, D) plottet over hele dataperioden for forskellige værdier af D. På

Figur 7.5 vises g(k, D), beregnet ved en vektorbaseret CUSUM, for ko nr. 1246. Figuren er plottet

over hele dataperioden for D = [ 456, 576] [samples], hvilket svarer til 19-24 døgn.


127

Figur 7.5 g(k,Ddealay) ved en vektorbaseret CUSUM for ko nr. 1246. Plottet er plottet for D = [ 456, 576] over hele dataperioden,

dvs. fra 1.4.2006 – 12.10.2006, hvilket svarer til 4680 samples.

Som det fremgår af Figur 7.5 er det forskelligt mellem brunsttilfælde, hvilken periode, D, giver det

største udslag i g(k, D), idet den periode, der går mellem to brunsttilfælde, ikke er konstant. Dette

vises også på Figur 7.6 hvor g(k, D) plottes for k = [ 2650, 3300], hvilket svarer til omkring 27 døgn

og dækker den periode hvor brunsttilfælde nr. 5 og 6 indtræffer.


128

g(k, D), ved en vektorbaseret CUSUM for ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

0

10

20

30

g(k,

D)

440460480500520540560580 D [samples]

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

3300

k [samples]

Figur 7.6 g(k,Ddealay) ved en vektorbaseret CUSUM for ko nr. 1246. Plottet er plottet for D = [ 456, 576] og k = [ 2650, 3300].

Figur 7.6, viser tydeligt hvordan forskellige værdier af D giver det maksimale udslag i g(k, D) for de

to forskellige brunsttilfælde. Der blev derfor lavet en modificeret udgave af den under afsnit 7.2

vektorbaserede GLR algoritme. I den modificerede udgave maksimeres algoritmen i forhold til D,

udover i forvejen, at være maksimeret i forhold til den estimerede indtræffelsestidspunkt for fejlen,

j. Ligning (7.15) s. 124 ændres derfor til:

( ) ( )( )min max

kjD D D k M 1 j k

ˆg k max max S j,k,D ,D≤ ≤ − + ≤ ≤

= ν (7.22)

hvor Dmin = 480 [samples] og Dmax = 528 [samples], hvilket svarer til hhv. 20 og 22 døgn. På Figur

7.7 vises g(k) for den modificerede GLR-algoritme, for ko nr. 1246.


129

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

10

20

30

40

50GLR-D-RLS_log_vec, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005

g(k)

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

10

20

30

40

50

g(k)

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

10

20

30

40

50

Tid (dato)

g(k)

Figur 7.7 g(k) for vektorbaseret GLR på εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246. h = 20.

Som det fremgår af Figur 7.7 bliver alle brunsttilfælde, undtaget det første, detekteret ved en

tærskel h = 20. Figuren viser hvordan, de brunsttilfælde, der tidligere ikke blev detekteret ved h=

20 og den tidligere fastsætte D = 491 (se Figur 7.3, s. 124), nu resulterer i et større udslag i g(k)

end tidligere.

7.5 Delkonklusion

I kapitlet blev udvikling af multible hypotesetest i form af Change Detection algoritmer beskrevet.

Der blev udviklet vektorbaserede CUSUM og GLR algoritmer til detektering af en ændring i

middelværdi og til detektering af en profil i dataene. GLR algoritmen til detektering af en ændring i

middelværdi blev yderligere forbedret i forhold til forsinkelsen D. Denne algoritme viser lovende

resultater.


130


131

8 Diskussion Diskussionen er en sammenfatning og vurdering af det udførte projektarbejde og af de resultater,

der blev beskrevet i rapporten. Efterfølgende diskuteres rapportens indehold i 3 separate dele,

hvor den første omhandler data og databehandling, den anden omhandler indledende

undersøgelser af data og den tredje omhandler aktivitetsdata og udviklingen af Change Detector

algoritmer og resultater.

Data, databehandling og kategorisering

Data fra KFC blev organiseret i en Scilab-struktur som giver godt grundlag for anvendelse i

analyser og detektorer. Da der var tale om forholdsvis store mængder data fra sensorer monteret

på mange køer over en lang periode, kunne det forvæntes at dataene til en vis grad var

mangelfulde. Det viste sig at der forekom samples i dataene som ikke indeholdt en måleværdi og

derfor ikke angav nogen information om den pågældende måling. I tilfælde af dette blev samplet

angivet som NaN (Not a Number). For samtlige algoritmer, er der taget højde for optrædelse af

NaN i dataene.

Kategorisering af aktivitetsdata tog udgangspunkt i at dele samtlige køer ned i tre kategorier,

nemlig normale, inseminerede og køer med sygdomme og mangelfulde data. De normale og

inseminerede kategorier tog udgangspunkt i at ingen af køerne var blevet behandlet for

sygdomme i dataperioden. Disse to kategorier dannede derved et grundlag for undersøgelser for

hhv. normal adfærd og brunstadfærd. Det viser sig at 74 % af køerne kategoriseres som køer med

sygdomme og mangelfulde data, hovedsageligt pga. sygdoms- eller forebyggende

sygdomsbehandlinger i perioden. For de køer, der blev katigoriseret under denne kategori pga.

mangelfulde data, gjaldt at data kun rakte over en lille del af dataperioden. Resultatet blev at der

var 17 køer, der blev kategoriseret som normale og 12 køer, der blev kategoriseret som

inseminerede.

Indledende undersøgelser af data

Der blev foretaget indledende undersøgelser af data fra foderkasser, malkerobotter, IceTags og

aktivitetssensorer med henblik på at identificere om der fandtes tegn på brunst i dataene. Der var

ikke tydelige tegn at finde i data fra foderkasserne og malkerobotterne. Hvad angår IceTags var

der begrænsede mængde data til rådighed, og kun to inseminerede køer. Den ene af køerne viste

afvigelser i liggeadfærd og aktivitet i tilfælde af brunst men ikke den anden. Disse data blev ikke

undersøgt nærmere grundet de relative få data, men synes værende et interessant område at

undersøge i fremtidig søgning af brunstsignaturer. Der eksisterer til gengæld en del aktivitetsdata

hvor der fremgår afvigelser i tilfælde af brunst. Yderligere gav dataene et grundlag for

anvendelsen af Change Detection algoritmer, og blev derfor valgt til videre anvendelse.

Aktivitetsdata og Change Detection

Undersøgelser af aktivitetsdata viste at der forekom en døgnrytme hos samtlige normale køer.

Døgnrytmen blev fjernet fra dataene eftersom en tydeligere brunstsignatur forvæntedes ved


132

kompensering. Kompenseringen blev foretaget ved hhv. filtrering og Recursive Least Squares

estimering af døgnrytmens tilhørende frekvenser og middelværdi som blev trukket fra dataene,

hvilket resulterede i et reidual.

Filtreringen resulterede i et signal som tilnærmede sig en normalfordeling. Filtreringen blev

foretaget ved at beregne et 24 timers gennemsnit af aktivitetsdataene for hver sample.

Konsekvensen af dette var at afvigelser kom senere frem i dataene end i tilfælde af rådata. Til

gengæld var signalets varians blevet formindsket en del. Det kunne derfor forvæntes at en

detektor baseret på det filtrerede signal ville yde en mere sikker men langsommere detektering

end en detektor baseret på ukompenserede rådata.

I tilfælde af residualet efter den rekursiv kompensering viste det sig at kompenseringen resulterer i

et signal som med tilnærmelse kunne beskrives ved en Rayleigh fordeling med et

definitionsområde ned til negative værdier. Residualet antager positive såvel som negative

værdier, men Rayleigh fordelingen har en nedre grænse i sit definitionsområde og er kun defineret

for ikke-negative værdier. Derfor Rayleigh fordelingens definitionsområde forskudt og Change

Detection algoritmen blev udviklet på det grundlag. En konsekvens af anvendelsen af Rayleigh

fordelt tæthedsfunktion blev at der forekommer negative værdier i residualet som ikke ligger

indenfor Rayleigh fordelingens definitionsområde. Det er i algoritmerne valgt at behandle dette ved

at log-likelihood forholdet s antog værdien 0, således at den hverken bidrager til en forøgelse eller

formindskelse af beslutningsfunktionen. Denne løsning har nogle begrænsninger, idet data går

tabt.

Der blev også foretaget undersøgelser af dataene hvad angår logaritmisk transformation af data

vha. log(1+data), hvor log er titals logaritmen. Efter kompensering for perioder og middelværdi

viste det sig at dataene tilnærmede sig normalfordelingen for normale forhold.

Der blev udviklet flere Change Detection algoritmer til detektering af en ændring i middelværdi

eller en dynamisk profil i dataene, både af kendt og ukendt amplitude. Grundet aktivitetsdataenes

ikke stationære egenskaber er detektorerne yderligere forsynet med rekursiv estimeringer af

middelværdi og varians for det pågældende datasæt, som forbedrer resultaterne.

Som et yderligere led i udviklingen af algoritmer, blev der lavet en test for multible hypoteser.

Testen blev realiseret ved en vektor baseret CUSUM/GLR hvor der blev arbejdet med

aktivitetsdataene som den ene signal og en forsinket udgave som det andet. Forsinkelsen var

mellem 20-22 dage som er den forvæntede tid mellem brunsttilfælde.


133

9 Konklusion Det var eksamensprojektets formål, at bidrage til et forskningsprojekt ved Danmarks Jordbrugs

Forskning og Danmarks Tekniske Universitet, med forskning og udvikling af én eller flere

detekteringsalgoritmer til detektering af malkekøers brunsttilfælde ud fra afvigelser i deres adfærd.

I projektet er data fra aktivitetssensorer, kombinerede ligge/stå/aktiv sensorer, malkerobotter,

foderkasser og registrerede brunsttilfælde behandlet. Der er udviklet software i Scilab til

behandling og fremvisning af dataene som giver en struktureret og effektiv tilgang til dem.

Indledende analyser af dataene viser at der fremkommer flere tydelige tegn på brunst i data fra

aktivitetssensorene og er disse derfor anvendt som grundlag til udvikling af Change Detection

algoritmer. En frekvensanalyse af aktivitetsdataene viser en døgnrytme, sammensat af flere

frekvenser, hos samtlige analyserede køer. En F-test og beregning af forklaringsgraden viser

relevansen for kompensering af frekvenserne. Data blev kompenseret for døgnrytmen med to

forskellige metoder, hhv. filtrering og Recursive Least Squeres estimering.

Som væsentligste bidrag blev der udviklet 7 Change Detection algoritmer som angivet i det

følgende med angivelse af tæthedsfunktioner der beskriver hhv. normaladfærd og brunstadfærd.

• CUSUM, kendt ændring i middelværdi, Normal-Normal

• CUSUM, kendt ændring i middelværdi, Eksponentiel-Normal

• CUSUM, kendt ændring i middelværdi, Rayleigh-Normal

• GLR, ukendt ændring i middelværdi, Normal-Normal

• GLR, ukendt ændring i middelværdi, Rayleigh-Normal

• CUSUM, dynamisk profil med kendt amplitude, Normal-Normal

• GLR, dynamisk profil med ukendt amplitude, Normal-Normal

Algoritmerne blev udviklet med rekursiv estimering af dataseriers middelværdi og varians, samt

behandling af "Not a Number” i datasættet.

De udviklede algoritmer blev testet på køer som var blevet insemineret og ikke havde haft

sygdomsbehandlinger i dataperioden. Der blev udvalgt seks algoritmer som testedes på samtlige

12 inseminerede køer uden sygdomme, hvorefter resultaterne sammenlignes hvad angår

succesfulde detekteringer, falske detekteringer og detekteringstid defineret i forhold til en fælles

indbyrdes reference. Resultaterne viste at Change Detection algoritmerne opnåede en detektering

i 71 % - 95 % af brunsttilfældene med gennemsnitstid mellem falske alarmer i området 30- 55

uger.


134

Der blev yderligere udviklet multibel hypotesetest realiseret i form af vektorbaserede CUSUM/GLR

algoritmer. Den multibel hypotesetest benyttede det faktum at der typisk går 20-22 dage mellem

brunst og viste lovende resultater.


135

10 Perspektivering Dette kapitel omhandler de aspekter der er interessante for den fremtidige udvikling og

undersøgelser af Change Detector algoritmerne.

Der kan være praktiske ting i den daglige drift i stalden der påvirker aktivitet hos mange af køerne,

som f.eks. et besøg af klovbeskæreren eller dyrlæge. Disse besøg forårsager ofte uroligheder i

besætningen. For at formindske sandsynligheden for falske detekteringer grundet urolighederne

kan den besætningsmæssige overvågning benyttes, således at detekteringerne undgås hvis

forholdsvis mange køer viser forøgelse i aktivitet samtidigt.

En ret relevant faktor i den videre udvikling ville være at indføre en automatisk bestemmelse af h

værdien for beslutningsfunktionen. h værdien kunne evt. bestemmes ud fra estimering af

beslutningsfunktionens varians.


136


137

11 Litteraturliste

[1] M. Blanke, M. Kinnaert, J. Lunze, M. Staroswiecki 2006: Diagnosis and Fault-Tolerant

Control, 2nd edition. Springer-Verlag Berlin Hedelberg.

ISBN-10: 3-540-35652-5

[2] Erwin Kreyszig 1999: Advanced Engineering Mathematics, 8th edition. John Wiley & Sons

Inc., 605 Third Avenue, New York.

ISBN: 0-471-15496-2

[3] Robert Grover Brown, Patrick Y.C. Hwang 1997: Introduction to Random Signals and

Applied Kalman Filtering, 3rd edition. John Wiley & Sons Inc., 111 River Street, Hoboken,

NJ 07030.

ISBN: 0-471-12839-2

[4] Niels Kjølstad Poulsen 1999: Stokastisk Adaptiv Regulering, ver. 1.01. IMM institut,

Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby.

[5] K.J. Åström and B. Wittenmark 1995: Adaptive Control, Addison Wesley Series in

Electrical Engineering, Control Engineering, 2nd edition. Addison Wesley.

[6] Sophocles J. Orfanidis 1996: Introduction to Signal Processing. Prentice-Hall Inc., Upper

Saddle River, New Jersey 07458.

ISBN: 0-13-209172-0

[7] Matlab Help. The MathWorks, Inc. 3 Apple Hill Drive, Natick, MA 01760-2098 USA

[8] S. B. Pedersen, J. A. Jensen, B. Guldbrandsen og Kaj-Åge Henneberg 2006. Noter til

31610 Anvendt signalbehandling. Ørsted institut, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby.

[9] http://www.inseminor.dk/rep.php

[10] http://www.lr.dk/kvaeg/informationsserier/kvaegforsk/1070.htm

[11] Ole Groth Jørsboe 1976. Sandsynlighedsregning, Danmarks Tekniske

HøjskoleUniversitet, Matematisk Institut.


138


139

Bilag A Det følgende bilag indeholder figurer, der viser køernes aktivitetsindeks på timebasis (rådata),

over den periode, hvor der er måledata til rådighed. Bilaget er opdelt i to dele hvor der vises

aktivitetsindeks for hhv. de køer der er blevet kategoriseret som værende normale og de køer som

er kategoriseret som brunstkøer.

Normale køer Aktivitetsindeksen, for de normale køer, vises med rødbrun fuldtoptrukken linie. Figurerne er alle

plottet med den samme skala på y-aksen, dvs. fra 0 til 300, for at skabe overblik over køernes

forskellige aktivitetsniveau. Skalaen på x-aksen viser den periode aktivitetsindeksen er plottet

over, som datoer og der er en uge mellem de lodrette streger.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300Aktivitet, ko nr.1271, race JER, født: 6.11.2002, ins: 27.3.2006 , kælvning: 9.2.2006

Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300

Aktivitet, ko nr.1267, race JER, født: 3.11.2002, ins: 9.12.2005 , kælvning: 28.11.2004

Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


140

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300

Aktivitet, ko nr.180, race SDM, født: 1.11.2001, ins: 5.2.2006 , kælvning: 22.10.2005

Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300

Aktivitet, ko nr.189, race RDM, født: 13.11.2001, ins: 16.3.2006 , kælvning: 18.1.2006Ak

tivite

tsin

deks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300Aktivitet, ko nr.249, race RDM, født: 1.3.2002, ins: 29.10.2005 , kælvning: 6.5.2005

Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


141

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300

Aktivitet, ko nr.315, race SDM, født: 13.8.2002, ins: 27.2.2006 , kælvning: 18.11.2005Ak

tivite

tsin

deks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300

Aktivitet, ko nr.362, race SDM, født: 12.12.2002, ins: 4.3.2006 , kælvning: 24.12.2005

Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


142

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50100150200250300


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50100150200250300

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50100150200250300

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

Brunstkøer Aktivitetsindeksen, for de køer der har konstaterede brunstilfælde i perioden, vises med rødbrun

fuldtoptrukken linie. Tidspunkter for de konstaterede brunsttilfælde vises med lodrette stiplede

lyserøde linier. Figurerne er, ligesom for de normale køer, alle plottet med den samme skala på y-

aksen. Her i skalaen fra 0 til 200. For x-aksen gælder de samme forhold som for de normale køer.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


143

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


144

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


145

Bilag B Undersøgelse af stationaritet: Køernes aktivitetsdata undersøges for stationaritet, dvs. om dataenes tæthedsfunktion er

tidsinvariant. Viser det sig at det er aktuelt, så er processen stationær, hvis tæthedsfunktionen er

tidsvariant er der tale om en ikke stationær proces. Det som karakteriserer de fleste

tæthedsfunktioner er at de er beskrevet ved processens middelværdi og/eller varians. Der er i

denne undersøgelse derfor undersøgt om dataenes middelværdi og varians ændres over tid.

De 17 normale køer undersøges ved at køre et vindue af størrelse M over datarækken. Vinduet er

forskudt 1 sample (svarer til 1 time) ad gangen og der estimeres middelværdi µ og varians σ2

(empirisk) for dataene omlukket af vinduet ved hver forskydning. Dette beskrives matematisk som

angivet i det efterfølgende:

k

Xi k M

1(k) X(i)ˆM = −

µ = ∑ (B.1)

( )k

22X X

i k M

1(k) X(i) (k)ˆ ˆM 1 = −

σ = −µ− ∑ (B.2)

hvor X(i) er aktivitetsdataene, og k er tid.

Resultatet af denne beregning er vektorer der indeholder værdier for hhv. middelværdi og varians

afhængigt af tiden k. Resultatet er afhængigt af størrelsen af vinduet, M. Hvis M vælges til et lille

værdi vil der være større sandsynlighed for at få variationer i beregningerne, og vælges M til et

stort værdi udglattes ”relative små” variationer i beregningerne. En typisk datalængde af

aktivitetsdataene til rådighed er på omkring 4000 samples. Det er som udgangspunkt valgt en M

værdi til 480 (20 døgn) da det svarer ca. til 10 % af den samlede datalængde.

Beregningerne er foretaget og resultaterne plottet som funktion af tid k for samtlige normale køer.

Plottene er normeret i forhold til vektorernes mindste værdi, for at vise forholdsvise afvigelser i de

pågældende estimeringer. Et eksempel af dette vises på Figur B.1, Figur B.2 og Figur B.3.


146

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

0.0

22.3

44.7

67.0

89.3

111.7

134.0

My for ko no. 1260, race RDM, born: 3.6.2001

Tid (dato)

Nor

mer

et a

kse

Figur B.1 Aktivitetsdata for ko 1260 over hele måleperioden.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

My for ko no. 1260, race RDM, born: 3.6.2001

Tid (dato)

Nor

mer

et a

kse

Figur B.2 Estimering af middelværdi for ko 1260 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til

estimeringens laveste værdi, for illustrative formål.


147

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

Sigma^2 for ko no. 1260, race RDM, born: 3.6.2001

Tid (dato)

Nor

mer

et a

kse

Figur B.3 Estimering af varians for ko 1260 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til


Det viser sig at for samtlige normale køer at afvigelser i middelværdi i forhold til det mindste

estimerede middelværdi for den pågældende ko ikke kommer over en fordobling af det mindst

værdi. Hvad angår estimering af varians forekommer der lidt større afvigelser, typisk i området 2-3

gange større end den laveste estimerede varians for den pågældende ko. Efterfølgende vises et

godt eksempel af aktivitetsdata for ko 1267 der næppe kan antages værende en stationær proces.


148

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

0.0

22.3

44.5

66.8

89.0

111.3

133.5

155.8

178.0

My for ko no. 1267, race JER, born: 3.11.2002

Tid (dato)

Nor

mer

et a

kse

Figur B.4 Aktivitetsdata for ko 1267 over hele måleperioden.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

My for ko no. 1267, race JER, born: 3.11.2002

Tid (dato)

Nor

mer

et a

kse

Figur B.5 Estimering af middelværdi for ko 1267 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til



149

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Sigma^2 for ko no. 1267, race JER, born: 3.11.2002

Tid (dato)

Nor

mer

et a

kse

Figur B.6 Estimering af varians for ko 1267 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til


Ud fra analyserne beskrevet ovenfor konkluderes der at dataene for de normale køer ikke kan

beskrives ved en stationær proces.


150


151

Bilag C Det følgende bilag indeholder figurer, der viser køernes aktivitetsindeks beregnet som et

gennemsnit over 24 timer, over den periode, hvor der er måledata til rådighed. En beskrivelse af

hvordan aktivitetsgennemsnittet beregnes kan ses i afsnit 5.2. Bilaget er opdelt i to dele hvor der

vises aktivitetsgennemsnittet for hhv. de køer der er blevet kategoriseret som værende normale og

de køer som er kategoriseret som brunstkøer.

Normale køer Det 24 timers aktivitetsgennemsnit, for de normale køer, vises med blå fuldtoptrukken linie.

Figurerne er alle plottet med den samme skala på y-aksen, dvs. fra 0 til 100, for at skabe overblik

over køernes forskellige aktivitetsniveauer. Skalaen på x-aksen viser den periode

aktivitetsgennemsnittet er plottet over, som datoer og der er en uge mellem de lodrette streger.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080

100My_24, ko nr.1271, race JER, født: 6.11.2002, ins: 27.3.2006 , kælvning: 9.2.2006

Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


152

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


153

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


154

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

Brunstkøer Det 24 timers aktivitetsgennemsnit, for de køer der har konstaterede brunstilfælde i perioden,

vises med blå fuldtoptrukken linie. Tidspunkter for de konstaterede brunsttilfælde vises med

lodrette stiplede lyserøde linier. Figurerne er, ligesom for de normale køer, alle plottet med den

samme skala på y-aksen i skalaen fra 0 til 100. For x-aksen gælder de samme forhold som for de

normale køer.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


155

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


156

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

20406080


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

20406080

100

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

20406080

100

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60

50

100

150


Aktiv

itets

inde

ks

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80

50

100

150

200

Aktiv

itets

inde

ks

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100

50

100

150

200

Tid (dato)

Aktiv

itets

inde

ks


157

Bilag D Følgende figurer viser et 5 døgns område omkring samtlige brunsttilfælde for de 12 inseminerede

køer. De plottede brunstdata er fået fra kompenseret logaritmisk transformeret rådata filtreret med

det i afsnit 6.5.3 designede filter.

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 1 ko 224

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 2 ko 224

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 1 ko 307

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 34

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 3 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 4 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 5 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 6 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 7 ko 334

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 1 ko 353

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 2 ko 353

0 20 40 60 80 100 120-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 371

0 20 40 60 80 100 120-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 371

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 1 ko 373

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 2 ko 373

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 3 ko 373

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 4 ko 373

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 1 ko 494

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 2 ko 494

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 3 ko 494

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Brunst 4 ko 494


158

0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0

Brunst 1 ko 1198

0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0

Brunst 2 ko 1198

0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0

Brunst 3 ko 1198

0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0

Brunst 4 ko 1198

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 3 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 4 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 5 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 6 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 7 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 8 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 9 ko 1246

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 1253

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 1253

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 3 ko 1253

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 4 ko 1253

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 1 ko 244

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 2 ko 244

0 20 40 60 80 100 120-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Brunst 3 ko 244


159

Bilag E Recursive Least Squares parameterestimeringer for ko nr. 358.

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6203040506070

Ko nr. 358 my0

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8203040506070

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10203040506070

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 A1

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 B1

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 A2

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 B2

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)


160

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 A3

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 B3

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 A4

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 B4

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 A5

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 B5

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)


161

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 A6

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10

0102030

Ko nr. 358 B6

5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10

0102030

9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10

0102030

Tid (dato)

automatisk diagnose af velfærd udfra måling af...

Documents